Giáo trình toán cao cấp cho các nhà kinh tế phần 1 lê đình thúy

LÊ ĐINH THUÝ

TOÁN CAO CẤP
CHO CÁC NHÀ KINH TÊ
PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

NHẨ xuất bản đại học kinh tế quốc dân


C h iíơ n g í

TẬP HỢP, QUAN HỆ
VÀ LOGĨC SUY LUẬN
§ i . TẬP HỢP
I. CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN
a. Tập hợp và phần tử
Tập hợp là mộ^ khái niệm nguyên thuỷ cùa toán học. Ta có thể
nói đến các tập hợp khác nhau như tập hợp cây ưong một khu
\Tjrờn, tập hợp học sinh của mỏt lớp học, tập hợp tất cả các số
thực, tập hợp lất cả các số hữu tỷ,.. Các đối iượng hợp thành
một tâp hợp được gọi ịà các phân iủ của tập hợp đó. Để phân
biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, c,... và ký hiệu
các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c,... Để nói rằng a là
một phần tử của tập hợp A ta dùng ký hiệu:
a e A (đọc ỉà: “ứ thuộc A”).
Ngược lại, nếu a không phải là phần tử cùa tập hợp A thì ta viết;
a g A (đọc là; “ơ không thuộc y4”)Để xác định một tâp hợp nhất định và đật tên là X, ta sử dụng
một trong hai phương pháp cơ bản sau đây;
1. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp:
x = { a , b , c , . . . }.
2. Mô tả tính chất đặc trưng của các pỉiần tử của tập hợp. Theo

phương pháp này, muôn xác định tập hợp X ta nói: X là tập hợp
các phần tử X có tính chất T, hoặc dùng ký hiệu:
x = {x:T}.
Chẳng hạn, các cách diễn đạt sau đây »ó nghĩa như nhau:

ỲHiiu
TruờngỌại
iiiiH
Hìii-ii^ỉịỉỉiiinriiỉnịííịĩírịiiilílÌỊỈS họcĩcinh ^QuỔCílân


______ _~^OẦN CAO CẤP CHQ

NHÀ KÍNH TẾ

»

x = (1,3, 5, 7, yj.

•

X Iri tập hơp các sô ntuyi;n dưcmg lẻ inội chữ số

•

X == {x; X lfì số nguyên dương lẻ một chữ số .

® X = {x; X = 2n - 1, với n là số nguyên dương nhỏ hơn 6 Ị.
niương pháp thứ hai được sử dụng ngay cả khi ta chưa biết có
tồn tai hay kliòng các phần tử có tính chất T. Chẳng hạn, ía có

thể nói về tập hợp nghiệm của m ột phưcnig trình ngay cả khi
chưa giải được phương trình đó- Có thể xảy ra trường hợp môt
tập hợp mà ta nói đến khóng có phần tử nào. Ta gọị tập hợp
không có phần tử là lập hợp trống hay tập hợp rống và dùng ký
hiệu 0 để chỉ tập hợp đó. Để khẳng định răng tập hợp X không
có phần tử la viết: X = 0 . Ngược lại, để khẳng định rằng tập hợp
X có ít nhất một phần tử ta viết;
0.
Chú ý: Trong cuốn sách này và trong các tài liệu khác liên quan
đến toán học từ "tập hợp" nhiều khi được gọi tắt là tập, chẳng
hạn, tập A, tập B, tập trống...

b. K hái niệm tập con và đẳng thức tập hợp
Một tập hợp B được gọi là tập hợp con, hay tập con, của một tập
A nếu mọi phần tử của B đều là phần tử của A. Trong
trường hợp này ta dùng ký hiệu:
B e A (đọc là: “5 chứa trong y4”),
hoặc A 3 B (đọc là: “/4 bao hàm B").
Nói một cách đcm giản, tập hợp con của tập hợp A là tập họfp
một bộ phận phần tử, hoặc tất cả các phần tử, của tập hợp A.
Nếu B c A và đồng thời A c; B thì ta nói tập hợp B bằng tập
hợp A và viết B = A. Như vậy, dẳng thức tập hợp B = A có nghĩa
là mọi phần tử của B đều là phần tử của A và ngược lại, mọi
phần tử của A đều là phần tử của B. Nếu tập hợp B không bằng
tập hợp A thì ta viết B A. Tập hợp B được gọi là tập con thiỊc

8

Trường £)ạl bọc Kính tế Quốc dân

Chuơmg 1: Tập họp, Quan hệ vồ Logic suy ỉuận
ử M ÌÊ i» t m đ Ê f m » đ ,m a it ia a » ,» iÊ ÌÊ Ìa ià a iiit ÌÉ Ìầ ^ Ê Ìt » ^ m a * ,iim ,i^ ^

«

1

............... Í T

1 I I — «JI

r iu

iTi ii É É Ì i r i r r i m ^ M i r r r n m i r i f t ' i i i t T r t i i > * M r '

.vụ'của tập h(/p A nếu B c: A nhimg B --A A. Chẳng han, tập hợp
dân cư của thành phố Hà Nội là lập con thực sự của tập hợp dân
cư cửa nước Việt Nam.

c. Biểu đ ổ Ven
Để dẽ hình dung về íập hợp và rnối liên hệ giữa các tập hợp,
người ta dùng các tập hợp điểm của mặt phẳng để minh hoạ.
Tnông thường ta xét các tập ỉiơp phần tử của một tập hợp bao
trùm, gọi là không gian hay vũ ĩrụ. Tập không gian được mô tả
bằng tập hợp các điểm của một hình chữ nhật. Mỗi tập hợp trong
không gian được minh hoạ bằng mộí tập hợp điểm giới hạn bcd
một đường khép kín bên trong hình chữ nhật. Cách minh hoạ
ước lệ như vậy được gọi là biểu đồ Ven. Chẳng hạn, biểu đồ Ven
ở hình 1 mô tả hai tập hợp A và B, trong đó B là tập con của A.

.Hình 1; B là tập con của A

II. CÁC P H É P TO Á N TẬ P H Ợ P
a.

Phép hợp và ph ép giao

Đ ịnh nghĩa:
1. Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử
của nó là phần tử của ít nhất một trong hai tập hợp đó.
2. Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử
của nó là phần tử của cả hai tập hợp A và B.
Hợp của hai tập hợp A và B được ký hiệu là A uB :

Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân


TOÁN GAO CẤP CHO CẤC NHẨ K!NH TỂ-

A u B = jx: x e A hoặc x e B
Giao của hai táp hợp A và B được ký hiệu là A nB:
A n B = {x ; x e A và x e B .
Ví dụ: Q io haị lập họp số
A = { 1 , 2 , 3 , 4 . 5 Ị , B = {0.2, 4, 6 , 8 }.
Tlieo định nghĩa;
A u B - {0, 1,2, 3 ,4 , 5, 6 , 8 |, A n B = {2,4
Hình 2a và 2b là biểu đồ Ven về phép hợp và phép giao tập hợp.

Hình 2a; AuB

Hình 2b; AnB

h. Các tính chất cơ bản
Phép hợp và phép giao tập hợp thoả mãn các tính chất cơ bản
sau đây;
1. Tính chất giao hoán:
A uB = BuA ; A n B -B n A .

0

1)

2. Tính chất kết hợp:
A u (B u C) = (A u B) u c ,

( 1.2)

A n (B n C) = (A n B) n c .

(1.3)

3. Tính chất phân phối:

10

A r,(B u C ) = (A n B )u (A o C ),

(1.4)

A u (B n C) = (A u B) n (A u C).

(1.5)

Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân


Chương 1: Tệp họp, Quan■tL'Vhệ
và Logic suy ĩuận
't*niirBấ^jiu^ffgeaw>aeMei.jefct>^a>ai*gàftgáỂ»iÉB*e^
Chửng mirứv. Để chứng minh một đẳng tiiức tập họp, ta cẩn chỉ
ja rằng mỗi phần lử rảíi tập hcfp ờ vế trá- đcu là phần tử của tập
hợp ở vế phải và ngươc !ại, mỗt phần iử của lập hơp ở vế ph?i
đều là phần tử của tập hợp ở vê' trái. Chẳne hạn, đẳng thức (1.5)
được chirng minh như sau:
Gọi X là một phần tử bất kv của íâp hợp A u ( B n C ) . Tneo định
nghĩa pỉiép hợp, điều này có nghĩa là x e A hoặc x e B n C . Nếu
x e A thì x e A u B và x € A u C , do đó x e ( A u B ) n ( A u C ) . Nếu
x e B n C thì x e B và x e C , suy ra x e A u B và x e A u C , do đó ta
cũng có x e ( A u B ) n ( A u C ) .
Ngược lại, gọi X là một phần tử bất kỳ của ( A u B ) n ( A u C ) , ta
có: x g A u B và x e A u C . Nếu x g A thì x e A u ( B n C). Nếu x ể A
thì x €B (do x e A u B ) và x e C (do x e A u C ), do đó x e B n C , suy
ra x e A u ( B n C ) .
Việc chứng minh các đẳng thức còn lại dành cho bạn đọc.

c. P hép trừ tập hợp và phần bù của m ột tập hợp
Đ ịnh nghĩa: Hiệu của tập hỢỊ:) A và tập hợp B là tập hợp tất cả
các phần tử của tập hợp A không thuộc tập hợp B.
Hiệu của tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu là A \ B:

A \B = (x : x e A v à x ế B
Hình 3 là biểu đồ Ven về hiêu A \ B.

Hình 3; A \B

Trường Đại học Kinh tê Quốc dân

11


TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHẢ KÍNH TỂ
Ví dụ:
{1,2, 3 ,4 ,5 } \ { 0 , 2, 4, 6 . 8

1 ,3 ,5 } ,

ịO, 2, 4, 6 , 8 } \ í 1,2, 3, 4, 5

0 , 6 , 8 ).

Khi tất cả các tập hợp dược xét đêu !à tập con của mộl lập hcTD s
(gọi là không gian S), người ta thường nói đến phần bù của một
tập hợp X c s.
Đ ịnh nghĩa:
Phần hù cùa một tập hợp X trong không gian s là tập hợp tất cả
các phần tử của không gian không thuộc tập hợp X.
Phần bù của tập hợp X được ký hiệu là X . Theo định nghĩa, ta
có:
X =s\x.
V í dụ: Trong tập hợp tất cả các số thực, tập hợp tất cả các số vô

tỷ là phần bù của tập hợp tất cả các số hữu tỷ.
Định lý sau đây được gọi là nguyên lý đối ngẫu:
Đ ịnh iý:
1. Phần bù của hợp của các tập hợp là giao của các phần bù của
chúng:
A u B = Ã rìB ;

(1.6)

2. Phần bù của giao của các tập hợp là hợp của các phần bù của
chúng:
A nB = Ã uB .

(1.7)

Chứng minh:
Ta chứng minh đẳng thức (1.6), còn đẳng thức (1.7) được chứng
minh tương tự. Chú ý rằng tất cảc các phần lủ được nhắc đến
d .rới đây đều là phần tử của một không gian s.
Gọi X là phần tử bất kỳ của A u B , ta có;

12

Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân


Chương 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy luận
X Ể A''^B -4> XỂ A và XỂ B

X6 A và X6 B => X € A n B .

N^ược lại, gọi X là phần lử bất kỳ của A B , ta có:
x e A v à x e B = :> xííA vàx Ể B = > x 6 A u B = > x e A u B .

BÀI TẬP
1. Hãy cho biết tập hợp A có phải là tâp con của tập hợp B hay
không?
a) A = i2, l , 5 , -3, 12, 15}, B = [l; 16].
b) A = {xe K :

= 3x - 2}, B = [-3; 3 .

c) A = [2; + oo), B = {xe K ; 2x* - 3x + 1 > 0}.
d) A = {(x, y): X e K, y e R , và (x - 1)^ + y" < 4 } ,
B = I (x, y): x e K , y € R và x’ +

< 16 .

2. Hãy cho biết khi nào A d B:
a)

A = [a; b],

B = [c; d].

b)

A = [a; b],

B = (c; d).

c)

A = [a; b], B = {X 6 R :

- 4x+ 3 > 0}

3. Hãy xác định Ao'B, A n B , A \ B, B \

A:

a) A = { 1 ,3 ,5 ,7 ,9 1 ; B = (1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9}.
b) A = (-c»;5]; B = (3; 8 ).
c) A = [-2 ;5 j; B = ( l;9 ) .
4. Chứng minh rằng, với A và B là hai tập hợp bất kỳ, ta luôn
cỗ
a) ( A \ B ) u ( B \ A ) = ( A u B ) \ ( A n B ) .
b) ( A ^ B ) \ [ ( A \ B ) u ( B \ A ) l = A n B ,
c ) A e B khi và chỉ A n B = A.

TrirònSilỌại học Kính tế Quốc đâin

ia


TOÁN CAO CẨP CHO CẤC NHẢ KINH TẾ
lirii1■iwti,i»‘iá
§2, HỆ THỐNG SỐ THựC
I. SỐ THỰC

Hệ thống sô thực mà chúng ta sử dụng ngày nay được hình
thành trong lịch sử toán học theo trình tự như sau:

a. Sô tự nhiên
Các con số xuất hiện sớm nhất trong lịch sử toán học là các số
của hệ đếm:
1, 2, 3,..., n,...
Các số đó được gọi là các s ố tự nhiên, hay s ố nguyên dương. Tập
hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N .

b. S ố nguyên
Trong phạm vi tập hợp số tự nhiên N ta có thể thực hiện hai
phép toán số học cơ bản là phép cộng và phép nhân. Tuy nhiên,
các phép toán ngược của phép cộng và phép nhân (phép trừ và
phép chia) bị hạn chế. Chẳng hạn, không tồn tại số tự nhiên n
sao cho 9 + n = 1. Để có thể thực hiện được phép trừ người ta
mở rộng hệ thống số tự nhiên bằng cách bổ sung thêm các số:
•

Số không: 0;

• Các số đối dấu với các số tự nhiên: - 1 , - 2 , -3,.--, - n , ... Các
số này được gọi là các s ố nguyên âm.
Các số nguyên đương, số 0 và các số nguyên âm được gọi là s ố
nguyên. Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là z ;
z = {..., -n,..., -3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2, 3,..., n,...}.
Tập hợp N là một tập hợp con của tập hợp z : N c; z .

c. S ố hữu tỷ
Trong tập hợp số nguyên z ta có thể thực hiện phép cộng, phép

trừ và nhân. Tuy nhiên, phép toán ngược của phép nhân (phép

14 '

Trường Dạĩ học Kinh ỉấQuốo dân


CtìUtữig 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ĩuận
chia) vẫn bị hạn chế. Oiãng hạn, khỏiig (.ổn tại số iiguyên m sao
cho 2ni -- 3. Để thực hiện được phép toán ĩigược của phép nhân,
người ta mở rộne hệ thống số npuyên thành hệ thống số hữu tỷ.
Sô hữu íỷ là tỳ sô của hai sò' nquyên. Mỗi số hữu tỷ được viết
dưới dạng mộl phân sỗ tối giản:
m
r=
( m e z , n e N ).
n
Nếu biểu diẽn dưới dạng số thập phân thì số hữu tỷ là số thập
phân hữa hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Chẳng hạn
5
11
--32
- = 1,25; — = 1,8333...;
=-2,461538461538...
4
6
13
Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q . Số nguyên cũng
là số hữu tỷ (với mẫu số bằng 1), do đó z là một tập hợp con
của

; z c: Q .

d. Sô thực
Trong tập hợp số hữu íỷ ta có Ihể thực hiện cả bốn phép toán
cộng, trừ, nhân, chia. Các số hữu tỷ được sử dụng rộng rãi trong
việc biểu diễn và phân tích các thông tin định lượng. Tuy nhiên,
tập hợp số hữu tỷ vẫn chưa đủ để đáp ứng các nhu cầu tính toán.
Chẳng han, độ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông cân
có cạnh góc vuông bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một
số hữii tỷ. Để hoàn thiện hệ thống số, người ta bổ sung thêm các
số vô tỷ. Nếu biểu diễn dưód dạng số thập phân thì sô'vô tỷ là s ố
thập phân vó hạn không tuần hoàn. Chảng hạn, số đo độ dài
cạnh huyền của tam giác vuông cần có cạnh góc vuông bằng 1
là sô' vô tỷ:
V 2 = 1,4142135623...
Các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là sô thực. Tập hợp tất cả
các số thực được ký hiệu là R và tập hợp tất cả các số vô tỷ
được ký hiệu là Q . Ta có;

Trưdng Đạl học Kinh tế o.uốc
15


I p ẩ n -Iì a ọ ĩ Xì ì h q M g I hầ S ỉ n h ì ^
R = QuQ,

Q n Q = 0 .

II. BIỂU DIỄN HÌNH H Ọ C CÁ C s ô THựC

a. G iá trị tuyệt đối của s ố thực
Định nghía: Giâ trị tuyệt đối của một số thực X là số không âm
trong hai số X và -X .
Giá trị tuyệt đối của số thực X được ký hiệu là |x |. Tneo định
nghĩa, ta có:
X

nếu X > 0;

= •10

nếu X = 0;

- X nếu X < 0.
Bạn đọc cần ghi nhớ các tính chất cơ bản sau đây:
1. Với a là một số dương cho trước:
< a khi và chỉ khi - a < X < a;
> a khi và chỉ khi X < - a hoặc X > a.

2. Vcfi X và y là hai số thực bất kỳ:
< X
>

y

X

xy = X y ;
X

X

ỹ
b.

Trục s ố và độ dài đại s ố của đoạn thẳng

Trục số là một đường thẳng, trên đó có xác định:

16

Trưdng Đal học Kinh tế Quốc dân


Chương 1: Tệp hợp, Quan hệ va Logĩc suy Ịuận
•

Hướng của đườníT thẳng (íheo clĩiều mui tên);

•

Một điểm o cố dinh, gọi ỉà gó'c ĩoạ độ\

•

Đơn vỊ đo độ dài
A

B

o

Trên trục số lấy hai điểm A, B bất kỳ. Độ dài hình học của đoạn
thẳng AB (khoảng cách giữa A và B) cũng được ký hiệu là AB.
Định nghĩa: Độ dài đại

của đoạn thẳng AB trên trục số là

một số thực, ký hiệu là AB và được xác định như sau:
•

AB = AB nếu hướng từ A đến B cùng hướng của trục số;

•

AB = -A B nếu hướng từ A đến B ngược hướng của trục số.

Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản sau đây:
1. Với A và B là hai điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có:
ÃB I = AB, ĂB = -BÃ .
2. Với A, B, c là ba điểm bất kỳ trên tnạc số ta luôn có:
ÃB + BC = Ã c.
Việc chứng mmh các tính chất trên đành cho bạn đọc.

c.

Biểu diễn s ố thực trên trục số

Trên mót trục số cho trước lấy một điểm M bất kỳ.

o

M

Đ ịnh n»hĩa: Số thực X = OM được gọi là !oạ độ của điểm M.
Để nói rằng điểm M trên trục số có toạ độ là số X ta viết; M(x).
Như vẫy, mỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một
số thực X xác định, gọi là toạ độ của nó. Ngược lại, mỗi số thực

Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân

17


V . TOẨN CAO

àMỈÌmÌÌÉ»ÌÌaÌÉÌÉlÉBMMMMMM^^

CHO CẦCNHẨ KiNHÌẾ

. : , :i;

X cho tưong ìnig mộĩ điểm M trôn uuc số có toa độ bầiig X. Đó
là điểm mà khoảng cách đến góc loạ độ o bằng ix|, vê phía bên
phải nếu X > 0, vể phííi bên ưái nếu X < 0 và trùng với gốc toạ độ
nếu X = 0.
Fnép tương ứng môl đối mội nói :rc!i giữa tấí cả các diểm của
trục số và íất cả C.Ì.: số thực rho phéo l a đồnặ^ nhấĩ số thực X v'órị
điẩni M(x) trên ưuc số. Ta cố thể cỉùng từ "điểm x" để gọi m ổt
số thực X. Mỗi tập hợp số thực X c K là một ĩâp hợp điểm của

trục số. Tnic số CÒI1 được g»7 Ì là dường thẳng thực.
ẩ. K h o ả n g c á ch g iữ a h a i đ iểm trên íruc s ố
Với A(a) và B(b) là h>i điểm bâi kỳ trên trục số, ta có:
ÃB = Ã Ồ + ÕB = ÕB - ÕÃ = b -

3.

T ỉíđ â y ỉa S!)> ra công Chức xác Uịnh kiioảng cách giữa hai điểm

A(a) và BCo) ÍỈÌCO toạ đỏ của chúng:
IẤb Ị = Ị b - a Ị .

m . CÁC KHOẢNG SỐ THỰC
Khi biểu điễn và phân tích các thông tin định lượng, người ta
ĩhưỜỊig sử dụnậ các số thực trong phạm vi niột tập hợp X c R .
Ta dùng từ tập so thực', \\zỵf tập sô' ăè chỉ các tâị. con của R .
Các khoíỉng số thực ỉà các tập số thực có cấu trúc đcTn giản nhất

Khoảng hữu hạn
Với a và b là hai sô' thực cho tiiỉớc (a < b), ta gọi íập hợp tất cả
các số ứiực X giữa a và b là một khoảng. Cầc số a và b đư«ạc gọi
là các đầu mút của khoảng số đó. Nếu biểu diễn trên trục số thì
một khoảng là một đoạn thẳng nối hai điểm A(a) và B(b). Khi
xét một khoảng số ta có ứiê tính cả các đầu mút hoặc không. Để
phân biệt điề.i đó ta dung các ký hiệu như sau;

18

Trựdng ĐạỉìỶiọc itình tế Quốe đắn

Chuơiig 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ĩuậiì
Khoảng đóníị-.
a; b

x eR : a< x< b

Khoảng đóng [a; b] còn được gọi là đoạn [a; b
Khoảng mở.
(a; b) = {Xe K ; a < X < b

Các khoảng nửa mở.
[a; b) = {X6 R ; a < X < b
(a; b] = {x € R ; a < X < b}.

b. Lân cận của m ột điểm
Với Xq là một số thực cho trước và r là một số dương cho trước,
ta có:
X € (Xq - r; Xq + r) o

Xọ - r < X < Xo + r

<=> - r < x - x n < r o

X- X


Như vậy, khoảng (Xq - r; Xq + r) là tập hợp tất cả các điểm X có
khoảng cách đến điểm Xo nhỏ hơn r. Ta gọi khoảng đó là ỉân cận

bán kính r của điểm X và ký hiệu là V/Xq):
V,(Xo) = (Xo - r; Xo + r).

c. K hoảng vô hạn
Trong toán học người ta dùng các ký hiệu -00 và +C30 để chỉ các
đầu mút bên trái và bên phải của trục số. Theo quy ước, với mọi
số thực X ta có: -co < X < +c». Các tập số thực sau đây được gọi
là các khoảng vô hạn;
[a; +Qo) = { x e R : X > aỊ;

(a; +co) = {X6 R ; X > a};

( - 00; b] = { x e R : x < b } ;

( - 00; b ) = { x e R : x < b Ị ;

( - 00; +00) = R .
Chú ý rằng ± 00 chỉ là các ký hiệu ước lệ, không phải là số thực.

ÍMiil;

Trường Đạì học Kinh tế Quốc dân

15


TOÁN Cấ O CẨP c h o c á c NHẦ kính t ể
9 r

t

la

- ML - i ^

I

I

m

...............

•*'M í ! t J " 9

• ‘B

- , ' 1 m

u . » ’J M a

m

IV. T Ậ ? H Ọ P Bĩ CHẶN
a. K h á i n iệ m tã p h ợ p b ị ch ặ n
Một tập số thực X CI R được gọi là bị chặn irên nêu tổn tại số
thực b sao cho vói moi x e X ta iuón có: X < b. Số b lược cọi l'i
cận trên của tập X.
Mộí tập số thực X c: ẩ. được gọi là bị chặii dưới uếu tổn tại số
thực a sao clìO với mọi x e X ta liiOn có: X > a. Sô a được gọi là

cận dưới của tí\p X.
Một tập số thực X c: s đượt; gọi ỉà hị chặn nếu nó đồng thời bị
chặn trên và bị chặn dưới, tức ìà tồn tại các số thục a vàb sao
cho YỚi mọi x g X ta luôn có; a < X < b. Nói cách khác, láp hợp X
được gọi là bị chận nếu tổn tại doạii [a; b] sao cho X c [a; b .
V í dụ: Các khoảng hữu han ỉà các tập bị chặn. Cic khoảng
(a; + co), )3; +CO) ià các tâp bị chặn dưới, nhmig không bị chận

trên. Các khoản? {-oo; b), (~co; b] là các lập bị chặn trên, nhimg
không bị chặn dưới.

b. Cận trên đúng ) à cận dưới đúng
Đ ịnh nghĩa: Cận trên nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của một tập
hợp bị chặn trên (tập hợp bị chặn dưới) được gọị là cận trên
đúng {cận dưới dúng) của tập ỉìỢp đó.
Cán trên đúng của tập X được ký hiệu là supX:
Cận dưới đúng của tập X được ký hiộu là in fx .
Từ định nghĩa suy ra;
S u p x = b khi và chỉ khi thoả mãn hai điều kiện:
•

X < b vcfi mọi Xe X (b là một cận ữên của X);

• Với mọi số b ’ < b luôn tồn tại số XqG X sao cho Xo > b ’ (mọi
số b ’ < b không phải là cận trẽn rủa X).
Ví dụ: Tậ p hợn X = (;a, b) có cận trên đúng là số b.

20

Trường Đaỉ học Kính ìấ Quốc dân

• Ì ÌW :;Ì - i:;:Ì ị:ịi;:ịH Ì iN :Ì ỉil:ÌÌ :Ì ;Ì r Ì:;ỉ:iị;Ì:;lH ^


lliệ i vậy, hiển nhiôn là X < b với mọi X

b). Mặt khác, với

mọ! số b ’ < b thì K =■- (a; b ) o ( b ’; h) -■ 0 , do đó tồn tại X(,eK.
,SỐ XyG K ìà số íhoả măn điốu kiện
(a, b) va Xo > b’. Vậy cả
hai điều kiện nêu trên đều thoả mãn, do đó sup(a; b) = b.
Tương tự, in f x = a khi và chỉ khi ihoả mãrì hai điều kiện sau:
•

X > a với ưiọi XGX (a là một cận dưới của-X);

• Với mọi số a ’ > a luôn tồn tại số Xg GX sao cho Xq < a’ (mọi
số a’ > a không phải là cận dưới của X ) .
Ví dụ: Bạn đọc hãy tự kiểm ira hai điều kiện trên để khẳng định
rằng cận dưới đúng của khoảng (a; b) bằng a: inf(a; b) = a.
Trong toán học người ta đã chứng minh định lý sau đây:
Định lý: Mọi tập số thực X 0 bị chặn trên (bị chặn dưới) đều
có cận írên đúng (cận dưới đúng).
c. Sô cực đại và s ố cưc tiểu
Ọ n trên đúng và cận dưới đúng của rnột tâp số thực X có thể
thuộc hoặc không thuộc tập hợp X. Qìẳng hạn;
V ớ iX = [ a ,b ) ;

supX = bểX , infX = aeX ;

Với Y = (a; b]: supY = beY , iníY =
Định nghĩa: Nếu supX = b và b e X thì số b được gọi là s ố cực
dại, hay sô' lớn nhất, của tập họip X. Tưcmg tự, nếu inf X = a và
a e X thì số a được gọi là s ố cực tiểu, hay sô' nhỏ nhất, của tập
hợpx.
Số lớnnhất của tập hợp X được ký hiệu là max X, còn số nhỏ
nhất của tập hợp X được ký hiệu là minX. Từ định nghĩa suy ra:
m axX = b o

x < b v ớ i mọi X€ X và b e X;

m inX = a <=> X > a với rnọi x e X và a e X .
V í dụ:
•

max [a; b] = b, min [a; b] = a.

Trưòng Đạỉ học Kinh tế Quốc dân

21


ĩo

•

^ Ị ì ^ Ì Ắ Ì c Ị Ị c Ị Ệ Ị hẩ k in h ĩế

Tập (a; 1)) không có số lớn nhất và số nhó nhất.
§ 3 . Q U A N HỆ

I. TÍCH DKS Cá RTES
Định nghĩa: Tíeii Des Cartes eủa hãi tập hợp X và Y ỉà tập hợp
tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó X là một phần tử của lập
X và y ỉà rnột phần tử của tập Y.
Tích Des Cartes của X và Y được gọi tắt là lích của X và y. Ta
ký hiệu tích của hai tập họfp X và Y là XxY;
X x Y = ((x, y): xg X v à y e Y } .
Chú ý: Ký hiệu (x, y) chỉ một cặp có thứ nc. X là phần tử đứng
trước, y là phần tử đứng sau. Với X và y là hai phần tử khác nhau
thì (x, y) và (y, x) là hai cặp có thứ tự khác nhau. Từ hai tậpiiợp
X và Y ta có hai tập tích; XxY và YxX.
Ví dụ: Với X = (x, y, zỊ, Y = {a, b), ta có:
XxY = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)};
YxX = {(a, x), (b, x), (a, y), (b, y), (a, z), (b, z ) }.
Trên đây là định nghĩa tích Des Cartes của hai tập hợp. Tích Des
Cartes của n tập hợp được định nghĩa tưcmg tự như sau;
Định nghĩa: Tích của tỉ tập íậữ hợp Xị, X,, ... , X,, là tập hợp lất
cả các bộ n phần tử có thứ tự (X), X ,,. . . , x„), trong đó X|^ là phần
tử của tập hợp X,; (k = 1, 2 , . . . , n).

Tích của các tập hợp X|, X ; , ..., x„ được ký hiệu tưcmg tự;
X|X X 2X ... xX^ = |(xi, X,,..., x„); x,gX ,, XTeX,,..., x,fcX„ .
Đặc biệt, khi Xj= X,= - -= x„ = X, tích XxXx...xX (n lần) được
ký hiệu là X":
X" = {(X|, x .,..., x„): x ,e X , x . e X , . . . , x„eX)}.

22

Trưởng Đạl học Kinti tế Quốc dân

II. QUAN HỆ
a. Khái niệm quan hệ
Theo nghĩa thỏng thưèmg, quan hê frong một tặp hợp là một tính
chất đặc trung hay một quy ước lién kết các phần tử của tộp hơp
đó. Quan hệ hai ngôi Hên kết các phần lữ theo từng cặp. Qiẳng
hạn, quan hệ hồn nhân trong cộng đổng người liên kết hai người
có đãng ký kết hỏn; quan hệ chia hếĩ liên kết các số nguyên theo
thừng cặp (p, q), trong đó p là số chia hết cho q. Nói một cách
khái quát, một quan hệ hai ngóỉ (p trong tập hợp X là một quy
tắc xác định những cặp phán tử (x, y) có quan hệ với nhau theo

quy tắc đó. Nếu xem mỗi cặp phần tử (x, y) của tập hợp X là
một phần tử của tập tích X ' thì một quan hệ (p xác định một tập
hợp O c X ^ . Ta có Lhê đổng nhấi quan hệ ọ với tập con O của tập
tícn X^.
Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi tiong tập hợp X là một tập con
của tập hợp X^.
V í dụ :
•

Trong tập hợp người X, quan hệ cha con ỉà tập hỢỊỉ
(x, y): x e X , ỵ e X , X là cha của y Ị c X'.

• Trong tập hợp số thực 1 , quan hệ “không nhỏ hơn” là tập
hợp:
({x, y): X€ R , y e M, X > y ị c i R '.
• Trong lập hợp tất cả các tam giác quan hệ “đồng dạng”
tập hợp các cặp tam giác (A, A’) mà A đồng dạng với A’.

là

b. Quan hệ tương đương
Cho O c X * là một quan hệ trong tập hợp X. Nếu (x, y ) € 0 thì ta
nói p h ẩ n tử X có qu a n h ệ <I> với p h à n (ử y và viết; xOy.
•ạpsạRBa^aạmiiỊKỊỊMạạạBỊạnKạM

Trường Đại học Kinh tế Quốc dân

23


ĨOẨK-lAOCẤpr.HCGẤCN;-IẢR]NHTẾ
-| • - -| -iian ^ iii» |ịj|iiỂ iii'n riM n Ì^ ^

■ • ■ Ì in ìP y iV i^ Ỉ ẩ ^ i r T T r ĩ^ 'T i~ i - t r • ĩi- - r 'i' T r Ị--M - ■• - --r-iiÉ

'

'

*

Đ ỉnh nghĩa: Một quan hệ o íroníĩ tập họp >f được gọi là quan
hẻ íiú:rĩig dư ơìig P-ếu nổ có c á c tíiib cỉiấi sau:

•

1. l ính phản xạ: aOa, V a e X (Mọi phần tử a của tập hợp X có

quan hệ <I> với chính nó);
2. Tính ảổi xíúig: Nếiĩ a<x>b thì bOa (Nểu a có quan hệ o với b
thì b cũng có quan hệ 3. Tính bắc cầu: Nếu aOb và bOc thì aOc (Nếu a có quan hệ
<ĩ> với b và b có quan hệ
với c Ihì ă có quan hệ o với c).
V í dụ:
•

Quan hệ “x đồng dạng với y” là một quan hệ tương đương
t r o n g t ậ p h ọ p t ấ t C tì CcìC t â ĩ ĩ l

•

Quan hệ “x sinh cùng năm với y” là một quan hệ tương
đương trong tập hợp sinh viên của m ội trường đại học.

•

Quan hệ “x là bạn của y” trong tậD họfp sinh viên của một
trường đại học không phải là quan hệ tưcmg đương bởi vì
quan hệ này ỉđiông có tính bắc cầu.
c. Q uan hệ th ứ tự

Đ ịnh ngh ĩa: Một quan hệ o trong tập hợp X được gọi là quan
hệ thứ tự nếu nó thoả mãn các tính chất sau;
1. Tính phản xạ-. aOa,Va e X (Mọi phần tử a của tập hợp X có
quan hệ O với chính nó);
2. Tính bắc cầu: Nếu aOb và bOc thì aOc (Nếu a có quan hệ O
với b và b có quan hệ o với c thì a có quan hệ o với c).

3. Tính phản đối xiửig: Nếu a<I>b và bO a thì a = b (phần tử a
trùng với phần tử b).
Ví dụ:
•

Quạn hệ “x < y” là một quan hệ thứ tự tong tập hợp tất cả
các số thực.

24 ,

Triíồrng Dạí bọc Kính tế Quốc dân


iililiilliliit liiiiiiiiii
*

Quan hệ “p chia hết cho q” là mộ! quan hộ thứ tự trong tập
hợp tất cả các số tự nhiên,

in . ÁNH XẠ
a. K h á i niệm ánh xạ
Cho X và Y là hai tập hợp không rỗng bất kỳ.
Đ ịnh nghĩa: Một ánh xạ f từ tập hợp X vào lập hợp Y là một
quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử X của tập X với một và chỉ
một phần tử y của tập Y.
Để nói rằng f là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y ta dùng
ký hiệu:
f; X

Y.

Phần tử y e Y tưcmg ứng với phần tử x e X qua ánh xạ f được gọi
là đ n h c ủ a p h ầ n tử X. Để nói rằng y là ảnh của phần tử X qua ánh
xạ f ta viết: y = f(x).
V í dụ I: Phép đặt tưcmg ứng mỗi điểm M của một mặt phẳng p
với hình chiếu vuông góc N của nó trên một đường thẳng A c p
là m ôt ánh xa từ p vào A.
M

A
Ánh xạ này được gọi là phép chiếu vuông góc. Điểm N là ảnh
của điểm M qua phép chiếu đó.
Ví dụ 2: Phép đặt tương ứng mỗi số thực X với số nguyên m thoả
mãn điều kiện m < X < m + r (gọi là phần nguyên của x) là một

ánh xạ từ R vào z .

Trưdng^ Đại học Kinh tế Quốc dân
w

i”w.li25
iỉU
ỈíịiÌi


v;'

rầ ri V
t
Mm

MvAU
' lwrL

ếấuh viMư ir^ '

N hận xét: Mỗi ánh xạ f: X
Y, trong đó X và Y là hai tập hợp
con của tập không gian s, xác định một quan hệ trong S:
o = {(x, y): X€X v à y = f(x)} c S".

b.

Ả nỉi và nghịch ảnh của m ột tập hợp

Cho mội ánh xạ f: X i-> Y.
Đ ịnh nghĩa: Ảnh của rnột tập A e X qua ánh xạ f là tập hợp ảnh
của tất cả các phần tử XG A.
Ảnh của tập hợp A được ký hiệu là f(A):
f(A) = iy e Y ; Tồn tại x e A sao cho y = f(x)Ị.
V i dụ: Cho ánh xạ f; R 1-^ [0, + 00) đặt tương ứng mỗi số x e R
với số y = x ^6 [0; + 00). Ta có:
3]) = [0; 9], f([l; 2]) = [1; 4], f([-2, -1 ]) = [1; 4J.
Đ ịnh nghĩa: N ghịch ảnh của một tập hợp B d Y qua ánh xạ f là
tập hợp tất cả các phần tử của tập X có ảnh thuộc tập B.
Nghịch ảnh của tập B được ký hiệu là r ‘(B):
r '( B ) = { x e X : f(x)eB}.
Nghịch ảnh của tập hợp một phần tử b e Y được gọi là nghịch
ảnh của phần tử b và được ký hiệu là f ”'(b);
r '( b ) = IxeX: f(x).= b}.
V í dụ: Với f là ánh xạ cho ở ví dụ trên, ta có:

r ' ( l ) = { 1, -1 Ị, r ‘([l; 4]) = [ - 2;

2], r ‘([0; + C C ) ) = R .

Sau đây là một sô tính chất cơ bản của ảnh và nghịch ảnh.
Đ ịnh ĩý: Vófi mọi ánh xạ f; X 1-4 Y ta luỏn có:
1.

20

f(A |U A 2) = f(A ,)o f(A 2), với mọi AjC X, A ,c X.

Triíờng Đạí học Kịnh tế Quốc dân


Chưmg ị : Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ĩuận
2. f " ‘ (B,wB2) = r ' ( B , ) u r ' ( B 2), vái mọi B ,e Y, B,c: Y.
= r - ( B , ) n f '( B 2), với moi B ,c Y, BjCZ Y.

3.

Việc chứng minh định lý này chúng tôi dành cho bạn đọc.

c.

Đ ơn ánh, toàn ánh và song ánh

Định nghĩa:
1. Ánh xạ f; X h->Y được gọi là dơn ánh nếu hai phần tử kliác
nhau bất kỳ của tập X luôn có ảnh khác nhau:

X,

X2 => f(x,) ^ ííx.).

Nói cách khác, f là một đơn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của
mọi phần tử y e Y hoặc là tập trống, hoặc chỉ có một phần tử duy
nhất x eX .
2. Ánh xạ f: X
Y được gọi là toàn ánh nếu ảnh của tập hợp
X là toàn bộ tập hợp Y: f(X) = Y. Nói cách khác, f là một toàn
ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử y e Y đều không

rỗng.
3. Ánh xạ f: X 1-^ Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn
ánh, vừa là toàn ánh.
Ví dụ:
• Ánh xạ f: R
[-1; 1] đặt tương ứng mỗi sô' XG M với số
y = cosx e [ - l ; 1] là một toàn ánh, nhưng không phải là đơn
ánh.
• Ánh xạ f; [0; 71 ] 1—> R đật tương ứng mỗi số x e[0 ; 7Ĩ ] với
số y = cosx G R là một đơn ánh, nhưng không phải là toàn ánh.
• Ánh xạ f: [0; 7ĩ ] t-> [-1; 1] đặt tương ứng mỗi số x e [0 ; 7t ]
với số y = cosx e f - l ; 1] là một song ánh.

Trường Đại học Kinh tế Quốc dân

27

T c j i i i i s i i i | 0 CẮC NHA kinh Tẽ
d. Á nh xạ ngược
Giả sử ánh xa f: X h> Y là iiiột song ánii. Khi đó, mỗi phần tử
y e Y đều có nghịch ảnh không rỗng (do f là toàn ánh) và nghịch
ảnh của nó là m ột phần tử duy nhấí x e X (do f ỉà đcni ánh).
Trong trường hợp này ta có một ánh xạ f~': Y h-»x đật tương
ứng mỗi phần tử y e Y với phần tử duy nhất X =
Ánh xạ
f đ ư ợ c gọi là ánh xạ ngược của song ánh f.
V í dụ:

Gọi X là tập hợp sinh viên của một lớp học và Y là danh

sách ghi tên gọi đầy đủ (gồm họ, tên đệm và tên) cùa các sinh

viên đó. Giả sử lớp học không có hai sinh viên nào trùng tên.
Khi đó, ánh xạ f: Xt-> Y đặt tương ứng mỗi sinh viên với tên gọi
của sinih viên đó trong danh sách là một song ánh. Ánh xạ ngược
của song ánh f là ánh xạ
sách với sinh viên có tên đó.

đặt tương ứng mỗi tên trong danh

BÀI TẬP
5. Cho A = {2, 3, 5, 6}, B = {1,4}. Hãy chỉ ra các tập tích AxB
và BxA.
6 . Quan hệ nào trong số các quan hệ sau đây có tính chất bắc
cầu:

a)

Quan hệ "đồng dạng" ưong tập hợp tấi cả các

tam giác;

b) Quan hệ "đã hoặc đang học cùng một lớp"trong tập hợp
học sinh phổ thông;
c)

{(x, y): chiều cao của X bằng chiều cao của y } trong một

tập hợp dân cư;
d)

Quan hộ {(x, y): X > y } trong tập hợp R ;

e)

Quan hộ {(x, y): xy = 1) trong tập hợp K.

28 -.....
............

Tnrông
Kinh tế Quốc dân
^ Đại học
^ .........................


í:Ị|-.;;Ị;ỈJị;j

Chương 1: Tệp hợp, ciuan hể và L ogỉcsuyĩuận
7. Trong các quan hệ duới dây, quan hộ nào là quan hệ tương
đương, quan hộ nào là quaĩì hộ thứ 11/?
a) Quan hệ 'không nhỏ hcni về diện íích" trong tập hợp tất
cả các tam giác;
b)

{(x, y); X đang học cùng một lớp với y };

c) {(x, y): điểm của X không kém điểm của y) trong
hợp các thí sinh dự thi tuyển sinh đại học khối A;

tập

d) Quan hé cùng phương trong tập hợp tất cả các đường
thẳng;
e) Quan hệ “cùng tuổi” trong tập hợp sinh viên của một
trường đại học;
f) Quan hệ “không ít tuổi hem" trong tập hợp sinh viên của
m ội trường đại học.
8 . Cho trước một đường thẳng d. Trong không gian hình học,
điểm A có quan hộ ọ với điểm B Ịchi và chỉ khi đoạn thẳng AB
nằm ưên d hoặc song song với d. Hãy chứng tỏ (p là một quan hệ
tưcmg đương.

9. Trong các ánh xạ dưới đầy, ánh xạ nào là toàn ánh, ánh xạ
nào đcm ánh, ánh xạ nào song ánh?
a) Ặnh xạ f: M -> z đặt tương ứng mỗi số thực X với phẩn

nguyên của nó;
b) f: R

R , với f(x) = x^;
n

Jt
2

2

'

> M, với f(x) = sinx;

d) f: M —> [ - 1; 1], với f(x) = sinx;
Tl

2

7t
’

2

^ [ - 1; 1], với f(x) = sinx.


TOẢN CAO CẤP CHO CẤC NHẨKINHTẾ
10, Gọi f là ánh xạ đật tương ứng mỗi điểm của mật phẳng toạ

độ với hình chiếu của nó ưên trục hoành, X| là đoạn thẳng nối
hai điểm M |( l, 1), N|(2, 1),
là đoạn thẳng nối hai điểm
M 2 (1, 2), N 2(2 , 2). Hãy chứng minh;
f(Xi 0 X2 )

f (Xi ) n f ( X 2 ).

§4. ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC SUY LUẬN
L

M ỆNH ĐỂ V À CÁC PHÉP LIÊN KẾT M ỆNH ĐÊ

a, M ệnh đ ề tron g logic toán học
Hiểu theo nghĩa rộng, mệnh đề là một câu nói chuyển tải thông
tin, mô tả một cái gì đó hoặc phát biểu một ý kiến mang tính
khẳng định. Đối với các mệnh đề mang tính khẳng định, chúng
ta thường có lời bàn: nói như vậy là đúng, hoặc nói như vậy là
sai. Mục đích của hoạt động khoa học là khẳng định chân lý
khách quan. Những lời bàn đúng sai mang tính chủ quan không
có giá trị khoa học. Môn logic toán học đề cập đến cấu trúc
logic để phân định đúng sai. Trong khuôn khổ của cuốn sách
này, chúng tôi chỉ đề cập đến một số khái niệm cơ bản của lôgic
toán học với mục đích giúp bạn đọc nắm được cách thức suy
luận để chứng minh một mệnh đề là đúng.
Trong logic toán học chúng ta chỉ xét các mệnh đề mà về
nguyên tắc có thể quy vào một và chỉ một ưong hai phạm trù:
mộnh đề đúng hoặc mệnh đề sai. Ta gọi các mệnh đề như vậy là
mệnh đê logic. Đúng và sai được gọi là các giá trị chân lý, hay
£Ìá trị logic của các mệnh đề. Trong logic toán học người ta

dùng các con số 1 và 0 để chỉ các giá trị logic; 1 là đúng, 0 là
sai. Mệnh đề logic là mệnh đề có giá trị lôgic.
Để phân biệt m ệnh đề này với mệnh đề khác, ta gọi tên mỗi
mệnh để bằng một chữ viết hoa:
ăS, % ...

130

Đạl học Kính tế Quoo dẳn