Bài giảng toán kinh tế chương 6 nguyễn ngọc lam

C6. TÍCH PHÂN
1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH:
Định nghĩa:
- Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên D nếu F’(x) = f(x) với mọi x  D
- Tập hợp các nguyên hàm của f(x) được gọi là tích
phân bất định của f(x). Ký hiệu:
 f (x )dx  F(x )  C
Trong đó, F(x): Nguyên hàm
C: Hằng số
dx: vi phân của biến x
146


C6. TÍCH PHÂN
Các tính chất cơ bản:
 (f (x )  g(x ))dx   f ( x )dx   g(x )dx

 kf ( x )dx  k  f (x )dx
 f ( x)dx '  f (x )

147


C6. TÍCH PHÂN
Một số công thức:
 dx  x  C



 1

x

x
 C (  -1)
 dx 
 1
dx
  ln x  C
x
x
a
x
a
C
 dx 
ln a

 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C



dx
2

sin x
dx
2

cos x

dx

  cot gx  C
 tgx  C

x
x
 arcsin  C   arccos  C
 2
2
a
a
a x
dx
2

ln
x

x
b C
 2
x b
dx
1
x
1
x
 arctg  C   arc cot g  C
 2

2 a
a
a
a
a x
dx
1 ax
 ln
C
 2
2 2a a  x
148
a x


C6. TÍCH PHÂN
Một số phương pháp tính tích phân:
1. Phương pháp đổi biến:
Ví dụ: Tính  xe

x2

dx

 tgxdx

2. Phương pháp tích phân từng phần:

 udv  uv   vdu
Ví dụ: Tính  ln xdx

x

 xe dx

149


C6. TÍCH PHÂN
P(x )
Tích phân hàm hữu tỉ:
Bậc của tử nhỏ hơn mẫu.
Q( x )
P(x )
A1
A2
Am


 ... 
m ( x  a)
2
( x  a)
( x  a)
(x  a)m
P( x )
B1x  C1
B2 x  C2
Bnx  Cn
 2

 2
 .. 2
2
n
2
n
(x  bx  c )
(x  bx  c ) (x  bx  c )
( x  bx  c)
Với b2 – 4c < 0 ; trong đó m, n là số nguyên dương.
Xác định Ai, Bj, Cj được thực hiện bằng đồng nhất thức
xdx
1
1
dx
 2
dx 
Ví dụ: Tính 
m
(x  x  1)
( x  a)
xa
150


C6. TÍCH PHÂN
Tích phân hàm vô tỉ: Sử dụng phương pháp đổi biến
chuyển về hàm hữu tỉ.

dx

Ví dụ: Tính 
1 3 x  1

151


C6. TÍCH PHÂN
2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:
Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định, liên tục và không âm
trên [a,b], chia [a,b] thành n đoạn: a = x0 < x1 <…xn = b
Gọi k = xk – xk-1, trong mỗi [xk,xk-1] ta lấy ck bất
n
kỳ và lập tổng:
Sn   f (ck )k
k1

n

Nếu tồn tại hữu hạn I  lim Sn  lim  f (ck ) k
n 

n  k 1

Giới hạn này không phụ thuộc vào cách chi [a,b] và cách
lấy điểm ck thì y = f(x) khả tích trên [a,b] và I được gọi là
tích phân xác định của f trên [a,b].
b
Ký hiệu:  f (x )dx 152
a

C6. TÍCH PHÂN
Một số tính chất cơ bản:
b

a

 f ( x )dx    f (x )dx
a
b

b
c

b

 f ( x)dx   f (x )dx   f (x )dx, a  c  b
a
b

a

c
b

b

 ( f (x )  g( x ))dx   f (x )dx   g(x )dx
a
b

a

a

b

 kf (x )dx  k  f (x )dx , k  R
a

a
153


C6. TÍCH PHÂN
Công thức Newton – Leibnitz:
Cho f liên tục trên [a,b] và F là nguyên hàm của f thì:
b

b
f
(
x
)
dx

F
(
x
)


a  F(b)  F(a )

a

Phương pháp tính tích phân xác định: Sử dụng các
phương pháp tích phân bất định.
Ví dụ: Tính tích phân:
2

 1  x dx
0

1 e2 x



0

e

 2e

2x

e

x

1

dx

2
ln
xdx


1
154


C6. TÍCH PHÂN
3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG:
Tích phân suy rộng loại 1 (có cận vô hạn):
Cho hàm số f(x) xác định trên [a,+) và f khả tích trên
[a,t] với mọi t > a.


t

 f (x )dx  lim  f (x )dx  B
a

t   a

B được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,+).
Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ và ngược lại ta
nói là phân kỳ
155

C6. TÍCH PHÂN
Tương tự có các dạng khác như sau:
b

b

 f (x )dx  lim  f (x )dx


t   t



c



 f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx


c



Ví dụ: Xét các tích phân suy rộng sau:


x

 e dx
0





xdx

2
x
1
0
156


C6. TÍCH PHÂN
Tích phân suy rộng của các hàm không âm:
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm không âm trên [a,+)
và f(x) ≤ g(x), khi đó:




 g(x )dx hội tụ thì
a


 f (x )dx hội tụ

a


 f (x )dx phân kỳ thì  g(x )dx phân kỳ
a

a

Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ:


x
2
e
sin
xdx


0

157


C6. TÍCH PHÂN
Định lý : Cho f(x), g(x) là hai hàm không âm trên [a,+)

f (x )
lim
 k, k  (0,)
x   g(x )





 f (x )dx,  g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ
a

a

Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ:
 3

x2
dx

1 x 1
158


C6. TÍCH PHÂN
Tích phân loại 2 (của hàm không bị chặn): Cho hàm số
f(x) liên tục trong khoảng [a,b) và lim f (x )  
t b

b

t

 f ( x )dx  lim  f (x )dx  B
a

t b  a

được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,b]
Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta
nói phân kỳ.
Tương tự ta có định tích phân suy rộng loại 2 trong
trường hợp f(x) không bị chặn khi gần điểm a và f(x)
không bị chặn đồng thời tại a và b.
159


C6. TÍCH PHÂN
Ví dụ, Tính tích phân
0



dx

2 dx

2

2
x
0

1 x



160


C6. TÍCH PHÂN
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm
trên [a,b), f(x) ≤ g(x), không bị chặn tại b và
lim f ( x)  lim g(x)  
x b 
b

xb
b

 g(x )dx hội tụ thì  f ( x)dx hội tụ
a
b

a
b

 f ( x)dx phân kỳ thì  g(x )dx phân kỳ
a

a

161

C6. TÍCH PHÂN
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm
trên [a,b) có:
f (x )
lim f ( x)  lim g(x )   lim
 k, k  (0,)
x b 
x b
x b  g(x )
b

b

 g(x )dx  f (x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ
a

a

162


C6. TÍCH PHÂN
4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG:
Ứng dụng tích phân bất định: Tìm hàm mục tiêu từ hàm
giá trị biên.
Tìm hàm chi phí: Cho biết hàm chi phí biên một sản
phẩm của doanh nghiệp và chi phí cố định là 50.

MC  3x 2  2x  5
Tìm hàm doanh thu và hàm cầu: Cho biết hàm doanh thu

biên.
MR  500  Q

2
163


C6. TÍCH PHÂN
Tìm hàm lợi nhuận: Cho biết hàm lợi nhuận biên theo
sản lượng và nếu chỉ bán 50 sản phẩm thì lỗ 13.500$.

MP  5Q  500
Ứng dụng tích phân xác định:
Phân tích lợi nhuận: Lợi nhuận biên của 1 sản phẩm

MP  0,0005x  12,2
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ
100 lên 101 đơn vị?
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ
100 lên 110 đơn vị?
164


C6. TÍCH PHÂN
Chi phí trung bình: Cho hàm chi phí theo thời gian t
(tháng) của doanh nghiệp trong thời gian 3 năm. Tìm chi
phí sản xuất trung một tháng trong kỳ kinh doanh này.
TC  0 , 006 t 2  0 ,02 t  13 ,15

Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất:

Một sản phẩm trên thị trường có hàm cung và hàm cầu:
Hàm cầu: P = -0,3x + 10
Hàm cung: P = 0,1x + 2
Hãy tìm thặng của người tiêu dùng và thặng dư
của người sản xuất tại điểm cân bằng.
165