giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân trên máy tính casio và maple

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
VÀ MAPLE

Giáo viên hướng dẫn
TS. Nguyễn Thư Hương

Sinh viên thực hiện
Nguyễn Chí Tâm
MSSV: 1110064
Lớp: SP Toán K37

Cần Thơ, 2015


LỜI CẢM ƠN


Qua thời gian học tập tại Trường Đại học Cần Thơ đã giúp em tích lũy thêm nhiều
kiến thức bổ ích, đặc biệt là những kiến thức của các Thầy Cô trong Bộ môn Toán
của Khoa Sư phạm, với những kiến thức đó là hành trang để sau này để em nghiên
cứu những vấn đề nhỏ và gần nhất đây là luận văn tốt nghiệp. Em xin gởi lời cảm ơn
chân thành đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Nguyễn Thư Hương đã tận
tình hướng dẫn và động viên em để hoàn thành đề tài luận văn này. Và em cũng xin

gởi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành
luận văn.
Do thời gian và phần kiến thức của bản thân còn hạn chế nên khó tránh khỏi
thiếu sót. Hy vọng sẽ nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các Thầy Cô và bạn
bè.
Cuối cùng em xin cảm ơn tất cả mọi người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em thực
hiện luận văn cuối khóa.
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Chí Tâm

i


MỤC LỤC
Trang

LỜI CẢM ƠN.....................................................................................................

i

MỤC LỤC............................................................................................................

ii

DANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................

iii

DANH MỤC CÁC HÌNH.................................................................................

iii

PHẦN MỞ ĐẦU..................................................................................................

1

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ...............................................................................

1

2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU ..........................................................................

1

3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .......................................................................

1

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU...............................................................

1

5. NỘI DUNG LUẬN VĂN ...........................................................................

1

PHẦN NỘI DUNG........................................................................................

3

Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN..................................................................

3

1.1 Khái nệm chung về phương trình vi phân....................................................

3

1.2 Phương trình vi phân cấp một ......................................................................

3

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy................................

4

1.2.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một.................................

5

1.3 Phương trình vi phân cấp hai........................................................................

6

1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai...............................

6

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng.......

7

1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai......................

8

1.4 Phương trình vi phân Euler.............................................................................

9

1.5 Hệ phương trình vi phân.................................................................................. 10

ii


1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính............................................................... 11
1.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất......................................... 11
1.6.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất............................ 15
1.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số hằng................................ 18

Chương II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CHO PHƯƠNG
TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN............................................. 22
2.1 Các phương pháp giải gần đúng cho phương trình vi phân........................ 22
2.1.1 Phương pháp Euler......................................................................................

22

2.1.2 Phương pháp Euler cải tiến........................................................................

27

2.1.3 Phương pháp Runge – Kutta......................................................................

31

2.1.4 Phương pháp Adams...................................................................................

40

2.2 Các phương pháp gi ải gần đúng cho hệ phương trình vi phân..................

43

2.2.1 Phương pháp Euler.....................................................................................

43

2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta........................................................................

44

Chương III: CÁC VÍ DỤ SỐ MINH HỌA..................................................

47

3.1 Giải phương trình vi phân bằng máy tính fx- 570ES..........................

47

3.2 Giải phương trình vi phân bằng Maple 16 ..............................................

58

PHẦN KẾT LUẬN.......................................................................................... .....

81

TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................

82

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Công thức Runge-Kutta cho phương trình vi phân với trường hợp
m=4....................................................................................................................... 37
Bảng 2.2 Công thức Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân với trường hợp
m=4........................................................................................................................ 46
Bảng nghiệm 3.1.................................................................................................

48

Bảng nghiệm 3.2.................................................................................................

49

Bảng nghiệm 3.3.................................................................................................

51

Bảng nghiệm 3.4.................................................................................................

53

Bảng nghiệm 3.5.................................................................................................

54

Bảng nghiệm 3.6.................................................................................................

56

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 2.1 Minh họa cho phương pháp Euler...................................................

26

Hình 2.2 Minh họa cho phương pháp Euler cải tiến thứ nhất......................

28

Hình 2.3 Minh họa cho phương pháp Euler cải tiến thứ hai.........................

31

Hình 2.4 Minh họa cho phương pháp Runge-Kutta cho trường hợp m=4..

38

iii


PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hiện nay, cùng sự phát triển của khoa học kỹ thuật và tất nhiên Toán học cũng ngày
càng phát triển mạnh mẽ, và đặc biệt hơn là sự phát triển của Toán Ứng dụng. Như ta
đã biết nhờ vào phương pháp giải tích ta giải được nghiệm đúng của phương trình vi
phân. Tuy nhiên, có nhiều trường hợp phương pháp giải tích không tìm được nghiệm
đúng của phương trình vi phân. Do đó, ta cần tìm nghiệm gần đúng của nó. Giải gần
đúng phương trình vi phân là mảng đề tài quan trọng của Toán Ứng dụng. Và ngày
nay với sự tiến bộ của công nghệ máy tính thì việc giải gần đúng phương trình vi phân
đã trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn. Với sự yêu thích và gợi ý của Cô
Nguyễn Thư Hương, em đã chọn được đề tài “ Giải gần đúng nghiệm phương trình vi
phân trên máy tính casio và maple” và hoàn thành đề tài.

2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Luận văn trình các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân thường
có điều kiện ban đầu (bài toán Cauchy), ứng dụng máy tính Casio fx  570ES và
Maple 16 vào việc giải gần đúng cho phương trình trên.

3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
-

Nghiên cứu lý thuyết về việc giải gần đúng một số phương trình vi phân.

-

Nghiên cứu về việc ứng dụng máy tính vào việc giải gần đúng phương trình vi
phân.

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
-

Tổng hợp, phân tích một số nội dung lý thuyết phương trình vi phân và việc giải
gần đúng phương trình vi phân.

-

Chứng minh làm rõ một số định lý quan trọng.

-

Đánh giá các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân.

5. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn gồm ba chương:
1


Chương 1: Kiến thức cơ bản
Trình bày tổng hợp một số kiến thức về phương trình vi phân và hệ pương trình vi
phân.
Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng cho phương trình và hệ phương
trình vi phân
Trình bày các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân như là:
Phương pháp Euler, Euler cải tiến thứ nhất, Euler cải tiến thứ hai và phương pháp
Runge-Kutta.

Chương 3: Các ví dụ số minh họa
Giải một số ví dụ cho phương pháp được trình bày nêu trên nhờ vào máy tính

Casio fx  570ES và Maple 16 .

2


PHẦN NỘI DUNG
Chương I:
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Khái niệm chung về phương trình vi phân
 Định nghĩa 1.1
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập x, ẩn hàm y và các đạo
hàm y, y,..., y  n của nó.
Dạng tổng quát:





F x, y, y,..., y  n  0,

(1.1)

 Phương trình (1.1) có thể khuyết biến độc lập x và ẩn hàm y nhưng bắt buộc
phải có đạo hàm của hàm ẩn.
 Cấp của phương trình vi phân bằng đạo hàm cấp cao nhất của hàm ẩn.
 Hàm y    x  được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu nó thỏa điều
kiện:

o Hàm y    x  liên tục và khả vi đến cấp n trên khoảng I nào đó.





o x  I thì điểm x,   x  ,   x  ,...,   n  x   G với G là miền xác định
của F.




o F x,   x  ,   x  ,..., 

n

 x    0, x  I

 Đường biểu diễn nghiệm y    x  của (1.1) được gọi là đường cong tích phân
của phương trình vi phân.
1.2 Phương trình vi phân cấp một
 Định nghĩa 1.2
Phương trình vi phân cấp một có dạng:

3


F  x, y, y   0,

(1.2)

trong F được xác định trên miền G nào đó, ở đây ta xét G 

3

.

Nếu trong G phương trình (1.2) giải được y , thì phương trình (1.2) có dạng:

y  f  x, y  ,
Hàm y    x  là nghiệm của phương trình vi phân cấp một nếu:
F  x,   x  ,   x    0

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy:

 y  f  x, y 

 y  xo   y0 ,

(1.3)

trong đó f là hàm xác định trên miền G  G 

2

, x , y
0

0

cho trước.

Ta sẽ chỉ điều kiện của hàm f để bài toán (1.3) có nghiệm duy nhất.
Điều kiện Lipschitz:
Hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschiz theo y trong miền G, nếu với bất kì hai điểm

 x, y1  ,  x, y2  thuộc miền G, ta luôn có:
f  x, y1   f  x, y2   L y1  y2 ,

trong đó L là hằng số và L  0 .
Nhận xét 1.1:
Hàm f có đạo hàm riêng theo biến y và giới nội (bị chặn) trong miền G thì sẽ thỏa
điều kiện Lipschiz.

4


Thật vậy
Vì f y  x, y  bị chặn nên L  0 : f y  x, y   L
Theo định lý giá trị trung gian thì:

f  x, y1   f  x, y2   f y  x,   y1  y2  L y1  y2 ,
với  nằm giữa y1 và y2 .
Định lí 1.1 (định lí Picard):
Giả sử trong miền G hàm f liên tục theo biến x và thỏa điều kiện Lipschiz theo biến
y (hoặc f có đạo hàm theo y và giới nội). Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân (1.3) và nghiệm này xác định trong một khoảng  x0  , x0    , trng đó

  0.

Định lí 1.2 (định lí Peano):
Giả sử trong miền G hàm f giới nội và liên tục. Khi đó tồn tại ít nhất một đường
cong tích phân của phương trình (1.3).
Nhận xét 1.2:
Đường cong tích phân đi qua điểm  x0 , y0  trong một lân cận khá bé của x0 . Đây
chính là cơ sở của phương pháp giải gần đúng của phương trình vi phân bằng phương
pháp đường gấp khúc Euler.
1.2.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một
Nghiệm tổng quát: Là nghiệm có dạng hàm y    x, C  và thỏa phương trình (1.2)
với C là hằng số.
Nghiệm riêng: Là nghiệm mà tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thỏa
mãn, tức C được xác định cụ thể.

5


Nghiệm kì dị: Là nghiệm mà tại mọi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy bị phá vỡ.
1.3 Phương trình vi phân cấp hai
 Định nghĩa 1.3
Phương trình vi phân cấp hai có dạng:

F  x, y, y, y   0 ,

(1.4)

trong đó F là hàm bắt buộc phải có y .
Giả sử phương trình (1.4) có thể giải được y khi đó (1.4) được ghi dưới dạng:

y  f  x, y, y 

 Định nghĩa 1.4
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai dạng:

y  p  x  y  q  x  y  f  x  ,

(1.5)

trong đó p  x  , q  x  , f  x  là các hàm theo biến x .
Phương trình (1.5) nếu f  x   0 thì ta được phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất.
Nếu f  x   0 thì phương trinh (1.5) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính
không thuần nhất.
1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai
Dạng:

y  p  x  y  q  x  y  0

Định lí 1.3: Cấu trúc nghiệm

6

(1.6)


Giả sử y1  x  , y2  x  là nghiệm của phương trình (1.6) và y1  x  , y2  x  độc lập tuyến
tính trên  a, b  . Khi đó nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng:

y  x   C1 y1  x   C2 y2  x  với C1 ,C2 là hằng số.
Phương pháp tìm nghiệm của phương trình (1.6):
 Tìm một nghiệm y1  x   0 .

 Nghiệm tổng quát của (1.6) được tìm theo công thức.

e
y  x   C1 y1  x   2
dx  C2 y1  x  , C1 , C2 là hằng số.
y1  x 
 p  x  dx

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng

ay  by  cy  0,

Dạng:

(1.7)

với a, b, c là hằng số và a  0.
Phương pháp tìm nghiệm của phương trình (1.7):
Xét phương trình đặc trưng:

a2  b  c  0

(1.8)

 Nếu phương trình (1.8) có hai nghiệm phân biệt 1 và  2 thì nghiệm tổng quát
của (1.7) có dạng:

y  x   C1e x  C2e x , C1 , C2 là hằng số.
1

2

 Nếu phương trình (1.8) có nghiệm kép 1   2 thì nghiệm tổng quát của (1.7)
có dạng:

y  x    C1  xC2  e x , C1 , C2 là hằng số.
1

 Nếu phương trình (1.8) vô nghiệm thì nghiệm tổng quát của (1.7) có dạng:

y  x   ex  C1 cos x  C2 sin x  với C1 , C2 là hằng số, trong đó
b

,
2a
7

b 2  4ac
2a

.


1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai

y  p  x  y  q  x  y  f  x  ,

Dạng:

(1.9)

trong đó p  x  , q  x  , f  x  là các hàm theo biến x có nhiều dạng khác nhau tùy vào
bài toán.
Nhận xét 1.3:
Nếu ta tìm được nghiệm y1  x  , y2  x  của phương trình (1.6) hai nghiệm này độc lập
tuyến tính trên  a, b  và nghiệm riêng y*  x  của (1.9) thì nghiệm tổng quát của (1.9)
có dạng: y  x   C1y1 x  C 2y 2 x   y * x



với C1 , C2 là hằng số.

Phương pháp nghiệm của phương trình (1.9):
Ta sẽ đưa ra cách làm chung với hàm f tùy ý chứ không xét riêng các dạng của
hàm f.
 Tìm nghiệm y1  x  , y2  x  độc lập tuyến tính của (1.6).
 Tìm nghiệm riêng (1.9) dưới dạng y*  x   C1 x  y1 x  C 2 x y 2 x  .
 Lấy đạo hàm hai vế nghiệm riêng:

y*  x   C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   C1  x  y1  x   C2  x  y2  x  ,
Ta chọn C1  x  , C2  x  sao cho: C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   0 .

y*  x   C1  x  y1 x   C2  x  y2  x   C1  x  y1  x   C2  x  y2  x  ,
Vì y*  x  là nghiệm nên ta có: C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   f  x  .
 Tìm nghiệm C1  x  , C2  x  của hệ:

C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   0
,

C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   f  x 

sau đó lấy nguyên hàm C1  x  , C2  x  .

8


1.4 Phương trình vi phân Euler
 Dạng tổng quát:

a0 x n y (n)  a1 x n1 y (n 1)  ...  an1 xy  an y  0
trong đó a0 , a1 ,..., an là các hằng số.
 Xét dạng cấp hai:

ax2 y  bxy  cy  0

(1.10)

Phương pháp tìm nghiệm phương trình (1.10):
Ý tưởng là ta sẽ đưa về dạng phương trình tuyến tính với hệ số hằng bằng cách đặt:

x  et nếu x  0

(*)

và x  e nếu x  0

(**)

t

Ta xét trường hợp (*), trường hợp (**) tương tự. Ta có:

dt
 et
dx
dy dy dt
dy
y 

  et 
dx dx dx
dt
2
 d y dy 
y  e 2t  2  
dt 
 dt

(***)

Khi đó, ta thay (***) vào phương trình (1.10), ta được:

 d 2 y dy 
dy
a  e 2t  e 2t  2    b  et  e  t   cy  0
dt 
dt
 dt
 d 2 y dy 
dy
 a  2    b   cy  0

dt 
dt
 dt
d2y
dy
 a 2   b  a    cy  0
dt
dt
Đặt: b  a  b1 , ta được:

d2y
dy
a 2  b1  cy  0
dt
dt

9

(1.11)


Đây là dạng phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng. Nên ta chỉ cần tìm
nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) sau đó ta thay t  ln x ta được nghiệm
tổng quát của phương trình (1.10).

1.5 Hệ phương trình vi phân
 Định nghĩa 1.5
Hệ phương trình vi phân cấp một là hệ có dạng:

 F1  x, y1, y2 ,..., yn   0,


 F2  x, y1, y2 ,..., yn   0,

..................................
 F  x, y, y ,..., y   0.
1
2
n
 n

(1.12)

Trong trường hợp hệ (1.12) giải ra các đạo hàm ta có dạng hệ sau và hệ này được
gọi là hệ chuẩn tắc.

 y1  f1  x, y1 , y2 ,..., yn  ,

 y2  f 2  x, y1 , y2 ,..., yn  ,

....................................
 y  f  x, y , y ,..., y  .
n
1
2
n
 n

(1.13)



y1 , y2 ,..., yn là các hàm theo x cần tìm.



f1 , f 2 ,..., f n là các hàm cho trước xác định trong miền G của không gian n  1
chiều

n1

.

 Số n được gọi là bậc của hệ (1.13).
 Hệ n hàm khả vi y1  x  , y2  x  ,..., yn  x  xác định trên khoảng  a, b  được
gọi là nghiệm của hệ (1.12) tên khoảng đó nếu khi thay chúng vào hệ (1.12)
ta được đồng nhất thức với mọi x  (a,b) .
Tập hợp  

 x, y  x  , y  x  ,..., y  x  x   a, b  được gọi là đường cong tích
1

2

n

phân.

10

Bài toán cauchy: Cho điểm  x0 , y10 , y20 ,..., yn0   G .
Tìm nghiệm y1  x  , y2  x  ,..., yn  x  của hệ (1.12) thỏa điều kiện ban đầu:

y1  x0   y10 , y2  x0   y20 ,..., yn  x0   yn0
Cũng tương tự như bài toán cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 thì bài toán
Cauchy đối với hệ cũng có duy nhất nghiệm.
1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính
1.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
Dạng:

 dy1
 dx  a11  x  y1  a12  x  y2  ...  a1n  x  yn ,

 dy2  a  x  y  a  x  y  ...  a  x  y ,
21
1
22
2
2n
n
 dx
.................................................................

 dyn  a x y  a x y  ...  a x y .
n1   1
n2   2
nn   n
 dx

(1.14)

Hệ (1.14) ta có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

dY
 A x Y
dx
Trong đó:

 dy1 
 dx 
 a11  x  a12  x  a1n  x  
 y1 




y 
 dy2 
a
x
a
x
a
x







dY
.
22
2n
Y   2 ;
  dx  ; A  x    21
  dx 
...................................... 



 




a
x
a
x
a
x






 yn 
n2

nn
 n1
 dyn 


 x 

11

(1.15)


Khi đó, nếu hệ phương trình có dạng:

 dy1
 dx  a11  x  y1  a12  x  y2  ...  a1n  x  yn  f1  x  ,

dy

 2  a21  x  y1  a22  x  y2  ...  a2 n  x  yn  f 2  x  ,
 dx
................................................................................

 dyn  a x y  a x y  ...  a x y  f x
n1   1
n2   2
nn   n
n 

 dx

(1.16)

thì ta gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.
Ta đặt:

 f1  x  


f
x


,
F  x    2



 f n  x  
thì hệ (1.14) được viết dưới dạng ma trận:

dY
 A x Y  F  x 
dx

(1.17)

với aij  x  , fi  x  i, j  1, 2,..., n là các hàm liên tục của x trong khoảng  a, b  . Rõ
ràng trong đoạn bất kỳ  ,     a, b  thì hệ (1.17) thỏa mãn điều kiện tồn tại và duy
nhất nghiệm. Với hệ (1.17) nếu xác định giá trị ban đầu

 x , y , y ,..., y 
0

0
1

0
2

0
n

với

x0   a, b thì hệ sẽ tồn tại và duy nhất nghiệm trên khoảng  a, b  .
Để thuận lợi cho việc nghiên cứu các tính chất của hệ phương trình tuyến tính ta đưa
ra định nghĩa toán tử vi phân tuyến tính như sau:
L Y  

dY
 A  x Y .
dx

12


Khi đó hệ (1.14) có dạng: L Y   0 và hệ (1.18) có dạng: L Y   F  x  .
Các tính chất của toán tử tuyến tính L :
o

L CY   CL Y  với C là hằng số tùy ý.

o L Y1  Y2   L Y1   L Y2 .
Hệ quả 1.1: Từ hai tính chất trên ta được:

L  CiYj    Ci L Y j  ,
trong đó Ci là các hằng số tùy ý.
Định lý 1.4 (định lí về nghiệm tổng quát): Nếu Yi i  1,2,..., m  là nghiệm của hệ
phương trình L Y   0 thì Z   CiYi (với Ci là các hằng số tùy ý,  i  1, 2,..., m  )
m

i 1

cũng là nghiệm của hệ phương trình đó.
a) Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính và các định lý liên quan
Giả sử ta có các vector Y1 , Y2 ,..., Yn xác định trên  a, b  với:

 y1i  x  


y2 i  x  

Yi 
,  i  1, 2,..., n  .




 yni  x  

Khi đó ta nói các vector trên là phụ thuộc tuyến tính trên  a, b  nếu tồn tại các

i 

 i  1, 2,.., n  sao cho:
1Y1   2Y2  ...   nYn  0,

(1.18)

với mọi x   a, b và có ít nhất một số  i  0 . Ngược lại, các vector trên được gọi là
độc lập tuyến tính trên  a, b  nếu đồng nhất thức (1.18) chỉ đúng khi  i  0 với mọi

i  1,2,...,n .
13


Ta thấy rằng đồng nhất thức (1.18) tương đương với hệ n đồng nhất thức sau:

1 y11   2 y12  ...   n y1n  0
 y   y  ...   y  0
 1 21
2 22
n 2n

............................................
1 yn1   2 yn 2  ...   n ynn  0.
Do đó để có ít nhất một số  i  0 thì định thức:

W Y1 , Y2 ,..., Yn  

y11 y12

y1n

y21 y22

y2 n

yn1 yn 2

ynn

 0.

Ta gọi định thức W Y1 , Y2 ,..., Yn  là định thức Wronski.
Định lý 1.5: Nếu n vector Y1 , Y2 ,..., Yn phụ thuộc tuyến tính trên khoảng  a, b  thì

W Y1 , Y2 ,..., Yn   0 trên khoảng đó.
Định lý 1.6: Nếu định thức Wronski W Y1 , Y2 ,..., Yn  của nghiệm Y1 , Y2 ,..., Yn của hệ
phương trình L Y   0 , với các hệ số aij  x  liên tục trên  a, b  , bằng không ít nhất
tại một điểm x  x0 thuộc khoảng  a, b  thì nghiệm Y1 , Y2 ,..., Yn phụ thuộc tuyến tính
trên khoảng đó và do đó W Y1 , Y2 ,..., Yn   0 trên khoảng  a, b  .
b) Hệ nghiệm cơ bản
 Định nghĩa 1.6:
Hệ n nghiệm riêng độc lập tuyến tính Y1  x  , Y2  x  ,..., Yn  x  của hệ phương trình

L Y   0 được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình đó.
Nhận xét 1.4: Đối với hệ phương trình L Y   0 thì luôn tồn tại hệ nghiệm cơ bản
vì ta chỉ cần chọn nghiệm riêng Y1  x  , Y2  x  ,..., Yn  x  sao cho W Y1 , Y2 ,..., Yn   0
tại điểm x0 nào đó thuộc khoảng  a, b  .

14


Hệ nghiệm cơ bản Y1 , Y2 ,..., Yn sao cho yij  x    ij  i, j  1, 2,..., n  trong đó  ij là kí
hiệu Kronecker:

 ij  1, i  j

 ij  0, i  j ,
được gọi là hệ nghiệm chuẩn tắc.
Định lý 1.7: Nếu Y1 , Y2 ,..., Yn (trong đó n là số phương trình của hệ) là hệ nghiệm cơ
bản của hệ L Y   0 thì nghiệm tổng quát của hệ phương trình đó là:
n

Y   CiYi ,
i 1

trong đó Ci  i  1, 2,...n  là các hằng số tùy ý.
Công thức Ostrogradski-Louivile-Jacobi:
x

W  x   W  x0  e

 a11   a22  ... ann   d
x0

trong đó W  x   W Y1  x  , Y2  x  ,..., Yn  x   và x0 thuộc khoảng  a, b  .
1.6.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Dạng:
n

dyi
  aij  x  y j  f i  x ,  i  1, 2,..., n 
dx j 1

(1.19)

Dạng ma trận:

dX
 A  x Y  F  x .
dx
a) Một số định lý về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất

15


Định lý 1.8: Nếu Y là nghiệm của hệ phương trình (1.19) và Y là nghiệm của hệ
phương trình thuần nhất L Y   0 thì tổng Y  Y1 là nghiệm của hệ (1.19).
Chứng minh:
Ta dễ dàng chứng minh định lý 1 dựa vào tính chất của toán tử tuyến tính:
L Y  Y   L Y   L Y 

Mà: L Y   F  x  và L Y   0
Do đó: L Y  Y   F  x  
Định lý 1.9: Nghiệm tổng quát Y của phương trình tuyến tính không thuần nhất trên
khoảng  a, b  (các hệ số aij  x   i, j  1, 2,..., n  và các hàm số f i  x   i  1, 2,..., n  ở
vế phải liên tục trên  a, b  ) bằng tổng của nghiệm tổng quát

 C Y của hệ L Y   0
n

i 1

i i

tương ứng và nghiệm riêng Y của hệ không thuần nhất dang xét, tức là:
n

Y   CiYi Y .
i 1

Định lý 1.10: (Nguyên lý chồng chất nghiệm).
m

Tổng

 C Y của
i 1

i i

các nghiệm Yi của hệ phương trình L Y   Fi  i  1, 2,..., m  là

 f1i  x  


m
f
x



 2i  .
nghiệm của hệ phương trình L Y    Fi  x  , trong đó F  x   

i 1


 f ni  x  
Thật vậy, ta có:
m
m  n
L   Yi    L Yi    Fi (tính chất của toán tử L). 
i 1
 i 1  i 1

16


b) Phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm
Phương pháp gồm hai bước:
 Bước 1: Ta tìm nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất tương ứng. Ta được nghiệm
n

Y   CiYi

tổng quát là:

(1.20)

i 1

 Bước 2: Xem các Ci là các hàm của x: Ci  Ci  x  và chọn các Ci sao cho
Y   Ci  x  Yi thỏa mãn hệ phương trình L Y   F  x 
n

i 1

Vậy ở bước 2 ta chỉ cần tìm được cách chọn Ci :
Thật vậy:
Ta lấy vi phân hai vế của (1.20) theo x, ta được:
n dC x
   Y  n C x  dYi  n dCi  x   Y  A x n C x  Y
dY
 i
  i   i


i
i 
i
dx i 1 dx
dx i 1 dx
i 1
i 1
n
n
dY


 A Ci  x   Yi  F  Do i  AYi ; Y   Ci  x   Yi 

dx
i 1
i 1



Do đó:

n


i 1

dCi  x 
 Yi  F
dx

Khi đó, ta được hệ phương trình sau:

 n dCi  x 
 y1i  f1  x 

dx
i 1

 n dCi  x 
 y2 i  f 2  x 

 i 1 dx
..................................


 n dCi  x 
 yni  f n  x  .

 i 1 dx
Ta thấy rằng: định thức của hệ cũng là định thức Wronski W Y1 , Y2 ,..., Yn   0 nên hệ
có duy nhất nghiệm:

17


n


i 1

dCi  x 
 Yi  i  x 
dx

 i  1, 2,..., n 

Lấy tích phân hai vế ta được:

Ci  x    i  x dx  Ci  i  1, 2,..., n  , với Ci là hằng số tùy ý.
Thay các Ci  x  vào (1.20) ta được:
n





n





n

Y    i  x dx  Ci Yi    i  x dx Yi   CiY .
i 1

i 1

i 1

1.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số hằng
Dạng:

n
dyi
  aij y j  f i  x ,  i  1, 2,..., n 
dx j 1

(1.21)

Dạng ma trận:

dY

 AY  F ,
dx
 f1  x  
 a11 a12 a1n 


a a

f
x
a



,
2
21
22
2
n
 , F  x 
với A  

 và các aij là các hằng số.
...................... 




a

a
a

nn 
 n1 n 2
 f n  x  
Nếu fi  x   0 với mọi i  1, 2,...,n thì hệ (1.21) được gọi là hệ thuần nhất với hệ số
hằng.
Tức là hệ có dạng:

18


 dy1
 dx  a11 y1  a12 y2  ...  a1n yn ,

 dy2  a y  a y  ...  a y ,
21 1
22 2
2n n
 dx
...............................................

 dyn  a y  a y  ...  a y .
n1 1
n2 2
nn n
 dx

(1.22)

Phương pháp giải hệ (1.22):
Ta tìm nghiệm Y  x  dưới dạng:
kx
 y1  1e 
 y   kx 
e
Y  x   2    2  ,

  
   kx 
 yn   n e 

các aij  i  1, 2,..., n  là các hằng số cần tìm.
Ta thay các giá trị y1 , y2 ,...,yn vào (1.22) (vì Y  x  là nghiệm của hệ), ta được:

 a11  k  1  a12 2   a1n n  0

a211   a22  k  2   a2 n n  0


a   a     a  k   0.
nn
n
 n1 1 n 2 2

(1.23)

Các 1 , 2 ,..., n không đồng thời bằng không thì định thức sau phải bằng không,
tức là:

a11  k
a21
an1

a12

a1n

a22  k

a2 n
ann  k

an 2

19

 0,

(1.24)


Phương trình (1.24) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (1.22).
 Phương trình (1.24) có n nghiệm thực khác nhau:

k1 , k 2 ,..., kn . Khi đó ta có nghiệm:
kx
 y1i  1i e 


y  
 2i ek x 
2i 


Yi  x  

, i  1, 2,..., n 
 
  

  
kx
 yni   ni e 
i

i

i

và các nghiệm Y1  x  , Y2  x  ,..., Yn  x  độc lập tuyến tính.
n

Do đó nghiệm tổng quát của hệ là: Y  x    CiYi  x  , Ci là các hằng số.
i 1

 Phương trình (1.24) có cặp nghiệm phức đơn:

k j  p  iq
k j  p  iq,  j  1, 2,..., n 

Nếu với nghiệm k j  p  iq ta có nghiệm Yj :
 p iq  x
 1 j e px  cos q  i sin q  
 y1 j  1 j e
 

  
 p iq  x
y
 2 j e
  2 j e px  cos q  i sin q 
2j

Yj  x  


 ,  j  1, 2,..., n 
  
 

  
px
p

iq
x







 ynj   nj e

  nj e  cos q  i sin q  

Khi đó bằng cách thay các nghiệm vào hệ (1.24) ta sẽ tìm được các  ij . Sau đó ta
tách phần thực và phần ảo ta suy ra được hệ nghiệm cơ bản của hệ.
Trường hợp k j  p  iq tương tự.

20