Đạo hàm lie của dòng trên đa tạp

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1 Dạng vi phân và dòng trên đa tạp

4

1.1. k−dạng vi phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. k−dòng trên đa tạp
2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Đạo hàm Lie của dạng vi phân trên đa tạp

15

2.1. Nhóm một tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Đạo hàm Lie của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Đạo hàm Lie của trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Đạo hàm Lie của dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp

33

3.1. Đạo hàm Lie của k−dòng trên đa tạp. . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. Đạo hàm Lie của k−dòng trên nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . 40

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

49


2

LỜI NÓI ĐẦU

Khái niệm đạo hàm Lie xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước
trong các công trình nghiên cứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten and
Van Kampen (Xem [18]). Phép đạo hàm Lie trên đa tạp cho ta giải quyết
nhiều bài toán về việc tìm kiếm các đa tạp con có thể tích cực tiểu địa phương,
xác định các độ cong chính, độ cong Ricci của đa tạp.
Lý thuyết dòng là một trong những lĩnh vực cơ bản của Toán học hiện đại.
Hơn nửa thế kỷ phát triển, ngày nay lý thuyết dòng đã đạt được những thành
tựu đáng kể. Từ cuối những năm 60, cùng với sự hình thành và phát triển của

lý thuyết các không gian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những bước
tiến mạnh mẽ và được ứng dụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều biến, hình
học giải tích, hình học đại số, hệ động lực,... Việc sử dụng lý thuyết dòng
trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểu của k−mặt trên đa tạp Riemann
có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứu của A. T. Fomenko, Havey,
Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân,...(Xem [17]).
Nghiên cứu các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng
trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp đó. Trong trường hợp
riêng, đạo hàm Lie là một công cụ hữu hiệu trong nghiên cứu các tính chất
hình học trên đa tạp. Trong những năm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều
nhà toán học quan tâm, chẳng hạn: Katharina Habermann, Andreas Klein
(Xem [10]); Jung-Hwan Kwon, Young Jin Suh (Xem [12]); R. P. Singh, S. D.
Singh (Xem [16]),...
Với các lý do nêu trên tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình
là: "Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp".
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản về đạo


3

hàm Lie của dòng trên đa tạp.
Luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1. Dạng vi phân và dòng trên đa tạp.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa và các tính chất cơ
bản của dạng vi phân và dòng trên đa tạp.
Chương 2. Đạo hàm Lie của dạng vi phân trên đa tạp.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa và các tính chất về
đạo hàm Lie của dạng vi phân trên đa tạp.
Chương 3. Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp.
Trong chương này, chúng tôi xây dựng khái niệm đạo hàm Lie của dòng

trên đa tạp và phát biểu một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng trên
nhóm Lie.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc nhất đến thầy, người đã đặt ra bài toán cho tác giả. Nhân
dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học đã
tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình công tác và học tập. Đặc
biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình
học, khoa Toán, trường Đại học Vinh đã giảng dạy và giúp đỡ trong suốt quá
trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn quý thầy cô trong
Seminar "Lý thuyết dòng và các tính chất hình học trên đa tạp", TS. Kiều
Phương Chi, các bạn học viên Cao học 16, chuyên ngành Hình học - Tôpô,
BGH trường THPT Thái Phiên - Quảng Nam, bạn bè đồng nghiệp và gia
đình đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn này.
Vinh, tháng 12 năm 2010.
Tác giả


4

CHƯƠNG 1
DẠNG VI PHÂN VÀ DÒNG TRÊN ĐA TẠP

Trong chương này, chúng tôi luôn giả thiết M là đa tạp khả vi n−chiều
có cơ sở đếm được với hệ bản đồ {Uα , Xα }α∈I . Ta ký hiệu:

Tp M là không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M .
k

(Tp M ) = {f | f : Tp M × · · · × Tp M → R k−tuyến tính, phản xứng}

B(M )= {X | X là trường vectơ khả vi trên M }
F(M ) = {f | f : M → R khả vi trên M }

Ωk (M ) = {ω | ω là k−dạng vi phân khả vi trên M }

1.1. k−dạng vi phân trên đa tạp
1.1.1 Định nghĩa. A´nh xạ
k

ω:M →

(Tp M )
p∈M

p → ωp
được gọi là k−dạng vi phân trên đa tạp M , trong đó

ωp : Tp M × · · · × Tp M → R
(X1 (p), ..., Xk (p)) → ωp (X1 (p), ..., Xk (p))
là k-dạng tuyến tính, phản xứng.
Giả sử (U, x) là bản đồ địa phương trên đa tạp khả vi M . Ký hiệu:

Ei =

∂
∂xi , i

= 1, 2, ..., n là trường vectơ cơ sở và {dxi } , i = 1, 2, ..., n là

1−dạng vi phân trên U , đối ngẫu với { ∂x∂ i }. Khi đó mỗi k−dạng vi phân trên


5

bản đồ (U, xi ) được biểu diễn dưới dạng:

ϕi1 ...ik dxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

ω=
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

trong đó ϕi1 ...ik là các hàm xác định trên U .
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử ω ∈ Ωk (M ) và µ ∈ Ωl (M ). Tích ngoài của ω và

µ ký hiệu ω ∧ µ và được xác định bởi: (ω ∧ µ)p = ωp ∧ µp , p ∈ M, trong đó
(ωp ∧ µp )(X1 (p), ..., Xk+l (p)) =
=

sign(δ)ωp Xδ(1) (p), ..., Xδ(k) (p) .µp Xδ(k+1) (p), ..., Xδ(k+l) (p) .
δ1 ≤...≤δk
δk+1 ≤...≤δk+l

Từ định nghĩa và bằng các tính toán trực tiếp, ta có một số tích chất về
tích ngoài của các dạng vi phân
1.1.3 Mệnh đề. (Xem [3]) Cho ω ∈ Ωk (M ), µ, µ1 , µ2 ∈ Ωl (M ), η ∈ Ωp (M ).
Khi đó
i) ω ∧ µ = (−1)kl µ ∧ ω;
ii) ω ∧ (µ1 + µ2 ) = ω ∧ µ1 + ω ∧ µ2 ;

iii) (ω ∧ µ) ∧ η = ω ∧ (µ ∧ η).
Ta quy ước rằng, nếu f là một hàm thì f ∧ ω = f ω . Ta nhận thấy rằng:

(f ω) ∧ µ = f (ω ∧ µ) và k−dạng ω với k > n đều bằng 0.
1.1.4 Định nghĩa. Giả sử ω =
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

ϕi1 ...ik dxi1 ∧ ... ∧ dxik , ánh xạ

d : Ωk (U ) → Ωk+1 (U )
ω → dω
được gọi là vi phân ngoài của k-dạng vi phân ω trên đa tạp M , trong đó dω
xác định bởi:

n

+ Nếu k = 0 thì df =
i=1

∂f
∂xi dxi , ∀f

+ Nếu k>0 thì dω =
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

∈ F(U ).

dϕi1 ...ik ∧(dxi1 ∧...∧dxik ), ∀ω ∈ Ωk (U ).

6

Ta chú ý rằng, nếu dω = 0 thì ta nói ω là k−dạng đóng. Như vậy, mọi
dạng có bậc cực đại đều đóng và nếu tồn tại µ ∈ Ωk−1 (M ) sao cho dµ = ω
thì ta nói ω là k−dạng khớp.
1.1.5 Mệnh đề. (Xem [3]) Giả sử ω ∈ Ωk (M ), µ ∈ Ωl (M ). Khi đó

d(ω ∧ µ) = dω ∧ µ + (−1)k ω ∧ dµ.
Chứng minh. Do d có tính chất tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh trên
các phần tử cơ sở. Giả sử ω = f dxi1 ∧ ... ∧ dxik , µ = gdxj1 ∧ ... ∧ dxjl , ta có:

ω ∧ µ = (f g)dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl .
Do đó

d(ω ∧ µ) = d(f g) ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl
n

=
i=1

∂(f g)
dxi ∧ (dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl )
∂xi
n

=
i=1
n

=

i=1

∂f
.gdxi +
∂xi

n

i=1

∂g
.f dxi ∧ (dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl )
∂xi

∂f
.gdxi ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl +
∂xi
n

+
i=1

∂g
.f dxi ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl
∂xi

= (df ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik ) ∧ (gdxj1 ∧ ... ∧ dxjl )+
n

+

i=1

∂g
.f (−1)k (dxi1 ∧ ... ∧ dxik ) ∧ (dxi ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl )
∂xi
n
k

= dω ∧ µ + (−1) f dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ (
i=1
k

∂g
.dxi ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl )
∂xi

= dω ∧ µ + (−1) f dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ (dg ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl )
= dω ∧ µ + (−1)k ω ∧ dµ.


7

1.1.6 Định lý. (Xem [3]) Nếu ω ∈ Ωk (M ) thì d2 ω = 0.
Chứng minh. Do d có tính chất tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh trên
các phần tử cơ sở. Giả sử ω = ϕdxi1 ∧ ... ∧ dxik , ta có:

dω = dϕ ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik
n

=(

i=1

∂ϕ
dxi ) ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik .
∂xi

Do đó
n
2

d ω = d(dω) = d(
i=1
n

∂ϕ
) ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik
∂xi

2

∂ ϕ
dxj ) ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik
∂x
∂x
j
i
i,j=1

=(

n

∂ 2ϕ
dxj ∧ dxi ) ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik
∂x
∂x
j
i
i,j=1

=(
=

i
∂ 2ϕ
dxj ∧ dxi +
∂xj ∂xi

i=j

∂ 2ϕ
dxj ∧ dxi +
∂xj ∂xi

2

+
i>j

∂ ϕ
dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik .
∂xj ∂xi

Mà

∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
=
, ∀i, j = 1, 2, ..., n.
dxi ∧ dxi = 0; dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi ;
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
Do đó

i
∂ 2ϕ
dxj ∧ dxi +
∂xj ∂xi

i
∂ 2ϕ
dxj ∧ dxi +
∂xj ∂xi

d2 ω =
=

i>j

∂ 2ϕ
dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik
∂xj ∂xi

i
∂ 2ϕ
dxi ∧ dxj
∂xi ∂xj

i
∂ 2ϕ
dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik = 0.
∂xi ∂xj

2

=
i
∂ ϕ
dxj ∧ dxi −
∂xj ∂xi

∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik

8

1.1.7 Định nghĩa. Giả sử M, N là các đa tạp khả vi và f : M → N là ánh
xạ khả vi. A´nh xạ :
f ∗ : Ωk (N ) → Ωk (M )

ω → f ∗ω
được gọi là ánh xạ đối tiếp xúc của f , trong đó f ∗ ω được xác định bởi:

(f ∗ ω)(X1 , ..., Xk ) = ω(f∗ X1 , ..., f∗ Xk ), ∀X1 , ..., Xk ∈ B(M ).
Qui ước: f ∗ (ϕ) = ϕf, ∀ϕ ∈ F(M ).
1.1.8 Nhận xét. f ∗ là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh. Với mọi ω1 , ω2 ∈ Ωk (M ), ∀α, β ∈ R, ta có:

f ∗ (αω1 + βω2 ) (X1 , ..., Xk ) = (αω1 + βω2 )(f∗ X1 , ..., f∗ Xk )
= αω1 (f∗ X1 , ..., f∗ Xk ) + βω2 (f∗ X1 , ..., f∗ Xk )
= (αf ∗ ω1 )(X1 , ..., Xk ) + (βf ∗ ω2 )(X1 , ..., Xk )
= (αf ∗ ω1 + βf ∗ ω2 )(X1 , ..., Xk ), ∀X1 , ..., Xk ∈ B(M ).
Do đó f ∗ (αω1 + βω2 ) = αf ∗ ω1 + βf ∗ ω2 . Vậy f ∗ là ánh xạ tuyến tính.
1.1.9 Mệnh đề. (Xem [1]) Giả sử ω1 ∈ Ωk (M ), ω2 ∈ Ωl (M ). Khi đó

f ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = f ∗ ω1 ∧ f ∗ ω2 .
Chứng minh. Giả sử ω1 ∈ Ωk (M ), ω2 ∈ Ωl (M ), ta có:

f ∗ (ω1 ∧ ω2 ) (X1 , ..., Xk+l ) = (ω1 ∧ ω2 )(f∗ X1 , ..., f∗ Xk+l )
=

sign(δ)ω1 (f∗ Xδ(1) , ..., f∗ Xδ(k) ).ω2 (f∗ Xδ(k+1) , ..., f∗ Xδ(k+l) )
δ1 ≤...≤δk
δk+1 ≤...≤δk+l

=
=

sign(δ)(f ∗ ω1 )(Xδ(1) , ..., Xδ(k) ).(f ∗ ω2 )(Xδ(k+1) , ..., Xδ(k+l) )

δ1 ≤...≤δk
δk+1 ≤...≤δk+l
(f ∗ ω1 ∧ f ∗ ω2 )(X1 , ..., Xk+l ), ∀X1 , ..., Xk+l

∈ B(M ).

Vậy f ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = f ∗ ω1 ∧ f ∗ ω2 .
1.1.10 Mệnh đề. (Xem [3]) f ∗ (dω) = d(f ∗ ω), ∀ω ∈ Ωk (M ).


9

Chứng minh. Giả sử (U, x) và (V, y) lần lượt là hệ tọa độ địa phương trên đa
tạp khả vi M và N . Với mọi ω ∈ Ωk (M ), ω =
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

ϕi1 ...ik dyi1 ∧...∧dyik ,

ta có:

dϕi1 ...ik ∧ dyi1 ∧ ... ∧ dyik .

dω =
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

Ta lại có:
f ∗ ω(X1 , ..., Xk ) = ω1 (f∗ X1 , ..., f∗ Xk )

ϕi1 ...ik dyi1 ∧ ... ∧ dyik (f∗ X1 , ..., f∗ Xk ).

=
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

Do đó

(d(f ∗ ω))(X1 , ..., Xk ) =

dϕi1 ...ik ∧ dyi1 ∧ ... ∧ dyik (f∗ X1 , ..., f∗ Xk )
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

=

f ∗ dϕi1 ...ik ∧ dyi1 ∧ ... ∧ dyik

(X1 , ..., Xk )

dϕi1 ...ik ∧ dyi1 ∧ ... ∧ dyik

(X1 , ..., Xk )

1≤i1 ≤...≤ik ≤n

= f∗
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

∗

= f (dω)(X1 , ..., Xk ), ∀X1 , ..., Xk ∈ B(M ).
Vậy f ∗ (dω) = d(f ∗ ω), ∀ω ∈ Ωk (M ).

1.1.11 Ví dụ. Cho ω ∈ Ω2 (R2 ), ω = xdy ∧ dz và

f : R2 → R3
(u, v) → f (u, v) = (u, uv, uv 2 )
Giả sử X, Y ∈ B(M ), X = (X1 , X2 ); Y = (Y1 , Y2 ). Ta có f khả vi và
1 0
v
u
Jf =
2
v 2uv
1 0
X1
f∗ X = v u
X2
v 2 2uv
= (X1 , vX1 + uX2 , v 2 X1 + 2uvX2 ).
1 0
Y1
v
u
f∗ Y =
Y2
v 2 2uv
= (Y1 , vY1 + uY2 , v 2 Y1 + 2uvY2 ).

10

Mặt khác, ta có:

f ∗ ω(X, Y ) = ω(f∗ X, f∗ Y ) = (xdy ∧ dz)(f∗ X, f∗ Y )
= x (vX1 + uX2 )(v 2 Y1 + 2uvY2 ) − (vY1 + uY2 )(v 2 X1 + 2uvX2 )
= x v 3 X1 Y1 + 2uv 2 X1 Y2 + uv 2 X2 Y1 + u2 vX2 Y2 − v 3 X1 Y1 −
− 2uv 2 X2 Y1 − uv 2 X1 Y2 − 2u2 vX2 Y2
= 2u2 v 2 (X1 Y2 − X2 Y1 ) − u2 v 2 (X1 Y2 − X2 Y1 )
= u2 v 2 (X1 Y2 − X2 Y1 ) = u2 v2 [du(X)dv(Y ) − dv(X)du(Y )]
= u2 v 2 du ∧ dv(X, Y ); ∀X, Y ∈ B(M ).
Vậy f ∗ (ω) = u2 v 2 du ∧ dv.
1.1.12 Mệnh đề. (Xem [3]) Giả sử M, N, G là các đa tạp khả vi và

f : M → N, g : N → G là các ánh xạ khả vi. Khi đó (gof )∗ = f ∗ og ∗ .
Chứng minh. Với mọi ω ∈ Ωk (M ), X1 , ..., Xk ∈ B(M ), ta có:

(gof )∗ ω (X1 , ..., Xk ) = ω (gof )∗ X1 , ..., (gof )∗ Xk
= ω g∗ (f∗ X1 ), ..., g∗ (f∗ Xk )
= (g ∗ ω)(f∗ X1 , ..., f∗ Xk ) = f ∗ g ∗ ω(X1 , ..., Xk )
= (f ∗ og ∗ )ω (X1 , ..., Xk ), ∀X1 , ..., Xk ∈ B(M ).
Suy ra (gof )∗ ω = (f ∗ og ∗ )ω, ∀ω ∈ Ωk (M ). Vậy (gof )∗ = f ∗ og ∗ .
Ký hiệu: Ωkc,s (M ), Ωkc (M ), Ωks (M ), Ωk (M ) lần lượt là không gian các

k−dạng vi phân lớp C s có giá compact trong M , không gian các k−dạng vi
phân trơn có giá compact trong M , không gian các k−dạng vi phân lớp C s ,
không gian các k−dạng trơn trên M .
Ta trang bị cấu trúc tôpô cho các không gian trên để chúng trở thành các

không gian tôpô tuyến tính.


11

Giả sử (U, x) là bản đồ địa phương trên đa tạp khả vi M . Khi đó k−dạng
vi phân α trên U được biểu diễn dưới dạng: α =

αI dxI , ở đó
I

I = (i1 , ..., ik ), 1 ≤ i1 ≤ ... ≤ ik ≤ n, dxI = dxi1 ∧ ... ∧ dxik , αI ∈ F(U ).
1.1.13 Định nghĩa. Giả sử K là tập compact trong U và α ∈ Ωks (U ), ta
đặt:

Ps,K (α) = sup
ở đây Dβ αI =

∂ β1 +...+βn αI
,β
β
∂x1 1 ...∂xβnn

Dβ αI (x) : x ∈ K, |β| ≤ s, I ,
= (β1 , ..., βn ) ∈ Zn+ , |β| = β1 + ... + βn . Khi

đó Ps,K (α) là một nửa chuẩn trên Ωks (U ). Cho K chạy qua tất cả các tập
compact của U ta được một họ nửa chuẩn {Ps,K } sinh ra tôpô lồi địa phương
trên Ωks (U ).
1.1.14 Định nghĩa. Ta mô tả tôpô trên Ωk (U ) như sau: giả sử {Uj }∞

j=1 là
dãy các tập mở, compact tương đối trong U , với U j ⊂ Uj+1 , ∀j ≥ 1. Ta xét
không gian Ωkc (U j ) với tôpô xác định bởi hệ nửa chuẩn Ps,Uj

Ps,Uj (α) = sup
ở đây Dβ αI =

∂ β1 +...+βn αI
,β
β
∂x1 1 ...∂xβnn

∞
s=0

cho bởi:

Dβ αI (x) : x ∈ Uj , |β| ≤ s, I ,

= (β1 , ..., βn ) ∈ Zn+ , |β| = β1 + ... + βn . Khi đó
∞

Ωkc (U j )

⊂

Ωkc (U j+1 )

k

Ωkc (U j ).

và Ω (U ) =
j=1

Tôpô trên Ωk (U ) được xác định như là giới hạn quy nạp chặt của họ Ωkc (U j ).
Điều này có nghĩa là một tập V ⊂ Ωk (U ) là lân cận của 0 ∈ Ωk (U ) nếu và
chỉ nếu V

Ωkc (U j ) là lân cận của 0 trong Ωkc (U j ) với mọi j, hay là một dãy

αj ∈ Ωk (U ) là hội tụ trong Ωk (U ) tới α ∈ Ωk (U ) nếu tồn tại j ∈ N∗ sao
cho αj , α ∈ Ωkc (U j ) và αj hội tụ trong Ωkc (U j ).
1.1.15 Chú ý. Dãy αj ⊂ Ωk (U ) mà αj → α trong tôpô Ωk (U ) khi và chỉ
khi
i) Tồn tại tập compact K ⊂ U sao cho suppαIj , suppαI ⊂ K, ∀I, j;
ii) Dβ (αIj ) → Dβ (αI ) đều trên K khi j → ∞ với mọi I và mọi β ∈ Zn+ .


12

1.2. k−dòng trên đa tạp
1.2.1 Định nghĩa. k−dòng (hay dòng bậc k ) có chiều (n − k) trên tập mở

U ⊂ M là dạng tuyến tính liên tục T : Ωn−k
(U ) → R. Nếu ω là dạng trong
c
Ωn−k
(U ), giá trị của T tại ω , ký hiệu T (ω) hay < T, ω >.
c

Dòng bậc n ( chiều 0) được gọi là một phân bố.
Ký hiệu Dk (M ) = {T | T là k-dòng trên đa tạp M .}
Sau đây là ví dụ về dòng trên đa tạp.
1.2.2 Ví dụ. Giả sử T = ψ là k−dạng vi phân trên U , với các hệ số khả
tích địa phương, T = ψ =

ψI dxI ,
I



1
ψI ∈ Lloc (U ) = f | U → R : ∀K ⊂ U


K



|f | dV < +∞ .


Xét ánh xạ

Tψ : Ωn−k
(U ) → R
c
α → Tψ (α) =

ψ ∧ α.

U

Khi đó Tψ là k−dòng trên U.

(U ) nên Tψ (α) xác định và hiển
Thật vậy, do ψI ∈ L1loc (U ) và α ∈ Ωn−k
c
nhiên Tψ là dạng tuyến tính. Ta chứng minh Tψ liên tục trên Ωn−k
(U ).
c
Giả sử αj =
I

αIj dxI ∈ Ωn−k
(U ) và αj → 0 trên Ωn−k
(U ).
c
c

j

Vì α → 0 trong Ωcn−k (U ) nên
1) Tồn tại tập compact K ⊂ U sao cho suppαIj , suppαI ⊂ K, ∀I, j;
2) Dβ (αIj ) → 0 đều trên K khi j → ∞ với mọi I và mọi β ∈ Zn+ .
Do đó, ta có: Tψ (αj ) =

ψ ∧ αj =
U

≤

|ψI | dV sup
I K

ψ ∧ αj
K

Dβ αIj (x) : x ∈ K, |β| ≤ s, I

=


13

= C.sup

Dβ αIj (x) : x ∈ K, |β| ≤ s, I

→ 0 khi j → ∞.

Suy ra Tψ (αj ) → Tψ (0) = 0 khi j → ∞. Do đó Tψ liên tục trên Ωn−k
(U ).
c
Vậy Tψ là k−dòng trên U .
1.2.3 Định nghĩa. Giả sử T ∈ Dk (M ), ω ∈ Ωp (M ). Tích ngoài T ∧ ω là

(k + p)−dòng trên M và được xác định bởi:
(T ∧ ω)(α) = T (ω ∧ α), ∀α ∈ Ωn−k−p
(M ),
c

Tích ngoài ω ∧ T là (k + p)−dòng trên M và được xác định bởi:

ω ∧ T = (−1)kp T ∧ ω.
Từ Định nghĩa 1.2.3 và bằng tính toán trực tiếp ta thu được mệnh đề sau:
1.2.4 Mệnh đề. (Xem [2]) Giả sử T, T1 , T2 ∈ Dk (M ), ω, ω1 , ω2 ∈ Ωp (M ).
Khi đó
i) T ∧ (ω1 + ω2 ) = T ∧ ω1 + T ∧ ω2 ;
ii) (T1 + T2 ) ∧ ω = T1 ∧ ω + T2 ∧ ω.
Chứng minh. Giả sử T, T1 , T2 ∈ Dk (M ), ω, ω1 , ω2 ∈ Ωp (M ).
i) Với mọi α ∈ Ωcn−k−p (M ), ta có:

T ∧ (ω1 + ω2 ) (α) = T ((ω1 + ω2 ) ∧ α)
= T (ω1 ∧ α + ω2 ∧ α)
= T (ω1 ∧ α) + T (ω2 ∧ α)
= (T ∧ ω1 )(α) + (T ∧ ω2 )(α)
= T ∧ ω1 + T ∧ ω2 (α), ∀α ∈ Ωn−k−p
(M ).
c
Do đó T ∧ (ω1 + ω2 ) = T ∧ ω1 + T ∧ ω2 .
ii) Với mọi α ∈ Ωcn−k−p (M ), ta có:

(T1 + T2 ) ∧ ω (α) = (T1 + T2 )(ω ∧ α)
= T1 (ω ∧ α) + T2 (ω ∧ α)
= (T1 ∧ ω)(α) + (T2 ∧ ω)(α)
= T1 ∧ ω + T2 ∧ ω (α), ∀α ∈ Ωn−k−p
(M ).
c


14

Do đó (T1 + T2 ) ∧ ω = T1 ∧ ω + T2 ∧ ω.
1.2.5 Định nghĩa. A´nh xạ

d : Dk (M ) → Dk+1 (M )
T → dT
được gọi là vi phân ngoài của k−dòng T , trong đó dT được xác định bởi:

dT (ω) = (−1)k+1 T (dω), ∀ω ∈ Ωn−k−1
(M )
c
và dω là vi phân ngoài của k -dạng vi phân ω trên M .
Dòng T được gọi đóng nếu dT = 0. Các dòng có bậc cực đại (bằng n)
luôn đóng. Nếu tồn tại S ∈ Dk−1 (M ) sao cho T = dS thì ta nói T là k−dòng
khớp.
1.2.6 Mệnh đề. (Xem [8]) Giả sử T ∈ Dk (M ), ω ∈ Ωp (M ). Khi đó

d(T ∧ ω) = dT ∧ ω + (−1)k T ∧ dω.
(M ), áp dụng Mệnh đề 1.1.5, ta có:
Chứng minh. Với mọi α ∈ Ωn−k−p−1
c
(d(T ∧ ω))(α) = (−1)k+p+1 (T ∧ ω)(dα)
= (−1)k+p+1 T (ω ∧ dα)
= (−1)k+p+1 T (−1)p d(ω ∧ α) − (−1)p dω ∧ α
= (−1)k+1 T (d(ω ∧ α)) + (−1)k T (dω ∧ α)
= dT (ω ∧ α) + (−1)k (T ∧ dω)(α)
= (dT ∧ ω)(α) + (−1)k (T ∧ dω)(α)
= (dT ∧ ω + (−1)k T ∧ dω)(α), ∀α ∈ Ωn−k−p−1
(M ).
c

Vậy d(T ∧ ω) = dT ∧ ω + (−1)k T ∧ dω.


15

CHƯƠNG 2
ĐẠO HÀM LIE CỦA DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP

Trong chương này, chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết các tính
chất về đạo hàm Lie của hàm số, của trường vectơ và của dạng vi phân trên
đa tạp.

2.1. Nhóm một tham số
2.1.1 Định nghĩa. Ký hiệu Iε = (−ε, ε), với ε dương. A´nh xạ khả vi

ϕ : Iε × M → M
(t, x) → ϕ(t, x)
sao cho ánh xạ

ϕt : M → M
x → ϕt (x) = ϕ(t, x)

là vi phôi và thỏa mãn ϕ0 = id; ϕt+s = ϕt oϕs , ∀t, s ∈ Iε . Khi đó {ϕt }t∈Iε
được gọi là nhóm vi phôi một tham số địa phương (hay nhóm một tham số
địa phương).
2.1.2 Định nghĩa. A´nh xạ khả vi

ϕ:R×M →M
(t, x) → ϕ(t, x)
sao cho ánh xạ

ϕt : M → M
x → ϕ(t, x)

là vi phôi và thỏa mãn ϕ0 = id; ϕt+s = ϕt oϕs , ∀t, s ∈ R. Khi đó {ϕt }t∈R được
gọi là nhóm vi phôi một tham số (hay nhóm một tham số ).


16

2.1.3 Chú ý. (Xem [1] )
i) Nhóm 1−tham số {ϕt }t∈R trên M sinh ra trường vectơ X xác định
như sau: với mỗi p ∈ M , ta lấy Xp là vectơ tiếp xúc với đường cong:

ρ(t) = ϕt (p) tại p. Đường cong này được gọi là quỹ đạo của điểm p.
ii) (ϕt )−1 = ϕ−t .
2.1.4 Định lý. (Xem [1] ) Nếu X là trường vectơ khả vi trên đa tạp M, thì
với mỗi p ∈ M, tồn tại một lân cận U của p, một số ε > 0 và nhóm 1-tham
số địa phương ϕt : U → M, t ∈ Iε sinh ra bởi trường vectơ X đã cho.
2.1.5 Bổ đề. (Xem [4] ) Giả sử f(t,p) là hàm xác định trên Iε × M sao cho
f(0,p)=0, ∀p ∈ M. Khi đó tồn tại hàm g(t, p) xác định trên Iε × M thỏa mãn:

f (t, p) = tg(t, p), ∀p ∈ M.
Chứng minh. Lấy g(t, p) =

1 ∂f
0 ∂t (st, p)ds.

Khi đó

1

∂f
(st, p)tds
0 ∂t
1
∂
=
f (st, p)ds
0 ∂s
= f (t, p) − f (0, p) = f (t, p).

tg(t, p) =

2.1.6 Bổ đề. (Xem [4] ) Giả sử X ∈ B(M ) và {ϕt } là nhóm một tham số
địa phương sinh ra bởi trường vectơ X. Khi đó với mỗi hàm f trên M đều tồn
tại hàm gt (p) = g(t, p), với mỗi p ∈ M sao cho: f (ϕt (p)) = f (p) + tgt (p),
với mọi (t, p) ∈ Iε × M, Iε = (−ε, ε), với ε > 0 và g0 (p) = Xp [f ], ∀p ∈ M.
Chứng minh. Giả sử X ∈ B(M ) và {ϕt } là nhóm một tham số địa phương
sinh ra bởi trường vectơ X. Xét hàm

f (t, p) = f (ϕt (p)) − f (p), ∀(t, p) ∈ Iε × M
Ta có:

f (0, p) = f (ϕ0 (p)) − f (p) = f (p) − f (p) = 0.


17

Do đó theo Bổ đề 2.1.5, tồn tại hàm gt (p) = g(t, p) xác định trên Iε × M sao

cho:

f (t, p) = tg(t, p), ∀p ∈ M
⇔f ({ϕt (p)) − f (p) = tg(t, p)
⇔f ({ϕt (p)) = f (p) + tg(t, p).

Mặt khác ta có:

f (ϕt (p)) − f (p)
t→0
t
tgt (p)
= lim
t→0
t
= lim gt (p) = g0 (p), ∀p ∈ M.

Xp [f ] = lim

t→0

2.2. Đạo hàm Lie của hàm số
2.2.1 Định nghĩa. Giả sử X ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và {ϕt } là nhóm một
tham số địa phương sinh ra bởi trường vectơ X . A´nh xạ

LX : F(M ) → F(M )
f → LX f
được gọi là đạo hàm Lie của hàm f theo trường vectơ X , trong đó
d
(LX f )(p) =

f (ϕt (p))
, ∀p ∈ M.
t=0
dt
∂
2.2.2 Nhận xét. Giả sử X ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và Ei = ∂x
, i = 1, 2, ..., n
i
là các trường vectơ cơ sở trên M . Khi đó
i) LX f = X[f ];
ii) LEi f =

∂f
∂xi , ∀i

= 1, 2, ..., n.

Chứng minh. i) Giả sử X ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và {ϕt } là nhóm một tham số
sinh ra bởi trường vectơ X . Theo định nghĩa đạo hàm Lie của hàm số, ta có:

d
f (ϕt (p))
t=0
dt
= Xp [f ], ∀p ∈ M.

(LX f )(p) =


18

Do đó LX f = X[f ].
ii)Ta có:

LEi f = Ei [f ]
n

=

(Ei )j
j=1

=

∂f
∂xj

∂f
, i = 1, 2, ..., n.
∂xi

2.2.3 Ví dụ. Trong R3 cho X = (x, xy, yz) và

f : R3 → R
(x, y, z) → f (x, y, z) = x2 y + y 2 z
Tính đạo hàm Lie của hàm số f theo trường vectơ X .
Giải Ta có:
3

LX f = X[f ] =

Xi
i=1

∂f
∂xi

= x.2xy + xy(x2 + 2yz) + yz.y 2
= 2x2 y + x3 y + 2xy 2 z + zy 3 .
2.2.4 Mệnh đề. (Xem [11]) Nếu X, Y ∈ B(M ) thì

L[X,Y ] = LX oLY − LY oLX .
Chứng minh. Với mọi X, Y ∈ B(M ), ta có:

[X, Y ][f ] = X[Y [f ]] − Y [X[f ]], ∀f ∈ F(M ).
Do đó theo Nhận xét 2.2.2, ta có:

L[X,Y ] f = LX (LY f ) − LY (LX f )
= (LX oLY )(f ) − (LY oLX )(f )
= (LX oLY − LY oLX )(f ), ∀f ∈ F(M ).
Vậy L[X,Y ] = LX oLY − LY oLX .


19

2.3. Đạo hàm Lie của trường vectơ
2.3.1 Định nghĩa. Giả sử X, Y ∈ B(M ) và {ϕt }t∈Iε là nhóm một tham số
địa phương sinh ra bởi trường vectơ X ; Iε = (−ε, ε), với ε dương. A´nh xạ

LX : B(M ) → B(M )

Y → LX Y
được gọi là đạo hàm Lie của trường vectơ Y theo trường vectơ X , trong đó

LX Y được xác định bởi:
(LX Y )(p) = lim

(ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p) − Yp
t

t

t→0

=

d
(ϕ−t )∗|ϕt (p) Yϕt (p)
dt

, ∀p ∈ M.
t=0

Từ Định nghĩa 2.3.1 và Bổ đề 2.1.6 ta thu được Mệnh đề 2.3.2.
2.3.2 Mệnh đề. (Xem [11]) Giả sử X, Y ∈ B(M ) và f ∈ F(M ). Khi đó
i) LX (Y + Z) = LX Y + LX Z;
ii) LX (f Y ) = f LX Y + Y LX f ;
iii) LX Y = −LY X = [X, Y ].
Chứng minh. Giả sử X, Y ∈ B(M ), f ∈ F(M ) và {ϕt }t∈Iε là nhóm một tham
số địa phương sinh ra bởi trường vectơ X .
i) Với mọi p ∈ M , ta có:

d
(ϕ−t )∗|ϕ (p) (Y + Z)ϕt (p)
t
t=0
dt
d
=
(ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p) + (ϕ−t )∗|ϕ (p) Zϕt (p)
t
t
t=0
dt
d
d
=
(ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p)
+
(ϕ−t )∗|ϕ (p) Zϕt (p)
t
t
t=0
dt
dt
= (LX Y )(p) + (LX Z)(p)

(LX (Y + Z))(p) =

= (LX Y + LX Z)(p), ∀p ∈ M.
Vậy LX (Y + Z) = LX Y + LX Z.

t=0


20

ii) Với mọi p ∈ M , ta có:

d
(ϕ−t )∗|ϕ (p) (f Y )ϕt (p)
t
t=0
dt
d
f (ϕt (p)).(ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p)
=
t
t=0
dt
d
=
f (ϕt (p))
. (ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p)
+
t
t=0
t=0
dt
d
(ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p)

+ f (ϕt (p)) .
t
t=0 dt
= (LX f ) (p).Yp + f (p).(LX Y )(p), ∀p ∈ M.

(LX (f Y ))(p) =

Vậy LX (f Y ) = f LX Y + Y LX f.
iii) Với mọi p ∈ M , ta có:

(LX Y )p [f ] = lim

(ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p) − Yp
t

t

t→0

= lim

f

(ϕ−t )∗|ϕ (p) Yϕt (p) [f ] − Yp [f ]
t

t

t→0

Thay t bởi −t , ta được:

(LX Y )p [f ] = lim

Yp [f ] − (ϕt )∗|ϕ

−t (p)

Yϕ−t (p) [f ]

t
Yp [f ] − Yϕ−t (p) (f oϕt )
= lim
t→0
t
t→0

A´p dụng Bổ đề 2.1.6, tồn tại hàm gt (p) = g(t, p), ∀p ∈ M sao cho:
f oϕt = f + tgt và g0 = X[f ].
Do đó

Yp [f ] − Yϕ−t (p) (f + tgt )
t→0
t
Yp [f ] − Yϕ−t (p) [f ]
= lim
− lim Yϕ−t (p) [gt ]
t→0
t→0
t

Yϕ (p) [f ] − Yp [f ]
= lim t
− Yp [g0 ]
t→0
t
(Y [f ])(ϕt (p)) − (Y [f ])(p)
= lim
− Yp [X[f ]]
t→0
t
= Xp [Y [f ]] − Yp [X[f ]]

(LX Y )p [f ] = lim

= [X, Y ]p [f ], ∀p ∈ M, ∀f ∈ F(M ).

t=0


21

Vậy LX Y = [X, Y ] = −[Y, X] = −LY X.
2.3.3 Ví dụ. Trong R3 cho X = (1, x, y) và Y = (x, x2 y, y 2 z). Tính đạo
hàm Lie của trường vectơ Y theo trường vectơ X .
Giải Theo Mệnh đề 2.3.2 ta có: LX Y = [X, Y ] = DX Y − DY X.
Mà

DX Y = (X[Y1 ], X[Y2 ], X[Y3 ])
= 1, 2xy + x3 , 2xyz + y 3
DY X = (Y [X1 ], Y [X2 ], Y [X3 ])

= 0, x, x2 y .

Vậy

LX Y = DX Y − DY X
= 1, 2xy + x3 , 2xyz + y 3 − 0, x, x2 y
= 1, 2xy + x3 − x, 2xyz + y 3 − x2 y .
2.3.4 Nhận xét. Giả sử X, Y, Z ∈ B(M ). Khi đó

LX [Y, Z] = [LX Y, Z] + [Y, LX Z].
Chứng minh. Giả sử X, Y, Z ∈ B(M ). Theo đẳng thức Jacobi của tích Lie
ta có:

[X, [Y, Z]]+[Y, [Z, X]]+[Z, [X, Y ]] = 0 ⇒ [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z]+[Y, [X, Z]].
Do đó áp dụng Mệnh đề 2.3.2, ta được: LX [Y, Z] = [LX Y, Z] + [Y, LX Z]
Giả sử {ϕt }t∈Iε là nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi trường vectơ

X . Đặt (ϕ∗t Y ) (p) = (ϕt )−1
∗|

ϕt (p)

Yϕt (p) , ∀p ∈ M, ∀Y ∈ B(M ). Khi đó

LX Y =

d ∗
(ϕ Y )
dt t

.
t=0

2.3.5 Định lý. Giả sử X, Y ∈ B(M ) và {ϕt }t∈Iε là nhóm một tham số địa
phương sinh ra bởi trường vectơ X . Khi đó

d ∗
(ϕt Y ) = ϕ∗t LX Y.
dt


22

Chứng minh. Giả sử X, Y ∈ B(M ) và {ϕt }t∈Iε là nhóm một tham số địa
phương sinh ra bởi trường vectơ X , ta có:

d ∗
d
(ϕt Y ) = (ϕt+s )∗ Y
t
s=0
dt
ds
d
(ϕ∗ (ϕ∗ Y ))
=
s=0
ds t s
d
= ϕ∗t (ϕ∗s Y )

s=0
ds
∗
= ϕt LX Y.

2.4. Đạo hàm Lie của dạng vi phân
2.4.1 Định nghĩa. Giả sử X ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ) và {ϕt }t∈Iε là nhóm một
tham số địa phương sinh ra bởi trường vectơ X ; I = (−ε, ε), với ε dương.
A´nh xạ
k

LX ω : M →

(Tp M )

p → (LX ω)p
được gọi là đạo hàm Lie của k−dạng vi phân ω theo trường vectơ X , trong
đó (LX ω)p được xác định bởi:

(ϕt )∗ ωϕt (p) − ωp
d
=
(ϕt )∗ ωϕt (p)
t→0
t
dt

(LX ω)p = lim

, ∀p ∈ M.

t=0

2.4.2 Định nghĩa. Giả sử X, X1 , X2 , ..., Xk−1 ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ). A´nh
xạ

iX : Ωk (M ) → Ωk−1 (M )
ω → iX ω
được gọi là ánh xạ kéo lùi k−dạng vi phân ω theo hướng X , trong đó iX ω
được xác định bởi:

(iX ω)(X1 , ..., Xk−1 ) = ω(X, X1 , ..., Xk−1 ), ∀X1 , X2 , ..., Xk−1 ∈ B(M ).
Qui ước: iX ϕ = 0, ∀ϕ ∈ F(M ).


23

2.4.3 Mệnh đề. Giả sử X, Y ∈ B(M ), ω, µ ∈ Ωk (M ), ϕ ∈ F(M ). Khi đó
i) iX (ω + µ) = iX ω + iX µ;
ii) iX+Y ω = iX ω + iY ω;
iii) iX dϕ = LX ϕ;
iv) iϕX ω = ϕiX ω;
v) iX (ϕω) = ϕiX ω.
Chứng minh. i) Với mọi X, X1 , X2 , ..., Xk−1 ∈ B(M ), ω, µ ∈ Ωk (M ), ta có:

iX (ω + µ) (X1 , ..., Xk−1 ) = (ω + µ)(X, X1 , ..., Xk−1 )
= ω(X, X1 , ..., Xk−1 ) + µ(X, X1 , ..., Xk−1 )
= (iX ω)(X1 , ..., Xk−1 ) + (iX µ)(X1 , ..., Xk−1 )
= (iX ω + iX µ)(X1 , ..., Xk−1 ).
Vậy iX (ω + µ) = iX ω + iX µ.
ii) Với mọi X, Y, X1 , X2 , ..., Xk−1 ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ), ta có:

(iX+Y ω)(X1 , ..., Xk−1 ) = ω(X + Y, X1 , ..., Xk−1 )
= ω(X, X1 , ..., Xk−1 ) + ω(Y, X1 , ..., Xk−1 )
= (iX ω)(X1 , ..., Xk−1 ) + (iY ω)(X1 , ..., Xk−1 )
= (iX ω + iY ω)(X1 , ..., Xk−1 ).
Vậy iX+Y ω = iX ω + iY ω.
iii) Với mọi X ∈ B(M ), ϕ ∈ F(M ), ta có:

iX dϕ = dϕ(X) = X[ϕ] = LX ϕ.
iv) Với mọi X, X1 , X2 , ..., Xk−1 ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ), ϕ ∈ F(M ), ta có:

(iϕX ω)(X1 , ..., Xk−1 ) = ω(ϕX, X1 , ..., Xk−1 )
= ϕ (ω(X, X1 , ..., Xk−1 ))
= ϕ ((iX ω)(X1 , ..., Xk−1 ))
= (ϕiX ω)(X1 , ..., Xk−1 ), ∀X, X1 , X2 , ..., Xk−1 ∈ B(M ).


24

Vậy iϕX ω = ϕiX ω.
v) Với mọi X, X1 , X2 , ..., Xk−1 ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ), ϕ ∈ F(M ), ta có:

(iX (ϕω))(X1 , ..., Xk−1 ) = (ϕω)(X, X1 , ..., Xk−1 )
= ϕ (ω(X, X1 , ..., Xk−1 ))
= ϕ ((iX ω)(X1 , ..., Xk−1 ))
= (ϕiX ω)(X1 , ..., Xk−1 ), ∀X, X1 , X2 , ..., Xk−1 ∈ B(M ).
Vậy iX (ϕω) = ϕiX ω.
2.4.4 Mệnh đề. Giả sử X, Y ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ), µ ∈ Ωl (M ). Khi đó
i) i2X = 0;
ii) iX iY + iY iX = 0;

iii) iX (ω ∧ µ) = iX ω ∧ µ + (−1)k ω ∧ iX µ.
Chứng minh. i) Với mọi X, X1 , X2 , ..., Xk−2 ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ), ta có:

(i2X ω)(X1 , ..., Xk−2 ) = (iX (iX ω))(X1 , ..., Xk−2 )
= (iX ω)(X, X1 , ..., Xk−2 )
= ω(X, X, X1 , ..., Xk−2 ) = 0, ∀X1 , ..., Xk−2 ∈ B(M ).
Vậy i2X = 0.
ii) Với mọi X, X1 , X2 , ..., Xk−2 ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ), ta có:

(iX iY + iY iX )(ω) (X1 , ..., Xk−2 ) = (iX iY )(ω) + (iY iX )(ω) (X1 , ..., Xk−2 )
= iX (iY ω) (X1 , ..., Xk−2 ) + iY (iX ω) (X1 , ..., Xk−2 )
= (iY ω)(X, X1 , ..., Xk−2 ) + (iX ω)(Y, X1 , ..., Xk−2 )
= ω(Y, X, X1 , ..., Xk−2 ) + ω(X, Y, X1 , ..., Xk−2 )
= −ω(X, Y, X1 , ..., Xk−2 ) + ω(X, Y, X1 , ..., Xk−2 )
= 0, ∀X1 , X2 , ..., Xk−2 ∈ B(M ).
Vậy iX iY + iY iX = 0.
iii) Với mọi X1 , X2 , ..., Xk+l ∈ B(M ), ω ∈ Ωk (M ), µ ∈ Ωl (M ) và giả sử


25

X = X1 , ta có:
(iX (ω ∧ µ))(X2 , ..., Xk+l ) = (ω ∧ µ)(X1 , X2 , ..., Xk+l )
=

sign(δ)ω(Xδ(1) , ..., Xδ(k) ).µ(Xδ(k+1) , ..., Xδ(k+l) )
δ1 ≤...≤δk
δk+1 ≤...≤δk+l

sign(δ)ω(Xδ(1) , ..., Xδ(k) ).µ(Xδ(k+1) , ..., Xδ(k+l) )+

=
δ2 ≤...≤δk
δk+1 ≤...≤δk+l

+

sign(δ)ω(Xδ(1) , ..., Xδ(k) ).µ(Xδ(k+1) , ..., Xδ(k+l) )
δ1 ≤...≤δk
δk+2 ≤...≤δk+l

=

sign(δ)ω(X1 , Xδ(2) , ..., Xδ(k) ).µ(Xδ(k+1) , ..., Xδ(k+l) )+
δ2 ≤...≤δk
δk+1 ≤...≤δk+l

+

sign(δ)ω(Xδ(1) , ..., Xδ(k) ).µ(Xk+1 , Xδ(k+2) , ..., Xδ(k+l) )
δ1 ≤...≤δk
δk+2 ≤...≤δk+l

=

sign(δ)(iX ω)(Xδ(2) , ..., Xδ(k) ).µ(Xδ(k+1) , ..., Xδ(k+l) )+
δ2 ≤...≤δk
δk+1 ≤...≤δk+l
k

+(−1)

sign(δ)ω(Xδ(1) , ..., Xδ(k) ).µ(X1 , Xδ(k+2) , ..., Xδ(k+l) )

δ1 ≤...≤δk
δk+2 ≤...≤δk+l

= (iX ω ∧ µ)(X2 , ..., Xk+l )+
+(−1)k

sign(δ)ω(Xδ(1) , ..., Xδ(k) ).(iX µ)(Xδ(k+2) , ..., Xδ(k+l) )
δ1 ≤...≤δk
δk+2 ≤...≤δk+l

= (iX ω ∧ µ)(X2 , ..., Xk+l ) + (−1)k (ω ∧ iX µ)(X2 , ..., Xk+l )
= iX ω ∧ µ + (−1)k ω ∧ iX µ (X2 , ..., Xk+l ), ∀X2 , ..., Xk+l ∈ B(M ).
Vậy iX (ω ∧ µ) = iX ω ∧ µ + (−1)k ω ∧ iX µ.
Từ định nghĩa đạo hàm Lie của k−dạng vi phân theo một trường vectơ
và bằng kỹ thuật tính toán ta chứng minh được công thức sau:
2.4.5 Định lý. (Xem [11]) Giả sử X, X1 , X2 , ..., Xk ∈ B(M ); ω ∈ Ωk (M ) .
Khi đó đạo hàm Lie của k-dạng vi phân ω theo trường vectơ X được xác định
bởi công thức:
k

(LX ω)(X1 , ..., Xk ) = LX (ω(X1 , ..., Xk ))−

ω(X1 , ..., LX Xi , ..., Xk ). (2.1)
i=1

Chứng minh. Giả sử X, X1 , ..., Xk ∈ B(M ); ω ∈ Ωk (M ) và {ϕt }t∈Iε là nhóm

một tham số địa phương sinh ra bởi trường vectơ X; Iε = (−ε, ε), với ε dương.