Giáo trình toán cao cấp a3 phần 2 TS đỗ văn nhơn (biên soạn)

Chương 4 KHÔNG GIAN VECTOR
I. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTOR:
1.Khái niệm trường:
Ðịnh nghĩa: Cho tập hợp K có ít nhất 2 phần tử. Giả sử K được
trang bị 2 phép toán đại số là cộng (+) và nhân (.). Khi đó K được
gọi là một trường nếu những điều kiện sau đây được thỏa:
(i)
(tính giao hoán của phép toán +)
(ii)
(tính kết hợp đối với phép toán +)
(iii) Trong tập hợp K tồn tại một phần tử không , ký hiệu
là 0, sao cho
(iv) Với mọi
a, sao cho

, tồn tại phần tử đối của a, ký hiệu là -

(v)
(tính giao hoán đối với phép toán.)
(vi)
(tính kết hợp đối với phép toán.)


(vii) Trong tập K tồn tại phần tử đơn vị, ký hiệu là 1, sao
cho:
(viii) Với mọi
của a, ký hiệu là a-1, sao cho

tồn tại phần tử nghịch đảo

(ix)

(tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng)
Nhận xét: Trong định nghĩa trên ta có thể kiểm chứng được rằng
phần tử 0 và phần tử 1 của trường K là duy nhất,
, phần tử -1
a cũng duy nhất, a≠0, phần tử nghịch đảo a cũng duy nhất.
Ví dụ về trường:
1) Tập hợp R các số hữu tỉ với các phép toán cộng (+) và nhân (.)
thông thường là một trường.
2) Tập hợp R các số thực với các phép toán cộng (+) và nhân (.)
thông thường là một trường. Tập hợp các số phức C với các phép
toán (+) và (.) số phức cũng là một trường.
3)

với các phép toán (+) và (.) dưới đây là một trường:

2. Ðịnh nghĩa không gian vector:
Ðịnh nghĩa: Giả sử V là một tập hợp khác rỗng và K là một
trường. Ta nói V là một không gian vector trên trường K hay là một
K không gian vector nếu trên tập V ta có trang bị một phép toán đại


số (gọi là phép cộng và ký hiệu bởi dấu +) và có một phép nhân (.)
mỗi
với
cho kết quả là một phần tử
thỏa mãn
các điều kiện sau:
(i) Tính giao hoán của phép cộng trên V:

(ii) Tính kết hợp của phép cộng trên V:

(iii) Tồn tại một phần tử không trong V, ký hiệu là 0, sao
cho:
(iv) Với mọi
, tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là -v
thoả mãn: v + (-v) = 0
(v) Với mọi

, với mọi u và v thuộc V, ta có:

(vi)
(vii)
(viii)
Nhận xét: có thể dễ dàng thấy rằng phần tử 0 trong V là duy
nhất; và với mỗi
, phần tử -v cũng duy nhất.
Các phần tử của không gian vector V được gọi là các vector. Các
phần tử của trường K được gọi là các vô hướng. Trong trường hợp


K = R (trường số thực) thì V được gọi là không gian vector thực.
Nếu K = R thì ta gọi V là không gian vector phức.
Từ phép cộng vector trên không gian vector V ta định nghĩa phép
trừ (-) vector bằng công thức sau đây:
u - v = u + (- v)
Từ đó có thể chứng minh được tính chất phân phối đối với phép
trừ:

Sau đây là một số tính châ1t đơn giản của không gian vector có thể
được suy ra dễ dàng từ định nghĩa.

Tính chất:

Các ví dụ về không gian vector:
Ở trên chúng ta đã nêu lên định nghĩa tổng quát của một không
gian vector trên trường K. Trường K được gọi là trường cơ sở.


Trong các áp dụng và các lĩnh vực khác nhau các không gian
vector có thể là những tập hợp rất khác nhau. Trong mục này sẽ
nêu lên một số ví dụ quan trọng về không gian vector.
Ví dụ 1: với K là một trường và

, xét tập hợp

gồm tất cả các bộ n phần tử của
K. Trên K , đã xét các phép toán được định nghĩa như sau:
n

Với mọi
:

và

với mọi

Dễ dàng kiểm chứng rằng các phép toán này thoả mãn tất cả các
tính chất nêu trong định nghĩa không gian vector. Vậy Kn là một
không gian vector trên K. Trong giáo trình này chúng ta sẽ thường
xuyên làm việc với các không gian vector Rn và Cn .
Nhận xét: Tập hợp các vector tự do trong mặt phẳng với phép

toán cộng 2 vector và phép toán nhân vector với số thực thông
thường (đã được biết trong chương trình toán phổ thông) là một
không gian vector trên trường số thực. Về mặt tính toán tọa độ
vector trong mặt phẳng Oxy, có thể nói không gian vector này
chính là không gian vector R2.
Tương tự, tập hợp các vector tự do trong không gian là một không
gian vector trên trường số thực. Đây cũng chính là không gian R3.
Ví dụ 2: Với K=R hoặc C, đặt Mmxn(K) là tập hợp tất cả các ma
trận có các phần tử thuộc K, trong đó m và n là 2 số nguyên dương
cho trước. Tập hợp Mmxn(K) với phép cộng 2 ma trận và phép nhân


số với ma trận thông thường là một không gian vector trên trường
K.
Ví dụ 3: Đặt Rn[x] là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có
bậc lớn hơn hoặc bằng n, trong đó n là một số nguyên dương, và
đặt R[x] là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực. Với phép toán
cộng 2 đa thức và phép toán nhân một số với đa thức thông thường
thì R[x] và Rn[x] là các không gian vector trên R.
Ví dụ 4: Gọi C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số f(x) liên tục trên
đoạn [a,b]. Định nghĩa các phép toán trên C[a,b] như sau:
Nếu

thì

Dễ dàng kiểm chứng rằng C[a,b] là một không gian vector trên R,
trong đó phần tử không 0 là hàm số hằng zero, tức là hàm bằng 0
với mọi x, và phần tử đối của f là -f với

II. KHÔNG GIAN VECTOR CON:

1. Ðịnh nghĩa:
Cho V là một không gian vector trên trường K và W là một tập hợp
con khác rỗng của V. Khi đó W được gọi là một không gian vector
con của V nếu W là một không gian vector trên K ứng với các phép
toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng trên W.
Ví dụ: Tập hợp {0} và V là các không gian vector con của
không gian vector V.


Để kiểm tra một tập hợp
có phải là một không gian vector
con của V không ta chỉ cần kiểm tra 2 điều kiện được nêu trong
định lý sau đây:
Định lý: Tập con
của một không gian vector V là một
không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được
thỏa:
(i)
(ii)
Ghi chú: các điều kiện (i) và (ii) trong định lý trên có thể được
thay thế bằng điều kiện dưới đây:

Ví dụ:Cho K=R hoặc C, và A là một ma trận cấp mxn với các
phần tử thuộc K. Đặt:

tức là W là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất có ma trận hệ số là A. Ta sẽ chứng minh W là một
không gian vector con của Kn.
Cho
Ta có:

,

và

tùy ý thuộc W.


Suy ra:

nghĩa là
Vậy W là một không gian vector con của Kn.
2. Không gian giao, không gian tổng:
Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V cũng
là một không gian con của V.
Chứng minh:

Xét


Trong đó

là một họ các không gian con của V. Vì
và do đó

nên
(tùy ý). Khi đó
.

ra

. Giả sử
nên

và
suy

Vậy W là một không gian con của V.
Định lý: Giả sử W1 và W2 là các không gian con của một không
gian vector V. Đặt:
.
Khi đó W1 + W2 là một không gian vector con của V, được gọi là
không gian tổng của W1 và W2.
Lưu ý: trong trường hợp
được viết là
gian W1 và W2.

, thì không gian tổng

và được gọi là tổng trực tiếp của các không

III. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ ĐỘC LẬP
TUYẾN TÍNH:
1. Ðịnh nghĩa tổ hợp tuyến tính:
Định nghĩa: Cho V là một không gian vector trên trường K và
là các vector thuộc V. Một vector
tổ hợp tuyến tính của các vector
hướng

sao cho :

được gọi là một
nếu tồn tại các vô


Đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn tuyến tính của x theo

Ví dụ:
1).

vector
là một tổ hợp tuyến tính của các vector

vector

vì:

không phải là một tổ hợp tuyến tính của v1 , v2 vì

nếu ngược lại thì tồn tại

sao cho

mà hệ phương trình (*) với các ẩn
mâu thuẫn.

và

là vô nghiệm nên sẽ có

2). Vector 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của một họ bất kỳ
các vector
3). Trong không gian vector V=Rn cho m vector

và


Tìm điều kiện cần và đủ để v là một tổ hợp tuyến tính của các
vector

là tồn tại các số thực

sao cho
(1)

là một đẳng thức vector, nếu so sánh từng thành phần tương ứng
của các vector ở 2 vế của (1) ta được:

là một hệ phương trình tuyến tính theo các ẩn
phương trình với:
Ma trận hệ số là :

= ma trận gồm các vector cột

và cột hệ số vế phải là

gồm n


là một tổ hợp tuyến tính của các vector

Vậy

khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (2) có nghiệm
.
Áp dụng: Tìm m để cho vector v = (1,m,3) là một tổ hợp tuyến
tính của 2 vector

,

và viết v thành tổ hợp

tuyến tính của
Điều kiện để v là tổ hợp tuyến tính của

là hệ phương trình

tuyến tính theo 2 ẩn
với ma trận mở rộng
là có
nghiệm. Dùng phương pháp Gauss – Jordan để giải hệ phương
trình tuyến tính ta tìm được m = 3, và trong trường hợp này nghiệm

2. Ðịnh nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính.
Định nghĩa: cho V là một không gian vector trên trường K, và
là các vector thuộc V. Ta nói họ vector
phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng
đồng thời bằng không (tức là có ít nhất một vô hướng
sao cho:

là
không
là khác 0)


Họ vector không phụ thuộc tuyến tính được gọi là họ vector độc lập
tuyến tính.
Ví dụ:
1) Trong V = R3 các vector

,

và

là phụ thuộc tuyến tính vì
2) Trong một mặt phẳng bất kỳ 2 vector không cùng phương nào
cũng độc lập tuyến tính, nhưng bất kỳ ba vector nào cũng phụ
thuộc tuyến tính.
3) Trong không gian (R3) bất kỳ ba vector không đồng phẳng nào
cũng độc lập tuyến tính nhưng bốn vector nào cũng phụ thuộc
tuyến tính.
Mệnh đề: các vector
độc lập tuyến tính khi và
chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của các vector còn
lại.
Chứng minh:
Nếu các vector

phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại

không

đồng

thời

bằng

0

sao

cho

trong đó có ít nhất một hệ số khác 0,
chẳng hạn

. Khi đó:


với các

. Do đó vn là một tổ hợp tuyến tính của
.

Ngược lại, nếu tồn tại một vector trong các vector
hợp tuyến tính của các vector còn lại, chẳng hạn

là tổ

thì
tức là
là phụ thuộc tuyến tính.
Ngoài ra, từ định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập
tuyến tính ta có thể kiểm chứng dễ dàng các tính chất sau đây:
(i) Các vector

độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu
.

(ii) Mọi họ vector, trong đó có vector 0 đều phụ thuộc tuyến
tính.
(iii) Với mọi
.

, {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi

(iv) Họ vector
là độc lập tuyến tính khi và
chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ
số.


chỉ có nghiệm zero.
Định nghĩa:
(i) Một họ khác rỗng các vector của không gian vector V được gọi
là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng
phụ thuộc tuyến tính.
(ii) Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vector của V gọi là
độc lập tuyến tính nếu mọi họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều

độc lập tuyến tính.

IV. KHÔNG GIAN CON SINH BỞI MỘT TẬP HỢP:
Cho V là một không gian vector trên trường K, và S là một tập
vector trong
. Ta có thể thấy rằng họ các không gian
vector con của V chứa S là khác rỗng vì V là một không gian con
của V chứa S. Theo định lý về “không gian giao” trong II.2, thì
phần giao của họ các không gian con của V chứa S cũng là một
không gian con của V.Không gian con này sẽ được ký hiệu là
( hay vắn tắt là
thì ta nói S là một tập hợp sinh của V, hay
không gian V được sinh ra bởi tập S. Nếu V được sinh bởi một tập
hợp hữu hạn phần tử thì V được gọi là hữu hạn sinh. Nhận xét rằng
. Với S là một tập hợp khác rỗng các vector của V. Khi đó

Nói cách khác, không gian vector sinh bởi tập S chính là tập hợp tất
cả các vector là tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S.
Chứng minh:


Theo định nghĩa thì
là không gian vector con nhỏ nhất của V
chứa tập S. Ký hiệu tập hợp tất cả các vector là tổ hợp tuyến tính
của S là W, ta cần chứng minh
Giả sử

.

. Khi đó v và v’ có dạng:

và

với
Suy ra:

cũng là một vector thuộc W.
Vậy W là một không gian vector con của V. Hiển nhiên W là
không gian con của V chứa S, và W nằm trong mọi không gian con
của V chứa S. Từ đó ta có:

.

Hệ quả: Cho S và S’ là các tập hợp con khác rỗng của V. Nếu
mỗi vector của S đều viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S’ và
ngược lại, thì

.

Ví dụ:
1) Trong R3, cho

với

và

. Ta có:


2) Cho W là một không gian vector con của R4 gồm các vector

thỏa hệ phương trình tuyến tính:

Tìm một tập hợp sinh của W.
Biến đổi sơ cấp theo dòng trên ma trận hệ số của hệ phương trình
tuyến tính ta có:

Suy ra hệ phương trình tương đương với hệ phương trình mới sau
đây:

Hệ số có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do.



Suy ra một tập hợp sinh của W gồm các vector


Mệnh đề: Giả sử W1 và W2 là các không gian vector con của Kn
có các tập hợp sinh tương ứng là S1 và S2. Khi ấy không gian tổng
W1 + W2 có một tập hợp sinh là

. Nói cách khác.

Ví dụ: Trong không gian vector R4 cho các vector
. Gọi W1 là không gian

và
vector con sinh bởi
bởi

.

và W2 là không gian vector con sinh
điều

Tìm

kiện

để

vector

, nghĩa là tìm W.
Theo mệnh đề trên thì W sinh bởi

, nên vector

khi và chỉ khi.

Điều kiện này có nghĩa là hệ phương trình (với ẩn là
sau đây có nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm nếu và chỉ nếu:

)


Suy ra

V. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU:

1. Ðịnh nghĩa cơ sở.
Cho V là một không gian vector trên trường K, và B là một tập hợp
các vector trong V. Tập vector B được gọi là một cơ sở của V khi.
(i) B độc lập tuyến tính, và
(ii) B sinh ra V, nghĩa là
Ví dụ:
1) B = {} (tập rỗng) là cơ sở của V = {0}
2) V = Kn là không gian vector trên K có một cơ sở là
, với

Thật vậy, với

ta có


và

mỗi

nên

.

Hơn

nếu

nữa,

thì

hay
độc lập tuyến tính.

nên

Vậy E là một cơ sở của không gian vector Kn (trên trường K). Cơ
sở này được gọi là cơ sở chính tắc của Kn.
3)

Trong

không

R3

gian

cho

các

vector

. Chứng minh

là

một cơ sở của R .
3

tùy ý của R3. Ta đã biết v là một tổ hợp tuyến

Cho

khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính

tính của
sau (với nghiệm là

) có nghiệm.

với

.

Dễ thấy rằng A khả nghịch nên hệ phương trình có nghiệm duy
nhất là.

Điều

này

cho

thấy

rằng
và

.

v
nếu

có

thể

v=0

viết
(vector

dưới
0)

dạng
thì


4) Trong không gian Rn[x] có một cơ sở là
mọi đa thức bậc
nên

vì

đều có dạng
.

Hơn nữa nếu

thì
.

Cho đa thức bậc

không có quá n nghiệm. Do đó B0 độc lập

tuyến tính. Vậy B0 là một cơ sở của Rn[x] (trên R).
2. Ðịnh lý 1.

Cho
là một không gian vector hữu hạn sinh trên trường K.
Khi đó tồn tại một cơ sở B của V có hữu hạn phần tử. Hơn nữa,
mọi cơ sở của V đều có cùng số vector.
Trên cơ sở kết quả của Định lý, ta đi đến định nghĩa sau:
3. Ðịnh nghĩa số chiều.
Cho V là một không gian vector trên trường K. Khi đó số phần tử
trong một cơ sở của V được gọi là số chiều của không gian vector
V, ký hiệu là dimV.
Nếu V có một cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì ta nói V là một không
gian vector hữu hạn chiều, nên V có một cơ sở gồm vô hạn phần tử
thì ta nói V là một không gian vector vô hạn chiều.
Ví dụ:


1) Không gian Kn có một cơ sở gồm n vector (chẳng hạn là cơ sở
chính tắc), do đó dimKn = n .
2) Không gian Rn[x] các đa thức bậc

có số chiều là n+1 vì nó

có một cơ sở gồm các vector

.

3) Không gian R[x] các đa thức có bậc tùy ý là một không gian vô
hạn chiều.
Bổ đề:
Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều trên K và S là một
tập hợp độc lập tuyến tính trong V. Khi đó, nếu
thì

và

cũng độc lập tuyến tính.

Chứng minh:
Giả sử

. Xét phương trình:
.

Nếu

điều này mâu

thì

thuẫn giả thiết, do đó

, suy ra:

độc lập tuyến tính nên
lập tuyến tính.

. Vì S
. Do đó

độc

4. Ðịnh lý (về cơ sở không gian toàn vẹn).
Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều trên K và S là một
tập hợp độc lập tuyến tính trong V. Khi đó tồn tại một cơ sở B của


V sao cho
.Nói cách khác, hoặc S là cơ sở của V hoặc ta có
thể thêm vào S một số vector để có một cơ sở cho V.
Chứng minh: Nếu

thì S là một cơ sở của V.

(i) Nếu
thì tồn tại
tuyến tính (theo Bổ đề trên).
(ii) Nếu
(iii) Nếu
lập tuyến tính.

độc lập

sao cho

thì S1 là một cơ sở của V.
thì có

độc

sao cho

……………
Vì V hữu hạn chiều nên quá trình trên sẽ dừng lại sau một số hữu
hạn bước, cuối cùng ta được tập hợp
sở của V chứa S.

là một cơ

Ví dụ: Ta có tập hợp

độc lập tuyến

tính trong R3 nên ta có thể thêm vào S một vector

để

có một cơ sở của R3. Thật vậy, chẳng hạn lấy

ta có

độc lập tuyến tính nên là cơ sở của R3.
5. Ðịnh lý 2.
Cho W1,W2 là các không gian con của không gian vector V hữu
hạn chiều. Khi đó.
.


Chứng minh:
Gọi

(1)

Là một cơ sở của không gian con
thành các cơ sở của W1 và W2 như sau:

. Bổ túc (1) tương ứng

(2)
(3)
Ta chỉ cần chứng minh họ các vector sau đây lập thành một cơ sở
của W1+W2:
(4)
Xét vector
. Vì v là một tổ hợp tuyến
tính của (2), w là một tổ hợp tuyến tính của (3) nên rõ ràng u là một
tổ hợp tuyến tính của (4). Vậy họ (4) sinh ra không gian vector
W1+W2.
Bây giờ giả sử

(5)
trong đó

khi đó

;; (6)


Viết
Suy ra

(7)

Nhưng (3) độc lập tuyến tính nên suy ra.
(8)
Thay vào (6), nhận được

Do (2) độc lập tuyến tính nên từ đó suy ra.

Vậy (4) độc lập tuyến tính, nên (4) là một cơ sở của W1 + W2.
6. Ðịnh lý 3.
Cho V là một không gian vector trên K với dimV=n. Khi đó:
(i) Mọi tập hợp độc lập tuyến tính trong V đều không có
nhiều hơn n vector.
(ii) Mọi tập sinh của V đều không có ít hơn n vector.
(iii) Mọi tập hợp độc lập tuyến tính gồm n vector trong V
đều là cơ sở của V.
(iv) Mọi tập sinh của V gồm n vector đều là cơ sở của V.