Bài giảng điều khiển tự động chương 4 khảo sát tính ổn định của hệ thống

Chương 4

Khảo sát tính ổn định
của hệ thống
4.1_ Khái niệm tính ổn định
4.2_ Tiêu chuẩn ổn định đại số

(Routh, Hurwitz)
4.3_ Tiêu chuẩn ổn định tần số
(Nyquist, Bode)
4.4_ Phương pháp quỹ đạo nghiệm
10/31/2014

1


4.1 Khái niệm tính ổn định



Ổn định là yêu cầu cơ bản của hệ thống ĐKTĐ.
Ổn định BIBO: (Bound Input- Bound Output, vào chặn ra chặn)
Hệ thống được gọi là ổn định BIBO nếu với tín hiệu vào hữu hạn
thì tín hiệu ra cũng hữu hạn. Tức là nếu |r(t)|< thì |y(t)|< .
Ví dụ: hệ ổn định BIBO  với r(t) = 1(t) thì y() = const.

r(t)

Hệ ổn định
10/31/2014

Hệ thống

không ổn định

y(t)

giới hạn ổn định
2


4.1 Khái niệm tính ổn định


Ổn định tiệm cận (Lyapunov): Hệ ổn định tiệm cận nếu
như khi có nhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái
cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự quay về trạng thái
cân bằng ban đầu.

Hệ ổn định


không ổn định

giới hạn ổn định

Với hệ tuyến tính thì hai khái niệm ổn định nêu trên là
tương đương. Hệ tuyến tính đạt ổn định BIBO thì cũng
sẽ ổn định tiệm cận và ngược lại.

10/31/2014

3


4.1 Khái niệm tính ổn định


Xét hệ thống tuyến tính có PTVP:
dn y
dn1y
dmr
dm1r
an n  an1 n1  ...  a0 y(t)  bm m  bm1 m1  ...  b0r(t)
dt
dt
dt
dt
Đáp ứng của hệ cũng là nghiệm PTVP: y(t) = y0(t) + yqđ (t)
y0(t)_ là nghiệm riêng của PTVP.
yqđ(t)_ Là nghiệm tổng quát của PTVP khi vế phải bằng 0.
VD1, xét hệ có ptvp:

5y(t)  y(t)  2r (t)

Với r=1(t) thì y(t)= 2-2e-t/5 trong đó y0(t)=2 ; yqđ(t)=-2e-t/5
VD2, xét hệ có ptvp:

y(t )  2y(t)  5y(t)  5r (t)  5r (t)

y(t)= 1-e-tcos2t+2e-tsin2t = 1-(1/2+j)e(-1+2j)t - (1/2-j)e(-1-2j)t

Ta thấy nếu r(t) hữu hạn thì y0(t) cũng hữu hạn, nên:
Tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc thành phần quá độ yqđ(t).
10/31/2014

4


4.1 Khái niệm tính ổn định
n

Tổng quát:

y qñ (t )   Ciesit
i1

Ci _là hằng số phụ thuộc thông số của hệ và điều kiện đầu.
si _là nghiệm của phương trình đặc tính: ansn  an1sn1  ...  a0  0
si cũng gọi là cực của hệ thống.
si có thể là số thực (=i) hay số phức (=i ji)
Từ nhận xét nêu trên ta có thể định nghĩa cách khác về ổn định:
Một hệ thống tuyến tính được gọi là ổn định nếu quá trình quá
độ tắt dần theo thời gian. Hệ thống không ổn định nếu QTQĐ tăng
dần. Hệ thống ở giới hạn ổn định nếu QTQĐ không đổi hoặc dao
động với biên độ không đổi .

Hệ ổn định  lim y qñ (t)  lim
t 

10/31/2014

t 

n

sit
C
e
 i 0
i1

5


4.1 Khái niệm tính ổn định
Xét các trường hợp cụ thể, ta có:

Hệ ổn định

Không ổn định

Giới hạn ổn định

Kết luận: Tính ổn định của hệ phụ thuộc các nghiệm si của PTĐT.
- Hệ ổn định  Mọi si có phần thực<0  Mọi si là nghiệm trái.
- Hệ không ổn định   si có ph.thực>0   si là nghiệm phải.
- Hệ ở giới hạn ổn định   si có i = 0, các si còn lại có i <0.
  si nằm trên trục ảo , các nghiệm còn lại là nghiệm trái.
10/31/2014

6

4.1 Khái niệm tính ổn định
Ví dụ, xét hệ có hàm truyền:

2s  5
G(s) 
(s  8)(s 2  6s  13)

Phương trình đặc tính: (s  8)(s 2  6s  13)  0
PTĐT có 3 nghiệm: s1= -8 và s2,3= -3 2j
Cả 3 nghiệm đều có phần thực âm nên hệ thống ổn định.
Để tránh phải giải PTĐT, ta có các phương pháp
xét ổn định một cách gián tiếp, tiện dụng hơn. Đó là:
- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh, Hurwitz.

- Tiêu chuẩn ổn định tần số Nyquist, Bode.
- Phương pháp quỹ đạo nghiệm.
-…
10/31/2014

7


4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
- Tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số

của phương trình đặc tính để hệ thống ổn định.
- Áp dụng được cho cả hệ hở và hệ kín.
4.2.1 Điều kiện cần

ĐK cần để hệ ổn định là Tất cả các hệ số của PTĐT đều >0.
PTĐT: ansn + an-1sn-1 +…+a0=0  ĐK cần: a0,a1,…,an >0

Ví dụ, xét hệ có PTĐT:

s3  4s 2  5s  7  0

 Không ổn định vì hệ số a2<0

s 4  5s 2  6s  2  0

 Không ổn định vì hệ số a3=0

s 4  4s3  5s 2  6s  2  0  Chưa kết luận được,
mới thoả ĐK cần
10/31/2014

8


4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
4.2.2 Tiêu chuẩn Routh
n
n 1
a
s

a
s
 ...  a0  0

Xét hệ có phương trình đặc tính:
n
n 1
Lập bảng Routh gồm (n+1) hàng:

10/31/2014

9


4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
Phát biểu tiêu chuẩn Routh:
- Cần và đủ để hệ thống ổn định là các hệ số ở cột một
bảng Routh đều dương.
- Số lần đổi dấu ở cột một bằng số nghiệm của phương
trình đặc tính có phần thực dương (=số nghiệm phải).
Ví dụ 1. Xét ổn định hệ thống có PTĐT:

s 4  2s3  7s 2  4s  3  0

s5  4s 4  5s3  4s 2  7s  8  0

Ví dụ 2. Xét ổn định hệ có PTĐT:
Ví dụ 3. Xét hệ thống có sơ đồ khối:

r

y
K

G(s)

G(s) 

1
s(3s  2)(s 2  4s  1)

Hãy tìm khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định.
10/31/2014

10


4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
Giải. Phương trình đặc tính của hệ:
1  K.G(s)  0  1 

K
0
2
s(3s  2)(s  4s  1)

 s(3s3  14s 2  11s  2)  K  0
 3s 4  14s3  11s 2  2s  K  0
Bảng Routh:

3
14
74 / 7

11
2
K

74  49K
37

0

K
0
0

Điều kiện để hệ ổn định:

74  49K  0

K  0
74
 0K
49

K
10/31/2014

11


4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
Ví dụ 4. Xét hệ thống có sơ đồ khối:

r

KI
K P + +K Ds
s

16
s 2  12s  20

y

a) Cho KD=2; KP= 38. Tìm khoảng giá trị của KI để hệ thống
luôn ổn định.
b) Cho KD=2. Tìm biểu thức quan hệ giữa KP và KI để hệ thống
luôn ổn định.
Đáp số: (44)(628)  16K  0
I
 0  K I  1727

a)
b)
10/31/2014

K I  0
44(20  16K P )  16K I  0

K I  0

 0  K I  44K P  55

12


4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.3.1 Nguyên lý góc quay
Xét PTĐT bậc n có các nghiệm si ( i=1,2,…,n) :

A(s)  a n s n  a n 1s n 1  ...  a 0  0
Đa thức đặc tính: A(s)  a n (s  s1 )(s  s 2 )...(s  s n )
Thay s=j ta được đa thức đặc tính tần số:

A( j)  a n ( j  s1 )( j  s 2 )...( j  s n )
Biểu diễn trên mặt phẳng phức:

10/31/2014

13


4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.3.1 Nguyên lý góc quay (tt)
Dùng ký hiệu arg để chỉ góc quay, ta có:

 Nếu si là nghiệm trái

 arg ( j-si )=   Nếu si là nghiệm phải
-
 0 Nếu s ở trên trục ảo
i


Góc quay của A(j) = tổng góc quay của các véctơ (j-si).
Nếu PTĐT có m nghiệm phải và (n-m) nghiệm trái thì:
m



n m

 arg ( j-si )  -m

i 1 



 arg ( j-si )  (n-m) 

i 1 

n

 arg A( j)    arg ( j -si )  (n-2m) 


10/31/2014

i 1 

14

4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
Trong thực tế ta chỉ cần xét 
thay đổi từ 0 đến +. Khi đó:
m


i 1

n m


i 1


 arg ( j-si )  -m
2
0

 arg ( j-si )  (n-m)
2
0

Suy ra:

 arg A( j)  (n-2m)
0

10/31/2014



2

15


4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.3.2 Tiêu chuẩn Mikhailov (xem GT.ĐKTĐ trang 114)
4.3.3 Tiêu chuẩn Nyquist






Tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín hồi tiếp âm
(hình a) dựa vào biểu đồ Nyquist của hệ hở (hình b).
Tiện dụng vì đáp ứng tần số có thể thu được từ thực nghiệm.
Áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống có khâu trễ e-s .

R

G(s)

Y

H(s)
a) Hệ kín

G
G

Gk 

1  GH 1  G h
10/31/2014

R
Yht

G(s)

Y

H(s)
b) Hệ hở (vòng hở)

G h  GH
16


4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Phát biểu tiêu chuẩn:
 Hệ kín ổn định nếu hệ hở ổn định hay ở giới hạn ổn định và
đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0).
 Hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở
bao điểm (-1,j0) một góc bằng m theo chiều ngược kim đồng
hồ khi  thay đổi từ 0 đến ; trong đó m là số nghiệm của PTĐT
có phần thực dương (nghiệm phải).
 Hệ kín ở giới hạn ổn định
nếu đường Nyquist hệ hở
đi qua điểm (-1,j0) .

Chứng minh:
Ứng dụng nguyên lý góc quay.
(xem GT. ĐKTĐ trang 116-117)
10/31/2014

17


4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Chú ý:
1) Góc bao điểm (-1,j0) của đường
Nyquist cũng chính là tổng góc
quay của vectơ 1+G(j).
2) Đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)
 Tổng góc quay của véctơ 1+G(j) bằng 0.
- A->B : 1+G(j) quay -1
- B->C:
quay +1
- C->D:
quay +2
- D->O:
quay -2
 Tổng góc quay bằng 0
 Không bao (-1,j0)
10/31/2014

18


4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Ví dụ:

Góc bao = ?

10/31/2014

19


4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Ví dụ 4.9. (trang 118)
Cho hệ hở có hàm truyền:

10
G(s) 
(s  3)(s  1, 24)5
và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên
cạnh. Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist xét
tính ổn định của hệ kín tương ứng.
Giải. PTĐT của hệ hở:

(s  3)(s  1, 24)5  0

- PTĐT có một nghiệm s=-3 và năm nghiệm s= -1,24
- Các nghiệm này đều là nghiệm thực, âm nên hệ hở ổn định.
- Hệ hở ổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)
nên hệ kín tương ứng cũng ổn định.
10/31/2014

20

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Ví dụ 4.10. Cho hệ hở có hàm truyền:

G(s) 

4
(0,8s  1)(s  1)3

và biểu đồ Nyquist hệ hở như
hình bên cạnh. Xét tính ổn
định của hệ kín tương ứng.
Giải. PTĐT của hệ hở:

(0,8s  1)(s  1)3  0

- PTĐT có ba nghiệm thực dương s=1 nên hệ hở không ổn định.
- Hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở bao điểm (-1,j0)
một góc là  (3) ngược kđh nên hệ kín không ổn định.

10/31/2014

21


4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist


Nếu hệ hở có khâu tích phân thì PTĐT hệ hở có nghiệm =0

(nằm trên trục ảo). Để áp dụng tiêu chuẩn Nyquist, ta vẽ thêm
một cung tròn (-./2) có bán kính vô cùng lớn, với  là số khâu
tích phân có trong hàm truyền hệ hở.

Ví dụ. Cho hệ hở có hàm truyền:

G(s) 

K
s(T1s  1)(T2s  1)

Tùy theo giá trị của tham số K
mà đường Nyquist có thể là một
trong 3 dạng như hình bên cạnh.
Đường 1: Hệ kín ổn định
Đường 2: Hệ kín ở giới hạn ổn định
Đường 3: Hệ kín không ổn định
10/31/2014

22


4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode
Mục đích: Đánh giá mức độ ổn định của hệ thống.
 Tần số cắt biên c là tần số tại đó A()=1, tức L()= 0 dB.
 Tần số cắt pha - là tần số tại đó ()= - =-180.

Độ dự trữ biên độ GM (Gain Margin) đặc trưng cho mức độ
tiếp cận giới hạn ổn định về phương diện biên độ.
GM  1/A( ) : không đơn vị, dùng với biểu đồ Nyquist.

GM  L( )

: đơn vị dB, dùng với biểu đồ Bode.

- Giá trị GM=1(không đơn vị) hoặc GM=0dB  giới hạn ổn định.
- Do A()= y0/r0 nên GM cũng thể hiện mức cho phép tăng hệ số
khuếch đại K mà hệ thống vẫn ổn định.
 Độ dự trữ pha PM (Phase Margin) đặc trưng cho mức độ tiếp
cận giới hạn ổn định về phương diện góc pha.

PM =180+ (c)
10/31/2014

23


4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode


Xác định GM và PM từ biểu đồ Nyquist
 Từ giao điểm giữa đường Nyquist và trục thực âm ta xác
định được A(-)=1/GM.


Từ giao điểm giữa đường Nyquist và đường tròn đơn vị ta
xác định được góc  = PM.



10/31/2014

Hệ bậc 1 & bậc 2 có
đường Nyquist không
cắt trục thực âm nên
GM=1/0=

24


4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode


Xác định GM và PM từ biểu đồ Bode

GM  L( )
26
-20

-80
-230

PM = 180+ (c)

10/31/2014

25