Tổng Hợp CT Toán cấp 3

DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3
A. ĐẠI SỐ.
1. Tam thức bậc hai.
b

Giả sử f (x )  ax 2  bx  c  a  0;  ,   ;    ; S   
a


T
De

x1  x 2  
  0
  x  x  af ( )  0


1
2

a  0
f (x )  0  x    
  0

af ( )  0
x1      x 2  
af (  )  0

 là nghiệm của f (x )  f ( )  0

af ( )  0
x1    x 2    
af (  )  0

x1    x 2  af ( )  0

af ( )  0
  x1    x 2  
af (  )  0

hiT

a  0
f (x )  0  x    
  0


  0

  x1  x 2  af ( )  0
S
   0
2

hu

  x1    x 2
x    x    f ( ).f (  )  0
 1
2

.N



  0

af ( )  0

  x1  x 2    af (  )  0
S
   0
2
S
  0
2

et


  0

x1  x 2    af ( )  0
S

   0
2

2. Bất đẳng thức Cô si:
Với hai số a  0, b  0 thì

a b
 ab . Dấu ''  '' xảy ra  a  b
2

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

1


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

3. Phương trình – bất phương trình chứa trị tuyệt đối

A  B  A  B

A  B  A2  B 2

B  0
A B  
2
A  B
A  B  B  A  B

A  B
A B  
A  B

T
De

4. Phương trình – bất phương trình chứa căn
A  0  B  0 
A B 
A  B

A  0

A  B  B  0
A  B 2


hiT

B  0
A B  

2
A  B
A  0
A B 
A  B

B  0
B  0
A B  
 
2
A  0
A  B

B. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG .

hu

1. Định lý hàm số Cosin:

a 2  b 2  c 2  2bc cos A
c 2  a 2  b 2  2ab cosC

2. Định lý hàm số Sin:

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

et

a

b
c


 2R
sin A sin B sinC

.N

b 2  a 2  c 2  2ac cos B

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

2


Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

3. Công thức tính diện tích tam giac:
1
1
1
S  aha  bhb  chc
2

2
2

S

1
1
1
S  ab sinC  ac sin B  bc sin A
2
2
2

abc
4R

T
De

S  p  p  a  p  b  p  c 

S  p.r

C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ .
I.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

hiT

Để giải một hệ phương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế. Bên cạnh đó
ta còn có một số loại hệ phương trình đặc biệt.

hu

II. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT.
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a1x  b1y  c1
(*)
 Dạng: 
a 2x  b2y  c 2
 Cách giải: Công thức Crammer
a1 b1
c1 b1
a1 c1
Đặt D 
; Dx 
; Dy 
a 2 b2
c 2 b2
a 2 c2

et

.N

Dx

x  D
- Nếu D  0 : hệ (*) có nghiệm duy nhất 

y  Dy

D
- Nếu D  0 và Dx  0 hay Dy  0 : hệ (*) vô nghiệm.
- Nếu D  Dx  Dy  0 : hệ (*) có hai trường hợp xảy ra: hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT.
 f (x , y )  0
 Dạng: 
(*) trong đó khi hoán vị vai trò của x và y cho nhau, từng phương trình của
g (x , y )  0
hệ không thay đổi.
 Cách giải:
Đặt S  x  y ; P  xy
Giải tìm S, P. Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X 2  SX  P  0
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là   S 2  4P  0
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

3


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

T

De

3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI.
(1)
 f (x , y )  0
 Dạng: 
(*) trong đó khi hoán vị vai trò của x và y cho nhau,thì phương
f
(
y
,
x
)

0
(2)

trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại.
 Cách giải: Có 2 cách
 f (x , y )  f (y , x )  0
Cách 1: 
 f (y , x )  0
 f (x , y )  f (y , x )  0
Cách 2: 
 f (x , y )  f (y , x )  0
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP .
 Dạng: Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình mà cấp của tất cả đơn thức trong hệ đều
bằng nhau.
 Cách giải:
- Xét x  0 , thế vào hệ tìm y.

- Xét x  0 , đặt y  tx , thế vào hệ tìm t, sau đó suy ra x và y.

hiT

D. LƯỢNG GIÁC.
I.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.



sin      cos 
2





tan      cot 
cot      tan 
2

2

1.4 Hai cung hơn, kém  : (  và    )
sin(   )   sin 
cos(   )   cos 
tan(   )  tan 

et

1.2 Hai cung bù nhau: (  và    )
sin(   )  sin 
cos(   )   cos 
tan(   )   tan 
cot(   )   cot 


 )
2


cos      sin 
2


1.3 Hai cung phụ nhau: (  và

.N

1.1 Hai cung đối nhau: (  và -  )
cos( )  cos 
sin( )   sin 
tan( )   tan 
cot( )   cot 

hu

1. Các cung liên quan đặc biệt

cot(   )  cot 

1.5 Cung hơn kém :
2




cos   x    sin x ; sin   x   cos x ;
2

2

Ghi nhớ: ‘ cos đối; sin bù; phụ chéo; hơn, kém  tan, cot ‘.

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

4


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

2. Các công thức lượng giác cơ bản
 sin 2 x  cos 2 x  1



1
 1  cot 2 x
2
sin x
sin x
 tan x 
cos x
3. Công thức cộng

1
 1  tan 2 x
cos 2 x

 tan x .cot x  1



 cot x 

T
De

cos x
sin x

sin(a  b )  sin a .cos b  cos a .sin b
cos(a  b )  cos a .cos b  sin a .sin b
tan(a  b ) 

tan a  tan b
1  tan a .tan b

4. Công thức nhân
4.1 Công thức nhân đôi

hiT

sin 2a  2sin a cos a

cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a
2 t ana
1  tan 2 a
4.2 Công thức nhân ba
sin 3a  3sin a  4sin 3 a
t an2a 

cos 3a  4 cos3 a  3cos a
3 tan a  tan 3 a
1  3 tan 2 a

1  cos 2a
2
3cos a  cos 3a
cos3 a 

4
cos 2 a 

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

et

6. Công thức biến đổi tổng thành tích
a b
a b
cos a  cos b  2 cos
cos
2
2
a b
a b
cos a  cos b  2sin
sin
2
2
a b
a b
sin a  sin b  2sin
cos
2
2
a b
a b
sin a  sin b  2 cos
sin

2
2

.N

5. Công thức hạ bậc
1  cos 2a
sin 2 a 
2
3sin a  s in3a
sin 3 a 
4

hu

t an3a 

Www.DeThiThu.Net

5

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ơn Thi.C p nh t m i ngày!
www.dethithu.net

Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

7. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a .cos b   cos(a  b )  cos(a  b ) 
2
1
sin a .sin b    cos(a  b )  cos(a  b ) 
2
1
sin a .cos b  sin(a  b )  sin(a  b ) 
2

T
De
II.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Kiến thức cơ bản

sin u  0  u  k


 k 2
2

sin u  1  u    k 2
2
sin u  1  u 

cos u  0  u 


 k
2

hu

hiT

u  v  k 2
sin u  sin v  
u    v  k 2
u  v  k 2
cos u  cos v  
u  v  k 2
tan u  tan v  u  v  k 2
cot u  cot v  u  v  k 2
Trường hợp đặc biệt:

cos u  1  u  k 2
cos u  1  u    k 2

.N

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

et

Kiến thức cơ bản
 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
at 2  bt  c  0 (1) trong đó t là một tr ong các hàm số: sinu; cosu; tanu; cotu.
 Cách giải: Đặt t = sinu; cosu; tanu; cotu.
Chú ý: sin u ; cos u  1
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN u VÀ COSu
Kiến thức cơ bản
Dạng : a sin u  b cos u  c
(1) trong đó a 2  b 2  0
Điều kiện có nghiệm: a 2  b 2  c 2
Cách giải:
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

6


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

Chia hai vế của PT cho a 2  b 2 ,
a
b

c
(1)

sin u 
cos u 
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
 sin u .cos   cos u .sin   sin 
 sin(u   )  sin 

T
De

DẠNG 4. PHƯƠNG TR ÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO SINU VÀ COSU
Kiến thức cơ bản
Dạng tổng quát:

a sin 2 u  b sin u cos u  c cos 2 u  d (2)

Cách giải:


 k có thỏa phương trình (2) không ?
2

B2: Xét cos u  0 . Chia 2 vế phương trình (2) cho cos 2 u . Ta được phương trình mới dạng:
a tan 2 u  b tan u  c  0 .

B1: Xét cos u  0 . Kiểm tra u 

hiT

*Chú ý: Nếu phương trình lượng giác có bậc cùng chẳn hoặc cùng lẻ theo sinu và cosu thì ta
cũng giải bẳng phương pháp trên.
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN XỨNG

hu

Dạng tổng quát:

a  sin u  cos u   b sin u cos u  c  0 (3)
Cách giải:

(Điều kiện :

t  2)

.N


Đặt t = sin x  cos x  2 sin(x  ) (*)
4
2
t 1
 sin x cos x  

.
2

Thế vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.





 sin u  cos u  2 sin  u    2 cos  u  
4
4






 sin u  cos u  2 sin  u     2 cos  u  
4
4


 1  s in2x   sin x  cos x 

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

et

Một số công thức quan trọng

2

Www.DeThiThu.Net

7

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
www.dethithu.net

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

E. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM .
1. Quy tắc cơ bản.
 c ’  0

 u .v 

u

 v  u '  v '
'

 u  u 'v  v 'u
  

v2
v 
'

'

 u 'v  v 'u

T
De

2. Bảng công thức tính đạo hàm.

k .x 

'

k .u 

k

1
1
( )'   2
x
x
1
( x )' 
2 x

1
(u ) '
( )'   2
u
u
u'
( u )' 
2 u

hiT

n
n 1
(u ) '  n .u
.(u ) '

'

(tan x ) '  1  tan 2 x 

 sin u   cos u. u 
'
'
 cos u    sin u. u 

hu

(e x ) '  e x

(a u ) '  a u .ln a .u '

u'
(ln u ) ' 
u
u'
(loga u ) ' 
u .ln a

*Đặc biệt :

x2  2

a1 c1

x

b1 c1

a b
a 2 c2
b2 c 2
a1x 2  b1x  c1
y' 2 2
2
2
2
a 2x  b2x  c 2
(a 2x  b2x  c 2 )

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

et

.N

(a x ) '  a x .ln a
1
(ln x ) ' 
x
1
(loga x ) ' 
x .ln a

y

'

(tan u ) '  (1  tan 2 u ).u ' 

1
sin 2 x

a b
c d
ax  b
y
y'
cx  d
(cx  d ) 2
a1 b1

'

u'
cos 2 u
u'
(cot u ) '  (1  cot 2 u ).u '   2
sin u
u
u
(e ) '  e .u '

1
cos 2 x

(cot x ) '  (1  cot 2 x )  



 k .u '

n
n 1
(x ) '  n .x

 sin x   cos x
'
 cos x    sin x



'

Www.DeThiThu.Net

8

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

F. CÔNG THỨC MŨ – LOGARIT.

1.

CÔNG THỨC MŨ
a  a.a
...
a

2.

STT

CÔNG THỨC LOGARIT

STT

n

1

loga 1  0

a 1  a a

2

loga a  1

3.

a 0  1 a  0

3

loga a M  M

4.

a n 

1
an

4

a loga N  N

5.

a n  n am

5

loga (N 1.N 2 )  loga N 1  loga N 2

6.

a

6

loga (

7.

a .a  a

7

loga N    .loga N

8.

am
 a m n
n
a

8

loga N 2  2.loga N

(a m )n  (a n )m  a m .n

9

9.

loga N  loga b.logb N

10

logb N 

n thua so

T
De
m



m

n



1



m

m

n

n

m n

(a .b )n  a n .b n

11.

a
an
( )n  n
b
b

12.

a M  N  M  loga N

hu

10.

am

hiT

an

1

11
12

loga N
loga b
1
loga b 
logb a
1
loga N  loga N

log c
log a
a b =c b

.N

13

N1
)  loga N 1  loga N 2
N2

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

et
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

9


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
www.dethithu.net

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

G. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM .
Nguyên hàm của những hàm số thường
gặp
1.  dx  x  C

Nguyên hàm của những hàm số thường

gặp
1
1
1
13.  n dx  
 n 1  c
x
n 1 x
1
14. 
dx  x  c
2 x
1
15.  f(ax + b)dx = F(ax + b) + C
a
16.

T
De

2.  kdx  kx  C
3.  x ndx 
4.

x n 1
 C n  1
n 1

1
 x dx  ln x  C x  0

1
1
 x 2dx   x C
1
1
C
6.  n dx  
x
n  1 x n 1

ax
 C  0  a  1
ln a
9.  cos xdx  sin x  C
8.  a xdx 

10.  sin xdx   cos x  C

.N

hu

1
dx   (1  tan 2 x )dx  tan x  C
2
cos x
1
12.  2 dx   (1  cot 2 x )dx   cot x  C
sin x

11. 

 1

hiT

7.  e xdx  e x  C

1 ax  b 
 ax  b  dx  a   1 C   1
1
1
17. 
dx  ln ax  b  C x  0 
ax  b
a
1
18.  e ax bdx  e ax b  C
a
1
19.  cos ax  b  dx  sin ax  b   C
a
1
20.  sin ax  b  dx   cos ax  b   C
a
1
1
dx  tan ax  b   C
21. 

2
cos ax  b 
a
1
1
dx   cot ax  b   C
22.  2
sin ax  b 
a


5.

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

et
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

10


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ơn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

H. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.
Cho vectơ


u  x ; y ; z 

và hai điểm A x A ; yA ; zA 


; v  x '; y '; z '
; B x B ; yB ; z B  .

 
u  v  x  x '; y  y '; z  z '

2. k .u  kx ; ky ; kz 

T
De

1.

hiT

3. Điều kiện bằng nhau của hai vectơ:
x  x '



u  v  y  y '

z  z '



x y z
4. u cùng phương v   
x' y' z'
 



5. u cùng phương v  u , v   0

6. Tích vơ hướng của hai vectơ: u .v  xx ' yy ' zz '
7. Độ dài của một vectơ :

u  x2 y2  z2

hu

8. Vectơ tạo bởi 2 điểm A, B:

AB  x B  x A ; yB  yA ; z B  zA 

9. Độ dài đoạn thẳng AB:

2
2
2
AB  AB  x B  x A   yB  yA    z B  zA 

11. Điều kiện vuông góc của hai vactơ:
 

u  v  u .v  0  xx ' yy ' zz '  0

 0    180 
0

xA  x B

x

M

2

y

yB

12. M là trung điểm của đoạn AB  yM  A
2

z

zB

A
z M 

2


et

.N

10. Góc giữa hai vectơ :

u .v
xx ' yy ' zz '
cos     
u .v
x 2  y 2  z 2 . x '2  y '2  z '2

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

11


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ơn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

et

.N

hu

hiT

T
De

1

x

(x A  x B  xC )
G

3

1

13. G là trọng tâm tam giác ABC  yG  (yA  yB  yC )
3

1

zG  3 (zA  z B  zC )


1

xG  4 (x A  x B  xC  x D )

1

14. G là trọng tâm tứ diện ABCD  yG  (yA  yB  yC  yD )
4

1

zG  4 (zA  z B  zC  z D )

15. Tích CÓ HƯỚNG của hai vectơ:
  y z z x x y 
;
;
u , v   

y' z' z' x' x' y' 
16. Tính chất quan trọng :
 

  
u , v   u và u , v   v
1  
17. Diện tích tam giác ABC : S ABC  AB , AC 
2
 
18. Diện tích hình bình hành ABCD: Shbh ABCD  2S ABC  AB , AC 

1   
19. Thể tích tứ diện ABCD : VABCD   AB , AC .AD
6
3.VABCD
20. Chiều cao AH của tứ diện ABCD: AH 
S BCD
  
21. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ : V  [AB,AD ].AA’
 
22. Ba điểm A,B,C tạo thành tam giác  AB , AC không cùng phương
  
23. Bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng  ABCD là tứ diện  AB , AC  .AD  0
 
24. Điều kiện để ABCD là hình bình hành  AB  DC
Axo  Byo  Czo  D
25. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: d  M , ( )  
A2  B 2  C 2
 
M 0M , a 


26. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M ,) 

a
  
a , b  .MN


27. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d (d , d ') 
 

a , b 


 
n .a
28. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin    
n .a

Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

12

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
www.dethithu.net

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY.


Diện tích tam giác trong mặt phẳng Oxy:

T

De



1
AB  a1 ;a 2  , AC  b1 ;b2   S ABC  a1b2  a 2b1
2

1. Đường thẳng.
a. Các dạng phương trình đường thẳng:
- Phương trình tổng quát: Ax  By  Cz  0 A2  B 2  0 



( Vec tơ pháp tuyến n  A; B  , Vec tơ chỉ phương a   B;  A  hay a   B; A  )

hiT

x  x 0  a1t
- Phương trình tham số: 
t   
y  y 0  a 2t

( Vec tơ chỉ phương a  a1 ;a 2  và đi qua điểm M x 0 , y 0  )
x  x 0 y  y0

a1
a2
x y
- Phương trình đoạn chắn:   1

a b
( Đi qua hai điểm A a ; 0  , B  0; b  )
b. Góc giữa hai đường thẳng.

- Phương trình chính tắc:



hu



Gọi n1 và n 2 là hai VTPT của hai đường thẳng 1 và  2 . Khi đó:




cos(1 ,  2 )  cos(n1 , n 2 ) 



| n1 .n 2 |









| n1 || n 2 |

| a1a 2  b1b2 |

a12  a 22 . b12  b22

d M ,   

Ax M  ByM  C
A2  B 2

et

.N

c. Khoảng cách từ một điểm M x M ; yM  đến một đường thẳng : Ax  By  C  0 là:

2. Đường tròn.
Các dạng phương trình đường tròn:
- Dạng 1. Phương trình đường tròn (C) có tâm I a ; b  và bán kính R là:

C  : x  a   y  b 
2

2

 R2

- Dạng 2. Phương trình dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với điều kiện a 2  b 2  c  0 là phương trình

đường tròn (C) có tâm I a ; b  và bán kính R  a 2  b 2  c .
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

13

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
www.dethithu.net

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

3. Elip.
y

B1
A

F

F1

1

A

2

2

x

O

T
De

B2

M

x2 y2
- Phương trình chính tắc của Elip (E): 2  2  1
a
b
- Tiêu điểm: F1  c ;0  , F2 c ;0 

a  b  ; c 2  a 2  b 2

- Đỉnh trục lớn : A1  a ;0  , A2 a ;0 
- Đỉnh trục bé: B1  0; b  , B2  0;b 
c
1
a

hiT

- Tâm sai: e 

a
e
- Điều kiện tiếp xúc của (E) và  : Ax  By  C  0 là: A2a 2  B 2b 2  C 2
4. Hypebol.

- Phương trình đường chuẩn: x  

y

b

y=

a

x

F1

hu

B2

F2

A1

O

A2

x

B1
b
y=-

a

x

.N

x2 y2
 2  1, c2  a2 b2
2
a b
- Tiêu điểm F1  c ;0  , F2 c ;0 
- Phương trình chính tắc:

- Đỉnh trên trục thực A1  a ;0  , A2 a ;0  .
c
a

et

- Tâm sai: e 

a
e
- Điều kiện tiếp xúc của (H) và  : Ax  By  C  0 là: A2a 2  B 2b 2  C 2
5. Parabol.

- Phương trình đường chuẩn: x  

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

14

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
www.dethithu.net

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

y

B2
F2
O

x

T
De

- Phương trình chính tắc: y 2  2px
p 
-Tiêu điểm F  ;0 
2 
p
2
- Điều kiện tiếp xúc của (P) và  : Ax  By  C  0 là: 2AC  B 2 p

- Phương trình đường chuẩn x  

et

.N

hu

hiT

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

15


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ơn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

J. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
I . CÁC HÌNH CƠ BẢN
1/ Hình chóp
a/ Hình chóp thường:
S

S

T
De
A

B

D

A

C

B

Hình chóp tam giác S.ABC
(Tứ diện S.ABC)

C
Hình chóp tứ giác S.ABCD

hiT

b/ Hình chóp đều :
* Hình chóp tam giác đều (Tứ diện đều)
S

I
B

hu

C

A

*Tính chất:
-Đáy là tam giác đều
-Tất cả các cạnh bên bằng nhau
-Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
-Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là trọng tâm  ABC)

-Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
-Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
*Chú ý:

canh 2  3

4
canh  3
-Đường cao  đều: h 
2
-Diện tích

đều

:

S

.N

* Hình chóp tứ giác đều

et

*Tính chất:
-Đáy là hình vuông
-Tất cả các cạnh bên bằng nhau
-Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
-Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là giao điểm 2
đường chéo)

-Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
-Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
*Chú ý:
-Diện tích hình vuông : S=Cạnh2
-Đường chéo hình vuông: = cạnh  2

Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

16


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ơn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

2/ Hình lăng trụ

T
De

Lăng trụ thường

Lăng trụ đứng

Hình lập phương

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

hiT

1/ Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), ta làm như sau:
*CÁCH 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với HAI đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(α)
d  a

 d  ( )
d  b
a , b  ( )


.N

hu

*CÁCH 2: Sử dụng đònh lí:’’Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũn g vuông góc với mặt phẳng kia’’
( )  (  )
d  ( )

 d  ( )

c  ( )  (  )
d  c

et

*CÁCH 3: Sử dụng đònh lí:’’Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với mp thứ 3 thì giao tuyến của chúng
cũng sẽ vuông góc với mp đó’’.
( )  ( )

 c  ( )
(  )  ( )
c  ( )  (  )

2/ Phương pháp chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một
mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
d  ( )
d a

a  ( )
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

17


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ơn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

3/ Phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.
d  ( )
 ( )  (  )

d  (  )
III. CÁC VẤN ĐỀ VỀ GÓC

T
De

1/ Góc giữa hai đường thẳng
Đònh nghóa: Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ nào
đó cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b.
a’

a

b’

hiT

b
(a
, b )  (a

', b ')

2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) là góc giữa chính đường thẳng a và hình
chiếu của nó lên mặt phẳng ( )
b) Phương pháp thực hiện.

.N

hu

*PP: Gọi  là góc cần tìm.
-B1: Tìm giao điểm O của a và ( )
-B2: Tìm đường vuông góc từ đường thẳng a xuống
mặt phẳng ( )
-B3:  OH là hình chiếu của a lên ( )
Vậy   (a
,OH )

et

3/ Góc giữa 2 mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với GIAO
TUYẾN của hai mặt phẳng đó.
b) Phương pháp.
*PP: Gọi  là góc cần tìm
-B1: Xác đònh giao tuyến c của ( ) và (  )
-B2: Tìm đường vuông góc với một trong hai mặt phẳng.
-B3: Từ chân đường vuông góc, hạ đt vuông góc với gt c tại H.
-B4: Chứng minh đt hạ từ đỉnh đường vuông góc xuống H vuông góc

với gt c.
Suy ra góc  .
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

18


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ơn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

IV. CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mp

T
De

Qua A
Để xác đònh khoảng cách từ điểm A đến mp ( ) ,ta tìm một đt thỏa: a : 
  ( ) tại H
Khi đó : AH là khoảng cách cần tìm
*Lưu ý:
Nếu AB cắt ( ) tại I thì

d ( A, ( )) IA

d ( B, ( )) IB

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đt đến
mp

hiT

AB  ( )  d (AB , ( ))  IH , I  AB

3. Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mp này đến mp kia
( )  (  )  d (( ), (  ))  d (A, (  )), A  ( )
 d (B , ( )), B  (  )

hu

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nhắc lại: Đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau a, b là đt cắt a, b và đồng thời vuông góc với
2 đt đó.
*TH1: a, b chéo nhau và a  b . Khi đó:
PP:

et

.N

 Chứa b
-B1: Tìm mp ( ) 
  a tại A

-B2: Từ A kẻ AB  b tại B
 AB là đoạn vuông góc chung của
a và b
Vậy d (a , b )  AB

Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

19


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ơn Thi.C p nh t m i ngày!
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

www.dethithu.net

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

*TH2: a, b chéo nhau đồng thời có mp ( ) chứa b và song song với a

T
De

PP:
-B1: Lấy M  a ,kẻ MH  ( ) tại H
-B2: Từ H dựng a '  a , cắt b tại B
-B3: Từ B dựng đt  MH cắt a tại A

 AB là đoạn vuông góc chung
Vậy d (a, b)  AB  MH  d ( M , ( ))

*TH3: Trường hợp tổng quát

hiT

hu

PP
- Dựng mp ( ) vuông góc với a tại O. Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên ( )
- Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b’. Từ H dựng đt song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đt song song với OH, cắt a tại A
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung
d(a,b) = AB = OH
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ:
Shình vuông = cạnh 2

Shìnhtròn= R 2

Đường chéo hình vuông = cạnh . 2

góc vuông)
Diện tích tam giác đều =

1
a . b (a, b là 2 cạnh
2

canh 2  3

4

Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Thể tích khối chóp V =

1
(Sđáy  cao)
3

et

1
Diện tích tam giác thường = (cạnh đáy.đường cao)
2

Diện tích tam giác thường =

.N

Diện tích hì nh chữ nhật = dài . rộng

Thể tích khối lăng trụ V = Sđáy  cao

4
Thể tích khối cầu V= R 3
3

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

20


Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

www.dethithu.net

Diện tích mặt cầu S= 4R 2

canh  3
Đường cao tam giác đều =
2
1
Shình thang = (đáy nhỏ + đáy lớn)  cao
2

Tam giác ABC vng tại A:

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

Thể tích khối nón V=

1
1
1


2

2
AH
AB AC 2

1
1
(Sđáy  cao)= R 2h
3
3

Thể tích khối trụ V= Sđáy  cao = R 2h

T
De

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

et

.N

hu

hiT
Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

21

www.dethithu.net

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

K. SỐ PHỨC
1. Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan

T
De

Định nghĩa :
Số phức là một biểu thức có dạng a  bi ; trong đó a , b   và i 2  1 .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là  .
 Nếu z  a  bi thì a gọi là phần thực và b là phần ảo của số phức z .
 z gọi là số thực kh i a  0
 z gọi là số thuần ảo khi b  0
Các khái niệm liên quan :
Cho số phức z  a  bi . Khi đó :
 Mỗi s ố phức z  a  bi được biểu diễn bởi một điểm M a ;b  trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

 z  OM  a 2  b 2 gọi là mođun của số phức z .


hiT

Số phức z  a  bi gọi là số phức liên hợp của số phức z .

Hai số phức bằng nhau :
Cho số phức z  a  bi và z   a   b i . Khi đó:

a  a 
z  z  
b  b 

2. Các phép toán trên tập hợp số phức
Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

hu

a  bi   c  di   a  c   b  d  i
a  bi   c  di   a  c   b  d  i
a  bi c  di   ac  bd   ad  bc  i

Phép chia hai số phức :
z  z .z

z  0  .
z z .z
Số phức nghịch đảo của z  z  0  : z 1 
3. Phương trình bậc hai

1
z

et

.N

Chú ý :
 Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọ n biểu thức đại số thông thường
với chú ý rằng i 2  1 .
 Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.
 Cho z  a  bi . Khi đó : z .z  a 2  b 2 .

Căn bậc hai của số thực âm :
Cho a là số thực âm. Khi đó a có hai căn bậc hai là : i a và i a .
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

Www.DeThiThu.Net

Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

22


www.dethithu.net

Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng

Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm

Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực :

az

2

 bz  c  0;a , b , c  ;a  0  .

Tính   b 2  4ac .
Kết luận :


T
De



b  
.
2a
b
Nếu   0 thì phương trình có một nghiệm kép thực z1  z 2 
.
2a
Nếu   0 thì  có hai căn bậc hai là i  và i  . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức

Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1,2 



phân biệt là z1 

4

b  i 

2a
Dạng lượng giác của số phức

và z 2 

b  i 
2a

.

4.1 Dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0) là:

+   (Ox ,OM )

hu

hiT


r  a 2  b 2

a

z = r (cos   i sin  )  cos  
r

b

sin   r
+  là một acgumen của z.

4.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos   i sin  ) , z '  r '(cos  ' i sin  ') thì :

.N

a) z .z '  r .r '[cos(   ')  i sin(   ') ]
z r
b)
 [cos(   ')  i sin(   ')]
z' r'
4.3 Công thức Moa-vrơ : n  N * thì [r (cos   i sin  )]n  r n (cos n  i sin n )
4.4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Căn bậc hai của số phức z = r(cos   i sin  ) (r > 0) là : r (cos





 i sin )  r [cos(   )  i sin(   )]
2
2
2
2

et

và r (cos



 i sin )
2
2

Tham gia ngay! Group: ƠN THI ĐH TỐN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung

Www.DeThiThu.Net

23