đa tạp và tính chất tôpô của đa tạp trong không gian euclide

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

Đề tài:

ĐA TẠP VÀ TÍNH CHẤT TÔPÔ
CỦA ĐA TẠP TRONG KHÔNG
GIAN EUCLIDE
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: Sư phạm Toán

Giáo viên hướng dẫn:
PGS.TS. Lâm Quốc Anh

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Khánh Duy
Lớp: Sp Toán K37
MSSV: 1110016

Cần Thơ, 2015


MỤC LỤC
A- PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………………4
B- PHẦN NỘI DUNG
Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Kiến thức cơ sở………………………………………………………….….…7
1.2.Không gian tôpô …………………………………………………..…………..7
1.3. Không gian HAUDORFF…………………………………………..………....8
1.4. Ánh xạ liên tục, đồng phôi……………………………………...……………..9

Chương II: ĐA TẠP TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE
2.1 Đa tạp khả vi………………………………………………..………………....10
2.2 Tham số hóa được nhúng…………………………………………………..….18
2.3. Đường cong…………………………………………………………..………18
2.4. Mặt cong…………………………………………………..………………….21
2.5. Bản đồ và tập bản đồ………………………………………………….……...22
2.6. Một số ví dụ…………………………………………………………..………24
Chương III: ÁNH XẠ TRƠN
3.1. Ánh xạ trơn trong không gian Euclide…………………………………….….32
3.2. Đa tạp trừu tượng…………………………………………………………..…33
3.3. Ánh xạ trơn giữa các Đa tạp trừu tượng…………………………..………….34
3.4. Nhóm Lie………………………………………………………..……………37
Chương IV: KHÔNG GIAN TIÊP XÚC
4.1. Định nghĩa…………………………………………………………...………..40
4.2.Không gian tiếp xúc của Đa tạp trong R n ……………………...……………..40
4.3.Không gian tiếp xác trừu tượng………………………………………...…..….41
4.4. Phân thớ tiếp xúc……………………………………………………………...43
4.5. Trường vector…………………………………………………………………44
4.6. Sự định hướng………………………………………………...………………44
4.7. Ánh xạ tiếp xúc………………………………………………………………..48
4.8. Đa tạp con trong R k ………………………………………………….………49

2


4.9. Đa tạp con trừu tượng...…………………………………………….……….49
C- PHẦN KẾT LUẬN...……………………………………………….……….50
D- TÀI LIỆU THAM KHẢO...………………………………………………...51

3

LỜI CẢM ƠN


Được làm luận văn tốt nghiệp để hoàn thành khóa học là niềm vinh hạnh đối
với một sinh viên, càng vinh hạnh hơn khi em được làm luận văn với sự hướng dẫn
tận tình của Thầy Lâm Quốc Anh. Sau một thời gian nổ lực làm việc cuối cùng em
cũng đã hoàn thành luận văn.
Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là
Thầy Lâm Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn và động viên em để hoàn thành đề tài
luận văn này. Và em cũng xin gởi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng không thể tránh khỏi những khuyết điểm.
Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô và các bạn.
Cuối cùng em xin cảm ơn tất cả mọi người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để
em thực hiện luận văn cuối khóa.
Sinh viên thực hiện

4


A- PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua các nhóm phép
biến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạp. Đây
là sự khái quát hóa nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong không gian Euclide
3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứng dụng trong các
lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình học đại số, Cơ học
cổ điển….Nhờ sự gợi ý của Thầy Lâm Quốc Anh nên em đã chọn đề tài “ Đa tạp và

tính chất tôpô của đa tạp trong không gian Euclide”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Luận văn tìm hiểu về khái niệm đa tạp trong không gian Euclide R n , các tính
chất tôpô của đa tạp và giải một số ví dụ điển hình. Ngoài ra còn giúp em có cơ hội
củng cố lại kiến thức về Hình học, Đại số, đặc biệt là kiến thức tôpô và giúp em làm
quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của Toán học.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thảnh luận văn là phân
tích, tổng hợp, so sánh. Tìm kiếm các tài liệu về Giải tích trên ta đạp. Sau đó phân
tích trình bày rõ ràng hợp lý các vấn đề.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Luận văn gồm các phần sau:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về không gian tôpô để
làm nên cho các chương sau.
Chương II: Đa tạp trong không gian Euclide
Chương này trình bày khái niệm và định lý về đa tạp. Các vấn đề liền quan
như: Tham số hóa được nhúng, Đường cong, Mặt cong, Bản đồ và tập bản đồ. Đưa
ra các dạng bài tập và hướng dẫn cụ thể.
Chương III: Ánh xạ trơn
Chương này trình bày khái niệm về ánh xạ trơn, Đa tạp trừu tượng. Ứng dụng
của ánh xạ trơn đối với đa tạp. Giới thiệu sơ lược về nhóm đại số Lie.

5


Chương IV: Không gian tiếp xúc
Chương này trình bày về khái niệm của không gian tiếp xúc của đa tạp trong
không gian Euclide cũng như đa tạp trừu tượng. Giới thiệu về phân thớ tiếp xúc,
trường vector, sự định hướng và đa tạp con.

6


B- PHẦN NỘI DUNG
Chương I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.1 Định nghĩa Không gian mêtric là một cặp ( X , d ) trong đó X là một tập hợp,

d : X  X  R là một hàm xác định trên X  X thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với x, y  X : d ( x, y)  0; d ( x, y)  0  x  y (tiên đề đồng nhất).
2) Với x, y  X : d ( x, y)  0; d ( x, y)  d ( y, x) (tiên đề đối xứng).
3) Với x, y, z  X : d ( x,z)  d ( x, y)  d ( y,z) (tiên đề tam giác).
Hàm d được gọi là mêtric trên X. Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không
gian X, số d(x,y) được gọi là khoảng cách của hai điểm x và y.
1.1.2 Định nghĩa Giả sử M là một tập hợp con của không gian mêtric (X,d). Khi
đó d M  d M .M là một mêtric trên tập hợp M. Không gian mêtric ( M , d M ) được gọi là
không gian con của không gian mêtric (X,d) ta gọi d M là mêtric cảm sinh bởi mêtric d
trên M.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử (X,d) là một không gian mêtric x0  X và r là một số
dương. Tập hợp S  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r được gọi là hình cầu mở tâm x0 bán
kính r.
Giả sử A là một tập con không gian mêtric (X,d). Điểm x0 của X được gọi là
điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một tập cầu mở S ( x0 , r )  A . Tập tất cả các
điểm trong của tập A được gọi là phần trong của A. Ký hiệu A0 .
Tập con A  ( X , d ) được gọi là tập đóng nếu phần bù của A trong X (tập X\A)
là một tập mở.
1.2 KHÔNG GIAN TÔPÔ

1.2.1 Định nghĩa Một không gian tôpô là một tập không rỗng X được trong bị
một họ các tập con, được gọi là tập mở, với những tính chất sau:
1) Tập Ø và X đều là tập mở.
7


2) Giao của một họ hữu hạn các tập mở là tập mở.
3) Hợp của một họ tùy ý (hữu hạn hay vô hạn) các tập mở là tập mở.
1.2.2 Định nghĩa Lân cận của một điểm x  X là một tập con U  X với tính chất
là nó chứa một tập mở chứa x. Phần trong của một tập A, kí hiệu là A , là tập tất cả
các điểm x  A sao cho A là lân cận của x.
Nghĩa là, hợp của tất cả các tập con mở của A, phần trong của A là chính nó vì
nó là mở.
1.2.3 Định nghĩa Cho tập con A  X . Nó được gọi là đóng nếu phần bù Ac của
nó là mở trong X. Bao đóng của A, kí hiệu là A , là tập tất cả các điểm x  X sao
cho mỗi lân cận chứa những điểm từ A (hay mỗi lân cận đều có giao với A khác rỗng)
và biên của A là tập A \ A , mà nó chứa tất cả các điểm có tính chất là mỗi lân cận
của mỗi điểm đều có giao với A và Ac.
1.2.4 Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian tôpô và f : X  Y là một ánh
xạ. Khi đó, f được gọi là liên tục tại x  X nếu với mỗi lân cận V của f(x) trong Y
đều tồn tại một lân cận U của x trong X sao cho f (U )  V , và f được gọi là liên
tục nếu nó liên tục tại mọi x  X .
1.2.5 Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian tôpô, A  X và B  Y . Ánh xạ

f : A  B là song ánh và có ánh xạ ngược liên tục được gọi là một phép đồng phôi.
1.2.6 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,  và A là một tập con của X . Khi
đó họ  A  G  A G   là một tôpô trên A , gọi là tôpô cảm sinh bởi  trên A.
Không gian A với tôpô cảm sinh  A gọi là không gian con của không gian tôpô X .
1.3 KHÔNG GIAN HAUSDORFF
1.3.1 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff nếu hai

điểm x,y khác nhau bất kỳ của X luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao
cho U  V   .
Tính chất
Giả sử A là một tập con mở tùy ý của không gian Hausdorff. Khi đó A với
tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X là một không gian Hausdorff.

8


1.4 ÁNH XẠ LIÊN TỤC, ĐỒNG PHÔI
1.4.1 Định nghĩa Cho hai không gian tôpô X, Y và ánh xạ f : X  Y , khi đó:
1) Ánh xạ f liên tục tại điểm x  X nếu mọi lân cận mở V của f ( x) trong Y
luôn tồn tại lân cận mở U của x sao cho f (U )  V .
2) Ánh xạ f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X .
Tính chất
1) Cho f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Khi đó f liên
tục trên X khi và chỉ khi tạo ảnh của mọi tập đóng (hoặc mở) trong Y là tập đóng
(hoặc mở) trong X.
2) Ánh xạ hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục.
3) Ảnh của một tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục là một tập
compact (hoặc liên thông).
Mệnh đề
Cho không gian tôpô X thỏa X 

n

X i với X i là những tập con đóng của X
i 1

và các ánh xạ liên tục fi : X i 0  Y (i  1, n) sao cho với mọi i, j  1, n , X i  X j  

thì fi

xi  x j

 fj

xi  x j

. Khi đó ánh xạ f : X  Y xác định bởi f

xi

 fi (i  1, n) là ánh

xạ liên tục.
1.4.2 Đồng phôi
Cho f là song ánh từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Nếu f , f 1
đều liên tục thì ta nới f là một phép đồng phôi từ không gian tôpô X vào không gian
tôpô Y.
Hai tôpô X và Y được gọi là đồng phôi ( X  Y ) nếu tồn tại một phép đồng
phôi giữa chúng.
Quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương.

9


Chương II
ĐA TẠP TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE
2.1. ĐA TẠP KHẢ VI
2.1.1 Định nghĩa Một tập con M trong R n được gọi là một đa tạp k  chiều

(trong R n ) nếu với mỗi x  M điều kiện sau đây được nghiệm đúng.

( M ) Tồn tại một tập mở U chứa x , một tập mở V  R n và một vi phôi
h : U  V sao cho:

h(U  M )  V   R k  0  x V : xk 1  ...  xn  0.
Nói cách khác U  M sai khác một vi phôi là phần tử của không gian R k  0.
Ví dụ: Một điểm trong R n là đa tạp 0-chiều.
Thật vậy
Giả sử M   A  a1 ,..., an  là tập hợp gồm một điểm A trong không gian R n .
n

Khi đó tồn tại một tập mở U   (a1   , a   ) chứa A , một tập mở
i 1

n

V   ( ,  )  R n và tồn tại một vi phôi h : U  V xác định bởi công thức
i 1

h( x1,..., xn )  ( x1  a1,..., xn  an ) thỏa h(U M)  h( A)  h(a1,..., an )  0.
Định lý 2.1.1
n

Giả sử A là một tập mở trong R và g : A  R n là một hàm khả vi sao cho

g '( x) có hạng p đối với mọi điểm x mà tại đó g ( x)  0 . Khi đó g 1 (0) là một đa
n
tạp (n  p)  chiều trong R .

Chứng minh
1
Gọi M  g 1 (0) . Ta thấy h là ánh xạ ngược của h được xách định và đóng

vai trò là hàm h trong điều kiện ( M ) . Khi đó:
 U là tập mở trong R nên h(U ) là tập mở trong R chứa x .
n

n

10


 h 1 khả vi và có hàm ngược  h 1   h khả vi.
1

h 1 : h(U )  U
h 1 (h(U )  M )  h 1 (h(U ))  h 1 ( M )  U  h 1 ( g 1 (0))  h 1 g 1 (0)

Ta lại có g h( x1 ,..., xn )  ( xn p1,..., xn ).
Suy ra h1 g 1 (0)  ( x1 ,..., x n p ,0,...,0).





Do đó h1 (h(U )  M )  U  ( R n p  {0})  x U : xn p1  ...  xn  0 .
n
Vậy M  g 1 (0) là một đa tập (n  p)  chiều trong R .





4
Ví dụ: Tập S  S 1  S 2  x  R 4 x12  x22  x32  x42  1 là đa tạp 2-chiều trong R .

.Thật vậy

 x12  x22  1
Ta đặt f ( x1 , x2 , x3 , x4 )   2

2
 x3  x4  1
 2 x 2 x2
Khi đó Df ( x)   1
0
 0

0
2 x3

0 
2 x4 

Dễ thấy rằng ma trận này có hạng bằng 2 với mọi x  S .
Bổ đề 2.1.1 Các không gian D n ,Sn , R n đồng phôi với nhau, trong đó

Sn 

 x ,..., x , x
1

n

n 1

  Rn1



x  1, xn1  0 .

Chứng minh
n

n

n

Ta sẽ chứng minh D đồng phôi với S n và D đồng phôi với R bằng cách
chỉ ra các phép đồng phôi giữa chứng. Xét ánh xạ:

f1 : D n  Sn

 x1 ,..., xn1 

 x ,..., x ,
1

n

1   x12  ...  xn2 



f 2 : Sn  D n

 x1 ,..., xn1 

 x1 ,..., xn 

Dễ dàng chứng minh f1 , f 2 là các ánh xạ liên tục.
Mặt khác, với điểm x  x1 ,...., xn  tùy ý thuộc vào D ta có
n

11




f 2 f1 ( x)  f 2 x1 ,...., xn , 1  ( x12  ..., xn2 )

  x.

Suy ra f 2 f1  id Dn .
Với điểm y  y1 ,...., yn  tùy ý thuộc vào S n ta có y12  ...  yn2  yn21  1.

 yn1  0.

Suy ra yn1  1  ( y12  ...  yn2 ) ,





2
2
Ta có f1 f 2 ( y)  f1   y1 ,..., y n    y1 ,..., yn , 1  y1  ...  yn

   y.

Suy ra f1 f 2  id S n .


n

Suy ra f1 là phép đồng phôi từ D vào S n
Vậy D n  Sn
Xét ánh xạ
g1 : D n  R n
u
1 u

u

g2 : Rn  Dn
v
1 v

v

Dễ thấy g1 , g 2 là các ánh xạ liên tục.
n
Mặt khác, với mọi điểm u  D ta có,

g2

u
 u 
1 u
g1 (u )  g 2 
u
 
u
1

u

 1
1 u

 g 2 g1  id Dn .
n
Với mọi điểm v  R ta có,

12


g1

v
 v 
1 v
g 2 (u )  g1 
v
 
1 v  1 v
1 v

 g1 g 2  id Rn .
n

n
Từ đó suy ra g1 là phép đồng phôi từ D vào R .

Vậy Dn  R n .
Từ các chứng minh trên và từ tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương
đương ta được Dn  Sn  R n .
Định lý 2.1.2
Nếu M là m-đa tạp và N là n-đa tạp thì M  N là (m+n)-đa tạp.
Chứng minh

M , N là các đa tạp nên chúng là các không gian Hausdorff, suy ra tích M  N
là không gian Hausdorff.
Xét điểm ( x, y ) tùy ý thuôc M  N .
Do M là m-đa tạp nên tồn tại lân cận mở U x của điểm x (thuộc M ) đồng
m
phôi với D .

Do N là n-đa tạp nên tồn tại lân cận mở U y của điểm x (thuộc N ) đồng phôi
n
với D .

Ta được một lân cận mở của điểm ( x, y ) là U x  U y (  M  N ) đồng phôi với

Dm  Dn .
m
n
m
n
m n
m n
Theo bổ đề trên ta có D  D  R  R  R  D .

Vậy M  N là (m  n)  đa tạp.
Ví dụ: Mặt cầu n  chiều S n 

 x ,...., x , x
1

n  đa tạp.
Chứng minh
n
Dễ thấy S là không gian Hausdorff.

13

n

n 1

  Rn



x12  ...  xn2  xn21  1 là


Xét điểm x0  0,...,0,1  S n , ta có S n là một lân cận mở của x0 . Theo bổ đề
trên, Sn  D n .
n
Xét điểm x  S , khi đó tồn tại một phép quay tâm O là Q0 sao cho Q0 ( x)  x0

. Hiển nhiên Q0 là phép đồng phôi từ S n lên chính nó. Suy ra điểm x có một lân cận
mở là Q0 (Sn )  Sn  Dn .
n
Vậy S là n-đa tạp.

Định lý 2.1.3
Nếu M là n-đa tạp thì mọi tập con mở của M cũng là n-đa tạp.
Chứng minh
Giả sử A là một tập con tùy ý của M  tập A với tôpô cảm sinh bởi tôpô
trên M là một không giang Hausdorff.
Do A là tập con mở của M nên với điểm x bất kì thuộc A luôn tồn tại lân cận
U r1 (bán kính r1 ) nằm trong A .

Mặt khác, M là n-đa tạp nên điểm x có một lân cận U r2 (bán kính r2 ) đồng
n

phôi với D . Chọn số nguyên dương N đủ lớn sao cho r 

r2
 r1 , khi đó U r cùng
N

n

là lân cận mở của x đồng phôi vói D nằm trong A . Suy ra A là n-đa tạp.
Định lý 2.1.4
n

Đối với mỗi điểm x của đa tạp k-chiều M trong R , “ điều kiện tọa độ” sau
đây được nghiệm đúng.

M 


k
tồn tại một tập mở U chứa x , một tập mở W  R và hàm 1-1 khả vi

f : W  R n sao cho

1. f (W )  M  U .
2. f '(y) có hạng k với mọi y W .
Khi đó f được gọi là hệ tọa độ trong lân cận của x .
Chứng minh
Xét ánh xạ khả vi h : U  V thỏa điều kiện  M  tức là

14

h(U  M )  V   R k  {0}  x V : xk 1  ...  x n  0





Đặt W  a  R k : (a;0)  h(M ) khi đó W là một tập mở.
Xét tương ứng
f : W  Rn
a

f (a)  h 1 (a,0)

1
Dễ thấy f là ánh xạ 1-1 khả vi (vì h khả vi).

Ta chứng minh f (W )  M  U . Thật vậy:
Lấy x  f (W ) khi đó tồn tại a W sai cho x  f (a)  h1 (a,0)
Vì h1 (a,0) U nên x U .
Mặt khác vì a W nên (a,0)  h(M )  h1 (a,0)  M hay x  M .
Từ đó suy ra x  M  U  f (W )  M U.
Lấy x  M U khi đó h( x)  (a,0) , a  Rk ,(a,0)  h( M ).
Do đó x  h1 (a,0) , a  R k ,(a,0)  h(M ).
Vậy x  f (W )  f (W )  M U .
Vậy f (W )  M  U .Ta xét ánh xạ

H : U  Rk
y

H ( y )   h1 ( y ),...., hk ( y )  .





Khi đó y W  H  f ( y)   H  h 1 ( y,0)   h1  h 1 ( y,0)  ,..., hk  h 1 ( y,0)   y.

  H  f ( y)   '  I  H '  f ( y)  f '( y)  I .
Vì I là ma trận đơn vị cấp k nên f '( y) có hạng là k với mọi y W .





2.1.2 Định nghĩa Tập H k  x  R k : xk  0 được gọi là nửa không gian của

R k . Tập M  Rk được gọi là một đa tạp k -chiều có biên nếu với mỗi điểm x  M
điều kiện ( M ) hoặc điều kiện ( M ') sau đây được nghiệm đúng.

( M ') Tồn tại một tập mở U chứa x , một tập mở V  R n và một vi phôi
h : U  V sao cho:

15


h(U  M )  V ( H k  {0})  x V : xk  0, xk 1  ...  x n  0

Tập hợp các điểm x  M thỏa điều kiện (M ') được gọi là biên của đa tạp M và được

ký hiệu là M .
Định lý 2.1.5
n

Giả sử A là một tập mở trong R . Khi đó:
1) A là một đa tạp n -chiều;
2) Biên của A, FrA là một đa tạp n 1-chiều;
3) Tập hợp N AFrA là một đa tạp n -chiều có biên.
Ta cũng có khẳng định tương tự cho một tập con mở của đa tạp n -chiều.
Chứng minh
1) Vì A là một tập mở trong Rn nên với mỗi xA tồn tại A là tập mở chứa x, A 

Rn  và ánh xạ đồng nhất id A : A  A là một vi phôi thỏa:
id A ( A  A)  A  A   R n  0 .
Vậy A là một đa tạp n -chiều.
2) Với mỗi xFrA tồn tại U mở chứa x .
Theo chứng minh trên U là một đa tạp n -chiều nên tồn tại V mở, V  R và
n



vi phôi h : U  V thỏa h(U  U )  V  R n  0



Xét ánh xạ h : U  V xác định như sau


h( x) , x  U \ FrA


h( x )  
h1 ( x),..., h n1 ( x),0 , x  FrA







Ta có h là một vi phôi vì h là một vi phôi.
Hơn nữa ta có h(U  FrA)  V  ( R n1  {0})
n
Vậy với mỗi xFrA tồn tại U mở chứa x, V mở, V  R và vi phôi

h :U V thỏa h(U  FrA)  V  ( R n1  {0}) nên FrA là một đa tạp n 1-chiều.
3) Ta xét ánh xạ k : U  V xác định như sau:

16


1

h( x), ( x U  N )  ( x U  FrA)  ( x  h (V1 )  U1 )
k ( x)  
 h1 ( x),..., hn1 ( x),0 



Khi đó ta có
k khả vi do h khả vi.



k (U  N )  k (U  ( A  FrA))  k ((U  A)  (U  FrA))
 k ((U  FrA)  (A (U \ U1  U1 ))



 k ((U  FrA)  (A U \ U1 )  (A U1 ))
 k (U  FrA)  k (A U \ U1 )  k (A U1 )

Từ sự xác định của ánh xạ k và đẳng thức trên ta có

k (U  N )  x V : xn  0
Bây giờ ta chứng minh iii như sau: Vì xN nên xA hoặc xFrA.
Nếu xA thì x thỏa điều kiện M.
Nếu xFrA thì x thỏa điều kiện M'.
Vì AFrA    (do A mở) nên tại mỗi điểm xN không thể đồng thời thỏa mãn cả
hai điều kiện Mvà M'. Vậy N AFrA là một đa tạp n -chiều có biên.
n

Tương tự trong trường hợp B là tập con mở của đa tạp A n -chiều trong R .
Vì B A nên FrB AA.
Nếu xB suy ra xA do đó x thỏa điều kiện M.
Nếu xFrB , nếu xA thì x thỏa điều kiện M, nếu xA thì x thỏa điều kiện
M'.
Ta thấy rằng tại mỗi điểm xBFrB không thể đồng thời thỏa mãn cả hai điều kiện
Mvà M'. Vậy BFrB là một đa tạp n -chiều có biên.
Định lý 2.1.6
Đối với mỗi điểm x của đa tạp k -chiều M  R

n

tồn tại một tâp mở A  R và một

nk
ánh xạ g : A  R
sao cho:

1) A  M  g 1 (0).
2) g'xcó hạng n k tại khắp các điểm mà gx0 .

17

n


Chứng minh
1) Ta chọn A là tập mở U trong định nghĩa của đa tạp.
Ta xét ánh xạ g : A  R nk xác định bởi công thức g ( x)   hk 1 ( x),..., hn ( x)  .
Trong đó h là ánh xạ thỏa mãn điều kiện Mtrong định nghĩa của đa tạp.
Khi đó g khả vi vì h khả vi.
Ta có g 1 (0)  x  A : g ( x)  0  x  A : hk 1 ( x)  ...  hn ( x)  0 .
Mặt khác h( A  M )  x V : xk 1  ...  xn  0 
Do đó
xg 1 0ta có hxV ; hk 1 ( x)  ...  hn ( x)  0 Suy ra xAM .
xAM ta có xA và hk 1 ( x)  ...  hn ( x)  0 . Suy ra x g 1 (0) .
Vậy AM  g 1 (0)
2) Từ sự xác định của g ta thấy g chẳng qua là thu hẹp của h trên tập ảnh nên





với mọi x mà gx0 thì h1 ( g ( x))  x . Suy ra h1  g ( x)  ' g '( x)  I . Vậy g'xcó
hạng n k tại khắp các điểm mà gx0.
2.2 THAM SỐ HÓA ĐƯỢC NHÚNG
n
2.2.1 Định nghĩa Một đa tạp tham số hóa chính quy  : U  R mà nó là

một phép đồng phôi U   (U ) được gọi là tham số hóa được nhúng.
Đặc biệt, định nghĩa này dùng cho đường cong và mặt cong, vì thế chúng ta có
thể nói về đường cong tham số hóa được nhúng và mặt cong tham số hóa được nhúng.
Bổ sung tính trơn và chính quy, vì thế điều kiện trên  là đơn ánh và ánh xạ
ngược  ( x)  x là liên tục  (U )  U . Vì điều kiện liên tục là quan trọng cho phần
sau nên chúng ta sẽ xét tỉ mỉ về nó.
2.2.2 Định nghĩa Cho A  R . Một tập B  A được gọi là mở tương đối nếu nó
n

n
có dạng B  A W với một vài tập mở W  R .

2.3 ĐƯỜNG CONG

18


Chúng ta bắt đầu với định nghĩa của đường cong trong R 2 . Ý tưởng đó là một
tập con của R 2 là một đường cong nếu trong lân cận của mỗi điểm của nó thì nó là
ảnh của một đường cong tham số hóa được nhúng.

W
C

p

 (I )  C W

2
2.3.1 Định nghĩa Một đường cong trong R 2 là một tập không rỗng C  R thỏa

2
mãn điều kiện sau với mỗi p  C . Tồn tại một lân cận mở W  R của p, một tập

mở I  R, một đường cong tham số hóa được nhúng  :I  R 2 với ảnh

 (I )  C W .
Ví dụ: Ảnh C   ( I ) của một đường cong tham số hóa được nhúng là một đường
cong. Chúng ta có thể lấy W  R 2 .
Ví dụ: Đường tròn C  S 1 

 x, y  x

2



 y 2  1 là một đường cong.

Chứng minh

Để đơn giản chúng ta giả sử rằng p  ( x0 , y0 ) với x0 >0.
Đặt W  R 2 là nửa mặt phẳng bên phải  x, y  x  0 . Khi đó, W là lân cận mở của
  
p, và đường cong tham số hóa  (t )  (cos t , sin t ) , với t  I    ;  là chính quy
 2 2

và thỏa mãn (1.2) nó là một đường cong được nhúng, ánh xạ ngược  (t )  t được
 y
cho bởi ( x, y )  tan 1   là liên tục.
x

19


W
C

p

 (I )  C W

Bổ đề 2.3.1 Cho C là một tập không rỗng. Khi đó, C là một đường cong nếu và chỉ
nếu nó thỏa mãn điều kiện sau với mỗi p  C .
Tồn tại lân cận mở W  R 2 của p sao cho C  W là đồ thị của hàm trơn h, trong
đó một trong hai biến x1, x2 được xét như hàm của biến còn lại.
Chứng minh:
Giả sử rằng C là một đường cong và lấy p  C . Đặt  : I  R 2 là một tham số hóa
được nhúng và  (t0 )  p . Trong trường hợp đặc biệt m=1, chúng ta thấy rằng tồn tại
một lân cận V của t0 trong I sao cho 

V

cho phép một sự tham số hóa như là đồ thị.

Suy ra rằng tồn tại một tập mở W '  R 2 sao cho :

 (V )   ( I )  W '  C  W  W '.
Tập W  W ' có tất cả các tính chất mong muốn của W trong bổ đề.
Ngược lại, giả sử rằng điều kiện trong bổ đề được thỏa mãn, với điểm p cho trước
với C  W   t , h(t )  t  I .

cùng

Trong đó I  R là mở và h : I  R là trơn. Đường cong t  (t , h(t )) có ảnh
C  W vậy nên nó là một đường cong tham số hóa được nhúng. Vậy C là đường

cong.
Định lí 2.3.1
Cho f :   R là một hàm trơn, trong đó   R 2 là mở và c  R . Nếu
không rỗng thì tập C   p  f ( p)  c , (p không là điểm tới hạn) là đường cong
20


trong R 2 .
Chứng minh
Theo tính liên tục của các đạo hàm riêng, thì tập các điểm không tới hạn trong
 là tập con mở. Nếu chúng ta thay thế  bởi tập này thì tập C có thể được biểu

diễn như tập mức  p  Q f ( p)  c , chúng ta có thể áp dụng định lí hàm ẩn cho nó.
Khi đó, từ bổ đề suy ra rằng C là đường cong.

Ví dụ Tập C 

 x, y  x

2



 y 2  c là đường cong trong R 2 với mỗi c > 0, vì nó

chứa những điểm không tới hạn của hàm f ( x, y)  x 2  y 2 .
Ví dụ Cho C 
trong.

 x, y  x

4



 x 2  y 2 . Dễ thấy rằng đây chính xác là ảnh  (I )

Điểm (0,0) là điểm tới hạn duy nhất trong C của hàm

f ( x, y)  x 4  x 2  y 2 vậy suy ra rằng C\{(0,0)} là đường cong trong R 2 .
2.4 MẶT CONG
Chúng ta tiến hành cách làm tương tự như cho đường cong.
3
2.4.1 Định nghĩa Một mặt cong trong R 3 là một tập không rỗng S  R thỏa

mãn điều kiện sau với mỗi p  S .
3
Tồn tại một lân cận mở W  R của p, một mặt cong tham số hóa được nhúng

 :U  R3 với ảnh  (U )  S  W .

W
S

 (U )  S  W

21


Ví dụ Ảnh S   (I ) của một mặt cong tham số hóa được nhúng là một mặt
3
cong trong R 3 . Chúng ta có thể lấy W  R .

Định lí 2.4.1
Cho f :   R là một hàm trơn, trong đó   R3 là mở và c  R . Nếu
không rỗng thì tập S   p  f ( p)  v , p không là điểm tới hạn,là mặt cong trong
R3 .

Ví dụ Mặt cầu thỏa mãn định lí trên vì nó chứa những điểm không tới hạn của
hàm f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 . Các đạo hàm riêng là f x'  2 x , f y'  2 y , f z'  2 z , và
chúng đồng thời triệt tiêu chỉ tại điểm (0,0,0). Điểm này không thuộc mặt cầu, vì vậy
nó là một mặt cong.
Bổ đề 2.4.1 Cho S là một tập không rỗng. Khi đó, S là một mặt cong nếu và chỉ nếu
nó thỏa mãn điều kiện sau với mỗi p  S .
3

Tồn tại lân cận mở W  R của p sao cho S  W là đồ thị của hàm trơn h, trong

đó một trong ba biến x1, x2, x3 được xét như hàm của hai biến còn lại.
2.5 BẢN ĐỒ VÀ TẬP BẢN DỒ
2.5.1 Định nghĩa Cho S là một mặt cong trong R 3 . Một bản đồ trên S là một
mặt cong tham số hóa chính quy đơn ánh  :U  R3 với ảnh  (U )  S. Một họ bản

 i (U i ) . Trong trường hợp này

đồ  i : U i  R3 trên S được gọi là phủ S nếu S 
i

họ bản đồ được gọi là tập bản đồ của S.
Ví dụ Ánh xạ  (u, v)  (cos v,sin v, u), u, v  R là chính quy và phủ mặt trụ





S  ( x, y, z ) x 2  y 2  1 nhưng nó không là đơn ánh.

Đặt U1  (u, v)   v    , U 2  (u, v) 0  v  2 
Và đặt  i là hạn chế của  lên Ui với i = 1,2. Khi đó,  1 và  2 đều là đơn ánh,  1
phủ S ngoại trừ đường thẳng x = -1, và  2 phủ S ngoại trừ đường thẳng x = 1. Hợp
chúng lại bao phủ toàn bộ S và vì thế chúng tạo thành một tập bản đồ.

22


Ví dụ Ánh xạ tọa độ cầu

 (u, v)  (cos u cos v,cos u sin v,sin u )


 u  ,   v  
2

2

Là bản đồ trên mặt cầu đơn vị. Sự hạn chế trên u và v đảm bảo rằng chúng là chính
quy và đơn ánh. Bản đồ  phủ mặt cầu ngoại trừ một nửa đường tròn trong mặt
~ phủ mặt cầu ngoại trừ một nửa đường tròn trong
phẳng xz, với x  0 , và bản đồ 

mặt phẳng xy, với x  0 (một nửa đường xích đạo). Xem hình bên dưới hai đường
tròn bị loại trừ là rời nhau. Vì vậy hai bản đồ cùng nhau phủ mặt cầu và chúng tạo
thành một tập bản đồ.

Định lí 2.5.1
Cho S là một mặt cong. Khi đó, tồn tại tập bản đồ của nó.
Chứng minh

23


Với mỗi p  S chúng ta chọn một mặt cong tham số hóa được nhúng  . Vì
phép đồng phôi là đơn ánh nên tham số hóa này là bản đồ trên S. Hợp của tất cả các
bản đồ này là tập bản đồ.
2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ
Bài 1: Trong R3 ta định nghĩa: S2 =

 x, y, z   R

3



: x 2  y 2  z2  1

Chỉ ra các bản đồ, hai bản đồ phù hợp và cấu trúc khả vi trên S2.
Giải:
Trên S2 ta xét:


=  y, z   R



2
U1 = A  x, y, z   S : x  0 ,

U1*

2



: y 2  z2  1

1 : U1  U1*

 x , y, z 





 y, z 

*
2
U2 = B  x, y, z   S : y  0 , U2 =

 x, z   R

2



: x 2  z2  1

2 : U2  U2*

 x , y, z 

U3

 x, z 
*
= C  x, y, z   S 2 : z  0 , U3 =  x, y   R 2 : x 2  y 2  1

3 : U3  U3*

 x , y, z 

U4

 x, y 
*
= D  x, y, z   S 2 : x  0 , U4 =  y, z   R 2 : y 2  z2  1
4 : U4  U4*

 x , y, z 

U5

 y, z 
*
= E  x, y, z   S 2 : y  0 , U5 =  x, z   R 2 : x 2  z2  1
5 : U5  U5*

 x , y, z 

U6

 x, z 
*
= C  x, y, z   S 2 : z  0 , U6 =  x, y   R 2 : x 2  y 2  1
6 : U6  U6*

 x , y, z 

Chứng minh U1 ,1  là bản đồ.
24

 x, y 


+ Chứng minh 1 là đơn ánh.
Giả sử A

1





 

1  y12  z12 , y1 , z1 , B

 

1  y12  z12 , y1 , z1  1



1  y22  z22 , y2 , z2  U1 sao cho 1  A   1  B 



 y  y2
1  y22  z22 , y2 , z2   1
do đó A = B
z

z
1 2

Suy ra 1 đơn ánh
+Chứng minh 1 là toàn ánh.
*
Với bất kì Y=(y,z)  U1 . Lấy X





1  y 2  z2 , y, z  U1 . Khi đó 1  X   Y .

Suy ra 1 là toàn ánh.
+ Chứng minh 1 liên tục.

1 : U1  U1*

 x , y, z 

1 là phép chiếu từ S2 lên mặt phẳng toạ độ nên nó liên tục.

 y, z 

+) Chứng minh 1 liên tục.
1

11 : U1*  U1

 y, z 



1  y  z , y, z
2

2



11 là liên tục vì các hàm thành phần toạ độ liên

tục.
Vậy U1 ,1  là bản đồ. Hoàn toàn tương tự ta có

U ,  i  1,2,3,4,5,6 là các
i

i

bản đồ trên S2.





1  y 2  z2 , y



Bây giờ ta chứng minh với i,j bất kỳ mà Ui  U j   thì Ui ,i  và U j , j là phù
hợp. Thật vậy, ta có W=U1  U3 

 x, y, z   S

2

 y, z  y  z  1, y  0
W =  W    x, z  x  z  1, x  0

W1 =1  W  

2

2

2

3



x  0, y  0

2

3

Xét ánh xạ 13  3 1 : W1  W3
1

A  y, z 



A'



 3 .11  y, z   3 11  y, z   3



 

1  y 2  z2 , y, z 

25