Ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đường cônic trong mặt phẳng xạ ảnh thực p2 r

Mục lục
Lời nói đầu.. 2
Đ 1. Một số kiến thức cơ bản

3

Đ 2. ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đờng cônic trong mặt phẳng
xạ ảnh thực P2(R)..

8

Đ 3. Vận dụng ánh xạ xạ ảnh đối với đờng cônic để giải các bài toán 23
Tài liệu tham khảo..

1

34


Lời nói đầu
Xạ ảnh và các vấn đề nghiên cứu xạ ảnh đã đợc nghiên cứu khá nhiều từ
trớc tới nay, đó là một trong những vấn đề khiến nhiều ngời làm khoa học trăn
trở, tìm tòi và nghiên cứu. Trên cơ sở lí thuyết về hình học xạ ảnh và đặc biệt là
ánh xạ xạ ảnh, chúng tôi đã nghiên cứu và vận dụng ánh xạ xạ ảnh của đờng
cônic trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) để giải các bài toàn hình học sơ cấp rất
hiệu quả.
Khoá luận này đợc trình bày với 3 mục chính:
Đ 1. Các kiến thức cơ bản
Mục này đa ra một số kiến thức cơ bản phục vụ cho Đ 2 và Đ 3.
Đ 2. ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đờng cônic trong mặt phẳng xạ ảnh
thực P2(R).

Mục này đa ra các khái niệm, các định lí, một số đối ngẫu của định lí, hệ
quả và một số đối ngẫu của hệ quả các tính chất có liên quan đến đờng cônic
trong P2(R).
Đ 3. Vận dụng ánh xạ xạ ảnh đối với cônic trong P2(R) để giải toán.
Mục này đa ra các bài toán sơ cấp dùng các tính chất, hệ quả, định lí ở
Đ2 để giải.
Để hoàn thành khoá luận này, ngoài sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôi
còn nhận đợc sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS. Phạm Ngọc Bội
cũng nh các thầy cô trong tổ hình - khoa Toán, sự góp ý chân thành của bạn bè
và những lời động viên quý báu của gia đình, ngời thân. Nhân dịp này, cho phép
tôi đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo và toàn thể mọi ngời.
Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực nên khoá luận không tránh
khỏi những thiếu sót, tôi rất mong đợc sự đánh giá, phê bình và góp ý của các
thầy cô giáo cùng toàn thể các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Vinh, ngày 25 tháng 4 năm 2004
Sinh viên: Lê Thị Liên

Đ 1. Một số kiến thức cơ bản
1.1. ánh xạ xạ ảnh
1.1.1 Định nghĩa. Cho hai không gian xạ ảnh Pn và P'n tơng ứng liên kết
với không gian các véc tơ Vn + 1, V'n + 1. ánh xạ f: Pn P'n đợc gọi là ánh xạ xạ

2


ảnh nếu có đẳng cấu tuyến tính

: Vn + 1 V'n + 1 sao cho với mọi A

là véc tơ đại diện cho điểm A thì

Đẳng cấu tuyến tính





Pn nếu a

( a ) là véc tơ đại diện cho điểm f(A).

đợc gọi là ánh xạ đại diện của ánh xạ xạ ảnh f,

hay f là ánh xạ xạ ảnh cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính

.

1.1.2. Ví dụ. ánh xạ đồng nhất của Pn là một ánh xạ xạ ảnh, ánh xạ cảm
sinh của nó là một phép vị tự với tỷ số khác 0 tuỳ ý (nói riêng phép đồng nhất)
của Vn+1.
1.1.3. Chú ý.
1) Nếu



là ánh xạ đại diện của ánh xạ xạ ảnh f thì với một R\ {0},

. cũng là ánh xạ đại diện của ánh xạ f.

2) Nếu cho hai không gian xạ ảnh (Pn, p , Vn+1) và (Pn, p , Vn+1) thì có
duy nhất ánh xạ xạ ảnh f cảm sinh bởi



. ánh xạ xạ ảnh f đợc xác định nh sau:





với mỗi A Pn, giả sử a là véc tơ đại diện cho điểm f(A) (Kí hiệu a A) thì lấy




f(A) là điểm mà ( a ) là véc tơ đại diện cho điểm f(A) (kí hiệu ( a ) f(A)).
3) ánh xạ xạ ảnh là một song ánh.
4) Cho ba không gian xạ ảnh (Pn, p, Vn+1), (P'n, p', V'n+1), (P''n, p'', V''n+1).
Giả sử ánh xạ xạ ảnh f: Pn P'n cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính :
Vn+1 Vn+1 và ánh xạ xạ ảnh g: Pn Pn

cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính

: Vn+1 Vn+1 . Khi đó ánh xạ tích g0f: Pn Pn là ánh xạ xạ ảnh cảm sinh
bởi đẳng cấu tuyến tính 0: Vn+1Vn+1.
1.1.4. Định lý về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh.
Định lý. Cho {Ai; E}(1) và {Ai; E} (2) , ( i = 1, 2, ,n+1) là mục tiêu
của không gian xạ ảnh Pn và Pn . Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ xạ ảnh

f: Pn Pn sao cho f(Ai) = Ai, ( i = 1, 2,,n +1), f(E) = E .




Chứng minh. Gọi { ai }, { ai' },(i = 1, 2,, n+1) là các cơ sở của V n+1, Vn+1
ứng với mỗi mục tiêu (1) và (2) nói trên. Theo định nghĩa ánh xạ xạ ảnh thì tồn




'
tại đẳng cấu tuyến tính : Vn+1Vn+1 sao cho ( ai ) = ai

3


Gọi f là ánh xạ xạ ảnh cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính (chú ý 1.1.3).






Vì f(Ai) ( ai ) Ai nên Ai = f(Ai) . Gọi e , e ' tơng ứng là véc tơ đại diện
n +1 n +1 ' '

e
cho điểm E và E' thì ( ) = ai = a i = e .
i =1 i =1

Vậy f(E) ( e ) = e ' E cho nên E' = f(E).

1.1.5. Định lý. ánh xạ xạ ảnh biến hệ điểm độc lập (phụ thuộc) thành hệ
điểm độc lập (phụ thuộc).
Chứng minh. Giả sử ánh xạ xạ ảnh f: P n Pn cảm sinh bởi đẳng cấu
tuyến tính : Vn+1 Vn+1 . Nếu hệ {Ai} (i = 1, 2, 3,,n) là hệ điểm độc lập thì




hệ véc tơ { ai } (i = 1, 2, 3,,n) trong đó ai đại diện cho Ai là hệ véc tơ độc lập


tuyến tính. Do là đẳng cấu tuyến tính nên {( ai )}, (i =1, 2, 3,,m) độc lập


tuyến tính, nhng ( ai ) đại diện cho f(Ai) . Vậy {f(Ai)} (i = 1, 2, 3,, n) độc lập.
Trờng hợp đối với hệ điểm phụ thuộc {A i} (i = 1, 2, 3,,m) thì cũng
chứng minh tơng tự.
1.1.6.Hệ quả. ánh xạ xạ ảnh biến mặt phẳng thành mặt phẳng. Nói
riêng, ánh xạ xạ ảnh biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng.
Chứng minh. Từ nội dung và chứng minh định lý 6, Đ 3 chơng I [2], ta có
mỗi một mặt phẳng đợc xác định duy nhất bởi m + 1 điểm độc lập thuộc nó.
Giả sử mặt phẳng Pm đợc xác định bởi m + 1 điểm độc lập
{A1, A2,, Am+1}. Theo định lý (1.1.5.) ta có hệ điểm {f(A i)} (i = 1, 2, 3,, m+1)
độc lập. Nên dễ thấy f(Pm) chính là m - phẳng đi qua hệ điểm {f(A i)} (i = 1, 2, 3,
, m+1) . Thật vậy, gọi P'm là m - phẳng đi qua {Ai = f(Ai)} ( i = 1, 2, 3,,
m+1). Ta chứng minh f(Pm) = Pm bằng cách lấy điểm Y bất kì thuộc f(Pm) thì Y =

f(X), X Pm Hệ điểm {A1, A2,, Am+1, X} là hệ phụ thuộc. Do đó, hệ điểm
{A1, A2,, Am+1, Y} phụ thuộc. Suy ra Y Pm. Vậy f(Pm) Pm Chứng minh
hoàn toàn tơng tự, ta có Pm f(Pm).
1.1.7. Biểu thức toạ độ (hay phơng trình) của ánh xạ xạ ảnh.
Cho 2 không gian xạ ảnh (Pn, p, Vn+1) và (Pn, p, Vn+1) Giả sử f là ánh xạ
xạ ảnh của Pn Pn cảm sinh bởi : Vn+1Vn+1. Trong Pn cho mục tiêu {Ai; E},

4




(i =1, 2, , n+1) có cơ sở đại diện là { ai }, trong Pn cho mục tiêu {Ai ; E}, (i =


1, 2,, n+1) có cơ sở đại diện là { ai }, (i = 1, 2, , n+1) Với mỗi một X Pn




gọi X = f(X). Giả sử x là véc tơ đại diện cho điểm X thì ( x ) là véc tơ đại diện
cho điểm X'.

Kí hiệu [ x ] là ma trận toạ độ của véc tơ x đối với cơ sở { ai }, [( x )] là




ma trận toạ độ cột của véc tơ ( x ) đối với cơ sở { a'i }. Biểu thức toạ độ của là








[( x )] = A[ x ] ,trong đó detA 0. Do x , ( x ) tơng ứng là véc tơ đại diện cho
điểm X, X' nên toạ độ [X] của điểm X đối với mục tiêu {A i; E} thỏa mãn phơng
trình [ x ] = k1 [X], tọa độ [X] của điểm X đối với mục tiêu {Ai; E} thỏa mãn


phơng trình [( x )] = k2[X] với k1 và k2 0. Từ đó ta có:
k[X] = A[X], k0, (*) (detA 0).
Biểu thức (*) đợc gọi là biểu thức toạ độ (hay phơng trình) của ánh xạ xạ
ảnh f đối với cặp mục tiêu {Ai; E} và {Ai; E} Ma trận A đợc gọi là ma trận của
ánh xạ xạ ảnh f đối với cặp mục tiêu trên.
Từ đó ta dễ thấy hai ma trận A và B cũng là ma trận của ánh xạ xạ ảnh f
đối với cặp mục tiêu {Ai; E} và {Ai; E} khi và chỉ khi A = kB , trong đó k 0.
1.1.8. Định lý. Tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng không thay đổi qua
ánh xạ xạ ảnh.
Chứng minh. Giả sử ánh xạ xạ ảnh f có biểu thức toạ độ k[X] = A[X] đối
với cặp mục tiêu {Ai; E} và {A'i; E'}. Kí hiệu [M], [N], [P], [Q] lần lợt là ma trận

toạ độ cột các điểm M, N, P, Q đối với mục tiêu {Ai; E}
Giả sử [P] = 1 [M] + à1[N]
[Q] = 2 [M] + à2[N]
Khi đó, tỉ số kép (MNPQ) =

à1 à 2
:
.
1 2

Gọi M', N', P', Q' lần lợt là ảnh của M, N, P, Q qua phép ánh xạ xạ ảnh f.
Khi đó, ma trận toạ độ cột [M'], [N'], [P'], [Q'] đối với mục tiêu {A' i; E'} thỏa
mãn phơng trình:
k[P] = A[P] = 1 A[M] + à1 A[N] = 1k1[M] + à1k2[N]
k[Q] = A[Q] = 2 A[M] + à2 A[N] = 2k1[M] + à2k2[N]

5


Vậy (MNPQ) =

à1 à 2
:
= (M N PQ). Hay tỷ số kép của 4 điểm M, N,
1 2

P, Q không thay đổi qua ánh xạ xạ ảnh f.
1.2. Định lý Mác Lôranh ( Mac Laurin).
1.2.1 Định lý. Tập hợp tất cả các siêu phẳng tiếp xúc với một siêu mặt
bậc hai không suy biến là một siêu mặt lớp hai không suy biến. Ngợc lại, mỗi

siêu mặt lớp hai không suy biến gồm tất cả những siêu phẳng tiếp xúc với một
siêu mặt bậc hai không suy biến.
Chứng minh . Xem [3]
1.2.2. Hệ quả. Đối ngẫu của khái niệm điểm thuộc siêu mặt bậc hai
không suy biến là khái niệm siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không
suy biến.
Từ định lý và hệ quả trên, áp dụng cho P2(R) ta có cặp mệnh đề đối ngẫu
sau:
1.2.3. Mệnh đề 1. Có một đờng cônic duy nhất đi qua 5 điểm cho trớc,
trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
1.2.4. Mệnh đề 2. (mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề 1).
Có một đờng cônic tiếp xúc với 5 đờng thẳng cho trớc, trong đó không
có 3 đờng nào đồng quy.
Từ hệ quả 1.2.2 và hai mệnh đề trên ta suy ra hệ quả sau.
1.2.5. Hệ quả. Trong P2(R), đối ngẫu với khái niệm hàng điểm là khái
niệm chùm đờng thẳng.

6


Đ 2. ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đờng
cônic trong mặt phẳng
xạ ảnh thực P2(R).
2.1. Định nghĩa. Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R). Phơng trình:
x11 + x22 - x33 = 0 đợc gọi là phơng trình chuẩn tắc của đờng cônic.
Nhận xét: Cônic là một đờng bậc 2 không suy biến vì det A 0.
2.2. ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm trong P2(R).
Trong P2(R), tập hợp các điểm cùng thuộc một đờng thẳng gọi là hàng
điểm. Giả sử m và m' là hai đờng thẳng trong P2(R), vì mỗi đờng thẳng này là
không gian xạ ảnh một chiều nên có các ánh xạ xạ ảnh từ m lên m'.

2.2.1. Định nghĩa. ánh xạ xạ ảnh f từ đờng thẳng m lên đờng thẳng m' (kí
hiệu f: m m') đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh từ hàng điểm m lên hàng điểm m'.
Phép chiếu xuyên tâm f: mm' với O là tâm chiếu còn đợc gọi là phép
phối cảnh tâm O giữa hai hàng điểm m và m'.
2.2.2. Định lý. ánh xạ f: m m' là ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi f bảo
tồn tỉ số kép của 4 điểm bất kì.
Chứng minh. Nếu f là ánh xạ xạ ảnh, theo tính chất của ánh xạ xạ ảnh thì
tỷ số kép của 4 điểm bất kì đợc bảo tồn.
Ngợc lại, nếu f là ánh xạ giữa hai hàng điểm m và m' có tính chất bảo tồn
tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ. Lấy 3 điểm A, B, C phân biệt thuộc m và ảnh của
chúng qua f là A' = f(A), B' = f(B), C' = f(C) là 3 điểm phân biệt thuộc m'. Khi
đó, các hệ điểm {A, B, C} và {A', B', C'} tơng ứng là mục tiêu của m và m' nên
tồn tại duy nhất ánh xạ xạ ảnh g: m m' sao cho g(A) = A', g(B) = B', g(C) = C'.
Lấy điểm M bất kỳ thuộc m, khi đó (ABCM) = (A'B'C'g(M)).

7


Nhng do (ABCM) = (A'B'C'g(M)), từ đó suy ra: g(M) = f(M), M m,
hay f = g, tức f là ánh xạ xạ ảnh.
B

A
f
A

f
B

M

C

m
f

f

m

C

f(M)
Từ định lý này, ta có thể suy ra hệ quả sau:
2.2.3. Hệ quả. Cho 2 hàng điểm m và m'. ánh xạ f: m m' là ánh xạ
xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kì.
2.2.4. Định lý. ánh xạ xạ ảnh f: m m là phép phối cảnh khi và chỉ
khi giao điểm của hai đờng thẳng m và m là điểm tự ứng ( tức là O = f(O)).
Chứng minh . Giả sử f: m m là ánh xạ xạ ảnh và O = m m' tự ứng,
tức O = f(O). Cần chứng minh f là phép phối cảnh, tức là chứng minh các đờng
thẳng nối các cặp điểm đồng quy.
S
Lấy 3 điểm A, B, O thuộc m, khi đó
m
ảnh của chúng qua f là A' = f(A); B' = f(B)
M
B
và O = f(O). Đặt S = AA' BB', lấy điểm M
A
bất kỳ thuộc m, đặt M' = f(M). Ta chứng

O
minh M', M, S thẳng hàng.
A
M
Vì f là ánh xạ xạ ảnh nên (OABM) = (OA'B'M') (1)
B
mhàng
Đặt M = m' SM, theo định lý về quan hệ về tỷ số kép của 4 điểm thuộc
1

và 4 siêu phẳng thuộc chùm, ta có: (OABM) = (SO, SA, SB, SM) = (OA'B'M1)
Tức là (OABM) =(OA'B'M1). Suy ra, M' M1, tức là M, M', S thẳng hàng.
Ngợc lại, giả sử ánh xạ xạ ảnh

m và m' là O sẽ biến nó thành chính
S f(O) = O.
m
nó, tức

f: m m là phép phối cánh tâm S, khi
đó dễ thấy giao điểm của 2 đờng thẳng
O

2.3. ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đờng thẳng trong P2(R).

8

m

Trong P2(R), tập hợp tất cả các đờng thẳng đi qua điểm S đợc gọi là chùm
đờng thẳng tâm S. Kí hiệu {S}
Kí hiệu chùm đờng thẳng tâm S là {S}
{S}

f
2.3.1. Định nghĩa.
a) Trong P2(R), cho 2 chùm đờng thẳng {S} và {S'} (S S').
ánh xạ f: {S}{S'} biến mỗi đờng thẳng thuộc {S} thành mỗi đờng thẳng
thuộc {S'} đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 đờng thẳng
bất kỳ.
b) Trong P2(R), cho hai chùm đờng thẳng {S} và {S} (S S) và đờng thẳng
d không đi qua điểm nào trong chúng. ánh xạ f:{S}{S} đợc xác định nh sau:
với đờng thẳng m {S} thì ảnh f(m) = m {S} đi qua giao điểm của m và d,
đợc gọi là phép phối cảnh ( hay phép chiếu xuyên trục) và đờng thẳng d đợc
gọi là trục phối cảnh. Kí hiệu:{S} {S}.
f
2.3.2. Định lý:
1) Trong P2(R) , cho hai chùm {S} và {S} (S S). Khi dó tồn tại duy
nhất phép ánh xạ f: {S} {S} sao cho với 3 đờng thẳng a, b ,c, thuộc {S} có
ảnh là 3 đờng thẳng a, b, c {S}.
2) ánh xạ xạ ảnh f: {S} {S} (S S) là phép phối cảnh khi và chỉ
khi đờng thẳng SS tự ứng ( tức là f(SS) = SS).
Nhận xét : 1) Là đối ngẫu của định lý 2.2.2.
2) Là đối ngẫu của định lý 2.2.4.
2.3.3. Định lý Steine:
a) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai chùm {S 1} và {S2} (S1 S2), nếu
ánh xạ f: {S1} {S2} mà không phải là phép phối cảnh thì quỹ tích giao
điểm các cặp đờng thẳng ảnh và tạo ảnh tơng ứng là một đờng cônic đi
qua S1 và S2. Cônic này tiếp xúc với đờng thẳng f(S1S2) tại S2 và tiếp xúc

với đờng thẳng f 1(S1S2) tại S1 .

9


b) Nếu S1 và S2 là hai điểm phân biệt cố định trên một cônic(C) thì ánh
xạ f:{S1} {S2} từ chùm {S1} lên chùm {S2} xác định bởi f(S1M) = (S2M) là
một ánh xạ xạ ảnh ( nhng không là phép phối cảnh).
(Khi M S1, coi S1 M là tiếp tuyến của (C) tại S 1; khi M S2 thì coi S2M là
tiếp tuyến của (C) tại S2) .
Chứng minh .
d2
d
m

M2

E2
d3

S3
M

E1 M M
1S
1
d

d1
2

m

a) Gọi d3 là đờng thẳng đi qua S1S2, gọi d2, d1 tơng ứng là tạo ảnh của d3:
f(d2) = d3, f(d3) = d1 . Do f không phải là phép phối cảnh nên theo định lý 2.3.2
thì đờng thẳng d3 không tự ứng, vậy d3 d1, d3 d2.
Suy ra d1 d2 ( vì nếu d1 d2 S1S2 = d3). Do đó d1, d2, d3 là 3 đờng thẳng
phân biệt. Gọi S3 là ba giao điểm của d1 và d2 thì S1, S2, S3 là các điểm phân biệt.
Lấy d là đờng thẳng thuộc chùm {S1} tùy ý khác d2, d3 và d là ảnh của đờng
thẳng d (tức f(d) = d). gọi E là giao điểm của 2 đờng thẳng d và d, khi đó chọn
mục tiêu trong mặt phẳng xạ ảnh là{S1, S2, S3; E} (1).
Giả sử đờng thẳng m bất kỳ {S1} khác với d,d2,d3 và ảnh f(m).Vì f là ánh
xạ xạ ảnh nên (d3,d2,d,m)=(d1,d3,d,m) (2)
Gọi M là giao điểm của m và m, giả sử điểm M(x 1,x2,x3) đối với mục trên
(1). Ta có tọa độ của các đơng thẳng sau: d1[1,0,0]; d2[0,1,0]; d3[0,0,1];
d[0.-1,1]; d[1,0,-1]; m[0,-x3,x2]; m[x3,0,-x1].
x2

Vậy [d]=[d3] - [d2], [m]= x2[d3] - x3[d2] nên (d3,d2,d,m) = x
3

10

(3).


x3

Tơng tự ta có (d1,d3,d,m) = x (4).
1

Từ (2),(3) và (4) ta có

x2 x
3
2
x3 = x hay x1x2 - x3 = 0
1

(5)

Gọi (C) là đờng cônic có phơng trình (5) đối với mục tiêu (1). Rõ ràng
m (C), bằng cách viết phơng trình tiếp tuyến của cônic (C) tại hai điểm S1 và S2
ta thấy đó chính là đờng thẳng x2= 0, x1 = 0, tức là hai đờng thẳng d2, d1.
Khi m trùng với d, d2 hoặc d3 thì điểm M chính là điểm E, S1 hoặc S2 thuộc (C)
Ngợc lại, lấy điểm M bất kỳ thuộc cônic (C). Khi đó từ (3), (4) ,(5) ta suy
ra (2) tức (d3d2,d,m) = (d1,d3,d,m) (2).
b) Bây giờ ta chứng minh rằng nếu ánh xạ f thỏa mãn điều kiện trên thì nó
là ánh xạ xạ ảnh nhng không phải là phép phối cảnh. Gọi d3 là đờng thẳng đi qua
S1, S2 gọi d1, d2 lần lợt là các tiếp tuyến của (C) tại S1, S2 và gọi giao điểm của d1
và d2 là S3 . Lấy E (C) E S1 , E S2 . Chọn mục tiêu của mặt phẳng xạ ảnh là
{S1,S2,S3;E} thì (C) có phơng trình là: x32 x1x2 = 0.

d
m

d2

S1
E2

M2

d3

E
E1

S3
E1

M1

S2

d1

x2 x
3
2

Với mỗi điểm M (C),
d M(x1,x2,x
m3) thì x3 -x1x2 = 0 hay x3 = x ( với x3 0,
1

x1 0) (6). Gọi d,d,m,m lần lợt là đờng thẳng qua S1E, S2E, S1M, S2M, khi đó
chứng minh tơng tự nh phần a) ( cho định lý thuận) ta có:
x3
x2
(d3,d2,d,m) = x và (d1,d3,d,m) = x1 .

3

Từ (6) ta suy ra (d3,d2,d,m) = (d1,d3,d,m) . (7)

11


Tơng tự gọi g là ánh xạ xạ ảnh từ chùm {S 1} vào chùm {S2} biến các điểm
d3,d2,d tơng ứng thành d1,d3,d. Khi đó ta dễ dàng chứng minh đợc g f . Ta thấy f
không phải là phép phối cảnh vì d3 không tự ứng. Chú rằng M S1 thì MS1 chính
là tiếp tuyến của (C) tại S1.
Ta có các định lý sau là định lý đối ngẫu của định lý Steine.
2.3.4. Định lý :
a) Nếu f: {m1} {m2} là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm không
phải là phép phối cảnh thì các đờng thẳng nối với các cặp điểm ảnh tơng ứng
sẽ tiếp xúc với một đờng cônic. Cônic này tiếp xúc với m1, m2 lần lợt tại
f -1(Q) và f(Q) trong đó Q = m1 m2 .
b) Nếu m1, m2 là các tiếp tuyến khác nhau của đờng cônic (C) mà m là
tiếp tuyến thay đổi của (C) thì ánh xạ biến m 1 m2 thành m m2 là ánh xạ xạ
ảnh ( nhng không phải là phép phối cảnh). (Khi m trùng m 1 thì ta coi m m1
là tiếp điểm của m với cônic (C), khi m trùng m 2 thì ta coi m m2 là tiếp điểm
của m với cônic (C)).
2.4. Sự xác định đờng cônic trong mặt phẳng xạ ảnh.
2.4.1. Định lý. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 5 điểm trong đó không có 3
điểm nào thẳng hàng. Khi đó có duy nhất đờng cônic đi qua chúng.
Chứng minh . Giả sử 5 điểm đã cho là A,B,C,D,E. Xét hai chùm đờng
thẳng {A}, {B} có ánh xạ xạ ảnh duy nhất f: {A}{B} sao cho f(AC) = BC ;
f(AD) = BD ; f(AE) = BE. Vì các điểm C,D,E không thẳng hàng nên f không
phải là phép phối cảnh. Theo định lý Steine 2.3.3. thì có duy nhất một đờng
cônic qua giao điểm của các cặp đờng thẳng tơng ứng, đó là 5 điểm nói trên.

Sau đây là các trờng hợp đặc biệt của định lý trên, khi trong số 5 điểm trên có
các điểm trùng nhau. Cách chứng minh tơng tự trên.
2.4.1.1 Hệ quả 1. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 điểm A,B,C,D trong
đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và đờng thẳng a chứa điểm A nhng
không chứa các điểm B,C,D , khi đó có duy nhất một đờng cônic đi qua
A,B,C,D và tiếp xúc với a tại A.
2.4.1.2. Hệ quả 2. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 điểm A,B,C không
thẳng hàng và đờng thẳng a chứa A nhng không chứa các điểm B,C. Khi đó
có duy nhất đờng cônic đi qua A,B,C và tiếp xúc với a tại A, tiếp xúc với b tại
B.
Các định lý sau là đối ngẫu của định lý 2.4.1 và hai hệ quả trên.

12


2.4.2. Định lý . Trong mặt phẳng xạ ảnh có 5 đờng thẳng trong đó
không có 3 đờng nào đồng quy. Khi đó có duy nhất đờng cônic tiếp xúc với
chúng.
2.4.2.1. Hệ quả 1. ( Đối ngẫu với hệ quả 2.4.1.1)
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 đờng thẳng a,b,c,d trong đó không có 3 đờng nào đồng quy và điểm A a nhng không thuộc mỗi một đờng thẳng b,c,d.
Khi đó có duy nhất đờng cônic đi qua A,B,C,D và tiếp xúc với a tại A.
2.4.2.2. Hệ quả 2. ( Đối ngẫu với hệ quả 2.4.1.2)
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 đờng thẳng a,b,c không đồng quy và 2
điểm A,B; A a và A không thuộc b, c ; B b và B không thuộc a,c. Khi đó có
duy nhất đờng cônic tiếp xúc với a tại A, tiếp xúc với b tại B và tiếp xúc c.
2.5.Định lý Paxcan trên đờng cônic.
2.5.1. Định nghĩa hình 6 đỉnh. Trong P2(R) một tập hợp 6 điểm phân biệt
kế theo ký tự A1, A2, A3, A4, A5, A6 đợc gọi là một hình 6 đỉnh.
Trong đó:
a) 6 điểm phân biệt đó gọi là các đỉnh.

b) Các đờng thẳng A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A6, A6A1 đợc gọi là các
cạnh.
c) Mỗi cặp cạnh A1A2 và A4A5; A2A3 và A5A6; A3A4 và A6A1 đợc gọi là
cặp cạnh đối diện.
2.5.2. Định lý Paxcan. Nếu một hình 6 đỉnh nội tiếp một cônic (tức là
các đỉnh của nó cùng thuộc một cônic) thì 3 giao điểm của 3 cặp cạnh đối
diện nằm trên một đờng thẳng (gọi là đờng thẳng Paxcan của hình 6 cạnh
đó).
Chứng minh .
Gọi A1A2A3A4A5A6 là hình 6 đỉnh nội tiếp cônic.
A1
Gọi Q, I, R lần lợt là giao điểm của các cặp cạnh
A3
đối diện :
Q M
A5
Q = A1A6 A3A4
I
A4
N
I = A1A2 A4A5
R
R = A2A3 A5A6
Ta cần chứng minh Q, I, R thẳng hàng.
A2
Kí hiệu M = A1A2 A3A4,
A6
N = A2A3 A4A5.
áp dụng định lý Steine đảo cho 2 chùm tâm A1 và A5 , ta có.

13


(A1A2, A1A3, A1A4, A1A6) = (A5A2,A5A3,A5A4,A5A6) (*)
Cắt chùm tâm A1 bởi đờng thẳng A3A4 và cắt chùm tâm A5 bởi đờng thẳng
A2A3.
Ta có: (A1A2, A1A3, A1A4, A1A6) = (MA3A4Q)
(A5A2, A5A3, A5A4, A5A6) = (A2A3 NR)
Kết hợp với (*) ta có (MA3A4Q) = (A2A3 NR) nên ánh xạ xạ ảnh giữa hai
hàng điểm {M, A3, A4, Q} và {A2, A3, N, R). Nhng trong ánh xạ đó MA2, A4N,
QN đồng quy. Nghĩa là Q, I, R thẳng hàng.
2.5.3. Các trờng hợp đặc biệt của định lý Paxcan.
Ta định nghĩa các hình 5 đỉnh, 4 đỉnh, 3 đỉnh tơng tự hình 6 đỉnh khi thay
6 bởi 5, 4, 3. Xem hình 5 đỉnh, 4 đỉnh, 3 đỉnh là một hình 6 đỉnh trong đó lần l ợt
có hai đỉnh, 3 đỉnh, 4 đỉnh trùng nhau. Từ đó ta có các trờng hợp đặc biệt của
định lý Paxcan.
Định lý:
a) Nếu 5 điểm A1, A2, A3, A4, A5 nằm trên một đờng cônic (S) thì 3 giao
điểm của các cặp đờng thẳng cạnh A1A2 và A4A5, cạnh A2A3 và A5A1, cạnh
A3A4 và tiếp tuyến của (S) tại A1 nằm trên một đờng thẳng. (hình a)
b) Nếu 4 điểm A,B,C,D nằm trên một đờng cônic (S) thì 3 giao điểm của
tiếp tuyến tại A và cạnh BC, cạnh AB và AD, tiếp, tuyến tại B và cạnh AD
nằm trên một đờng thẳng. (hình b)
c) Nếu 3 điểm A, B, C cùng nằm trên một cônic (S) thì 3 giao điểm của
tiếp tuyến tại mỗi đỉnh và cạnh đối diện nằm trên một đờng thẳng. (hình c)
R
A5

A2
I

A4
A
A3

B

I
A1A6
hình a)

14

C

Q
hình c)

R


Q
Q

I

R
A
D

B
hình b)

C

2.6. Định lý Briăngsông.
2.6.1. Hình 6 cạnh. Trong mặt phẳng xạ ảnh, một tập hợp 6 đờng thẳng
phân biệt kẻ theo thứ tự a 1, a2, a3, a4, a5, a6, đợc gọi là hình 6 cạnh, 6 đờng thẳng
đó đợc gọi là các cạnh. Các giao điểm A1= a6 a1, A2 = a1 a2, A3 = a2 a3, A4 =
a3 a4, A5 = a4 a5, A6 = a5 a6 đợc gọi là các đỉnh của hình 6 cạnh. Mỗi cặp
A1 và A4 , A2 và A5 , A3 và A6 gọi là một cặp đỉnh đối diện.
Nhận xét: Đối ngẫu với khái niệm hình 6 đỉnh là khái niệm hình 6 cạnh.
Suy ra định lý Briăngsông sau đây là đối ngẫu của định lý Paxcan.
2.6.2. Định lý Briăngsông.
Nếu một hình 6 cạnh nội tiếp một cônic (tức là các cạnh của nó cùng
tiếp xúc với một cônic) thì 3 đờng thẳng nối 3 cặp đỉnh đối diện của nó đồng
quy tại một điểm (gọi là điểm briăngsông của hình 6 cạnh ấy).
A3
A2

a2

a3

a1

A4

A1

a4

a6
A6

a5

A5
15


2.6.3. Các trờng hợp đặc biệt của Định lý Briăngsông.
Ta có thể gọi hình 6 cạnh theo cạnh hoặc theo đỉnh của nó. Tơng tự các
khái niệm hình 6 cạnh, ta đi xây dựng khái niệm hình 5 cạnh, hình 4 cạnh,
hình 3 cạnh. Ký hiệu tiếp điểm thuộc cạnh A1A5 là A6. Coi A1 A2 A3 A4 A5 A6 là
hình 6 cạnh suy biến. Từ đó ta có các trờng hợp đặc biệt của hình 5 cạnh, 4
cạnh, 3 cạnh nh sau:
2.6.3.1. Định lý:
a) Nếu một hình 5 cạnh A1 A2 A3 A4 A5 ngoại tiếp đợc một hình cônic, thì
các đờng thẳng A1A4, A2A5, đờng thẳng qua A3 và tiếp điểm của cạnh A1A5 với
cônic đồng quy tại 1 điểm . (hình a)

b) Nếu một hình 4 cạnh ngoại tiếp đợc một cônic thì các đờng thẳng qua
các đỉnh đối diện, các đờng thẳng qua các tiếp điểm trên các cạnh đối diện
đồng quy tại một điểm . (hình b)
c) Nếu một hình 3 cạnh ngoại tiếp đợc một hình cônic thì các đờng thẳng
qua mỗi một đỉnh và tiếp điểm của cạnh đối diện đồng quy tại một điểm. (hình
c)
A1

A3

A2

A1
A6
hình a)

A2

A6

A4
A5

A5

A3

A4
hình c)
A3
A2

A1

16
A6

A5

A4


hình b)
2.7. Phép biến đổi xạ ảnh của một đờng cônic.
Cho 4 điểm A, B, C, D trên cônic (S) và điểm M thay đổi trên (S). Từ định
lý Steine ta có tỷ số kép của (MA, MB, MC, MD) không phụ thuộc vào vị trí của
M trên (S). Tỷ số kép đó đợc gọi là tỷ số kép của 4 điểm A, B, C, D trên cônic (S)
và ký hiệu (ABCD)(S).
2.7.1. Định nghĩa. Cho cônic (S), một song ánh f: (S) (S) đợc gọi là
phép biến đổi xạ ảnh của (S) nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ trên (S).
2.7.2. Định lý. Cho f là phép biến đổi xạ ảnh nhng không phải là phép
đồng nhất của cônic (S). Khi đó với bất kỳ hai điểm M , N của (S) và M =
f(M), N = f(N) thì giao điểm của hai đờng thẳng MN và MN nằm trên đờng thẳng cố định.
f(Q),

Chứng minh . Lấy 3 điểm I, Q, R phân biệt thuộc (S). Gọi I = f(I), Q =

R = f(R). áp dụng định lý Paxcan cho lục giác IQRIQR ta có các giao điểm
A = IR IR, B = IQ IQ, C = QR QR nằm trên đờng thẳng d, ánh xạ

giữa hai chùm {I} và {I} có I I tự ứng nên đó là phép phối cảnh, suy ra giao
điểm của các cặp đờng thẳng tơng ứng thẳng hàng. Giả sử M là điểm tùy ý thuộc
(S) và ảnh M = f(M). Vì f bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm trên (S) nên
(IQRM)(S) = (IQRM)(S) . Vậy (I I, IQ, IR, IM) = (I I, IQ, IR, IM).
Do B = IQ IQ, C = QR QR nên giao điểm của IM và IM nằm trên đờng
thẳng BC hay nằm trên d.
Tơng tự nếu N (S) thì IN IN cũng nằm trên d. áp dụng định lý Paxcan
cho lục giác IMNIMN ta có giao của các cặp đờng thẳng IM và IM, IN và

IN, MN và MN thẳng hàng. Vì giao của hai cặp đờng thẳng đầu thuộc đờng
thẳng d nên giao của MN và MN cũng thuộc đờng thẳng cố định d.

17


N

Q

I
A
B
I

R
M
C
M
R

2.7.3. Chú ý. Định lý trên vẫn đúng trong trờng hợp đặc biệt M N, khi
N của
Q (S) tại M.
đó đờng thẳng MN là tiếp tuyến
2.7.4. Định lý Frêgiê:
a) Định lý thuận. Nếu f là phép biến đổi xạ ảnh của cônic (S) và f là
phép đối hợp ( tức f 2 = Id ) thì đờng thẳng nối hai điểm tơng ứng bất kỳ của
(S) luôn đi qua một điểm cố định (đợc gọi là điểm Frêgiê của f ).
Chứng minh . ( Xem [2]).

b) Định lý đảo. Cho F là điểm cố định không nằm trên cônic(S). Nếu
ánh xạ f: (S) (S) đợc xác định nh sau: Với mỗi điểm M (S), f(M), M và F
thẳng hàng thì F là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của (S).
Chứng minh . ( Xem [2])
2.7.5. Đối ngẫu của định lý Frêgiê.
Chú ý rằng khái niệm 4 tiếp tuyến của đờng cônic đối ngẫu với khái niệm
4 điểm thuộc cônic. Vì vậy hệ quả sau suy từ phép đối ngẫu các khái niệm ở 2.6.
Hệ quả. Cho 4 tiếp tuyến phân biệt a, b, c, d của cônic (S) mà m là tiếp
tuyến của (S) thay đổi cắt a, b, c, d lần lợt ở A, B, C, D. Tỷ số kép (ABCD)
không phụ thuộc vào vị trí của m kí hiệu là (ABCD) (S) . Kí hiệu (S*) là tập hợp
tất cả các tiếp tuyến của cônic (S). Một ánh xạ F: (S *) (S*) đợc gọi là ánh
xạ xạ ảnh của (S*) nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 đờng thẳng bất kỳ thuộc
(S*).
Sau đây là các định lý đối ngẫu của định lý Frêgiê thuận và đảo
a) Định lý thuận. Nếu ánh xạ xạ ảnh F: (S *) (S*) là đối hợp ( tức F2 =
Id) thì giao điểm của các đờng thẳng ( ảnh và tạo ảnh) tơng ứng nằm trên một đờng thẳng cố định ( đợc gọi là đờng thẳng Frêgiê của F).
b) Định lý đảo. Cho đờng thẳng cố định d không thuộc (S*).
18


ánh xạ F: (S*)(S*) đợc xác định nh sau: với mỗi a (S*), a và F(a) cắt nhau
trên d. Khi đó F là ánh xạ xạ ảnh đối hợp của (S*).

19


Đ 3. Vận dụng ánh xạ xạ ảnh đối với đờng
cônic trong P2(R) để giải toán.
Qua những vấn đề đã đợc trình bày ở phần trớc về ánh xạ xạ ảnh và các
vấn đề về đờng cônic trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R). Nhận thấy nếu biết vận

dụng khéo léo các tính chất, các định lý có liên quan đến đờng cônic nh định lý
Steine, Paxcan, Briăngsông, Frêgiê ta sẽ giải quyết đợc rất nhiều bài toán hình
học có liên quan một cách dễ dàng. Sau đây là một số bài toán điển hình.
Bài toán 1. Cho tam giác ABC và cônic (S) tiếp xúc với BC, CA, AB theo
thứ tự A, B, C. Kí hiệu O = BB CC. Chứng minh rằng A, O, A nằm trên
một đờng thẳng .
A

A

B
B

C

C
C
B

O

A

Chứng minh .
B
C
A
Gọi O là giao điểm của BB và CC. Với giả thiết đã cho ta cần chứng
minh A, O, A thẳng hàng. Tức là đi chứng minh AA, BB, CC đồng quy tại O.
Thật vậy, xét hình 6 đỉnh ABCABC ngoại tiếp cônic (S) mà BB CC = 0.

áp dụng định lý Briăngsông đối với hình 6 đỉnh ta có AA, BB, CC đồng quy
tại O , hay 3 điểm A, O, A thẳng hàng.
Bài toán 2. Trong P2(R) cho cônic (S), hai điểm A, B cố định trên (S) và
một điểm cố định P không nằm trên (S). Qua P vẽ đờng thẳng (thayđổi) cắt (S)
tại M, N. Tìm quỹ tích các điểm
I = AM BN
K = AN BM
Chứng minh .

20


Q

A

A

P

R
I

B

N
Gọi A là giao điểm của cônic (S) với PA
M d
Q là giao điểm của AN với AM
R là giao điểm của AM với AN

Do (S), A, P cố định (giả thiết) nên suy ra QR là đờng thẳng cố định.
Đặt QR = d, lúc đó d là đờng thẳng cố định.
Theo định lý Steine đảo ta có:
Chùm {A, AR} ^ chùm {A,AR}.
f

Chùm {A, AM} ^ chùm {A,AN}.
f

Chùm {A, AN} ^ chùm {B,BN}.
g

Suy ra: chùm {A, AM} ^ chùm {B,BN}, chia làm 2 trờng hợp:
f

Trờng hợp 1 . Khi AB không tự ứng (A, P, A không thẳng hàng)
Theo định lý Steine thuận thì quỹ tích của điểm I chính là một cônic chứa 2 điểm
A và B.
Trờng hợp 2. Khi AB tự ứng ( tức là P, A, B thẳng hàng) => ánh xạ f là
phép phối cảnh quỹ tích điểm I là đờng thẳng cố định ( tức đờng thẳng d).
Chú ý: ánh xạ f: chùm {A, AR} chùm {A, AR}.
ARf(AB) = AR.
ánh xạ g: chùm {A, AN} chùm{B, BN}
AN g(AN) = BN

21


Bài toán 3. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 điểm A, B, C, D trong đó
không có 3 điểm nào thẳng hàng. (S) là một cônic biến thiên luôn đi qua 4 điểm

đó. Tiếp tuyến của (S) tại B cắt AC tại điểm B, tiếp tuyến của (S) tại C cắt BD tại
C. Chứng minh rằng đờng thẳng BC luôn luôn đi qua một điểm cố định.

A

B

D
C

D
B

I

C
B

A

C

C

B
Chứng minh .

Gọi I là giao điểm của hai cạnh AD và BC. Khi đó xét cônic(S) và hình 6
cạnh ADBBCC . Theo định lý Paxcan ta gọi C là giao điểm của BD và CC, B là
giao điểm của BB và CA, mà I là giao của AD và BC. Ta suy ra I, C, B thẳng

hàng . Hay BC luôn đi qua I cố định. ( Do I = AD BC mà AD, BC cố định
=> I là điểm cố định).
Bài toán 4. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic(S) và 3 điểm A, B, C phân
biệt trên S. Các tiếp tuyến với S tại B và C cắt nhau tại D. Một đờng thẳng biến
thiên nhng luôn luôn đi qua D. Kí hiệu: P = AB, Q = AC, M = PC
BQ. Chứng minh rằng quỹ tích của điểm M chính là cônic (S).
A

A

B

C
C
Chứng minh.

B

M

C

B
M


P

22

D

Q


Thuận : Giả sử M là điểm có tính chất đã cho, khi đó ta chứng minh
M (S)
Xét hình 6 cạnh ABBMCC có 3 giao điểm của 3 cặp cạnh đối diện là
AB CM = P, BB CC = D, BM CA = Q. Suy ra P, D, Q là 3 điểm thẳng
hàng vì cùng thuộc đờng thẳng .
Theo định lý Paxcan (đảo) thì ABBMCC nội tiếp một cônic, cônic này xác
định bởi 5 điểm (tức đi qua 5 điểm): A, B, B, C, C. Do đó cônic này chính là (S).
Từ đó suy ra ABBMCC chính là hình nội tiếp (S), tức M(S).
Đảo: Lấy bất kỳ điểm MS. Ta chứng minh điểm M có tính chất đã cho.
Muốn vậy đặt P = AB CM, Q = AC BM và chứng minh P, Q, D là 3
điểm thẳng hàng .
Thật vậy, xét hình 6 cạnh ABBMCC nội tiếp Cônic(S). Theo định lý Paxcan
(thuận) ta suy ra 3 điểm P, D, Q thẳng hàng .
Vậy quỹ tích của điểm M chính là cônic (S).
A

C

B

M
Q

D
Bài toán 5.PTrong mặt phẳng xạ ảnh P2(R), cho đờng thẳng d và ABC (d

không chứa3 điểm A, B, C) cố định và cônic (S) biến thiên tiếp xúc với d tại D
d
(với D biến thiên), đồng thời (S) tiếp xúc với BC, AC, AB lần lợt tại A, B, C.
Chứng minh rằng BC luôn đi qua
F một điểm cố định.
D
C
K

B

A

C

23
B

E


Chứng minh.
Gọi E là giao điểm của đờng thẳng d với cạnh AC, F là giao điểm của đờng thẳng d với cạnh AB.
Khi đó xét hình 6 đỉnh BCBEFC ngoại tiếp cônic (S). Theo định lý
Briăngsông suy ra BE, CF, BC đồng quy. Gọi K là giao điểm của CF và BE.
Khi đó BC đi qua K cố định.
( Vì ABC cố định, d cố định).
Bài toán 6. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic (S) và 6 tiếp tuyến khác
nhau của nó là a, a, b, b, c, c. Kí hiệu:A =a c, B = b c,A = a c,B =
b c. Chứng minh rằng 3 điểm:P = a a, Q = b b, R = AB BA thẳng

hàng .
Chứng minh. Xét hình 6 đỉnh BQBAPA ngoại tiếp cônic (S). Theo định
lý Briăngsông ta có BA, AB, QB đồng quy tại một điểm R , hay R, P, Q là 3
điểm thẳng hàng.
R

b
a

c
P

a

A
c
B

Q

A

b
Q

A

B
P

A

B
24

B


Bài toán 7. Chứng minh rằng nếu hai tam giác ABC và IKM cùng nội
tiếp một cônic thì chúng cùng ngoại tiếp một cônic.
Chứng minh.
A

A

C

B

M

R

P
C

M

I

Q
M

K

I
Ta chứng
minhKPQ, BM, CI đồng quy, tức chứng minh hình lục giác
PBCQIM ngoại tiếp một cônic. Thật vậy, xét hình 6 cạnh ABMKIC nội tiếp (S).
Gọi các giao điểm : P = AB IK; R = BM IC; Q = MK CA. Suy ra P,
R, Q là 3 điểm thẳng hàng , tức BM, CI, PQ đồng quy tại R.
Xét hình 6 đỉnh PBCQMI có 3 đờng thẳng nối 3 cặp đỉnh đối diện BM, CI,
PQ đồng quy tại R. áp dụng định lý Briăngsông đảo ta có hình 6 cạnh PBCQMI
nội tiếp một cônic(S*), tức là 3 cạnh AB, BC, CA của ABC và 3 cạnh IK, KM,
MI của IKM cùng tiếp xúc với cônic (S*). Từ đó ta suy ra hai tam giác ABC và
IKM cùng ngoại tiếp cônic(S*).
Bài toán 8. Cho đờng tròn (S) đờng kính AB và tiếp tuyến d với (S) tại A.
Lấy điểm C trên đờng thẳng AB không trùng với AB. Một đờng thẳng biến thiên
đi qua C và cắt (S) tại 2 điểm N. N. Gọi M = d BN ; M = d BN. Từ M, M
dựng các tiếp tuyến của (S) không trùng với d và giả sử các tiếp điểm tơng ứng là
T và T. Chứng minh rằng các điểm D = MT MT biến thiên trên một đờng
thẳng cố định.
d
M
N

A
M

C

N

T

T
B

25
D