Ebook giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng phần 2 nguyễn đông anh, lã đức việt

Chương V

TBTTNL KHỐI LƯỢNG TMD
5.1. Giới thiệu

TBTTNL khối lượng TMD (tuned mass damper) thực chất là một
hệ tích hợp giữa khối lượng, lò xo với các TBTTNL khác như
TBTTNL đàn nhớt hoặc TBTTNL chất lỏng nhớt (chương 3). Như
đã thấy trong chương 3, các TBTTNL ma sát, kim loại, đàn nhớt
hay chất lỏng nhớt đều là các TBTTNL lắp trong, năng lượng dao
động được tiêu tán qua chuyển động tương đối giữa các phần khác
nhau bên trong kết cấu. Trong trường hợp kết cấu khá rắn, chuyển
động tương đối giữa các phần trong kết cấu không lớn thì sử dụng
các TBTTNL lắp trong tỏ ra không hiệu quả. TBTTNL TMD là một
giải pháp thay thế vì đây là một thiết bị lắp ngoài, tiêu tán năng
lượng qua chuyển động tương đối giữa kết cấu với một khối lượng
phụ. Nguyên nhân tạo ra chuyển động tương đối này là quán tính
(tính ì) của khối lượng phụ. Quán tính của khối lượng phụ càng lớn
thì chuyển động tương đối cũng càng lớn. Thiết bị TMD cũng được
ứng dụng cho nhiều lĩnh vực khác như giao thông vận tải, máy móc
thiết bị..., trong đó vật cần giảm dao động chuyển động như một vật
rắn. Vì vậy, trong chương này, để trình bày những ứng dụng khác
nhau, ta sử dụng thuật ngữ hệ chính để chỉ các hệ kỹ thuật cần được
giảm dao động còn hệ phụ để chỉ TMD được lắp vào hệ chính với
mục đích làm giảm dao động. Thiết bị TMD sử dụng khối lượng
của bản thân để tạo ra chuyển động tương đối nên ưu điểm của
TMD là không cần thay đổi hay bổ xung những yếu tố bên trong hệ
chính. Do yêu cầu kỹ thuật khối lượng TMD không được ảnh hưởng
nhiều đến hệ chính (thường không quá 3-5% khối lượng hệ chính).
Thiết bị TMD nói chung có hiệu quả giảm dao động rõ rệt khi hệ
chính có cản yếu. Để có được chuyển động tương đối lớn giữa hệ

chính với khối lượng phụ, thiết bị TMD cần phải có đặc tính được
lựa chọn thích hợp. Do đó trong tên gọi TMD có thêm từ "điều


Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

166

chỉnh" (tuned) để phân biệt với các loại thiết bị điều khiển tích cực
và điều khiển ghép cũng dùng khối lượng. Trên thực tế, ý tưởng sử
dụng TMD đã được sử dụng từ khá sớm trong lĩnh vực giảm dao
động với tên gọi bộ hấp thụ động lực (dynamic absorber). Hình 5.1
là mô hình cho thấy sự lắp đặt của bộ hấp thụ động lực khối lượng
md nhằm giảm dao động cho hệ chính khối lượng m. Mô hình này
đã được Frahm (1909) đưa ra lần đầu tiên.

f(t)
k
m

kd
md

Hình 5.1: Mô hình bộ hấp thụ động lực của Frahm (1909)

Bằng cách điều chỉnh độ cứng kd và khối lượng md sao cho tần số
riêng của bộ hấp thụ bằng đúng tần số kích động điều hòa f(t),
người ta có thể làm tắt dao động của khối lượng m. Sau đó Den
Hartog (1956) đã phát triển lý thuyết bộ hấp thụ động lực có cản
trong trường hợp kích động điều hòa và hệ chính không cản. Áp

dụng quy trình tính toán của Den Hartog, các tác giả khác đã đưa ra
lời giải cho nhiều trường hợp khác nhau về mục tiêu điều khiển và
dạng kích động. Warburton (1982) là người đã tiến hành thống kê
và lập bảng các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực cho nhiều
trường hợp. Khi chuyển sang lĩnh vực điều khiển kết cấu, bộ hấp
thụ động lực thường được gọi với tên TMD. Vì hệ kết cấu thường
có nhiều bậc tự do và có cản nên lời giải giải tích cho hệ một bậc tự
do không cản chỉ là lời giải gần đúng ban đầu. Những nghiên cứu về
TMD cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên đã được
phát triển theo hướng sử dụng các phương pháp số [Casciati 2002,
Anh vcs 2000b, 2001, 2003, 2004b, Nguyễn Đông Anh vcs 2001,
Nguyễn Chỉ Sáng 2002]. Ngoài ra, một số nghiên cứu về TMD phi
tuyến, TMD va chạm cũng đáng chú ý. Để tăng hiệu quả của TMD,
những công nghệ hiện đại còn sử dụng các bộ điều khiển tích cực


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

167

lắp đặt vào TMD. Kỹ thuật này được sử dụng tương đối phổ biến ở
Nhật Bản với tên gọi thiết bị HMD (Hybrid Mass Damper).
Việc tích hợp thiết bị TMD trong thực tế cũng mở ra nhiều nghiên
cứu. Khi lắp đặt vào kết cấu, thường thiết bị TMD có biên độ dao
động lớn hơn nhiều lần dao động của kết cấu. Vấn đề nghiên cứu đặt
ra là thiết kế hình dạng của thiết bị sao cho có thể sử dụng không gian
một cách tối ưu. Vì kiến trúc của kết cấu rất đa dạng nên hình dạng
cấu trúc của thiết bị TMD cũng không kém phần phong phú.
Trong thực tế thiết bị TMD đã được áp dụng nhiều trong nhiều
lĩnh vực cần giảm dao động. Với kết cấu, áp dụng đầu tiên của thiết

bị TMD vào năm 1975. Đến nay, việc sử dụng thiết bị TMD để
giảm dao động của kết cấu đã trở thành một khái niệm quen thuộc.
Trong phần đầu của chương này sẽ trình bày một số lời giải
kinh điển và các công thức kinh nghiệm đối với TMD. Để thống
nhất với các TBTTNL khác, các công thức tuyến tính hóa tương
đương đối với TMD sẽ được trình bày trong chương này, còn vấn
đề tính toán hệ nhiều bậc tự do có lắp TMD trên miền thời gian
sẽ được trình bày trong chương 8. Việc đề cập đến một số yêu
cầu của thực tế và một số ví dụ lắp đặt TMD vào kết cấu sẽ trình
bày trong chương sau.
5.2. Phương pháp giải tích chọn tham số tối ưu của TMD khi hệ chính
không cản có 1 bậc tự do

Đối với hệ chính 1 bậc tự do không cản, có thể thu được lời giải
giải tích cho các tham số tối ưu của TMD. Trong phần đầu,
phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do tổng quát dạng con
lắc - lò xo có lắp TMD sẽ được thành lập. Sau đó, ta trình bày
một số phương pháp tính toán TMD cho lời giải giải tích. Hai
phương pháp cực tiểu mômen bậc 2 và cực đại độ cản tương
đương có liên quan đến một số khái niệm của dao động ngẫu
nhiên đã được trình bày trong chương 1. Bạn đọc chưa quen với
dao động ngẫu nhiên có thể bỏ qua phần này. Các phương pháp ở
đây được trình bày dưới dạng đường lối thực hiện. Các mục 5.3,
5.4 và 5.5 sẽ áp dụng phương pháp vào những hệ cụ thể. Ngoài
ra, độc giả có thể tham khảo thêm các phương pháp khác [Falcon
vcs 1967, Fujino vcs 1993, Nguyen Van Khang vcs 2006,
Nguyen Van Dao vcs 2004].


Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

168

5.2.1. Phương trình chuyển động của hệ con lắc - lò xo

Mục đích của phần này là thiết lập phương trình chuyển động của
hệ con lắc - lò xo 1 bậc tự do, được lắp đặt TMD cũng có dạng
con lắc - lò xo. Đây là hệ tổng quát mang tính lý thuyết, có thể
không tồn tại trong thực tế. Tuy nhiên, các trường hợp riêng của
nó (như sẽ thấy trong các mục 5.3, 5.4 và 5.5) có xuất hiện trong
thực tế. Ta xét hệ cơ học như trên Hình 5.2. Hệ chính bao gồm
con lắc có khối lượng m, chiều dài l, khối lượng riêng của thanh
treo là ρ, góc dao động là θ và nối với một điểm cố định bởi lò
xo có độ cứng k. TMD cũng là một hệ con lắc - lò xo với khối
lượng md, chiều dài ld, góc dao động so với hệ chính là θd, nối
với hệ chính bởi lò xo có độ cứng kd và bộ cản có độ cản là cd.
Điểm treo TMD cách điểm treo hệ chính một khoảng d. Giả sử hệ
chính chịu lực kích động f(t) theo phương ngang (phương Ox)
còn điểm treo hệ chính O dịch chuyển với gia tốc ag(t) cũng theo
phương ngang.

ld

θd

x

O

d

θ
cd
y
l

md
kd
k

m

Hình 5.2: Hệ con lắc - lò xo không cản được lắp TMD

Xét hệ trục tọa độ như trên Hình 5.2. Các tọa độ của các khối lượng
m và md là:


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

169

x = l sin θ , y = l cos θ
xd = ld sin (θ + θ d ) − d sin θ , yd = ld cos (θ + θ d ) − d cos θ

(5.1)

Ngoài ra để tính động năng và thế năng của thanh đỡ hệ chính,
ta còn cần đến các tọa độ của các điểm thuộc thanh. Xét một yếu
tố chiều dài vi phân ds của thanh treo hệ chính, có khoảng cách s

tính từ điểm treo O. Khi đó vị trí và khối lượng của yếu tố chiều
dài này là:
xb ( s ) = s sin θ , yb ( s ) = s cos θ , dmb = ρ ds.

Động năng của hệ có dạng
T=

(

)

(

l

)

1
1
1
2
2
m x& 2 + y& 2 + md x&d2 + y& d2 + ∫ ⎡( x&b ( s ) ) + ( y&b ( s ) ) ⎤ ρ ds
⎦⎥
2
2
2 ⎣⎢
0
2
1

= ⎛⎜ ml 2θ& 2 + md d 2θ& 2 + md ld2 θ& + θ&d ⎞⎟
2⎝
⎠
1⎛
1
⎞
+ ⎜ −2md dld θ& θ& + θ&d cos θ d + ρ l 3θ& 2 ⎟
2⎝
3
⎠

(

(

)

(5.2)

)

Thế năng của hệ có dạng:
l

kl 2θ 2 + kd ld2θ d2
V = −mgy − md gyd +
− ∫ ρ gyb ( s ) ds =
2
0

⎞
⎛
1⎛ 2 2
ρl 2 ⎞
⎜ kl θ + kd ld2θ d2 − 2 ⎜ ml − md d +
g cos θ ⎟
⎟
⎜
⎟
2 ⎜⎝
2 ⎟⎠
⎝
⎠
−md ld g cos (θ + θ d )

(5.3)

Hàm tiêu tán có dạng

1
F = cd lθ&d
2

( )

2

(5.4)

Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

170

Công sinh ra trên một dịch chuyển khả dĩ là:

δ A = ⎡⎣ f ( t ) − mag ( t ) ⎤⎦ δ x − md ag ( t ) δ xd =

⎡ f ( t ) − mag ( t ) ⎤ l cos θδθ
⎣
⎦
− md a g ( t ) ( ld cos (θ + θ d )(δθ + δθ d ) − d cos θδθ )

(5.5)

Từ đó ta suy ra các lực suy rộng là:
Qθ ( t ) = l cos θ f ( t ) −
( ml cosθ + md ld cos (θ + θd ) − md d cosθ ) ag ( t )

Qθ d ( t ) = −md ld cos (θ + θ d ) a g ( t )

(5.6)

(5.7)

Thay vào phương trình chuyển động Lagrange:
d ⎛⎜ ∂ (T − V ) ⎞⎟ ∂ (T − V ) ∂F
−
+ . = Qθ
dt ⎜⎝ ∂ θ. ⎟⎠

∂θ
∂θ

(5.8)

⎞
⎛
d ⎜ ∂ (T − V ) ⎟ ∂(T − V ) ∂F
−
+ . = Qθ d
dt ⎜⎜ ∂ θ. ⎟⎟
∂θ d
∂θd
d
⎠
⎝

Ta thu được phương trình chuyển động:
ml 2θ&& +

ρ l 3 &&
θ + md ld2θ&&d + md d 2 + ld2 θ&& − md dld cos θ d ( 2θ&& + θ&&d ) +

(

3

)

⎛

ρl 2 ⎞
md dld 2θ& + θ&d θ&d sin θ d + ⎜ ml − md d +
⎟ g sin θ +
⎜
2 ⎟⎠
⎝
md ld g sin (θ + θ d ) + kl 2θ =
l cos θ f ( t ) − ( ml cos θ + md ld cos (θ + θ d ) − md d cos θ ) ag ( t ) ,

(

)

(5.9)


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

171

( md ld2 − md dld cosθd )θ&& + md ld2θ&&d + md dldθθ& &d sin θd + kd ld2θd
(

)

− md ld dθ& θ& + θ&d sin θ d + md ld g sin (θ + θ d ) + cd ld2θ&d =
− md ld cos (θ + θ d ) a g ( t )

(5.10)

Hệ phương trình (5.9) và (5.10) là một hệ phương trình vi phân
phi tuyến. Giả sử hệ tuyến tính hóa có thể mô tả được bản chất của
phương trình phi tuyến này. Để tuyến tính hóa giả thiết các góc lệch
θ và θd là nhỏ, bỏ qua các đại lượng bậc cao, ta có:
sin θ ≈ θ , sin θ d ≈ θ d , sin (θ + θ d ) ≈ θ + θ d ,
cos θ ≈ cos θ d ≈ cos (θ + θ d ) ≈ 1
Phương trình chuyển động tuyến tính hóa dưới dạng ma trận:
⎡ 2 ρl3
⎤
2
+ md ( ld − d ) md ld2 − md dld ⎥ ⎡ θ&& ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ θ& ⎤
⎢ ml +
+
3
⎢
⎥ ⎢θ&&d ⎥ ⎢0 c l 2 ⎥ ⎢θ&d ⎥
d d⎦⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
2
2
⎢⎣
⎥⎦
md ld − md dld
md ld
⎡ 2
⎤
ρ gl 2
+ md g ( ld − d )

kl + mgl +
md gld
⎢
⎥⎡θ ⎤ =
+
2
⎢
⎥ ⎢⎣θ d ⎥⎦
⎢⎣
md gld
kd ld2 + md gld ⎥⎦
⎡lf ( t ) − ( ml + md ld − md d ) ag ( t ) ⎤
⎢
⎥
−md ld ag ( t )
⎢⎣
⎥⎦

(5.11)
Đưa vào các đại lượng sau:

μ=

g ( m + ρl / 2)
md
l −d
k
,γ = d
, ωs =
+

,
m + ρl / 3
l
m + ρ l / 3 l ( m + ρ l / 3)

ω
kd
cd
g
g
+ ,ξ =
,α = d ,η = 2 ,
2md ωd
ωs
md ld
ωs l
x = lθ , xd = ld θ d

ωd =

(5.12)


Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

172

Trong đó μ là tỷ số các khối lượng, γ là tỷ số xác định vị trí
lắp đặt TMD, ωs là tần số riêng của hệ chính, ωd là tần số riêng
của TMD, ξ là tỷ số cản của TMD, α là tỷ số các tần số riêng, η

là tham số xác định sự phân bố khối lượng của con lắc, x là
chuyển dịch của hệ chính, xd là chuyển dịch tương đối của TMD
so với hệ chính. Phương trình chuyển động được viết thành

⎡1 + μγ 2 μγ ⎤ ⎡ &&
x⎤
0 ⎤ ⎡ x& ⎤
⎡0
+
ω
s
⎢ μγ
⎥
⎢⎣ &&
⎥⎦
⎢⎣0 2ξαμ ⎥⎦ ⎢⎣ x&d ⎥⎦ +
x
μ
d
⎣
⎦
⎡ f (t )
⎤
− (1 + μγ ) a g ( t ) ⎥
2 ⎡1 + μγη μη ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢
ωs ⎢
= m
⎥
μα 2 ⎥⎦ ⎢⎣ xd ⎥⎦ ⎢
⎣ μη

− μ ag ( t )
⎣
⎦ (5.13)
Phương trình này là cơ sở cho các phương pháp giải tích sẽ được
trình bày tiếp theo.
5.2.2. Phương pháp điểm cố định

Phương pháp điểm cố định được đề xuất bởi Den Hartog 1956 với
mục đích hạ thấp tối đa đỉnh của đáp ứng hệ chính khi chịu kích
động điều hòa. Với kết cấu, có 2 đáp ứng hay được xét đến là
chuyển dịch (liên quan đến đến độ an toàn của kết cấu) và gia tốc
(liên quan đến độ an toàn của các thiết bị và con người trong kết
cấu). Giả sử kích động có dạng điều hòa, biểu diễn kích động dưới
dạng phức

ˆ iωt a g ( t ) = aˆ g eiωt
f ( t ) = fe
,

(5.14)

trong đó fˆ và aˆ g là các biên độ phức. Đáp ứng bình ổn có dạng
iωt
ˆ iωt , xd = xˆd e
x = xe

(5.15)

với xˆ và xˆd lần lượt là các biên độ phức của chuyển dịch hệ
chính và TMD. Thay (5.14) và (5.15) vào phương trình (5.13),

Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

173

loại bỏ thành phần chứa thời gian, chia cho ωs2, ta thu được
phương trình:
⎛ 2 ⎡1 + μγ 2 μγ ⎤
⎡0 0 ⎤ ⎡1 + μγη μη ⎤ ⎞ ⎡ xˆ ⎤
+ 2i β ⎢
+⎢
=
⎜ −β ⎢
⎟
⎥
μ⎦
μα 2 ⎥⎦ ⎠ ⎢⎣ xˆd ⎥⎦
⎣0 ξαμ ⎥⎦ ⎣ μη
⎣ μγ
⎝
⎡1 ⎤ fˆ ⎡1 + μγ ⎤ aˆ g
⎢⎣0 ⎥⎦ k − ⎢⎣ μ ⎥⎦ ω 2
s

(5.16)

Trong đó ký hiệu:

β=

ω
= tỷ số giữa tần số kích động và tần số kết cấu.
ωs

Nếu aˆ g = 0 , giải (5.16) thu được biên độ phức của chuyển dịch
hệ chính có dạng:
xˆ =

H1 + iH 2ξ ˆ
f
H 3 + iH 4ξ

(5.17)

Trong đó i là số ảo, ξ là tỷ số cản của TMD, Hi (i = 1,..4) là
các hàm thực của α, β và một số tham số khác ngoại trừ ξ. Các
hàm Hi (i = 1,..4) sẽ được tính cho từng trường hợp cụ thể trong
các mục 5.3, 5.4 và 5,5. Trong trường hợp fˆ = 0 và aˆ g ≠ 0 thì

ta cũng thu được biểu thức tương tự như (5.17) nhưng thay fˆ
bởi aˆ g . Trường hợp chỉ tiêu gia tốc cũng có biểu thức tương tự
(5.17) nhưng thay biên độ của chuyển dịch bằng biên độ của gia
tốc. Từ (5.17), biên độ thực của đáp ứng có dạng:

xˆ ( t ) = fˆ ( t )

H12 + H 22ξ 2
H 32

+ H 42ξ 2

= H fˆ ( t )
(5.18)


174

Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

Trong đó H được gọi là hàm khuyếch đại giữa biên độ đáp
ứng và biên độ kích động. Mục đích của phương pháp điểm cố
định là hạ thấp nhất một cách có thể đỉnh của hàm khuyếch đại
H trong toàn bộ miền biến thiên của tần số kích động. Khi cố
định các tham số ngoại trừ tham số ξ, đồ thị H theo β với một số
giá trị của ξ có dạng như trên Hình 5.3

Hình 5.3: Dạng biến thiên của hàm khuyếch đại
theo tần số kích động ngoài

Trên Hình 5.3 ta thấy, với 2 trường hợp tới hạn ξ = 0 (không cản)
và ξ = 1 (cản tới hạn) đều dẫn tới đỉnh của đồ thị tiến ra vô cùng.
Điều đó cho thấy giữa 2 giá trị này tồn tại một giá trị tối ưu nào đó
của tỷ số cản thiết bị ξ. Ngoài ra, tính chất không cản của hệ chính
dẫn tới sự tồn tại của 2 điểm cố định P, Q không phụ thuộc vào tỷ
số cản ξ của TMD. Bước đầu tiên của phương pháp điểm cố định là
tìm 2 điểm cố định P, Q. Giả sử 2 điểm P, Q có hoành độ là β1 và
β2. Để H không phụ thuộc vào ξ thì:
∂H
∂H

|β = β1 =
|β = β 2 = 0
∂ξ
∂ξ

(5.19)


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

175

Từ biểu thức của H trong (5.18), rút ra các phương trình:
H1
H
|β = β1 = 2 |β = β1
H3
H4

(5.20)

H1
H
|β = β 2 = 2 | β = β 2
H3
H4

(5.21)

Và ta cũng thu được giá trị của H tại 2 điểm này:

H |P =

H2
H
|β = β1 H |Q = 2 |β = β 2
H4
H4
,

(5.22)

Sau đó, Den Hartog (1956) lý luận rằng muốn đồ thị H không
thay đổi lớn trong khoảng giữa 2 đỉnh thì trước hết cần phải cho 2
điểm P và Q có độ cao bằng nhau, từ đó ta có thêm một phương
trình:

H |P = H |Q ⇒

H2
H
|β = β1 = 2 |β = β 2
H4
H4

(5.23)

Như vậy ta đã có 3 phương trình (5.20), (5.21) và (5.23) cho 3 ẩn
β1, β2 và α. Chú ý rằng tính chất không cản của hệ chính làm cho
các hàm Hi (i = 1,..4) không phụ thuộc vào ξ. Do đó hệ (5.20),

(5.21) và (5.23) là hệ 3 phương trình đóng với 3 ẩn β1, β2 và α. Hệ
này có lời giải không phụ thuộc ξ. Kết quả cho nghiệm tối ưu của α
là α*. Bước thứ hai của phương pháp điểm cố định là tìm thêm một
phương trình nữa cho ẩn ξ. Sau khi đã có 2 điểm cố định P, Q cao
bằng nhau, nếu vẽ đồ thị H theo tỷ số tần số với các giá trị ξ khác
nhau, ta lại có dạng trên Hình 5.4.


Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

176

Hình 5.4: Dạng biến thiên của hàm khuyếch đại
khi α đã được chỉnh đến giá trị tối ưu

Khi ξ còn nhỏ thì có 2 đỉnh của đồ thị cao hơn P và Q. Khi ξ
tăng dần thì 2 đỉnh đó thấp dần xuống. Đến một giá trị ξ* thì 2 đỉnh
này đã thấp khá gần P,Q. Nếu lại tăng tiếp cản thì 2 đỉnh tiến tới
chập làm một và đỉnh duy nhất này lại cao lên. Như vậy tồn tại một
giá trị ξ* mà ta cần tìm sao cho P và Q gần với các đỉnh của đồ thị
nhất. Trước hết ta tìm giá trị ξ1 sao cho P là một đỉnh của đồ thị.
Khi P là đỉnh của đồ thị thì đạo hàm của H theo β tại đó (tại β = β1)
bằng 0. Xuất phát từ biểu thức (5.18) của hàm khuyếch đại H có:

(

) (

H 2 H 32 + ξ 2 H 42 = H12 + ξ 2 H 22

)

(5.24)

Lấy đạo hàm 2 vế (5.24) theo β tại β = β1 và chú ý tới điều kiện
∂H/∂β = 0 tại β1 thì ta thu được
∂H1
∂H 2
+ ξ 2H2
∂β
∂β
H2 =
∂H 3
∂H 4
H3
+ ξ 2H4
∂β
∂β
H1

Dẫn tới:

(5.25)


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

177

∂H 3

∂H1
− H 2 H3
∂β
∂β
ξ2 = −
∂H 2
∂
H4
− H 2H4
H2
∂β
∂β
H1

(5.26)

Thay các giá trị α* và β1 vào đây có thể tính được ξ1.
∂H 3
∂H1
− H 2 H3
∂β
∂β
ξ12 = −
∂H 2
∂
H4
− H 2H4
H2
∂β
∂β

H1

tại α = α* và β = β1 (5.27)

Với cách làm tương tự ta tính được giá trị ξ2 để Q là một đỉnh
của đồ thị.
∂H 3
∂H1
− H 2 H3
∂β
∂β
ξ 22 = −
∂H 2
∂H 4
− H 2H4
H2
∂β
∂β tại α = α* và β = β2 (5.28)
H1

Do ξ1 và ξ2 khác nhau nên P và Q không thể đồng thời cùng là
đỉnh. Giá trị tối ưu sẽ tương ứng với trường hợp P và Q gần các
đỉnh nhất như đã thấy trên Hình 5.4. Giá trị sẽ được lấy là giá trị
trung bình bình phương của ξ1 và ξ2 [Brock 1946]:

ξ* =

ξ12 + ξ 22
2

(5.29)

Tóm lại phương pháp điểm cố định được thực hiện bằng việc giải
6 phương trình (5.20), (5.21), (5.23), (5.27), (5.28) và (5.29), trong
đó 3 phương trình đầu được giải độc lập không phụ thuộc vào cản
của TMD.


Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

178
5.2.3. Phương pháp cực tiểu mômen bậc 2

Phương pháp cực tiểu mômen bậc 2 dựa trên việc tính mômen bậc 2
đã được trình bày trong chương 1. Bạn đọc có thể tham khảo
Warburton (1982). Phương trình chuyển động (5.13) được viết dưới
dạng phương trình trạng thái (5.40) (chương 1):
z& ( t ) = Az + H f f ( t ) + H a ag ( t )

(5.30)

Trong đó z(t) là vectơ trạng thái chứa đáp ứng của hệ chính
z = [ x xd x& x&d ]

T

(5.31)

A là ma trận hệ thống
0

0
⎡
⎢
0
0
2
A = ⎢ −ω 2
μωs γα 2 − η
⎢
s
⎢ 2
2
2 2
2
⎣⎢ωs ( γ − η ) (−α − μγ α + μγη )ωs

(

)

⎤
⎥
⎥
0
2ξμγαωs
⎥
⎥
2
0 −2ξ (1 + μγ )αωs ⎦⎥
(5.32)

1
0

0
1

Còn Hf và Ha là các ma trận định vị của kích động
Hf =

1
[0 0 1 −γ ]T , H a = [0 0 −1 γ − 1]T
m

(5.33)

Ma trận mômen bậc hai P là nghiệm của phương trình ma trận
Lyapunov (5.62) được thành lập trong chương 1:
AP + PAT + H f H Tf S f + H a H aT Sa = 0

(5.34)

Trong đó giả sử rằng f(t) và ag(t) là kích động ồn trắng có cường
độ lần lượt là Sp và Sa. Đối với hệ 2 bậc tự do, số ẩn cần giải là 16.
Tuy nhiên nếu chú ý thêm tính đối xứng của ma trận mômen bậc 2
thì số ẩn còn lại là 10. Các phương trình này được giải trong từng


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

179

trường hợp cụ thể ở các mục 5.3, 5.4 và 5.5. Các giá trị tối ưu của α
và ξ được tìm làm tối ưu mômen bậc 2 của đáp ứng hệ chính P11.
Điều kiện cực tiểu là:
∂P11
∂P11
|ξ =ξ * = 0
|α =α * = 0
∂
ξ
∂α
,

(5.35)

Như vậy để thu được tham số tối ưu với chỉ tiêu cực tiểu
mômen bậc 2 thì ta cần giải hệ (5.34) và (5.35). Trong trường
hợp hệ chính là hệ 1 bậc tự do không cản thì hệ phương trình trên
có lời giải giải tích. Ngoài ra cũng có thể xét thêm trường hợp chỉ
có 1 tham số được điều chỉnh. Trong thực tế, do nguyên nhân kỹ
thuật có thể xảy ra các trường hợp tham số α hoặc ξ đã được
chọn cố định. Khi đó ma trận mômen bậc 2 chỉ còn là hàm một
biến. Lúc đó ta vẫn tìm điều kiện cực trị và tìm ra giá trị tối ưu
của tham số còn lại.
5.2.4. Phương pháp cân bằng cực

Phương pháp này tìm các tham số của TMD để tăng các đặc trưng
cản của hệ (Korenev vcs 1993, Matsuhisa vcs 2001, Chen vcs
2003). Xét phương trình trạng thái (5.30). Đa thức đặc trưng của ma

trận hệ thống S có dạng:
Poly ( λ ) = λ 4 + a1λ 3 + a2λ 2 + a3λ + a4

(5.36)

Trong đó ai (i = 1,..4) là các hệ số thực tính theo các công thức

(

)

(

)

a1 = 2α 1 + μγ 2 ξωs , a2 = 1 + α 2 + α 2 μγ 2 − μγη ωs2 ,

(

a3 = 2αξωs3 (1 + μγη ) , a4 = ωs4 α 2 + μηγα 2 − μη 2

)

(5.37)

Các nghiệm của đa thức (5.36) được gọi là các cực của hệ thống.
Để hệ ổn định thì các cực này phải có phần thực âm, tức là nằm ở
nửa trái mặt phẳng phức. Như nhiều người đã biết, phần thực của
các cực thể hiện độ tắt dần của dao động tự do còn phần ảo của các

Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

180

cực thể hiện số lần dao động. Do đó, muốn dao động hệ tắt nhanh
và êm thì độ lớn của các phần thực càng lớn càng tốt và độ lớn của
phần ảo càng bé càng tốt. Ký hiệu 4 nghiệm của (5.36) là λi (i =
1,..4). Dựa vào định lý Vieta có:
4

(

)

−∑ Re ( λi ) = a1 = 2α 1 + μγ 2 ξωs
i =1

(5.38)

Đẳng thức này dẫn tới 2 bất đẳng thức

(
i =1,..4

)

min Re ( λi ) ≤

4

⎧

a1
4

(5.39)

⎫

( Re ( λi ) )⎬⎭ = a1 − 4 imin
( Re ( λi ) )
∑ ⎨⎩− Re ( λi ) − imin
=1,..4
=1,..4
i =1

(5.40)

Các biểu thức phi thứ nguyên (5.12) cho thấy vế phải của (5.39)
chỉ phụ thuộc vào độ cản cd mà không phụ thuộc vào độ cứng kd của
TMD. Do vế trái của (5.39) lại phụ thuộc vào độ cứng của TMD
nên để môđun của phần thực là lớn nhất có thể thì độ cứng của
TMD phải được chọn sao cho (5.39) trở thành đẳng thức. Khi (5.39)
trở thành đẳng thức thì vế phải của (5.40) triệt tiêu, dẫn tới tất cả
các phần thực của các cực là bằng nhau. Ta ký hiệu giá trị chung
này là δ0. Do các phần thực đã bằng nhau nên các nghiệm phải là
cặp nghiệm phức liên hợp mà ta ký hiệu là λ1,2 = δ0±δ1 và λ3,4 =
δ0±δ2. Khi đó có:

(

2

P ( λ ) = ( λ − δ 0 ) + δ12

) (( λ − δ )
0

2

+ δ 22

Khai triển (5.41) và so sánh với (5.36) dẫn tới:

)

(5.41)


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

(

181

)

−4δ 0 = 2α 1 + γ 2 μ ξωs
6δ 02

+ δ12

+ δ 22

(

(

)

= 1 + α 2 + α 2 μγ 2 − μγη ωs2

)

−4δ 03 − 2δ 0 δ12 + δ 22 = 2αξωs3 (1 + μγη )

(δ02 + δ12 )(δ 02 + δ 22 ) = ωs4 (α 2 + μηγα 2 − μη 2 )

(5.42)

Khử ξ, α và δ0 từ (5.42), sau một số biến đổi ta thu được
6

ωs2 (1 + γημ )

(1 + γ μ )
2

(

)

− 2 δ12 + δ 22 − (1 − γημ ) ωs2

⎛ 2
2
2 ⎞⎛ 2
2
2⎞
⎜ ωs (1 + γημ ) + δ1 − δ 2 ⎟⎜ ωs (1 + γημ ) + δ 2 − δ1 ⎟ + η 2 μω 4
s
⎜⎜ 1 + γ 2 μ
2 ⎟⎜
2 ⎟⎟
⎟⎜ 1 + γ 2 μ
⎝
⎠⎝
⎠
2
1+ γ μ

(

)

(

(

)

=

)

(1 + ηγμ ) ωs2

(5.43)

Sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên sau:
⎛ 2
⎤
2
2 ⎞⎛ 2
2
2⎞ ⎡ 2
⎜ ωs (1 + γημ ) + δ1 − δ 2 ⎟ ⎜ ωs (1 + γημ ) + δ 2 − δ1 ⎟ ≤ ⎢ ωs (1 + γημ ) ⎥
2 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 + γ 2 μ
2 ⎟⎟ ⎢ 1 + γ 2 μ ⎥
⎜⎜ 1 + γ 2 μ
⎝
⎠⎝
⎠ ⎣⎢
⎦⎥

(

)

(

)

(

2

)

Sau một số biến đổi (5.43), ta thu được bất đẳng thức có dạng:

δ12

⇒ max
i =1,2

+ δ 22

( )≥
δ i2

2

≥

4 (1 + γημ ) − μ ( γ − η )

(

)

2 1 + γ μ (1 + γημ )
2

2

4 (1 + γημ ) − μ ( γ − η )

(

)

4 1 + γ μ (1 + γημ )
2

2

2

ωs2

ωs2
(5.44)


Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

182

Ta thấy rằng vế phải của (5.44) không phụ thuộc vào độ cứng kd
hay độ cản cd của TMD. Chú ý rằng kd đã được chọn để các phần
thực bằng nhau. Để môđun của phần ảo là nhỏ nhất thì độ cản cd
ảnh hưởng tới vế trái của (5.44) cần được chọn sao cho (5.44) trở
thành đẳng thức. Với cách lý luận tương tự như với phần thực, ta có
thể suy ra độ lớn các phần ảo cũng bằng nhau, tức là δ1 = δ2. Từ
(5.44) ta tính được giá trị chung là:
2

δ1 = δ 2 = ωs

4 (1 + γημ ) − μ ( γ − η )

(

2

)

4 1 + γ 2 μ (1 + γημ )

(5.45)

Thay (5.45) vào (5.42) ta thu được phần thực δ0, tỷ số tần số tối
ưu α* và tỷ số cản tối ưu ξ* như sau:

δ0 = −

α* =

ξ* =

ωs
2

μ (γ −η )

2

(1 + γημ ) (1 + γ 2 μ )

(1 + γημ )2 + μη 2 (1 + γ 2 μ )

(1 + γ 2μ )

1 + γημ

μ (γ −η )

(5.46)

2

,
(5.47)

2

(1 + γ 2μ ) ⎡⎢⎣(1 + γημ )2 + μη 2 (1 + γ 2μ ) ⎤⎥⎦
2

(5.48)

Khi các cực đã cân bằng thì 4 tỷ số cản của hệ đều bằng nhau. Tỷ
số cản được tính theo công thức (1.48) trong chương 1:


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

ξi = −

Re λi

λi

=

−δ 0

δ 02 + δ12

=

183

−δ 0

δ 02 + δ 22

2

=

μ (γ −η )
. (i = 1,..4)
2(1 + μγη )

(5.49)

Tóm lại, phương pháp cân bằng cực có mục đích làm tăng
môđun của phần thực và làm giảm môđun của phần ảo một cách
nhiều nhất có thể. Điều này thu được bằng cách cho các cực cân
bằng với nhau. Từ đó tìm được lời giải tối ưu (5.47) và (5.48).
5.2.5. Phương pháp cực đại độ cản tương đương

Như đã trình bày trong chương 1 và chương 3, cũng như với các
TBTTNL khác, phương pháp độ cản và độ cứng tương đương có thể
được dùng để tuyến tính hóa đặc trưng của TBTTNL TMD. Mục
tiêu của phương pháp dùng trong mục này là cực đại độ cản tương
đương (Luft 1979). Độ cản và độ cứng tương đương được tính theo
các công thức (1.32) và (1.33) ở chương 1. Trong mục này, ta tính
các giá trị trung bình trong các công thức (1.32) và (1.33) với
trường hợp kết cấu dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng.
Trước hết cần xác định lực do thiết bị TMD tác động vào hệ chính.
Xét hệ phương trình (5.13), nhân hàng thứ 2 với -γ rồi cộng với
hàng thứ nhất, sau đó nhân với m ta được

(

)

mx&& + mωs2 x = 2mξαμγωs x&d + mμωs2 γα 2 − η xd +
f ( t ) − m (1 + μ − μγ ) ag ( t )

Vậy lực do TMD tác động vào hệ chính là:

(

)

F = 2mωsξαμγ x&d + mμωs2 γα 2 − η xd

Thay vào các công thức (1.32) và (1.33), ta có

ctd = −

Fx&
x& 2

=−

(

2mωsξαμγ x&d x& + mμωs2 γα 2 − η
x& 2

) xd x&
(5.50)

Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

184

ktd = −

Fx
x2

=−

(

2mωsξαμγ x&d x + mμωs2 γα 2 − η

) xd x

x2

(5.51)

Nếu giả sử kích động ngoài là ồn trắng giống như trong mục
5.2.3, các giá trị trung bình trong (5.50) và (5.51) là các thành phần
của ma trận mômen bậc hai P trong (5.34):

ctd = −

ktd = −

Fx&

x& 2

Fx
x2

=−

=−

(

)

2mωsξαμγ P34 + mμωs2 γα 2 − η P32
P33

(5.52)

(

)

2mξαμγωs P13 + mμωs2 γα 2 − η P12
P11

(5.53)

Thông thường ktd rất bé so với độ cứng của hệ chính trong khi ctd
lại có cỡ lớn hơn vài lần đến vài chục lần cản của hệ chính. Vì vậy
độ cứng tương đương ít quan trọng hơn nhiều so với độ cản tương

đương. Để cực đại ctd, điều kiện cực đại của hàm hai biến được áp
dụng vào (5.52) để tìm tham số tối ưu cho TMD.
5.2.6. Phương pháp cực tiểu sai số bình phương

Đối với các đáp ứng của hệ trên miền thời gian, ta có thể sử dụng
chỉ tiêu sai số bình phương (Muller vcs 1997). Có thể có nhiều dạng
chỉ tiêu sai số khác nhau phụ thuộc vào đại lượng cần quan tâm. Đối
với chuyển dịch, phiếm hàm chỉ tiêu có dạng
∞

IE = ∫ xT (τ ) x (τ ) dτ
0

Đối với gia tốc, chỉ tiêu có dạng:

(5.54)


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

185
∞

IE = ∫ &&
xT (τ ) &&
x (τ ) dτ
0

(5.55)

Ngoài ra, trong một số trường hợp ta có thể quan tâm tới năng
lượng cơ học của cả hệ. Sử dụng các công thức năng lượng đã được
trình bày ở chương 1, phiếm hàm chỉ tiêu sai số năng lượng cơ học
gồm thế năng và động năng có thể được viết dưới dạng:
∞

∞

⎡ x (τ ) ⎤
IE = ∫ ⎣⎡ x (τ ) xd (τ ) ⎦⎤ K ⎢
dτ + ∫ ⎣⎡ x& (τ ) x&d (τ ) ⎦⎤ M
xd (τ ) ⎥⎦
⎣
0
0

⎡ x& (τ ) ⎤
⎢ x& (τ ) ⎥ dτ
⎣ d
⎦

(5.56)

Trong đó K là ma trận độ cứng, M là ma trận khối lượng. Nói
chung, trong nhiều trường hợp thì để tính (5.54), (5.55) hoặc (5.56),
phải sử dụng các phép tích phân số. Tuy nhiên với các dao động tự
do thì có thể tính toán mà không dùng phép tích phân. Ta sử dụng
phương trình trạng thái dạng (5.30). Do dao động tự do không có
kích động ngoài nên phương trình trạng thái là:
z& ( t ) = Az ( t )

trong đó vectơ trạng thái z và ma trận hệ thống A tính theo (5.31)
và (5.32). Trong cả 3 trường hợp, sai số bình phương đều có thể
được viết dưới dạng chung là:
∞

IE = ∫ zT (τ ) Qz (τ ) dτ

(5.57)

0

Với Q là một ma trận đối xứng. Có thể dễ dàng kiểm nghiệm lại
dạng của Q trong 3 trường hợp là như sau:
™

Trường hợp chuyển dịch

Q = diag (1, 0, 0, 0 )

™

Trường hợp gia tốc

Q = AT diag ( 0, 0,1, 0 ) A


Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

186

™

Trường hợp năng lượng cơ học

Q = blkdiag ( K , M )

Với ký hiệu diag là chỉ ma trận đường chéo, blkdiag là chỉ ma trận
đường chéo khối. Gọi R là ma trận thỏa mãn phương trình
Lyapunov:
RA + AT R + Q = 0

(5.58)

Khi đó (5.57) được biến đổi về dạng:
∞

(

)

IE = − ∫ zT (τ ) RA + AT R z (τ ) dτ
∞

0

∞

= − ∫ ⎡ zT (τ ) Rz& (τ ) + z&T (τ ) Rz (τ ) ⎤ dτ = − ∫ d ⎡ zT (τ ) Rz (τ ) ⎤
⎣
⎦

⎣
⎦
=z

0
T

( 0 ) Rz ( 0 ) − z ( ∞ ) Rz ( ∞ )
T

0

Với giả thiết hệ ổn định tiệm cận để z(∞) = 0, ta tính được sai số
bình phương mà không cần tích phân:
IE = zT ( 0 ) Rz ( 0 )

(5.69)

Như vậy chỉ tiêu sai số bình phương dẫn tới việc phải giải
phương trình ma trận Lyapunov (5.58). Tương tự như phương trình
(5.34), số ẩn cần giải là 10. Ngoài ra cần chú ý rằng chỉ tiêu sai số
bình phương phụ thuộc vào điều kiện đầu được chọn theo thực tế kỹ
thuật. Sau khi đã xác định được các biểu thức hiện của chỉ tiêu sai
số bình phương, ta có thể cực tiểu các sai số này theo các tham số
của TMD.
5.3. Hệ khối lượng - lò xo chịu kích động trực tiếp

Trong mục này ta xét một trường hợp riêng của hệ cơ học tổng quát
trong mục 5.2. Trong thực tế có thể gặp các hệ khối lượng - lò xo
chịu kích động trực tiếp như các kết cấu chịu tải trọng gió, các thiết

bị máy móc chịu tải trọng khi quay do khối lượng lệch tâm... Hệ


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

187

khối lượng lò xo có được bằng cách cho điểm treo của hệ chính trên
Hình 5.2 tiến ra vô cùng:
Do hệ chính có dạng khối lượng - lò xo và không chịu gia tốc
nền nên chiều dài con lắc l = ∞ và gia tốc nền ag = 0. Ngoài ra thanh
đỡ hệ chính trong trường hợp này chỉ mang tính tượng trưng (do
điểm treo đã tiến ra vô cùng). Vì vậy khối lượng riêng ρ của thanh
bằng 0. Từ Hình 5.5 ta có
∞

cd
md
l=∞

kd

l+d-ld
k

m

Hình 5.5: Hệ khối lượng lò xo

γ=

ld − d
l + d − ld
g
= 1−
= 1, η = 2 = 0
l
l
ωs l

Phương trình chuyển động (5.13) rút gọn thành
0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ f (t ) ⎤
x⎤
0 ⎤ ⎡ x& ⎤
⎡1 + μ μ ⎤ ⎡ &&
⎡0
2 ⎡1
+
+
ω
ω
s
s
⎢0 μα 2 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ m ⎥
⎢⎣ μ μ ⎥⎦ ⎢⎣ &&
⎢⎣0 2ξαμ ⎥⎦ ⎢⎣ x&d ⎥⎦
xd ⎥⎦
⎣
⎦ ⎣ d ⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
(5.60)

Các phương pháp giải tích đã trình bày trong mục 5.2 sẽ được
lần lượt xem xét.


Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt

188
5.3.1. Phương pháp điểm cố định

Ta cần xác định dạng của các hàm Hi (i = 1,..4) trong (5.17). Với η
= 0, ag = 0, γ = 1, thay vào (5.16) ta giải được các biên độ phức của
chuyển dịch hệ chính, gia tốc hệ chính và chuyển dịch TMD:
H1 + iH 2ξ fˆ
H 3 + iH 4ξ k

(5.61)

β 2 H1 + i β 2 H 2ξ fˆ
&&
xˆ =
H 3 + iH 4ξ
m

(5.62)

−β 2
fˆ
H 3 + iH 4ξ k

(5.63)

xˆ =

xˆd =

Với
H1 = β 2 − α 2 , H 2 = −2αβ

H 3 = β 2 − β 4 + α 2 ( β 2 + β 2 μ − 1), H 4 = 2αβ ( β 2 + β 2 μ − 1)

(5.64)

Các biểu thức (6.61) và (5.62) có dạng giống như biểu thức
(5.17) và phương pháp điểm cố định có thể được áp dụng. Nếu chỉ
tiêu cần tối ưu là chuyển dịch thì kết quả giải hệ (5.20), (5.21),
(3.23), (5.27), (5.28) và (5.29) là:

2

( β1,2 ) =

1 + α 2 (1 + μ ) m 1 − 2α 2 + α 4 (1 + μ )
2+μ

α* =

1
1+ μ

2

(5.65)

(5.66)


Chương V. TBTTNL khối lượng TMB

189

(ξ1,2 )
ξ* =

2

=

3μ + 6 m μ ( 2 + μ )
8(1 + μ )(2 + μ )

ξ12 + ξ 22
2

=

3μ
8( μ + 1)

(5.67)

(5.68)

Thay các giá trị α*, ξ*, β1, β2 ở trên vào biểu thức (5.64) của Hi
(i = 1,..4), sau đó thay Hi (i = 1,..4) vào (5.61), (5.63), ta có được tỷ
số giữa các biên độ chuyển dịch tại các điểm cố định P,Q
xd
x

|P,Q =

(

2 2

μ ( 2 + μ ) 8 + 15μ + 6μ 2 ± 3 ( 3 + 2μ ) μ ( μ + 2 )

) (5.69)

Tại 2 vị trí P,Q thì tỷ số này có khác nhau một chút. Tuy nhiên,
với tỷ số khối lượng μ nhỏ thì sự khác nhau này không đáng kể. Vì
thế, ta chỉ vẽ một đồ thị tỷ số chuyển dịch TMD/ hệ chính tại P để
làm ví dụ:

Hình 5.6: Tỷ lệ giữa các biên độ chuyển dịch

Với tỷ lệ khối lượng 1% thì biên độ dao động của TMD lớn gấp
khoảng 8 lần biên độ của hệ chính tại vị trí dao động lớn nhất. Bằng
cách làm tương tự nhưng với chỉ tiêu tối ưu là gia tốc theo công
thức (5.62), ta thu được giá trị các tham số tối ưu là: