Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU

2

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Hàm chỉnh hình và Định lý Montel . . . . .
1.1.1 Hàm chỉnh hình và công thức Cauchy
1.1.2 Hàm chỉnh hình và công thức Cauchy
1.2 Miền chỉnh hình và Đa tạp Stein . . . . . .
1.2.1 Miền chỉnh hình trên Cn . Ví dụ . . .
1.2.2 Miền lồi chỉnh hình và Giả lồi . . . .
1.2.3 Đa tạp Stein . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Một số Định nghĩa cần thiết khác . . . . . .
2 Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc
hình
2.1 Bao lồi phân hình . . . . . . . . . . . .
2.2 Các tập mở lồi phân hình . . . . . . .
2.3 Miền chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO

. . . . . . .
một biến .
nhiều biến
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
3
5
7
7
8
12
13

của một họ các ánh xạ chỉnh
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
16
19
22

24

1


LỜI NÓI ĐẦU
Xuất phát từ định lý cổ điển của Montel: "Mọi dãy bị chặng đều địa
phương (fi ) trên O(Ω) có một dãy con hội tụ (fj(v) )". Nói một cách khác,
các tập con bị chặn của không gian Frechet O(Ω) là compact tương đối.
Khóa luận này sẽ chứng minh miền chuẩn tắc D(F) của họ F các hàm
chỉnh hình trên trên một đa tạp Stein X là lồi phân hình.
Khóa luận cấu trúc gồm hai chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Đưa ra các định nghĩa hàm chỉnh hình, các công thức tích phân
Cauchy và hệ quả, Định lý Montel, định nghĩa miền giả lồi, miền lồi
chỉnh hình và Đa tạp Setin. Bên cạnh đó là các định nghĩa cần thiết
khác.
Chương 2: Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ
các ánh xạ chỉnh hình
Tìm hiểu về Bao lồi phân hình, Các tập mở lồi phân hình, nêu lên
khái niệm và một số bổ đề để áp dụng cho phần Miền chuẩn tắc.
Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH
Nguyễn Quang Diệu. Em xin chân thành cảm ơn thầy! Đồng thời
em cũng xin cảm ơn thầy phản biện TS. Nguyễn Văn Khiêm đã đọc
và đưa ra những lời nhận xét chu đáo. Em xin chân thành cám ơn các
thầy cô trong tổ bộ môn Lý thuyết hàm, khoa Toán - tin trường ĐHSP
Hà Nội đã cho em những kiến thức cần thiết để hoàn thành khóa luận
này. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và các bạn đã ủng hộ, động viên
trong suốt quá trình làm khoá luận.
Do trình độ và thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi những

thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy
cô và các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hàm chỉnh hình và Định lý Montel

1.1.1

Hàm chỉnh hình và công thức Cauchy một biến

Định nghĩa 1.1. Hàm chỉnh hình một biến
Chúng ta bắt đầu bằng việc xem lại một vài định lý cơ bản trong một
biến phức.
Định lí 1.2. Lấy Ω ⊂ C là một tập mở và z = x + iy là biến phức, ở đó
x, y ∈ R. Nếu f là một hàm của lớp C 1 trên Ω, chúng ta có:
df =
với

∂
1
=
∂z
2

∂f
∂f
∂f
∂f
dx +
dy =
dz +
dz
∂x
∂y
∂z
∂z

∂
∂
−i
∂x
∂y

∂
1
=
∂z
2

;

∂
∂
+i

∂x
∂y

(1.1)

Hàm f là chỉnh hình trên Ω nếu df là C−tuyến tính, nghĩa là,

∂f
=0
∂z

Công thức Cauchy
Cho K ⊂ C là một tập compact cùng với từng mẩu C 1 biên ∂K. Khi đó
với mỗi hàm f ∈ C 1 (K, C)
f (w) =

1
2πi

1
∂f
dλ (z),
π (z − w) ∂z

f (z)
dz −
z−w
∂K

w ∈ Ko

K

i
Ở đó dλ (z) = dz ∧ dz = dx ∧ dy là độ đo Lebesgue trên C
2
3


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Chứng minh. Giả sử đơn giản w = 0. Vì hàm z −→

1
là khả tích địa
z

phương tại z = 0, chúng ta có:
1 ∂f
dλ (z) = lim
ε→0
πz ∂z
K

1 ∂f i
dz ∧ dz
πz ∂z 2

K\D(0,ε)

= lim

d

1
2πi

f (z)

ε→0
K\D(0,ε)

=

dz
1
f (z)
2πi
z
dz
1
− lim
z ε→0 2πi

∂K

f (z)

dz
z

∂D(0,ε)

1
do công thức Stokes. Tích phân cuối cùng bằng
2π
tụ về f (0) khi ε dần tới 0.

2π

f εeiθ dθ và hội
0

Khi f là một hàm chỉnh hình trên Ω, chúng ta có công thức Cauchy:
f (w) =

f (z)
dz,
z−w

1
2πi

w ∈ K o,

(1.2)

∂K

Từ các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình có thể dẫn ra: mở rộng

chuỗi lũy thừa và chuỗi Laurent, công thức phần dư Cauchy,.. thêm nữa
hệ quả thú vị sau:
1
∂
Hệ quả 1.3. Hàm E(z) =
là một nghiệm cơ bản của toán tử
πz
∂z
∂E
trên C, nghĩa là
= δ0 . Như một hệ quả, nếu v là một phân phối
∂z
1
tựa compact trên C, khi đó phép nhân chập u = ( ) ∗ v là nghiệm của
πz
∂u
phương trình
= v.
∂z
Chứng minh. Áp dụng công thức Cauchy với w = 0, f ∈ D(C) và
∂f
1
,−
.
Suppf ⊂ K, suy ra f = 0 trên biên ∂K và f (0) =
πz ∂z
Chú ý 1. Công thức này không thể sử dụng nghiệm của phương trình
∂u
= v khi Suppv là không compact; hơn nữa, nếu Suppv là compact,
∂z

4

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

một nghiệm u tựa compact là không luôn luôn tồn tại. Thật vậy, chúng
ta có một điều kiện cần:
v, z

n

∂z n
= − u,
∂z

=0

0. Ngược lại, khi điều kiện cần v, z n = 0
1
là thỏa mãn, nghiệm chính tắc u = ( ) ∗ v là tựa compact: nó là dễ
πz
dàng nhìn thấy bởi ý nghĩa của mở rộng chuỗi lũy thừa (w − z)−1 =
z n w−n−1 , nếu chúng ta giả sử rằng Suppv là chứa trong đĩa |z| < R
và |w| > R
cho tất cả số nguyên n

1.1.2

Hàm chỉnh hình và công thức Cauchy nhiều biến

Cho Ω ⊂ C là một tập mở. Một hàm f : Ω −→ C được gọi là chỉnh hình
nếu f liên tục và chỉnh hình theo từng biến, nghĩa là: zj −→ f (..., zj , ...)
là chỉnh hình khi z1 , ..., zj−1 , zj+1 , ..., zn là cố định. Tập các hàm chỉnh
hình trên Ω là một vành và được kí hiệu là O(Ω). Chúng ta sẽ mở rộng
công thức Cauchy tới trường hợp của đa đĩa. Đa đĩa mở D(z0 , R) tâm
(z0,1 , ..., z0,n ) và bán kính R = (R1 , R2 , ..., Rn ) được định nghĩa như là
tích của các đĩa tâm z0,j và bán kính Rj > 0 trong mỗi hệ số C:
D (z0 , R) = D (z0,1 , R1 ) × D (z0,2 , R2 ) × ... × D (z0,n , Rn ) ⊂ Cn

(1.3)

Đánh dấu biên của D(z0 , R) được định nghĩa là tích của biên các vòng
tròn:
Γ (z0 , R) = Γ (z0,1 , R1 ) × Γ (z0,2 , R2 ) × ... × Γ (z0,n , Rn )

(1.4)

Nó là quan trọng rằng đánh dấu biên là nhỏ hơn biên tôpô ∂D (z0 , R) =
j z ∈ D (z0 , R) ; |zj − z0,j | = Rj khi n ≥ 2 . Bở quy nạp theo n chúng
ta dễ dàng chỉ ra.
Công thức Cauchy trên đa đĩa
Nếu D (z0 , R) là một đa đĩa đóng chứa trong Ω và f ∈ O(Ω), khi đó
với mọi w ∈ D(z0 , R) chúng ta có:
f (w) =

1
(2πi)n

f (z1 , z2 , ..., zn )
dz1 dz2 ...dzn .
(z1 − w1 ) (z2 − w2 ) ... (zn − wn )
Γ(z0 ,R)

5

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Khai triển (zj − wj )−1 = (wj − z0,j )αj (zj − z0,j )−αj −1 , αj ∈ N,
1 ≤ j ≤ n, chỉ ra f có thể khai triển như một chuỗi hội tụ mạnh
aα (w − z0 )α trên toàn đa đĩa D(z0 , R), với phân tích tiêu
f (w) =
α∈Nn

chuẩn z a = z1α1 ...znαn , α! = α1 !...αn ! và với:
aα =

1
(2πi)n
Γ(z0 ,R)

f (z1 , ..., zn ) dz1 ...dzn
(z1 − z0,1 )α1 +1 ...(zn − z0,n )αn +1

(1.5)

Giống như một hệ quả, f là chỉnh hình trên toàn Ω nếu và chỉ nếu f là
C−giải tích.
Định lý giải tích liên tục
Nếu Ω là liên thông và nếu tồn tại một điểm z0 ∈ Ω sao cho f (α) (z0 ) = 0
với mọi α ∈ N, thì f = 0 trên Ω.
Một hệ quả nữa của công thức (1.5) là bất đẳng thức Cauchy:
|f (α) (z0 ) |

α!
sup |f |,
Rα Γ(z0 ,R)

D (z0 , R) ⊂ Ω,

(1.6)

Từ đó suy ra rằng mọi hàm chỉnh hình đóng trên Cn là không đổi
(Định lý Liouville), và tổng quát hơn, mỗi hàm chỉnh hình F trên Cn
sao cho |F (z)| A(1 + |z|)B với hệ số A, B thích hợp là một đa thức
của bậc toàn phần B
Chúng ta cung cấp cho O(Ω) với tô pô hội tụ đều trên các tập compact
K Ω, nó là, tô pô cảm sinh bởi C 0 (Ω, C). Khi đó O(Ω) là đóng trong
C 0 (Ω, C). Công thức tích phân (1.6) đã chỉ ra rằng tất cả phép lấy đạo
hàm Dα là các toán tử liên tục trên O(Ω) và bất kì dãy fi ∈ O(Ω) là
bị chặn đều trên tất cả các tập compact K Ω là liên tục địa phương.
Bởi định lý Ascoli, chúng ta đạt được
Định lí 1.4. Định lý Montel
Mọi dãy bị chặng đều địa phương (fi ) trên O(Ω) có một dãy con hội
tụ (fj(v) )
Nói một cách khác, các tập con bị chặn của không gian Frechet O(Ω)

là compact tương đối (một không gian Frechet có tính chất này được gọi
là một không gian Montel)

6

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

1.2
1.2.1

Miền chỉnh hình và Đa tạp Stein
Miền chỉnh hình trên Cn . Ví dụ

Nói một cách đơn giản, một miền chỉnh hình là một tập con mở Ω trong
Cn sao cho không có phần của ∂Ω để tất cả các hàm f ∈ O(Ω) có thể
mở rộng được. Cụ thể hơn:
Định nghĩa 1.5. Cho Ω ⊂ Cn là một tập con mở. Ω được gọi là một
miền chỉnh hình nếu ∀a ∈ ∂D mọi lân cận mở U của a và mọi thành
phần liên thông V của U ∩V ta tìm được hàm f chỉnh hình trên V nhưng
f không mở rộng chỉnh hình được lên U .
Dưới giả thuyết tạo ra U , chúng ta có ∅ = ∂V ∩ U ⊂ ∂Ω. Từ đó suy
ra rằng Ω là một miền chỉnh hình, nó là đủ để tìm ra với mỗi z0 ∈ ∂Ω
một hàm f ∈ O(Ω) không bị chặn trên lân cận z0
Ví dụ 1. Với mọi tập mở Ω ⊂ C là một miền chỉnh hình (cho bất kì
z0 ∈ ∂Ω, f (z) = (z − z0 )−1 không thể mở rộng chỉnh hình tới z0 ). Trong
Cn , mọi tập con mở lồi là một miền chỉnh hình: nếu Re z − z0 , ξ0 = 0
là một siêu phẳng tựa của ∂Ω tại z0 , hàm f (z) = ( z − z0 , ξ0 )−1 là chỉnh

hình trên Ω nhưng không thể mở rộng tại z0 .
Ví dụ 2. Hình Hartogs
Giả sử n 2. Cho ω ⊂ Cn−1 là một tập mở liên thông và ω
ω một
n
tập con mở. Xét các tập mở trong C :
Ω = D (R) \D (r) × ω ∪ (D (R) × ω ) Hình Hartogs,
Ω = D (R) × ω
Hình Hartogs đầy.
ở đó 0 r < R và D(r) ⊂ C kí hiệu đĩa mở tâm 0 và bán kính r trên C
Khi đó mọi hàm f ∈ O(Ω) và có thể mở rộng chỉnh hình tới Ω =
ω × D (R) bởi ý nghĩa của công thức Cauchy:
f (z1 , z ) =

1
2πi

f (ζ1 , z )
dζ1 , z ∈ Ω, max {|z1 |, r} < ρ < R.
ζ1 − z1
|ζ1 |=ρ

Nói tóm lại f ∈ O(D(R) × ω) và f = f trên D(R) × ω , chúng ta có
f = f trên Ω nếu Ω là liên thông. Nó suy ra rằng Ω không là một miền
chỉnh hình. Sau đây chúng ta trích dẫn hai hệ quả thú vị của ví dụ này.
Hệ quả 1.6. Định lý mở rộng Riemann
Cho X là một đa giải tích tạp phức, và S là đa tạp con đóng có đối chiều
2. Khi đó với mọi f ∈ O(X\S) mở rộng chỉnh hình tới X.
7

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Chứng minh. Đây là một kết quả của quy nạp. Chúng ta chọn các tọa
độ (z1 , ..., zn ) và một đa đĩa D(R)n trong bản đồ tương ứng sao cho
S∩D(R)n được cho bởi phương trình z1 = z2 = ... = zn , p = codimS 2.
Khi đó, kí hiệu ω = D(R)n−1 và ω = ω\ {z2 = ... = zp = 0}, phần bù
D(R)n \S có thể viết như hình Hartogs
D(R)n \S = ((D (R) \ {0}) × ω) ∪ (D (R) × ω )
Suy ra f có thể mở rộng tới Ω = D(R)n .
1.2.2

Miền lồi chỉnh hình và Giả lồi

Cho X là một đa tạp phức. Đầu tiên chúng ta xem xét các khái niệm
của bao lồi chỉnh hình của một tập compact K ⊂ X. Có thể xem bằng
cách này hay cách khác như tương tự phức của khái niệm của (affine)
bao lồi đối với một tập compact trong một không gian vecto thực. Nó
làm rõ miền chỉnh hình trong Cn là biểu diễn một tính chất của lồi chỉnh
hình. Cuối cùng, chúng ta chứng minh lồi chỉnh hình giả lồi đơn giản một tương tự phức của định nghĩa hình học lồi.
Định nghĩa 1.7. Cho X là một đa tạp phức và cho K là một tập con
compact của X. Khi đó bao chỉnh hình của K trong X được xác định:
K = KO(X) =

z ∈ X; |f (z) |

sup |f |, ∀f ∈ O (X) .
K

Tính chất 1. K là một tập con mở của X chứa K. Hơn nữa chúng ta
có
sup |f | = sup |f |, ∀f ∈ O (X) ,
K

K

suy ra K = K.
Tính chất 2. Nếu h : X −→ Y là một ánh xạ chỉnh hình và K ⊂ X là
một tập compact, khi đó h(KO(X) ) ⊂ h(KO(Y ) ). Trong trường hợp, nếu
X ⊂ Y , thì KO(X) ⊂ KO(Y ) ∩ X. Nó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Tính chất 3. K chứa hợp của K và tất cả các hợp thành liên thông
compact tương đối của X\K. Tóm lại với mọi hợp thành liên thông U
của X\K chúng ta có ∂U ⊂ ∂K, suy ra nếu U là compact nguyên lý
maximum
sup |f | = sup |f | sup |f |, ∀f ∈ O (X) .
U

∂U

K

8

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Tính chất 4. Tổng quát, giả sử rằng có một ánh xạ chỉnh hình h :
U −→ X xác định trên tập mở compact tương đối U trong một đa tạp
phức S, sao cho h mở rộng như là một ánh xạ liên tục h : U −→ X và
h(∂U ) ⊂ K. Khi đó h(U ) ⊂ K. Thực vậy, cho f ∈ O(X), lại một lần
nữa theo nguyên lý maximum
sup |f ◦ h| = sup |f ◦ h|
U

sup |f |.
K

∂U

Đây là một sử dụng đặc biệt khi U là đĩa đơn vị trên C.
Tính chất 5. Giả sử X = Ω ⊂ Cn là một tập mở. Do lấy f (z) =
exp(A(z)) ở đó A là một hàm afin tùy ý, chúng ta thấy KO(Ω) là chứa
trong giao của tất cả các nửa không gian afin chứa K. Suy ra KO(Ω)
chứa trong bao lồi afin Kaf f . Như một hệ quả KO(Ω) là luôn luôn bị
chặn và KO(Cn ) là tập compact. Hơn nữa, khi Ω là tùy ý, KO(Ω) là không
luôn luôn compact; ví dụ, trong trường hợp Ω = Cn \ {0} , n 2, khi đó
O(Ω) = O(Cn ) và bao chỉnh hình của K = S(0, 1) là tập không compact
K = B(0, 1)\ {0}.
Định nghĩa 1.8. Một đa tạp phức X được gọi là lồi chỉnh hình nếu bao
chỉnh hình KO(X) của mọi tập compact K ⊂ X là compact.
Chú ý 2. Một đa tạp phức X là lồi chỉnh hình nếu và chỉ nếu có một
dãy vét kiệt của các tập con chỉnh hình compact Kv ⊂ X nghĩa là mọi
tập compact sao cho
X=

Kv , Kv = Kv ,

Kvo ⊃ Kv−1 .

Thật vậy, nếu X là lồi chỉnh hình, chúng ta có thể xác định Kv bởi
K0 = ∅ và Kv+1 = (K v ∪ Lv )∧O(X) là một lân cận của Kv và Lv một dãy
các tập compact của X sao cho X = Lv . Đảo lại là hiển nhiên: nếu
tồn tại một dãy (Kv ), thì mọi tập con K ⊂ X là chứa trong một vài Kv ,
suy ra K ⊂ Kv = Kv là compact.
Bây giờ chúng ta tập chung vào miền chỉnh hình trên Cn . Chúng ta
kí hiệu d và B(z, r) lần lượt là khoảng cách và các hình cầu mở liên kết
chuẩn tắc bất kì trên Cn , và để đơn giản ta viết B = B(0, 1).
Mệnh đề 1.9. Nếu Ω là một miền chỉnh hình và K ⊂ Ω là tập con
compact, khi đó d(K, Ω) và K là compact.
9

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Chứng minh. Cho f ∈ O(Ω). Lấy r < d(K, Ω), chúng ta kí hiệu M là
supremum của |f | trên tập con compact K + rB ⊂ Ω. Khi đó với mỗi
z ∈ K và ξ ∈ B, hàm số
+∞

C

t −→ f (z + tξ) =
k=0

1 k
D f (z) (ξ)k tk
k!

(1.7)

là giải tích trên đĩa |t| < 1 và bị chặn bởi M . Bất đẳng thức Cauchy cơ
bản
Dk f (z) (ξ)k M k!r−k , ∀z ∈ K, ξ ∈ B.
Khi vế bên trái là một hàm giải tích của z trên Ω, bất đẳng thức là
đúng với mọi z ∈ K, ξ ∈ B. Mỗi f ∈ O(Ω) có thể mở rộng tới bất kì
hình cầu B(z, r), , z ∈ K, bởi ý nghĩa cuả chuỗi lũy thừa (1.7). Suy ra
B(z, r) chứa trong Ω, và chỉ ra rằng d(K, Ω) r. Khi r < d(K, Ω) là
bất kì, chúng ta có d(K, Ω) d(K, Ω) và bất đẳng thức ngược lại là
hiển nhiên, suy ra d(K, Ω) = d(K, Ω). Vì vậy K là đóng và bị chặn
trong Ω, suy ra K là compact.
Định lí 1.10. Cho Ω là một tập con mở của Cn . Các tính chất sau là
tương đương:
1. Ω là miền chỉnh hình;
2. Ω là lồi chỉnh hình;
3. Mọi tập đếm được {zj }j∈N ⊂ Ω thiếu những điểm tụ trong Ω và
mỗi dãy số phức (aj ), tồn tại một hàm nội suy F ∈ O(Ω) sao cho
F (zj ) = aj .
4. Tồn tại một hàm F ∈ O(Ω) không bị chặn trên bất kì lân cận của
bất kì điểm nào của ∂Ω.
Chứng minh. 4 =⇒ 1 là hiển nhiên và 1 =⇒ 2 là một hệ quả của Mệnh
đề 1.9.
3 =⇒ 4. Nếu Ω = Cn là không có gì phải chứng minh. Mặt khác, chọn
một dãy trù mật (ξj ) trong ∂Ω và lấy zj ∈ Ω sao cho d(zj , ξj ) < 2−j . Khi
đó hàm nội suy F ∈ O(Ω) sao cho F (zj ) = j thỏa mãn 4.

2 =⇒ 3. Kv ∈ Ω là một dãy vét kiệt các tập lồi compact chỉnh hình như
trong Chú ý 2. v(j) là chỉ số duy nhất v sao cho zj ∈ Kv(j)+1 \Kv(j) . Bởi

10

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

định nghĩa của một bao chỉnh hình, chúng ta có thể tìm được một hàm
gj ∈ O(Ω) sao cho
sup |gj | < |gj (zj ) |
Kv(j)

Sau khi nhân gj bởi một hằng số, chúng ta có thể giả sử rằng gj (zj ) = 1.
Lấy Pj ∈ C[z1 , z2 , ..., zn ] là một đa thức bằng 1 tại zj và bằng 0 tại
z0 , x1 , .., zj−1 . Chúng ta đặt
+∞
mj

F =

λj Pj gj
j=0

ở đó λj ∈ C và mj ∈ N chọn phương pháp quy nạp sao cho
λk Pk (zj ) gk (zj )mk ,

λj = aj −

0 km

|λj Pj gj j |

2−j trên Kv(j)

λj là có thể chọn, điều kiện thứ hai đúng với mj đủ lớn. Do {zj } không
là điểm tụ trên Ω, dãy v(j) tiến tới +∞, suy ra chuỗi hội tụ đều trên
các tập compact.
Bầy giờ chúng ta làm rõ rằng một đa tạp lồi chỉnh hình thỏa mãn
một vài điều kiện hình học lồi, được biết như là giả lồi, là một sự mô tả
dễ dàng nhất theo ngôn ngữ của sự tồn tại các hàm vét kiệt đa điều hòa
dưới.
Định nghĩa 1.11. Một hàm ψ : X −→ [−∞, +∞[ trên một không
gian tô pô X được gọi là một vét kiệt nếu tất cả các tập cấp thấp hơn
Xc := {x ∈ X; ψ(z) < c} , c ∈ R, là compact tương đối. Tương đương, ψ
là một vét kiệt nếu và chỉ nếu ψ tiến tới +∞ tương đối tới lọc của các
phần bù X\K của các tập con compact của X.
Một hàm ψ trên một tập mở Ω ⊂ Rn là một vét kiệt nếu và chỉ nếu
ψ(x) −→ +∞ khi x −→ ∂Ω hoặc x −→ ∞. Nó là dễ dàng để kiểm tra,
đó là một tập mở liên thông Ω ⊂ Rn là lồi khi và chỉ khi nếu Ω có một
hàm vét kiệt lồi địa phương. Khi các hàm đa điều hòa dưới xuất hiện
như tổng quát tự nhiên của các hàm lồi trong giải tích phức, chúng ta
có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.12. Cho X là một đa tạp phức n chiều. Khi đó X được
gọi là
11

Khóa luận tốt nghiệp

Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

1. Giả lồi yếu nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa dưới trơn
ψ ∈ P sh(X) ∩ C ∞ (X);
2. Giả lồi mạnh nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa dưới trơn
ngặt ψ ∈ P sh(X) ∩ C ∞ (X) nghĩa là Hψ là xác định dương tại mọi
điểm.
Định lí 1.13. Mỗi đa tạp lồi chỉnh hình X là một giả lồi yếu.
Chứng minh. Cho Kv là dãy vét kiệt các hàm lồi chỉnh hình compact
o
như trong Chú ý 2. Với mọi điểm a ∈ Lv := Kv+2 \Kv+1
, có thể chọn
gv,a ∈ O(Ω) sao cho sup |gv,a | < 1 và |gv,a (a)| > 1 . Khi đó |gv,a (z)| > 1
Kv

trong một lân cận của a; do bổ đề Borel-Lebesgue, có thể tìm hữu hạn
các hàm (gv,a )a∈Iv sao cho
max {|gv,a (z) |} > 1 với z ∈ Lv , max {|gv,a (z) |} < 1 với z ∈ Kv .
a∈Iv

a∈Iv

Với một mũ p(v) đủ lớn chúng ta có
|gv,a |2p(v)

|gv,a |2p(v)

v trên Lv ,

a∈Iv

2−v trên Kv .

a∈Iv

Suy ra chuỗi
|gv,a (z) |2p(v)

ψ (z) =
v∈N a∈Iv

hội tụ đều tới môt hàm giải tích thực ψ ∈ P sh(X). Do cách xây dựng
ψ(z) v với z ∈ Lv , suy ra ψ là một vét kiệt.
1.2.3

Đa tạp Stein

Lớp các đa tạp lồi chỉnh hình chứa hai dạng của đa tạp của một vi phân
tự nhiên.
i. Miền chỉnh hình X = Ω ⊂ Cn ;
ii. Các đa tạp compact phức.
Trong trường hợp đầu tiên chúng ta có rất nhiều hàm, thật vậy các
hàm trong O(Ω) tách bất kì hai điểm của Ω. Nói cách khác, nếu X là
compact và liên thông, các tập P sc(X) và O(X) bao gồm đơn thuần
các hàm hằng (bởi nguyên lý maximum). Bởi vậy hi vọng thêm vào một
thông tin rõ ràng giữa hai lớp con. Đây là mục đích, thông tin lớp các
đa tạp cái mà bây giờ được gọi là đa tạp Stein.
12

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 1.14. Một đa tạp phức X được gọi là một đa tạp Stein nếu
1. X là lồi chỉnh hình;
2. O(Ω) tách địa phương các tập trong X, nghĩa là với mỗi x ∈ X có
một lân cận V sao cho với bất kì y ∈ V \ {x} tồn tại f ∈ O(X) sao
cho f (x) = f (y).
Điều kiện thứ hai là hiển nhiên đúng nếu X = Ω là tập con mở của
Cn . Suy ra một tập mở Ω ⊂ Cn là Stein nếu và chỉ nếu Ω là một miền
chỉnh hình.

1.3

Một số Định nghĩa cần thiết khác

Định nghĩa 1.15. F là họ các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X
tới không gian phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F compact tương đối
trong O(X, Y ) với tô pô compact mở.
Định nghĩa 1.16. X, Y là hai không gian phức và F ⊂ O(X, Y ).
i. Một dãy (fj ) ⊂ F được gọi là phân kì compact nếu với mỗi tập
compact K ⊂ X và với mỗi tập compact L ⊂ Y tồn tại j0 = j(K, L)
sao cho fj (K) ∩ L = ∅ ∀j j0 .
ii. Một họ F được gọi là phân kì compact nếu F không chứa một dãy
con nào phân kì compact.
Định nghĩa 1.17. Một ánh xạ chỉnh hình f : D −→ D , D ⊂ Cn ;
D ⊂ Cn được gọi là riêng nếu với bất kì tập compact K ⊂ D , tập

f −1 (K ) là compact trong D.
Định nghĩa 1.18. Định nghĩa Ánh xạ phân hình
Giả sử A là tập con mở khác rỗng của miền D trong Cn sao cho
S = D\A là một tập giải tích trong D.
Giả sử f : A −→ PN (C) là ánh xạ chỉnh hình.
Giả sử U là tập mở liên thông khác rỗng của D.
Một ánh xạ chỉnh hình f˜ = 0
f˜ : U −→ CN +1
được gọi là một biểu diễn của f trên U nếu
f (z) = ρ(f˜(z)) ∀z ∈ U ∩ A\(f −1 (0))
13

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

ở đó ρ : CN −1 \ {0} −→ PN (C) là ánh xạ chiếu chính tắc.
Một ánh xạ chỉnh hình f : A −→ PN (C) được gọi là ánh xạ phân hình
từ D −→ PN (C) nếu và chỉ nếu với z ∈ D bất kì, tồn tại một biểu diễn
của f trên lân cận nào đó của z trong D.
Định nghĩa 1.19. Giả sử D là một miền trong Cn .
i. Một dãy f (p) (z) các ánh xạ phân hình f : D −→ PN (C) được gọi
là hội tụ phân hình trên D tới ánh xạ phân hình f (z) nếu và chỉ
nếu, với mọi z ∈ D mỗi f (p) (z) có biểu diễn chấp nhận được
(p)
(p)
f˜(p) = (f0 : ... : fN )

trên lân cận cố định U nào đó của z sao cho

(p)

fj (z)

∞

hội tụ
p=1

đều trên các tập con K compact của U tới hàm chỉnh hình fi (0
i N ) trên U với tính chất f˜ = (f0 : ... : fN ) là một biểu diễn của
f trên U , ở đó fi0 = 0 trên U với i0 nào đó.
ii. Giả sử F là họ các ánh xạ phân hình f : D −→ PN (C). F được gọi
là một họ chuẩn tắc phân hình trên D nếu mọi dãy trong F có một
dãy con hội tụ phân hình trong D.

14

Khóa luận tốt nghiệp


Chương 2
Tính lồi phân hình của miền chuẩn
tắc của một họ các ánh xạ chỉnh
hình
Cho X là một đa tạp Stein. Khi đó chúng ta chứng minh với mọi họ
F ⊂ O(X) thì miền chuẩn tắc D(F) là một tập O(X) - mở lồi phân
hình của X.
Cho X là một đa tạp Stein và F là một họ các hàm chỉnh hình trên

X. Khi đó, như là một hiển nhiên miền chuẩn tắc D(F) của F là một
tập Stein mở của X. Nó là một trường hợp đặc biệt của Định lý 2 của
Barth [3] đó là một tổng quát của Mệnh đề 12 của Cartan-Thullen trên
giả định Julia.
Trong những trang này chúng tôi chứng minh miền chuẩn tắc D(F)
của họ F các hàm chỉnh hình trên một đa tạp Stein X là O(X) - lồi
phân hình hoặc tương đương: với mọi tập K của D(F) bao lồi phân
˜ X = {x ∈ X|f (x) ∈ f (K) ∀f ∈ O (X)} của K phụ thuộc O(X)
hình K
là chứa trong D(F), ở đó O(X) là kí hiệu tập tất cả các hàm chỉnh hình
trên X. Nó là một bản tóm tắt kết quả hơn sự việc ở trên vì với mọi
tập O(X) mở lồi phân hình của X là Stein và có thể tồn tại các tập mở
Stein của X các tập không O(X) - lồi phân hình nếu dimX ≥ 2.
Để chứng minh các kết quả của chúng ta, chúng ta cần một vài tính
chất cơ bản trên bao lồi phân hình của các tập compact trên một đa tạp
Stein, chúng giống như các tính chất trên bao lồi chỉnh hình của các tập
compact trên một đa tạp Stein.

15


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

2.1

Bao lồi phân hình

Giả sử, trong suốt phần này, tất cả các đa tạp phức là đếm được. Cho
X là một đa tạp phức và F ⊂ O(X).
˜ F = {x ∈ X|f (x) ∈ f (K) ∀f ∈ F} được gọi là

Với mỗi K ⊂ X tập: K
bao lồi phân hình của K phụ thuộc F.
˜ F , thì L
˜ F = L là đúng.
Nếu chúng ta đặt L = K
˜ X là chứa trong bao lồi chỉnh hình K
˜ F của K phụ thuộc F.
Tập K
˜ F là đóng trong X nếu K compact.
Tập K
˜X = K
˜ O(X) được gọi là bao lồi chỉnh hình của K trong X.
Tập K
˜ X là compact nếu X là lồi chỉnh hình và compact.
Tập K
˜ Cn trùng với
Trong trường hợp X là Cn ta có thể chứng minh K
˜ Cn =
bao lồi hữu tỉ của K được định nghĩa trong Stolzenberg, ở đây K
˜ C[z ,z ,...,z ] , và z1 , z2 , . . . , zn là các tọa độ của Cn .
K
1 2
n
Bổ đề 2.1. Cho X là một đa tạp Stein. fµ , gµ ∈ O(X) và gµ = 0 trên
fµ
mọi thành phần liên thông của X với µ = 1, 2, . . . , m. Đặt hµ =
.
gµ
Đặt A := {g1 g2 ...gm = 0}. Lấy G là tập mở của X\A. Giả sử W :=
G ∩ {x ∈ X\A| |hµ | < 1, µ = 1, 2, . . . , m} G. Khi đó mỗi tập compact

˜X ⊂ W .
K của W thì K
Chứng minh. Bởi phép nhúng Remmet tồn tại n ∈ N và một phép nhúng
chỉnh hình θ = (θ1 , θ2 , . . . , θn ) : X −→ Cn . Chúng ta có thể giả sử rằng
θ (W ) ⊂ ∆n ở đó ∆ := {t ∈ C| |t| < 1}.
Đặt ψ := (h1 , h2 , . . . , hm , θ1 , θ2 , . . . , θn ) : X\A −→ Cm × Cn .
Ánh xạ ψ là đơn ánh và bó đồng cấu: ψ˜ : OCm ×Cn −→ ψ∗ (OX\A ) là
toàn ánh do θ có những tính chất đó. Vì W là một khối đa diện giải tích
của X\A, ánh xạ (h1 , h2 , . . . , hm ) : W −→ ∆m là riêng (E.51f của KaupKaup [5,p.226]). Bởi vậy ánh xạ cảm sinh ψW,∆m ×∆n : W −→ ∆m × ∆n
cũng là rêng. Nó kéo theo rằng ψW,∆m ×∆m là một phép nhúng chỉnh hình
đóng.
Đặt g := g1 . . . gm . Lấy K là một tập compact bất kì của W . Vì
˜ X ⊂ X\A. Mọi điểm x ∈ K
˜ X . Khi đó
g = 0 trên K, chúng ta có K
θv (x) ∈ θv (K) ⊂ ∆ ∀v = 1, 2, . . . , n. Vì 0 = (fµ − hµ (x)gµ )(x) ⊂ (fµ −
hµ (x)gµ )(K), tồn tại y ∈ K sao cho fµ (y) − hµ (x)gµ (y) = 0. Bởi vậy
hµ (x) = hµ (y) ∈ hµ (K) ⊂ ∆ ∀µ = 1, 2, . . . , n. Nó kéo theo rằng ψ(x) ∈
∆m × ∆n .
16

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Giả sử rằng ψ(x) ∈
/ ψ(W ). Do ψ(W ) là một tập giải tích của ∆m ×∆n ,
tồn tại α ∈ O(∆m × ∆n ) sao cho α = 0 trên ψ(W ) và α(ψ(x)) = 1. Vì
∆m × ∆n là một tập Runge mở của Cm × Cn , tồn tại một hàm đa

1
thức β trên ∆m × ∆n sao cho |β − α| <
trên ψ(K ∪ {x}). Khi đó
2
1
1
trên K và |β(ψ(x))| > . Do β ◦ ψ là một đa thức của
|β ◦ ψ| <
2
2
h1 , h2 , . . . , hm , θ1 , θ2 , . . . , θn , tồn tại N ∈ N và u ∈ O(X) sao cho β ◦ ψ =
u
trên X\A. Vì 0 = u − β(ψ(x)) · g N (x) ∈ u − β(ψ(x)) · g N (K),
N
g
tồn tại y ∈ K sao cho u (y) − β(ψ(x)) · g(y)N = 0. Bởi vậy |β (ψ (x))| =
1
|β (ψ (y))| < . Nó là một mâu thuẫn. Nó kéo theo ψ(x) ∈ ψ(W ). Do
2
ψ là một đơn ánh, chúng ta có x ∈ W . Chúng ta đã chứng minh xong
˜X ⊂ W .
K
Cho X là một đa tạp Stein. Một tập mở W như trong Bổ đề 2.1 được
gọi là một khối đa diện phân hình của X. W luôn luôn là một Stein bởi
vì X\A là một Stein và W là một đa thức giải tích của X\A (E.51f của
Kaup-Kaup [5,p.226]).
Bổ đề 2.2. Cho X là một đa tạp Stein và K là một tập compact của
˜ X giao với K khác rỗng.
X. Khi đó mọi thành phần liên thông của K
˜

Chứng minh. Cho {Li }N
i=1 là tập hợp thành liên thông của KX .
L là hợp của tất cả các Li sao cho Li ∩ K = ∅.
L là hợp của tất cả các Li sao cho Li ∩ K = ∅.
˜ X ; L ∩ L = ∅ và K ∈ L .
Khi đó: L ∪ L = K
Vì L và L là các tập compact chúng ta cần lấy một tập E mở của X
sao cho L ⊂ E X\L .
˜ X nên tồn tại u(p) ∈ O(X) sao cho
Lấy tùy ý một điểm p ∈ ∂E do p ∈
/K
u(p) ∈
/ u(p) (K). Khi đó tồn tại αp ∈ C và εp > 0 sao cho:
u(p) (p) ∈ {t ∈ C|0 < |t − αp | < εp }
và
u(p) (U ) ⊂ {t ∈ C| |t − αp | > εp } .
Chúng ta có thể giả sử rằng g (p) := u(p) − αp = 0 trên mọi thành phần
liên thông của X.
εp
Khi đó: h(p) := (p) là chỉnh hình trên Up := g (p) = 0 ; p ∈ Up ; K ⊂ Wp
g
17

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

trong đó Wp := x ∈ Up | h(p) (x) < 1 và W p ⊂ Up .
Do h(p) (x) > 1 tồn tại một lân cận Vp của p sao cho Vp ⊂ Up và

Vp ∩ W p = ∅.
Do ∂E là compact nên tồn tại hữu hạn điểm p1 ; p2 ; ...; pm sao cho ∂E ⊂
∪m
µ=1 Vpµ .
Đặt εµ := εpµ ; gµ := g pµ & hµ := hpµ ∀µ = 1.2...m.
Đặt A = {g1 .g2 ...gm = 0} , G := E\A
và W = G ∩ {x ∈ X\A| |hµ (x)| < 1, µ = 1, 2, ..., m}.
Chúng ta cần kiểm tra lại rằng W G, tập mở W là khối đa điện phân
hình của X.
˜ X ⊂ W ⊂ X\L do Bổ đề 1 ta được L = ∅.
Do K ⊂ W chúng ta có K
Như vậy chúng ta đã chứng minh được Li ∩ K = ∅ ∀i = 1, 2, ..., N .
Bổ đề 2.3. Cho X là một đa tạp Stein. K là tập compact của X sao
˜ X = K. Khi đó với mọi tập mở D của X chứa K tồn tại một khối
cho K
đa điện phân hình W sao cho K ⊂ W D.
Chứng minh. Lấy một tập mở E của X sao cho K ⊂ E D. Do chứng
minh của Bổ đề 2.2 chúng ta tìm được một khối đa diện phân hình W
sao cho K ⊂ W D.

18

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

2.2

Các tập mở lồi phân hình

Cho X là một đa tạp phức và F ⊂ O(X). Khi đó X được gọi là F lồi
˜X
phân hình nếu với mọi tập compact K của X thì bao lồi phân hình K
của K trong X phụ thuộc F là compact. Một tập mở D của X được gọi
là F lồi phân hình nếu D là F|D lồi phân hình. D là F lồi phân hình
˜ X là compact. Chúng ta
nếu và chỉ nếu mọi tập compact K của D thì K
chú ý rằng các tập O(Cn ) mở lồi phân hình trong Cn chẳng qua là các
tập mở lồi hữu tỉ.
Chúng ta có bổ đề sau cái mà giống như sự mô tả nổi tiếng của cặp
Runge của đa tạp Stein hoặc định lý 4.3.3 của Hormander [4,p.91]. Kết
quả tương tự đạt được do Hirschiwitz. (Ở đó kí hiệu H KX chính là kí
˜ X ở đây).
hiệu K
Bổ đề 2.4. Cho X là một đa tạp phức và D là một tập mở của X khi
đó ba điều sau là tương đương:
1. D là O(X) lồi phân hình;
˜ X ⊂ D;
2. Với mọi tập compact K của D thì K
˜X = K
˜ D.
3. Mọi tập compact K của D thì K
Chứng minh.
1 ⇒ 2: Lấy một tập compact bất kì K(K = ∅) của D.
˜ X ∩ D là compact. Lấy L0 bất kì là hợp thành liên thông của
Khi đó: K
˜X.
K
Tập L0 := L0 ∩ D là mở và đóng trong L0 .

Do L0 ⊃ L0 ∩ K = ∅ bởi Bổ đề 2.2 chúng ta có: L0 = L0 = D từ đó suy
˜ X ⊂ D.
ra: K
2 ⇒ 3: Lấy tập K compact bất kì của D.
˜ X là compact và L
˜ X = L ⊂ D.
Đặt L := K
Bởi bổ đề 2.3 tồn tại một khối đa diện phân hình W của X sao cho
L ⊂ W D (chúng ta sử dụng kí hiệu như trong Bổ đề 2.1).
Tồn tại n ∈ N và một phép nhúng chỉnh hình đóng:
θ = (θ1 .θ2 ...θn ) : X −→ Cn sao cho θ(W ) ⊂ ∆n ở đây ∆ := {t ∈ C| |t| < 1} .
Đặt ψ := (h1 , h2 , ..., hm ; θ1 , θ2 , ..., θn ) : X\A −→ C m × C n .
Ánh xạ cảm sinh: ψW,∆m ×∆n : W −→ ∆m × ∆n là phép nhúng chỉnh hình
đóng.
19

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

˜W .
Lấy điểm bất kì x ∈ L và giả sử x ∈
/K
Khi đó tồn tại f ∈ O(X) sao cho f (x) ∈
/ f (K) tồn tại các tập mở U và
V của C sao cho f (x) ∈ U , f (K) ⊂ V và U ∩ V = ∅. Do ψ(W ) là tập
giải tích của ∆m × ∆n tồn tại α ∈ ∆m × ∆n sao cho α = f ◦ ψ −1 trên
ψ(W ). Ta có α(ψ(x)) ∈ U và α(ψ(K)) ⊂ V .
Do ∆m × ∆n là tập Runge mở của Cm × Cn tồn tại một hàm đa thức β

trên Cm × Cn sao cho β(ψ(x)) ∈ U và β(ψ(K)) ⊂ V . Vì β ◦ W là một
đa thức của h1 , h2 , ..., hm ; θ1 , θ2 , ..., θn nên tồn tại N ∈ N và u ∈ O(X)
u
sao cho β ◦ W = N trên X\A ở đó g := g1 , g2 , ..., gm .
g
Do 0 = (u − β(ψ(x)) ◦ g N )(x) ∈ (u − β(ψ(x)) ◦ g N )(K) tồn tại y ∈ K
sao cho u(y) − β(ψ(x)) ◦ g N (y) = 0.
Hơn nữa β(ψ(x)) = β(ψ(y)) ∈ V nó là một mâu thuẫn. Từ đó suy ra
˜ W . Chúng ta đã chứng minh được L ⊂ K
˜W .
x∈K
˜W ⊂ K
˜ D ⊂ L suy ra L = K
˜ D.
Do W ⊂ D ⊂ X chúng ta có K
3 ⇒ 1: Là hiển nhiên.
Cho X là một đa tạp Stein và D là một tập mở của X. Nếu D là một
O(X) lồi phân hình thì theo Bổ đề 2.3 và Bổ đề 2.4 tồn tại một dãy đơn
∞
điệu tăng {Wi }∞
i=1 các đa diện phân hình của X sao cho: D = ∪i=1 Wi .
Vì mỗi Wi là Stein, D là giả lồi trong X. Hơn nữa D là một tập Stein
mở của X theo Docquier-Grauert. D lồi là không đúng vì tồn tại các
tập Stein mở của Cn cái mà không hữu tỉ lồi nếu n 2. Oka đã đưa ra
một ví dụ của một tập Stein mở bị chặn của C2 cái không hữu tỉ lồi.
Stolzenberg chứng minh ví dụ của Wermer không là một tập lồi hữu tỉ
của C3 .
Nếu D là một tập O(X) mở lồi của một đa tạp Stein X thì D là O(X)
lồi phân hình. Lồi không còn đúng ngay cả khi X = Cn và D là đơn liên
bởi Nishino.

Cho một tập D mở của một đa tạp Stein X chúng ta có thể chứng
minh điều kiện trong Bổ đề 2.4 là tương đương với điều kiện D là Stein
và với mọi tập compact K của D với ϕ ∈ O(D) và mọi > 0 tồn tại
f, g ∈ O(X) sao cho g = 0 trên mọi hợp thành liên thông của X, g = 0
f
trên K và ϕ −
< ε trên K.
g
Chúng ta bỏ qua chứng minh của vấn đề này cho đến khi chúng ta chưa
sử dụng nó cho mục đích của mình.
Chúng ta cần bổ đề sau cái mà tương tự như hệ quả từ tính chất 2 của
Narasimhan và bổ đề 1 của Hirschowits.
20

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Bổ đề 2.5. X là một đa tạp Stein, L là một tập compact của X sao cho
o
o
˜ X = L. Khi đó mọi tập compact K của L chứng minh K
˜ X ⊂ L.
L
Chứng minh.
o
Chứng minh là hiển nhiên suy ra từ Bổ đề 4 của [1]. Đặt D := L . Lấy
tập compact K bất kì của D. Bởi định lý phép nhúng Remmert chúng
ta có thể giả sử rằng X là một đa tạp con phức đóng của Cn . Tồn tại

một lân cận Stein V của X và một ánh xạ co chỉnh hình: ρ : V −→ X
(cf.Gunning-Rossi [7,p.257]).
Đặt ε := d K, Cn − ρ−1 (D) > 0, ở đó d là kí hiệu khoảng cách Euclidean thông thường trong Cn .
Vì L\D là compact, tồn tại hữu hạn điểm p1 , p2 , ..., pl ∈ L\D sao cho
L\D ⊂ ∪λ X ∩ B pλ , 2ε ở đó B pλ , 2ε = z ∈ Cn |d (z, pλ ) < 2ε .
Tồn tại qλ ∈ X ∩ B pλ , 2ε \L ∀λ = 1, 2, ..., .
Khi đó E = D ∪

λ

X ∩ B pλ , 2ε

\ {q1 , q2 , ..., q } là một tập mở của

X chứa L.
Do Bổ đề 2.3 tồn tại một đa giác phân hình W sao cho L ⊂ W E.
Lấy bất kì p ∈ W \D. Khi đó tồn tại một chỉ số λ0 sao cho p ∈
X ∩ B pλo , 2ε .
Do qλ0 ∈
/ ρ−1 (W ) , d p, Cn \ρ−1 (W )
d (p, qλ0 ) d (p, pλ0 )+d (pλ0 , qλ0 )
ε ε
< + = ε. Do W là một Stein nên ta cần chỉ ra ρ−1 (W ) là một Stein
2 2
mở của Cn (cf. Định lý 4 của Kajiwara [11]). Hơn nữa
˜ ρ−1 (W ) , Cn \ρ−1 (W ) = d K, Cn \ρ−1 (W )
d K, Cn \ρ−1 (D) =
d K
ε
˜ ρ−1 (W ) . Do K

˜W = K
˜ ρ−1 (W ) ∩ W , chúng ta chứng minh được
Suy ra p ∈
/K
KW ˜⊂ D. Bởi Bổ đề 2.1 và Bổ đề 2.4 đa diện phân hình W là O(X) lồi
˜X = K
˜W ⊂ K
˜ W ⊂ D.
phân hình nên ta có: K

21

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

2.3

Miền chuẩn tắc

Nhờ các kết quả bổ trợ từ các bổ đề ở trên ta đi tới khái niệm miền
chuẩn tắc và định lý quan trọng sau đây.
Cho X là một đa tạp phức. Với mỗi tập mở U của X chúng ta bổ sung
cho O(U ) cùng với một tôpô mở compact.
Cho F ⊂ O(X). Họ F được gọi là chuẩn tắc nếu mọi đơn liên P của
∞
X và mọi dãy {fv }∞
v=1 ⊂ F tồn tại dãy con {fkv }v=1 hội tụ trong O(P )
hoặc phân kì compact trên P . (cf Barth [3]). Chúng ta kí hiệu D(F) là

hợp của các tập mở U của X sao cho F|D ⊂ OX là chuẩn tắc.
Khi đó F|D(F) là chuẩn tắc. Tập mở D(F) được gọi là miền chuẩn tắc
của F.
Định lí 2.6. Cho X là một Stein và F ⊂ O(X). Khi đó D(F) là một
tập O(X) mở lồi phân hình của X.
Chứng minh. Lấy K compact bất kì của D(F). Lấy một tập compact L
o

của D(F) sao cho K ⊂ L.
Cho {Li }N
i=1 là tập hợp thành liên thông của L. Di là tập liên thông của
D(F) chứa Li ∀i = 1, 2, ..., N .
Lấy bất kì dãy {fv }∞
v=1 ⊂ F. Do F|D(F) là một họ chuẩn tắc nhắc lại
bởi một dãy con chúng ta có thể giả sử {fv }∞
v=1 hội tụ trong O(Di ) hoặc
phân kì compact trên Di ∀i = 1, 2, ..., N .
Gọi I là tập của tất cả các chỉ số i sao cho {fv }∞
v=1 hội tụ trong O(Di ).
Gọi I là tập của tất cả các chỉ số i sao cho {fv }∞
v=1 là phân kì compact
trong Di .
Đặt D := i∈I Di .
D := i∈I Di
L = i∈I Li .
L = i∈I Li .
∞
Do {fv }v=1 là hội tụ trong O(D ) nên tồn tại c > 0 sao cho |fv | < c trên
L ∀v 1.
Vì {fv }∞

v=1 phân kì compact trên D , thay thế bởi một dãy con chúng
ta có thể giả sử fv (L ) ∩ {t ∈ C| |t| 2c} = ∅ ∀v 0. Khi đó:
fv (L) = fv (L ) ∩ fv (L ) ⊂ {t ∈ C| |t| < c} ∪ {t ∈ C| |t| > 2c} ∀v

0

o

˜X .
Lấy P bất kì là hợp thành liên thông của L
˜ X ) = fv (L). Hơn nữa ∀v 1
Khi đó fv (P ) là liên thông và fv (P ) ⊂ fv (L
chúng ta có: fv (P ) ⊂ {t ∈ C| |t| < c} hoặc fv (P ) ⊂ {t ∈ C| |t| > 2c}
Nếu tồn tại vô hạn v sao cho fv (P ) ⊂ {t ∈ C| |t| < c} thì {fv }∞
v=1 là dãy
con hội tụ trong O(P ) bởi định lý của Montel.
22

Khóa luận tốt nghiệp


Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Cách khác thay thế bởi một dãy con, ta giả sử fv (P ) ⊂ {t ∈ C| |t| > 2c}
∀v 1.
Do {fv }∞
v=1 là một dãy phân kì compact trên D nên với mọi tập compact
R của C tồn tại v0
0 sao cho fv (L ) ∩ R = ∅ ∀v
v0 . Hơn nữa

∞
fv (P ) ∩ R = ∅ ∀v
v0 . Suy ra {fv }v=1 là phân kì đều trên P . Do đó
chúng ta chứng minh được mọi dãy {fv }∞
v=1 ⊂ F là một dãy con hội
tụ trong O(P ) hoặc phân kì compact trên P thì P ⊂ D(F). Suy ra
o

o

o

o

˜ X bởi Bổ đề 2.5. Vì
˜ X , nó đúng với K
˜X ⊂ L
˜ X ⊂ D(F). Do K ⊂ L ⊂ L
L
˜ X ⊂ D(F). Suy ra D(F) là O(X) lồi
vậy chúng ta chứng minh được K
phân hình theo Bổ đề 2.4.

23

Khóa luận tốt nghiệp


TÀI LIỆU THAM KHẢO

..

[1] Abe, M.: On the Nebenhulle of an open set in a Stein manifold.
Bull. Oshima Nat. College of Maritime Tech. 24, 125-129 (1991)
[2] Abe, M., Furushima, M., Tsuji, M.: Equicontinuity domains and
disk property. Complex Variables Theory Appl. 39, 19-25 (1999)
[3] Barth, T.j.: Normality domains for families of holomorphic maps.
Math. Ann. 190, 293-297 (1971)
..

[4] Hormander, L.: An introduction to complex analysis in several variables. 3rd Edition, Amsterdam - London - New York - Tokyo: North
- Holland, (1990)
[5] Kaup L., Kaup, B.: Holomorphic functions of several variables.
Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1983
[6] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức.
[7] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Mở đầu về giải
tích phức trong không gian Banach.

24