Chương 4 một số bài toán đơn giản của cơ học lượng tử

Chương 4: MỘT SỐ BÀI
TOÁN ĐƠN GIẢN CỦA CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ

I. Chuyển động tự do của hạt vi mô: (U = 0)
Ø Xét một hạt có khối lượng m, chuyển động tự do trong không gian (U
= 0). Đơn giản xét 1 chiều, lúc này hạt có xung lượng

, và năng lượng E của

hạt có giá trị xác định. Hàm sóng của hạt có dạng:

ð hàm sóng De Broglie.
Ø Hàm sóng này thỏa phương trình Schrodinger: ứng với trạng thái
dừng.

Hay:
§ Vì U = 0 nên:


§ Đặt tham số:

§ Ta có:

(1)
ð Nghiệm của phương trình (1) có dạng:
§ Hàm sóng

(2)

có dạng (2) thỏa các điều kiện: đơn trị, liên tục và hữu

hạn với mọi giá trị thực của k
ü Tham số k gọi là số sóng, số sóng k và năng lượng E liên hệ với nhau:

(3)
ü Từ (3) thấy rằng: nếu ứng với:
· một giá trị của k
ð Có n giá trị k

một giá trị E.
có n giá trị E.

ð tạo thành phổ năng lượng của hạt.
ü Trong TH này vì k nhận giá trị liên tục => giá trị E liên tục => tạo ra
phổ năng lượng liên tục và có dạng hàm parabol.
ü Mặt khác, ta có:

Nên:


v Xác suất tìm hạt tại 1 vị trí nào đó trong không gian trường:

ð Kết quả này chứng tỏ rằng xác suất tìm hạt tại 1 vị trí nào đó trong
không gian

(tọa độ), tức là hạt không có quỹ đạo chuyển động xác định

=> kết quả chứng tỏ tọa độ của hạt là hoàn toàn bất định nếu như xung lượng
hoàn toàn xác định. (phù hợp với nguyên lý bất định Heizenberg).
II. Hạt trong hố thế năng 1 chiều:

ü Ta xét chuyển động của hạt trong một vùng thế năng biến đổi như sau:

Ø Hình vẽ: hố thế năng một chiều.
ü Vùng có thế năng biến đổi như thế được gọi là hố thế năng, trong đó a
gọi là bề rộng thế năng, và
ü Nếu

gọi là chiều cao hố thế năng.

, hạt chuyển động tự do trong không gian, hàm sóng dạng

hình sin. Tuy nhiên, số sóng ở vùng trong hố thế
,khác với số sóng ở hai vùng còn lại,

,
. Phổ năng

lượng hạt là liên tục.
ü Ta xét trường hợp: năng lượng toàn phần
ð theo vật lý cổ điển trong TH này hạt chỉ chuyển động trong hố thế,
không thể vượt ra ngoài được, hàm sóng

ở 2 miền ngoài hố sẽ bằng

0
1. Để đơn giản, ta xét hố thế sâu vô hạn:

. Tức là:

Ø Vì

nên

=> hạt chỉ chuyển động trong hố thế mà không

thể ra khỏi hố thế nên:

.

ü Hàm sóng trong vùng II được thỏa phương trình Schro:

khi 0 < x < a (4)

Trong đó:
ü Nghiệm tổng quát của phương trình (4) có dạng:

Ø Hay viết dưới dạng lượng giác

(A, B là hằng số)
Vì:

ü Áp dụng tính chất của hàm sóng là liên tục tại x = 0 và x = a. Tức là:
và

o Khi x = 0:

Vậy :
o Khi x = a:

ü Từ giá trị của k ta xác định được năng lượng E:


(6)
ü Hàm sóng của hạt trong hố thế có dạng:

(7)
ü Tìm A bằng điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng, vì hạt chuyển động
trong

. Nên ta có:

ü Hàm sóng của hạt trong hố thế 1 chiều sâu vô hạn:

(8)
Ø Từ kết quả của năng lượng E ở (6) và hàm sóng

ở (8) của hạt vi mô

trong hố thế 1 chiều, ta có nhận xét như sau:
v Về năng lượng E:
§ Vì k gián đoạn => E gián đoạn; là đại lượng bị lượng tử hóa, và n gọi là
số lượng tử n và chỉ nhận những giá trị mà ở đó
).(H.vẽ các mức năng lượng của hạt vi mô trong hố thế)

Tức:

(vì

§ Khoảng cách giữa các mức năng lượng của hạt

tăng theo số lượng

tử n và tỉ lệ nghịch với bề rộng thế năng a:

o Nếu a tăng thì

giảm:

Ø VD1: Với các electron:

§ Khi :

§ Khi:
v Về hàm sóng của hạt trong hố thế:
§ Mỗi trạng thái chuyển động của hạt ứng với 1 mức
diễn bằng 1 hàm sóng

và được biểu

.

§ Mật độ xác suất tìm hạt:

Ø Hình vẽ: (H.sóng và mật độ xsuất tìm hạt trong hố thế).
Ø Nhận xét:
§ Tại trạng thái cực tiểu E1, xác suất tìm hạt có cực đại tại khoảng giữa
hố thế và bằng không tại vách hố thế.
§ Khi năng lượng tăng, số các cực đại của mật độ xác suất tăng và

khoảng cách giữa các cực đại gần nhau hơn.


§ Khi n tiến tới vô cùng, ta sẽ có phân bố đều giống như trong vật lý cổ
điển.
III. Hiệu ứng đường ngầm:
ü Xét một hạt chuyển động có năng lượng E, chuyển động theo phương
x tới một rào thế năng

được xác định theo điều kiện sau:

ü Giả thuyết:
ü Theo VLCĐ, nếu

của rào thế thì chỉ có chuyển động trong vùng

I, không thể vượt qua vùng II để sang được vùng III. Tuy nhiên khi sử dụng
cơ học lượng tử, người ta tiên đoán rằng có tồn tại 1 xác suất tìm hạt khác 0
trong vùng III.
ð Hiện tượng này gọi là hiệu ứng đường ngầm.
ü Nếu ta gọi R là xác suất để các electron bị phản xạ trở lại từ bờ thế.
ü Gọi T là xác suất để các electron truyền qua do hiệu ứng đường ngầm.
ð Ta luôn có:
ð Như vậy, nếu T = 0,02 có nghĩa là trong 100 electron được bắn tới bờ
thế thì có 2 electron xuyên qua đường ngầm, còn 98 electron

bị phản xạ

trở lại.
Ø Hình vẽ: (Mật độ xsuất mô tả sóng vật chất của các electron trong

đường ngầm).
Ø Nhận xét: đồ thị.


ü Bằng cách giải phương trình Schrodinger đối với các vùng I, II, III
trong giới hạn 1 chiều theo phương x. Ta có thể chứng minh được hệ số
truyền qua T bằng:

Với:
v VD1: (về hiệu ứng đường ngầm) Xét 1 dây đồng được cắt ra rồi nối lại
bằng cách xoắn 2 đầu lại với nhau, các dây được phủ 1 lớp mỏng oxit đồng là
1 chất cách điện, nhưng dây nối ấy vẫn dẫn điện => các electron đã xuyên
đường ngầm qua bờ thế cách điện mỏng đó.
v VD2: Một electron có
dày

tiến tới một bờ thế có

và chiều

.
§ Tính hệ số tính qua T?
Ta có:
Với:

§ Tính T nếu hạt tới là proton:

ð T Rất nhỏ với hạt nặng hơn này.
ð Thử tưởng tượng xem nó còn nhỏ tới mức nào nếu hạt là 1 viên thạch.