Bài giảng thủy lực môi trường chương 2 GV trần đức thảo

Chương 2: Tĩnh học chất lỏng

NỘI DUNG CHƯƠNG 2
2.1. Áp suất thủy tĩnh, áp lực
2.2. Hai tính chất cơ bản của áp suất
thủy tĩnh
2.3. Mặt đẳng áp
2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học
2.5. Định luật bình thông nhau
2.5. Định luật Pascan
2.7. Các loại áp suất
2.8. Ý nghĩa hình học và năng lượng của
phương trình cơ bản trong thủy tĩnh học

NỘI DUNG CHƯƠNG 2
2.9. Biểu đồ phân bố áp suất tĩnh
2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng
có hình dạng bất kỳ
2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng
hình chữ nhật có đáy nằm ngang
2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong
2.13. Định luật Acsimet
2.14. Sự cân bằng của vật rắn ngập hoàn
toàn trong chất lỏng
2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên
mặt tự do của chất lỏng

1


2.1. Áp suất thủy tĩnh, áp lực

P
ω
Xét khối chất lỏng W.
 Cắt khối W bằng (ABCD) tùy ý.
 Lấy tiết diện ω bất kỳ có chứa điểm O
→
→ lực tác dụng lên ω là P .
P
→ Tỷ số  = P : áp suất thủy tĩnh trung bình.
P
 Nếu ω → 0 thì  tiến tới phần giới hạn P : áp suất
thủy tĩnh tại 1 điểm (áp suất thủy tĩnh).


→

→

tb

→

→

2.1. Áp suất thủy tĩnh, áp lực
P

 → 
→
 P 

lim 
= P
 → 0  




ω
→

Áp suất thủy tĩnh ( P ) là ứng
suất tác dụng lên 1 phân tố diện tích lấy trong nội
bộ môi trường chất lỏng đang xét → nội lực (ứng
suất nén).
2
2
 Đơn vị: N/m , Pa, kG/cm , at.


2.2. Hai tính chất cơ bản của áp suất
thủy tĩnh
a. Tính chất 1: Áp suất thủy tĩnh tác dụng vuông
góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích
ấy.
 Áp suất thủy tĩnh (P) tại điểm O gồm
2 thành phần:

Pn
o

P




Pn: hướng theo pháp tuyến.
τ: hướng theo tiếp tuyến.

τ

2


2.2. Hai tính chất cơ bản của áp suất
thủy tĩnh
b. Tính chất 2: Trị số của áp suất thủy tĩnh tại 1
điểm bất kỳ không phụ thuộc vào hướng đặt của
diện tích chịu lực tại điểm đó.



Pn = Px = Py

2.3. Mặt đẳng áp


Là mặt có áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm bằng
nhau, p = const.

2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học

Trong khối chất lỏng tĩnh cân
bằng, xét khối hình trụ thẳng đứng.
 Khối chất lỏng chịu tác dụng:
 Áp lực từ mặt trên: ωp2.
 Áp lực từ mặt dưới: ωp1.
 Áp lực ở mặt xung quanh nằm ngang và triệt tiêu.
 Trọng lượng của khối chất lỏng: G = γω(h1-h2)


3


2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học
Chiếu hệ lực lên phương thẳng
đứng. Điều kiện cân bằng:
 Khối chất lỏng chịu tác dụng:
ωp1 - ωp2 - γω(h1-h2) = 0
→ p1 - p2 = γ(h1-h2)


2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học
Nếu mặt trên trùng mặt thoáng, thì:
 p1 = p2 + γh1 = p0 + γh1
hay p = p0 + γh, (*)
 (*) là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học.
 Phát biểu: Áp suất tuyệt đối tại một điểm bất kỳ
trong chất lỏng tĩnh bằng áp suất trên mặt chất lỏng,
cộng với trọng lượng cột chất lỏng có đáy bằng đơn
vị diện tích, chiều cao bằng độ sâu từ mặt chất lỏng
đến điểm ấy.



2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học



Từ (*), nếu h = const → p = const.

4


2.4. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học
Bài tập áp dụng: Tính áp suất tại 1 điểm ở đáy
bể chứa nước sâu 4m, biết mặt thoáng bể thông
với không khí; trọng lượng riêng của nước là
9.810N/m3; áp suất khí quyển pa = 98.100N/m2.


2.5. Định luật 2 bình thông nhau
* Phát biểu: “Nếu hai bình thông nhau chứa
đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt
thoáng bằng nhau thì độ cao cột chất lỏng ở mỗi
bình tính từ mặt phân chia 2 chất lỏng đó đến mặt
thoáng tỷ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của
chất lỏng”, tức là:
h1  2
=
h2  1

2.5. Định luật 2 bình thông nhau



Xét bình thông nhau như hình.



Áp suất trên mặt phân chia AB bằng nhau: p1 = p2
p 1 = p 0 +  1 h1

p 2 = p 0 +  2 h2
⇒  1 h1 =  2 h 2
⇔


h1

= 2
h2
1

Nếu trong 2 bình thông nhau cùng 1 loại chất
lỏng γ1 = γ2 thì mặt tự do của chất lỏng trong 2
bình cùng độ cao, h1 = h2.

5


2.6. Định luật Pascan
* Phát biểu: “Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh
trên mặt giới hạn một thể tích chất lỏng cho

trước, được truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các
điểm của thể tích chất lỏng đó”, tức là:
∆p = p1 − p


p1, p: áp suất thủy tĩnh tác dụng
lên điểm A ở 2 trường hợp a, b.

2.6. Định luật Pascan
∆p có thể âm hoặc dương. Nhiều máy móc được
chế tạo theo định luật Pascan như: máy nén thủy lực,
máy kích, máy tích năng, các bộ phận truyền động,…
 VD: Máy thủy lực:
 Pittông nhỏ chịu tác dụng bởi
lực F từ đòn bẩy → áp lực lên
toàn diện tích pittông nhỏ là P1.
→ áp lực tại xilanh nhỏ là p1:
P
p1 = 1 (ω1: diện tích tiết diện xilanh nhỏ)
1


2.6. Định luật Pascan
Theo định luật Pascan, p1 được truyền nguyên vẹn
qua xilanh lớn. Khi đó, tổng áp lực P2 tác dụng lên
mặt pittông lớn là:
P
P2 = p1 2 =  2 1
1
(ω2: diện tích tiết diện xilanh lớn)



Nếu coi P1, ω1 = const → muốn
tăng P2 thì cần tăng ω2.

6


2.7. Các loại áp suất
* Gồm áp suất tuyệt đối, áp suất dư và áp suất
chân không.

2.7. Các loại áp suất
* Bài tập 1:
Tính áp suất tuyệt đối và áp suất dư (theo chiều cao
cột nước) tại đáy nồi hơi có độ sâu 1,2m, áp suất tại
mặt thoáng là 196.200N/m2; trọng lượng riêng của
nước là 9.810N/m3.

2.7. Các loại áp suất
* Bài tập 1:


2
Áp suất dư tại đáy: p d = ptđ − p a , N / m
p
hd = d , mH 2 O


7

2.7. Các loại áp suất
* Bài tập 2:
Tại mặt cắt trước khi vào máy bơm, áp suất chân
không pck = 68.670N/m2. Tính áp suất tuyệt đối tại
mặt cắt đó.

2.8. Ý nghĩa hình học và năng lượng của pt
cơ bản trong thủy tĩnh học
z+

p



= const

a. Ý nghĩa hình học:
Trong môi trường chất lỏng cân bằng, cột nước thủy
tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số.
b. Ý nghĩa năng lượng:
 z - tỷ vị năng (vị năng đơn vị).
 P/γ – tỷ áp năng (áp năng đơn vị).

2.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh
p = p 0 + h, (*)

 Theo (*): trong đk áp suất tại mặt tự do p0 cho
trước, áp suất p là hàm bậc nhất theo h → (*) biểu

diễn bằng 1 đường thẳng trên đồ thị p, h.
 Giả thiết: p0 = pa → pd = γh.
 Giả sử có hệ trục như hình vẽ:
Sự biểu diễn bằng đồi thị hàm
số (*) trong hệ tọa độ trên gọi
là giản đồ phân bố áp suất thủy
tĩnh theo đường thẳng đứng.

8


2.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh
 Đường biểu diễn pd = γh → là
đường thẳng OA’.
→ Giản đồ phân bố áp suất dư là
∆ vuông OAA’, đáy bằng pd, chiều
cao h1.
 Từ giản đồ này ta có thể xác định giản đồ phân bố
áp suất dư p tại một độ sâu h bất kỳ.
Bằng cách: tịnh tiến OA’ theo phương vuông góc
với Oh một đoạn p0: O’’A’’.

2.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh
B’’

B’

B

h'  Nếu áp suất thủy tĩnh trên

đường thẳng đứng bắt đầu ở
độ sâu h’ so với mặt tự do (B)
→ Giản đồ phân bố áp suất dư
là hình thang vuông BB’A’A.

→ Giản đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang
vuông BB’’A’’A.
→ Trường hợp giản đồ phân bố trên đường thẳng
nghiêng hoặc đường thẳng gãy cũng là ∆ vuông
hoặc hình thang vuông.

2.9. Biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh
 Giản đồ phân bố trên
thẳng gãy OAB
→ Giản đồ phân bố áp
suất dư là ∆ vuông OAA’.
→ Giản đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang
vuông OO’’A’’A.

9


2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có
hình dạng bất kỳ
1. Trị số của áp lực
 Xét áp lực P tác dụng lên
một diện tích phẳng ω,
nghiêng so với mặt thoáng
góc α.

 Áp lực tác dụng lên vi phân dω , trọng tâm đặt ở
độ sâu h: dP = pd = ( p 0 + h )d
→ Áp lực tác dụng lên toàn bộ diện tích ω:
P = ∫ pd = ∫ ( p 0 + h )d




2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có
hình dạng bất kỳ
1. Trị số của áp lực
 Chọn hệ trục tọa độ Oyz
như hình, ta có: h = zSin
⇒ P = ∫ ( p 0 + zSin )d = ∫ p 0 d + ∫ zSind


⇔ P = p 0 + Sin ∫ zd , (*)







→ ∫ zd = S oy chính bằng mômen tĩnh của diện

tích ω đối với trục Oy.

2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có
hình dạng bất kỳ

1. Trị số của áp lực
 zC là tung độ của trọng
tâm c, khi đó:
S Oy = z C 
Và hC = z C Sin : độ sâu của C so với mặt thoáng.
h 
⇒ S Oy = C
Sin
(*) ⇒ P = p0 + hC 

10


2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có
hình dạng bất kỳ
a. Trị số của áp lực
→ Áp lực thủy tĩnh của chất lỏng tác dụng
lên diên tích phẳng ngập trong nó bằng tích
số của áp lực tuyệt đối tại tâm diện tích
phẳngđó nhân với diện tích ấy.
 Nếu p0 = pa thì áp lực dư tác dụng lên mặt phẳng:
P = hC 

2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có
hình dạng bất kỳ
b. Vị trí của tâm áp lực
Điểm đặt của áp lực gọi là tâm áp lực.
* Cách xác định vị trí tâm áp lực dư: Gọi D(zD,yD)
 Xác định zD:
Mômen của áp lực P

đối với trục Oz:
M = Pz D = hC z D

Tổng mômen của áp lực P lên các diện tích
vi phân:
M = ∫ pzd = ∫ hzd




⇒ M = Sin ∫ z 2 d = Sin .I y


Với: I y = ∫ z 2 d là mômen


quán tính của tiết diện ω đối với trục Oy.
⇒ zD =

Iy

.hc

Sin =

Iy

.z c

11

2.10. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có
hình dạng bất kỳ
 Xác định yD:
Tương tự Mômen của
áp lực P đối với trục
Oy:
M = Py D = ∫ pd


⇒ yz C Sin . y D = Sin ∫ zyd


Với: P = γhCω; hC = zCSinα; p = γzSinα

2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình
chữ nhật có đáy nằm ngang
Áp lực nước tác dụng lên cửa cống hình chữ nhật
 Tổng quát, thành phẳng đặt
nghiêng với mặt phẳng ngang
góc α, đáy rộng b, chiều cao h,
đáy trên ở độ sâu h1, đáy dưới
ở độ sâu h2, áp suất mặt tự do
p0 = pa. → Trị số tổng áp lực
dư: P = hC 
h +h
Trong đó:  = bh và hC = 1 2
2

2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình
chữ nhật có đáy nằm ngang
h1 + h2
bh
2
Với: Ω = h1 + h2 h là diện tích
⇒ P=

2

của giản đồ phân bố áp lực dư
AA’BB’.
⇒ P = Ωb

12


2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình
chữ nhật có đáy nằm ngang
P

Nếu đáy trên HCN đặt tại
mặt tự do (h1 = 0) → Giản
đồ áp lực là tam giác vuông
có diện tích:
Ω=

1
hh2
2

→ Lực P đặt tại trọng tâm giản đồ tam giác vuông
có độ sâu 23 h

2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình
chữ nhật có đáy nằm ngang
Nếu HCN đặt thẳng đứng
→ Giản đồ áp lực là tam
giác vuông cân:
Ω=

1 2
h
2

⇒ P = Ωb =

bh 2
2

2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình
chữ nhật có đáy nằm ngang
Bài tập: Tính áp lực nước tác dụng lên cạnh cống
HCN có h = 3m, b = 2m, độ sâu mực nước thượng
lưu H = 6m.

13


2.11. Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình

chữ nhật có đáy nằm ngang
Hướng dẫn giải:
- Áp lực dư: P = hC 
Với hC = H − h

2

Hoặc: P = bS1 = b [(H − h ) + H ]h
2

2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong

Xét trường hợp áp lực của
chất lỏng tác dụng lên thành
cong hình trụ tròn có đường
sinh đặt nằm ngang.
- Xét mặt trụ ABA’B’ có đường
sinh l có trục Oy // l; mặt tọa độ
nằm ngang trùng với mặt tự do có p0 = p a ; Py = 0
- Cần xác định Px; Pz → P = Px2 + Pz2

2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong
Px = ∫ dPx = ∫ hd




⇒ Px = hC  x

Với: ωx: hình chiếu diện tích

ABA’B’ lên mặt zOy.
hC: độ sâu trọng tâm.
Hoặc: Px = Ω x l (Ωx: diện tích giản đồ áp lực)
→ Đường tác dụng Px đặt ở độ sâu bằng độ sâu
trọng tâm diện tích Ωx.

14


2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong
Giả thiết mặt trụ chịu áp lực chất lỏng
từ phía trên, phái dưới mặt trụ khô.
- Lấy 1 diện tích nguyên tố dω, ở
độ sâu h → áp lực tác dụng:
dP = hd
⇒ dPx = dPCos (dP, x) = hdCos (dP, x) = hd x
⇒ dPz = dPCos (dP, z ) = hdCos (dP, z ) = hd z

Với: d x = Cos (dP, x) hình chiếu dω lên Ox.
d z = Cos (dP, z ) hình chiếu dω lên mặt tọa
độ nằm ngang (mặt tự do).

2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong
Pz = ∫ dPz = ∫ hd z
z

z

Với: ∫ hd z = W thể tích hình lăng
z

trụ đứng L, giới hạn bởi mặt trụ
AB → W = Ω y l (Ωy: diện tích
hình Abba)
⇒ PZ = W = G
→ Đường tác dụng Pz qua trọng tâm hình lăng trụ
L (hình lăng trụ L gọi là vật áp lực), hướng xuống
dưới.

2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong
Nếu hệ trục tọa độ có trục Oy
không song song với đường
sinh → Py ≠ 0, khi đó:
Px = hC  x
Py = hC  y
Pz = W
⇒ P = Px2 + Py2 + Pz2
Với: hC: độ sâu trọng tâm của mặt trụ = độ sâu trọng
tâm hình chiếu ωx, ωy.

15


2.12. Áp lực chất lỏng lên thành cong
Bài tập: Tính tổng áp lực
tác dụng lên cửa cống
cong AB, dài l=3m; diện
tích AOB bằng ¼ diện tích
mặt bên của hình trụ tròn
có bán kính r=1m; độ sâu

h=1m.

2.13. Định luật Acsimet
Một vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng
chịu tác dụng của một áp lực hướng lên trên, có
trị số bằng trọng lượng khối chất lỏng bị vật rắn
chiếm chỗ hoàn toàn.
Phương của lực Acsimet đi
qua trọng tâm D của khối chất
lỏng bị vật rắn chiếm chỗ
→ D: tâm đẩy (D không phải
là điểm đặt của lực Acsimet).

2.14. Sự cân bằng của vật rắn ngập hoàn
toàn trong chất lỏng
Xét vật rắn ngập hoàn toàn trong nước, đứng
cân bằng
a. C thấp hơn D → Cân
bằng ổn định.
b. C cao hơn D → Cân bằng
không ổn định.
c. C trùng D → Vật ở trạng thái cân bằng với bất kỳ
vị trí nào (cân bằng phiếm định).
Vật rắn không vân bằng nếu Pz ≠ G:
nếu Pz < G → Vật chìm
nếu Pz > G → Vật nổi lên

16

2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên mặt
tự do của chất lỏng
Xét vật rắn cân bằng ổn định với trường hợp C
cao hơn D.
- Mớn nước: giao điểm của vật nổi
với mặt nước.
- Mặt nổi: mặt phẳng có chu vi là
đường mớn nước.
- Trục nổi: đường thẳng góc với
mặt nổi qua tâm vật nổi.

2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên mặt
tự do của chất lỏng
Khi vật nổi nghiêng → tâm đẩy D thành D’.
Khi góc nghiên tạo bởi trục
nổi với phương của lực đẩy
mới α < 150 → ρ = MD: bán
kính định khuynh (M: tâm
định khuynh); hM = MC: độ
cao định khuynh; e = DC.
⇒ hM =  − e

2.15. Sự cân bằng của vật rắn nổi trên mặt
tự do của chất lỏng
+ M cao hơn C (hM > 0): ngẫu lực do
G và P tạo nên có xu hướng làm vật
nổi trở lại trạng thái cân bằng ban đầu
→ vật nổi.
+ M thấp hơn C (hM < 0): ngẫu lực có
xu hướng làm vật càng nghiêng đi →

vật nổi không ổn định.
+ M ≡ C (hM = 0): không tồn tại ngẫu
lực → mọi vị trí vật đều cân bằng.

17