LÝ THUYẾT THÔNG TIN bài tập chương 2

Lý THUYẾT THÔNG TIN

Bài tập chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Giáo viên : Ngô Tứ Thành


1.Các kiến thức cần ôn lại:

1.1 Phương sai
1.2 Kì vọng
1.3 Xác suất có điều kiện
1.4 Một số phân phối ngẫu nhiên thông dụng
1.5 Hàm tự tương quan
1.6 Biến đổi Laplace, chuỗi Maclaranh


1.1 Kì vọng
Kỳ vọng toán học( giá trị trung bình) của đại
lượng ngẫu nhiênx(t) là hàm thời gian được
xác định như sau:
-Với biến liên tục:

mx (t ) = M [ x(t )] =

∞

∫ x.W ( x, t )dx.
1

−∞

-Với biến rời rạc:
∞
∞

mmxn ( t( )t )==MM[ x[ x( t( )t]) ]==∑ xxi ppi
∑ i i
xn
i =1
i =1


1.1Kỳ vọng
Tính chất của kỳ vọng:

M [ X + Y ] = M [ X ] + M [Y ]

M [ CX ] = C.M [ X ]

1.2Phương sai
Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên x(t) được
ký hiệu là D(t) được xác định như sau:


-Với biến liên tục:

D x (t ) = M [{x(t ) − mx (t )}2 ] =

+∞

2
[{
x
(
t
)
−
m
(
t
)}
].W1 ( x, t )dx
x
∫

−∞

-Với biến rời rạc:

Dx n

( t ) = M {[ x ( t ) − mx ( t ) ] 2 } = ∑ [ xi − mx ( i ) ] 2 pi
∞

i =1

Phương sai là một hàm theo thời gian biểu thị độ
lệch của các thể hiện đối với giá trị trung bình m(t)

1.3 Xác suất có điều kiện
Xác suất xảy ra biến cố A với điều kiện biến cố
B đã xảy ra được xác định:

P( A.B )
P( A / B ) =
P( B )
Từ công thức trên ta có công thức nhân xác
suất:
P(A.B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)


1.4 Một số hàm phân phối xác suất
thông dụng
Phân phối Poison:
Biến ngẫu nhiên x(t) có phân phối Poision với
tham số λ nếu hàm xác suất của nó có dạng:

λ t ) − λt
(
Pn (t ) =
e
n!
n

Phân phối đều:
Biến ngẫu nhiên X được gọi là phân bố đều trên
Đoạn (a,b) nếu nó có hàm mật độ:

 1

f ( x) =  b − a
 0

x ∈ [ a, b ]

x ∉ [ a, b ]

1.5 Hàm tự tương quan

Theo định nghĩa hàm tự tương quan được tính
bằng công thức:
∆

Rx ( t1 , t 2 ) = M { [ x( t1 ) − m( t1 ) ][ x( t 2 ) − m( t 2 ) ]}

= M { x( t1 ).x( t 2 )} − m( t1 ).m( t 2 )


Với quá trình có: m( x ) = M x ( t ) = const

→ Rx ( t1 , t 2 ) = M { x( t1 ).x ( t 2 ) } − m 2 ( t )
-Với tín hiệu liên tục ta có:

Rx ( t1 , t 2 ) =

∞ ∞

∫ ∫ x( t ).x( t ). p[ x( t ); x( t ) ] dx

1

2

1

2

t1

dxt 2 − m ( t )
2

− ∞− ∞

-Với tín hiệu rời rạc ta có:
n

m

[

]

Rx ( t1 , t 2 ) = ∑∑ xi ( t1 ).x j ( t 2 ). p xi ( t1 ) ; x j ( t 2 ) − m 2 ( t )
i =1 j =1


 Hàm tự tương quan chuẩn hoá
∆

rx ( t1 , t 2 ) =

Rx ( t1 , t 2 )
Rx ( t1 , t1 ).Rx ( t 2 , t 2 )

Với quá trình dừng

τ = t 2 − t1 ta có:

Rx (τ )
rx (τ ) =
Rx (0)
Hàm mật độ phổ:

rx ( t1 , t 2 )


 Thời gian tương quan được tính theo công thức:
∞

∞

Rx (τ )
1
1
τ k = ∫ | rx (τ ) |dτ = ∫ |
|dτ
2 −∞
2 −∞ Rx (0)

BÀI 2.2
x(t)

1

0

Hình 2.2


 Thời gian tương quan được tính theo công thức:
∞

∞

Rx (τ )
1
1
τ k = ∫ | rx (τ ) |dτ = ∫ |
|dτ
2 −∞
2 −∞ Rx (0)

BÀI 2.2
x(t)

1

0

Hình 2.2


Ta có: P (0) = P (1) = 1

2

2

m(t ) = ∑ xi P ( xi ) = 1.P (1) + 0.P (0) = 0.5
1

Áp dụng công thức hàm tương quan ta có:

R (τ ) = M  x(t ).x ( t + τ )  − m 2 (t )
Đặt

B (τ ) = M  x(t ).x ( t + τ ) 

B(τ ) = ∑ x( t ).x( t + τ ).P[ x( t ).x( t + τ ) ]


Ta có bảng trạng thái của

x (t ), x (t + τ )

x(t )

0

0

1

1

x(t + τ )

0

1

0

1

Thay x (t ), x (t + τ ) vào B (τ ) ta có:

B (τ ) = 1.1.P( xt = 1; xt +τ = 1) = P( xt = 1; xt +τ = 1)


P { xt = 1; xt +τ = 1} = P { xt = 1} .P

{

xt +τ = 1

= P { x = 1} . ∑ P (τ )
}

x =1
t

t

n=2 k

n

n
n
∞
∞


1 ( λτ ) −τλ 1 −τλ 1 ( λτ )
n ( λτ )
= ∑
.e = e . ∑
+ ∑ (−1) .

2 n=2 k n !
2
2  n=0 n ! n=0
n! 
n

∞

Chú ý :

→ B(τ ) = 0,25.e

xn
x
=e
∑
n=0 n !
− λτ

(e

λτ

+e

− λτ

) = 0,25(1 + e )

→ R(τ ) = B(τ ) − m ( t ) = 0,25.e
2

−2 λτ

−2 λt


Vậy hàm tự tương quan cần tìm là:

R(τ ) = 0,25.e

−2 λt

Hàm tự tương quan chuẩn hoá:

Rx (τ ) 0.25e −2λτ
rx (τ ) =
=
= e − 2 λτ
Rx ( 0 )
0.25


Thời gian tương quan:

τK

∞
∞
0
+∞

1
1 − 2λτ
1  2λτ
− 2 λτ
τ K = ∫ rx (τ ) dτ = ∫ e dτ =  ∫ e dτ + ∫ e dτ 
2 −∞
2 −∞

2  −∞
0


1
→τK =
2λ


BÀI 2.3:
- Kỳ vọng:

M { x ( t )} =

∞

∫ xW ( x)dx
1

−∞

Φ là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố đều
trong khoảng (-π,π) nên có hàm phân bố
Mật độ xác suất là:

 1
W1 (ϕ ) =  2π
 0

( ϕ ≤π )

ϕ >π

W1 ( ϕ )

−π

π

ϕ


Công thức hàm tương quan:

Rx (t1 , t2 ) = M { x(t1 ) − mx (t1 )} {x(t2 ) − mx (t 2 )}
= M {x(t1 ) x(t2 )} − m(t1 )m(t2 )

Trước tiên ta tính m(t)

m( t ) = M { x( t )} = M { A cos( 2πf ot + ϕ )} = AM { cos( 2πf ot + ϕ )}
∞

π

1
= A ∫ cos( 2πf ot + ϕ ).Wϕ .dϕ = A ∫ cos( 2πf ot + ϕ ). .dϕ = 0
2π
−∞
−π

→ R ( t1 ; t 2 ) = M { x( t1 ).x( t 2 ) }

M ( x ( t ).x ( t + τ ) )
= M { A. cos( 2πf 0t + ϕ ). A. cos( 2πf 0t + 2πf 0τ + ϕ )}
= A2 .M { cos( 2πf 0t + ϕ ). cos( 2πf 0t + 2πf 0τ + ϕ )}

A2
A2
= .M { cos( 2πf 0τ )} +
M { cos( 4πf 0t + 2πf 0τ + 2ϕ )
2
2


2

2 ∞

A
A
=
cos( 2πf 0τ ) +
2
2

∫ cos( 4πf t + 2πf τ + 2ϕ ).W (ϕ ).dϕ
0

0

−∞

2

2

π

2

2

π

A
A
1
=
cos( 2πf 0τ ) + . ∫ cos( 4πf 0t + 2πf 0τ + 2ϕ ). .dϕ
2
2 −π
2π
A
A
=
cos( 2πf 0τ ) + . ∫ cos( 4πf 0t + 2πf 0τ + 2ϕ ).dϕ
2
4π −π
2

A
=
cos( 2πf 0τ ) + 0
2


Vậy hàm tương quan cần tìm là:

1 2
R(τ ) = A cos( 2πf 0τ )
2


BÀI 2.4
Đây là một quá trình rời rạc x(t) nhận các giá trị
-a và a với xác suất như nhau:
P( x = + a ) = P( x = −a ) =

1
2

Do đó ta có:

2

1
1
M [ x( t ) ] = m( t ) = ∑ xi pi = a + ( − a ) = 0
2

2
i =1

→ R x (τ ) = M [ x ( t ) . x ( t + τ ) ] − m ( t ) = M [ x ( t ) . x ( t + τ ) ]
2

n

→ Rx (τ ) = ∑ xi ( t ).xi ( t + τ ). p{ xi ( t ) , xi ( t + τ )}
i =1


Các trạng thái có thể có của x tai thoi điểm ( t, t + τ )
Được thể hiện ơ bảng sau:
i

xi (t )

xi (t + τ )

1

a
-a

a
a

a
-a

-a
-a

2
3
4

→ R(τ ) = a.a. p( a, a ) + ( − a ) a. p( − a, a ) + a.( − a ) p( a,−a ) + ( − a )( − a ) p( − a,−a )
2

(*)

= a ( p ( a, a ) + p ( − a,− a ) ) − a ( p ( − a , a ) + p ( a,− a ) )
2


Ta thấy p(a,a) và p(-a,-a) đều là xác suất để x(t)
nhận các giá trị cùng dấu trong khoảng τ nên
trong khoảng τ phải có số chẵn lần bước
nhảy( n=2k):

xt +τ = a


p( a, a ) = p( − a,−a ) = P( xt = a).P

x
=
a

t



(
1
λτ ) −τλ
= ∑
e = 0,25 1 + e − 2 λτ
2 n = 2 k n!
n

(

)