một số vấn đề về đa tạp khả vi và không gian phân thớ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

Đề tài

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI
VÀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ
Luận văn Tốt nghiệp
SP Tài
Toán liệu
Học học tập và nghiên cứu
Trung tâm Học liệu ĐH Cần Ngành:
Thơ @

GV hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

Ths. Đặng Văn Thuận

Nguyễn Thị Bích Thủy
Lớp: Sư phạm Toán Học khóa 28
Mã số SV: 1020088

Caàn Thô, 5-2006


MỤC LỤC
cöd
PHẦN MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1

PHẦN NỘI DUNG ................................................................................................... 3
Chương 0. Kiến thức chuẩn bị................................................................................. 3
0.1. Phạm trù................................................................................................. 3
0.2. Đại số ..................................................................................................... 4
0.3. Phép thế ................................................................................................. 5
0.4. Hàm khả vi trong Rn .............................................................................. 5
Chương 1. Đa tạp khả vi ......................................................................................... 9
1.1. Định nghĩa đa tạp khả vi........................................................................ 9
1.2. Ánh xạ khả vi...................................................................................... 13
1.3. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc .......................................... 15
1.4. Đa tạp con - Đa tạp định hướng được................................................. 23
Chương 2. Một số cấu trúc trên đa tạp khả vi ................................................... 28
2.1. Trường tenxơ trên đa tạp khả vi ......................................................... 28
2.2. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi .......................................................... 36
2.3. Nhóm Lie ........................................................................................... 44
2.4. Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp ............................................ 51
Chương 3. Không gian phân thớ ......................................................................... 53
3.1. Phân thớ tầm thường địa phương với nhóm cấu trúc ........................ 53
3.2. Phân thớ khả vi ................................................................................... 56
3.3. Không
chính@
................................................................
58
Trung tâm Học
liệu gian
ĐHphân
CầnthớThơ
Tài liệu học tập và nghiên cứu
3.4. Ánh xạ giữa các phân thớ .................................................................. 61
3.5. Phân thớ kết hợp ................................................................................ 65

PHẦN KẾT LUẬN ............................................................................................... 68
TAÌ LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 69


PHẦN MỞ ĐẦU
™{˜
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như đã biết, phép tịnh tiến song song trong không gian afin được thực hiện
một cách trực quan và dễ dàng. Tuy nhiên, trên đa tạp khả vi, làm thế nào để dời
"một cách song song" một vectơ tiếp xúc tại một điểm cho trước của đa tạp đến một
điểm khác của đa tạp dọc theo một đường cong nối hai điểm đó? Đây là một bài
toán khó và việc giải quyết bài toán này là một trong những lí do ra đời của lí thuyết
liên thông. Những vấn đề về đa tạp khả vi và không gian phân thớ là những vấn đề
cơ bản để nghiên cứu lí thuyết liên thông bao gồm liên thông tuyến tính trên đa tạp
khả vi, liên thông trên không gian vectơ và trên không gian phân thớ chính. Lí
thuyết về không gian phân thớ cũng là một trong những đối tượng nghiên cứu quan
trọng của tôpô đại số và là một công cụ không thể thiếu được trong việc nghiên cứu
hình học vi phân.
Đi theo xu hướng phát triển của toán học hiện đại, thêm vào đó, nhờ có sự
gợi ý và hướng dẫn tận tình của thầy Đặng Văn Thuận nên em đã mạnh dạn chọn
đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp khả vi và không gian phân thớ” để hoàn thành
luận văn tốt nghiệp ngành toán.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Luận văn với đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp khả vi và không gian phân
thớ”
nhằm
tiếpliệu
cận với
vi phân
đại là gắncứu

nó
Trung tâm Học
ĐHhướng
Cầnquan
Thơtrọng
@ của
Tàihình
liệuhọchọc
tập hiện
và nghiên
với đa tạp khả vi, không gian phân thớ, nghiên cứu một số cấu trúc trên đa tạp khả vi
như trường tenxơ trên đa tạp khả vi, dạng vi phân trên đa tạp khả vi, nhóm Lie,
nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp đồng thời nêu một số vấn đề cơ bản về
không gian phân thớ để làm công cụ cho việc nghiên cứu lí thuyết liên thông. Ngoài
ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp cho em có dịp củng cố kiến thức về giải tích trên
đa tạp, giải tích hàm nhiều biến, đại số và làm quen với cách nghiên cứu có hướng
dẫn những vấn đề mới của toán học.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp đã được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn như
phân tích, tổng hợp, so sánh.
Tổng hợp các kiến thức về đa tạp khả vi, các cấu trúc trên đa tạp khả vi và
không gian phân thớ ở nhiều sách khác nhau, đồng thời phân tích và so sánh để có
được sự trình bày tương đối rõ ràng và hợp lí ở những vấn đề có liên quan.
NỘI DUNG CỦA LVTN
Nội dung của đề tài đề cập đến một số vấn đề về đa tạp khả vi, các cấu trúc
trên đa tạp khả vi và không gian phân thớ được chia thành các phần sau đây:
Chương 0. Kiến thức chuẩn bị
Đó là các định nghĩa về phạm trù, đại số, phép thế, ánh xạ đa tuyến tính
thay phiên đồng thời trình bày một số kiến thức về hàm khả vi trong Rn như nhắc lại
1

định nghĩa về ánh xạ khả vi, đạo hàm cấp cao nhằm tạo nền tảng về kiến thức cho
phần tiếp theo.
Chương 1. Đa tạp khả vi
Trong chương này, ta sẽ đưa ra định nghĩa đa tạp khả vi và những ví dụ về
những đối tượng là đa tạp khả vi và không là đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, ánh xạ
dìm, nhúng, ngập, không gian tiếp xúc và không gian phân thớ tiếp xúc, khái niệm
về trường véc tơ và móc Lie của hai trường véc tơ, về đa tạp con và đa tạp định
hướng được.
Chương 2. Một số cấu trúc trên đa tạp khả vi
Trong chương này, ta sẽ nêu một số cấu trúc trên đa tạp khả vi như: Trường
tenxơ trên đa tạp khả vi, dạng vi phân trên đa tạp khả vi, nhóm Lie và nhóm Lie các
phép biến đổi trên đa tạp khả vi.
Chương 3. Không gian phân thớ.
Trong chương này ta xét đến không gian phân thớ như phân thớ tầm thường
địa phương với nhóm cấu trúc, phân thớ khả vi, không gian phân thớ chính, phân thớ
kết hợp và ánh xạ giữa các phân thớ.
.

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

2


Chương 0

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
0.1. PHẠM TRÙ
0.1.1.ĐỊNH NGHĨA

Ta nói có một phạm trù A khi:
a) Có một lớp mà các phần tử được gọi là các vật của phạm trù, kí hiệu lớp
này là Ob(A).
b) Ứng với một cặp vật A, B ∈ Ob(A) có một tập hợp kí hiệu là Mor(A, B),
mà các phần tử gọi là các cấu xạ từ A đến B. Tập hợp Mor(A, B) có thể rỗng. Nếu
f ∈ Mor(A, B) ta cũng kí hiệu f: A → B, hay A f B. A được gọi là nguồn, B gọi là
đích của f.
c) Hễ f: A → B, g: B → C thì ứng với cặp f, g có một h: A → C gọi là hợp
thành của g với f, kí hiệu là h=g.f hoặc h=gf.
Đồng thời ba tiên đề sau phải được thỏa mãn:
C1) Hai tập hợp Mor(A, B) và Mor(A’, B’) bao giờ cũng rời nhau, trừ khi
A=A’, B=B’ thì chúng trùng nhau. Nói cách khác, nếu A ≠ A’ hoặc B ≠ B’ thì hai cấu
xạ f: A → B, f’: A’ → B’ là khác nhau.
C2) Luật hợp thành các cấu xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là ta luôn có
(hg)f=h(gf) mỗi khi sự hợp thành có nghĩa (nói cách khác khi đích của f là nguồn
của g, đích của g là nguồn của h).
C3) Với mỗi vật A ∈ Ob(A) tồn tại một phần tử 1A ∈ Mor(A, A), gọi là những
xạ đồng
saoĐH
cho f.1
1A.g=g
sự hợp
thành
nghĩa
(tức là cứu
khi
A= f,Thơ
Trungcấutâm
Họcnhất
liệu

Cần
@mỗi
Tàikhiliệu
học
tậpcóvà
nghiên
A là nguồn của f, đích của g). Cấu xạ đồng nhất đó là duy nhất vì rằng nếu e cũng là
cấu xạ đồng nhất thì e=e.1A=1A.
0.1.2. VÍ DỤ
+ Ví dụ 1: Phạm trù S các tập hợp, gồm:
Lớp các vật: Ob(S) = {Tất cả các tập hợp}.
Lớp các cấu xạ: Mor(S) = {Tất cả các ánh xạ giữa các tập hợp}.
Phép hợp thành là tích các ánh xạ.
Với mỗi vật B ∈ Ob(S), 1B = IdB.
+ Ví dụ 2 (về cấu trúc tôpô): Phạm trù Top các không gian tôpô.
Lớp các vật: Ob(Top) = {Tất cả các không gian tôpô}.
Lớp các cấu xạ: Mor(Top) = {Tất cả các ánh xạ liên tục giữa các không
gian tôpô}.
Phép hợp thành là tích các ánh xạ liên tục.
Với mỗi vật B ∈ Ob(Top), 1B = IdB (ánh xạ đồng nhất liên tục).
+ Ví dụ 3 (về cấu trúc đại số): Phạm trù LF các không gian vectơ trên một
trường F đã cho, gồm:
Lớp các vật: Ob(LF) = {Tất cả các không gian vectơ trên F}.
Lớp các cấu xạ: Mor(LF) = {Tất cả các F-ánh xạ liên tục}.
Phép hợp thành là tích các F-ánh xạ liên tục.
Với mỗi V ∈ Ob(LF), 1V = IdV (F-ánh xạ tuyến tính đồng nhất).
3


0.2. ĐẠI SỐ

0.2.1. ĐỊNH NGHĨA
Một tập hợp A cùng với một luật trong, ký hiệu +, một luật ngoài
K × A → A, (λ , x ) α λx và một luật trong (được gọi là luật thứ ba) ở đây được kí hiệu
là *, sao cho:
1) (A, +, .) là một không gian véc tơ trên trường K.
2) * phân phối đối với +.
3) ∀λ ∈ K , ∀( x, y ) ∈ A 2 , λ ( x ∗ y ) = (λx) ∗ y = x ∗ (λy ) .
gọi là một K-đại số.
Một K-đại số A gọi là:
+ Kết hợp khi và chỉ khi * có tính chất kết hợp.
+ Giao hoán khi và chỉ khi * có tính chất giao hoán.
+ Có đơn vị (hoặc: đơn vị) khi và chỉ khi A có phần tử trung hòa đối với *.
Một bộ phận B của một đại số A là một đại số con của A khi và chỉ khi
B ≠ Ø

2
∀( x, y ) ∈ B , x + y ∈ B

∀(λ , x) ∈ K × B, λx ∈ B
∀( x, y ) ∈ B 2 , x ∗ y ∈ B


NHẬN XÉT
Giả sử A là một K-đại số, B ⊂ A, B ≠ Ø, nếu B là một đại số con của A thì B
là một K-đại số với các luật
Trung tâm Học
@ Tài
tập*: và
nghiên
cứu

→ B Cần
, Thơ
luật ngoài
K × Bliệu
→ B ,họcluật
B×B
→B
Luật +:liệu
B × BĐH
( x, y ) α x + y

(λ , x ) α λ x

( x, y ) α x ∗ y

cảm sinh bởi các luật của A.
0.2.2. VÍ DỤ
+ Ví dụ 1: Một thể giao hoán K là một K- đại số kết hợp, giao hoán, có đơn
vị, nếu nó lấy luật thứ ba là phép nhân.
Tổng quát hơn nếu L là thể mẹ của K, thì L là một K-đại số kết hợp, có đơn
vị, nếu nó lấy luật thứ ba là phép nhân trong L.
Chẳng hạn C là một R-đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị đối với các luật
thông thường.
+ Ví dụ 2: Giả sử X là một tập hợp khác rỗng, X* là tập hợp các ánh xạ từ X
vào K. X* là một K-không gian véc tơ với các luật hợp thành thông thường, bằng
cách trang bị cho X* một luật thứ ba, được xác định bởi: ∀x ∈ X , ( fg )( x ) = f ( x ).g ( x ) ,
thì X* là một K-đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị, phần tử trung hòa đối với luật
thứ ba là ánh xạ hằng bằng một.
0.2.3. ĐỒNG CẤU ĐẠI SỐ
Định nghĩa: Đồng cấu đại số từ K- đại số A vào K-đại số A' là một ánh xạ

h: A → A' , vừa là đồng cấu K-môđun vừa là đồng cấu vành chuyển đơn vị thành đơn
vị, tức là sao cho
h(a + b) = h(a) + h(b), h(ka) = kh(a ), h(a ∗ b) = h(a ) ∗ h(b), h(1A ) = 1A' , ∀k ∈ K , ∀a, b ∈ A

4


0.3.PHÉP THẾ.
0.3.1. ĐỊNH NGHĨA
Một song ánh từ tập {1, 2, …, n} vào chính nó được gọi là một phép thế
bậc n.
Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu bởi Sn. Sn cùng với phép hợp
thành các ánh xạ lập thành một nhóm, được gọi là nhóm đối xứng bậc n. Nhóm này
có n! phần tử. Mỗi phần tử của nhóm Sn gọi là một phép thế (hay hoán vị) bậc n. Các
phép thế σ ∈ S n thường được trình bày ở dạng bảng sau đây
2
1
σ = 
 σ( 1 ) σ (2 )

...
...

n 

σ(n) 

Phép thế có dạng
2 ... i ... j ... n 
1


τ = 
2 ... j ... i ... n 
1
tức là τ (i ) = j ,τ ( j ) = i,τ ( k ) = k đối với mọi k ≠ i, k ≠ j được gọi là phép đổi chỗ
(chuyển trí) hai phần tử i, j và thường được kí hiệu là τ = (i, j ) . Ta thấy rằng
τ οτ = i En , do đó τ = τ −1 .

Ánh xạ sign: S n → R xác định bởi
sign(σ ) = ∏
i< j

σ ( j ) − σ (i)
, với mọi σ ∈ S n được gọi là hàm dấu.
j −i

Kiểm tra được rằng nếu τ là một phép đổi chỗ thì sign (τ ) = −1 .

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu
0.3.2. TÍNH CHẤT
a) Đối với mọi phép thế γ , σ ∈ S n , ta có sign (γ οσ ) = sign γ .sign σ
b) Mỗi phép thế bậc n ≥ 2 là tích của một số hữu hạn các phép đổi chỗ. Tức
là đối với mọi phép thế σ ∈ S n , có thể biểu diễn dưới dạng
σ = τ 1 οτ 2 ο...... οτ r trong đó τ k , k = 1,..., r là các phép đổi chỗ.
c) Đối với mọi phép thế σ ∈ S n , sign(σ ) = ±1 .

0.4. HÀM KHẢ VI TRONG Rn
0.4.1. ÁNH XẠ KHẢ VI
Một ánh xạ f từ một tập hợp mở A trong không gian định chuẩn X đến
không gian định chuẩn Y được gọi là khả vi tại điểm a ∈ A nếu có một ánh xạ tuyến

tính liên tục L: X → Y sao cho:
f(a+h)-f(a)=L(a)+o( h ).
Ánh xạ L ấy, nếu có, là duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tại a. Kí hiệu
f’(a) hay f’a hay Df(a).
Ánh xạ f được gọi là khả vi trên tập hợp A nếu nó khả vi tại mọi điểm a ∈ A.

5


ĐỊNH LÍ
Cho A, B là hai tập hợp mở trong hai không gian định chuẩn X, Y. Nếu
f:A → B khả vi tại a, g: B → Z khả vi tại f(a) thì gof: A → Z khả vi tại a và
(gof)’(a)=g’(f(a)).f’(a)
Ta sẽ quan tâm chủ yếu đến trường hợp X=Rn và Y=Rm, tức là x=(x1,…,xn),
f ( x) = ( f 1 ( x),..., f m ( x) ) , với các f i là hàm n biến thực. Khi ấy, nếu f: A → Rm khả vi
tại a thì ắt phải tồn tại các đạo hàm riêng
∂f i
(a )
∂x j

Và f’(a) là ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm được cho bởi ma trận cấp m × n
 ∂f i

J f (a) =  j (a )  (i= 1, m ; j= 1, n ).(1)
 ∂x


gọi là ma trân Jacobi của f tại a.
Khi m = n định thức của ma trận này gọi là định thức Jacobian của ánh xạ f
tại a và thường được kí hiệu là:

Trung tâm Học liệu ĐH
Thơ
 ∂f Cần

D( f @
,..., Tài
f ) liệu học tập và nghiên cứu


i

1

n

hay
j 
D (x1 ,..., x n )
 ∂x  a

det 

Ngược lại nếu tất cả các đạo hàm riêng

a

hay det(Jf(a)).

∂f i

đều tồn tại trong tập mở nào đó
∂x j

chứa điểm a và liên tục tại a thì khi đó f khả vi tại a. (Điều ngược lại chưa chắc
đúng).
Hạng của ánh xạ f: A → Rm tại a là hạng của ma trận (1).
Từ định lí trên ta cũng có kết quả J gof (a ) = J g ( f (a )).J f (a )

0.4.2. ĐẠO HÀM CẤP CAO:
Cho L(X.Y) là không gian định chuẩn lập bởi các toán tử tuyến tính liên tục
từ X đến Y (chuẩn trong không gian này được xác định bởi λ = sup{ λx : x = 1}.
Cho A là một tập hợp mở trong X. Nếu một ánh xạ f: A → Y có đạo hàm f’(x)
tại mọi điểm x ∈ A thì ta được một ánh xạ
f’: A → L (X,Y), xác định như sau: x α f’(x)
Đạo hàm của f’ tại a, nếu có được gọi là đạo hàm cấp hai của f tại a và
được kí hiệu là f”(a) hay D2f(a). Như vậy, D2f(a) ∈ L (X, L (X, Y)).
Một cách tổng quát, đạo hàm cấp r của f tại a là Drf(a)=D(Dr-1f(a)). Nếu
đạo hàm ấy tồn tại và liên tục tại một điểm thì ánh xạ f được gọi là khả vi lớp Cr hay
là một Cr-ánh xạ. Từ định lí 1 ta suy ra: Nếu f : A → B và g : B → Z (A, B là các tập
6


mở trong X, Y) là Cr-ánh xạ thì g οf : A → Z cũng là Cr-ánh xạ. Thành thử các tập
hợp mở của những không gian định chuẩn làm thành một phạm trù, mà cấu xạ là các
Cr-ánh xạ. Một đẳng cấu trong phạm trù này tức là một ánh xạ 1-1 lên f: A → B sao
cho cả f và f −1 đều là Cr-ánh xạ, được gọi là một Cr-đẳng cấu. Lấy đạo hàm của
hàm hợp f ο f −1 = id , ta thấy rằng nếu f : A → B là một Cr-đẳng cấu thì f’(a) ≠ 0 tại
một a ∈ A.
Trong trường hợp X = R n , Y = R m , ánh xạ f : A → R m ( A ⊆ R n ) thuộc lớp Cr
khi và chỉ khi tất cả các đạo hàm riêng đến cấp r:

∂α f i

( α = α 1 + ... + α n ≤ r ).

(∂x ) ...(∂x )
1 α1

n αn

của tất cả các hàm tọa độ f i (i= 1, m ) đều tồn tại và liên tục trong A. Nói riêng f
thuộc lớp Cr khi và chỉ khi mỗi f i (i= 1, m ) đều thuộc lớp Cr.
Ta nói ánh xạ f thuộc lớp C ∞ (hay C ∞ -ánh xạ) nếu nó thuộc lớp Cr với mọi
số nguyên r ≥ 1. Co-ánh xạ là ánh xạ liên tục.
VÍ DỤ
+ Ví dụ 1: Ánh xạ sau đây thuộc lớp C ∞ trên R3:
f : R3 → R 2

(

( x, y, z ) α x 2 y + z 2 , xyz 3 − x 2

)

.

Trung tâm Học
liệu
ĐHxạCần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu
+ Ví dụ
2: Ánh

f : R2 → R2
(x,y) α ( 3 + x + y, 2-x + y)

là một C1-đẳng cấu.
CHÚ Ý
a) Nếu f thuộc lớp C1 trên A thì f liên tục trên A, nhưng điều ngược lại thì
chưa chắc đúng, chẳng hạn:
f : R2 → R
( x, y ) α x
2

liên tục trên R nhưng không thuộc lớp C1 trên R2 vì f không có đạo hàm riêng cấp 1
tại (0, 0) đối với biến thứ nhất.
b) Ánh xạ f: U → V thuộc lớp C1 có thể là một đồng phôi nhưng không phải
là vi phôi của lớp C1. Nói cách khác, ánh xạ ngược f −1 : V → U không nhất thiết
phải thuộc lớp C1.
Chẳng hạn, hàm biến thực
y=f(x)=x3
xác định một đồng phôi từ R lên R. Ánh xạ đó thuộc lớp C1, nhưng ánh xạ ngược
x=y

1

3

= g ( y ) không khả vi tại 0. Thật vậy, f ' ( x ) = 3 x 2 và f ' (0) = 0 . Nếu g’(0) tồn

7

tại thì lấy đạo hàm của hàm hợp g ο f = id tại 0 ta được g ' (0). f ' (0) = 1 nhưng điều
đó không thể xảy ra vì f ' (0) = 0 .

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

8


Chương 1

ĐA TẠP KHẢ VI
1.1.ĐỊNH NGHĨA ĐA TẠP KHẢ VI VÀ VÍ DỤ
1.1.1.KHÁI NIỆM ĐA TẠP KHẢ VI
Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được. M được gọi là
đa tạp tôpô m - chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m – chiều Rm,
nghĩa là với mỗi điểm x ∈ M, có một lân cận mở U của x và ϕ : U → V là đồng phôi
từ U lên một tập mở V ⊂ Rm.
Giả sử M là một đa tạp tôpô m – chiều, khi đó cặp (U, ϕ ) xác định ở trên
được gọi là một bản đồ địa phương trên M, hay gọi tắt là bản đồ. Họ
C= {(U i , ϕ i ) : i ∈ I } nào đó các bản đồ được gọi là một tập bản đồ hay atlas khả vi lớp
Ck (k ≥ 1 ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
a. Họ {U i } là một phủ mở của M.
b. Với hai bản đồ (Ui, ϕ i) và (Uj, ϕ j) mà U i ∩ U j ≠ Ø, thì ánh xạ ϕ jo ϕ i-1
xác định trên ϕ i( U i ∩ U j ) là ánh xạ khả vi lớp Ck từ ϕ i( U i ∩ U j ) lên ϕ j( U i ∩ U j )
(xem hình 1).
M

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu
Ui

Uj

ϕi

ϕj
ϕ j οϕ i−1

Hình 1

Hai tập bản đồ C1 = {(U i , ϕ i ), i ∈ I } và C2 = {(V j ,ψ j ), j ∈ J } khả vi lớp Ck
được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi
lớp Ck. Ta thấy quan hệ tương thích là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản
9


đồ khả vi lớp Ck . Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là
một cấu trúc khả vi lớp Ck trên M.
Đa tạp tôpô m – chiều cùng với cấu trúc khả vi lớp Ck cho trên nó được gọi
là một đa tạp khả vi m – chiều lớp Ck. Nếu cho M là đa tạp khả vi, thì bản đồ của cấu
trúc khả vi trên M được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên M. Khi k = ∞ , nghĩa
là khi đòi hỏi ánh xạ chuyển ϕ jo ϕ i−1 trong điều kiện b ở trên thuộc lớp C ∞ , thì cấu
trúc khả vi tương thích được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đó M được gọi là đa
tạp nhẵn.
1.1.2.NHẬN XÉT
a. Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong định nghĩa
trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là số chiều của đa tạp
M, viết dimM = m.
b. Trên cùng một không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi khác
nhau. Thật vậy, mỗi một atlas khả vi lớp Ck xác định hoàn toàn một cấu trúc khả vi
lớp Ck trên M. Vì vậy, hai atlas khả vi lớp Ck không tương thích xác định hai cấu

trúc khả vi khác nhau. Ví dụ, trên đường thẳng thực R cho hai atlas khả vi lớp C ∞
xác định bởi U1 = (R, id) và U2 = (R, ϕ ), ở đó ϕ : R → R xác định bởi ϕ (x) = x3. Vì
hai atlas lớp C ∞ này không tương thích, nên chúng xác định hai cấu trúc khả vi lớp
C ∞ khác nhau trên R.
c. Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều, {(U i , ϕ i ), i ∈ I } là một atlas khả vi lớp
k
, U là một tập con khác rỗng của M. Khi đó U cũng là một đa tạp khả vi m chiều
TrungC tâm
Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu
lớp Ck sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C = {(Vi ,ψ i ), i ∈ I }, ở đó
Vi=Ui ∩ U ≠ Ø và ψ i = ϕ i

Vi

. Đặc

biệt, nếu (U, ϕ ) là bản đồ địa phương trên M, thì U

cũng là đa tạp khả vi.
d. Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi lớp Ck số chiều m, n tương ứng. Khi đó
có thể trang bị cho tập hợp tích đề các M × N một cấu trúc khả vi để M × N trở thành
đa tạp khả vi lớp Ck số chiều m+n. Thật vậy, giả sử {(U i ,ϕ i ), i ∈ I } là tập bản đồ khả
vi trên M, {(V j ,ψ j ), j ∈ J } là tập bản đồ khả vi trên N. Khi đó
hij = (ϕ i ,ψ j ) : U i × U j → R m + n

hi j (x,y) α (ϕ i ( x),ψ j ( y ) )

là một đồng phôi. Hơn nữa {U i × V j } tạo thành một phủ mở của M × N . Mặt khác,
với mọi cặp (i1 , j1 ), (i2 , j 2 ) , ta có

(

)

(

)

hi2 j2 ο hi−1 1j1 ϕ i1 ( x ),ψ j1 ( y ) = hi2 j2 ( x, y ) = ϕ i2 ( x ),ψ j2 ( y )

(

(

)

(

))

(

)

= ϕ i2 οϕ i−1 1 ϕ i1 ( x ) ,ψ j2 οψ −j11 ψ j1 ( y ) = ϕ i2 οϕ i−1 1 ϕ i1 ( x ) ×ψ j2 οψ −j11 (ψ j ( y ))

cho nên hi

{(U

i

2 j2

ο hi−1 1j1 = ϕ i2 οϕ i−1 1 ×ψ i2 οψ i−1 1 , do đó cũng thuộc lớp Cr. Vì vậy,

× V j , hij )} là tập bản đồ khả vi trên M × N. Do đó M × N là một đa tạp khả vi lớp

k

C số chiều m+n.

10


1.1.3. VÍ DỤ: Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng là đa tạp khả vi
thường gặp và một số ví dụ chứng tỏ có những đối tượng hình học không thể trang
bị cấu trúc khả vi trên nó.
+ Ví dụ 1: Cho M = Rn và bản đồ (Rn, id) tạo thành một atlas, xác định cấu
trúc khả vi lớp C ∞ trên M. Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả vi chính tắc
trên Rn. Một cách tổng quát hơn, bất kỳ tập mở U ⊂ R n đều là đa tạp n chiều cũng
với bản đồ địa phương duy nhất (U , id ) .
+ Ví dụ 2: Giả sử ρ > 0 và




M = S ρn =  p ( p 1 ,..., p n +1 ) ∈ R n +1 , p = ∑ ( p i ) = ρ 2  .
2



n
ρ

S với tôpô cảm sinh từ R

n +1

2



i =1

n+1

được gọi là mặt cầu n chiều tâm O bán kính

ρ . Ta xác định một atlas trên S ρn bởi hai bản đồ địa phương trên S ρn như sau: Gọi

N= (0, 0, …, 0, ρ ) là cực bắc của mặt cầu và S = (0, 0, …, 0, - ρ ) là cực nam của
mặt cầu. Đặt U = S ρn \ {N }, V = S ρn \ {S } và x, y là hai phép chiếu nổi từ cực N và S
tương ứng.
x: U → Rn
p α x(p) = (x1(p), …, x n(p)),
ρp i
, i= 1, n
ρ − p n +1
y: V → Rn

Học liệu ĐH
liệu
p α Cần
y(p) =Thơ
(y1(p),@
…, Tài
y n(p)),
i
ρp
ở đó yi(p) =
, i= 1, n .
ρ + p n +1

ở đó

Trung tâm

xi(p) =

học tập và nghiên cứu

Các ánh xạ x, y là các đồng phôi, và “hàm chuyển” x.y = y.x : r α
-1

-1

ρ 2r
r

2

là

vi phôi của Rn\ {0} , vì x(U ∩ V ) = y(U ∩ V ) = Rn\ {0} . Do đó, {(U , x), (V , y )} lập thành
một atlas lớp C ∞ , xác định một cấu trúc nhẵn trên S ρn .

Kí hiệu S 1 = {(x, y ) : x 2 + y 2 = 1} là đường tròn đơn vị thì S 1 là một đa tạp
nhẵn một chiều.
S 2 = {( x, y, z ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1} là mặt cầu đơn vị thì S2 là một đa tạp
nhẵn hai chiều, được thể hiện như một mặt trong R3. Về mặt lịch sử, đây là một ví
dụ quan trọng thúc đẩy sự phát triển lý thuyết tổng quát về đa tạp.
1
1
Hình xuyến n chiều T n = S1 14×2...×
4 3S là một đa tạp nhẵn n chiều (do S là
n

một đa tạp nhẵn một chiều), với cấu trúc khả vi là tích của các cấu trúc khả vi trên
mỗi S1.
+ Ví dụ 3: Đa tạp xạ ảnh thực Pn(R).
Xét quan hệ tương đương trên Rn+1\ {0} xác định bởi x~y ⇔ ∃λ ≠ 0 để
y= λ x. Ta gọi P n ( R) = (R n +1 \ {0}) / ~ với tôpô thương.
Xét phép chiếu Π :Rn+1\ {0} → Pn(R), đặt Π (x)= [x] .
11


Đặt Vi = {x = ( x 0 ,..., x n ) ∈ R n +1 \ {0}; x i ≠ 0 } với i = 0, n và ϕ i : Vi → Rn cho
 x0
xˆ i
xn

,...,
,...,
i
xi
xi
x

bởi ϕ i ( x) = 


 . Ở đó kí hiệu ^ có nghĩa là số hạng ở dưới mũ đó được


bỏ đi.
Ta thấy ϕ i hằng trên mỗi lớp tương đương và xác định đồng phôi
n
Φ i :Ui → R , với Ui= Π (Vi ). Ánh xạ ngược được cho bởi
Φ i−1 (yo, y1, …, yn-1) = [(yo, y1, …, yi-1, 1, yi, …,yn-1 )].
Giả sử (Ui, Φ i ) và (Uj, Φ j ) là hai bản đồ địa phương trên Pn(R) và iΦ j Φ i−1 : Φ i (Ui ∩ Uj) → Φ j(Ui ∩ Uj) cho bởi công thức

 yo

y i −1

1

yˆ j

y n −1 

(yo, y1, …, yn-1) α  j ,..., j , j ,..., j ,..., j 
y
y
y
y 
y

Do đó Φ j Φ i=1 thuộc lớp C ∞ . Vì vậy họ {(U i , Φ i )} là tập bản đồ địa phương,
xác định cấu trúc khả vi lớp C ∞ trên Pn(R).
+ Ví dụ 4: Đa tạp Grassmann thực.
Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực R và G(k, V) là tập
hợp các không gian k chiều của V. Xét không gian đối ngẫu V* của V, v1 ,..., v n là
cơ sở của V*. Nếu v* ∈ V* và E ∈ G(k, V), ta kí hiệu v E∗ là hạn chế của v* trên E.
Với mỗi bộ (i1, …, ik), 1 ≤ i1< … < ik ≤ n, ta đặt
i ,...,i
V):@
v Ei ,...,
v Ei là
cơ sở
của tập
E* } và nghiên cứu
∈ G(k,
Trung tâm Học liệuUĐH ={E
Cần
Thơ
Tài
liệu
học
Giả sử (j1, ..., jn-k) là tập hợp các chỉ số bù của (i1,...,ik) với j1< ...

đó:

{

1

∗
1

k

k

∑h

j∗

v Ep =

l =1

l

p

∗

∗

∗

}

∗
k

v Eil nếu E ∈ U 1

i ,..., ik

; p= 1, n − k ;

Xét ánh xạ Φ i ,...,i : U i ,..., i → Rk(n-k)
E α ( hlp )
p = 1, n − k , l = 1,k .
Ta chứng minh được Φ i ,...,i là song ánh và
1

1

k

k

1

G(k, V) =

k

ΥU

i1 ,..., i k

i1 <...< ik

Do đó có thể cho một tôpô trên G(k, V) sao cho các Φ i ,...,i là những đồng
phôi và họ {(U i ,..., i , Φ i ,...,i )} tạo thành một atlas khả vi trên G(k, V). Như vậy
G(k,V) là đa tạp khả vi số chiều k(n-k).
+ Ví dụ 5: Trong không gian afin hai chiều R2 lấy hai đường thẳng cắt nhau
có phương trình y = ± x trong một hệ toạ độ afin cho trước. Khi đó, ta thấy tập M
gồm hai đường thẳng này coi là không gian tôpô con R2 không là đa tạp tôpô, vì vậy
không thể trang bị một cấu trúc khả vi trên M, nghĩa là M không thể là một đa tạp
khả vi (xem hình 2).
1

1

k

1

k

12

k


M

?

O

Hình 2
+ Ví dụ 6: Trong mặt phẳng R2, Xét M={(x,y) ∈ R2: y ≥ 0, x(x2-y3)=0}. Tập
2

M gồm tia Oy và đường cong y = x 3 . Coi M là không gian tôpô con của R2. Xét
điểm p(0,0) ∈ M, lân cận bất kỳ của p trong M không thể đồng phôi với một khoảng
nào trong R2 nên M không thể là đa tạp tôpô. Do đó, không thể trang bị một cấu trúc
khả vi trên M để M trở thành đa tạp khả vi.

1.2. ÁNH XẠ KHẢ VI
1.2.1. ĐỊNH NGHĨA
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ liên
Trungtụctâm
Học
liệu gọi
ĐHlà Cần
@ Tài
họcmọi
tậpbảnvàđồnghiên
cứu
f : M → N được
khả viThơ
tại điểm
p ∈ Mliệu
nếu với

địa phương
(U, ϕ ) quanh p và (V,ψ ) quanh f(p) = q sao cho f(U) ⊂ V, thì ánh xạ ψ ofo ϕ −1 là ánh
xạ khả vi tại điểm ϕ (p) ∈ Rm (xem hình 3).

M

N

U .p

f

.q

ϕ

.ϕ ( p )

V

ψ

ψ ο f οϕ −1

Hình3
Ánh xạ f được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p ∈ M.
13


1.2.2. NHẬN XÉT

a) Nếu f : M → N và g : N → P là những ánh xạ khả vi, thì hợp thành gof là
ánh xạ khả vi.
b) Ánh xạ f : M → N được gọi là vi phôi từ M lên N nếu f là song ánh và cả
hai ánh xạ f , f −1 đều khả vi. Khi đó, hợp thành của hai vi phôi là một vi phôi. Các
vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm vi phôi của M.
Nếu (U, ϕ ) là một bản đồ địa phương của M thì ϕ là vi phôi từ U lên mở
m
ϕ (U)=V ⊂ R , ở đó m= dimM.
c) Giả sử f : M → N là ánh xạ khả vi, p ∈ M và (V, ψ ) là bản đồ địa phương
quanh f(p), các toạ độ của nó được cho bởi n hàm y1,…, yn trên V ; (U, ϕ ) là bản đồ
quanh p ∈ M, các toạ độ cho bởi m hàm x1, ..., xm trên M, f(U) ⊂ V. Khi đó ánh xạ
ψ ofo ϕ −1 được cho bởi biểu thức
y j = h j (x 1 ,..., x m ), j = 1, n
(1)
j
ở đó h là những hàm khả vi.
Ngược lại, giả sử cho ánh xạ liên tục f : M → N mà biểu diễn địa phương có
dạng (1), trong đó các hàm h j khả vi, thì f khả vi. Biểu thức dạng (1) của ánh xạ f
phụ thuộc vào việc chọn các bản đồ địa phương (U, ϕ ) và (V,ψ ). Ta thấy rằng hạng
 ∂h j
của ma trận  i
 ∂x


 kiểu (n × m) tại điểm ϕ (p) = (x1(p), ..., xm(p)) không phụ thuộc


vào việc chọn bản đồ địa phương, nó được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p.

Trung tâm Học liệu ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu

1.2.3.ÁNH XẠ DÌM, NHÚNG, NGẬP
1.2.3.1. Định nghĩa
Ánh xạ khả vi f : M → N được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p
đều bằng m = dim M.
1.2.3.2.Định nghĩa.
Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng phôi từ
M lên f(M).
1.2.3.3.Định nghĩa.
Ánh xạ khả vi f : M → N được gọi là một ngập nếu hạng của f tại mọi điểm
p ∈ M đều bằng n = dim N.
1.2.3.4. Chú ý
Ta nói f : M → N là dìm tại điểm p (tương ứng : ngập tại p) nếu hạng của f
tại p bằng số chiều của M (tương ứng : số chiều của N). Như vậy f là một dìm (hay
ngập) nếu f là một dìm (hay ngập) tại mọi điểm p ∈ M.
1.2.3.5. Mệnh đề
Cho M, N là hai đa tạp khả vi lớp Ck (k ≥ 1). Khi đó nếu f : M → N là một
dìm, đơn ánh và là ánh xạ riêng thì f là một nhúng.
(Ánh xạ f được gọi là riêng nếu tạo ảnh của một tập compắc bất kỳ trong N là một
tập compắc của M).
Chứng minh
Vì f: M → N theo giả thiết là một dìm nên để chứng minh f là một nhúng ta
chỉ cần chứng minh f là một đồng phôi từ M lên f(M). Do f: M → N là đơn ánh nên
14


f:M → f(M) là song ánh, mặt khác f là dìm nên f khả vi, do đó f liên tục. Vậy ta chỉ
cần chứng minh f: M → f(M) có ánh xạ ngược f −1 : f(M) → M liên tục hay f biến tập
đóng bất kỳ X trong M thành tập đóng Y=f(X) trong f(M).
Lấy dãy {y1, ...., yn,...} bất kỳ của f(X) hội tụ đến y0.
Khi đó B ={y0, y1, ..., yn,...} là tập compắc do mọi dãy con của B đều hội tụ

đến y0 ∈ B. Do f là ánh xạ riêng nên A= f −1 (B) compăc trong N. Đặt xi= f −1 (yi),
i=1,2, ... Ta có xi ∈ A ⊂ X. Do A compắc và X đóng nên dãy x n hội tụ đến x0 ∈ X .

{ }

( )

j

Vì f liên tục nên y n = f x n → f ( x o ) = y o . Do vậy y0 ∈ Y, nghĩa là Y đóng. Vậy f là
j

j

một nhúng.

1.3.KHÔNG GIAN TIẾP XÚC VÀ PHÂN THỚ TIẾP XÚC

1.3.1. Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp Ck, k ≥ 1. Một ánh xạ c : J → M khả
vi lớp Cr (r ≤ k) được gọi là một đường cong khả vi lớp Cr trên M, ở đó J là khoảng
mở của R chứa điểm 0. Ánh xạ f : M → R lớp Cr được gọi là một hàm khả vi lớp Cr
trên M. Nếu U mở nằm trong M, f U : U → R thuộc lớp Cr thì f được gọi là hàm khả
vi trong lân cận U ⊂ M. Kí hiệu Fr (M) là tập hợp các hàm khả vi (lớp Cr) trên M,
Fr(p) là tập hợp các hàm khả vi lớp Cr trong lân cận của p và C lp (M ) là tập các
đường cong c khả vi lớp C1 trên M sao cho c(0) = p.
Ta xét một quan hệ " ~ " trên C lp (M ) như sau : c1 : J → M, c2 : J → M,
(0)=p.liệu
Ta ĐH
nói cCần
cóTài

bảnliệu
đồ học
(U, x)
p sao cho
Trungc1(0)=c
tâm 2Học
tậpquanh
và nghiên
cứu
1 ~ cThơ
2 ⇔@
d i
(x oc1)
dt

t =0

=

d i
(x oc2)
dt

t =0

với i= 1, m . Ta thấy quan hệ " ~ " là một quan hệ tương

đương trên tập các đường cong khả vi lớp C1 qua p ∈ M. Mỗi lớp tương đương đối
với quan hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp xúc tại p của M. Vectơ tiếp
xúc có đại diện là đường cong c được kí hiệu [c] . Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M

được kí hiệu là T p M hay Mp.
Ta mô tả cấu trúc của T p M . Tập Fk(p) với các phép toán cộng, nhân tự
nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một R – đại số. Ta gọi một đạo
hàm tại p là một hàm v : Fk(p) → R thoả mãn hai điều kiện :
a. v là ánh xạ tuyến tính giữa các R – không gian vectơ.
b. v(f.g) = v(f).g(p) + f(p).v(g) ∀ f, g ∈ F k(p).
Ta thấy tập các đạo hàm tại p với các phép toán cộng và nhân với một số
thực làm thành một R – không gian vectơ.
Giả sử [c] ∈ TpM, ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách sau : với
f ∈ Fk(p), đặt [c] (f) =

d
( f o c(t ))
dt

t =0

.

Ta thấy quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại diện
của [c] , và nó thỏa mãn hai tính chất a và b ở trên. Bằng đồng nhất này, ta có một
đơn ánh từ T p M vào không gian các đạo hàm tại p. Ta chứng tỏ T p M là một không
gian con m chiều của không gian vectơ các đạo hàm tại p. Xét bản đồ địa phương
15


(U, x) quanh p. Giả sử x=(x1,..., xm). Với mỗi j, xét đường cong : cj(t)=x-1(x(p)+tej) ;
{0, e1 ,..., em } là mục tiêu trong Rm, thì cj là đường cong trên M qua p, nó xác định
 ∂ 
 ∂ 

. Ta có  j  ( f ) = D j f ο x −1
j 
 ∂x  p
 ∂x  p
 ∂f 
 ∂ 
đạo hàm riêng thứ j. Ta viết  j  ( f ) =  j  .
 ∂x  p
 ∂x  p

(

vectơ tiếp xúc, kí hiệu 

)

x( p)

, ở đó Dj kí hiệu

Giả sử đã cho một đường cong c(t) trên M với c(0) = p, và [c] ∈ T p M . Trong

bản đồ địa phương (U, x) quanh p, ta có xoc(t) = (xj(t)), j= 1, m và

[c] (f) =

d
( f o c (t )) t =0 =
dt

j
 m
 ∂  
−1  dx (t ) 



D
f
x
=
∑
j
o
 dt  t =0  ∑ α j  ∂x j  ( f )
p 
j =1


 j =1 
m

(

)

 dx j (t ) 

 t = 0 .
với α j = 

 dt 
 ∂ 
 ∂ 
,...,  m  .
1 
 ∂x  p  ∂x  p
m
 ∂ 
Ngược lại, nếu cho một tổ hợp tuyến tính ∑ ξ j  j  , ξ j ∈ R, thì ta xét
 ∂x  p
j =1

Như vậy, mỗi vectơ tại p là tổ hợp tuyến tính của 

đường cong xác định bởi




m

c(t) = x −1  x( p ) + ∑ ξ j te j , j = 1, m .
j =1

Trung tâm Học liệu ĐH Cần
liệu học tập và nghiên cứu
 Thơ @ Tài

 ∂ 
Khi đó, vectơ tiếp xúc [c] là ∑ ξ 

 . Do đó, tập các vectơ tiếp xúc tại
 ∂x 
m

j

j

j =1

p

p là không gian con của không gian vectơ các đạo hàm tại p, sinh bởi m vectơ
 ∂  
.
 j  
 ∂x  p  j =1,m
 ∂

Để chứng minh tính độc lập tuyến tính của  j  

 ∂x  p  j =1,m

m

, ta xét

 ∂ 
= 0.
j 

 ∂x  p

v = ∑ξ j 
j =1

và hàm tọa độ xi của bản đồ địa phương (U, x). Khi đó v(xi)= ξ i =0 , ∀ i= 1, m . Như
 ∂

vậy, hệ  j  

 ∂x  p  j =1,m

là cơ sở của không gian vectơ tiếp xúc T p M của đa tạp M tại p.

Ngoài ra, ta còn có mệnh đề sau
MỆNH ĐỀ. Gọi F0(p) là tập các đạo hàm liên tục trong lân cận p ∈ M. Ta gọi một
đạo hàm trên F0(p) là một ánh xạ tuyến tính
0
0
δ : F (p) → R sao cho với mọi f, g ∈ F (p) thì :
16


δ ( fg ) = f ( p )δ ( g ) + δ ( f ) g ( p) .

Khi đó trên F0(p) mọi đạo hàm đều bằng không.
Chứng minh
Giả sử δ là đạo hàm trên F0(p). Theo định nghĩa, ta có: ∀f , g ∈ F0(p) thì
δ ( fg ) = f ( p )δ ( g ) + g ( p )δ ( f )

Suy ra
δ ( f 2 ) = f ( p )δ ( f ) + f ( p )δ ( f ) = 2 f ( p )δ ( f )
δ ( f 3 ) = δ ( f 2 f ) = δ ( f 2 ) f ( p) + δ ( f ) f 2 ( p)
= 2 f(p) δ(f)f(p) + δ(f)f 2(p)
= 2 f 2(p)δ ( f ) + f 2 ( p)δ ( f ) = 3 f 2 ( p)δ ( f )

Xét g là hàm liên tục bất kỳ trong lân cận điểm p, khi đó h(x)=g(x)-g(p) liên
tục và h(p)=g(p)-g(p)=0.
f(x)= 3 h(x) liên tục trong lân cận điểm p.

(

)

2

Do đó δ (h) = δ ( f 3 ) = 3 f 2 ( p)δ ( f ) = 3 3 h( p) .δ ( f ) = 0 (Do h(p)=0).
Vậy δ (h) = 0 , mà δ (h) = δ ( g ) ⇒ δ ( g ) = 0 .
Vậy trên F0(p) mọi đạo hàm đều bằng 0.
1.3.2. NHẬN XÉT
a) Người ta chứng minh được rằng nếu M là đa tạp nhẵn (thuộc lớp C ∞ ), thì
cácliệu
đạo hàm
p trùng
với @
không
cáchọc
vectơtập
tiếpvà
xúcnghiên

tại p. Nếucứu
M
Trungkhông
tâmgian
Học
ĐHtạiCần
Thơ
Tàigian
liệu
k
là đa tạp lớp C , 1 ≤ k<+ ∞ , thì không gian vectơ các đạo hàm tại p có số chiều vô
hạn.
b) Từ việc trình bày ở trên, ta thấy rằng nếu p ∈ M, (U, x) là bản đồ quanh p,
thì mỗi vectơ tiếp xúc v ∈ T p M được coi là một đạo hàm tại p và được cho bởi
m
 ∂ 
v = ∑ ξ j  j  , ở đó ξ j = v( x j ) . Nếu (V, y) là một bản đồ địa phương khác trong
 ∂x  p
j =1

lân cận điểm p với các tọa độ (y1,…, ym), thì các vectơ tiếp xúc tại p có biểu diễn
khác nhau đối với các bản đồ này. Đặc biệt, ta có
 ∂
 i
 ∂y

m
 ∂x j

 = ∑  i

 p j =1  ∂y

  ∂ 
 . j  .
 p  ∂x  p

1.3.3. PHÂN THỚ TIẾP XÚC
Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều lớp Ck. Xét tập hợp TM =
với mỗi bản đồ (U, x) trên M, đặt TU = Υ T p M và xét ánh xạ :

ΥT

p

M . Đối

p∈M

p∈U

x : TU → x(U) × R cho bởi công thức
x (v) = (x(p), v(x1), …, v(xm)).
m
 ∂ 
Ở đó v ∈ TpM và v = ∑ v( x j ) j  . x là một song ánh từ TU lên x(U) × Rm.
 ∂x  p
j =1
m

17

Ta gọi (TU, x ) là bản đồ trên TM, kết hợp với (U, x). Nếu (V, y) là một bản
đồ địa phương khác trên M, với U ∩ V ≠ Ø thì với (a, b) ∈ y(U ∩ V) × Rm, ta có
m
m


 ∂x m 
 ∂x 1 
x . y -1(a,b) =  xy −1 (a), ∑  j 
.b j ,..., ∑  j 
.b j  (4)


j =1  ∂y  y −1 ( a )
j =1  ∂y  y −1 ( a )


-1
k-1
Như vậy, các hàm x . y là khả vi lớp C . Vì thế, có thể trang bị cho TM

một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU, x ) trên TM có x là đồng phôi.
Cụ thể là, xét U= {(U i , xi ), i ∈ I } là một tập bản đồ trên M, xi : Ui → Vi ⊆ Rm. Khi đó A
mở trong TM khi và chỉ khi A ∩ (TUi) là tạo ảnh của tập mở trong Vi × Rm qua xi ,
∀i ∈ I .

Đối với tôpô này, tập các bản đồ (TUi, x ) tạo thành một atlas khả vi lớp
C

cho cấu trúc khả vi lớp Ck-1 trên TM. TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như
trên là đa tạp khả vi 2m chiều, được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M.
Ánh xạ Π : TM → M ở đó Π (v) = p nếu v∈ T p M là khả vi. Bộ ba (TM, Π , M) được
gọi là một phân thớ tầm thường địa phương . Với p ∈ M, Π -1(p)= T p M được gọi là
thớ tại điểm p. Phân thớ tiếp xúc được gọi là tầm thường nếu có vi phôi Φ :
TM → M × Rm sao cho với mỗi p ∈ M, Φ hạn chế trên Π -1(p) là một vi phôi từ TpM
lên p × Rm.
MỆNH ĐỀ. Cho M là đa tạp khả vi, TM là phân thớ tiếp xúc của M. Khi
đó tập hợp TM ⊕ TM = {(v, w) : v, w ∈ TM , Π (v) = Π ( w)} là một đa tạp khả vi đóng số
× TM
và Cần
được gọi
tổng@
Whitney
của đa
tạp M.
của TM
Trungchiều
tâm3mHọc
liệu
ĐH
Thơ
Tài liệu
học
tập và nghiên cứu
Chứng minh
Thật vậy, giả sử {(U i ,ϕ i ), i ∈ I } là một atlas khả vi trên M.
Với (v, w) ∈ TU i ⊕ TU i , đặt tương ứng
θ i (v, w) = (ϕ i (Π (v )), ξ1 ,..., ξ m ,η1 ,...,η m ) ∈ R 3m , ở đó
k −1

m
∂
∂
,
=
ηj j p .
w
∑
i p
∂x
∂x
i =1
j =1
Khi đó {(TU i ⊕ TU i ,θ i ), i ∈ I } trở thành một atlas khả vi trên TM ⊕ TM . Vậy
TM ⊕ TM là đa tạp khả vi số chiều 3m.
Thử thấy ánh xạ nhúng chính tắc i : TM ⊕ TM → TM × TM là một nhúng
m

v = ∑ξi

khả vi.

Để chứng minh TM ⊕ TM đóng trong TM × TM , xét dãy {(u n , v n )} tuỳ ý
→∞
thuộc TM ⊕ TM và (u n , v n ) n
→(u , v) . Do Π (u n ) = Π (v n ) và ánh xạ chiếu Π liên
tục nên :
lim Π (u n ) = Π (u )
n →∞

lim Π (v n ) = Π (v )
n →∞

⇒ Π (u ) = Π (v ) ⇒ (u, v) ∈ TM ⊕ TM .
Vậy TM ⊕ TM là một đa tạp khả vi đóng số chiều 3m của TM × TM .

18


1.3.4.TRƯỜNG VECTƠ
Để đơn giản, từ nay, ta nói đa tạp khả vi nghĩa là khả vi lớp Ck với k nào đó,
và tùy trường hợp cụ thể, ta giả thiết k lớn đủ mức cần thiết.
1.3.4.1. Khái niệm trường vectơ
Cho M là đa tạp khả vi m chiều, TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M.
Trường vectơ khả vi trên M là một ánh xạ khả vi X : M → TM sao cho Π .X(p)=p với
mọi p ∈ M. Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M. Tập các trường vectơ khả
vi trên M được kí hiệu là V(M).
Ta xét biểu diễn địa phương của trường vectơ. Giả sử (U, x) là một bản đồ
 ∂ 
địa phương trên M,  i 

 ∂x   i =1,m

là các trường vectơ trên U, thì X

U

là hạn chế của

∂
; α i là các hàm số xác định
i
∂x
i =1
i
i
trên U , α (p) = X p (x ). Trường vectơ X khả vi lớp Cr khi và chỉ khi α i ∈ Cr(U) với

trường X trên U được biểu diễn ở dạng X

m

U

= ∑α i

mọi i= 1, m .
1.3.4.2. Tích lie của hai trường véc tơ
Với mỗi trường vectơ khả vi X ∈ V(M) và mỗi hàm khả vi f ∈ Fr(M), ta xác
định hàm Xf ∈ Fr-1(M) như sau : Với p ∈ M, (Xf)(p)=Xpf=

d
( f o c(t )) t =0 , ở đó Xp= [c] .
dt

Khi đó, với X, Y là hai trường vectơ khả vi trên M, tích Lie (hay móc Lie) của X và Y
kí hiệu bởi [X, Y] được xác định như sau :
Trung tâm Học
ĐH

TàiTrong
liệubản
họcđồtập
và nghiên
Với f ∈liệu
Fr(M),
[X, Cần
Y]f = Thơ
X(Yf) –@
Y(Xf).
địa phương
(U, x) cứu
với
1 2
m
các tọa độ địa phương x , x , …, x , giả sử
X= ∑ ξ i
i



∂
∂
, Y= ∑η j j
i
∂x
∂x
j

 ∂η j

k
 ∂x

thì [X, Y]f = ∑  ξ k .
k, j




 ∂ξ j
 − η k  k

 ∂x

  ∂f
  j (5).

  ∂x

nó chứng tỏ [X, Y] là trường vectơ trên M.
∂
∂
Ta thấy rằng  i , j  = 0 (trên U).
 ∂x

∂x 

1.3.4.3. Định lí
Ánh xạ từ V(M) × V(M) đến V(M) xác định bởi (X, Y) α [X, Y] có các tính
chất sau :

a. [X, Y] = - [Y, X]
b. [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0, với mọi X, Y, Z ∈ V(M).
Tính chất 2 ở trên còn gọi là đồng nhất thức Jacobi.
1.3.4.3. Định nghĩa
Cho X là trường vectơ trên đa tạp M. Dòng địa phương của trường X là ánh
xạ (xác định duy nhất) c : V × I → M , V là lân cận trên M, I là khoảng mở chứa 0 sao
cho c nhẵn đối với biến thứ hai và với ∀x ∈ V , c x (0) = x, c x' (t ) = X (c x (t )) , ở đó
c x (t ) = c( x, t ) .
19


1.3.4.4. Ví dụ
+ Ví dụ 1: Hãy tìm dòng địa phương của trường vectơ xác định trên R:
X ( x) = x 2

d
.
dx

Giải
Giả sử c( x, t ) = c x (t ) là dòng địa phương của trường véc tơ X ( x) = x 2

d
dx

trên R, ta có :

c x (0) = x, c x' (t ) = X (c x (t ) )(∗) .
1
Với x cố định, đặt y (t ) =

c x (t )
1
− y ' (t )
⇒ c x (t ) =
⇒ c x' (t ) =
y (t )
[ y(t )]2

Ta có :

X (c x (t ) ) = c x' (t )
d
= c x' (t ).
dx
1
y ' (t )
⇔
=−
2
[ y(t )]
[ y(t )]2
⇔ c x2 (t )

⇔ − y ' (t ) = 1

Trung tâm Học liệu ⇔
ĐH
y (Cần
t ) = −1Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu
'

⇔ y (t ) = −t + C
1
⇔ c x (t ) =
−t +C
1
1
Vì c x (0) = x suy ra c x (0) = = x ⇒ C =
C
x
1
x
=
Do đó c x (t ) =
1 1 − tx
−t +
x

Vậy dòng địa phương của trường vectơ xác định trên R: X ( x) = x 2
c x (t ) =

x
.
1 − tx
n

+ Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng dòng của trường véc tơ Y ( x) = ∑ x i
i =1

∂

xác định
∂x i

trên R được cho bởi dạng c x (t ) = e x .
n

t

Giải
n

Ta có : Giả sử c(x, t ) = c x (t ) là dòng của trường véc tơ Y = ∑ x i
i =1

20

d
là
dx

∂
∂x i


c x (0) = x
 '
c x (t ) = Y (c x (t ))

Do vậy
n

c x' (t ) = ∑ c xi (t )

(

)

i =1

⇒ c (t ) ' = c xi (t )
i
x

∂
∂x i

⇒ c xi (t ) = ci e t (i = 1, n)

Vì c xi (0) = x i nên ci = x i , ∀i = 1,n
Vậy c x (t ) = x.e t .
+ Ví dụ 3: Trên không gian R3 với các tọa độ x, y, z cho các trường vectơ X,
Y, Z xác định như sau:
X =z

∂
∂
∂
∂
∂
∂

− y ,Y = x − z , Z = y − x .
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y

Chứng minh rằng:
a. Ánh xạ f: R 3 → V (R 3 ) cho bởi f(a, b, c) = aX + bY + cZ với
(a, b, c) ∈ R 3 là đơn cấu.
ρρ
ρ ρ
ρ
ρ
b. ∀u , v ∈ R 3 thì f (u ∧ v ) = [ f (u ), f (v )].
c. Hãy tính dòng địa phương của trường véc tơ aX + bY +cZ.
Giải
3
} là liệu
a. Đặtliệu
P = {aX
+ bY
+ cZ,Thơ
(a,b,c)@
∈ R Tài
khônghọc
gian tập
véc tơ
của không

Trung tâm Học
ĐH
Cần
vàcon
nghiên
cứu
3
gian các trường véc tơ trên R .
Ta thấy f : R 3 → P xác định bởi f(a, b, c) = aX + bY + cZ là toàn cấu và là
đơn cấu.
Do đó f là đẳng cấu tuyến tính.
Vì vậy ánh xạ f: R3 → V(R3) cho bởi f(a, b, c) = aX + bY + cZ với
(a,b,c) ∈ R3 là đơn cấu tuyến tính từ R3 vào không gian các trường véc tơ trên R3.
ρ ρ
ρ
ρ
ρρ
b. Để chứng minh f (u ∧ v ) = [ f (u ), f (v )], ∀u , v ∈ R 3 , chỉ cần thử với cơ sở
ρ
ρ
ρ
e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)
ρ
ρ
ρ
Ta có f (e1 ) = X , f (e2 ) = Y , f (e3 ) = Z
ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
Và e1 ∧ e2 = e3 , e1 ∧ e3 = e2 , e2 ∧ e3 = e1 .
Ta chứng minh [X , Y ] = Z . Thật vậy

[X , Y ] =  z

∂
∂
∂
∂
− y ,x − z 
∂z ∂z
∂x 
 ∂y

 ∂
∂  ∂
∂  ∂
∂  ∂
∂
= z , x  − z , z  −  y , x  +  y , z 
 ∂y ∂z   ∂y ∂x   ∂z ∂z   ∂z ∂x 

Theo (5) phần 1.3.4.2 ta có

21


 ∂
∂
∂  ∂
∂
∂
 z ∂y , x ∂z  = − x ∂y ;  y ∂z , z ∂x  = y ∂x





 ∂
∂  ∂
∂
 z ∂y , z ∂x  =  y ∂z , x ∂z  = 0


 
∂
∂
Do đó [X , Y ] = − x + y = Z .
∂y
∂x
Tương tự [Y , Z ] = X , [Z , X ] = Y
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
Từ đó f (e1 ∧ e2 ) = f (e3 ) = Z = [X , Y ] = [ f (e1 ), f (e2 )]
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ϖ
ϖ
Tương tự f (e2 ∧ e3 ) = [ f (e2 ), f (e3 )], f (e3 ∧ e1 ) = [ f (e3 ), f (e1 )]
ρ ρ

ρ
ϖ
ϖρ
Do đó f (u ∧ v ) = [ f (u ), f (v )], ∀u,v ∈ R 3

1.3.5.ÁNH XẠ TIẾP XÚC
1.3.5.1. Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và
→
f :M N là ánh xạ khả vi. Với mỗi p ∈ M, xét T p f : TpM → Tf(p)N xác định như sau :
với v ∈ TpM , v = [c], c : J → M mà c(0) = p, đặt Tpf(v) = [foc] ∈ Tf(p)N. Ta thấy định
nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho véc tơ v.
Ta xét biểu diễn địa phương của Tpf. Giả sử (U, x) là bản đồ địa phương
quanh p, (V, y) là bản đồ địa phương quanh f(p), sao cho f(U) ⊂ V. Khi đó, nếu
m

∂
∂x i

∂

n

(6)
∑ v( y f ) ∂y
Trung tâm Học
ĐH
Thơ
@tính.
TàiNhư
liệuvậy

học
và nghiên
Do đóliệu
T f là
mộtCần
ánh xạ
tuyến
ta tập
xác định
được ánhcứu
xạ
v= ∑ v( x i )
i =1

p

j

thì (Tpf)(v) =

o

j

j =1

f ( p)

p

Tf :TM → TN, với v ∈ T p M ⇒ (Tf)(v) = (Tpf)(v). Ta có biểu đồ sau giao hoán :
TM

Tf

TN
Π

Π

M

f

TM

Ta cũng thường kí hiệu T p f là f*p và Tf là f* và gọi là ánh xạ tiếp xúc của
ánh xạ khả vi f.
1.3.5.2. Mệnh đề
Nếu f : M → N là ánh xạ khả vi lớp Cr thì f* : TM → TN là ánh xạ khả vi lớp
Cr-1.
Chứng minh
Giả sử (U, x) là bản đồ địa phương trên M, (V, y) là bản đồ địa phương trên
N sao cho f(U) ⊂ V, xét (TU , x ) và (TV, y ) là các bản đồ phân thớ kết hợp với (U, x),
(V, y) tương ứng. Khi đó, đối với bản đồ trên, f* có biểu diễn địa phương dạng :
m
m


−1

−1
−1
−1
y. f .x (a, b) =  y. f .x (a), ∑ D j ( y. f .x )b1 ,..., ∑ D j ( y. f .x )b n 
j =1
j =1



22


với (a,b) ∈ x(U) × Rm.
Do đó f* khả vi lớp Cr-1.
1.3.5.3. Mệnh đề
Hạng của ánh xạ khả vi f : M → N tại điểm p ∈ M bằng hạng của f*p :
TpM → Tf(p)N.
Chứng minh
Theo (6) phần 1.3.5.1, f*p được xác định bởi
∂
 ∂  n ∂
f ∗ p i  = ∑ i ( y j ο f ). j
∂y
 ∂x  j =1 ∂x

f ( p)

n

= ∑ Di ( y j ο f ο x −1 )

j =1

 ∂
i
 ∂x

ở đó 

p

 ∂

 và  i

 ∂y

f ( p)

x( p)

.

∂
∂y j

f ( p)


 là hai sở của TpM và của Tf(p)N tương ứng, trong hai


bản đồ (U, x) quanh p và (V, y) quanh f(p). Như vậy, hạng của f*p chính bằng hạng
của ma trận (Di(yjofox-1) p ) kiểu n × m. Theo nhận xét c) phần 1.2.2, đó chính là hạng
của ánh xạ f tại điểm p.

1.4. ĐA TẠP CON. ĐA TẠP ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC
1.4.1. ĐA TẠP CON.
Trung tâm1.4.1.1.
Học Định
liệunghĩa
ĐH Cần Thơ @ Tài liệu học tập và nghiên cứu
Cho N là đa tạp khả vi n chiều, M là đa tạp khả vi m chiều mà M ⊂ N. M
được gọi là đa tạp con của N nếu ánh xạ bao hàm i : M → N là một nhúng khả vi.
1.4.1.2. Chú ý.
a. Giả sử M là đa tạp khả vi và f : M → N là một nhúng khả vi. Tập hợp f(M)
là ảnh đồng phôi của M, nghĩa là M’=f(M) là một đa tạp tôpô. Khi đó M’=f(M) là đa
tạp con khả vi của N.
Thật vậy, giả sử U= {(U i , ϕ i )}i∈I là một atlas khả vi trên M.
Vì f là một nhúng nên f là một đồng phôi từ M lên f(M) nên Vi = f(Ui) là mở
trong M’.
Đặt ψ i = ϕ i f −1 V thì {(Vi ,ψ i ), i ∈ I } là atlas khả vi trên M’. Do vậy M’ là một
i

đa tạp khả vi.
Xét nhúng chính tắc i : M’ → N
Do f: M → N là một nhúng và f=if nên i cũng là một nhúng khả vi.
Do đó M’=f(M) là đa tạp con khả vi của N.
b. Giả sử M là đa tạp con khả vi của đa tạp N và f : X → M là một đồng
phôi, khi đó có thể cho một cấu trúc khả vi trên X sao cho X là đa tạp khả vi và f là
một nhúng khả vi. Thật vậy, giả sử {(U i , ϕ i )}i∈I là atlas khả vi trên M. Đặt

Vi = f

−1

(U i ) , ψ i = ϕ i . f

Vi

. Khi đó (Vi, ψ i ) là bản đồ tôpô và nếu Vi ∩ Vj ≠ Ø thì

ψ i ψ −j 1 = ϕ i ϕ −j 1 là ánh xạ khả vi, vì vậy {(Vi ,ψ i )}i∈I là atlas khả vi trên X.

23