Toán rời rạc bài 4 functions

Module #4 - Functions

University of Florida
Dept. of Computer & Information Science & Engineering

COT 3100
Applications of Discrete Structures
Dr. Michael P. Frank

Slides for a Course Based on the Text
Discrete Mathematics & Its Applications
(5th Edition)
by Kenneth H. Rosen

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

1


Module #4 - Functions

Module #4:
Hàm số - Functions
Rosen 5th ed., §1.8
~31 slides, ~1.5 lectures

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

2


Module #4 - Functions

On to section 1.8… Functions
• Trong giải tích ta đã làm quen với khái
niệm hàm thực f là tương ứng sao cho với
mỗi x∈R xác định được một giá trị cụ thể
nào đó y=f(x), với y∈R.
• Nhưng khái niệm hàm số có thể mở rộng:
ứng với mỗi phần tử của tập này cho tương
ứng một phần tử của tập kia. (Được biết
như ánh xạ.)
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

3


Module #4 - Functions

Hm s: nh ngha hỡnh thc
Với hai tập bất kỳ A, B, ta nói hàm f từ
(hoặc ánh xạ) A vào B (f:AB) là một phép
tương ứng đúng một phần tử f(x)B cho mỗi
một phần tử xA.
Cú th khỏi quỏt tip ý tng ny:

Hm b phn (khụng ton cc) f xỏc nh khụng
cú hoc mt phn t ca B cho mi phn t
xA.
Hm n bin; hoc quan h (ch. 6).
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

4


Module #4 - Functions

BiÓu diÔn ®å thÞ
Graphical Representations
• Functions can be represented graphically in
several ways:
f
a•
A

f

•
b

B
Like Venn diagrams
12/03/15

A
B
•
•
•
•
y
•
•
•
•
•
Bipartite Graph

(c)2001-2003, Michae

x
Plot
5


Module #4 - Functions

Các hàm chúng ta đã biết
• Mệnh đề có thể coi như hàm số từ “các tình
huống” vào các giá trị chân lý{T,F}
– Hệ logic được gọi là lý thuyết tình huống.
– p=“Trời đang mưa.”; s=trong tình huống ở đây,
hịen tại
– p(s)∈{T,F}.

• Phép toán mệnh đề có thể coi như hàm của
cặp có thứ tự các giá trị chân lý vào giá trị
chân lý: như, ∨((F,T)) = T.

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

6


Module #4 - Functions

Nói thêm về hàm …
• Vị từ (predicate) có thể coi là hàm từ tập
các đối tượng vào mệnh đề (hoặc giá trị
chân lý): P :≡ “is 7 feet tall”;
P(Mike) = “Mike is 7 feet tall.” = False.
• Xâu bit B có độ dài n có thể coi như hàm số
từ các số {1,…,n} (vị trí bit) vào các bit
{0,1}.
E.g., B=101  B(3)=1.
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

7

Module #4 - Functions

Nói tiếp về hàm
• Tập S trong tập vũ trụ U có thể xem như
hàm (đặc trưng của S) từ các phần tử của U
vào {T, F}, nói rằng mỗi phần tử của U có
là phần tử của S không?
S={3} S(0)=F, S(3)=T.
• Phép toán tập hợp như ∩,∪, có thể coi
như hàm từ cặp các tập hợp vào tập hợp.
– Example: ∩(({1,3},{3,4})) = {3}
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

8


Module #4 - Functions

Thủ thuật đơn giản
• Đôi khi ta viết YX để chỉ tập F bao gồm mọi
hàm có thể f:X→Y.
• Ký hiệu này đặc biệt phù hợp, bởi vì đối với
hai tập hữu hạn X, Y, ta có |F| = |Y||X|.
• Nếu ta sử dụng biểu diễn F≡0, T≡1,
2:≡{0,1}={F,T}, thì tập con T⊆S có thể
xem là hàm từ S vào 2, vì vậy tập mũ của S
(tập mọi hàm như vậy) là 2S như đã ký hiệu
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

9


Module #4 - Functions

Một số thuật ngữ về hàm số
• Nếu viết f:A→B, và f(a)=b (với a∈A & b∈B),
thì ta nói:
–
–
–
–

A là miÒn (domain) của f.
We also say
B là ®èi miÒn (codomain) của f. the signature
of f is A→B.
b là ảnh của a qua f.
a là tiền ảnh của b qua f.
• Nói chung, b có thể có nhiều hơn một tiền ảnh.

– Miền giá trị (Range) R⊆B của f là
R={b | ∃a f(a)=b }.
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

10


Module #4 - Functions

MiÒn gi¸ trÞ vµ ®èi miÒn
Range versus Codomain
• Miền giá trị của hàm có thể không là toàn
bộ codomain.
• Codomain là tập mà hàm đang xét sẽ ánh xạ
mọi giá trị của domain vào đó.
• Miền giá trị là một tập các giá trị trong
codomain mà thực tế hàm ánh xạ mọi phần
của domain vào đó.
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

11


Module #4 - Functions

Range vs. Codomain - Example
• Giả sử tôi nói với các bạn rằng: “f là hàm
ánh xạ mọi sinh viên trong lớp vào tập các
điểm {A,B,C,D,E}.”
• Bạn cho biết codomain của f là: {A,B,C,D,E}
________,
miền giá trị của f là ________.

unknown!
• Giả sử mọi điểm đều là A và B.
{A,B}
• Khi đó miền giá trị của f là _________,
nhưng codomain là __________________.
still {A,B,C,D,E}!
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

12


Module #4 - Functions

Phép toán (general definition)
• Phép toán n-ngôi trên tập S là hàm bất kỳ từ
tập các bộ có thứ tự gồm n phần tử của S
vào chính S.
• E.g., if S={T,F}, ¬ có thể coi như phép
toán 1 ngôi, và ∧,∨ là các phép toán 2 ngôi
trên S.
• Ví dụ khác: ∪ và ∩ là các phép toán 2 ngôi
trên tập các tập hợp.
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

13

Module #4 - Functions

Xây dựng phép toán cho hàm số
• Nếu • (“dot”) là bất kỳ phép toán nào trên
B, thì ta có thể mở rộng • thành phép toán
trên các hàm số từ A nào đó vào B f:A→B.
• Chẳng hạn: Cho phép toán 2 ngôi bất kỳ
•:B×B→B, và các hàm f,g:A→B, ta định
nghĩa (f • g):A→B là hàm số được xác định
như sau:
∀a∈A, (f • g)(a) = f(a)•g(a).
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

14


Module #4 - Functions

VÝ dô phÐp to¸n hµm sè
Function Operator Example
∀ +,× (“céng”,“nh©n”) lµ c¸c phÐp to¸n hai
ng«I trªn R. (Céng vµ nh©n b×nh th­êng hai
sè)
• Khi ®ã, ta cã thÓ céng vµ nh©n hµm sè
f,g:R→R:
– (f + g):R→R, trong ®ã (f + g)(x) = f(x) + g(x)
– (f × g):R→R,trong ®ã (f × g)(x) = f(x) × g(x)

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

15


Module #4 - Functions

Phép hợp hàm
Function Composition Operator
Note match here.

• Đối với các hàm số g:A→B và f:B→C, có một phép
toán đặc biệt gọi là hợp hàm (compose “○”).
– Nó hợp thành hàm mới từ f và g bằng cách áp
dụng f cho kết quả của việc áp dụng g.
– Ta nói (f○g):A→C, với (f○g)(a) :≡ f(g(a)).
– Vì g(a)∈B, nên f(g(a)) được xác định nghĩa và
∈C.
– Lưu ý rằng ○ (giống tích Đề các ×, nhưng không
giống +,∧,∪) vì không giao hoán. (Nói chung, f○g
≠ g○f.)

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

16

Module #4 - Functions

Ảnh của tập hợp qua hàm số
• Cho f:A→B, và S⊆A,
• Ảnh của S qua f là tập gồm tất cả các ảnh
(qua f) của các phần tử trong S.
f(S) :≡ {f(s) | s∈S}
:≡ {b | ∃ s∈S: f(s)=b}.
• Lưu ý rằng miền giá trị là ảnh (qua f) của
domain của f!
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

17


Module #4 - Functions

Hàm số 1-1 One-to-One Functions
• A function is one-to-one (1-1), hoặc đơn ánh, iff
mọi phần tử của miền giá trị chỉ có một nghịch ảnh.
– Một cách hình thức: cho f:A→B,
“x đơn ánh” :≡ (¬∃x,y: x≠y ∧ f(x)=f(y)).

• Chỉ có một phần tử của domain được ánh xạ vào
một phần tử cho trước của miền giá trị.
– Miền (domain) & miền giá trị (range) có cùng lực

lượng. Có thể nói gì về đối miền (codomain)?

• Dễ nhớ: Mỗi phần tử của domain được ánh xạ vào
phần tử riêng biệt của miền giá trị.
– So sánh “mỗi liều vaxin được tiêm cho một bệnh nhân
khác nhau.”

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

18


Module #4 - Functions

BiÓu diÔn 1-1
One-to-One Illustration
• Đồ thị hai phần biểu diễn hàm là (hoặc
không là) one-to-one:
•
•
•
•

•
•
•
•
•

One-to-one

12/03/15

•
•
•
•

•
•
•
•
•
Not one-to-one

(c)2001-2003, Michae

•
•
•
•

•
•
•
•
•
Not even a

function!

19


Module #4 - Functions

Cỏc iu kin cho ỏnh x 1-1
Với hàm f trên các tập số, ta nói:
f là đơn điệu tăng chặt khi và chỉ khi
x>y f(x)>f(y) đối với mọi x,y trong miền;
f là đơn điệu giảm chặt khi và chỉ khi

Nếu f là tăng chặt hay giảm chặt thì f là
ánh xạ 1 - 1. VD. x3
Ngược lại là không nhất thiết phải đúng.
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

20

x


Module #4 - Functions

Hàm toàn ánh –
Onto (Surjective) Functions

• Hàm f:A→B là hàm lên hay toàn ánh iff
miền xác định của nó bằng codomain của
nó (∀b∈B, ∃a∈A: f(a)=b).
• Think: Hàm lên (onto) ánh xạ tập A lên
(over, covering) toàn bộ tập B, chứ không
phải chỉ một phần của nó.
• VD, §èi víi miÒn vµ ®èi miÒn R, x3 lµ ¸nh
x¹ lªn, cßn x2 kh«ng ph¶i. (t¹i sao?)
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

21


Module #4 - Functions

Illustration of Onto (ánh xạ lên)
• Hµm nµo lµ ¸nh x¹ lªn ®èi miÒn cña chóng:

•
•
•
•
•

•
•
•
•

Onto
(but not 1-1)
12/03/15

•
•
•
•
•

•
•
•
•
Not Onto
(or 1-1)

•
•
•
•

•
•
•
•
Both 1-1
and onto

(c)2001-2003, Michae

•
•
•
•

•
•
•
•
•
1-1 but
not onto
22


Module #4 - Functions

Song ánh - Bijections
• Hàm f được gọi là song ánh hay đảo được ,
iff nó vừa là 1-1 vừa là toàn ánh.
• Đối với song ánh f:A→B, tồn tại ánh xạ
ngược với f, được viết là f −1:B→A, mà là
hàm duy nhất sao cho
– (với IA là ánh xạ đồng nhất trên A)

f −1  f = I A
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

23


Module #4 - Functions

Hàm đồng nhất
The Identity Function
• Với mọi miền A, hàm đồng nhất I:A→A
(hoặc viết dạng, IA, 1, 1A) là ánh xạ duy nhất
sao cho ∀a∈A: I(a)=a.
• Một số hàm đồng nhất mà ta đã biết:
Cộng + với 0, nhân . với 1, hội ∧ với T, tuyển ∨
với F, hợp ∪ với rỗng ∅, giao ∩ với U.

• Lưu ý rằng hàm đồng nhất luôn là ánh xạ
một - một và toàn ánh (song ánh).
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

24


Module #4 - Functions

BiÓu diÔn hµm ®ång nhÊt
Identity Function Illustrations
• The identity function:

•

•
•

•
•

•

y

•
•
•

Domain and range
12/03/15

y = I(x) = x

x

(c)2001-2003, Michae

25