Bài giảng toán kinh tế chương 7 nguyễn ngọc lam

C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM:
Định nghĩa: Phương trình vi phân có dạng:
F(x,y,y(1),y(2),…,y (n)) = 0
Trong đó :

x là biến độc lập,
y làm hàm số của x,
y(n) là đạo hàm cấp n của y theo x.

Nếu ta đưa được : y(n) = f(x,y,y(1),y(2),…,y (n-1)) thì phương
trình được gọi là dạng giải được đối với đạo hàm cấp
cao nhất.
169


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Cấp của phương trình :
Đạo hàm cấp cao nhất của đạo hàm hàm số y = f(x) có
trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương
trình vi phân.
Nghiệm PT vi phân cấp 1 phụ thuộc một tham số :
y = y(x,C), C  R
Nghiệm PT vi phân cấp 2 phụ thuộc hai tham số :
y = y(x,C1,C2), C1,C2  R
Nghiệm PT vi phân cấp n phụ thuộc n tham số :
y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn  R
170


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Nghiệm tổng quát : Nghiệm của phương trình có dạng :
y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn  R
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.
Nghiệm riêng : Khi cho các tham số Ci bởi giá trị cụ thể
thì ta được nghiệm gọi là nghiệm riêng của phương
trình vi phân.
Nghiệm kỳ dị : Là nghiệm riêng của phương trình vi
phân không được suy ra từ nghiệm tổng quát được gọi
là nghiệm kỳ dị.
171


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1:
Dạng tổng quát : F(x,y,y’) = 0
Nếu giải được đối với y’, phương trình vi phân có dạng :
y' = f(x,y)
Định lý tồn tại duy nhất nghiệm :
Cho phương trình vi phân cấp 1 y’ = f(x,y). Nếu
f(x,y) liên tục trong miền chứa (x0,y0) thì tồn tại ít nhất
một nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0. Nếu
f(x,y) cũng liên tục thì nghiệm đó là duy nhất.
Bài toán tìm nghiệm thỏa điều kiện ban đầu người
ta gọi là bài toán Cauchy.
172


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân không chứa hàm phải tìm:
F(x,y’) = 0

Trường hợp 1: Ta có thể chuyển về dạng : y' = f(x)
Tích phân hai vế.
Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình y’ = 3x2 + 2x + 1 thỏa
điều kiện y(1) = 1.
Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng : x = f(y’)
Đặt y’ = t => x = f(t)

=> dx = f’(t)dt
=> dy = tdx = tf’(t)dt

Ví dụ : Giải phương trình x = y’3 + y’2 + 5
173


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình không chứa biến độc lập: F(y,y’) = 0
Trường hợp 1: Ta có thể chuyển về dạng y’ = f(y)
dy
dy
 f ( y)  dx 
, f(y)  0
dx
f ( y)
Ví dụ : Giải phương trình y’ = 1 + y2
Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng :y = f(y’)
Đặt y’ = t => y = f(t) => dy = f’(t)dt = tdx
f ' ( t)dt
f ' ( t)dt
dy
 x  

y'  t 
 t  dy  tdx dx 
t
t
dx
Ví dụ : Giải phương trình y = y’3 + y’2 + 1
174


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường hợp 3 : Ta có thể chuyển về dạng : y = y(t)
=> dy = f’(t)dt
dy
y'  g(t) 
 g( t)
dx

f ' (t )dt
dx 
g( t)
Ví dụ : Giải phương trình : y2 + y’2 = 1

175


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân có dạng : dy/dx = f(ax + by)
Đặt z = ax + by, ta đưa về dạng phương trình không
chứa biến độc lập.
dz

dz
 a  bf (z)  dx 
dx
a  bf ( z)
Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình :
dy
 x 2  2xy  y2
dx

176


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình với biến phân ly:
Dạng tổng quát : f(x)dx + g(y)dy = 0
Ví dụ : Giải phương trình : xdx = (y + 1)dy

 y
Phương trình thuần nhất : y'  f  
 x
y
dy
xdz
z   y  xz 
 z
x
dx
dx
dy
dz

xdz
 zx
 f (z) 
 f (z )  z
dx
dx
dx
x2  y2
Ví dụ : Giải phương trình y' 
2 xy

177


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân tuyến tính: y’ + p(x)y = q(x)
Giải phương trình: y’ + p(x)y = 0
- Nếu y ≠ 0 :
y'
 p( x )dx
 p(x )  ln y    p( x )dx  C0  y  eC0 e 
y
 p( x )dx
 y   C1e 
, (C1  0)

- y = 0: là nghiệm của phương trình
Nghiệm viết tổng quát lại như sau :

y  Ce

  p( x )dx

, (C  R)
178


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Giải phương trình: y’ + p(x)y = q(x)
  p (x )dx
Lagrange : y  C(x )e

C' (x )e

  p( x )dx

 C' (x )e

 p(x )C(x )e

  p( x )dx

  p( x )dx

 p(x )C(x )e

  p( x )dx

 q(x )

p( x )dx

 q(x )  C' (x )  e
q( x )

p( x )dx

 C(x )   e
q(x )dx  C
  p( x )dx 

p (x )dx

q(x )dx  C 
e
Nghiệm của PT: y  e


3y  1
Ví dụ : Giải phương trình : y' 
x2

179


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân Bernoulli:
y’ + p(x)y = q(x)y ,  ≠ 0 và  ≠ 1
- Nếu y ≠ 0 : y- y’ + p(x)y1- = q(x)
Đặt z = y1- => z’ = (1 - )y- y’

 z' (1  )p(x )z  (1  )q(x )
- Nếu y = 0,  >0 Đây cũng là một nghiệm
Ví dụ : Giải phương trình : y’ – 2xy = 2x 3y2
180


C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
3. ỨNG DỤNG:
Tìm hàm cầu khi biết hệ số co giãn :
Ví dụ: Tìm hàm cầu Q = f(P) cho biết hệ số co giãn:

 10P  4P2
thỏa Q = 1.000 khi P = 20.
QP 
Q

181