Đề thi cuối kì vi tích phân a1 nhóm e08 2015 2016 đại học cần thơ

1
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I
NĂM HỌC: 2015 - 2016
Ngày thi: 26/11/2015
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN

NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu được in trên 01 trang.)
Câu 1. Tính các giới hạn sau:

x

sin(t2 )dt

1 − cos(1 − cos x)
(a) lim
x→0
x4

(b) lim

.

0

x3

x→0

−3x2 + 2x khi x ≤ 0
ax + sin x khi x > 0.
(a) Tìm a để f (x) liên tục tại x = 0.
(b) Tính f (0) với giá trị a vừa tìm được.

Câu 2. Cho hàm số f (x) =

tan x

Câu 3. (a) Cho hàm số g(x) =

t+

√

t + 1dt, với 0 ≤ x <

π
. Đặt f (x) = sin(g(x)). Tính
2

0

f+ (0).
(b) Cho đường cong (C) có phương trình x3 + y 3 − 9xy = 0 và điểm M(2, 4) ∈ (C). Hãy
tìm độ dốc, phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của (C) tại M.
Câu 4. Hãy tìm thể tích lớn nhất của hình trụ tròn xoay nội tiếp trong khối cầu bán kính 6.

Câu 5. (a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y 2 = 2x + 6 và đường
thẳng x − y − 1 = 0.

(b) Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành do quay miền D được giới hạn
bởi các đường y = x3 , y = 8 và x = 0 quanh trục Oy.
∞

Câu 6. Khảo sát tính hội tụ và phân kỳ của chuỗi
n=1
∞

Câu 7. Tính tổng của chuỗi
n=0

n
n+1

n2

.

(−1)n .x2n+1
trên khoảng −1 < x < 1.
2n + 1
Cần Thơ, ngày 25 tháng 11 năm 2015
Cán bộ ra đề

LÊ HOÀI NHÂN

2

ĐÁP ÁN
Câu 1. Tính các giới hạn sau:

x

sin(t2 )dt

1 − cos(1 − cos x)
(a) lim
x→0
x4

(b) lim

.

0

x→0

x3

Giải. (a) Khi x → 0 ta có
(1 − cos x)2
1 − cos (1 − cos x) ∼
∼
2

x2
2

2

2

=

x4
.
8

Do đó,

1
x4
1 − cos(1 − cos x)
=
lim
= .
4
4
x→0 8x
x→0
x
8
0
(b) Giới hạn đã cho có dạng vô đinh . Áp dụng quy tắc L’Hospital ta được
0

lim

x

x
d
dx

sin(t2 )dt
lim

0

x3

x→0

= lim

x→0

sin(t2 )dt
0
d 3
x
dx

1
sin(x2 )
= .

2
x→0
3x
3

= lim

−3x2 + 2x khi x ≤ 0
ax + sin x khi x > 0.
(a) Tìm a để f (x) liên tục tại x = 0.
(b) Tính f (0) với giá trị a vừa tìm được.

Câu 2. Cho hàm số f (x) =

Giải. (a) Hàm f (x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi hệ đẳng thức sau đây đúng
f (0) = lim f (x) = lim f (x).
x→0−

x→0+

(1)

Ta có,
• f (0) = (−3x2 + 2x)|x=0 = 0;
• lim f (x) = lim (−3x2 + 2x) = (−3x2 + 2x)|x=0 = 0;
x→0−

x→0−

• lim f (x) = lim (ax + sin x) = (ax + sin x)|x=0 = 0.

x→0+

x→0+

Từ các điều trên, ta thấy hệ đẳng thức (1) luôn đúng với mọi giá trị của a. Vậy tập
hợp tất cả các giá trị a phải tìm là R.
(b) Vì hàm f (x) được cho trong lân cận của x = 0 bởi hai biểu thức khác nhau nên ta
tính các đạo hàm một phía của f (x) tại x = 0.
∆f
f (∆x) − f (0)
• f− (0) = lim
= lim
= lim (−3∆x + 2) = 2.
∆x→0− ∆x
∆x→0−
∆x→0−
∆x
f (∆x) − f (0)
sin ∆x
∆f
= a + 1.
= lim
= lim
a+
• f+ (0) = lim
∆x→0+
∆x→0+
∆x→0+ ∆x
∆x
∆x

Vì a nhận giá trị tùy ý nên ta có một trong hai khả năng sau
• a = 1. Khi đó, f− (0) = f+ (0) = 2. Suy ra f (0) = 2.
• a = 1. Khi đó, f− (0) = f+ (0). Suy ra f (0) không tồn tại.


3
tan x

Câu 3. (a) Cho hàm số g(x) =

t+

√

t + 1dt, với 0 ≤ x <

π
. Đặt f (x) = sin(g(x)). Tính
2

0

f+ (0).
(b) Cho đường cong (C) có phương trình x3 + y 3 − 9xy = 0 và điểm M(2, 4) ∈ (C). Hãy
tìm độ dốc, phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của (C) tại M.
Giải. (a)

π
• f (x) = cos(g(x)).g (x) với 0 ≤ x < . Suy ra f+ (0) = cos(g(0)).g (0).
2

√
tan x + tan x + 1
• g (0) =
= 1.
cos2 (x)
x=0

tan 0

• g(0) =
(b)

t+

√

t + 1dt = 0.

0

• Vậy f+ (0) = cos(0).1 = 1.

• Đạo hàm hai vế của đẳng thức x3 + y 3 − 9xy = 0 theo biến x và xem y là hàm
số theo x ta được
3x2 + 3y 2 .y − 9y − 9xy = 0.

• Trong đẳng thức trên cho x = 2 và y = 4 ta có Độ dốc của đường cong C tại
4
M là y (2) = .
5

12
4
• Phương trình tiếp tuyến y = x + .
5
5
13
5
• Phương trình pháp tuyến y = − x + .
4
2
Câu 4. Hãy tìm thể tích lớn nhất của hình trụ tròn xoay nội tiếp trong khối cầu bán kính 6.

• Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp trong khối cầu bán
h
kính 6. Suy ra r, là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông với cạnh huyền 6. Do
2
đó,
2
h2
h
2
= 62 =⇒ r 2 = 36 − .
r +
2
4
• Thể tích khối trụ

• V = π 36 −

3h2

4

V = πr 2 h = π 36 −

h2
4

.h.

√
= 0 ⇐⇒ h = 4 3.

√
√
• Lập bảng biến thiên và kết luận h = 4 3 và r = 2 6.
Câu 5. (a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y 2 = 2x + 6 và đường
thẳng x − y − 1 = 0.

(b) Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành do quay miền D được giới hạn
bởi các đường y = x3 , y = 8 và x = 0 quanh trục Oy.


4
Giải. (a)

• Miền D được biểu diễn bởi hình vẽ bên dưới (D là hình thang loại 2). Phương
trình tung độ giao điểm của parabol y 2 = 2x + 6 và đường thẳng x − y − 1 = 0
là
y2
− 3 = y + 1 ⇐⇒ y = −2 ∨ y = 4.

2

• Diện tích miền D là
4

S=

(y + 1) −

y2
−3
2

dy = 18.

−2

(b)

• Miền D được biểu diễn bởi hình vẽ bên dưới (D là hình thang loại 1). Phương
trình hoành độ giao điểm của y = x3 và y = 8 là
x3 = 8 ⇐⇒ x = 2.

• Thể tích của vật thể tạo thành khi quay D quanh trục Oy là
2

V =

(2πx)(8 − x3 )dx =

96π
.
5

∞

n2

0

Câu 6. Khảo sát tính hội tụ và phân kỳ của chuỗi
n=1

n
n+1

.


5
Giải.

• Số hạng tổng quát của chuỗi số đã cho là un =

n
n+1

n2

.

• Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy. Ta có,
lim

n

n→∞

• Vì lim

n→∞

n

|un | = lim

n→∞

n
lim

−n

= en→∞ n+1 = e−1 .

|un | < 1 nên chuỗi đã cho hội tụ.
∞

Câu 7. Tính tổng của chuỗi
n=0

(−1)n .x2n+1
trên khoảng −1 < x < 1.
2n + 1
∞

Giải.

n
n+1

• Lấy x ∈ (−1, 1). Đăt S(x) =

n=0

(−1)n .x2n+1
=⇒ S (x) =
2n + 1

∞

(−1)n .x2n .
n=0

• Chuỗi vừa thu được là chuỗi hình học với số hạng đầu u = 1 và công bội q = −x2 ∈
(0; 1). Do đó, nó có tổng là
S (x) =

u
1

=
.
1−q
1 + x2

• Lấy nguyên hàm kết quả trên ta có
S(x) =

dx
+ C = arctan x + C.
1 + x2

• Cho x = 0. Từ đề bài ta có S(0) = 0. Theo trên ta có S(0) = C. Suy ra C = 0. Vậy
S(x) = arctan x.