Bài giảng toán kinh tế chương 5 nguyễn ngọc lam

C5. HÀM NHIỀU BIẾN
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp
xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… x n) (xi  R, i = 1,.. n) được
gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều
được ký hiệu là Rn.
Rn = {x = (x1, x2,… x n): xi  R, i = 1,.. n}
Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x.

118


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Khoảng cách 2 điểm:
x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)  Rn:
n

d( x , y ) 

2
(
x

y
)
 i
i

i1

Lân cận: Cho x0Rn và số r > 0.

Tập S(x0, r) = {x  Rn: 0 < d(x,x0) < r}
được gọi là một lân cận của x0.

119


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Điểm trong: Điểm x0Rn được gọi là điểm trong của D
 Rn nếu D chứa một lân cận của x0.
Điểm biên: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D 
Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x,
y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi
là biên của D.
Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.
Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.

120


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Hàm 2 biến: D  R2, một ánh xạ f: D  R, được gọi là
hàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x , y )  z  f ( x , y )
• D: miền xác định
• f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:
z = 2x – 3y +5

2

z  1x y

2

z = ln(x + y -1)
Hàm n biến: D  Rn, một ánh xạ f: D  R được gọi là
hàm số n biến. Ký hiệu:
f : ( x 1 , x 2 ,... x n )  z  f ( x 1, x 2 ,... x n )
121


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận
M 0(x0,y0), có thể khơng xác định tại M 0. Số thực L được
gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0(x0,y0), nếu:
 > 0,  > 0: d(M,M 0) <  => f(M) – L < 
d(M, M 0 ) 
lim f (M )  L
MM0

(x - x 0 )2  (y - y 0 )2
lim

( x ,y )  ( x 0 , y 0 )

f (x , y)  L

lim f (x , y)  L
x  x0
y  y0

122


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
• Khái niệm vơ hạn cũng được định nghĩa tương tự như
đối với hàm số một biến.
• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với
hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.
2

Ví dụ:

lim
( x ,y )  ( 0 ,0 )

2

sin( x  y )
x 2  y2

lim
( x ,y )  ( 0 ,0 )

xy
x2  y2

123


C5. HÀM NHIỀU BIẾN

Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu
lim
f (x , y)  f ( x 0 , y0 )
( x ,y )  ( x 0 , y 0 )

Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn
trên D  R2 thì:
• Tồn tại số A>0: |f(x,y)| ≤ A
• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D
Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của
hàm số đối với hàm n biến (n≥3)
124


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
3. ĐẠO HÀM RIÊNG
Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D,
M 0(x0,y0)  D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một
biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm
riêng của f đối với x tại M 0. Ký hiệu:
f
z
'
fx ( x 0 , y 0 ),
( x 0 , y 0 ),
(x 0 , y0 )
x
x
Đặt  xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M 0.

fx'

 xf
 lim
x 0 x
125


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f
theo biến y.
 yf
'
fy  lim
 y 0  y
Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến
số (n3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
z  x 4  5 x 3 y2  2 y 4

u  xy
126


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm
riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các
đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được
gọi là đạo hàm riêng cấp 2.
2

  f   f
''


f
(
x
,
y
)


xx
 x  x   x 2
  f 
 2f
''


 fxy
( x , y)
 x  y   x y

2

  f 
 f
''



f


yx ( x , y )
 y   x   y x
  f 
 2f
''


 fyy
( x , y)
 y   y  yy

Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…
127


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Định lý (Schwartz): Nếu trong lân cận nào đó của M 0
hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0
thì fxy = fyx tại M 0.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp
cao hơn của n biến số (n3)

128


C5. HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) có các đạo
hàm riêng theo u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có
các đạo hàm riêng theo x,y thì:

 z f u f v


 x u x v x

z f u f v


y u y v y

Ví dụ: Tính z = exy+lnxcos(x2+xy+y2)

129


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Vi phân toàn phần: Nếu hàm z = f(x,y) được gọi là khả vi
tại (x0,y0) nếu tồn tại A,B sao cho:
f(x0+x,y0+y) - f(x0,y0)=Ax + By + 0x + 0y
Biểu thức df = Ax + By được gọi là vi phân toàn phần
Định lý: Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) A = f’x(x0,y0),
B=f’y(x0,y0)
Cơng thức tính xấp xỉ:
f(x0+x,y0+y)  f(x0,y0) + f’x(x0,y0)x + f’y(x0,y0)y
Tương tự ta có thể mở rộng cho hàm n biến (n3)
130

C5. HÀM NHIỀU BIẾN
3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B)
thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0.
Ví dụ: xy – ex + ey = 0

131


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:

Fx
y'  f ' ( x )  
Fy
Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0
F(x,y) = xy – ex + ey = 0

132


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình
F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao
cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f,

thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0.
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:
Fy
z
z
Fx


y
Fz
x
Fz
Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(2x+3y+4z)

133


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
4. CỰC TRỊ
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm
M 0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận  của M 0 sao cho
f(M)  f(M 0), M   (f(M)  f(M 0), M  ). f(M 0) gọi chung
là cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại
(x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0
134

C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại
những điểm thỏa zx = zy = 0, ta gọi định thức Hessian:

z xx
H
z yx

zxy
z yy

z xx
Đặt: H1  z xx , H2 
z yx

zxy
z yy

• Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu
• Nếu |H1|<0, |H2|>0: z đạt cực đại
Ví dụ: tìm cực trị hàm số

z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8,
135


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x1,x2…xn). Tại
những điểm thỏa fx1 = fx2 = … fxn = 0, giả sử tại đó tồn tại

fij  fxi x j
các đạo hàm riêng cấp 2, đặt
Ta có định thức Hessian:
f11 f12 ... f1n

f11 f12

f21 f22 ... f2n
H1  f11 , H2 
,... Hn 
f21 f22
... ... ... ...
fn1 fn2 ... fnn
• Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H1|<0, |H2|>0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z
136


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện
g(x,y) = c (c: hằng số) gọi là cực trị có điều kiện.
Định lý: Nếu M 0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với
g’x,g’y khơng đồng thời bằng 0 thì:
Lx  fx   gx  0

L y  fy  gy  0


L  c  g(x , y)  0
 là nhân tử Lagrange, điểm M 0(x0,y0) của hệ trên gọi là
điểm dừng.
137


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.

z  1  x 2  y2
Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện
g(x1,x2,…xn) = c. Hàm Lagrange L = f + (c-g)
L1  f1   g1  0
L  f  g  0
2
 2 2
........................
L  f  g  0
n
 n n
L  c  g  0
138


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại
điểm dừng M 0, xét định thức Hessian đóng:
0 gx gy

H2  gx Lxx
gy L yx

L xy
Lyy

H2  0 ( H2  0 ) : f đạt cực đại (cực tiểu) có điều kiện
Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:
f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1
139


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,…xn) với điều
kiện g(x1,x2,…xn) = c. Hàm Lagrange: L = f + (c-g). Xét tại
điểm dừng M 0, ta xét định thức Hessian đóng:
0 g1 g2 ... gn

g1 L11 L12 ... L1n
Hn  g2 L21 L22 ... L2n
... ...
... ... ...
gn Ln1 Ln2 ... Lnn
: f đạt cực tiểu
H2  0 , H3  0 ... Hn  0
H2  0, H3  0...( 1)n Hn  0 : f đạt cực đại
140


C5. HÀM NHIỀU BIẾN

Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z
với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên một miền đóng và
bị chặn:
Cho miền D có biên cho bởi phương trình g=c, ta có qui tắc
tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất như sau:
• Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của f với điều kiện g=c
• Tìm các điểm dừng của f thuộc D
• fmax , fmin là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị trên.

Ví dụ, tìm fmax, fmincủa hàm f(x,y) = x2 + 2y 2 – x
trong miền x2 + y2  1

141


C5. HÀM NHIỀU BIẾN
4. MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Giá trị biên:
Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp:
Q  30K

2 / 3 1/ 3

L

Giả sử doanh nghiệp sử dụng 27 đơn vị tư bản và 64
đơn vị lao động, hãy tìm giá trị biên và cho nhận xét.

142