Giáo trình lý thuyết đàn hồi phần 2

CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
§5.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢNCÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
5.1.1. Các phương trình cơ bản :
Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học
và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm :
- Sáu thành phần ứng suất : x, y, z, Txy, Tyz, Tzx.
- Ba thành phần chuyển vị : u, v, w.
- Sáu thành phần biến dạng : x, y, z, xy, yz, zx.
Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau :
1. Về mặt tĩnh học :
a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy:
Hệ (2.1)
2
 x Tyx Tzx
 u
 x  y  z  fx  0 (  t 2 ) ;

 Txy y Tzy
 2v


 fy  0 (  2 ) ;
(1)


x

y

z


t

 Txz Tyz z
2w


 fz  0 (  2 ) .

y
z
t
 x
b. Các phương trình điều kiện biên theo ứng suất: Hệ (2.3)
2. Về mặt hình học :
a. Hệ phương trình biến dạng Cauchy-Navier : Hệ (3.1)

u



 x x ;

v

 y  ;
y


w

;
 z 
z


v u
 ;
x y
w v
 yz 
 ;
y z
u w
 zx 

.
z x
 xy 

(2)

b. Các phương trình liên tục của biến dạng : Hệ (3.12) và (3.13).
3.Về mặt vật lý :
32


a. Biểu thức biến dạng biểu diễn qua ứng suất :
1
 x   ( y  z ) ;
E

1
y =  y   ( x  z) ;
E
1
z=  z   ( x  y ) ;
E

x 



 



 



 

2(1   )
1
Txy 
Txy ;
G
E
2(1   )
1
yz = Tyz 

Tyz ;
G
E
2(1   )
1
Tzx .
zx = Tzx 
G
E

xy =

(3a)

b. Biểu thức ứng suất biểu diễn qua biến dạng :
x =  + 2Gx ;
Txy = Gxy ;
y =  + 2Gy ;
Tyz = Gyz ;
z =  + 2Gz ;
Tzx = Gzx.
5.1.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :
* Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn
cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu
gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính.
Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán.
Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính.
1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm
ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba
hàm chuyển vị u, v, w.

2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩn
chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất.
3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán,
ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị
và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.
§5.2. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ
Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản :
5.2.1.Về mặt vật lý:
Từ định luật Hooke tổng quát :
x =  + 2Gx
Txy = Gxy
Tzx = Gzx

(a)

5.2.2. Về mặt hình học:
Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy :

33


u
;
x
yx = v  u ;
x y
zx = w  u ;
x z
u
u

Thay (b) vào (a) ta có : x =  + G
+G
x
x

x =

(b)

 v u 
 

x
y 

 w u 
Tzx = G 
 
 x z 
Tyx = G 

(c)

3.Về mặt tĩnh học:
Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy :

x Tyx Tzx
2u



 fx  0 ( 2 ) ;
x
y
z
t

(d)

Thay (c) vào (d) ta có:
2

2u
2u
2v
2u
2w
2u
  u
  G 2 G 2 G
G 2 G
 G 2  fx  0  2 
x
x
x
xy
y
xz
z
 t 

2
 2

2
2 
  u v w 
  u
   G 2  2  2 u  G   
  fx  0   t 2  (*)
x

x

y

z

x

x

y

z







2
2
2





Với 2 =
: Toán tử vi phân Laplace.
x 2 y 2 z 2

u v w
 
=x+y+z = : Biến dạng thể tích tương đối
x y z

(*)

( + G)


+ G2u + fx = 0
x

Tương tự

( + G)



+ G2v + fy = 0
y

( + G)


+ G2w + fz = 0
z














2
 u 
;
2
t 
2
 v 
;

2
t 
2
 w 
;
2
t 

(5.1)

34


Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê :
Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng nên hệ (5.1) vẫn chứa các hằng số LaMê  và G.
Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học
và vật lý. Giải (5.1) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo
phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định
luật Hooke.
4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là
hằng số ta có các hệ quả sau:
a. Hệ quả 1 : Đạo hàm các phương trình của hệ (5.1) lần lượt theo các
biến x, y, z ta có :
u
( + G) 2 + G x = 0 ;
x
v

( + G) 2 + G2 y = 0 ;

y
w

( + G) 2 + G2 z = 0 .
z
2

 

+

2

( + G). 2 + G2 = 0
 2 = 0
(5.2)
Do  tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có :
2S = 0
(5.3)
Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng
hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng
suất tổng là những hàm điều hòa.
b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.2) :
( + G)


+ G2u +fx = 0 (a)
x

Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt2 theo các biến x, y, z ta có :

3

( + G)
+

( + G)

 
3

x
3
 

2

 u

+ G x 2
2

2

u

+ G y 2 = 0 ;
xy
2
2

3

( + G)

=0;

 

2

 u

+ G z = 0 .
2
xz
 2
( + G).
  + G22u = 0 (b)
x
2

Theo hệ quả 1 ta có : 2 = 0 thay vào (b)

35


22u = 0
22v = 0
(5.4)
2 2

w=0
Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng
hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng
điều hòa.
c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng
nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện
cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã
nêu trên.
(b) 
Tương tự

5.3. GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT
Chọn các ứng suất x, y, z, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính.
I. Trường hợp các lực thể tích là hằng số:
1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke
y =
Có

1
 y  ( x 
E



 z)

(*)

S = x + y + z
1

(1  )y  S 
E
1
z = (1   )z  S 
E
2(1   )
1

(*) 

y =

Tương tự

yz =

G

Tyz =

E

(a)

Tyz

2. Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :


y   z   yz

2

z

2

2

y

2

2

yz

(b)

Thay (a) vào (b) ta có :
(1 + )



y -   S

2

z

2

2

z 2

+(1 + )



y -   S

2

y

2

2

2

y 2

= 2(1 + )

 Tyz
  2y  2z 
2S 2S 
(1 +)  2  2     2  2  = 2(1 + )

yz
y 
z 
 z
 y

 Tyz
yz

2



(c)

3. Về mặt tĩnh học : Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học
Navier- Cauchy.

36




 y

Tyx



Tyx Tzx

 x


 fx (1)
y
z
x
Tzy
 y Txy


 fy (2)

z
y
x
Tyz
 z Txz


 fz (3)

y
z
x

Tzx
 fx  0 ;
x
y

z
Txy  y Tzy


 fy  0 ;
x
y
z
Txz Tyz  z


 fz  0 ;
x
y
z














Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có :

2



2

z  

2

2

 Tzy
 y  Txy


2
zy
xy
y

+

2

 Tyz
yz





2

z

Txz
xz

2

  2y  2z     2Txy  2Txz 
 Tzy
 

 


 2
2
zy
z 2  x  y
z 
 y
Thay (1) vào (4) ta có :
2

(4) 










(4)



2
 2 y 2 z    x
 Tyz

 
2
 

 fx 
2
2
 y
yz

z  x  x




2
2
2
2
 Tyz  
y 
x 
z 
(d)
2



2
2
2
 y  z   x
y
 z 

Thay (d) vào (c) ta có :
  2 x  2 y  2 z  2 y  2 z 
  2S  2S 




    2  2   0
(1 + )  

x 2
y 2
z 2
z 2
 y 2 
z 

 y
  2x 2x 2x   2x 2x  2x    2x 2x  2x 
 (1 + )    2  2  2    2  2  2   2  2  2 
y
z   y
y
y   z
z
z 
  x
  2S  2S

-  
2
y 2
 z


 = 0


Trong đó : 2 =



2

x

2



(**)


2

y

2





2

z

2

S = x + y + z.

2
2

  2 S  2 S
 S  S
2
(**)  (1 + )    x  2  2     2  2   0
y
z 
y 

 z


2

 - (1 + )2x +

2

2

2

2

2

 S  S 
 S  S 

 S  S
 2 +  2  2    2  2  0
2
z 
y 
y
z
 y
 z

37


2

 - (1 + )2x +

2

2

2

 S  S  S  S
 2 + 2  2 = 0.
2
x
y
z
x

2

2

 (1 + ) x +

 S

2

2

 S = 0

Theo Hệ quả (1) ta có

2S = 0

x

2



(1 + )2x +
(1 + )2y +

 S
2

=0

2

=0

x
2
 S

y

(5.5)

2

2

(1 + ) z +

 S
2

=0

z
2
 S
2
(1 + ) Txy +

=0
xy
2

(1 + )2Tyz +

 S
=0
yz

(5.6)

2

 S
(1 + ) Tzx +
=0
xz
2

Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán đàn hồi
theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý
của môi trường. Giải (5.5) và (5.6) có được các ứng suất sau đó tìm các biến
dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến
dạng Cauchy.
Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi
II. Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các phương
trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 :
2

 fx fy fz 
x

2
;


 x y z 
x


2
y
   fx fy fz 
1  S
2

2
 y +
;



2


(1   ) y
1    x y z 
y
2

   fx fy fz 
1  S
z

2
2z +
;



2


(1   ) z
1    x y z 
z

2x +


1  S

2
(1   ) x
1 

(5.7)

(5.7) : Phương trình Beltrami-Michell.
* Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const.

38


Từ phương trình (5.5) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về tính
chất của các n0 ứng suất
Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.5) :
2

(1 + ) 2x +

 S
x

= 0 (1)

2

Lấy đạo hàm bậc 22 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có :


x

4

 S

(1 + )2 x 2 + 4
x
2

+

=0



x

 S



x

 S

4

(1 + )2 y 2 + 2 2 = 0
x y
2
2

4

(1 + ) z 2 + 2 2 = 0
x z
2

2

2

(1 + )   x +
2

 S
x

2

2S = 0 Theo hệ quả 1 2S = 0

2

Ta có :   x = 0.
Tương tự ta có : 4ij = 0.
ij gồm có (x, y, z, Txy, Tyz, Tzx).
 Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa).
Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà
kép.
 Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài
toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều
hòa kép:
4ij = 0 ; 4ui = 0 ; 4ij = 0.
(5.8)

5.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các
phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami

(5.5) và (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) khi giải theo ứng suất với các điều
kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học
nhưng phức tạp khi thực hiện.
2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển
vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện
biên (2.3) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho

39


trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm
chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được.
3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này
ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu
tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân
bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang
tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp
ngược.
4. Nguyên lý Saint-Venant :
Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều
kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh,
tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý
về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1
phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất
phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực.
Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại
chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng.
Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể
phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm
đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác

dụng của lực”.
Ví dụ :

F : Diện tích mặt cắt ngang.

5.5. ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT
ĐÀN HỒI
Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo
chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không. Có nghĩa ứng với tải trọng hay
chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển duy nhất
hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện đã cho.
40



* Nếu nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý thuyết
đàn hồi đã cho là đa trị.
* Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên
của vật và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán lý thuyết
đàn hồi là duy nhất.
Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi. Dưới tác



dụng của lực bề mặt f x , f y , f z . Lực thể tích fx, fy, fz đã cho. Giả thiết ta
nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau.
x, y, z, Txy, Tyz, Tzx
x, y, z, Txy, Tyz, Tzx
Cả hai hệ ứng suất này đều phải thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học
của Cauchy và điều kiện biên tĩnh học.

 x Tyx Tzx


 fx  0
x
y
z
*
 x* Tyx Tzx*


 f x*  0
(a)
x
y
z
...

f x = x.l + Tyx.m + Tzx.n


f x = x.l + Tyx.m + Tzx.n

(b)

...
Tương tự viết cho các phương trình còn lại. Trừ các phương trình
tương ứng cho nhau, ta nhận được hệ phương trình và điều kiện mới. Ví dụ
viết cho phương trình thứ nhất ta có :

 

( x  x )
x





(Txy – Tyx) + (Tzx - Tzx)= 0
z
y

(x - x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 (c)
Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có thể xem các ứng suất trong hệ
phương trìnhh (c) là một hệ ứng suất mới khi không có lực thể tích và lực bề
mặt. Theo giả thiết về trạng thái tự nhiên của vật liệu, các ứng suất này phải
bằng 0. Do đó :
x - x = 0 ; y - y = 0 ; Tyx - Tyx = 0; ...
Hay x = x ; y = y ; Tyx = Tyx
Có nghĩa 2 hệ ứng suất này trùng nhau. Đó là điều cần chứng minh!

41


CHƯƠNG 6 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG
I. Khái niệm :
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng
hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng

oxy). Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng.
Bài toán phẳng chia ra 2 loại :
1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt
phẳng xoy.
2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt
phẳng xoy.
Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt
toán học.
Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với
bài toán không gian.
II. Bài toán ứng suất phẳng :
Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố
đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ.
y

y

z
x
z

Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng
theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là :
z = Txz = Tyz = 0
(a)
Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên :
z  0
(b)
Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng.
Ân số của bài toán gồm có:

Các ứng suất : x, y, Txy.
Các biến dạng : x, y, xy, z  0.
Theo định luật Hooke, từ (a) ta có :

42


xz =yz = 0

;

y =

1
E

x = (x - y)
xy =

Txy

=

;

1
(y - x)
E

z =-


E

(x + y)

(c)

2(1   )

Txy
E
G
Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là x,
y, Txy với E,  là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu.
III. Bài toán biến dạng phẳng :
Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng
không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống
dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị.
Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm
phẳng như biểu diễn trên hình vẽ sau :
y
1
1

x
z

z

Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến
dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực
pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong
trường hợp đang xét sẽ là :
z = xz = yz = 0
(d)
và
z  0
(e)
Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng.
Ẩn số của bài toán gồm có:
Các ứng suất : x, y, Txy, z0
Các biến dạng : x, y, xy.
Theo định luật Hooke, từ (d) ta có :
- Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0
- Còn ứng suất pháp z sẽ được tìm từ biểu thức z = 0
z =

1
 x  ( x 
E



 y ) = 0

Vậy y = (x + y).
Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là :

43

1
 x   ( y  z) = 1  y   ( x 
E
E
2

1  

x
y )
x =

E 
1 


x =



 



2

Tương tự

Đặt





1  

y
y =

E 
1 
2(1   )
xy =
Txy
E
E

E1 =



2

 y )

;

x)

(*)



1 =



1 
1 
1
(*) x =
(x - 1y) ;
E1
1
y =
(y - 1x) ;
E1
2(1   1 )
2(1   )
xy =
Txy =
Txy
E1
E

(g)

(f)

IV. So sánh và kết luận chung :
1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến
dạng là như nhau : x, y, Txy, x, y, xy.
 Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua
các ẩn số chính.
2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn
toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ :
- Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E, 
còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, 1 theo
cách đặt (g).
3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài
toán hoàn toàn như nhau.
6.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG BÀI TOÁN PHẲNG
1. Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy :



 x Tyx
+ fx = 0

x
y
Txy  y

+ fy = 0
x
y



(6.1)

2. Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy :
u
;
x
v
y =
;
y
u v
xy =
+ .
x y

x =

(6.2)

44


Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục của biến dạng, trong
bài toán phẳng điều kiện này chỉ còn 1 phương trình :


x   y   xy

y

2

2

2

2

x

2

(6.3)

xy

3. Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke.
a. Biểu thức biến dạng qua ứng suất :
1
(x - y)
E
1
y = (y - x)
E
2(1   )

x =

xy =

(6.4)

Txy

E

b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng :
x =
y =

E
1 
E

2

(x+ y)

2

(y+ x)

(6.5)

1 
E
Txy =
xy
2(1   )

Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E,  bằng E1, 1.
Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba
biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài
toán.
4. Các điều kiện biên :
a. Điều kiện biên tĩnh học :

xl + Tyx m = f x


Txyl + ym = f y
(6.6)
b. Điều kiện biên động học :
Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo
hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ. Nghiệm chuyển vị của bài
toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo .
6.3. PHÉP GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT - HÀM
ỨNG SUẤT AIRY
I. Phép giải theo ứng suất :
- Chọn ẩn số chính là các ứng suất : x, y, Txy.
Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) .



 x Tyx

= - fx
x
y

45


Txy
x





 y
y

= - fy

Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình
thuần nhất (6.8)



 x Tyx

=0
x
y
Txy  y

=0
x

y



(6.8)

và nghiệm riêng của phương trình (6.9)



 x Tyx

= - fx
x
y
Txy  y

= - fy
x
y



(6.9)

- Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó
phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích.
Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là :
* x = 0 ; y = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số.
2

ax
* x =
+ bx ; y = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0
2
3
2
y
axy
* x = 0 ; y = -a
; Txy =
khi fx = axy , fy = 0.
6
2

II. Hàm ứng suất Airy :
Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy.
Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8):
x Tyx

0
(6.8)
x
y
Txy y

0
x
y
Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y)

tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì
giữa p và q phải có quan hệ :

p
y



q
x

.

- Phương trình thứ (1) của hệ (6.8) 



Tyx
 x

x
y

Tức (x.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó.
A
A
; Tyx = (a)
x
y
 y

Txy
Tương tự, phương trình thứ 2 :

y
x

Nên ta có quan hệ x =



 (y.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó :
46


B
B
; Txy = x
y
A
B
So sánh (a) và (b) ta có :
=
x
y

 Ta có quan hệ : y =

(b)
(c)

 (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm (x,y) nào đó :
 Ta có quan hệ : A =


;
y

B=


x

(d)

Thay (d) vào (a) và (b) ta có:
2

x =

2

 
y

; y =

2

 
x

2

2

 
; Txy = xy

(6.10)

Hàm (x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng
theo ứng suất.
III. Phương trình hàm ứng suất Airy :
- Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương
trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt
tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường.
Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng.
2

 S

(1 + )2x +
+

2

=0

2

=0

x
2
 S

(1 + )2y +

y
2

 S

2

(1 + ) z +

z

=0

2

(1+)2S +2S = 0
 2S = 0
Với S = x+ y+ z.
Vì trong bài toán ứng suất phẳng z=0 nên S= x + y
Trong bài toán biến dạng phẳng :
S= x + y + z = x + y +(x + y) =(1+)(x + y).
Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có :

2S = 2(x + y) = 0
(6.11)
(6.11) : Phương trình LêVy.
Thay các ứng suất bởi hàm  thay (6.10) vào (6.11) ta có :
 2
 2   2  2 
 2  2  2  2   0
y  y
x 
 x
4



4

(6.12)

2(2) = 4 = 0

(6.13)

4



4





2

0
x
x y y
2

2

4

47


Phng trỡnh (6.13) : phng trỡnh trựng iu hũa.
Hm = (x,y) : l hm trựng iu hũa .
Kt lun :
- Bi toỏn n hi phng gii theo ng sut dn n vic gii phng
trỡnh (6.12) sau ú tỡm cỏc ng sut theo (6.10).
+ Nu fx, fy 0 Cng thờm cỏc nghim riờng.
- Theo (6.10) : Vic thờm hay bt hm mt lng A+ Bx+Cy thỡ
cỏc ng sut khụng thay i.
- Cỏc h s tớch phõn c xỏc nh theo iu kin biờn tnh hc :
2

2

.l
.m f x
2
xy
y
2



2




.l 2 .m f y
xy
x

(6.14)

Nu (6.13) xỏc nh cỏc hng s tớch phõn thỡ cỏc ng sut
theo (6.10); (6.12) & (6.14) hon ton khụng liờn quan n cỏc h s n
hi ca vt liu. Nhng bi toỏn nh th l bi toỏn cú liờn kt bờn ngoi
tnh nh.
nh lý LeVy-Michell : Trong biu thc n hi phng tnh nh,
chu cỏc ngoi lc tỏc ng trờn biờn thỡ s phõn b ng sut khụng ph
thuc vo cỏc hng s n hi v nh nhau i vi tng c cỏc vt liu.
+ ởnh lyù õổồỹc sổớ duỷng laỡm cồ sồớ cho 1

phổồng phaùp thổỷc nghióỷm coù tón laỡ phổồng
phaùp õaỡn họửi.
6.4. IU KIN BIấN CA HM NG SUT AIRY.
Vic gii bi toỏn phng theo ng sut rỳt li thnh vic gii phng
trỡnh trựng iu hũa (6.12).
Nghim ca phng trỡnh ny l hm ng sut phi tha món iu
kin biờn.

f x.l Txym

f Txyl ym


x

(6.15)



y

Xột trng hp fx = fy = 0
Thay (6.10) vo (6.11) ta cú
2



2

f 2 .l
m
xy
y

x

2

2



f
.l 2 m
xy
x

y

(6.16)

Theo (H.6.3) ta cú :
l = cos(n, x) = cos(900 + ) = - sin = -

dy
ds

48

dx
ds
2
2
  dy
  dx
    dy     dx

. - 
.
(6.15)  f x   2 .
. = - 
y  y  ds x  y  ds
y ds xy ds
d   
= -   .
(6.17)
ds  y 
2
2
dy
  dx
d   


+
=
.
fy  

.

.
2
ds  x 
xy ds
x ds

m = cos(n, y) = cos =

Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc :
(6.17) 

S 

S
 A   f x ds X
0
y
S 

S
 B   f y ds Y
0
x

(6.18)

Trong đó :
A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm


y
(S)

,
S0


x

của chu vi .
S0

(S)

X , Y : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây.
Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự
như sau :
Thay chu vi vật thể khảo sát
bằng thanh có cùng dạng và cắt tại
điểm S0 (H.6.4).
Tại đó ta đặt các lực : A // S0x
B // S0y
Và ngẫu lực C như hình vẽ
Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực
tác dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y.
+ Nếu chúng ta lấy trục t  trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S
n  pháp tuyến ngoại tại điểm S.
Thì :


(S)
N
n
 

= Q(S)
t s

(6.19)
(6.20)

N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh,
được xem là dương  nếu là lực kéo.
(S)
Q : Lực cắt tại điểm s của thanh.
So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức
bằng vật liệu:

49


dM
(s)
Q
ds
d
(s)
 Q
ds

=M

(6.21)

M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s.
Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm
ứng suất (x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến


tại các điểm ở
n

trên chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình
///đó giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước
trên chu vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ.
 có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức,... chuổi đặc biệt.

 có dạng đa thức.
6.5. HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG ĐA THỨC
Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất 
thỏa mãn 2 yêu cầu :
- Phương trình trùng điều hòa
- Điều kiện biên
+ Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do
như hình vẽ
y
y
x

t
2
t

2

P



z

o

x
L

1. Dạng hàm 
+ Theo kết quả ở sức bền vật liệu: x =

MZ
.y
JZ
2

theo hàm 

: x =

 

y

  là hàm đa thức

bậc 4 đối với x, y

2

(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y +
ix2y2 + kxy3 + ly4. (a)
 phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa :
4

4

 
x

4

+

x

4

2

x y

2

+

 
y

4

4

4

 

4

 

=h ;

4

 
2

x y

=0

2

=j;

 
y

4

= l.

 h + 2j + l = 0
50


 h = j =l = 0

(1)

2

x =
y =

 
2

= 2c + 2fx + 6gy + 6kxy.

2

= 2c + 6dx + 6ey + 6ixy.

x
2
 

x
2
 
Txy = =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2
xy

(b)

2. Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất :
t
; x 0, L
2

* Biên trên (y =

:

t
; x 0, L
2

* Biên dưới (y =-

:

Txy = 0 ,

(c)

y = 0

(d)

Txy = 0 ,

(e)

y = 0

(f)

Từ (c) & (e) ta có :
t
t
2
2
t
t
2a + 6dx - 2e - 6ix = 0
2
2

2a +6dx +2e( )+6ix( ) = 0

e=i=0

e = i=f=0

(2)
Từ (d) & (f) ta có :

a=d=0

(3)

2

 b + 3

2


t
2
t 
 b  2ex 2 f  3ix  3k    0 
2
 2 


 f 0
2



t
t 
2
 b  2ex 2 f  3ix  3k     0
2
 2 



kt
=0
4

 b = 3

2

kt (4)

t
t
* Biên trái (x = 0, y   ,   ) ta có :
 2

x= 0

2

(g)

t

2

(h)

 Txy.dF  p

t

2

Từ (g)  c = g = 0

(5)

3
3
 Txy = - (- kt2 + 3ky2) = kt2 - 3ky2
4
4




t
2

t
2

t
2

3

 TxydF    ( 4 kt



t
2



t
2

2

3 3
2
3 2
 3ky )dy    kt y  ky 
3
4



t

2

51


2

3 2 t
3 2
t
t
t
=   kt .  k    kt .    k  
2  2  4
 2  2
 4

3






 3 kt 3 kt 3 3 kt 3 kt 3 
 3 3 kt 3 


=  .


 .

   kt 

8 4 2
8 
4 
4 2
 4
3
2p
kt
=
(6)
p  k = 3
2
t
3 2
2
Txy = kt  3ky
4



x = 6kxy
y = 0
x = 6.

2p
6t

3

xy 

(Px)

t

3

.y

12

J3 =

t

3

12

M3 = Px

 x =

Mz
.y
Jz

(6.22)

z : Trục trung hòa

52


CHƯƠNG 7 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng
tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái
ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những
miền cạnh lỗ tròn của tấm…
Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực  và vectơ bán
kính r.
7.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1. Các phương trình vi phân cân bằng :
Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,,z), ta
cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt.
- 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr.
- 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc d.
- 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị
r
y

    d
z


 r  r dr


dr
r
r
 r  r d


f

  r dr
1

fr

d

r


o

y



r

r

 R

 r



o

x

x

Hình 7.1

+ Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính,  là trục đi qua điểm đang xét
A(r,,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau:
- Các mặt nhận r làm pháp tuyến:
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,,z) có các thành phần ứng suất: r, Tr.
+ Trên mặt đi qua điểm A(r, + d,z), khai triển theo Taylor có các thành
phần ứng suấ:  r 

 r
 r
d
d , Tr 



- fr, f : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp
tuyến.
Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 :

53


 r

d
d
dr )( r  dr ).d    .dr.1. sin
 (    d ).dr.1. sin

r
2

2

d
 r d )dr .1. cos
 f r .r.d .dr  0

2

r  0    r .r.d .1  ( r 

 r .dr.1. cos

d
 ( r
2

d d


2
2
d
cos
1
2

Vì biến dạng bé nên

sin

Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.d ta được:
 r 1 T r


r
r 

r    f
r

x

(7.1)

0

Tương tự chiếu các lực lên phương  ta được
T r 1  

T r

2
 f  0
r
r 
r

(7.2)

+ Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Tr = Tr
2. Các phương trình hình học :
Chuyển vị của điểm A(r,) theo phương r,  là u,v
Chuyển vị của điểm B(r+dr, ) theo 2 phương r,  là :
u

u
dr và
r

v

(7.3)

v
dr
r

Chuyển vị của điểm C(r,+d) theo 2 phương r,  là :
u

u
v
d và v 
d



Biến dạng tương đối theo phương r,  là r, 

y
D1
C1

U

D

V

C

B1

A1
B
A

o

x
Hình 7.2

*Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc .
Sau biến dạng ABCD  A’B’C’D’ :
+ Các biến dạng dài :

54


A ' B' AB

r =
AB

(u 

u
dr )  u
u
r

;
dr
r

2. Các phương trình hình học:
Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v.
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là:
u

u
v
dr và u  dr
r
r

Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là:
u

u
v
d và v 
dv



Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ
* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến
dạng ABCD trở thành A’B’C’D’:

y
u

u
d


D'

D
E' C'
C

1

' B
A A

B'

u

U

o

u
dr
r

x

Hình 7.3

+Các biến dạng dài tương đối:

u
dr)  u  dr  dr
A' B' AB

u

r
r 


;
AB
dr
r
A' C' AC (r  u )d  rd u
 

 ;
AB
rd
r
(u 

+Biến dạng góc:

(u 
1  C'A'E' 

(a)

u
d)  u
1 u



rd
r 

* Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng
ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’:

55


y
D''
D

2

B''
N
M

v

C''
C
A''
A

v

v

dr
r

B

o

x
(Hình 5.4)

+ Biến dạng dài:
 

A' ' C ' ' AC

AB

(v 

v
d )  v  d  d
1 u


=
rd
r 

+ Biến dạng góc:
γ2 = (B’’A’’M – NA’’M)

(v 

=

(b)

v
dr )  v
v v v
r
 

dr
r r r

Có số hạng (NA”M) =

v
trong γ2 là do sự quay toàn phân tố ABCD đối
r

với điểm 0.
Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong
tọa độ cực:

u
r
u 1 v
  
r r 

1 u v v
1   2 


r  r r
r 

(7.4)

3. Các phương trình vật lý:
Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke
trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ:
a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất:
1
(σr – μσθ)
E
1
εθ= (σθ – μσr)
E
1
2(1   )
γrθ = Trθ =
Trθ
G
E

εr =

(7.5a)

56