Bài giảng trường điện từ chương 4 trường điện từ dừng

CHƯƠNG 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
DỪNG
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng trong môi trường dẫn
3. Trường điện dừng trong điện môi lý tưởng bao
quanh vật dẫn có dòng không đổi
4. Trường từ dừng
5. Năng lượng trường từ dừng
6. Lực từ
7:39 PM

Chương 4

1

Khái niệm
 Trường điện từ dừng là trường điện từ trong đó các đại lượng đặc trưng cho
trường không phụ thuộc thời gian và có dòng điện không đổi
5
6
7

1
 Phương trình:

0

2

0

3

 Môi trường đẳng
hướng, tuyến tính:

4

0

8

 Các phương trình (1), (2), (5): trường từ dừng gây bởi dòng điện không đổi theo
thời gian
 Các phương trình (3), (4), (6), (7): trường điện dừng
 Các phương trình (3), (4), (6): trường điện dừng trong điện môi lý tưởng
( = 0) bao quanh môi trường dẫn mang dòng điện không đổi
 Các phương trình (3), (8), (7): trường điện dừng trong môi trường dẫn có
2
dòng điện không đổi

1


Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Các phương trình cơ bản:
 Dạng vi phân:

0

 Dạng tích phân:

0

0
0

0

Các đường sức là các đường cong khép kín
Dòng điện phải chạy trong mạch dẫn khép kín

Do hiện tượng tiêu tán năng lượng

Cần nguồn cung cấp để dòng điện không đổi

Môi trường dẫn phải khép kín qua một nguồn và nguồn phải cung cấp năng
lượng thường xuyên
7:39 PM

Chương 4

3

Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Trong miền không nguồn:

 Trong miền có nguồn:

: vector cường độ trường ngoài
Trường lực ngoài phải là trường lực không có tính chất thế (không có nguồn
gốc tĩnh điện) như pic, accu, máy phát điện, …

7:39 PM

Chương 4

4

2


Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Thế điện vô hướng:
(M0) = 0

0
Môi trường dẫn đồng nhất, tuyến tính, đẳng hướng:
 = 2 = 0: phương trình Laplace
 Điều kiện biên:
Trên mặt S phân cách hai môi trường:






7:39 PM

Chương 4

5

Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Điều kiện biên:

J2n
J2t





t: đạo hàm theo phương tiếp tuyến
1

2

J2t
 Nếu môi trường dẫn tiếp xúc điện môi lý tưởng

J1n

Môi trường 2 là điện môi lý tưởng
0;

Nếu 1 >> 2:
7:39 PM

0;

0;

0;

0

0

0
Chương 4

6

3


Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Điện trở:
Xét môi trường dẫn đặt giữa hai điện cực (độ
dẫn điện của điện cực lớn hơn nhiều so với môi
trường dẫn)
Nếu đặt một hiệu điện thế không đổi vào 2
điện cực

Có thể xem bề mặt của điện
cực tiếp xúc môi trường dẫn
là đẳng thế
Trong môi trường dẫn tồn tại
một trường điện từ dừng

Điều kiện biên:

0

, : ề ặ đ ệ ự ế ú ô ườ ẫ
: ề ặ ò ạ ủ ô ườ ẫ ế ú đ ệ ô

7:39 PM

Chương 4

7

Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Điện trở:
Gọi i là dòng điện chạy từ cực 1 sang cực 2 qua môi trường dẫn

S: bề mặt bất kỳ trong môi trường dẫn cắt tất cả các đường sức điện
Nếu môi trường dẫn tuyến tính ( không phụ thuộc , )
u = 1 - 2 = ri hay i = gu
r: điện trở, g: điện dẫn

7:39 PM

Chương 4

8

4


Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Công suất tiêu tán:
Theo định luật Joule – Lentz, mật độ công suất tiêu tán trong môi trường dẫn

(: bao gồm 3 mặt S0, S1, S2)

Trên mặt S0:

0

7:39 PM

Chương 4

9

Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 So sánh trường điện dừng trong môi trường dẫn với trường điện tĩnh:
↔
↔

↔
↔
↔
 Có thể áp dụng các phương pháp tính trường điện tĩnh để tính trường
điện dừng
 Biết kết quả của bài toán trường điện tĩnh thì có thể suy ra kết quả của
bài toán trường điện dừng bằng cách biến đổi như trên

7:39 PM

Chương 4

10

5


Tụ điện phẳng có hai lớp cách điện 1 = const dày d1, 2 = const dày d2 đặt
dưới hiệu điện thế U = const, diện tích mỗi bản tụ là S.

=U

I

=0

1

2

J1

J2

Do tính đối xứng 

theo hướng x 

0
x
d1

0

J1 = const
J2 = const

Điều kiện biên: J1n = J2n  J1 = J2 = J

d2

0

0
7:39 PM

11

Dòng điện chạy qua tụ điện:

Điện trở của tụ điện:

Điện dẫn của tụ điện:

7:39 PM

Chương 4

12

6


Trường điện dừng trong điện môi lý tưởng
bao quanh vật dẫn có dòng không đổi
Trong điện môi lý tưởng:

0
0

Các phương trình:

0

Trường điện dừng trong điện môi lý tưởng bao quanh vật dẫn có dòng không
đổi là trường thế
Nếu  = const  phương trình Laplace:  = 0
Điện môi lý tưởng

(2)

E2n = 0

Vật dẫn mang dòng (1)
điện không đổi
7:39 PM

Chương 4

13

Cáp đồng trục bán kính lõi a, bán kính trong của vỏ là b, bán kính ngoài của vỏ
là c, dòng điện chạy trong lõi và vỏ có cùng cường độ I nhưng ngược chiều
Trong vỏ và lõi:


õ
ỏ

b

Lõi dẫn hình trụ

a

c



Lớp điện môi

õ
ỏ

Vỏ ngoài

Mặt đẳng thế là các mặt z = const. Chọn thế
trên mặt z = 0 của lõi có  = 0 và thế trên
mặt z = 0 của vỏ có  = U
b
a

c


0

õ

z
ỏ
Chương 4

14

7


Trong lớp điện môi:
1

ln

1
1

7:39 PM

Chương 4

15

Trường từ dừng
 Các phương trình cơ bản:
 Dạng vi phân:

0

 Dạng tích phân:

Σ

0

 Điều kiện biên:
 Thế từ ở miền không có dòng điện:
0

7:39 PM

Có thể biểu diễn

qua gradient của một hàm vô hướng
m [A]: thế từ vô hướng, thông thường
là hàm đa trị (chỉ đơn trị khi khảo sát
trong miền đơn liên)
16

8


Trường từ dừng
 Phương trình Laplace:
Nếu miền khảo sát không có dòng dẫn và  = const:
1

0
m = 0

 Điều kiện biên:

7:39 PM

Chương 4

17

Trường từ dừng
 Thế vector:
Nếu miền khảo sát có dòng dẫn
0
0

Không thể biểu diễn qua m

Đặt:

gọi là thế vector

0
cho trước sẽ có vô số vector
Chọn thêm điều kiện phụ:
7:39 PM

Chương 4

thỏa mãn
0
18

9


Trường từ dừng
 Thế vector:
Nếu môi trường đồng nhất tuyến tính và đẳng hướng có  = const:

∆
∆
∆

0
Phương trình Poisson:

∆
Phương trình Laplace:

Nếu môi trường không có dòng dẫn
7:39 PM

Chương 4

∆

0
19

Trường từ dừng
 Thế vector:
∆

∆

∆

∆

∆
∆
∆

∆

7:39 PM

∆
∆
∆
Chương 4

20

10


Trường từ dừng
 Thế vector:
Tương tự như trường điện tĩnh:

V
dV

∞

4

′
M

0

4

′
Ta chứng minh được:

0

(định luật Biot – Savart)

4
7:39 PM

Chương 4

21

Trường từ dừng
 Thế vector:
Nếu dòng điện chạy trong vòng dây dẫn khép kín, dây có tiết diện ngang
rất nhỏ so với khoảng cách tới điểm tính trường  dòng điện dây

1
4
Định luật Biot – Savart:

4



7:39 PM

∥




4








∥

4

Chương 4

22

11


Tính , , gây ra bởi một trục thẳng dài vô hạn mang dòng điện I đặt
trong môi trường đồng nhất vô hạn có  = const.
Chọn hệ tọa độ trụ, trục z trùng với trục dòng điện. Giả sử dòng điện chạy
theo chiều dương trục z.
Thế vector

∥

song song với dòng điện

Do tính đối xứng, A chỉ phụ thuộc r

A = A(r)
1

1
0

0

7:39 PM

Chương 4

23

Áp dụng định luật Ampère cho đường tròn bán kính r, tâm nằm trên trục dòng điện:
.2

2

2

2

2
Chọn A(r0) = 0

2
2
2

7:39 PM

Chương 4

24

12


Năng lượng trường từ dừng
 Mật độ năng lượng trường từ:
1
2

 Năng lượng toàn phần của trường từ:

à

à

.

ô

ô

1
2



1
2



.

7:39 PM

Chương 4

25

Năng lượng trường từ dừng
 Năng lượng toàn phần của trường từ:

à

à

ô

ô



1
2



1
2

1
2
Bên ngoài V thì
Khi r  :

1
2

7:39 PM

à

1
2
=0

1
2




à

ô




à

ô

1
2

ô

1
2



1
2



→0
Chương 4

26

13


Hệ số hỗ cảm, tự cảm
 Xét trường từ gây bởi n vòng dây dẫn, mỗi vòng dây mang dòng điện không đổi:
1
2
1

1
2

: từ thông móc vòng trên vòng dây thứ k do tất cả n dòng điện
chảy trong n vòng dây

Nếu môi trường là tuyến tính:
1

: từ thông móc vòng trên vòng dây thứ k gây ra bởi dòng
chạy trong vòng dây thứ l



7:39 PM

Chương 4

27

Hệ số hỗ cảm, tự cảm
1



: hệ số hỗ cảm của vòng dây thứ l đối với vòng dây
thứ k

: hệ số tự cảm của vòng dây thứ l
1
2

1
2
Nếu chỉ có 1 vòng dây:
7:39 PM

1
2

Chương 4

28

14


Cáp đồng trục thẳng rất dài, bán kính lõi a, bán kính trong của vỏ là b, bán
kính ngoài của vỏ là c, dòng điện chạy trong lõi và vỏ có cùng cường độ I
nhưng ngược chiều. Độ thẩm từ của lõi và vỏ là 0, của lớp từ môi là 1.
Chọn trục z của hệ trục tọa độ trùng với trục cáp.
Trường từ đối xứng trụ quanh trục z  các đại lượng
trường từ có dạng:

b

Lớp từ môi

a
Lõi dẫn

c
r

,
Áp dụng định luật Ampère cho vòng tròn bán kính r,
tâm trên trục z

Vỏ ngoài
I
b

c

I

a

r

.2

7:39 PM

Chương 4

0

29

2
2
1

2

0
Mật độ năng lượng từ trường:

1
2
Năng lượng từ trường ứng với 1 đơn vị dài:
W

2

2

õ

1
2

W

1
2

2

1
2

2

7:39 PM

2

2
2
1

1
2

ừ ô

2
ỏ

16
4
2

4

Chương 4

3
4

30

15


Hệ số tự cảm ứng với 1 đơn vị dài:
2

2

8

2

7:39 PM

2

2

2
3
4

Chương 4

31

Lực từ
Lực từ tác dụng lên vật dẫn mang dòng điện với mật độ
cảm ứng từ :

nằm trong trường từ với

Nếu dòng điện dây:
Xét 2 dây dẫn mang dòng điện cùng chiều I1, I2 cách nhau khoảng d.
I2

I1

, : cảm ứng từ gây ra bởi dòng I1 trên dây 2 và dòng I2 trên
dây 1
2
Lực từ tác dụng trên 1 đơn vị dài:

d
7:39 PM

Chương 4

2
32

16