Về định lý NEVALNINNA CARTAN p ADIC

1

MỤC LỤC

Mở đầu

2

1 Các kiến thức cơ sở

5

1.1 Xây dựng trường các số p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Độ cao của hàm và ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Các tính chất cở bản của độ cao . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Định lý Nevanlinna-Cartan p-adic

22

2.1 Định lý Nevanlinna-Cartan p-adic . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2 Một số hệ quả của định lý Nevanlinna - Cartan p-adic . . . .

30

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết Nevanlinna được đánh giá như là một trong những thành tựu
đẹp đẽ và sâu sắc của Toán học. Lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những
công trình của Hadamard, Borel, và ngày càng có nhiều ứng dụng trong
những lĩnh vực khác nhau của toán học. Có thể xem Định lý Nevanlinna là
một dạng siêu việt của định lý cơ bản của đại số nói rằng, số nghiệm của
một đa thức trên trường đóng đại số đúng bằng số bậc của đa thức. Mặt
khác, theo triết lý của A.Weil về sự tương tự giữa trường số và trường hàm
thì nó cũng là sự tương tự của định lý cơ bản của số học về sự phân tích
tiêu chuẩn của các số tự nhiên.
Đến những năm đầu của thập kỷ 80 của thế kỷ XX, P.Vojta đã phát hiện
ra rằng, có một bản dịch của lý thuyết Nevanlinna trong số học: đó là định
lý Roth. Phát hiện này làm thay đổi nhiều phần của số học hiện đại, và

đưa đến những kết quả sâu sắc của G.Faltings, P.Vojta, trong đó những tư
tưởng của lý thuyết Nevanlinna đóng vai trò chủ đạo. Nói một cách vắn tắt,
nhiều giả thuyết của số học sẽ được chứng minh nếu ta xây dựng được một
"lý thuyết Nevanlinna số học". Ta nhớ lại nguyên lý Hasse-Minkowski: ta
hy vọng có một "kết quả số học" nếu ta đã có nó trong trường hợp thực,
phức và p-adic. Với mục đích như vậy đã làm xuất hiện nhu cầu xây dựng
lý thuyết Nevanlinna p-adic. Trong khi lý thuyết Nevanlinna đã được hoàn
thiện trong trường hợp phức và được thể hiện trong các công trình của
H.Cartan và H.Weyl - J.Weyl, thì lý thuyết Nevanlinna p-adic vẫn còn chưa
được hoàn thiện. Điều đó là động lực để chúng tôi cố gắng tìm hiểu sự thể


3

hiện của lý thuyết Nevanlinna khi trường cơ sở là trường số p-adic.
Lý thuyết Nevanlinna p-adic một chiều được xây dựng lần đầu trong các
công trình của Hà Huy Khoái. Nhu cầu xây dựng một lý thuyết Nevanlinna
nhiều chiều dẫn đến việc phải xét lý thuyết Nevanlinna p-adic trong trường
hợp nhiều biến. Những công trình đầu tiên theo hướng này thuộc về Hà Huy
Khoái, sau đó tiếp tục được phát triển và được thể hiện trong các công trình
của Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tư, Nguyễn Thành Quang... Trong luận văn
này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của lý thuyết Nevanlinna
p-adic và một số tính chất của chúng. Trình bày Định lý Nevanlinna - Cartan
p-adic và các hệ quả.
Luận văn bao gồm 2 chương
Chương 1. Các kiến thức cơ sở
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm như: độ cao của
chuỗi lũy thừa, độ cao hàm chỉnh hình, độ cao của ánh xạ chỉnh hình trong
mặt phẳng xạ ảnh P n (Cp ). Đồng thời, chúng tôi trình bày một số tính
chất cơ bản của độ cao. Điều này làm cơ sở cho việc chứng minh Định lý

Nevanlinna - Cartan p-adic ở chương 2.
Chương 2. Định lý Nevanlinna - Cartan p-adic
Đây là nội dung chính của luận văn, bao gồm 2 tiết. Tiết 2.1, chúng tôi
trình bày định lý Nevanlinna - Cartan p-adic và chứng minh chi tiết định
lý. Tiết 2.2, chúng tôi trình bày các hệ quả của định lý Nevanlinna - Cartan
p-adic. Trong đó có các kết quả là sự tương tự của những định lý đã được
khẳng định trong không gian phức C. Chẳng hạn như: Bổ đề Borel p-adic,
Định lý Green p-adic.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình của TS. Mai Văn Tư. Nhân dịp này cho phép tác giả bày tỏ lời cảm
ơn sâu sắc nhất tới TS. Mai Văn Tư, người thầy đã tận tình hướng dẫn tác
giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin trân


4

trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa Toán
đã nhiệt tình giảng dạy, chỉ bảo. Cuối cùng tác giả cảm ơn tất cả bạn bè đã
luôn giúp đỡ, động viên trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Vinh, tháng 10 năm 2010
Tác giả


5

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1

Xây dựng trường các số p-adic

1.1.1 Sự phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ. (Xem
chi tiết trong [1]).
Cho p là số nguyên tố. ∀x ∈ Q, x = 0, ta có
x = ±pα1 1 pα2 2 ...pαn n ,

với pi là các số nguyên tố; αi là các số nguyên, i = 1, 2, ...n.
Với mỗi x ∈ Q, x = 0, ký hiệu
ordp (x) =

αi
0

(p = pi )
.
(p = pi , i = 1, ..., n)

Với mỗi x ∈ Q, ký hiệu |x|p = p−ordp x nếu x = 0 và |0|p = 0.
Khi đó |.|p thỏa mãn 3 điều kiện của giá trị tuyệt đối phi Acsimet và được
gọi là giá trị tuyệt đối p-adic.
Định lý Ostrowski: Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Q
đều tương đương với một trong hai giá trị tuyệt đối là: giá trị tuyệt đối
p-adic |.|p với p là số p-adic và giá trị tuyệt đối thông thường |.|∞ .
Định lý Ostrowski cho chúng ta 2 cách mở rộng trường Q thành một
trường đóng đại số. Thứ nhất, theo giá trị tuyệt đối thông thường, Q được
mở rộng thành C. Thứ hai là cách mở rộng theo giá trị tuyệt đối p-adic như
được trình bày ở mục 1.1.2 sau đây.

1.1.2 Trường các số p-adic. (Xem chi tiết trong [1]).


6

Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p-adic
|.|p . Trên X ta xác định quan hệ tương đương như sau:
a = {an } ∈ X; b = {bn } ∈ X.
a ∼ b ⇔ lim |an − bn |p = 0.
n→∞

Ký hiệu Qp = X/ ∼.
Giá trị tuyệt đối trên Qp được cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối |.|p trên
Q được xác định như sau: với mỗi a ∈ Qp , a có đại diện là {an }, khi đó
|a|p = lim |an |p .
n→∞

Trên Qp xây dựng hai phép toán, với a, b ∈ Qp , {an }, {bn } lần lượt là đại
diện của a và b ta có:
a + b = {an + bn },

ab = {an bn }.

Khi đó, Qp cùng với hai phép toán trên lập thành một trường gọi là trường
các số hữu tỷ p-adic. Nó là mở rộng của Q. Người ta chứng minh được rằng
có thể mở rộng Qp thành một trường đóng đại số, đầy đủ. Trường đó được
ký hiệu là Cp và gọi là trường các số phức p-adic, (xem chi tiết trong [1]).
Đặt
Dr (a) = {z ∈ Cp : |z − a|p < r},
Dr (a) = {z ∈ Cp : |z − a|p ≤ r},

D1 (0) = D;

D1 (0) = D.

1.1.3 Chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa p-adic là một chuỗi hàm có dạng
∞

an z n = a0 + a1 z + ... + an z n + ...

(1.1)

n=0

trong đó ai ∈ Cp (i = 0, 1, ...).
1.1.4 Nhận xét. Chuỗi lũy thừa p-adic có thể viết dưới dạng tổng quát
∞

an (z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 ) + ... + an (z − z0 )n + ...
n=0

(1.2)


7

Bằng cách đặt X = z − z0 , chúng ta có thể chuyển việc khảo sát chuỗi
hàm (1.2) về việc khảo sát chuỗi hàm (1.1). Chuỗi lũy thừa (1.1) có tổng
riêng là một đa thức
n

ak z k .

Sn (z) =
k=0

Do vậy, nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì tổng S(z) của nó có thể xấp xỉ bằng
một đa thức nào đó với độ chính xác tùy ý, miễn là bậc của Sn (z) được lấy
đủ lớn.
1.1.5 Bán kính hội tụ. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.1) được
xác định bởi hệ thức
−1
r = ( lim |an |1/n
p ) .
n→∞

Đặt
Dr = Dr (0) = {z ∈ Cp : |z|p < r}.

1.1.6 Định lý (Xem [9]).
(i) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi lim |an z n |p = 0.
n→∞

(ii) Giả sử rằng
r=

lim |an |1/n
p

−1

n→∞

.

Khi đó chuỗi (1.1) hội tụ trong Dr và phân kỳ trong miền
{z ∈ Cp : |z|p > r}.
(iii) Nếu chuỗi (1.1) hội tụ trong miền Dr thì nó hội tụ tuyệt đối, hội

tụ đều trong Dr .
(iv) Nếu chuỗi (1.1) hội tụ về S(z) trong miền Dr thì S(z) là hàm liên

tục trên Dr .
Chú ý rằng một chuỗi lũy thừa hội tụ trên Cp được gọi là một hàm chỉnh
hình hay còn gọi là một hàm nguyên p-adic trên Cp .


8

1.2

Độ cao của hàm và ánh xạ chỉnh hình

1.2.1 Định nghĩa. Độ cao cuả chuỗi lũy thừa (1.1) tại v(z) = t được
xác định bởi hệ thức
, t) = min {v(an ) + nt}.

h(

0≤n<∞

Chú ý rằng độ cao của chuỗi lũy thừa có thể hữu hạn khi nó hội tụ và có
thể −∞ khi nó phân kỳ.
1.2.2 Mô tả hình học. Với mỗi n chúng ta vẽ đồ thị Γn của hàm
v(an z n ) = v(an ) + nt. Đồ thị này là một đường thẳng có độ dốc n. Do

định nghĩa, h(

, t) là biên của giao tất cả các nửa mặt phẳng nằm phía

dưới của các đường Γn . h(
khúc. Người ta gọi h(

, t) có thể là −∞, ø hoặc là một đường gấp

, t) là đường đa giác (hay đa giác Newton) của chuỗi

lũy thừa. Điểm t = v(z) là đỉnh của đa giác được gọi là điểm tới hạn của
chuỗi lũy thừa.
1.2.3 Bổ đề.
(i) Chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ tại t = v(z) khi và chỉ khi
lim {v(an ) + nt} = ∞.

n→∞

(ii) Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại z0 thì nó hội tụ tại mọi điểm thuộc

miền {z ∈ Cp : v(z) > v(z0 )}.
Chứng minh.
(i) Theo định lý 1.2.1, chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ khi và chỉ khi
lim |an z n |p = 0

n→∞

⇔ lim p−{v(an )+nt} = 0
n→∞

⇔ lim {v(an ) + nt} = ∞
n→∞


9

(ii) Theo mệnh đề (i), chuỗi (1.1) hội tụ tại z0 nên
lim {v(an ) + nv(z0 )} = ∞,

n→∞

khi đó
lim {[v(an ) + nv(z)] − [v(an ) + nv(z0 )]} = lim {n[v(z) − v(z0 )]} = ∞

n→∞

n→∞

với mọi v(z) > v(z0 ), bởi vậy lim {v(an ) + nv(z)} = ∞. Chứng tỏ chuỗi
n→∞

hội tụ tại mọi điểm thuộc miền {z ∈ Cp : v(z) > v(z0 )}.
1.2.4 Hệ quả. Nếu chuỗi (1.1) phân kỳ tại z0 thì nó phân kỳ tại mọi
điểm thuộc miền {z ∈ Cp : v(z) < v(z0 )}.

Chứng minh. Thật vậy, từ mệnh đề (i) và giả thiết ta có
lim {v(an ) + nv(z0 )} < ∞.

n→∞

Mặt khác
lim {[v(an ) + nv(z0 )] − [v(an ) + nv(z)]} = lim {n[v(z0 ) − v(z)]} = ∞,

n→∞

n→∞

với mọi v(z) < v(z0 ). Chứng tỏ, với mỗi z, v(z) < v(z0 ) thì
lim {v(an ) + n(z)} < ∞.

n→∞

Vậy chuỗi (1.1) phân kỳ tại mọi điểm thuộc miền
{z ∈ Cp : v(z) < v(z0 )}.

1.2.5 Định lý. Chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ trong đĩa Dr khi và chỉ khi
đường thẳng t0 = − logp r là đường tiệm cận của đường đa giác h(

, t).

Chứng minh. Giả sử chuỗi (1.1) hội tụ trong đĩa Dr , theo bổ đề 1.2.3 ta
nhận được
lim {v(an ) + nt} = ∞,

n→∞

10

với mọi z ∈ Dr . Vì |z|p < r nên t = v(z) > t0 , ∀z ∈ Dr , chứng tỏ đường
t0 = − logp r là đường tiệm cận của đa giác Newton. Ngược lại, nếu đường
t0 = − logp r là đường tiệm cận của đa giác h(

, t), khi đó với t → t0 + 0

ta có
lim {v(an ) + nt} = ∞.

n→∞

Sử dụng bổ đề 1.2.3 chúng ta khẳng định rằng chuỗi (1.1) hội tụ trong
đĩa Dr . Định lý được chứng minh.
1.2.6 Các ví dụ.
(i) Xét chuỗi

∞
2

pn z n ,
n=0

chúng ta có v(an ) + nt = n2 + nt → ∞ khi n → ∞ với mọi t. Vì v(an ) + nt
triệt tiêu khi t0 = −n, do đó nếu n → ∞ thì t0 → −∞, tức là r → ∞. Vậy
chuỗi này hội tụ trên toàn mặt phẳng Cp .
(ii) Xét chuỗi

∞
2

p−n z n ,
n=0

chúng ta có v(an ) + nt = −n2 + nt triệt tiêu khi t0 = n do đó khi n → ∞,
ta có t0 → ∞ nghĩa là r → 0. Vậy chuỗi này phân kỳ tại mọi điểm Cp \{0}.
1.2.7 Nhận xét. Giả sử f (z) là hàm chỉnh hình trong đĩa đơn vị D, tương
ứng với chuỗi lũy thừa hội tụ
∞

an z n .

f (z) =
n=0

Vì
lim {v(an ) + nt} = ∞ với mọi t = v(z) > 0

n→∞


11

chứng tỏ với t > 0, tồn tại n để v(an ) + nt đạt giá trị nhỏ nhất. Ta ký hiệu
−
n+
f,t , nf,t tương ứng là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất sao cho v(an ) + nt đạt giá

trị nhỏ nhất. Đặt
+
−
−
−
+
h+
f,t = nf,t .t, hf,t = nf,t .t, hf,t = hf,t − hf,t .
−
1.2.8 Định nghĩa. Chúng ta gọi h+
f,t , hf,t , hf,t tương ứng là độ cao phải,

độ cao trái và độ cao địa phương của hàm chỉnh hình p-adic tại t = v(z) =
− logp |z|p .

1.2.9 Định nghĩa. Độ cao toàn phần (hay độ cao) của hàm chỉnh hình
f (z) được xác định bởi hệ thức
h(f, t) = min {v(an ) + nt}.
0≤n<∞

1.2.10 Các ví dụ. Xét hàm
∞

f (z) = log(1 + z) =

(−1)

n−1 z

n=1

n

Khi đó theo 1.2.2 ta có
Γ1 = t,
Γk = kt, 1 < k < p,
Γp = pt − 1,
Γk = kt, p < k < p2 ,
Γ( p2 ) = p2 t = 2...
tk =

1
pk −pk−1

là các điểm tới hạn của f (z) và
1
p
, h−
=
,
f,t
p−1
p−1
= 1, hf,t = 0, ∀t = tk ,

h+
f,t =
hf,tk

h(log(1 + z), tk ) = −k +

n

p
.
p−1

.


12

1.2.11 Mệnh đề (xem [4], [5]).
(i) Nếu t không là điểm tới hạn của f (z) thì ta có hf,t = 0, f (z) = 0

và
|f (z)|p = p−h(f,t) .
(ii) Nếu t là điểm tới hạn của f (z) thì hf,t = 0, f (z) = 0 và hf,t = t×

số không điểm của f (z) tại v(z) = t.
(iii) Số các không điểm của f (z) tại điểm tới hạn t = v(z) đúng bằng
+
n−
f,t − nf,t .

(iv) Trong mỗi đoạn hữu hạn [r, s], 0 < r < s < ∞, chỉ có hữu hạn các

điểm tới hạn của hàm f (z).
1.2.12 Định nghĩa (Hàm đếm). Giả sử g là hàm chỉnh hình trong Dr ,

biểu thức
{v(aj ) − t}

N (g, t) =
aj

được gọi là hàm đếm của hàm chỉnh hình g , trong đó tổng được lấy trên
mọi không điểm aj của g (tính cả bội) và v(aj ) ≥ t.
1.2.13 Nhận xét. Hàm N (g, t) là hàm đếm các không điểm của g trong
đĩa Dr với r = p−t . Thực vậy với t = − logp r, v(aj ) = − logp |aj |p ≥ t, khi
đó vế phải của tổng trên có thể được viết dưới dạng
(logp r − logp |aj |p ) =

N (g, t) =
aj

logp
aj ∈Dr \{0}

r
,
|aj |p

hay
N (g, t) =
0
r
(orda g) logp ,
a

trong đó orda g là bậc của không điểm của g tại a.
1.2.14 Định nghĩa. Với mỗi số nguyên dương k , kí hiệu Nk (g, t) là tổng
trong định nghĩa 1.2.12 sao cho mỗi không điểm của g được tính cả bội nếu


13

bội của nó nhỏ hơn k và bằng k trong trường hợp còn lại. Chúng ta gọi
Nk (g, t) là hàm đếm mức k của hàm g .

Từ các định nghĩa 1.2.12 và 1.2.14, chúng ta dễ dàng chứng minh được
kết quả sau.
1.2.15 Mệnh đề. Giả sử f là hàm chỉnh hình trong Dr ,k là số nguyên
dương, chúng ta có
N1 (f, t) ≤ Nk (f, t) ≤ kN1 (f, t),
Nk (f, t) ≤ N (f, t).

1.2.16 Mệnh đề. Giả sử f (z) và g(z) là các hàm chỉnh hình trong Dr .
Chúng ta có
N (gf, t) = N (f, t) + N (g, t).

Chứng minh. Từ định nghĩa hàm đếm, chúng ta có
{v(aj ) − t},

N (gf, t) =
aj

trong đó a ∈ Dr , g(a)f (a) = 0 và v(a) ≥ t, bởi vậy tổng trên có thể viết lại
như sau:

{v(a) − t} +

N (gf, t) =
a∈Dr

{v(b) − t} = N (f, t) + N (g, t),
b∈Dr

với g(a) = f (b) = 0, v(a) ≥ t, v(b) ≥ t. Mệnh đề được chứng minh.
1.2.17 Định nghĩa. Giả sử f (z), g(z) là các hàm chỉnh hình không có
điểm chung trong đĩa Dr . Khi đó ϕ(z) =

f (z)
g(z)

được gọi là hàm phân hình

trong đĩa Dr .
1.2.18 Định nghĩa. Độ cao của hàm phân hình ϕ(z) =
định bởi hệ thức
h(ϕ, t) = h(f, t) − h(g, t).

f (z)
g(z)

được xác


14

1.2.19 Nhận xét. Độ cao của hàm phân hình không phụ thuộc vào các
ánh xạ biểu diễn nó. Thực vậy nếu ϕ =

f.α
g.α ,

từ mệnh đề 1.3.4 (ii), chúng ta

có
h(ϕ, t) = h(f.α, t) − h(g.α, t) = h(f, t) − h(g, t).

1.2.20 Định nghĩa. Giả sử f = (f1 , ..., fn+1 ) : Cp → P n (Cp ) là ánh xạ
từ không gian Cp vào không gian xạ ảnh P n (Cp ), trong đó fi là các hàm
chỉnh hình không có điểm chung. Khi đó f được gọi là ánh xạ chỉnh hình
hay còn gọi là đường cong chỉnh hình
1.2.21 Định nghĩa. Đường cong f = (f1 , ..., fn+1 ) : Cp → P n (Cp ) được
gọi là không suy biến nếu ảnh của nó không được chứa trong một không
gian con tuyến tính của P n (Cp ) với số chiều nhỏ hơn n. Bởi định nghĩa
Wronskian ở đầu chương 2 chúng ta dễ thấy rằng đường cong f không suy
biến khi và chỉ khi Wronskian W (f ) không đồng nhất bằng không.
1.2.22 Định nghĩa. Độ cao của đường cong chỉnh hình được xác định
bởi hệ thức
h(f, t) =

min h(fi , t),

1≤i≤n+1

trong đó h(fi , t) là độ cao của hàm chỉnh hình fi tại v(z) = t.
Đặt h+ (f, t) = −h(f, t), từ định nghĩa trên chúng ta có

h+ (f, t) = max h+ (fi , t).
1≤i≤n+1

1.2.23 Nhận xét.
(i) Độ cao của đường cong chỉnh hình f được xác định sai khác một đại

lượng giới nội. Thực vậy, nếu f = (f1 , ..., fn+1 ) = g = (g1 , ..., gn+1 ) thì
gi (z) = fi (z).λ(z), i = 1, ..., n + 1. Do các fi và các gi không có không điểm

chung nên λ(z) không có không điểm. Từ tính chất của đa giác Newton suy
ra λ(z) = λ là một hằng số. Bởi vậy h(g, t) = h(f, t) + 0(1).


15

(ii) Độ cao của đường cong chỉnh hình p-adic là tương tự với độ cao

Cartan được xác định bởi hệ thức
2π

1
T (f, r) =
2π

log max ||fi ||θ,r dθ − log max |fi (0)|
i

i

0

2π

=

1
2π

log max fi (reiθ ) dθ + 0(1),
i

0

trong đó
0(1) = − log max |fi (0)|
1≤i≤n+1

là đại lượng giới nội.
1.3

Các tính chất cở bản của độ cao

1.3.1 Mệnh đề. Giả sử f (z) là hàm chỉnh hình khác hằng số. Khi đó
h(f , t) − h(f, t) ≥ −t + 0(1)

với 0(1) là đại lượng giới nội khi t → −∞.
Chứng minh. Ta có

∞

an z n

f (z) =
n=0

nên

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Và
h(f , t) = min{v(an ) + nt − t + 0(1)} ≥ h(f, t) + 0(1).

Do vậy mệnh đề được chứng minh.
1.3.2 Hệ quả. Giả sử f (z) là hàm chỉnh hình trên Cp khác hằng số, khi
đó
h(f (k) , t) − h(f, t) ≥ −kt + 0(1),


16

trong đó 0(1) là đại lượng giới nội khi t → −∞.
Chứng minh. Thực vậy
h(f (k) , t) − h(f, t) = [h(f (k) , t) − h(f k−1 , t)] + ... + [h(f , t) − h(f, t)].

Sử dụng mệnh đề 1.3.1 và cộng các bất đẳng thức cùng chiều, chúng ta nhận
được

h(f (k) , t) − h(f, t) ≥ −kt + 0(1).

1.3.3 Mệnh đề (xem [6]). Nếu f (z) là hàm chỉnh hình khác hằng số
thì
lim h(f, t) = −∞.

t→−∞

1.3.4 Mệnh đề. Giả sử f (z), g(z) là các hàm chỉnh hình trong Cp .
Chúng ta có
(i)
(ii)

h(f + g, t) ≥ min{h(f, t), h(g, t)},
h(f.g, t) = h(f, t) + h(g, t).

Chứng minh.

∞

(i) Giả sử f (z) =

an

zn,

∞

bm z m là các hàm chỉnh hình trong

g(z) =
m=0

n=0

Cp , khi đó

∞

(an + bn )z n .

f (z) + g(z) =
n=0

Từ định nghĩa độ cao, chúng ta nhận được
h(f + g, t) = min {v(an + bn ) + nt}
0≤n<∞

≥ min{v(an ) + nt, v(bn ) + nt}
= min{h(f, t), h(g, t)}.
(ii) Trước hết chúng ta nhận xét rằng vì đường đa giác h(ϕ, t) là một đường

cong liên tục, bởi vậy nếu một tính chất nào đó của hàm liên tục đúng tại


17

điểm t không là điểm tới hạn thì nó cũng đúng đối với các điểm tới hạn
của hàm chỉnh hình ϕ(z). Do đó chúng ta chỉ cần chứng minh (ii) đối với t
không là điểm tới hạn. Chúng ta có:

|f g|p = p−h(f g,t) ,

(1.3)

|f |p . |g|p = p−{h(f,t)+h(g,t)}.

(1.4)

Từ các hệ thức (1.6) và (1.7) ta có:
h(f.g, t) = h(f, t) + h(g, t).

1.3.5 Mệnh đề.
(i) Hàm chỉnh hình f (z) là đa thức khi và chỉ khi h(f, t) = 0(t) khi
t → −∞
(ii) Hàm chỉnh hình f (z) là hằng số khi và chỉ khi h(f, t) là đại lượng

bị chặn khi t → −∞.
Chứng minh. Mệnh đề (ii) là hệ quả của mệnh đề 1.3.3. Ta chỉ cần chứng
minh mệnh đề (i). Thực vậy nếu f (z) là đa thức bậc d thì h(f, t) = dt+0(1),
do vậy h(f, t) = 0(t) khi t → −∞. Ngược lại nếu
f (z) = a0 + a1 z + ... + ad z d + ...

và h(f, t) = 0(t) khi t → −∞, ta chứng tỏ f (z) là đa thức. Giả sử ngược lại
thì f (z) = lim sd , trong đó sd là tổng riêng bậc d của f (z) và h(sd , t) =
d→∞

dt + 0(1). Bởi vậy
h(f, t)
= ∞.
t→−∞

t
Điều này mâu thuẫn với giả thiết và mệnh đề được chứng minh.
lim

1.3.6 Mệnh đề. Nếu f1 , ..., fn là các hàm chỉnh hình khác hằng số và
f = f1 .f2 ...fn , thì
h(f, t) ≤ min h(fi , t) + 0(1)
1≤i≤n

khi

t → −∞.


18

Chứng minh. Đặt f (z) = fi (z).Ai (z), theo mệnh 1.3.4 chúng ta có
h(f, t) = h(fi , t) + h(Ai , t).

Vì Ai (z) là hàm chỉnh hình khác hằng số nên h(Ai , t) → −∞ khi t → −∞
(theo mệnh đề 1.3.3), do đó
h(f, t) ≤ min h(fi , t) + 0(t) khi t → −∞.
1≤i≤n

1.3.7 Bổ đề.
h(

ϕ
, t) ≥ −t + 0(1).
ϕ

Chứng minh. Thực vậy
h(

ϕ
, t) = h(ϕ , t) − h(ϕ, t) = h(f g − g t, t) − h(f g, t)
ϕ
≥ min{h(f g, t) − h(f g, t), h(g f, t) − h(f g, t)}
≥ min{−t + 0(1), −t + 0(1)},

(theo các mệnh 1.3.1 và 1.3.4). Vậy
h(

ϕ
, t) ≥ −t + 0(1).
ϕ

1.3.8 Bổ đề. Giả sử ϕ1 , ϕ2 là các hàm phân hình trong Cp . Khi đó
h(ϕ1 ϕ2 , t) = h(ϕ1 , t) + h(ϕ2 , t).

Chứng minh. Đặt ϕi =

fi
gi ,

i = 1, 2, fi , gi là các hàm chỉnh hình không có

điểm chung. Từ định nghĩa độ cao và mệnh đề 1.3.4, chúng ta có
h(ϕ1 ϕ2 , t) = h(f1 f2 , t) − h(g1 g2 , t)
= [h(f1 , t) − h(g1 , t)] + [h(f2 t) − h(g2 , t)].

19

1.3.9 Mệnh đề. Nếu ϕ(z) =

f (z)
g(z)

là hàm phân hình trong Dr thì

ϕ(k)
h(
, t) ≥ −kt + 0(1).
ϕ

Chứng minh. Sử dụng hai bổ đề trên, chúng ta có
ϕ(k)
ϕ(k) ϕ(k−1) ϕ
h(
, t) = h( (k−1) . (k−2) ... , t)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
k

ϕ(m)
h( (m−1) , t)
=

ϕ
m=1
≥ −kt + 0(1).

1.3.10 Mệnh đề. Giả sử ϕi là các hàm phân hình trong Dr , ϕi =

fi
gi ,

i = 1, 2. Chúng ta có:
h(ϕ1 + ϕ2 , t) ≥ min{h(ϕ1 , t), h(ϕ2 , t)}.
i

Chứng minh. Thực vậy
f 1 g2 − f 2 g1
h(ϕ1 + ϕ2 , t) = h(
, t)
g1 g2
= h(f1 g2 − f2 g1 , t) − h(g1 g2 , t)
≥ min{h(f1 g2 , t) − h(g1 g2 , t), h(f2 g1 , t) − h(g1 g2 , t)}
= min{h(ϕ1 , t), h(ϕ2 , t)}.

1.3.11 Hệ quả (Định lý Liouville). Mỗi ánh xạ chỉnh hình và giới
nội là ánh xạ hằng.
1.3.12 Định lý (Công thức Poison-Jensen, xem [4]). Giả sử f (z)
là hàm chỉnh hình trong đĩa đơn vị D và t0 > t > 0, ta có
+
h(f, t0 ) − h(f, t) = h−
f,t0 − hf,t +

hf,s .
t0 >s>t

(1.5)


20

1.3.13 Nhận xét. Công thức (1.8) là tương tự với công thức PoissonJensen cổ điển. Thực vậy, giả sử t0 = ∞, f (0) = 0 và t không là điểm tới
hạn của hàm f (z). Chúng ta có
h(f, t0 ) = −logp |f (0)|p ,

h(f, t) = −logp |f (z)|p ,

với
t = v(z),

h−
f,t0 = 0,

hf,s − h+
f,t =
t0 >s>t

− logp |a|p ,
a∈Dr

trong đó tổng được lấy trên mọi không điểm a của f (z) trong đĩa {z ∈ Cp :
|z|p < p−1 }. Bởi vậy công thức (1.8) có thể viết dưới dạng
logp |f (z)|p − logp |f (0)|p =

−logp |a|p .
a∈Dr

Nhắc lại rằng Công thức Poisson-Jensen cổ điển có dạng
2π

1
2π

log|f (eiθ )|dθ − log|f (0)| =

−(orda f )log|a|,
a∈D\{0}

0

trong đó D là đĩa đơn vị trong C và orda f là bậc của f tại a.
1.3.14 Mệnh đề. Giả sử A : P n → P n là phép biến đổi tuyến tính
không suy biến và f (f1 , ...fn+1 ) : Cp → P n là đường cong chỉnh hình.
Khi đó
h(A ◦ f, t) ≥ h(f, t) + 0(1),

trong đó 0(1) là đại lượng bị chặn, phụ thuộc vào A, không phụ thuộc
vào f .
Chứng minh. Sử dụng mệnh 1.3.4, chúng ta có
n+1

aij .fj , t)

h(A ◦ f, t) ≥ h(
j=1

≥

min

1≥j≥n+1

h(fj , t) + 0(1)

= h(f, t) + 0(1).


21

Mệnh đề được chứng minh.
1.3.15 Mệnh đề. Giả sử f = (f1 , ..., fn+1 ) : Cp → P n (Cp ) là đường
cong chỉnh hình với fi là các hàm chỉnh hình, không có điểm chung. Đặt
d ) với mỗi số nguyên dương d. Chúng ta có
f d = (f1d , ..., fn+1

(i) h(f d , t) = dh(f, t).
(ii) f là đường cong đa thức khi và chỉ khi h(f, t) = 0(t) khi t → −∞.

Chứng minh. Mệnh đề (i) là hệ quả của mệnh đề 1.3.4 (ii), còn mệnh đề
(ii) là hệ quả của mệnh đề 1.3.5 (i).


22

CHƯƠNG 2

ĐỊNH LÝ NEVANLINNA-CARTAN P-ADIC

2.1

Định lý Nevanlinna-Cartan p-adic

2.1.1 Định nghĩa. Giả sử (z1 , ..., zn+1 ) là hệ tọa độ thuần nhất của không
gian xạ ảnh P n (Cp ) và H1 , H2 , ..., Hq là các siêu phẳng trong P n (Cp ).
Phương trình tổng quát của siêu phẳng Hj có dạng:
n+1

Hj :

aij zi = 0,

j = 1, 2, ..., q.

i=1

Các siêu phẳng Hj được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ véctơ
(a1j , a2j , ..., a(n+1)j ),

j = 1, ..., q,

q ≤ n + 1,

là độc lập tuyến tính.

2.1.2 Định nghĩa. Các siêu phẳng H1 , ..., Hq của không gian xạ ảnh
P n (Cp ) được gọi là ở vị trí tổng quát nếu chúng độc lập tuyến tính khi
q < n + 1 hoặc n + 1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng là độc lập tuyến tính

nếu q ≥ n + 1.
2.1.3 Định nghĩa. Giả sử f1 , ..., fn là các hàm chỉnh hình trong Cp . Hệ
thức:
f1
f1
...

W (f ) = ||f1 , ...fn || =

(n−1)

f1

f2
f2
...
(n−1)

f2

được gọi là Wronskian của các hàm f1 , f2 , ...fn .

...
...
...
...

fn
fn
...
(n−1)

fn


23

2.1.4 Nhận xét. Giả sử f1 , f2 ..., fn là các hàm chỉnh hình trong Cp thỏa
mãn hệ thức
(fi = 0, ∀i).

f1 + f2 + ... + fn = 1,

Lần lượt lấy đạo hàm bậc 1, 2, ..., n − 1 cả hai vế của phương trình trên ,
chúng ta có hệ phương trình hàm

f1 + f2 + ... + fn
=1



f
f
f
( 1 )f1 + ( 2 )f2 + ... + ( n )fn
=0

f1
f2
fn
...



( f1(n−1) )f + ( f2(n−1) )f + ... + ( fn(n−1) )f = 0
1
2
n
f1
f2
fn
.
Đặt
L(f ) = L(f1 , ..., fn ) =

1

1

f1
f1

f2
f2

...

...

(n−1)
f1

(n−1)
f2

f1

f2

1
...
...

1
...

...

fn(n−1)
fn

fn
fn

và Li (f ) = L(f1 , ..., fi−1 , 1, fi+1 , ..., fn ), i = 1, 2, ..., n.
Từ định nghĩa Wronskian, chúng ta thu được
||f1 , f2 , ..., fn ||

W (f )
L(f ) =
=
.
f1 .f2 ...fn
f1 .f2 ...fn
2.1.5 Mệnh đề. Các hàm chỉnh hình f1 , f2 , ...fn độc lập tuyến tính khi
và chỉ khi
W (f ) = 0, khi đó L(f ) = 0 và fi =

Li (f )
.
L(f )

2.1.6 Mệnh đề. Giả sử f = (f1 , ..., fn ) : Cp → P n−1 (Cp ) là đường cong
chỉnh hình và g là hàm chỉnh hình trong Cp , chúng ta có:
(i)
(ii)

W (gf ) = g n W (f ),
L(gf ) = L(f ).

2.1.7 Định nghĩa. Hệ thức
D=

eD (a).a,
a∈Cp

eD (a) ∈ Z,

24

được gọi là divizor của mặt phẳng p-adic nếu trong mỗi miền bị chặn của
Cp , tổng trên chỉ có hữu hạn điểm a sao cho eD (a) = 0.
Đặt
D0 =

eD (a).a,

eD (a) ≥ 0,

a∈Cp

D∞ = D − D0 hay D = D0 + D∞ .

Một divizor được gọi là đơn nếu eD (a) = 1,

∀a.

2.1.8 Định nghĩa. Giả sử f (z) là hàm phân hình trong Cp . Hệ thức
D=

(orda f ).a,
a∈Cp

được gọi là divizor của hàm f . Tương tự ta có Df0 là divizor không điểm,
Df∞ là divizor cực điểm của hàm f (z).

2.1.9 Định nghĩa. Giả sử F (z) = 0 là phương trình xác định của siêu

phẳng H của không gian xạ ảnh P n (Cp ). Khi đó hệ thức
f ∗H =

orda (F ◦ f ).a,
a

được gọi là cái níu hay divizor níu của đường cong f trên siêu phẳng H .
2.1.10 Bổ đề. Giả sử H1 , ..., Hq là các siêu phẳng của P n (Cp ), ở vị trí
tổng quát và được xác định bới phương trình Fj (z) = 0, f = (f1 , ..., fn+1 ) :
Cp → P n (Cp ) là đường cong chỉnh hình không suy biến và Gj = Fj ◦ f ,
j = 1, 2, ..., q . Khi đó, với mỗi z ∈ Cp , có nhiều nhất n hàm Gj sao cho
Gj (z) = 0.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, tồn tại z ∈ Cp sao cho n + 1 hàm Gαj ,
j = 1, 2, ..., n + 1 thỏa mãn hệ thức Gαj = 0. Chúng ta xét hệ phương trình

hàm

n+1
α

ai j fi (z) = 0,

Gαj =
i=1

j = 1, 2, ..., n + 1.


25

Từ giả thiết, các siêu phẳng Hαj ở vị trí tổng quát nên định thức của ma
trận các hệ số khác không. Bởi vậy fj (z) = 0,

j = 1, ..., n + 1. Điều này

mâu thuẫn với giả thiết f là đường cong chỉnh hình không suy biến.
Từ bây giờ trở đi, trong tiết này, chúng ta luôn giả thiết H1 , ..., Hq là các
siêu phẳng của P n (Cp ), ở vị trí tổng quát, f = (f1 , ..., fn+1 ) : Cp → P n (Cp )
là đường cong chỉnh hình không suy biến và Gj = Fj ◦ f , j = 1, 2, ..., q .
Ngoài ra còn sử dụng các ký hiệu sau:
Nếu Fj (z) = 0 là phương trình xác định siêu phẳng Hj (j = 1, 2, ..., q).
Đặt
h(f ◦ Hj , t) = h(Fj ◦ f, t),
Nk (f ◦ Hj , t) = Nk (Fj ◦ f, t).

2.1.11 Nhận xét. Về mặt hình học, bổ đề 2.1.10 có nghĩa là mỗi điểm của
đường cong chỉnh hình thuộc nhiều nhất là n siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
Gọi β1 , ..., βq−n−1 là các số phân biệt được lấy từ tập hợp các số {1, 2, ..., q}.
Đặt
G = (..., Gβ1 Gβ2 ...Gβq−n−1 , ...),

trong đó (β1 , ..., βq−n−1 ) được lấy với mọi cách chọn của tập {1, 2, ...q}.
Dễ thấy, G xác định một đường cong chỉnh hình của không gian xạ ảnh
P k (Cp ), với k = Cqq−n−1 . Vì k > n + 1 nên từ bổ đề 2.1.10 suy ra rằng các

hàm Gβ1 Gβ2 ...Gβq−n−1 không có không điểm chung.
2.1.12 Bổ đề. Với mỗi t ∈ R, chúng ta có
h(G, t) ≤ (q − n − 1)h(f, t) + 0(1),

trong đó 0(1) không phụ thuộc vào t.