Ebook cơ sở các phương pháp vật lý hạt nhân thực nghiệm a i abramov, IU a kazanski, e x matuxevich

Giới thiệu sách
Cuốn sách "Cơ sở các phương pháp vật lý hạt nhân thực nghiệm" của A.I. Abramov,
IU.A. Kazanski và E.X. Matuxevich có ý nghĩa rất quan trọng trong việc hình thành hệ
thống kiến thức hạt nhân thực nghiệm cho những người có nguyện ước đi vào các lĩnh
vực như nghiên cứu hạt nhân thực nghiệm, ứng dụng kỹ thuật hạt nhân... Trong cuốn
sách này trình bày những cơ sở của các quá trình vật lý để ghi đo bức xạ, các nguyên tắc
hoạt động và những đặc tính chủ yếu của các detector các bức xạ hạt nhân; xem xét các
phương pháp đo phổ nơtron, gamma và các hạt mang điện, đo tiết diện tương tác các
nơtron với các hạt nhân...
Với lòng mong mỏi cung cấp một lượng kiến thức tốt cho sinh viên và cán bộ trẻ ngành
hạt nhân để họ có thể sớm "đứng trên vai những người khổng lồ" mà đỡ gặp khó khăn do
rào cản ngôn ngữ, TS. Nguyễn Đức Kim đã bỏ rất nhiều công sức để dịch quyển sách
này. Để quyển sách ra đời bằng tiếng Việt, cũng không thể không nhắc tới vai trò của TS.
Nguyễn Xuân Hải - Viện Nghiên cứu hạt nhân - đã với nhóm khai thác các kênh ngang
của lò phản ứng hạt nhân Đà Lạt có những thảo luận để nhóm biên dịch diễn tả các hiện
tượng, các quá trình vật lý một cách uyển chuyển, nhẹ nhàng.
Các hỗ trợ từ PGS.TS. Nguyễn Nhị Điền - Viện trưởng Viện Nghiên cứu hạt nhân và
nhiều cán bộ khác cũng tạo sự tự tin, hào hứng trong các hoạt động dịch và hiệu đính
sách.
Chúng tôi cũng trân trọng cảm ơn PGS.TS. Vương Hữu Tấn đã cung cấp nguyên bản
quyển sách, đã có những hỗ trợ rất to lớn để hình thành nhóm nghiên cứu hạt nhân thực
nghiệm, tạo nên một trong các tiền đề để bản dịch này đến được với những người cần.

Phạm Đình Khang


Mục lục
Mục

Trang

Phần 1 Nguồn bức xạ và các tính chất chung của bức
xạ hạt nhân
Chương 1
§1.1
1.2
1.3
Chương 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Chương 3
3.1
3.2
3.3

Thăng giáng thống kê ở các hiện tượng hạt nhân và
khi ghi đo chúng
Vật lý hạt nhân và thống kê
Các quy luật phân bố thống kê
Các đặc trưng thống kê của số liệu thực nghiệm
Các tương tác của bức xạ ion hóa với vật chất
Nhận xét chung
Tương tác của các hạt tích điện nặng với vật chất
Tương tác của electron với vật chất
Tương tác của bức xạ gamma với vật chất
Tương tác của nơtron với vật chất
Các nguồn bức xạ
Các nguồn hạt tích điện nặng

Các nguồn nơtron
Các nguồn bức xạ gamma

Phần 2 Cơ sở vật lý của các hoạt động của các
detector ghi nhận bức xạ hạt nhân
Chương 4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Chương 5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Chương 6
6.1
6.2

Các đặc trưng cơ bản của detector
Hàm phản ứng của detector
Các đặc trưng thời gian của detector
Độ phân giải năng lượng của detector
Hiệu suất ghi
Mối liên hệ giữa các đặc trưng của trường bức xạ với
các thể hiện của detector
Các detector ion hóa chứa khí
Các loại detector

Các phương pháp ghi không có sự khuếch đại khí
Các phương pháp ghi có sự khuếch đại khí
Các ống đếm tích điện chứa khí
Các detector ion hóa chứa chất lỏng
Các detector bán dẫn
Nguyên lý làm việc
Các khái niệm cơ bản từ vật lý bán dẫn


6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Chương 7
7.1
7.2
7.3
7.4
Chương 8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Chương 9

9.1
9.2

Các đặc tính của Silic và Gemani
Các chuyển mức trong chất bán dẫn
Tạo các phần tử mang điện trong chất bán dẫn dưới tác
dụng của bức xạ ion hóa
Độ phân giải năng lượng
Độ phân giải thời gian
Dạng vạch phổ và hiệu suất ghi
Ảnh hưởng của trường bức xạ tới các tính chất của
detector
Các dạng cơ bản của detector bán dẫn
Các detector nhấp nháy
Nguyên lý làm việc
Các chất nhấp nháy
Các ống nhân quang điện
Các đặc trưng của detector nhấp nháy
Các detector vết
Buồng Winson
Buồng bọt
Các nhũ tương hạt nhân
Các detector tia lửa điện ghi hạt tích điện
Các detector điện dung rắn
Các phương pháp xác định đặc trưng của hạt trong
detector vết
Các ống đếm Trerenkov
Bức xạ Vavilov-Trerenkov
Các dạng ống đếm Trerenkov

Phần 3 Các phương pháp tiến hành một số phép đo
vật lý hạt nhân
Chương 10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
Chương 11
11.1

Đo hoạt độ của nguồn bức xạ
Xác định cơ bản
Các đặc trưng chung của phương pháp đo hoạt độ
Đo hoạt độ của nguồn alpha
Đo hoạt độ của nguồn bêta
Đo hoạt độ của nguồn gamma
Đo hoạt độ của nguồn nơtron
Các phép đo tương đối
Phổ học các hạt nặng tích điện
Những lưu ý


11.2

Đo năng lượng các hạt nhờ uồng ion hóa, detector nhấp
nháy và detector bán dẫn
11.3

Phổ kế từ ghi các hạt nặng tích điện
Chương 12 Phổ học bức xạ gamma
12.1
Các lưu ý
12.2
Phổ học gamma với detector nhấp nháy
12.3
Phổ kế từ ghi gamma
12.4
Phổ kế nhiễu xạ tinh thể ghi gamma
12.5
Phổ học gamma với các detector bán dẫn
Chương 13 Phổ học nơtron
13.1
Các lưu ý
13.2
Các phương pháp sơ bộ đánh giá năng lượng của
nơtron
13.3
Các phương pháp hạt nhân giật lùi
13.4
Sử dụng phản ứng hạt nhân cho phổ học nơtron
13.5
Phương pháp thời gian bay
13.6
Các phổ kế tinh thể
Chương 14 Đo tiết diện nơtron
14.1
Phương pháp truyền qua với hình học "tốt"
14.2

Phươngpháp truyền qua với hình học dạng cầu
14.3
Phương pháp kích hoạt
14.4
Phương pháp ghi hạt thứ cấp
14.5
Phương pháp làm chậm nơtron trong chì


A.I. Abramov
IU.A. Kazanski
E.X. Matuxevich

CƠ SỞ
CÁC PHƯƠNG PHÁP
THỰC NGHIỆM
VẬT LÝ HẠT NHÂN
Xuất bản lần thứ ba, có chỉnh lý và bổ sung
Dùng cho sinh viên các trường đại học
Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp đã cho phép dùng
sách này làm tài liệu giảng dạy cho sinh viên các trường đại học

Moskva.NXB NLNT.1985

1


А.И. Абрамов
Ю.А. Казанский
Е.С. Матусевич

ОСНОВЫ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
МЕТОДОВ
ЯДЕРНОЙ
ФИЗИКИ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Для студентов вузов
Допущено Министерством вышего и среднего
специального образования СССР в качестве учебного
пособия для студентов быших учебных заведений
МОСКВА.ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ.1985

Cuốn sách này được biên soạn trên cơ sở các bài giảng “Các
phương pháp thực nghiệm vật lý hạt nhân”, vốn được các tác
giả dùng để giảng dạy nhiều năm tại Viện Vật lý kỹ thuật
Moskva. Trong cuốn sách này trình bày những cơ sở vật lý
ghi bức xạ, các nguyên tắc hoạt động và những đặc tính chủ
yếu của các detector các bức xạ hạt nhân; xem xét các
phương pháp đo phổ nơtron, photon và các hạt mang điện, đo
tiết diện tương tác các nơtron với các hạt nhân. Sách đã được
chỉnh lý và bổ sung so với lần xuất bản thứ hai (năm 1977),
có chú ý đến những thành tựu gần đây trong kỹ thuật thực
nghiệm vật lý.
Dùng cho sinh viên các năm cuối các chuyên ngành thích
hợp và cho các nghiên cứu sinh cũng như các nhà vật lý – hạt
nhân.

2

LỜI NÓI ĐẦU CHO LẦN XUẤT BẢN THỨ BA
Sau khi xuất bản lần thứ hai, các tác giả đã tiếp tục nhận được những nhận xét và mong
muốn cải tiến cấu trúc cuốn sách, bổ sung những chương mục mới và những góp ý có liên quan
đến những nhược điểm và những điểm không chính xác còn sót lại. Những đóng góp đó đã được
sử dụng khi chuẩn bị cho lần xuất bản thứ ba.
Không cho là hợp lý khi thay đổi căn bản cấu trúc, nội dung và quy mô cuốn sách, chẳng
hạn, nhân việc mô tả các phương pháp tự động hóa thực nghiệm, các tác giả đã đặt ra mục tiêu
khi chỉnh lý là chú ý đến những thay đổi chủ yếu trong kỹ thuật thực nghiệm hạt nhân đang phát
triển nhanh chóng có liên quan đến cả việc xuất hiện những dạng detector mới, cả việc tìm ra
những phương pháp đo mới. Làm việc đó chỉ có thể bằng việc loại bỏ những phần đã trở nên cũ
kỹ do nguyên nhân này hay nguyên nhân khác, bớt đi những phụ lục và trình bày cô đọng hơn.
Tất nhiên là chỉnh lý như vậy ít động chạm đến phần I: “Các nguồn và các tính chất
chung của bức xạ hạt nhân”. Trong phần này, chương 1 đã được mở rộng một chút, chủ yếu do
đưa thêm vào phần phân bố χ2, chỉnh lý mục 2.5 “Tương tác các nơtron với vật chất” và một số
số liệu mới về các nguồn nơtron.
Những thay đổi lớn nhất là trong phần II. Trong chương 5 đã có thêm mục mới “Các
detector ion hóa dạng lỏng”. Trong chương 6 đã phân tích cả các detector bán dẫn chế tạo từ
germani tinh khiết và các detector trên cơ sở CdTe và HgI2. Trong chương 7, chú ý đến các số
liệu gần đây, đã trình bày cơ chế phát sáng của các chất nhấp nháy vô cơ. Trong chương 8, mục
dành để mô tả các detector chất rắn đã được mở rộng.
Đã loại bỏ khỏi phần III các đoạn mô tả những phương pháp đã cũ dùng để xác định năng
lượng của các hạt mang điện theo quãng chạy và đo năng lượng photon theo phương pháp truyền
qua và theo các sản phẩm của các phản ứng hạt nhân và đã rút gọn chương 10. Do đó, đã xem xét
kỹ hơn phương pháp đo năng lượng của các hạt ion hóa mạnh nhờ các detector bán dẫn (ППД),
thảo luận những phương pháp mới để đo năng lượng các hạt mang điện, trên cơ sở phối hợp các
phổ kế từ và detector bán dẫn tính năng cao, và các phương pháp đo năng lượng photon nhờ các
phổ kế chứa các chất nhấp nháy dung lượng lớn và detector bán dẫn.
Trong chương dành cho phần đo các tiết diện nơtron đã thảo luận các thực nghiệm kèm
theo việc ghi các nơtron thứ cấp.

Các tác giả bày tỏ cảm ơn sâu sắc đến tất cả các độc giả, bằng cách này hay cách khác, đã
có những góp ý thiết thực và đã đặt ra những yêu cầu. Đương nhiên, họ đã giúp làm tăng chất
lượng cuốn sách.
E.X. Matuxevich đã viết các chương 1, 3, 6, 9 và các mục 8.3 – 8.6, IU.A. Kazanski đã
viết các chương 2, 4, 5, 7, 11, 12 và các mục 8.1, 8.2 và A.I. Abramov đã viết các chương 10, 13,
14.

3


Phần I
NGUỒN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA BỨC XẠ HẠT NHÂN
Chương 1
THĂNG GIÁNG THỐNG KÊ TRONG CÁC HIỆN TƯỢNG HẠT NHÂN
VÀ KHI GHI CHÚNG
1.1. Vật lý hạt nhân và thống kê học
Bất kỳ đại lượng vật lý nào (khối lượng, độ dài, số lượng trung bình các biến
cố,…) cũng đều chỉ có thể được xác định ở mức gần đúng bằng thực nghiệm, sau khi đã
chỉ rõ khoảng các giá trị có thể của nó. Thực nghiệm được tiến hành càng cẩn thận, các
dụng cụ càng hoàn thiện thì khoảng các giá trị có thể của đại lượng cần tìm càng hẹp.
Tính bất định của giá trị đại lượng cần đo thường do bởi nhiều nguyên nhân. Do có
những sai lệch trong các số liệu thực nghiệm nên đòi hỏi các kết quả thực nghiệm phải
được xử lý bằng thống kê để xác định đúng các giá trị trung bình, chỉ ra các khoảng mà ở
đó có thể nhận được giá trị này với xác suất nhất định khi tiến hành các phép đo sau đó,
để kiểm tra mức độ phù hợp của các giả định đã chọn với các kết quả đo, … Các phương
pháp thống kê phân tích số liệu trở thành điều kiện tất yếu khi tiến hành các nghiên cứu
không chỉ trong vật lý, mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học.
Thống kê học có liên quan chặt chẽ với lý thuyết xác suất – một trong số các phần
của toán học – và sử dụng các khái niệm cơ bản, các luận cứ và kết luận của toán học.
Đối với thống kê học, đặc trưng chủ yếu là phép dựng quy nạp – từ việc quan sát biến cố

trong thực nghiệm dẫn đến giả thuyết. Sự khác biệt trong cách tiếp cận lý thuyết xác suất
và thống kê học được thấy rõ trong các ví dụ dưới đây.
Bài toán điển hình của lý thuyết xác suất. Khi đồng xu được tung lên thì có một
xác suất được biết p là rơi “xấp”, và một xác suất (1 – p) là “ngửa”. Xác suất nào của việc
N lần tung lên có n lần đồng xu “xấp” ? Lý thuyết xác suất cho phép tính toán xác suất
của hiện tượng này.
Bài toán điển hình của thống kê học. Đồng xu được tung lên N lần, trong đó n lần
rơi “xấp”; có thể nói gì về thông số chưa biết p? Rõ ràng là không nên hy vọng nhận
được câu trả lời xác định tới mức như trong trường hợp đầu. Thống kê học chỉ cho phép
chỉ ra giá trị giống như thật nhất của thông số p, cũng như khoảng các giá trị của nó, mà
giá trị thực p nằm trong đó với xác suất nhất định. Như vậy, trong phân tích thống kê tồn
tại độ bất định có tính nguyên tắc.
Tuy nhiên trong vật lý hạt nhân và vật lý các hạt cơ bản, các phương pháp thống
kê có ý nghĩa đặc biệt, bởi vì sự cần thiết thực sự của phương pháp thống kê trong thế
giới vi mô xuất phát từ tính thống kê của chính bản thân các hiện tượng của thế giới vi
mô. Trong một ý nghĩa nào đó có thể nói về sự khác nhau có tính nguyên tắc trong nguồn
gốc những thăng giáng của các đại lượng vĩ mô và vi mô *.
Khi đo các đại lượng vĩ mô có thể khẳng định rằng, hầu như với độ chính xác cho
trước bất kỳ, bản thân đại lượng đó có giá trị xác định hoàn toàn, còn các kết quả đo có
mức sai lệch nào đó do các dụng cụ đo hoặc bản thân đối tượng đo không hoàn chỉnh.

4


Các số đo của dụng cụ đo tập hợp quanh giá trị trung bình theo một quy luật thống kê nào
đó. Khi đo các đại lượng đặc trưng cho các quá trình trong thế giới vi mô, việc xuất hiện
sai lệch trong các chỉ số của các dụng cụ chủ yếu là do những thăng giáng giá trị của bản
thân đại lượng được đo và chẳng thể nào cải tiến được thiết bị để giảm bớt hoặc loại trừ
hoàn toàn sai lệch đó. Tất nhiên, trong các thực nghiệm thực tế được tiến hành trong vật
lý hạt nhân và vật lý các hạt cơ bản, trong phần lớn các trường hợp đều tồn tại cả hai

nguyên nhân sai lệch chỉ số của các dụng cụ đo.
Trong chương này sẽ xem xét các các định luật phân bố thống kê, vốn được sử
dụng thường xuyên hơn cả khi mô tả và phân tích các kết quả đo trong vật lý hạt nhân,
một số những đặc tính có tính thống kê của các số liệu thực nghiệm, cũng như xem xét
một cách rất ngắn gọn vấn đề kiểm tra các giả thuyết bằng thống kê. Đặc biệt lưu ý đến
khía cạnh tư tưởng của các vấn đề được đề cập, vì vậy chương này không thể được dùng
làm hướng dẫn thực hành để xử lý các số liệu thực nghiệm. Việc thảo luận sâu hơn những
vấn đề đã được đề cập, cũng như những hướng dẫn thực hành về xử lý các số liệu thực
nghiệm và các phương pháp mô tả chúng, có thể tìm được trong tài liệu đã được giới
thiệu.
1.2. Các định luật phân bố thống kê
Trước khi xem xét các định luật phân bố thống kê các đại lượng ngẫu nhiên, ta đưa
ra một số khái niệm cơ bản của thống kê học và lý thuyết xác suất. Trong lý thuyết xác
suất, biến cố ngẫu nhiên được hiểu là biến cố kèm theo một số kết quả. Nếu do biến cố
mà một đại lượng biến đổi dạng số được đề cập đến, thì người ta gọi đại lượng đó là đại
lượng ngẫu nhiên. Các đại lượng ngẫu nhiên tuân theo các định luật thống kê.
Đại lượng ngẫu nhiên liên tục, ví dụ năng lượng của hạt β khi phân rã hạt nhân, có
thể nhận những giá trị bất kỳ trong một vùng nào đó. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ
nhận những giá trị chính xác nhất định, khác nhau một lượng hữu hạn, ví dụ số các số
đếm của máy đếm của cũng các hạt β đó trong một đơn vị thời gian.
Lưu ý rằng, trên thực tế luôn luôn đụng chạm đến các đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc, bởi vì mọi đại lượng ngẫu nhiên liên tục đều chỉ có thể đo được gần đúng với độ
chính xác đến một số nào đó sau dấu phảy. Phép gần đúng về tính liên tục của đại lượng
ngẫu nhiên cho phép sử dụng các phương pháp toán học đơn giản hơn. Nó đúng khi bước
rời rạc nhỏ và việc chuyển sang đại lượng ngẫu nhiên liên tục không dẫn đến những sai
số đáng kể.
Ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên bằng chữ cái in hoa, ví dụ X, còn giá trị cụ thể của
nó là chữ cái viết thường, trong trường hợp này là x.
Tần suất xuất hiện các giá trị riêng của đại lượng được đo tuân theo một định luật
phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên nào đó, hoặc nói ngắn gọn, phân bố đại lượng

ngẫu nhiên. Trong trường hợp đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì mỗi xác suất p(xi) được
gán cho một giá trị xi của nó. Tập hợp các giá trị xác suất p(xi) được gọi là phân bố xác
suất rời rạc. Hàm p(xi) nhận một giá trị nhất định chỉ khi x = xi và bằng 0 khi mọi giá trị
khác của x không bằng xi.
-----------------------------*

Chia ra thế giới vĩ mô và vi mô, nói chính xác, chỉ là tạm thời, bởi vì không thể tách bạch rõ
ràng gianh giới giữa chúng, nhưng trên thực tế luôn luôn có thể chỉ ra.
5


Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm p(xi) có ý nghĩa của mật độ xác suất
của đại lượng x, nghĩa là của xác suất phù hợp với khoảng đơn vị của đại lượng x.
Giả sử, các phân bố xác suất p(x) và p(xi) là chuẩn, nghĩa là thỏa mãn điều kiện
∞

∞

i =0

−∞

∑ p( xi ) = 1;

∫ p( x )dx = 1.
i

(1.1)

Giới hạn trên của tổng ∞, được đưa ra cho gọn ở đây và sau này, quy ước rằng,

phép lấy tổng được thực hiện đối với tất cả các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên
rời rạc xi.
Phân bố xác suất rời rạc của đại lượng ngẫu nhiên hoàn toàn được cho bởi tập hợp
các giá trị xác suất, hoặc hàm phân bố p(xi). Phân bố liên tục hoàn toàn được cho bởi mật
độ p(x) của nó. Nói cách khác, biết các hàm p(x) và p(xi) có thể xác định tất cả các tính
chất phân bố.
Nếu có một hệ các đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z nào đó (ví dụ năng lượng của một
bùng phát trong lò phản ứng kiểu xung, số nơtron bùng phát và thời gian kéo dài xung)
thì có thể đưa ra khái niệm phân bố xác suất chung của các đại lượng ngẫu nhiên đó p(x,
y, z). Trong trường hợp này thường đưa ra khái niệm vector ngẫu nhiên có các thành
phần tương ứng thay cho hệ các đại lượng ngẫu nhiên, hoặc như thường nói, đại lượng
ngẫu nhiên nhiều chiều có phân bố xác suất nhiều chiều.
Trong nhiều trường hợp thường cần tách riêng các tính chất quan trọng nhất của
phân bố. Muốn vậy người ta đưa vào những đặc tính như giá trị trung bình, phương sai,
tính không đối xứng.
Để mô tả định lượng mối quan hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên, sử dụng hệ số
đối xạ.
Đại lượng
∞

µ ≡ M (X ) =

∫

∞

µ = ∑ xi p ( xi )

xp ( xi )dx;

(1.2)

i =0

−∞

được gọi là giá trị trung bình, hoặc kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên (hoặc hàm
của đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng với phân bố liên tục và phân bố rời rạc. Đôi khi đại
lượng µ được gọi là giá trị trung bình thực.
Nếu một quá trình nào đó được mô tả bằng phân bố thống kê, thì giá trị riêng của
đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng cho quá trình đó sẽ khác với giá trị trung bình của nó.
Kỳ vọng toán học của tất cả các sai số có thể có không phải là đơn vị đo sai lệch của đại
lượng ngẫu nhiên, bởi vì đối với đại lượng ngẫu nhiên x có µ trung bình thì nó bằng 0:

(
x
−
µ
)
p
(
x
)
dx
=
0;

i
∫


−∞

∞
M [ ( X − µ ) ] = ∑ ( xi − µ ) p ( xi ) = 0 

i=0
∞

M [( X − µ )] =

(1.3)

điều được kiểm tra bằng tính toán trực tiếp.
Sử dụng phương sai làm đơn vị đo độ tản mạn của đại lượng ngẫu nhiên so với giá
trị trung bình của nó. Giá trị trung bình của bình phương các sai số so với giá trị trung
bình của đại lượng ngẫu nhiên được gọi là phương sai. Ký hiệu phương sai là D(X) hoặc
6


σ2(X). [Đối số ở σ(X) hoặc D(X) thường được bỏ qua hoặc được viết ở dạng chỉ số: σ2X
hoặc DX .] Giá trị dương của căn bậc hai phương sai σ(X) được gọi là độ lệch chuẩn,
hoặc độ lệch toàn phương trung bình. Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
∞

∞

i =0

i=0

D( X ) = M ( X − µ ) 2  = ∑ ( xi − µ ) 2 p ( xi ) = ∑ xi2 p( xi ) −
∞

∞

i =0

i =0

−2 µ ∑ xi p( xi ) + µ 2 ∑ p( xi ) = M  X 2  − µ 2 .

(1.4)

Tương tự đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục
∞

D( X ) =

∫ (x − µ)

2

p( xi )dx = M  X 2  − µ 2 .

(1.4a)

−∞

Đối với giá trị trung bình đã cho, độ lệch chuẩn nhỏ có nghĩa rằng, xác suất nhận
thấy các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên khác nhiều so với giá trị trung bình là nhỏ, trong

khi đó, khi lệch chuẩn lớn thì các giá trị khác nhiều so với giá trị trung bình là có khả
năng.
Dễ dàng liên kết độ lệch chuẩn với xác suất của đại lượng ngẫu nhiên trong một
phép đo trong một khoảng nhất định. Người ta sử dụng một đại lượng, bằng bội của σ,
cho một phần lớn hơn nằm ngoài khoảng này. Khi đó xác suất đã nói sẽ bằng:
µ + gσ

P(µ − gσ ≤ x ≤ µ + gσ ) =

∫

p( x)dx;

(1.5)

µ − gσ

Ở đây P ( µ − gσ ≤ x ≤ µ + gσ ) – xác suất cho đại lượng x nằm trong khoảng µ ± gσ .
Đối với phân bố Gauss [xem (1.17)], ví dụ khi g = 1 thì P ( µ − gσ ≤ x ≤ µ + gσ ) =
0,68, còn khi g = 2 thì nó bằng 0,95. Điều đó có nghĩa là, khi có rất nhiều số đo của đại
lượng ngẫu nhiên X thì có 68% trường hợp nó ở trong khoảng có gianh giới µ ± gσ , còn
có 95% trường hợp – trong khoảng có gianh giới µ ± 2gσ .
Biểu thức (1.5) có thể sử dụng không phải trong tất cả các trường hợp, bởi vì
khoảng µ ± gσ có thể lớn hơn khoảng thay đổi của đại lượng biến đổi. Như vậy, đối với
phân bố Poisson (xem dưới đây) giá trị nhỏ nhất của xi bằng 0, còn khi µ nhỏ thì đại
lượng µ – gσ có thể nhỏ hơn 0. Cũng cần lưu ý rằng, đối với các phân bố không đối
xứng (dạng phân bố Poisson) số lượng các giá trị x trong các khoảng µ + gσ và µ – gσ là
khác nhau.
Chú ý đến một tính chất quan trọng của phương sai, nó dễ dàng nhận được bằng
tính toán trực tiếp: nếu có tập hợp n đại lượng ngẫu nhiên độc lập Xi, thì phương sai của

tổng các đại lượng đó bằng tổng các phương sai, nghĩa là
 n
 n
D  ∑ X i  = ∑ D( X i ).
 i =1  i =1

(1.6)

Tính cộng được này của các phương sai được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết đo.
Đối với n đại lượng ngẫu nhiên Xi có các phương sai như nhau
 n

D  ∑ X i  == nD( X i ).
 i =1 

7

(1.7)


Ngoài phương sai hoặc độ lệch chuẩn, các thăng giáng của đại lượng ngẫu nhiên
còn được đặc trưng bởi độ lệch toàn phương trung bình tương đối δ – một đại lượng
không thứ nguyên.
Độ không đối xứng của phân bố được đặc trưng bởi thông số không thứ nguyên γ:
(1.8)
γ = M  ( X − µ )3  / σ 3 .
Nó âm, nếu mật độ xác suất p(x) dãn nhiều về bên trái µ, và dương nếu p(x) dãn về
phía phải µ. Nếu phân bố đối xứng, thì thông số γ bằng 0.
Bây giờ ta thảo luận về các dạng quan hệ giữa các đại lượng ngẫu nhiên, chẳng
hạn của hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục X và Y có mật độ phân bố xác suất p(x, y). Các

biến cùng thứ nguyên X và Y được gọi là độc lập về thống kê, nếu đối với tất cả các giá trị
có thể có của các biến đó thỏa mãn điều kiện
(1.9)
p ( x, y ) = p ( x) p ( y ),
ở đây p(x) và p(y) – các mật độ phân bố xác suất cùng thứ nguyên.
Có thể diễn giải tính độc lập thống kê của hai đại lượng ngẫu nhiên như sau: xác
suất nhận một giá trị nào đó của một trong số các đại lượng không phụ thuộc vào giá trị
của đại lượng khác. Trong trường hợp ngược lại của mối quan hệ chặt, khi mỗi giá trị của
một đại lượng ngẫu nhiên này ứng với một giá trị duy nhất của đại lượng khác, đó là
quan hệ hàm số y = f(x).
Phổ biến hơn cả là mối quan hệ giữa các đại lượng ngẫu nhiên không phải ở dạng
hàm số và nó biểu hiện ở dạng trung bình, nói cách khác, mối quan hệ tồn tại giữa các giá
trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên. Lưu ý rằng, thậm chí nếu sự phụ thuộc giữa
hai đại lượng vật lý là dạng hàm số, thì sự phụ thuộc giữa các giá trị đo được của chúng
khi có các sai số đo cũng biểu hiện ở dạng trung bình và ứng với mỗi giá trị của một đại
lượng cũng là cả một tập hợp các giá trị của đại lượng khác. Một trong những bài toán cơ
bản của thống kê học là xác định các mối quan hệ giữa các đại lượng ngẫu nhiên.
Mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được gọi là hệ
số đối xạ ρXY và được xác định bằng biểu thức
∞ ∞
−1
X

p X ,Y = σ σ

−1
y

∫ ∫ (x − µ

X

)( y − µ X ) p ( x, y )dxdy

(1.10)

−∞ −∞

đốí với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục và bằng tổng tương ứng – đối với các đại lượng
ngẫu nhiên rời rạc. Đối với các X và Y không đối xạ thì hệ số đối xạ của chúng bằng 0.
Nếu X và Y độc lập với nhau thì dễ dàng nhận thấy từ (1.9) và (1.10) là ρXY = 0. Tuy
nhiên, khẳng định ngược lại là không đúng, nghĩa là ρ XY ≠ 0 thì X và Y không nhất thiết
là độc lập với nhau.
Hệ số đối xạ thay đổi trong khoảng từ – 1 đến + 1. Đối xạ dương có nghĩa là,
những giá trị lớn của Y tương ứng với những giá trị lớn của X, còn đối xạ âm – những giá
trị nhỏ của Y tương ứng với những giá trị lớn của X. Chỉ khi có sự phụ thuộc tuyến tính
giữa X và Y thì hệ số đối xạ bằng ±1.
Bây giờ ta xét dãy các phân bố thống kê mà các nhà thực nghiệm hoạt động trong
lĩnh vực vật lý hạt nhân thường xuyên phải đụng chạm đến. Trước hết ta xét các phân bố
rời rạc: phân bố xác suất nhị thức và phân bố xác suất Poison, và sau đó là các phân bố

8


liên tục: phân bố của các tích phân, phân bố góc vuông, phân bố Gauss (chuẩn) và phân
bố χ2.
Phân bố nhị thức. Giả sử, biến cố nào đó chỉ có thể có hai kết quả: thành công và không
thành công. Giả sử, xác suất kết quả thành công bằng Θ, khi đó xác suất kết quả không thành
công là 1 – Θ. Nếu biến cố xảy ra N lần, thì xác suất p(x) của việc có kết quả thành công lặp lại x
lần, còn không thành công là (N – x) lần, bằng tích của số các phép thử, mà nhờ chúng có thể

chọn ra x trong số N, và xác suất của phép thử lúc đầu x lần có kết quả thành công lặp lại liên
tiếp, còn sau đó (N – x) lần – không thành công. Như vậy, xác suất x các kết quả thành công
N!
p( x) =
Θ x (1 − Θ) N − x .
(1.11)
x !( N − x)!
Tập hợp các xác suất (1.11) được gọi là phân bố nhị thức. Thật vậy, đại lượng ngẫu nhiên
X tuân theo phân bố (1.11), vốn hoàn toàn được đặc trưng bởi hai thông số : Θ và N.
Trên hình 1.1 là hình dạng của phân bố nhị thức ở các giá trị Θ và N khác nhau.

Hình 1.1. Phân bố nhị thức ở những giá trị của các thông số N, Θ khác nhau
[ theo trục tung – p(x)]
Định luật phân bố xác suất nhị thức mô tả quá trình có số lượng hữu hạn các phép thử N, mà từ
các phép thử đó thực hiện các lựa chọn thống kê. Quá trình phân rã một nhóm các hạt nhân
phóng xạ giống nhau là một ví dụ của quá trình như vậy. Trong trường hợp đó xác suất kết quả
thành công (phân rã) bằng (1 – exp (– λt)), còn không thành công – exp (– λt), ở đây λ – hằng số,
không phụ thuộc vào thời gian, đặc trưng cho dạng hạt nhân đã cho. Theo (1.11) có thể xác định
số hạt nhân x trong tổng số N hạt nhân đã phân rã trong thời gian t. Áp dụng công thức (1.11)
trong trường hợp này là có ý nghĩa nếu N không lớn, trường hợp ngược lại, xác suất phân rã sẽ
được mô tả tốt nhờ phân bố Poisson, theo công thức của phân bố này sẽ dễ dàng tính toán hơn.

9


Một ví dụ khác của quá trình được mô tả bằng phân bố nhị thức – chùm hạt đi qua bia trong thực
nghiệm xác định tiết diện tương tác của các hạt với các hạt nhân của bia. Ở đây, kết quả thành
công – phản ứng với bia, không thành công – các hạt đi qua bia mà không tương tác. Công thức
(1.11) cho phép tính toán số lượng phản ứng trong bia.
Bằng tính toán trực tiếp dễ dàng nhận được giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đối với

phân bố nhị thức là µ = NΘ, còn phương sai D = NΘ(1 – Θ).
Có thể nói rằng, đối với phân bố nhị thức, độ không đối xứng γ nhỏ hơn 0, nếu Θ < ½,
bằng 0 khi Θ = ½ và lớn hơn 0, nếu Θ > ½. Nếu Θ được cố định, thì γ → 0 khi N → ∞ đối với
mọi Θ.
Phân bố Poisson. Các đại lượng ngẫu nhiên, mà xác suất xuất hiện của chúng trong phép
thử riêng rẽ là nhỏ và không đổi, đều tuân thủ phân bố Poisson. Nếu xác suất của việc biến cố sẽ
xảy ra trong một khoảng nhỏ (thời gian, không gian,…) ∆t, mà tỷ lệ thuận với độ dài của khoảng
đó, nghĩa là xác suất của biến cố bằng m∆t, ở đây m – đại lượng không đổi, thì xác suất x của các
biến cố độc lập trong khoảng có độ dài t được xác định như sau:
p( x) =

µx

exp(− µ ),
(1.12)
x!
ở đây µ = mt. Biểu thức (1.12) còn được gọi là phân bố Poisson.
Đi đến phân bố Poisson có thể bằng việc chuyển một cách có giới hạn từ phân bố nhị thức (1.11),
sau khi đưa số lượng phép thử tiến tới vô cùng, còn xác suất kết quả thành công Θ tiến tới 0, sao
cho tích N Θ = µ vẫn còn là hữu hạn và không đổi. Chuyển tiếp như vậy cho thấy rõ rằng, (1.12)
mô tả phân bố xác suất của những biến cố hiếm gặp.
Phân bố Poisson khi thông số duy nhất µ có những giá trị khác nhau được minh họa trên
hình 1.2. Đại lượng µ có thể nhận các giá trị dương bất kỳ, trong khi đó x – chỉ nhận các giá trị
nguyên dương. Vì vậy p(x) chỉ có nghĩa khi x nguyên; trên hình 1.2 các giá trị p(x) được nối với
nhau bằng các đường cong chỉ là để nhìn rõ. Từ hình 1.2 suy ra rằng, p(x + 1)/p(x) = µ/(x + 1).
Nếu µ < 1, thì p(x + 1)/p(x) < µ/(x + 1) với mọi x và p(x) đạt đến giá trị cực đại khi x = 0. Nếu
như µ > 1, thì p(x) lúc đầu tăng khi x tăng, đạt đến giá trị cực đại khi x ≈ µ, còn sau đó giảm dần.

Hình 1.2. Phân bố Poisson khi thông số µ có những giá trị khác nhau;
Những giá trị p(x) chỉ có nghĩa khi x nguyên

Có thể lấy việc ống đếm phóng điện qua khí ghi bức xạ phông, vốn do các sản phẩm phân
rã phóng xạ có trong môi trường xung quanh và bức xạ vũ trụ gây ra, làm ví dụ của quá trình
được mô tả bằng phân bố Poisson. Trong trường hợp này, việc ghi các hạt của ống đếm – biến cố
ngẫu nhiên, có thể coi số các số đếm trung bình là không phụ thuộc vào thời gian, xác suất rơi
vào ống đếm của hai hạt ion hóa trong khoảng thời gian bằng thời gian chết của ống đếm là nhỏ
đáng bỏ qua, nghĩa là các số đếm là độc lập.
Nếu trong (1.12) đặt x = 0, ta có
10


(1.13)
p (0) = exp( − µ ).
Công thức này tạo khả năng xác định xác suất không nhận ra biến cố nào đó và thường
được sử dụng trong vật lý hạt nhân. Ví dụ, khi mô tả quá trình phân rã phóng xạ, sau khi đặt µ =
λt, ở đây λ – hằng số phân rã, còn t – thời gian, ta nhận được xác suất của viêc, hạt nhân không
phân rã trong quãng thời gian t; khi mô tả việc các nơtron đi qua vật chất trong trường hợp µ =
Σl, ở đây Σ – tiết diện tương tác, còn l – quỹ đạo của nơtron, ta nhận được xác suất của đoạn l đi
qua mà không có tương tác. Tương tự cũng viết được xác suất của việc hạt mang điện trên đoạn l
trong vật chất không tạo ra một cặp ion nào. Lưu ý rằng, xác suất p(0) không bằng 0 với mọi giá
trị hữu hạn µ.
Tính toán trực tiếp có thể cho thấy, giá trị trung bình x đối với phân bố Poisson thực chất
bằng µ. Từ đó có thể suy ra, ví dụ, nếu µ = mt và t – thời gian, thì m – cường độ của biến cố.
Đáng lưu ý là phương sai của phân bố Poisson, vốn cũng dễ dàng thấy được bằng tính toán trực
tiếp bằng giá trị trung bình. Đẳng thức D = µ được sử dụng rộng rãi để tính toán phương sai
trong các trường hợp khi chỉ một phép đo x được thực hiện.
Độ không đối xứng của phân bố Poisson, vốn bằng µ -1/2, luôn luôn dương và tiến tới 0
khi µ tăng, nghĩa là khi µ tăng thì phân bố ngày càng trở nên đối xứng hơn.
Phân bố của độ kéo dài các khoảng. Xét quá trình ngẫu nhiên được mô tả bằng phân bố
Poisson, ví dụ hoạt động của ống đếm nhấp nháy được chiếu xạ bằng nguồn có cường độ* thấp
và không đổi, ta sẽ nhận được biểu thức cho phân bố độ kéo dài của các khoảng thời gian giữa

các số đếm kế tiếp nhau.
Gọi tốc độ đếm trung bình – n số đếm trong một đơn vị thời gian. Lấy thời điểm ban đầu
tùy ý ** t = 0. Lần đếm gần nhất sẽ diễn ra giữa các thời điểm t và t + ∆t, nếu trong khoảng thời
gian t không có lần đếm nào, còn trong khoảng thời gian dt sẽ diễn ra một lần đếm. Bởi vì các
lần đếm độc lập với nhau nên xác suất cần tìm của việc, độ kéo dài khoảng đo nằm giữa t và ∆t
chính là tích của xác suất biến cố thứ nhất exp (– nt) và xác suất biến cố thứ hai ndt. Như vậy,
p(t)dt = ndt exp (– nt), từ đó ta nhận được phân bố độ kéo dài các khoảng:
(1.14)
p (t ) = n exp(− nt ).
Rõ ràng, khi t tăng thì xác suất của việc, lần đếm là lần thứ nhất trong khoảng dt, sẽ giảm theo
hàm mũ. Khoảng giữa các biến cố càng nhỏ thì xác suất thấy có khoảng như vậy càng lớn. Phân
bố các khoảng không chỉ mô tả những phân bố theo thời gian (các số đếm của ống đếm, thời gian
sống của các hạt không bền), mà còn mô tả những phân bố các khoảng theo không gian, ví dụ
phân bố của cái được gọi là các electron-δ dọc theo vết của hạt ion hóa: trong biểu thức (1.14)
chỉ cần thay thời gian giữa các lần đếm liên tiếp bằng đoạn l giữa các electron-δ liền kề.
Giá trị trung bình của độ kéo dài của khoảng và phương sai của nó được tính toán dễ dàng bằng
tích phân từng phần biểu thức (1.14) và bằng, tương ứng là n-1 và n-2. Lưu ý rằng, phương sai của
phân bố các khoảng bằng bình phương giá trị trung bình, trong khi đó thì phương sai của phân bố
Poisson bằng giá trị trung bình. Độ lệch bình phương tương đối của phân bố các khoảng δ không
đổi và bằng 1 cho mọi n. Phương sai lớn có nghĩa là, độ kéo dài của khoảng giữa các biến cố liên
tiếp có xác suất lớn, vốn không phụ thuộc vào cường độ trung bình, có thể khác rất nhiều so với
giá trị trung bình của mình.
----------------------*
Giả thiết về cường độ nhỏ do cần bỏ qua thời gian chết của máy đếm.
**
Do tính độc lập của các số đếm trong các khoảng không chờm lên nhau nên việc chọn điểm
bắt đầu đo không ảnh hưởng đến những kết luận sau đó. Ví dụ, điểm bắt đầu đếm có thể trùng
với một xung nào đó.

11

Phân bố đều (đồng xác suất) hoặc vuông góc. Nếu tất cả các giá trị của đại lượng ngẫu
nhiên trong khoảng từ a đến b là đồng xác suất, thì
p ( x) = 0 khi x < a, x > b;

(1.15)

p ( x) = 1/ (b − a ) khi a ≤ x ≤ b.
Phân bố như vậy thường gặp, ví dụ, khi phân tích hình dạng vạch trong một số dạng phổ
kế; nó mô tả phân bố năng lượng của các hạt nhân giật lùi khi tán xạ đàn hồi các nơtron. Phân bố
vuông góc thường được sử dụng để phân tích định tính các quá trình thống kê.
Đối với phân bố vuông góc, giá trị trung bình bằng (b – a/2), còn phương sai bằng (b – a)2/12.
Phân bố Gauss (phân bố chuẩn). Phân bố Gauss (chuẩn) là phân bố quan trọng hơn cả
thường gặp trong thống kê. Nó có dạng đường cong hình chuông đối xứng, lan đến vô cùng ở cả
các hướng dương và âm. Có thể nhận được trường hợp đặc biệt của phân bố Gauss có một thông
số bằng việc chuyển giới hạn (khi µ → ∞) từ phân bố Poisson. Trong trường hợp đó, độ không
đối xứng của phân bố Poisson tiến tới 0 (cũng như 1/
). Khi thay x! trong công thức (1.12)
bằng biểu thức gần đúng của nó, vốn đúng khi x lớn, và sử dụng hiện tượng là nếu µ tăng thì độ
rộng tương đối của phân bố Poisson giảm (δ = 1//
)), có thể nhận được hàm phân bố ở dạng
p( x) = (1/ 2πµ ) exp[−( x − µ ) 2 / (2µ )].
(1.16)
Trong công thức này x – đại lượng ngẫu nhiên liên tục; p(x), như thường lệ, mang ý nghĩa
mật độ xác suất. Phân bố (1.16) là trường hợp đặc biệt của phân bố Gauss vốn có dạng:
p( x) = (1/ σ 2π ) exp[−( x − µ )2 / (2σ 2 )].
(1.17)
Khác với trường hợp đặc biệt (1.16) của mình, phân bố Gauss phụ thuộc vào hai thông
số: µ và δ. Phân bố (1.17) được biểu diễn trên hình 1.3.

Hình 1.3. Phân bố Gauss ở những thông số
µ và δ khác nhau:
1 – µ = 1; δ = 2; 2 – µ = 4; δ = 1; 3 – µ = 6;
δ = 0,5

Từ những ký hiệu đã đưa ra thấy rõ rằng, giá trị trung bình đối với phân bố Gauss bằng µ,
còn phương sai là δ2. Bởi vì phân bố Gauss đối xứng đối với giá trị trung bình nên đối với nó, γ =
0.
Thường sử dụng cách thể hiện phân bố (1.17) trong hàm của biến u = (x – µ)/δ, khi đó
p(u ) = (1/ 2π ) exp[−u 2 / 2].
(1.18)
Trong cách thể hiện phân bố Gauss như vậy, giá trị trung bình của nó bằng 0, còn độ lệch
chuẩn – 1. Đối với hàm (1.18), các bảng chi tiết được đưa ra trong các sách tra cứu và hướng
dẫn. Phân bố Gauss là dạng gần đúng rất tốt để mô tả rất nhiều các quá trình thống kê. Trong vật
lý hạt nhân, biểu thức (1.17) mô tả, ví dụ, phân bố những góc tán xạ đàn hồi khi hạt mang điện đi
qua vật chất, phân bố quãng chạy của những hạt nặng mang điện trong vật chất, phân bố của các
xung theo biên độ khi ghi các hạt mang điện bằng detector bán dẫn v.v…
Phân bố Gauss được sử dụng rộng rãi khi phân tích sai số của các thực nghiệm. Việc sử
dụng rộng rãi phân bố chuẩn trong lý thuyết đo là dựa trên những khẳng định đã được chứng
minh trong lý thuyết xác suất rằng, đại lượng ngẫu nhiên, vốn là tổng của rất nhiều các đại lượng
ngẫu nhiên độc lập có phân bố hầu như tùy ý, được phân bố đúng như (1.17), nghĩa là, các điều
12


kiện để sử dụng định luật phân bố chuẩn khi mô tả các số liệu thực nghiệm sẽ xuất hiện trong các
trường hợp, khi có thể thể hiện đại lượng ngẫu nhiên đang được xem xét ở dạng tổng đủ lớn của
các số hạng độc lập, mà mỗi số hạng trong số đó có ảnh hưởng tương đối nhỏ đến tổng. Tình
trạng như vậy thường đặc trưng cho các thực nghiệm phức tạp. Ta sẽ minh họa tính hội tụ vào
phân bố chuẩn ở một ví dụ đơn giản của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, vốn tuân theo
phân bố đều. Dễ dàng thấy rằng, phân bố của tổng Z của hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X và

Y, vốn có phân bố φ(x) và q(y), được xác định bằng tích phân
p( z ) =

∞

∞

−∞

−∞

∫ ϕ ( x)q( z − x)dx = ∫ ϕ ( z − y)q( y)dy.

(1.19)

Thao tác này được gọi là tích chập các phân bố φ(x) và q(y). Nếu đại lượng đang xét Z là
tổng của ba đại lượng ngẫu nhiên hoặc nhiều hơn nữa, thì có thể nhận được phân bố của tổng đó
bằng cách tích chập liên tiếp.
Hình 1.4. Phân bố đều có a = 0 và b = 1 (1)
và phân bố của tổng hai đại lượng ngẫu
nhiên, mỗi đại lượng trong số đó phân bố
đều trong khoảng 0 – 1 (2) và phân bố của
tổng ba đại lượng ngẫu nhiên, mối đại lượng
trong số đó phân bố đều trong khoảng 0 – 1
(3), phân bố Gauss có µ = 1/2, 1 và 3/2 và δ
= 1/12, 1/6 và 1/4 (tương ứng 4 – 6)

Phân bố đều có a = 0 và b = 1 và phân bố của tổng hai hoặc ba đại lượng ngẫu nhiên cùng
thuộc phân bố như vậy, được trình bày trên hình 1.4. Để so sánh, cũng trên hình này đã đưa ra
phân bố Gauss có các giá trị trung bình 1/2, 1 và 3/2 và có các phương sai tương ứng là 1/12,

1/6, và 1/4. Các diện tích dưới các đường cong đã chuẩn hoá.
Rõ ràng, tổng của cả ba đại lượng ngẫu nhiên, mà các phân bố của chúng còn xa so với
chuẩn, vẫn thống nhất với phân bố Gauss có giá trị trung bình và phương sai tương ứng.
Phân bố χ2. Phân bố χ2 (khi bình phương) được sử dụng rộng rãi khi kiểm tra tính phù
hợp của các số liệu thực nghiệm với giả thuyết tiên nghiệm nào đó khi nhận những khoảng tin
cậy cho các thông số thống kê, khi kiểm tra tính độc lập của các biến trong một loạt các bài toán
khác nhau.
Giả sử, X1, X2, …, Xi, …, Xv – tập hợp v các đại lượng ngẫu nhiên, mỗi đại lượng trong số
đó được phân bố theo định luật chuẩn với kỳ vọng toán học µ i và phương sai δ2i của mình. Các
bình phương của các giá trị chuẩn Xi Ui2 = (Xi – µ i)2/δ2i do tính ngẫu nhiên của Xi – cũng là các
đại lượng ngẫu nhiên. Lấy tổng của chúng, tổng này là đại lượng ngẫu nhiên mới
v

v

i =1

i =1

χ 2 = ∑ U i2 = ∑ ( X i − µi ) 2 / σ i2 .

(1.20)

Rõ ràng, χ2 luôn luôn dương. Thông số v trong (1.20) được gọi là số bậc tự do. Bởi vì các
đại lượng Ui là chuẩn và có cùng một giá trị trung bình, bằng 0, và có phương sai bằng 1, nên
phân bố mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên χ2 chỉ phụ thuộc vào một thông số, chính là
vào v. Nếu như không phải mọi đại lượng ngẫu nhiên v (hoặc không phải mọi biểu hiện của một
đại lượng ngẫu nhiên) là độc lập, thì số bậc tự do, vốn là thông số trong phân bố χ2, sẽ nhỏ hơn v

13

một lượng bằng số các mối liên hệ giữa các giá trị riêng biệt χ2. Trong các giáo trình toán thống
kê cho thấy, mật độ phân bố xác suất đối với χ2
1
(1.21)
p( χ 2 ) = v/ 2
( χ 2 ) ( v /2-1) exp[-( χ 2 / 2)], 0 < χ 2 < ∞.
2 (v / 2 -1)!
Các đồ thị của phân bố này được trình bày trên hình 1.5.
Hình 1.5. Phân bố χ2 ở những giá trị bậc tự
do khác nhau

Giá trị trung bình của χ2 bằng số bậc tự do M(χ2) = v, còn phương sai – 2v. Đối với việc áp dụng,
χ*2
2

2
*

quan trọng là phân bố xác suất tích lũy P ( χ < χ ) =

∫ P( χ

2

)d χ 2 , vốn khó nhận được bằng

0

cách lấy tích phân trực tiếp (1.21). Trong các tài liệu hướng dẫn về thống kê đưa ra các bảng chi
tiết P ( χ 2 < χ*2 ) cho các v khác nhau.

1.3. Những đặc tính thống kê của các số liệu thực nghiệm
Sự khác nhau giữa giá trị đo được của đại lượng đang được nghiên cứu và giá trị
thực của nó được gọi là sai số đo, hoặc sai số của đại lượng được đo. Khi đánh giá độ tin
cậy của các kết quả đo, người ta phân biệt hai nhóm sai số khác nhau về nguyên tắc: các
nhóm hệ thống (hoặc hiệu chuẩn) và thống kê (hoặc ngẫu nhiên).
Sai số hệ thống đặc trưng cho độ chính xác của việc chia độ và hiệu chuẩn thiết bị,
chuyển dịch thang đo của dụng cụ,… chúng xuất hiện ví dụ khi sử dụng giá trị không
đúng của đại lượng mẫu chuẩn, khi tính toán không đúng các yếu tố bên ngoài vốn có thể
dự tính được ảnh hưởng của chúng đến quá trình đo. Nếu nguồn sai số hệ thống (ví dụ,
giá trị không đúng của tiết diện phản ứng “chuẩn”) được nhận ra, thì thông thường dễ
hiệu chỉnh một cách thích hợp. Khả năng loại trừ sai số hệ thống vẫn là dấu hiệu đặc
trưng của nó. Nhưng bình thường khó mà nhận ra sai số hệ thống cố định (hoặc thay đổi
chậm). Việc so sánh các kết quả đo cùng một đại lượng, nhận được trong một số thực
nghiệm khác nhau về nguyên tắc, là cách kiểm tra quyết định.
Sai số thống kê đặc trưng cho tính tái hiện của các kết quả quan trắc sau khi khắc
phục được các sai số hệ thống. Không thể loại bỏ chúng khỏi mỗi kết quả của các phép
đo.
Sau đây sẽ chỉ xem xét các đặc tính thống kê của các số liệu thực nghiệm.
Trước tiên ta phân tích trường hợp đo trực tiếp, khi đại lượng được đo trực tiếp có
liên quan đến đại lượng cần đo một cách đơn trị nghĩa là có thể tìm được giá trị của đại
lượng ngẫu nhiên theo từng phép đo đơn lẻ.
Nếu việc xác định một đại lượng vật lý X nào đó theo n giá trị đo đạc riêng biệt x1, x2,
…, xn là mục đích của thực nghiệm, thì có thể đặc trưng cho kết quả các phép đo nhờ một
số thông số thống kê. Thông thường, để làm các thông số thống kê như vậy người ta sử
dụng
14

1) giá trị X giống như thật hơn cả, để làm giá trị này người ta sử dụng giá trị trung
bình chọn lọc;
2) phương sai phân bố của các giá trị riêng biệt của đại lượng được đo gần với giá trị
trung bình có tính chọn lọc, nghĩa là phương sai chọn lọc;
3) sai số của giá trị trung bình chọn lọc;
4) hệ số đối xạ chọn lọc (khi đo hai đại lượng ngẫu nhiên hoặc nhiều hơn).
Trong một loạt hữu hạn bất kỳ các phép đo, không thể đánh giá chính xác được cả giá
trị trung bình thực µ, cả phương sai δ2, cả các yếu tố khác của hàm phân bố của một đại
lượng ngẫu nhiên. Các hàm phân bố đã được xem xét trên đây mô tả tập tổng, nghĩa là,
tập hợp có tính giả thuyết của tất cả các giá trị có thể có mà đại lượng ngẫu nhiên có thể
nhận.
Trong thực nghiệm luôn luôn phải có việc chọn lọc – số lượng hữu hạn các giá trị của
đại lượng ngẫu nhiên. Mục đích của phân tích thống kê – chỉ ra các phương pháp, nhờ
chúng mà có thể nhận được những giá trị của các thông số chưa biết thuộc tập tổng và
các sai số của chúng, vốn đến lượt mình được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên.
Xét các thông số thống kê.
Giá trị trung bình chọn lọc <X>*. Trên thực tế trong hầu hết các trường hợp người
ta sử dụng giá trị trung bình số học để tính toán giá trị trung bình thực
X =

1 n
∑ xi ≈ µ ,
n i =1

(1.22)

ở đây n – số phép đo độc lập.
Điều đó được lý giải bằng sự đơn giản của công thức (1.22), cũng như bằng độ
chính xác tối đa trong mọi tính toán có thể có trong điều kiện các sai số thống kê của các

đại lượng xi được phân bố theo định luật chuẩn (hoặc gần định luật chuẩn).
Khi tăng số lần đo, X càng gần đến µ. Kỳ vọng toán học của giá trị trung bình
chọn lọc trong điều kiện mỗi giá trị xi đều thuộc tập tổng với µ i trung bình và phương sai
δi 2 ,
M( X ) =

1  n 
M ∑ xi = M ( xi ) ≈ µ.
n  i =1 

(1.23)

Phương sai của giá trị trung bình chọn lọc**
1 n  1  n 
D( X ) = D  ∑ xi  = 2 D  ∑ xi  ,
 n i =1  n  i =1 

(1.24)

nhưng bởi vì phương sai của tổng bằng tổng các phương sai của các số hạng, nên
D( X ) =

1
D ( xi ),
n

(1.25)

Từ biểu thức (1.25) thấy rằng, giá trị trung bình chọn lọc <X> khi n lớn là giá trị µ
chính xác hơn nhiều so với giá trị riêng lẻ xi, bởi vì <X> có độ tản mạn nhỏ hơn so với giá

trị trung bình thực.
------------------------*

Trong tài liệu, đôi khi ký hiệu giá trị trung bình chọn lọc là X
Từ định nghĩa phương sai, dễ dàng có D(cx) = c2D(x), nếu c = const.

**

15


Độ chính xác tính toán được xác định bằng biểu thức
D ( X ) = σ ( xi ) / n ,

(1.26)

nó cho thấy, độ chính xác tăng tỷ lệ với n . Hệ thức rất quan trọng này đúng cho mọi
phân bố. Cần nhấn mạnh rằng, nó nhận được khi có giả thiết rất cơ bản về tính độc lập
của các giá trị riêng biệt xi.
Phương sai chọn lọc s2. Trong các biểu thức (1.25) và (1.26) đã giả định rằng, đã
biết phương sai phân bố của đại lượng X. Trên thực tế cũng chỉ có thể xác định được
phương sai chọn lọc.
Việc tính toán s2 của giá trị thực của phương sai σ2 cần dựa trên giá trị trung bình
chọn lọc <X> và tập hợp hữu hạn các kết quả đo riêng biệt. Trong trường hợp đó, biểu
thức cho phương sai chọn lọc s2 sẽ nhận được từ biểu thức cho σ2 (1.4) bằng cách thay µ
bằng <X> và chuyển từ lấy trung bình theo tập tổng sang lấy trung bình theo số lượng
hữu hạn n phép đo:
s2 =

1 n

( xi − X ) 2 .
∑
n i =1

(1.27)

Thực hiện phép thế (xi – <X>) = [(xi – µ) – (<X> – µ)].
Khi đó từ (1.27) dễ dàng nhận được biểu thức sau
s2 =

1 n
[( xi − µ ) 2 −( X − µ ) 2 ].
∑
n i =1

Từ đó, xét đến (1.26), kỳ vọng toán học của phương sai chọn lọc
(1.28)
M ( s 2 ) = σ 2 − σ 2 / n = σ 2 [( n − 1) / n].
2
Như vậy, giá trị tốt nhất của phương sai thực σ , được biểu diễn qua các kết quả
của số lượng hữu hạn n các phép đo độc lập của đại lượng ngẫu nhiên X, có dạng sau:
σ2 ≈

n 2
1 n
s =
( xi − X ) 2 ,
∑
n −1
n − 1 i =1

(1.29)

1 n
∑ ( xi − X )2 .
n − 1 i =1

(1.30)

σ≈

Việc xuất hiện thừa số 1/(n – 1) thay vì 1/n trước ký hiệu tổng có liên quan đến
việc, biểu thức

n

∑ (x −
i

X ) = 0 đã thay cho n đại lượng ngẫu nhiên (xi – <X>), vì vậy có n

i =1

– 1 đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Lưu ý rằng, khi rút ra biểu thức (1.29) đã không đưa thêm vào bất kỳ giả thiết nào
về đặc trưng phân bố của đại lượng X, nghĩa là, giá trị phương sai là đúng cho mọi phân
bố.
Trong trường hợp chỉ có một phép đo đại lượng X thì giá trị trung bình chọn lọc <X> = x.
Khi đó phương sai dường như bất định, bởi vì không biết độ tản mạn của các số liệu thực
nghiệm. Ví dụ, đối với phân bố Gauss phương sai là thông số độc lập, không có liên

quan nào với giá trị trung bình. Tuy nhiên, như đã thấy, nếu như có cơ sở để giả thiết

16


rằng, phân bố đã cho là phân bố Poisson, mà trong vật lý hạt nhân điều đó thường xảy ra,
thì có thể tính toán giá trị σ2 như sau:
σ 2 ≈ X ≈ x. (1.31)

Sai số của giá trị trung bình chọn lọc σ<x>. Như đã nói trước đây, thông thường
mục đích của một loạt n các phép đo độc lập một đại lượng vật lý X nào đó x1, x2, …, xn
là tìm ra giá trị chọn lọc <X> của nó, và xác định xác suất của việc, giá trị trung bình
chọn lọc khác giá trị trung bình thực µ ở mức độ ít hơn so với một giá trị cho trước nào
đó. Để làm đại lượng như vậy thường chọn sai số toàn phương trung bình (hoặc sai số
chuẩn) của giá trị trung bình σ<x>*.
Trên đây đã nói, độ chính xác của giá trị µ theo giá trị trung bình chọn lọc <X>
(1.25). Định lý giới hạn trung tâm của thống kê học cho phép đưa ra kết
tăng tỷ lệ với
luận về phân bố <X>. Nó khẳng định rằng, nếu đại lượng ngẫu nhiên có giá trị trung bình
µ và phương sai hữu hạn σ, thì khi khối lượng chọn n tiến đến vô cùng**, phân bố của giá
trị trung bình chọn lọc <X> sẽ tiến đến phân bố chuẩn với giá trị trung bình µ và phương
sai σ2/n. Khi đó, phân bố X không hoàn toàn nhất thiết phải là phân bố chuẩn. Khi n nhỏ
(chọn một lượng không lớn), phân bố các giá trị trung bình chọn lọc luôn luôn gần chuẩn
hơn so với phân bố của các biến cố khởi nguồn.
Việc <X> tiến tới phân bố chuẩn cho phép xác định sai số toàn phương trung bình
của giá trị trung bình chọn lọc σ<x>, bằng căn bậc hai của phương sai phân bố các giá trị
trung bình chọn lọc. Theo định nghĩa σ<x> = σ/ , ở đây n – số lượng phép đo; σ – độ
lệch bình phương trung bình của phân bố X. Để tính toán sai số toàn phương trung bình,
thay giá trị độ lệch chuẩn chưa biết bằng giá trị chọn lọc của nó theo (1.29). Khi đó
n

σ
1
≈
(1.32)
σX =
∑ ( xi − X )2 .
n

n(n − 1)

i =1

So sánh (1.30) và (1.32) thấy rõ sự khác nhau có tính nguyên tắc giữa σ và σ<x> . Tăng số
lượng phép đo dẫn đến giảm sai số toàn phương trung bình σ<x> của giá trị trung bình
<X>, trong khi độ lệch chuẩn được xác định bằng chính quá trình vật lý và không phụ
thuộc vào số lượng phép đo. Nói cách khác, khi tăng số lần đo, có thể nhận được giá trị
trung bình chọn lọc <X> ngày càng gần với giá trị trung bình thực khi không có các sai
số hệ thống và đối xạ giữa các lần đo riêng biệt, nhưng khi đó những lần đo riêng biệt sẽ
thăng giáng tỷ lệ với độ lệch chuẩn của chính đại lượng ngẫu nhiên và khi σ lớn thì
những thăng giáng đó rất rõ rệt. Ví dụ, có thể dễ dàng đo khoảng thời gian trung bình
giữa các số đếm của ống đếm bức xạ ion hóa với sai số toàn phương trung bình dưới 10-3,
trong khi đó xác suất nhận biết khoảng đó trong mỗi lần đo riêng biệt, vốn vượt quá 2 lần
hoặc hơn nữa so với các khoảng trung bình, là bằng 0,134.
---------------------------*

Trong các tài liệu đôi khi bỏ qua ký hiệu <X> ở σ<x> , điều đó dẫn đến lầm lẫn, bởi vì sai lệch
phân bố toàn phương trung bình cũng được ký hiệu là σ.
**
Hầu như luôn luôn đủ, nếu n

17


Lưu ý rằng, từ (1.32) suy ra, khi số lần đo tiến gần tới vô cùng thì σ<x> → 0. Kết
luận đó, vốn đúng đối với các phép đo độc lập, lại không xác đáng khi có đối xạ giữa các
phép đo riêng biệt. Có thể cho thấy, ví dụ, trong trường hợp các phép đo chính xác như
nhau có hệ số đối xạ dương ρ giữa mỗi cặp đo như nhau, σ<X> sẽ tiến tới giá trị hữu hạn
σ ρ.
Độ chuẩn của phân bố <X> gần µ là quan trọng để hiểu ý nghĩa cách ghi chép
các kết quả đo đại lượng X mà các nhà vật lý thường sử dụng: <X> ± σ<X>. Viết như vậy
là giả định rằng, với xác suất 0,68 đại lượng chưa biết µ (giá trị trung bình thực) nằm
trong khoảng <X> ± σ<X>. Xác suất đó tăng lên đến 0,95 nếu khoảng đó tăng đến <X> ±
2σ<X>.
Hệ số đối xạ chọn lọc q. Trong thực nghiệm, không phụ thuộc vào việc liệu đại
lượng được đo là rời rạc hay liên tục, có thể chỉ nhận được một tập hợp hữu hạn các giá
trị của đại lượng đó. Vì vậy hệ số đối xạ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên được tính toán
theo việc chọn hữu hạn các giá trị của nó. Đối với cách chọn có chứa n cặp giá trị (xi, yi)
của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, hệ số đối xạ chọn lọc q được xác định bằng biểu
thức theo như (1.10)
1 n

q =  ∑ ( xi − X )( yi − Y )  / ( s X sY ),
 n i =1


(1.33)

ở đây <X>, <Y> và sX, sY được xác định theo (1.22) và 1.27).
Trong thực tế, để xác định q cần tiến hành rất nhiều thực nghiệm, đặc biệt trong
trường hợp các sự phụ thuộc đối xạ yếu, điều này có liên quan đến, như thường nói, độ

ổn định thống kê kém của hệ số đối xạ. Có thể coi là đủ tin cậy khi xác định hệ số đối xạ
trong trường hợp giá trị của nó lớn hơn 0,1.
Sai số của các phép đo không trực tiếp. Những biểu thức cho các sai số đã được
xem xét trên đây là thuộc về các đại lượng ngẫu nhiên được đo trực tiếp. Trong các thực
nghiệm có phức tạp bao nhiêu đi nữa thì đại lượng ngẫu nhiên được nghiên cứu cũng là
kết hợp phức tạp của rất nhiều các đại lượng ngẫu nhiên được đo. Những phép đo như
vậy được gọi là không trực tiếp. Có thể nhận được dạng quan hệ giữa các đại lượng được
đo trực tiếp và đại lượng cần tìm nhờ các định luật vật lý đã biết cũng như trên cơ sở các
số liệu thực nghiệm.
Ta tìm biểu thức cho sai số toàn phương trung bình của đại lượng Z, vốn là hàm
của m đại lượng ngẫu nhiên độc lập Xi, Z (X1, X2, …, Xm). Muốn vậy, trước hết ta tính sai
số toàn phương trung bình cho hàm của một đại lượng ngẫu nhiên, sau đó mở rộng tính
toán cho hàm nhiều đại lượng ngẫu nhiên.
Triển khai hàm Z(X) thành chuỗi Taylor đối với điểm µ và giới hạn trong một số
số hạng đầu của dãy triển khai đó
(1.34)
Z ( x ) = Z ( µ ) + ( X − µ ) Z ′( µ ) + ( X − µ ) 2 Z ′′( µ ) / 2 + ...
Lấy trung bình theo phân bố X, hoặc, cũng như vậy, tính kỳ vọng toán học, ta nhận
được biểu thức gần đúng sau:
M [Z ( X )] ≈ Z ( µ ) + 0 + σ 2 Z ′′( µ ) / 2 + ...
Bỏ qua các số hạng bậc hai và bậc lớn hơn, ta có
M [Z ( X )] ≈ Z ( µ ).
18


Bây giờ, dùng biểu thức đó, ta viết biểu thức gần đúng cho phương sai:
(1.35)
D[Z ( X )] = M [Z ( X ) − M [Z ( X )]]2 ≈ M [[Z ( X ) − Z ( µ )]2 ],
nghĩa là, phương sai xấp xỉ tuyến tính của hàm bằng kỳ vọng toán học của bình phương
hiệu số giữa hàm và giá trị của hàm tại điểm µ.

Từ (1.34), khi bỏ qua các số hạng bậc hai, ta có
Z ( X ) − Z ( µ ) = ( X − µ ) Z ′( µ ).
Thay biểu thức đó vào (1.35), ta được
(1.36)
D[ Z ( X )] ≈ M [[( X − µ ) Z ′( µ )]2 ] = [Z ′( µ )]2 D ( X ) ≈ [Z ′( X )]2 D ( X ).
Lưu ý rằng, biểu thức (1.36) được viết khi giả định rằng, dãy Taylor kết thúc ở số
hạng chứa Z ′( µ ) , nghĩa là, hoặc khi Z (X) – hàm tuyến tính, hoặc khi có thể bỏ qua các số
hạng không tuyến tính của dãy triển khai. Nếu Z (X) = aX + b, thì D (X) đúng bằng a2σ2.
Trong trường hợp, khi đại lượng cần tìm Z là hàm của m đại lượng ngẫu nhiên độc lập Xi,
người ta sử dụng phép triển khai m chiều thành chuỗi Taylor lân cận điểm có tọa độ µ i.
Lập luận tương tự như trên sẽ dẫn đến biểu thức cho phương sai xấp xỉ tuyến tính:
m

D[Z ( X 1 ,, X 2 ... X m )] = ∑ [∂Z ( X i ) / ∂X i ]2σ i2 ,

(1.37)

i =1
m

và tương ứng

σ

X

=

∑ [∂Z ( X ) / ∂X ] σ
2

i

i

2
i

.

(1.38)

i =1

Ở đây, σ2i – phương sai của phân bố Xi quanh µ i*.
Một lần nữa nhấn mạnh rằng, (1.37) – công thức xấp xỉ, đúng khi độ lệch Xi so với
µ i không lớn. Biểu thức (1.38) được sử dụng rộng rãi khi phân tích các sai số, và kết quả
đo Z được viết ở dạng
Z ±σ Z .
(1.39)
Khi đó trong phần lớn các trường hợp đều giả định, nhưng không bắt buộc rằng,
phân bố < Z > gần với chuẩn. Tính hội tụ tốt của phần lớn các phân bố tới chuẩn, thậm
chí cả khi không có nhiều biến độc lập, và giá trị nhỏ của các sai số toàn phương trung
bình tương đối trong các thực nghiệm thông thường đều chứng thực cho giả định đó.
Khắc nghiệt hơn là điều kiện độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên Xi. Nếu Xi đã
được đối xạ, thì biểu thức cho phương sai trở nên phức tạp và trong đó xuất hiện các số
hạng có các đạo hàm giao nhau.
Minh họa hiệu ứng đối xạ ở ví dụ hàm Z (X1, X2, …, Xm), vốn phụ thuộc tuyến tính
vào Xi, nghĩa là hàm mà triển khai nó thành dãy Taylor dừng ở số hạng tuyến tính. Cho Z
(X1, X2, …, Xm) = a1X1 +a2 X2, …, amXm. Theo định nghĩa

(1.40)
D( Z ) = M [[a1 X 1 + a2 X 2 + ... + am X m − M [a1 X 1 + a2 X 2 + ... + am X m ]]2 ].
m
m
 m
M ( Z ) = M  ∑ ai X i  = ∑ ai M [X i ] =∑ ai µi ,
i =1
 i =1
 i =1
D ( Z ) = M [[a1 ( X 1 − µ1 ) + a2 ( X 2 − µ 2 ) + ... + am ( X m − µ m )]2 ] =

Lưu ý rằng,

ta viết
---------------------------

*

(1.41)

Đương nhiên, thực tế thay vì µ i và σ2i người ta cố định giá trị của chúng <Xi> và s2i

19


n

= ∑ a j ak M [( X j − µ j )( X k − µ k )],

(1.42)

j ,k

ở đây các chỉ số j và k nhận các giá trị từ 1 đến m. Các số hạng chéo của ma trận (1.42),
đối với chúng j = k, là phương sai của các Xi tương ứng; M [( X j − µ j )2 ] = a 2j D( X j ) . Các số
hạng không chéo bằng 0, nếu tất cả các đại lượng ngẫu nhiên Xi độc lập. Thực vậy, giả sử
kỳ vọng toán học của tích các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các kỳ vọng toán
học của chúng, và chú ý đến (1.3) ta có
M [( X j − µ j )( X k − µ k )] = M [( X j − µ j )]M [( X k − µ k )] = 0
Khi đó

m

D( Z ) = ∑ ai2 D( X i )

(1.43)

i =1

phù hợp với công thức (1.38).
Nếu tồn tại đối xạ giữa Xj và Xk, thì kỳ vọng toán học của tích không bằng tích của
các kỳ vọng toán học, nghĩa là,
(1.44)
M [( X j − µ j )( X k − µ k )] = M [( X j X k )] − µ j µ k ≠ 0
Ta viết biểu thức cho phương sai có tính đến đối xạ. Đối với hàm tuyến tính Z và
m biến Xi
m

m

i =1

i =1

D( Z ) = ∑ ai2 Di + 2∑ a j ak ρ j kσ jσ k .

(1.45)

Khi viết biểu thức này đã tính rằng ρjk = ρkj. Nếu mọi ρjk không bằng 0, thì số các
số hạng của tổng kép trong (1.45) bằng m (m – 1) và như vậy, phương sai khi có đối xạ
có thể vượt xa phương sai cho các biến độc lập Xi. Thậm chí đối với hai biến độc lập, khi
giả sử rằng ρik thay đổi trong khoảng từ – 1 đến + 1, phương sai có thể thay đổi từ 0 đến
giá trị phương sai gấp đôi đối với hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Kiểm tra giả thuyết về luật phân bố. Tiêu chí thích ứng χ*2 . Việc đánh giá một
cách tin cậy luật phân bố của một đại lượng vật lý nào đó, ví dụ phân bố theo góc của các
nơtron tán xạ trên các hạt nhân của một nguyên tố nhất định, là mục đích của nhiều thực
nghiệm trong vật lý hạt nhân. Không thể xác định được luật phân bố chính xác của đại
lượng ngẫu nhiên trong thực nghiệm, bởi vì muốn vậy cần phải có một lượng vô cùng lớn
các phép đo để nhận được tập hợp tổng thể, còn từ một số hữu hạn các phép đo chỉ xác
định được sự chọn lựa hữu hạn. Từ đó có thể suy ra ngay kết luận rằng, thực nghiệm
không thể chứng minh được tính đúng đắn của một giả thuyết (lý thuyết), mà chỉ cho
phép đưa ra kết luận về tính không mâu thuẫn của nó với các số liệu thực nghiệm.
Thông thường, trước khi tiến hành thực nghiệm đã hình thành một hoặc một số giả thuyết
đã được tiên nghiệm từ lý thuyết hoặc từ kết quả của những thực nghiệm trước đó,
thường là gián tiếp. Bởi vì đại lượng được đo (trong ví dụ của chúng ta – số số đếm của
detector tùy thuộc vào góc tán xạ) – ngẫu nhiên, nên, thậm chí nếu luật phân bố của nó đã
được biết chính xác, ở dạng chọn lựa hạn chế, cũng sẽ nhận thấy những sai lệch của các
kết quả quan trắc so với tính toán theo phân bố. Xuất hiện câu hỏi: liệu những sai lệch đã
được nhận thấy của các đại lượng đã được đo so với lý thuyết đã tiên đoán là ngẫu nhiên
hoặc có những sai lệch hệ thống, nghĩa là lý thuyết không đúng?

20


Tiêu chí kiểm tra giả thuyết về phân bố đã được tiên đoán được gọi là tiêu chí phù
hợp. Nhờ nó có thể xác định, sau khi đã cho trước cái gọi là xác suất tin cậy, liệu các
quan trắc thực nghiệm có thích ứng với giả thuyết tiên nghiệm hay không. Xác suất tin
cậy được xác định bằng các điều kiện của bài toán và được lấy gần bằng một – 0,9; 0,95.
Trên thực tế thường sử dụng nhiều hơn cả là tiêu chí phù hợp χ 2 . Ta sẽ xét tiêu
chí này. Giả sử cần kiểm tra giả thuyết về việc, đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo luật
phân bố p(x). Xét thực nghiệm, trong đó nhận được n phép đo độc lập X. Chia toàn bộ
vùng thay đổi của X làm l khoảng ∆1, ∆2, …, ∆l và tính toán số lượng các giá trị đã đo
được của X đã rơi vào mỗi khoảng. Bởi vì phân bố lý thuyết p(x) được giả định là đã biết,
có thể tính số lượng lý thuyết các giá trị X trong khoảng thứ i npi, ở đây pi – xác suất đại
lượng ngẫu nhiên rơi vào khoảng thứ i. Nếu tần suất thực nghiệm ni khác nhiều so với npi
lý thuyết, thì cần gạt bỏ giả thuyết về tính thích ứng của lý thuyết và thực nghiệm. Tiêu
chí χ 2 tạo khả năng thể hiện một cách định lượng mức độ thích ứng này.
Giả sử, giả thuyết được kiểm tra p(x) là đúng. Khi đó đại lượng ngẫu nhiên ni tuân
theo phân bố nhị thức với kỳ vọng toán học pin và phương sai npi (1 – pi).
(ni − npi ) 2
Trong giáo trình toán thống kê cho thấy, khi n→∞ thì tổng ∑
có phân bố
npi
i =1
l

χ 2 với v = l – 1 bậc tự do không phụ thuộc vào luật phân bố của đại lượng ngẫu nhiên X.
Sử dụng tiêu chí sau đây làm thước đo sai lệch giữa lý thuyết (npi) và thực nghiệm
(ni)
l

(n − npi )2
χ*2 = ∑ i
(1.46)
npi
i =1
Rõ ràng, các tần suất lý thuyết và thực nghiệm khác nhau càng ít thì giá trị χ*2 càng
nhỏ. Bởi vì phân bố χ*2 sẽ tiến tới χ 2 khi n → ∞ [xem (1.21)], tiêu chí này còn được gọi
là tiêu chí phù hợp χ*2 . Sử dụng nó như sau: sau khi tính χ*2 và cho trước xác suất tin cậy,

sẽ tìm trong các bảng giá trị χα2 ,v cho trường hợp v = l – 1. Nếu ở α đã cho mà χ*2 > χα2 ,v ,
thì lý thuyết và thực nghiệm không phù hợp, nếu χ*2 < χα2 ,v , thì phù hợp.
Cần lưu ý thêm một lần nữa rằng, phân bố χ*2 được mô tả bằng công thức (1.21)
chỉ khi n → ∞. Trên thực tế, để ni lớn hơn 5 là hoàn toàn đủ. Trong trường hợp ngược lại,
người ta tăng các khoảng ∆i (khi xây dựng tiêu chí χ*2 không đòi hỏi các khoảng phải
bằng nhau)

21