HAI bài TOÁN cơ sở một bài TOÁN KINH điển vũ văn bắc

HAI BÀI TOÁN CƠ SỞ
MỘT BÀI TOÁN KINH ĐIỂN
Thực Hiện Vũ Văn Bắc
Bài toán 1. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Chứng minh rằng
a.IA2  b.IB 2  c.IC 2  abc
Bài toán này thực ra là một bài trong kì thi OLP Toán Quốc Tế. Sau đó không lâu thì trên
Tạp chí toán học và tuổi trẻ cũng đã đăng bài toán trên. Về lời giải cảu bài toán trên xin
dành cho bạn đọc. Các bạn có thể tìm lời giải bài toán trong cuốn Nâng cao và phát triển
toán 9 của tác giả Vũ Hữu Bình. Có một vài hướng như sau :
 Vẽ hình bình hành AKIP với lưu ý khi dựng hình như vậy thì nó trở thành hình thoi.
 Tính trực tiếp các đại lượng theo các cạnh của tam giác rồi sau đó rút gọn.
Bài toán 2. Cho tam giác ABC có trực tâm là H. Chứng minh rằng
a.HB.HC  b.HC.HA  c.HA.HB  abc
Bài này ta quy về việc chứng minh hệ thức :

HA.HB HB.HC HC.HA


1
ab
bc
ca
Và sau đó dùng tỉ số diện tích ta được điều phải chứng minh.
Từ bài toán 1 và bài toán 2 ta có ngay kết quả sau :
a.IA2  b.IB 2  c.IC 2  a.HB.HC  b.HC.HA  c.HA.HB

Mấu chốt là ta cần phải thiết lập được đẳng thức trên.
Khi đó theo bất đẳng thức Cauchuy ta có ngay :
2  a.IA2  b.IB 2  c.IC 2   a  HB 2  HC 2   b  HC 2  HA2   c  HA2  HB 2 

 a  HA2  2IA2   b  HB 2  2IB 2   c  HC 2  2IC 2    a  b  c   HA2  HB 2  HC 2 

Ta chứng minh được : 3  x2  y 2  z 2    x  y  z  với mọi số thực x, y, z.
2

 a  HA  2IA  b  HB  2IB   c  HC  2IC   3  a  b  c   HA2  HB 2  HC 2 
2

2

2

  HA  2 IA a   HB  2IB  b   HC  2IC  c  3

 a  b  c   HA2  HB 2  HC 2 

 HA  2 IA a   HB  2 IB  b   HC  2 IC 

c



 a  b  c   HA2  HB 2  HC 2 

1
3

Bài toán 3. Tam giác ABC với trực tâm H và tâm đường tròn nội tiếp là I. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức sau

 a  b  c   HA2  HB 2  HC 2 

P
 HA  2 IA a   HB  2 IB  b   HC  2IC 

c