một số vấn đề về tập sinh cực tiểu của đại số đa thức bốn biến như modun steenrod

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN HỒNG NGUYÊN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP SINH CỰC
TIỂU CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC BỐN BIẾN
NHƯ MÔĐUN STEENROD

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN HỒNG NGUYÊN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP SINH CỰC
TIỂU CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC BỐN
BIẾN NHƯ MÔĐUN STEENROD

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số : 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN SUM

Bình Định - Năm 2013

1

Mục lục
Mục lục

1

MỞ ĐẦU

2

1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường F2 . . . . . . . . . .

8

2 Một số vấn đề cơ bản về bài toán hit đối với đại số Steenrod 9
2.1

Hàm β và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Đơn thức chấp nhận được và các tính chất

. . . . . . . . . .

10

2.3

Toán tử squaring của Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

9

3 Cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức bốn biến tại các bậc

n thỏa mãn α(n + β(n)) = 1
17

3.1 Các đơn thức không chấp nhận được của P4 tại bậc 2s+1 − 3 . 17
3.2 Các đơn thức không chấp nhận được của P4 tại bậc 2s+1 − 2 . 28
3.3 Các đơn thức không chấp nhận được của P4 tại bậc 2s+1 − 1 . 39
KẾT LUẬN

63

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

64

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN

65


2

Mở đầu
Kí hiệu Pk = F2 [x1 , x2 , . . . , xk ] là đại số trên trường nguyên tố F2 có hai
phần tử với k biến x1 , x2 , . . . , xk mỗi biến có bậc 1. Đại số này là một môđun
trên đại số Steenrod modulo 2, A. Tác động của A trên Pk được xác định
tường minh bởi công thức

 xj
i
Sq (xj ) = x2j

0
và công thức Cartan Sq n (f g) =

n

nếu i = 0,
nếu i = 1,
nếu i > 1,

Sq i (f )Sq n−i (g) với f, g ∈ Pk (xem

i=0

Steenrod-Epstein [5]).
Một đa thức f trong Pk được gọi là hit nếu có thể biểu diễn f dưới dạng

Sq i (fi ), với các đa thức fi ∈ Pk , i ∈ N.

tổng hữu hạn f =
i>0

Một trong những bài toán được quan tâm bởi nhiều tác giả nghiên cứu
về Tôpô Đại số là xác định tập sinh cực tiểu của Pk được xét như một
môđun trên đại số Steenrod modulo 2, A. Bài toán này được gọi là bài
toán hit đối với đại số Steenrod. Nếu xét F2 như một A-môđun tầm thường
thì bài toán hit tương đương với việc xác định một cơ sở của không gian
vectơ QPk = F2 ⊗A Pk trên F2 . Bài toán này được nghiên cứu đầu tiên bởi
Peterson [3], Singer [4], Wood [9], những người đã chỉ ra mối quan hệ của
bài toán hit với một số bài toán cổ điển trong lý thuyết đồng biên (bordism)
của các đa tạp, lý thuyết biểu diễn modulo của các nhóm tuyến tính, dãy
phổ Adams đối với đồng luân ổn định của mặt cầu.
Trong [3], Peterson đã đưa ra giả thuyết rằng, như một môđun trên đại

số Steenrod A, đại số đa thức Pk được sinh bởi các đơn thức bậc n thỏa


3
mãn α(n + k)

k , trong đó α(n) là số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân
của n và chứng minh giả thuyết này với k 2. Vào năm 1989, Wood [9] đã
chứng minh giả thuyết này trong trường hợp tổng quát. Đây là một công cụ
có hiệu quả đối với bài toán xác định tập sinh cực tiểu của A-môđun Pk .
Kí hiệu GLk = GL(k, F2 ) là nhóm tuyến tính tổng quát trên trường F2 .
Nhóm này tác động thông thường trên đại số đa thức Pk . Khi đó Pk là GLk môđun. Các tác động của A và GLk giao hoán nhau nên đại số các bất biến

PkGLk của Pk đối với GLk là A-môđun con của Pk .
Một trong những công cụ chính để nghiên cứu bài toán hit là đối ngẫu
của toán tử Squaring của Kameko

Sq∗0 : (F2 ⊗ Pk )n −→ (F2 ⊗ Pk ) n−k ,
A

A

2

k sao cho n − k là số chẵn. Kameko đã chỉ ra trong [2]
rằng nếu β(n) = k thì Sq∗0 là một đẳng cấu của F2 -không gian vectơ, trong
đó
β(n) = min{m ∈ Z : α(n + m) m}.
xác định với mọi n

Từ kết quả này của Kameko và định lý của Wood, bài toán hit được rút gọn
về việc tính toán tại những bậc n thỏa mãn β(n) < k .
Không gian vectơ QPk đã được tính toán tường minh bởi Peterson [3] với

k = 2, Kameko [2] với k = 3. Trường hợp k = 4 đã được tính toán chi tiết
trong công trình chưa công bố Sum [6] với k = 4. Gần đây các kết quả chính
với k = 4 đã công bố trong Sum [8].
Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu và trình bày lại các kết quả trong
Kameko [2] và Sum [7] về các tính toán tường minh cơ sở chấp nhận được
của đại số đa thức 4 biến tại các bậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = 1.
Tức là tại các n có dạng:
1) n = 2s+1 − 3;
2) n = 2s+1 − 2;
3) n = 2s+1 − 1,
trong đó s là số nguyên dương.


4
Nội dung chính của luận văn được chia làm 3 chương.
Chương 1. Chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả cần thiết
về đại số trên một trường, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun
của đại số đa thức trên đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trên
trường nguyên tố có hai phần tử và tác động của nó trên đại số đa thức.
Chương 2. Trình bày chi tiết một số kết quả trong [1], [2] về hàm β , các
tính chất của đơn thức hit, đơn thức chấp nhận được trên Pk .
Chương 3. Trình bày lại các kết quả trong Kameko [2] và Sum [7] về các
tính toán tường minh cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức 4 biến tại các
bậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = 1. Tức là tại các n có dạng:
1) n = 2s+1 − 3;
2) n = 2s+1 − 2;

3) n = 2s+1 − 1,
trong đó s là số nguyên dương.
Luận văn này đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
PGS.TS. Nguyễn Sum. Chúng tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết
ơn sâu sắc đến Thầy. Qua đây, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy,
Cô giáo trong Khoa Toán, Phòng sau đại học của Trường Đại Học Quy Nhơn,
gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi học tập và
hoàn thành luận văn.
Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân có hạn nên luận văn
khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong được sự góp ý của quý
thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Bình Định, năm 2013


5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về đại
số trên một trường, đại số Steenrod trên trường nguyên tố có hai phần tử,
cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, nhóm tuyến tính
tổng quát trên trường nguyên tố có hai phần tử và tác động của nó trên đại
số đa thức.

1.1

Đại số

Định nghĩa 1.1.1. Một đại số trên trường K là tập hợp không rỗng A cùng

với ba phép toán, gồm :
(a) Phép cộng
+ : A × A −→ A,

(x, y) −→ x + y,
(b) Phép nhân
. : A × A −→ A,

(x, y) −→ xy,
(c) Phép nhân với vô hướng
. : K × A −→ A,

(α, x) −→ αx,
thỏa mãn những điều kiện sau đây:
(i) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành.


6
(ii) A cùng với hai phép toán cộng và nhân với vô hướng lập thành một
không gian vectơ trên K.
(iii) Hai cấu trúc vành và không gian vectơ ở trên ràng buộc nhau bởi
điều kiện α(xy) = (αx)y = x(αy), với mỗi α ∈ K, x, y ∈ A.
Nói cách khác, A là một đại số trên K nếu nó vừa là một vành vừa là
không gian véctơ trên K, trong đó phép cộng của vành A trùng với phép
cộng trong không gian vectơ A, còn phép nhân của vành A liên hệ với phép
nhân với vô hướng trong không gian vectơ A bởi công thức trong (iii).
Ví dụ 1.1.2. Vành đa thức K[x1 , x2 , . . . , xn ] hệ số trên trường K với các
biến x1 , x2 , . . . , xn là một đại số trên K.
Ví dụ 1.1.3. Tập hợp M (n, K) các ma trận vuông cấp n với các phần tử
trong K, lập nên một đại số trên trường K đối với các phép toán thông thường

trên ma trận.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A là một đại số trên K. Một tập con của A được
gọi là một đại số con nếu nó vừa là một vành con vừa là một không gian
vectơ con của A.
Định nghĩa 1.1.5. Cho tập con M ⊂ A. Giao của tất cả các đại số con của

A chứa M được gọi là đại số con sinh bởi M. đó chính là đại số con nhỏ nhất
của A chứa M.
Định nghĩa 1.1.6. Tập con N ⊂ A được gọi là một iđêan của đại số A nếu
nó vừa là một iđêan của vành A vừa là một không gian vectơ con của A. Khi
đó có thể định nghĩa đại số thương A/N theo cách thông thường.
Định nghĩa 1.1.7. Đại số thương A/N với các phép toán sau đây, trên tập
các lớp ghép của N trong A :

(x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N,
(x + N ).(y + N ) = (xy) + N,
α(x + N ) = (αx) + N,
trong đó x, y ∈ A, α ∈ K.


7
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử A, B là các đại số trên K, ánh xạ ϕ : A → B
được gọi là một đồng cấu đại số nếu nó vừa là một đồng cấu vành vừa là
một đồng cấu K-không gian vectơ.
đồng cấu ϕ gọi là đơn cấu (toàn cấu; đẳng cấu) nếu ϕ là đơn ánh (toàn
ánh; song ánh).
Định nghĩa 1.1.9. Số chiều của không gian vectơ A trên K được định nghĩa
là số chiều của đại số A và vẫn được kí hiệu là dimK A.
Định nghĩa 1.1.10. Đại số A được gọi là tự do nếu A được sinh bởi một
tập hợp S ⊂ A và tập hợp tất cả các đơn thức {a1 .a2 . . . an | ai ∈ S, i =

1, 2, . . . , n, n

0} là độc lập tuyến tính trong A.

Nếu A được trang bị ba phép toán như nói ở định nghĩa 1.1.1 thỏa mãn
các điều kiện (i), (ii), (iii) loại trừ điều kiện về tính chất kết hợp của phép
nhân thì ta nói A là một đại số không kết hợp.

1.2

Đại số Steenrod

Trong phần này, chúng tôi trình bày sơ lược về cấu trúc đại số của đại
số Steenrod mod 2. Cấu trúc của đại số này được trình bày chi tiết trong
Steenrod và Epstein [5].
Kí hiệu A là đại số kết hợp, tự do trên trường F2 gồm 2 phần tử sinh bởi
tập hợp các kí hiệu Sq i bậc i, với i là số nguyên không âm. Gọi B là iđêan
của A sinh bởi tập tất cả các phần tử có dạng
[a/2]

Sq a Sq b −
j=0
n
k

b−1−j
Sq a+b−j Sq j , 0 < a < b và Sq 0 − 1,
a − 2j
n

k

= 0 nếu
n < k . Đại số thương A = A/B được gọi là đại số Steenrod mod 2. Kí hiệu
Sq i là lớp trong A có đại diện là Sq i . Khi đó trong đại số A có quan hệ
trong đó

là hệ số nhị thức được tính theo mod 2 và quy ước

[a/2]
a

b

Sq Sq =
j=0

b−1−j
Sq a+b−j Sq j , với 0 < a < b và Sq 0 = 1.
a − 2j


8
Các quan hệ trên gọi là quan hệ Adem của đại số Steenrod A. Các kí hiệu

Sq i gọi là toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i.
Nhắc lại rằng đại số đa thức Pk trên trường F2 là một môđun trên đại số
Steenrod A với tác động của A trên Pk được cho như trong phần mở đầu.
Kí hiệu A+ là iđêan của A sinh bởi tất cả các Sq i với i > 0 và A+ Pk là
tập hợp tất cả các đa thức hit trong Pk . Tức là các đa thức được biểu diễn

dưới dạng tổng i>0 Sq i (fi ), trong đó fi ∈ Pk và bằng 0 hầu hết trừ một số
hữu hạn.
i
Kí hiệu A+
s là không gian vectơ con của A sinh bởi tất cả các Sq với
0 < i < 2s và A+
s Pk là tập hợp tất cả các đa thức trong Pk được biểu diễn
dưới dạng tổng 0số nguyên dương cho trước.
1.3

Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường F2
Cho V là một không gian vectơ k chiều trên trường F2 . Kí hiệu GL(V )

là tập hợp tất cả tự đẳng cấu tuyến tính của V. Tập hợp GL(V ) cùng với
phép toán hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm các tự
đẳng cấu của V . Phần tử đơn vị của GL(V ) là ánh xạ đồng nhất idV . Phần
tử nghịch đảo của f ∈ GL(V ) là đẳng cấu ngược f −1 ∈ GL(V ).
Vì dimF2 V = k nên ta chọn một cơ sở cố định của F2 -không gian vectơ

V . Kí hiệu GLk = GL(k, F2 ) là nhóm gồm tất cả các ma trận vuông cấp k
khả nghịch với các hệ tử trong F2 . Nhóm này được gọi là nhóm tuyến tính
tổng quát trên trường F2 . Xét ánh xạ ϕ : GL(V ) −→ GLk đặt tương ứng
mỗi tự đẳng cấu tuyến tính f của V với một ma trận M (f ) của nó đối với
cơ sở đã chọn. Khi đó đồng cấu ϕ là đẳng cấu nhóm. Do đó ta có thể đồng
nhất nhóm GL(V ) với nhóm GLk .


9

Chương 2

Một số vấn đề cơ bản về bài toán hit
đối với đại số Steenrod
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản của hàm số học β ,một số kết quả về cơ sở chấp nhận được của đại
số đa thức được xét như môđun trên đại số Steenrod, bao gồm các kết quả
trong Kameko [2], Singer [4], Sum [7], Wood [9].
Trước tiên, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của hàm số học β
được trình bày trong Kameko [2] và Sum [7].

2.1

Hàm β và các tính chất

Định nghĩa 2.1.1. Với n là số nguyên dương,

α(n) = số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n.
β(n) = min{m ∈ Z | α(n + m)

m}.

Từ định nghĩa trên ta có
Mệnh đề 2.1.2. α(n + m)

m nếu và chỉ nếu β(n)

m.

Mệnh đề 2.1.3. Với mỗi số tự nhiên n ta có α(2n) = α(2n + 1) − 1.

Định lý 2.1.4 ([7]). Cho số nguyên dương n. Khi đó β(n) = s khi và chỉ
khi tồn tại các số nguyên dương d1 > d2 > . . . > ds−1

n = 2d1 + 2d2 + . . . + 2ds−1 + 2ds − s.
Từ định lý này ta thu được

ds sao cho


10
Hệ quả 2.1.5. Với mỗi số nguyên dương n, số n − β(n) là không âm và
chẵn.
Hệ quả 2.1.6. Cho n là số nguyên dương. Nếu β(n) = k thì β( n−k
2 )

2.2

k.

Đơn thức chấp nhận được và các tính chất

Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số kết quả
trong N.Sum [7], Singer [4] và Kameko [2] về đơn thức chấp nhận được và
đơn thức hit trong Pk .
Đặt x = xa11 xa22 . . . xakk là đơn thức trong Pk . Như trong Kameko [2],
chúng ta giả sử ma trận (εij (x)) tương ứng với đơn thức x, trong đó εij (x) =

αi−1 (aj ), là hệ số thứ (i − 1) trong khai triển nhị phân của aj với i = 1, 2, . . .
và j = 1, 2, . . . , k.
Từ đây về sau, nếu chúng ta nói M là một ma trận thì ta giả sử hệ số của

nó thuộc {0, 1} và số hệ số khác không của nó là hữu hạn. Nếu M = (εij ) là
một ma trận thì đơn thức x = xa11 xa22 . . . xakk tương ứng với M được xác định
bởi
aj =
2i−1 εij , j = 1, 2, . . . , k.
i 1

Định nghĩa 2.2.1. Cho x = xa11 xa22 . . . xakk là một đơn thức trong Pk . Định
nghĩa hai dãy tương đương với đơn thức x:

τ (x) = (τ1 (x), τ2 (x), . . . , τi (x), . . .),
σ(x) = (a1 , a2 , . . . , ak ),
k

trong đó τi (x) =

αi−1 (aj ), i = 1, 2, . . . .
j=1

Ta gọi τ (x) và σ(x) tương ứng là τ -vectơ và σ -vectơ của đơn thức x.
Ta đồng nhất một dãy hữu hạn các số nguyên (ξ1 , ξ2 , . . . , ξm ) với dãy vô
hạn (ξ1 , ξ2 , . . . , ξm , 0, 0, . . .). Xét quan hệ thứ tự từ điển

trên tập hợp các

số nguyên không âm. Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự trên tập các đơn
thức trong Pk như sau.


11

Định nghĩa 2.2.2. Cho x, y là các đơn thức trên Pk . Ta nói rằng x < y nếu
và chỉ nếu một trong các điều sau đúng:
(i) τ (x) < τ (y),
(ii) τ (x) = τ (y) và σ(x) < σ(y).
Để thuận tiện cho việc sử dụng, chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ
bản về tác động của các toán tử Steenrod trên đại số đa thức.
Mệnh đề 2.2.3. Cho f là một đa thức thuần nhất trong Pk . Khi đó ta có:
(i) Nếu i > deg f thì Sq i (f ) = 0. Nếu i = deg f thì Sq i (f ) = f 2 .
s

(ii) Nếu i không chia hết cho 2s thì Sq i (f 2 ) = 0.
s

s

(iii) Nếu i = r.2s thì Sq i (f 2 ) = (Sq r (f ))2 .
Định nghĩa 2.2.4. Một đơn thức x gọi là không chấp nhận được nếu tồn tại
các đơn thức y1 , y2 , . . . , yr sao cho

x = y1 + y2 + . . . + yr mod A+ Pk và yj < x, j = 1, 2, . . . , r.
Một đơn thức x được gọi là chấp nhận được nếu nó không phải là đơn
thức không chấp nhận được.
Như vậy, tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được trên Pk là một tập
sinh cực tiểu của Pk như môđun trên đại số Steenrod A.
Định nghĩa 2.2.5. Lấy M là một s × k -ma trận và x là đơn thức tương ứng
với M . Ma trận M được gọi là không chấp nhận được chặt nếu và chỉ nếu
tồn tại các đơn thức y1 , y2 , . . . , yr sao cho

γi Sq i (zi ), và yj < x, j = 1, 2, . . . , r,

x = y1 + y 2 + . . . + yr +
0
trong đó γi ∈ F2 , và zi ∈ Pk với 0 < i < 2s .
Nhận xét rằng, nếu đơn thức x là không chấp nhận được chặt thì x là
không chấp nhận được.
Với dãy số nguyên không âm τ = (τ1 ; τ2 ; . . . ; τm ), ta đặt
m

Lk (τ ) = Span x =

xa11 xa22

. . . xakk

2i−1 τi , τ (x) < τ .

∈ Pk ; deg x =
i=1

Nếu x là một đơn thức trong Pk và y là đơn thức trong Lk (τ (x)) thì y < x.


12
Mệnh đề 2.2.6. Giả sử M là một s × k -ma trận và x là đơn thức tương ứng
với M . Khi đó nếu tồn tại các đơn thức y1 , y2 , . . . , yr sao cho

γi Sq i (zi ) mod Lk (τ (x)),

x = y 1 + y2 + . . . + yr +

0
trong đó γi ∈ F2 , zi ∈ Pk với 0 < i < 2s và yj < x, j = 1, 2, . . . , r, thì ma
trận M là không chấp nhận được chặt.
Chú ý 2.2.7. Cho x là một đơn thức và ∆ = (δij ) là một s × k -ma trận.
Nếu có một số nguyên không âm r sao cho δij = εi+r,j (x) với 1

1

j

i

s và

k thì ta viết ∆ x.

Định lý sau là một trong những công cụ chính của chúng ta.
Định lý 2.2.8 (Kameko [2]). Cho x là một đơn thức và ∆ = (δij ) là một

s × k -ma trận. Nếu ma trận ∆ không chấp nhận được chặt và ∆ x thì x là
không chấp nhận được.
Định nghĩa 2.2.9. Cho x là một đơn thức và f, g là hai đa thức thuần nhất
cùng bậc trên Pk . Khi đó
(i) f ≡ g nếu và chỉ nếu f − g ∈ A+ Pk . Nếu f ≡ 0 thì f gọi là đa thức
hit.
(ii) x ≈ f nếu và chỉ nếu x − f ∈ A+ Pk + Lk (τ (x)).
Mệnh đề 2.2.10. Cho x, y là các đơn thức và f là một đa thức thuần nhất
trên Pk sao cho deg y = deg f và τi (x) = 0, với i > s > 0. Nếu y ≈ f thì
s

s

xy 2 ≈ xf 2 .
Định lý 2.2.11. Giả sử x, y, z là các đơn thức trong Pk sao cho τi (x) = 0,
với i > r > 0, τs (z) = 0 và τi (z) = 0, với i > s > 0. Khi đó
r

(i) Nếu z là đơn thức không chấp nhận được thì xz 2 cũng là đơn thức
không chấp nhận được.
r

(ii) Nếu z là đơn thức không chấp nhận được chặt thì xz 2 y 2
thức không chấp nhận được .

r+s

là đơn


13
Bổ đề 2.2.12. Cho M là một 2 × k -ma trận và x là đơn thức tương ứng với

M . Nếu τ1 (x) = 0, τ2 (x) > 0 hoặc τ1 (x) < k, τ2 (x) = k thì M là không chấp
nhận được chặt.
Từ Định lý 2.2.8 và Bổ đề 2.2.12, chúng ta dễ dàng có được
Mệnh đề 2.2.13. Cho x là một đơn thức chấp nhận được trên Pk . Khi đó
ta có
(i) Nếu có một chỉ số i0 sao cho τi0 (x) = 0 thì τi (x) = 0, với mọi i > i0 .
(ii) Nếu có một chỉ số i0 sao cho τi0 (x) < k thì τi (x) < k, với mọi i > i0 .

Để tiện cho sử dụng sau này, chúng ta đặt

Qk = Span{x = xa11 xa22 . . . xakk ; a1 a2 . . . ak = 0},
Rk = Span{x = xa11 xa22 . . . xakk ; a1 a2 . . . ak > 0}.
Dễ thấy rằng Qk và Rk là các A-môđun con của Pk . Hơn nữa, chúng ta
có mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 2.2.14. Chúng ta có một phân tích thành tổng trực tiếp của các
F2 -không gian vectơ
F2 ⊗ Pk = (F2 ⊗ Qk ) ⊕ (F2 ⊗ Rk ).
A

A

A

Từ mệnh đề này, nếu chúng ta biết tập tất cả các đơn thức chấp nhận
được của Pk−1 thì chúng ta dễ dàng xác định được một cơ sở của F2 ⊗ Qk . Vì
A

vậy, để xác định F2 ⊗ Pk , chúng ta chỉ cần xác định một cơ sở của F2 ⊗ Rk
A

A

là được.

2.3

Toán tử squaring của Kameko

Trong phần này, chúng tôi trình bày định nghĩa toán tử đối ngẫu của
toán tử squaring của Kameko và tính chất của nó. Chúng tôi cũng nhắc lại
các kết quả của Wood [9], Singer [4] mà sẽ được sử dụng trong chương sau.


14
Định nghĩa 2.3.1. Định nghĩa các đồng cấu φ, Sq∗0 : Pk → Pk xác định bởi

φ(x) = x1 x2 . . . xk x2 ,
y, nếu x = φ(y),
Sq∗0 (x) =
0, các trường hợp khác,
với mọi đơn thức x trong Pk .
Lưu ý rằng, Sq t Sq∗0 = Sq∗0 Sq 2t . Do đó, Sq∗0 cảm sinh một đồng cấu của
F2 -không gian vectơ

Sq∗0 : (F2 ⊗ Pk )n −→ (F2 ⊗ Pk ) n−k ,
A

A

2

k sao cho n − k là số chẵn. Nói chung, Sq 2t φ = φSq t . Tức là φ
không phải là đồng cấu A-môđun.
Tuy nhiên,trong một trường hợp riêng ta có kết quả sau.

với mọi n

Định lý 2.3.2 (Kameko [2]). Nếu β(n) = k thì Sq∗0 là một đẳng cấu không

gian vectơ và φ cảm sinh một nghịch đảo của nó.
Bây giờ chúng tôi nhắc lại tiêu chuẩn của Wood và của Singer về đơn
thức hit trong Pk .
Định lý 2.3.3. (Wood [9]) Cho x ∈ Pk , deg x = n. Nếu β(n) > τ1 (x) thì x
là hit.
Định nghĩa 2.3.4. Một đơn thức z = xb11 xb22 . . . xbkk , được gọi là spike nếu

bj = 2sj − 1 với sj là số nguyên không âm và j = 1, 2, . . . , k. Nếu z là spike
với s1 > s2 > . . . > sr−1
sr > 0 và sj = 0 với j > r thì nó được gọi là
spike cực tiểu.
Định lý 2.3.5. (Singer [4]) Giả sử x ∈ Pk là một đơn thức bậc n, trong đó

α(n + k)
là hit.

k và z là đơn thức spike cực tiểu bậc n. Nếu τ (x) < τ (z) thì x

Từ định lý này, chúng ta thấy rằng nếu z là đơn thức Spike cực tiểu thì

Lk (τ (z)) ⊂ A+ .Pk .


15
Chúng ta kết thúc chương này bằng việc định nghĩa một số đồng cấu Amođun từ P4 đến P3 và một số tự đồng cấu của P4 để sử dụng trong chương
sau.
Kí hiệu Vk là F2 - không gian vectơ con của Pk được sinh ra bởi x1 , x2 , . . . , xk .
Nếu ϕ : Vk → Vk là một đồng cấu của F2 - không gian vectơ thì tồn tại duy
nhất đồng cấu vành ϕ : Pk → Pk sao cho ϕ(xi ) = ϕ(xi ) với i = 1, 2, . . . , k .
Đồng cấu này cũng là một đồng cấu của A-mođun. Vì vậy, nó xác định một

đồng cấu của F2 -không gian vectơ ϕ : F2 ⊗ Pk → F2 ⊗ Pk .
A

A

Chú ý rằng nếu ϕ : Pk → Pk xác định một hoán vị của {x1 , x2 , . . . , xk }
thì nó biến các đơn thức thành các đơn thức và bảo toàn τ -dãy.
Đặc biệt, xét các A-đồng cấu f i , g j , 1

i

6, 1

P3 được xác định như bảng dưới đây.
x
x1
x2
f 1 (x)
x1
x1
f 2 (x)
x1
x2
f 3 (x)
x1
x2
f 4 (x)
x1
x2
f 5 (x)

x1
x2
f 6 (x)
x1
x2
g 1 (x)
x1 + x2
x1
g 2 (x)
x1 + x2
x1
g 3 (x)
x1 + x2
x3
g 4 (x)
x3
x1 + x2
h(x) x1 + x2 + x3
x1

j

4 và h từ P4 đến

x3 x4
x2 x3
x1 x3
x3 x1
x2 x3
x3 x2

x3 x3
x2 x3
x3 x2
x1 x2
x1 x2
x2 x3 .

Những đồng cấu này tạo ra các đồng cấu fi , gj và h của các F2 -không
gian véctơ từ F2 ⊗ P4 đến F2 ⊗ P3 .
A

A

Chúng ta sử dụng các đồng cấu trên và các kết quả trong Kameko [2] để
chứng minh một tập sinh của F2 ⊗ P4 là độc lập tuyến tính. Cụ thể hơn, để
A

chứng minh một tập con của F2 ⊗ P4 là độc lập tuyến tính, chúng ta xét một
A

quan hệ tuyến tính của các phần tử trong tập hợp con này với hệ số trong
F2 . Bằng cách sử dụng Định lý 2.3.5,chúng ta xác định được các ảnh của
quan hệ tuyến tính này dưới tác động của các đồng cấu fi , gj , h. Từ những


16
quan hệ này trong F2 ⊗ P3 và các kết quả trong Kameko [2].Chúng ta có thể
A

chỉ ra được tất cả các hệ số trong quan hệ tuyến tính đó bằng không.

Tiếp theo,xét các tự đồng cấu ϕi , i = 1, 2, 3, 4, của P4 được xác định
trong bảng dưới đây

x
ϕ1 (x)
ϕ2 (x)
ϕ3 (x)
ϕ4 (x)

x1
x2
x1
x1
x1 + x2

x2
x1
x3
x2
x2

x3 x4
x3 x4
x2 x4
x4 x3
x3 x4 .

Các tự đồng cấu này tạo ra các đẳng cấu ϕi , i = 1, 2, 3, 4, từ F2 -không
gian vectơ F2 ⊗ P4 đến chính nó.
A

Chú ý rằng các nhóm tuyến tính tổng quát GL4 (F2 ) thì được tạo ra bởi
các ϕi , i = 1, 2, 3, 4.
Để đơn giản, từ đây trở đi trong luận văn này, chúng ta biểu thị đơn thức

x = xa11 xa22 . . . xakk trong Pk bởi (a1 , a2 , . . . , ak ) và kí hiệu [x] = [a1 , a2 , . . . , ak ]
là lớp trong F2 ⊗ Pk tương ứng với đơn thức (a1 , a2 , . . . , ak ).
A


17

Chương 3

Cơ sở chấp nhận được của đại số đa
thức bốn biến tại các bậc n thỏa
mãn α(n + β(n)) = 1
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại các kết quả trong Kameko
[2] và Sum [7] về các tính toán tường minh cơ sở chấp nhận được của đại số
đa thức bốn biến tại các bậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = 1.Tức là
tại các n có dạng:
1) n = 2s+1 − 3;
2) n = 2s+1 − 2;
3) n = 2s+1 − 1,
trong đó s là số nguyên dương .

3.1

Các đơn thức không chấp nhận được của P4 tại bậc 2s+1 − 3

Trước tiên, chúng ta nhắc lại một kết quả trong Kameko [2] về số chiều
của F2 -không gian vectơ (F2 ⊗ P3 )2s+1 −3 .
A

Theo Kameko [2], dim(F2 ⊗ P3 )2s+1 −3 = 3 với một cơ sở được cho bởi các
A

lớp

vs,1 = [2s−1 − 1, 2s−1 − 1, 2s − 1],

vs,2 = [2s−1 − 1, 2s − 1, 2s−1 − 1],

vs,3 = [2s − 1, 2s−1 − 1, 2s−1 − 1].
Từ kết quả này và Mệnh đề 2.2.14,chúng ta dễ dàng có
Mệnh đề 3.1.1.


18
1. (F2 ⊗ P4 )1 là một F2 -không gian vectơ có số chiều bằng 4 với một cơ
A

sở bao gồm tất cả các lớp tương ứng với các đơn thức dưới đây:

a1,1 = (0, 0, 0, 1), a1,2 = (0, 0, 1, 0), a1,3 = (0, 1, 0, 0), a1,4 = (1, 0, 0, 0).
2. Với s

2, (F2 ⊗ Q4 )2s+1 −3 là một F2 -không gian vectơ có số chiều bằng
A

12 với một cơ sở bao gồm tất cả các lớp tương ứng với các đơn thức dưới đây:
as,1 = (0, 2s−1 − 1, 2s−1 − 1, 2s − 1), as,2 = (0, 2s−1 − 1, 2s − 1, 2s−1 − 1),
as,3 = (0, 2s − 1, 2s−1 − 1, 2s−1 − 1), as,4 = (2s−1 − 1, 0, 2s−1 − 1, 2s − 1),
as,5 = (2s−1 − 1, 0, 2s − 1, 2s−1 − 1), as,6 = (2s−1 − 1, 2s−1 − 1, 0, 2s − 1),
as,7 = (2s−1 − 1, 2s−1 − 1, 2s − 1, 0), as,8 = (2s−1 − 1, 2s − 1, 0, 2s−1 − 1),
as,9 = (2s−1 − 1, 2s − 1, 2s−1 − 1, 0), as,10 = (2s − 1, 0, 2s−1 − 1, 2s−1 − 1),
as,11 = (2s − 1, 2s−1 − 1, 0, 2s−1 − 1), as,12 = (2s − 1, 2s−1 − 1, 2s−1 − 1, 0).
Từ mệnh đề 2.2.14, Chúng ta chỉ cần xác định (F2 ⊗ R4 )2s+1 −3 .
A

Đặt µ1 (2) = 4, µ1 (3) = 15, µ1 (4) = 35 và µ1 (s) = 45 với s

5. Chúng

ta có định lý sau đây
Định lý 3.1.2. Với mọi số nguyên s

2, (F2 ⊗ R4 )2s+1 −3 là một F2 -không
A

gian vectơ có số chiều bằng µ1 (s) − 12 với một cơ sở bao gồm tất cả các lớp
tương ứng với các đơn thức dưới đây:
Với s = 2,

a2,13 = (1, 1, 1, 2), a2,14 = (1, 1, 2, 1), a2,15 = (1, 2, 1, 1).
Với s 3,
as,13 = (1, 2s−1 − 2, 2s−1 − 1, 2s − 1),
as,15 = (1, 2s−1 − 1, 2s−1 − 2, 2s − 1),
as,17 = (1, 2s − 1, 2s−1 − 2, 2s−1 − 1),
as,19 = (2s−1 − 1, 1, 2s−1 − 2, 2s − 1),

as,21 = (2s−1 − 1, 2s − 1, 1, 2s−1 − 2),
as,23 = (2s − 1, 1, 2s−1 − 1, 2s−1 − 2),
as,25 = (1, 2s−1 − 1, 2s−1 − 1, 2s − 2),
as,27 = (1, 2s − 2, 2s−1 − 1, 2s−1 − 1),
as,29 = (2s−1 − 1, 1, 2s − 2, 2s−1 − 1),
Với s = 3,

as,14
as,16
as,18
as,20
as,22
as,24
as,26
as,28
as,30

= (1, 2s−1 − 2, 2s − 1, 2s−1 − 1),
= (1, 2s−1 − 1, 2s − 1, 2s−1 − 2),
= (1, 2s − 1, 2s−1 − 1, 2s−1 − 2),
= (2s−1 − 1, 1, 2s − 1, 2s−1 − 2),
= (2s − 1, 1, 2s−1 − 2, 2s−1 − 1),
= (2s − 1, 2s−1 − 1, 1, 2s−1 − 2),
= (1, 2s−1 − 1, 2s − 2, 2s−1 − 1),
= (2s−1 − 1, 1, 2s−1 − 1, 2s − 2),
= (2s−1 − 1, 2s−1 − 1, 1, 2s − 2).

a3,31 = (3, 3, 5, 2),

a3,32 = (3, 5, 2, 3),

a3,34 = (3, 3, 3, 4),

a3,35 = (3, 3, 4, 3).

a3,33 = (3, 5, 3, 2),


19
Với s 4,
as,31 = (3, 2s−1 − 3, 2s−1 − 2, 2s − 1),
as,33 = (3, 2s − 1, 2s−1 − 3, 2s−1 − 2),
as,35 = (3, 2s−1 − 3, 2s−1 − 1, 2s − 2),
as,37 = (3, 2s−1 − 1, 2s−1 − 3, 2s − 2),
as,39 = (3, 2s−1 − 1, 2s − 3, 2s−1 − 2),
as,41 = (3, 2s − 3, 2s−1 − 1, 2s−1 − 2),
as,43 = (7, 2s − 5, 2s−1 − 3, 2s−1 − 2).
Với s = 4,

a4,44 = (7, 7, 9, 6),
Với s

as,32
as,34
as,36
as,38
as,40
as,42

= (3, 2s−1 − 3, 2s − 1, 2s−1 − 2),

= (2s − 1, 3, 2s−1 − 3, 2s−1 − 2),
= (3, 2s−1 − 3, 2s − 2, 2s−1 − 1),
= (2s−1 − 1, 3, 2s−1 − 3, 2s − 2),
= (3, 2s − 3, 2s−1 − 2, 2s−1 − 1),
= (2s−1 − 1, 3, 2s − 3, 2s−1 − 2),

a4,45 = (7, 7, 7, 8).

5,

as,44 = (7, 2s−1 − 5, 2s−1 − 3, 2s − 2),

as,45 = (7, 2s−1 − 5, 2s − 3, 2s−1 − 2).

Chúng ta chứng minh định lý này bằng cách chứng minh các mệnh đề
dưới đây.
Mệnh đề 3.1.3. Với s

2, F2 -không gian vectơ (F2 ⊗ R4 )2s+1 −3 thì được
A

sinh ra bởi µ1 (s) − 12 phần tử được liệt kê trong Định lý 3.1.2.
Mệnh đề này thì được chứng minh bằng việc kết hợp Định lý 2.2.8 và các
Bổ đề dưới đây.
Bổ đề 3.1.4. Một đơn thức x có bậc 2s+1 − 3 trong P4 là không hit nếu và
chỉ nếu

τ (x) = (3; 3; . . . ; 3; 1).
s − 1 lần

Chứng minh. Dễ thấy rằng mệnh đề thì đúng với s = 1. Giả sử s

2. Rõ
ràng, z = (2s −1, 2s−1 −1, 2s−1 −1, 0) là spike cực tiểu bậc 2s+1 −3 trong P4 và
τ (z) = (3; 3; . . . ; 3; 1). Do 2s+1 − 3 là số lẻ, suy ra τ1 (x) = 1 hoặc τ1 (x) = 3.
s − 1 lần

Nếu τ1 (x) = 1 thì τ (x) < τ (z). Theo Định lý 2.3.5 thì x là hit. Điều này là
mâu thuẫn với x là chấp nhận được. Vì vậy, chúng ta có τ1 (x) = 3. Sử dụng
Mệnh đề 2.2.13 và Định lý 2.3.5, chúng ta được τi (x) = 3, i = 1, 2, . . . , s − 1.


20
Từ điều này,ta có

2s+1 − 3 = deg x =

2i−1 τi (x) = 3(2s−1 − 1) +
i 1

2i−1 τi (x).
i s

Cuối cùng ta được τs (x) = 1 và τi (x) = 0 với i > s. Bổ đề được chứng
minh.
Từ Bổ đề này, ta có thể tìm hiểu các đơn thức có liên quan đến các τ -dãy

(3; 3; . . . ; 3; 1).
s − 1 lần

Bổ đề 3.1.5. Các ma trận dưới đây là không chấp nhận được chặt

1 1 0 1
1 0 1 1
1 0 1 1
∆1 = 1 1 1 0 , ∆2 = 1 1 1 0 , ∆3 = 1 1 0 1 ,
0 1 1 1
0 1 1 1
0 1 1 1
∆4 = 1 1 1 0 , ∆5 = 1 1 0 1 , ∆6 = 1 0 1 1 .
Chứng minh. Các đơn thức tương ứng với 6 ma trận trong trên lần lượt là

(3, 3, 2, 1), (3, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 3), (2, 3, 3, 1), (2, 3, 1, 3), (2, 1, 3, 3).
Nếu x là một trong các đơn thức trên thì τ (x) = (3; 3) và có một A-đồng
cấu f : P4 → P4 xác định một hoán vị của {x1 , x2 , x3 , x4 } sao cho x =

f (3, 3, 2, 1).
Hơn nữa, f biến các đơn thức thành các đơn thức và bảo toàn các τ -dãy.
Bằng tính toán trực tiếp, chúng ta có
(3, 3, 2, 1) = Sq 1 (3, 3, 1, 1) + (4, 3, 1, 1) + (3, 4, 1, 1) + (3, 3, 1, 2).
Dễ thấy rằng

τ (4, 3, 1, 1) = τ (3, 4, 1, 1) = (3; 1; 1) < (3; 3),
τ (3, 3, 1, 2) = τ (3, 3, 2, 1) và σ(3, 3, 1, 2) < σ(3, 3, 2, 1).
Vì vậy, bổ đề được chứng minh .
Bổ đề 3.1.6. Các
1 1
∆7 = 1 1
1 1

ma trận dưới đây là không chấp nhận được
1 0
1 1 1 0
1 1
1 0 , ∆8 = 1 1 1 0 , ∆9 = 1 1
0 1
1 0 1 1
1 0

chặt
0 1
0 1 ,
1 1


21

∆10 =

1 1 1 0
1 1 1 0 , ∆11 =
0 1 1 1

1 1 0 1
1 1 0 1 , ∆12 =
0 1 1 1

1 0 1 1
1 0 1 1 .
0 1 1 1

Chứng minh. Các đơn thức tương ứng với 6 ma trận trong bổ đề lần lượt là

(7, 7, 3, 4), (7, 3, 7, 4), (7, 3, 4, 7), (3, 7, 7, 4), (3, 7, 4, 7), (3, 4, 7, 7).
Nếu x là một trong các đơn thức này thì τ (x) = (3; 3; 3) và có một Ađồng cấu g : P4 → P4 xác định một hoán vị của {x1 , x2 , x3 , x4 } sao cho

x = g(7, 7, 3, 4). Bằng tính toán trực tiếp, chúng ta có
(7, 7, 3, 4) ≡ (8, 7, 3, 3) + (7, 8, 3, 3) + (9, 7, 2, 3) + (7, 9, 2, 3) + (7, 7, 2, 5)
+ (8, 8, 2, 3) + (8, 7, 2, 4) + (7, 8, 2, 4).
Vì vậy, bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.1.7. Các ma trận dưới đây là không chấp nhận được chặt

∆13

0 1 1 1
= 1 0 0 0 ,

∆15


1
1
= 1
0

1
1
1
0

0
0
0
1


1
1
1 ,
0

1
∆14 = 1
0

1
1
∆16 = 
1
1
0

0 1 1
0 1 1 ,
1 0 0

1 1 0
1 1 0
1 1 0
.

1 1 0
0 0 1

Chứng minh. Các đơn thức tương ứng với các ma trận trên là

(2, 1, 1, 1), (3, 4, 3, 3), (7, 7, 8, 7), (15, 15, 15, 16).
Bằng tính toán trực tiếp, chúng ta có

(2, 1, 1, 1) = Sq 1 (1, 1, 1, 1) + (1, 2, 1, 1) + (1, 1, 2, 1) + (1, 1, 1, 2).
Từ đó τ (1, 2, 1, 1) = τ (1, 1, 2, 1) = τ (1, 1, 1, 2) = τ (2, 1, 1, 1) = (3; 1) và

σ(1, 2, 1, 1), σ(1, 1, 2, 1), σ(1, 1, 1, 2) < σ(2, 1, 1, 1), bổ đề thì đúng.
(3, 4, 3, 3) ≡ (3, 3, 4, 3) + (3, 3, 3, 4) + (1, 6, 3, 3) + (1, 3, 6, 3) + (1, 3, 3, 6).
Cho y là một đơn thức trong (P4 )13 . Nếu y là một đơn thức trong vế phải
của đẳng thức trên và y = (2, 3, 4, 4) thì τ (y) = τ (3, 4, 3, 3) = (3; 3; 1) và


22

σ(y) < σ(3, 4, 3, 3). Nếu y = (2, 3, 4, 4) thì τ (y) = (1; 2; 2) < (3; 3; 1). Do
đó, bổ đề thì đúng.
(7, 7, 8, 7) ≡ (7, 7, 7, 8) + (1, 7, 14, 7) + (1, 7, 7, 14) + (7, 1, 14, 7)
+ (7, 1, 7, 14) + (3, 5, 14, 7) + (3, 5, 7, 14)
Bằng cách sử dụng đẳng thức trên và lập luận tương tự như trên, thì chúng
ta thấy bổ đề đúng.
Bằng tính toán trực tiếp, chúng ta có

(15, 15, 15, 16) ≡ (1, 15, 30, 15) + (1, 15, 15, 30) + (15, 1, 15, 30)
+ (15, 15, 1, 30) + (3, 13, 15, 30) + (15, 3, 13, 30)
+ (3, 29, 14, 15) + (7, 13, 14, 27)

Cho y là một đơn thức trong (P4 )61 . Nếu y là một đơn thức trong vế phải
của đẳng thức trên thì τ (y) = τ (15, 15, 15, 16) = (3; 3; 3; 3; 1) và σ(y) <

σ(15, 15, 15, 16). Nếu y ∈ L4 (3; 3; 3; 3; 1) thì τ (y) < (3; 3; 3; 3; 1). Vì vậy
y < (15, 15, 15, 16) và bổ đề thì đúng.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh Mệnh đề 3.1.3 bằng việc sử dụng Định
lý 2.2.8, các Bổ đề 3.1.4, 3.1.5, 3.1.6, 3.1.7.
Chứng minh Mệnh đề 3.1.3 . Cho x là một đơn thức có bậc 2s+1 − 3 trong

P4 với τi (x) = 3, i = 1, 2, . . . , s − 1, τs (x) = 1, τi (x) = 0, i > s. Thì chúng ta
có thể viết x = zi y 2 với 1 i 4, trong đó
z1 = (0, 1, 1, 1), z2 = (1, 0, 1, 1), z3 = (1, 1, 0, 1), z4 = (1, 1, 1, 0),
và y là một đơn thức có bậc 2s − 3 với τi (y) = 3, i = 1, 2, . . . , s − 2, τs−1 (y) =

1, τi (y) = 0, i s.
Chúng ta chứng minh Mệnh đề này bằng cách chỉ ra rằng nếu x = as,j , 1
j µ1 (s) thì có một ma trận không chấp nhận được chặt ∆ sao cho ∆ x.
Chúng ta chứng minh quy nạp theo s. Trường hợp s = 2 là tầm thường.
Theo giả thiết quy nạp và Định lý 2.2.8, ta có kết luận cho các đơn thức
x = zi y 2 với y = as,j , 1 j µ1 (s).


23
Với s = 3, tính toán trực tiếp ta được
a3,1 = z1 a22,1 ,
a3,2 = z1 a22,2 ,
a3,3 = z1 a22,3 ,
a3,6 = z3 a22,6 ,
a3,7 = z4 a22,7 ,
a3,5 = z2 a22,5 ,

a3,9 = z4 a22,9 ,
a3,10 = z2 a22,10 , a3,11 = z3 a22,11 ,
a3,13 = z2 a22,1 , a3,14 = z2 a22,2 , a3,15 = z3 a22,1 ,
a3,17 = z3 a22,3 , a3,18 = z4 a22,3 , a3,19 = z3 a22,4 ,
a3,21 = z4 a22,8 , a3,22 = z3 a22,10 , a3,23 = z4 a22,10 ,
a3,25 = z4 a22,1 , a3,26 = z3 a22,2 , a3,27 = z2 a22,3 ,
a3,29 = z3 a22,5 , a3,30 = z4 a22,6 , a3,31 = z4 a22,14 ,
a3,33 = z4 a22,15 , a3,34 = z4 a22,13 , a3,35 = z3 a22,14 .

a3,4 = z2 a22,4 ,
a3,8 = z3 a22,8 ,
a3,12 = z4 a22,12 ,
a3,16 = z4 a22,2 ,
a3,20 = z4 a22,5 ,
a3,24 = z4 a22,11 ,
a3,28 = z4 a22,4 ,
a3,32 = z3 a22,15 ,

z3 a22,j , ∆2 z2 a22,j , ∆4 z1 a22,j với j = 7, 9, 12, 13;
z1 a22,j với j = 6, 8, 11, 14; ∆6 z1 a22,j với j = 4, 5, 10, 15;

Chúng ta có ∆1

∆3 z2 a22,j , ∆5
∆14 z2 a22,15 .
Từ các điều trên ,các Bổ đề 3.1.5 , 3.1.6, 3.1.7 và Định lý 2.2.8, chúng ta
thấy rằng nếu x = a3,j , 1 j 35 thì x là không chấp nhận được. Vì vậy,
trường hợp s = 3 là đúng.
Cho s = 4. Bằng tính toán trực tiếp chúng ta có được
a4,4 = z2 a23,4 ,

a4,3 = z1 a23,3 ,
a4,2 = z1 a23,2 ,
a4,1 = z1 a23,1 ,
a4,8 = z3 a23,8 ,
a4,7 = z4 a23,7 ,
a4,6 = z3 a23,6 ,
a4,5 = z2 a23,5 ,
a4,10 = z2 a23,10 , a4,11 = z3 a23,11 , a4,12 = z4 a23,12 ,
a4,9 = z4 a23,9 ,
a4,13 = z2 a23,1 , a4,14 = z2 a23,2 , a4,15 = z3 a23,1 , a4,16 = z4 a23,2 ,
a4,17 = z3 a23,3 , a4,18 = z4 a23,3 , a4,19 = z3 a23,4 , a4,20 = z4 a23,5 ,
a4,21 = z4 a23,8 , a4,22 = z3 a23,10 , a4,23 = z4 a23,10 , a4,24 = z4 a23,11 ,
a4,25 = z4 a23,1 , a4,26 = z3 a23,2 , a4,27 = z2 a23,3 , a4,28 = z4 a23,4 ,
a4,29 = z3 a23,5 , a4,30 = z4 a23,6 , a4,31 = z3 a23,13 , a4,32 = z4 a23,14 ,
a4,33 = z4 a23,17 , a4,34 = z4 a23,22 , a4,35 = z4 a23,13 , a4,36 = z3 a23,14 ,
a4,37 = z4 a23,15 , a4,38 = z4 a23,19 , a4,39 = z4 a23,26 , a4,40 = z3 a23,27 ,
a4,41 = z4 a23,27 , a4,42 = z4 a23,29 , a4,43 = z4 a23,32 , a4,44 = z4 a23,35 ,
a4,45 = z4 a23,34 .
Chúng ta cũng có ∆1 z3 a23,j , ∆2 z2 a23,j , ∆4 z1 a23,j với j = 7, 9, 12,
16, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 28, 30, 31, 33, 34; ∆3 z2 a23,j , ∆5 z1 a23,j với j =
6, 8, 11, 15, 17, 19, 22, 26, 29, 32, 35; ∆6 z1 a23,j với j = 4, 5, 10, 13, 14,
27; ∆7 z4 a23,j với j = 21, 24, 30, 31; ∆8 z4 a23,j với j = 20, 23, 28, 33;
∆9 z3 a23,j với j = 19, 22, 29, 32; ∆10 z4 a23,j với j = 16, 18, 25; ∆11 z3 a23,j
với j = 15, 17, 26; ∆12 z2 a23,j với j = 13, 14, 27; ∆15 z3 a23,25 . Từ những