luận văn tốt nghiệp đề tài mêtric trên r “

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

MÊTRIC TRÊN

Giảng viên hướng dẫn

n

Sinh viên thực hiện

ThS. Trần Thị Thanh Thúy

Nguyễn Anh Khoa
MSSV: 1110032
Lớp: SP Toán K37

Cần Thơ, năm 2015


LỜI CẢM ƠN

Qua luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến cô
Trần Thị Thanh Thúy, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em rất nhiều trong suốt
quá trình làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô đã hƣớng dẫn, giảng dạy và truyền đạt

kiến thức cho em trong suốt quá trình đào tạo.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và tập thể các bạn lớp Sƣ phạm
Toán học khóa 37 đã động viên tinh thần giúp em hoàn thành luận văn của mình.
Xin chân thành cảm ơn!

Cần thơ, tháng 4 năm 2015
Ngƣời viết
Nguyễn Anh Khoa


MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ............................................................................................ 1
2. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU .................................................................................. 1
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .................................................................................... 2
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................................................................ 2
5. TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................................................................. 2
PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................... 4
1. MÊTRIC TRÊN MỘT TẬP HỢP ........................................................................ 4
2. KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC TẬP, ĐƢỜNG KÍNH CỦA MỘT TẬP HỢP ... 5
3. KHÔNG GIAN CON ........................................................................................... 5
4. KHÔNG GIAN MÊTRIC TÍCH .......................................................................... 6
5. SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC ................................................. 6
6. LÂN CẬN, CÁC LOẠI ĐIỂM, TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG ..................................... 7
6.1. Lân cận ........................................................................................................... 7
6.2. Các loại điểm ................................................................................................. 7
6.3. Tập mở, tập đóng ........................................................................................... 7
7. KHÔNG GIAN ĐẦY ........................................................................................... 8

7.1. Dãy cơ bản ..................................................................................................... 8
7.2. Không gian đầy .............................................................................................. 8
8. ÁNH XẠ LIÊN TỤC ............................................................................................ 9
8.1. Ánh xạ liên tục ............................................................................................... 9
8.2. Liên tục đều .................................................................................................. 10
9. ÁNH XẠ CO – NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG .......................................... 10
9.1. Ánh xa co ..................................................................................................... 10
9.2. Nguyên lý điểm bất động ............................................................................. 10
10. KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT ............................................................ 10
10.1. Không gian compact .................................................................................. 10


10.2. Tập bị chặn và tập hoàn toàn bị chặn ......................................................... 11
10.3. Liên hệ giữa tính compact, hoàn toàn bị chặn và đóng ............................. 11
11. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG ........................................................................ 12
CHƢƠNG 2. KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN
1. CÁC MÊTRIC TRÊN

.................................................... 13

................................................................................... 13

2. ĐIỂM GIỚI HẠN ............................................................................................... 17
3. TẬP MỞ - TẬP ĐÓNG ...................................................................................... 19
4. TẬP ĐẦY – TẬP COMPACT – TẬP LIÊN THÔNG ...................................... 24
4.1. Tập đầy ......................................................................................................... 24
4.2. Tập compact ................................................................................................. 27
4.3. Tập liên thông .............................................................................................. 30
5. ÁNH XẠ CO – ĐIỂM BẤT ĐỘNG................................................................... 33
CHƢƠNG 3. KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN n , n  2 ……….………………...35

1. KHÔNG GIAN MÊTRIC ................................................................................... 35
2. HAI MÊTRIC TƢƠNG ĐƢƠNG ĐỀU ............................................................. 43
3. TẬP ĐÓNG - TẬP MỞ - BIÊN ......................................................................... 44
4. TẬP ĐẦY - TẬP COMPACT – KHÔNG GIAN KHẢ LY .............................. 53
4.1. Tập đầy ......................................................................................................... 53
4.2. Tập compact ................................................................................................. 58
4.3. Không gian khả ly ........................................................................................ 62
6. ÁNH XẠ LIÊN TỤC .......................................................................................... 66
CHƢƠNG 4. KHÔNG GIAN MÊTRIC TỔNG QUÁT…..……………………….....69
1. KHÔNG GIAN MÊTRIC ................................................................................... 69
2. LÂN CẬN – ĐIỂM GIỚI HẠN – TẬP BỊ CHẶN – TẬP MỞ - TẬP ĐÓNG .. 81
2.1. Lân cận ......................................................................................................... 81
2.3. Điểm giới hạn ............................................................................................... 84
2.3. Tập bị chặn ................................................................................................... 85
2.4. Tập mở - Tập đóng ....................................................................................... 86
3. TẬP ĐẦY – TẬP COMPACT – KHÔNG GIAN KHẢ LY .............................. 90
3.1. Tập đầy ......................................................................................................... 90
3.2. Tập compact ................................................................................................. 94


3.3. Không gian khả ly ...................................................................................... 100
4. DÃY TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC ........................................................ 102
5. ÁNH XẠ LIÊN TỤC ........................................................................................ 106
6. ÁNH XẠ CO .................................................................................................... 113
PHẦN KẾT LUẬN ...................................................................................................... 115
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 116


PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích thật ra chỉ dựa trên các tính chất của
khoảng cách. Trong chƣơng trình học đại học, em đã đƣợc học Chƣơng 2 “KHÔNG
GIAN MÊTRIC” của môn “TÔPÔ ĐẠI CƢƠNG”. Do thời lƣợng chƣơng trình có hạn
nên em chỉ nghiên cứu đƣợc một số nội dung cơ bản của không gian mêtric. Điều này
gợi cho em niềm đam mê nghiên cứu về không gian mêtric để mở rộng thêm kiến thức
của mình về Toán học đặc biệt là mảng “Giải tích” liên quan đến không gian mêtric.

Bên cạnh đó, do nhu cầu của xã hội hiện nay về việc thi lên cao học mà trong
đó, kiến thức về mêtric lại chiếm phần nhiều trong đề thi. Vì vậy, để vƣợt qua đƣợc kỳ
thi thì các thí sinh phải có một số kiến thức nhất định về không gian mêtric. Từ đó,
đƣợc sự hƣớng dẫn và gợi ý của cô Trần Thị Thanh Thúy, em đã chọn đề tài

“Mêtric trên

n

”.

2. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tƣợng đƣợc nghiên cứu trong luận văn này là không gian mêtric trên
n

, n  2 cùng với một số tính chất quan trọng có liên quan.

1

và


3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đính nghiên cứu của luận văn là giúp em nâng cao kiến thức về không gian
mêtric, đặt biệt là không gian mêtric trên

và

n

, n  2 . Bên cạnh đó, việc nghiên

cứu một số kiến thức mới sẽ thúc đẩy tinh thần học hỏi và từ đó giúp cho em có thêm
sự đam mê đối với Toán học nhiều hơn. Ngoài ra, qua việc thực hiện luận văn này, sẽ
giúp em bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tạo một nền tảng kiến thức
cần thiết cho việc học sau này.

4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sƣu tầm, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài.
Phƣơng pháp tổng hợp, khái quát hóa dùng để trình bày các kiến thức dƣới dạng
các định lý, mệnh đề.
Phƣơng pháp hệ thống hóa đƣợc sử dụng để săp xếp các kiến thức theo một
trình tự phù hợp.

5. TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nhắc lại một số khái niệm trong không gian mêtric đƣợc sử dụng thƣờng xuyên
trong bài nghiên cứu này.

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN

2

Phần này, luận văn đƣa ra một số bài toán về các không gian mêtric trên

, các

dạng tập hợp trong không gian mêtric, các không gian đặc biệt nhƣ không gian đầy,
không gian compact, không gian khả ly, ánh xạ liên tục, ánh xạ co...

CHƢƠNG 3: KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN

n

,n2

Phần này luận văn cũng đƣa ra một số dạng toán liên quan đến các không gian
mêtric, các dạng tập hợp, không gian đầy, không gian compact, không gian khả
ly,…trên

n

, n  2.

CHƢƠNG 4: KHÔNG GIAN MÊTRIC TỔNG QUÁT
Trình bày các dạng toán tƣơng tự nhƣ hai chƣơng trƣớc nhƣng với các mêtric
đƣợc cho trên tập bất kỳ.

3

PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chƣơng này luận văn đƣa ra các kiến thức cơ bản của không gian mêtric
nhƣ: định nghĩa mêtric, không gian con, không gian mêtric tích, các loại điểm,…và
một số không gian đặc biệt nhƣ: không gian đầy, không gian compact, không gian khả
ly,…để nhằm phục vụ kiến thức cơ bản cho các bài tập ở ba chƣơng phía sau.

1. MÊTRIC TRÊN MỘT TẬP HỢP
Định nghĩa.
Cho một tập hợp X   . Ánh xạ d : X  X 

đƣợc gọi là một mêtric (khoảng

cách) trong X nếu d thỏa ba tiên đề sau đây:
i) d  x, y   0

x, y  X

d  x, y   0  x  y
ii) d  x, y   d  y, x 

.
(tiên đề đồng nhất)

.

x, y  X

iii) d  x, y   d  x, z   d  z , y 

.

(tiên đề đối xứng)

x, y, z  X .

(tiên đề tam giác)

Tập X với mêtric d trang bị trên X đƣợc gọi là một không gian mêtric.
Kí hiệu:  X , d  .
Phần tử x  X đƣợc gọi là điểm trong không gian mêtric X.
Số thực không âm d  x, y  đƣợc gọi là khoảng cách giữa hai điểm x, y
4


2. KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC TẬP, ĐƢỜNG KÍNH CỦA MỘT TẬP
HỢP
Định nghĩa.
Cho d là mêtric trên X.
Khoảng cách giữa một điểm x  X và một tập A  X là số:
d  x, A   inf d  x, a  : a  A .

tức là cận dƣới đúng của một tập hợp các khoảng cách từ điểm x đến các điểm
thuộc A.
Khoảng cách giữa hai tập con khác rỗng A và B của X đƣợc ký hiệu và định
nghĩa là số:
d  A, B   inf d  a, b  : a  A, b  B .

tức là cận dƣới đúng của các khoảng cách từ các điểm thuộc A đến các điểm thuộc B.

Đƣờng kính của tập A đƣợc ký hiệu và định nghĩa nhƣ sau:
d  A   sup d  a, a ' : a, a '  A .

tức là cận trên đúng của tập các khoảng cách giữa các điểm thuộc A.

3. KHÔNG GIAN CON
Cho không gian mêtric  X , d  và E  X , E   . Với mỗi x, y  E , đặt:

d E  x, y   d  x , y  .
Khi đó d E là một mêtric trên E. d E đƣợc gọi là mêtric cảm sinh trên bởi mêtric d .

5


Không gian mêtric  E , d E  đƣợc gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric

 X ,d .

4. KHÔNG GIAN MÊTRIC TÍCH
Cho hai không gian mêtric  X , d X  , Y , dY  .
Xét X  Y   x, y  : x  X , y  Y  . X  Y là một không gian mêtric với mêtric d đƣợc
xác định nhƣ sau:

d   x1 , y1  ,  x2 , y2    d X2  x1 , x2   dY2  y1 , y2 
với  x1 , y1   X  Y ,  x2 , y2   X  Y .
Không gian mêtric  X  Y , d  đƣợc gọi là không gian tích của các không gian mêtric X
và Y.

5. SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC
Định nghĩa.

Cho không gian mêtric  X , d  . Dãy  xn n  X đƣợc gọi là hội tụ về điểm a  A nếu

lim d  xn , a   0 .
n

Kí hiệu: lim xn  a hay xn  a
n 

x đƣợc gọi là giới hạn của dãy xn .

Ta có

lim xn  a    0, n0  : n  n0 d  xn , a    .
n

6


6. LÂN CẬN, CÁC LOẠI ĐIỂM, TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG
6.1. Lân cận
Cho không gian mêtric  X , d  , x0  X ,   0 .
Tập S  x0 ,     x  X : d  x, x0     đƣợc gọi là hình cầu mở tâm x0 , bán kính  .
Tập S  x0 ,     x  X : d  x, x0     đƣợc gọi là hình cầu mở tâm x0 , bán kính  .
Cho A  X . Tập A đƣợc gọi là một lân cận của điểm x  X nếu:

  0 : S  x0 ,    A

6.2. Các loại điểm
Cho không gian mêtric  X , d  , x  X , A  X .
x đƣợc gọi là điểm trong của tập A nếu   0 : S  x,    A .

x đƣợc gọi là điểm ngoài của tập A nếu   0 : S  x,    X \ A .
x đƣợc gọi là điểm giới hạn của tập A nếu   0 S  x,     A \  x    .

6.3. Tập mở, tập đóng
Cho không gian mêtric  X , d  , G  X .
G đƣợc gọi là tập mở nếu mọi điểm x  G đều là điểm trong của tập G.
Cho G  X . F đƣợc gọi là tập đóng trong  X , d  nếu X \ F là tập mở.
Ví dụ: Trong mọi không gian mêtric, hình cầu mở là tập mở.
7


7. KHÔNG GIAN ĐẦY
7.1. Dãy cơ bản
Cho không gian mêtric  X , d  .
Dãy  xn n  X đƣợc gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu lim d  xn , xm   0 .
n , m

Vậy,  xn n cơ bản    0, N :n, m  N  d  xn , xm    .

7.2. Không gian đầy
Không gian mêtric

 X ,d 

đƣợc gọi là không gian mêtric đầy nếu mọi dãy cơ bản

trong X đều hội tụ về một điểm thuộc X.
Vậy:
X đầy   xn n cơ bản trong X, x  X : lim xn  x .

n 

Tập E  X đƣợc gọi là tập đầy nếu không gian con  E , d E  là không gian đầy.

Định lý
Cho không gian  X , d  và E  X . Khi đó:
a) Nếu E đầy thì E đóng.
b) Nếu E đóng trong X đầy thì E đầy.

8


Định lý
n

Tích X   X i là các không gian mêtric X i là đầy đủ khi và chỉ khi tất cả các không
i 1

gian X i  i  1, 2,..., n  là đầy đủ.

8. ÁNH XẠ LIÊN TỤC
8.1. Ánh xạ liên tục
Định nghĩa
Cho  X , d X  và Y , dY  là hai không gian mêtric và ánh xạ f : X  Y .

f đƣợc gọi là liên tục tại x0 thuộc X nếu với mỗi   0 ,tồn tại   0 sao cho
với mọi x  X mà d X  x, x0    thì dY  f  x  , f  x0     .

f đƣợc gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x thuộc X.

Định nghĩa tƣơng đƣơng
Ánh xạ f : X  Y liên tục tại x0  X khi và chỉ khi với mỗi lân cận SY  f  x0  ,   của

f  x0  trong Y luôn tồn tại một lân cận S X  x0 ,   của x0 trong X:

f  S X  x0 ,     SY  f  x0  ,   .

Định lý
Cho hai không gian mêtric  X , d X  và Y , dY  và ánh xạ f : X  Y .Khi đó:

f liên tục tại x0  X   xn n  X , xn  x0 thì f  xn   f  x0 
9


8.2. Liên tục đều
Định nghĩa
Cho hai không ian mêtric  X , d X  và Y , dY  .
Ánh xạ f : X  Y đƣợc gọi là liên tục đều nếu:
  0,   0 :x, x '  X d X  x, x     dY  f  x  , f  x '     .

9. ÁNH XẠ CO – NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
9.1. Ánh xa co
Cho hai không gian mêtric  X , d X  và Y , dY  .
Ánh xạ P : X  Y đƣợc gọi là ánh xạ co nếu:
   0,1 :x1 , x2  X  dY  P  x1  , P  x2     .d X  x1 , x2  .

x0 đƣợc gọi là điểm bất động qua ánh xạ P nếu P  x0   x0 .

9.2. Nguyên lý điểm bất động
Định lý Banach

Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy X vào chính nó đều có duy nhất
điểm bất động.

10. KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT
10.1. Không gian compact
Cho không gian mêtric  X , d  .
10


  hội tụ

X là compact nếu mọi dãy điểm  xn  trong X đều có một dãy con xnk
về một điểm x  X .

Cho A  X , ta nói A là tập con compact của không gian mêtric  X , d  nếu mọi

  hội tụ về một điểm x  A .

dãy  xn n  A đều chứa một dãy con xnk

10.2. Tập bị chặn và tập hoàn toàn bị chặn
Định nghĩa.
Cho M   X , d  .
M đƣợc gọi là tập bị chặn (giới nội) nếu tồn tại S  x,    M .
M đƣợc gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi số   0 thì M bị phủ bởi hữu
hạn hình cầu bán kính  .
tức là:   0, x1 , x2 ,..., xn  X : M 

n

S  xi ,   .

i 1

10.3. Liên hệ giữa tính compact, hoàn toàn bị chặn và đóng
Định lý Hausdorff
a) Nếu M compact thì M đầy, đóng và hoàn toàn bị chặn.
b) Nếu M đóng và hoàn toàn bị chặn trong X đầy thì M compact.

Định lý
Nếu M đóng trong X compact thì M compact.

11


Định lý
Hợp hữu hạn của các tập compact là một tập compact.
Giao của một họ các tập compact cũng là một tập compact.

Định lý Heine – Borel
Tập M trong X là compact khi và chỉ khi mỗi phủ mở của M đều có một phủ con hữu
hạn.
Tức là:
M

là

compact

G1 , G 2 ,..., G n :

n
i 1



G  , G

mở

và


G  M



Gi  M .

11. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG
Tập E trong không gian mêtric

 X ,d 

là liên thông nếu không tồn tại các tập mở

G1 , G2 sao cho G1  E   , G2  E   , G1  G2  E , G1  G2  E   .
Nếu X là liên thông thì  X , d  gọi là không gian mêtric liên thông.

12

CHƢƠNG 2. KHÔNG GIAN MÊTRIC TRÊN
Trong chƣơng này luận văn đƣa ra một hệ thống các bài tập về không gian
mêtric trên

với mức độ cơ bản. Đầu tiên là các bài toán chứng minh không gian

metric, tiếp theo là mối liên hệ của mêtric với các bài toán về các loại điểm, các loại
không gian đặc biệt…

1. CÁC MÊTRIC TRÊN
Bài 1
Chứng minh rằng tập các số thực R là không gian mêtric với mêtric đƣợc xác định bởi
d  x, y   min 1, x  y  , x, y  R

Giải
* Do x  y  0 , x, y  R nên min 1, x  y   0 .
* Nếu x  y thì min 1, x  y   min 1,0  0
Ngƣợc lại, nếu min 1, x  y   0 thì x  y  0 nên x  y .
Vậy: d  x, y   0  x  y
* d  x, y   min 1, x  y   min 1, y  x   d  y , x 
* Cuối cùng, x, y, z  R , d  x, z   min 1, x  z 

Nếu min 1, x  z   1 . Vì x  z  x  y  y  z nên

13






min 1, x  z   min 1,  x  y  y  z 

 min 1, x  y   min 1, y  z 
Nếu min 1, x  z   x  z thì
min 1, x  z   min 1, x  y   min 1, y  z 

Cả hai trƣờng hợp trên ta đều có d  x, z   d  x, y   d  y, z 
Do đó, d là mêtric trên R hay  R, d  là không gian mêtric.

Bài 2
Cho tập

khác rỗng bất kỳ và d là mêtric xác định trên

d m  x, y   md  x, y  , x, y 
Chứng minh rằng d m cũng là mêtric trên

.

.
Giải

Ta có:
* d m  x, y   md  x, y   0 , x, y 
* d m  x, y   0  md  x, y   0  d  x, y   0  x  y
* d  x, y   d  y , x   d m  x, y   d m  y , x 
* Ta có:

14

. Đặt


d m  x, y   md  x, y 

 m  d  x, z   d  z , y  
 md  x, z   md  z , y 
 d m  x, z   d m  z , y 

Vậy, d m là mêtric trên

x, y, z 

.

Bài 3
Xác định  :



bởi   x, y  



Chứng minh rằng

 , 

x
y

.
1 x 1 y

là không gian mêtric.
Giải

Ta có:
* 0    x, y  

x
y

2
1 x 1 y

*   x, y   0 

*   x, y  

x
y
y

 x  y vì y 
là đơn điệu.
1 x 1 y

1 y

x
y
y
x



   y, x 
1 x 1 y
1 y 1 x

* Ta có:

  x, y  


x
z
z
y



1 x 1 z 1 z 1 y
x
z
z
y




   x, z     z , y 
1 x 1 z 1 z 1 y

15


Vậy,

 , 

là không gian mêtric.

Bài 4
Cho X 

, d  x, y  

y

 f  t  dt , trong đó

f:



là hàm dƣơng và khả tích.

x

Chứng minh rằng



, d  là không gian mêtric.
Giải

* Ta chứng minh d thỏa BĐT tam giác.
z

Giả sử x  z thì d  x, z    f  t dt
x

Nếu x  y  z thì
z

y

z

x

x

y

d  x, z    f  t dt   f  t dt   f  t dt  d  x, y   d  y , z 
Nếu x  z  y thì

d  x, y   d  x, z   d  z, y 
d  x, z   d  x, y   d  x, y   d  y, z 
Nếu y  x  z thì

d  y , z   d  y , x   d  x, z 
d  x, z   d  y , z   d  x , y   d  y , z 
Dễ thấy, d thỏa các tiên đề còn lại của mêtric.
Do đó,



, d  là không gian metric.

16


Bài 5
Xác định d :



Chứng minh rằng

bởi d  x, y   arctanx  arctany .





, d  là không gian mêtric.
Giải

Ta có:
* 0  arctanx  arctany  
* d  x, y   0  arctanx  arctany  x  y
* d  x, y   arctanx  arctany  arctany  arctanx  d  y, x 
* Theo BĐT tam giác của các số thực ta có:

d  x, y   arctanx  arctany
 arctanx  arctanz  arctanz  arctany
 arctanx  arctanz  arctanz  arctany
 d  x, z   d  z , y 
Vậy,



, d  là không gian mêtric.

2. ĐIỂM GIỚI HẠN
Bài 6
Cho

với mêtric thông thƣờng.

Tìm tập hợp các điểm giới hạn của các tập con sau đây của
a)

.

b)

\

.

17

:


c)

.

d) (1,1)  (1,2) .

1

e)  : n   .
n

f) 3  [   , 1.7]  (  (0,1])  17,18,19 .
Giải
Cho tập con A của không gian mêtric X.
Để chứng minh x là điểm giới hạn của tập A ta cần chứng minh:

  0, y  x : y  B ( x)  A .
Để chứng minh x không là điểm giới hạn của tập A ta cần chứng minh:
  0 sao cho B ( x)  A   x .

Trong câu hỏi này, X 

là không gian mêtric thông thƣờng. Do đó,

Để x là điểm giới hạn của tập A thì với bất kỳ   0 ta phải có y  x , sao cho:

y  (x   , x   )  A .
Để chứng minh x không là điểm giới hạn của tập A ta phải tìm một số   0 sao cho

( x   , x   )  A   x .
Theo đó, tập hợp các điểm giới hạn của các tập đã cho là:
a)

.

b)

.

c)

.

d) [-1,2].

18


e) 0 .

f)   , 1.7  0,1 .

Bài 7
Cho ví dụ về tập con vô hạn trong

với các trƣờng hợp sau:

a) Không có điểm giới hạn
b) Có 1 điểm giới hạn
c) Có 2 điểm giới hạn
d) Có 3 điểm giới hạn
Giải
a)

không có điểm giới hạn trong

.

1

b) Tập A   : n   có điểm giới hạn là 0 .
n


 1

c) Tập B  1  : n   có điểm giới hạn là 1 nên tập A  B có 2 điểm giới hạn.
 n

 1


d) Tập C  2  : n   có điểm giới hạn là 2.
 n

Vậy, tập A  B  C có 3 điểm giới hạn.

3. TẬP MỞ - TẬP ĐÓNG
Bài 8
Xác định tính chất mở của các tập con của

trong

19

với mêtric thông thƣờng:


a) S   x 

:1  x  3

b) S   x 

: x  1

c) S 

\

 x 

: x



d)
Giải
a) Ta biết trong không gian mêtric mỗi hình cầu mở là một tập mở.
Ở đây vì S là hình cầu mở trong

với tâm 2 và bán kính 1 nên tập S mở.

b) Cách 1:
S không là tập mở vì điểm 1  S nhƣng không là điểm trong của S.
Ta chứng minh điều này.
Hình cầu mở bất kỳ tâm 1 và bán kính r  0 sẽ chứa điểm 1   , trong đó

 r
 2

  min 1,  . Vì điểm này không thuộc S nên 1 không là điểm trong của tập S.

Cách 2:
Phần bù của tập S là tập  1,1 . Do  1,1 là một hình cầu mở tâm 0 và bán kính 1 nên

 1,1 là một tập mở trong
Vì

. Vậy, S là tập đóng.

không gian liên thông nên chỉ có hai tập vừa mở và đóng là  và

không mở.

20

. Do đó, S