Về liên thông lêvi sivita trên đa tạp riemann

0

BỘGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
----------------

TRẦN THỊLAN HƯƠNG

VỀLIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA TRÊN
ĐA TẠP RIEMANN
Chuyên ngành: Hình học- tôpô.
Mã số : 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SỸTOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS.NGUYỄN HỮU QUANG

VINH - 2007


1

MỤC LỤC

Trang
Lời nói đ
ầu ...... ......................................................................................

2

Chương I : Liên thông tuyế
n tính trên M............................................

4

I. Liên thông tuyế
n tính trên M ................................................................

4

II. Đạ
o hàm củ
a trườ
ng vectơ....................................................................

13

Chương II : Liên thông Lêvi-sivita trên đa tạ
p Riemann....................

21

I. Liên thông Lêvi-sivita trên đ
a tạ
p Riemann...........................................

21

II. Dạ
ng liên thông.....................................................................................

30

Kế
t luậ
n ...................................................................................................

36

Tài liệ
u tham khả
o...................................................................................

37


2

LỜI NÓI ĐẦU
Các liên thông trên đ
a tạ
p là các phép lấ
yđ
ạ
o hàm các trườ
ng vectơtiế
p xúc
củ
ađ
a tạ

p. Do đó các liên thông là nhữ
ng công cụđ
ểnghiên cứu các tính chấ
t
hình họ
c trên đ
a tạ
p. Chẳ
ng hạ
n, nghiên cứ
uđ
ộcong, đ
ộxoắ
n, các phươ
ng
trình cấ
u trúc củ
ađ
a tạ
p,... Vì vậ
y, liên thông tuyế
n tính và liên thông Lêvisivita đ
ãđ
ư
ợc trình bày trong nhiề
u tài liệ
u viế
t vềhình họ
c vi phân.
Trong luậ

n vă
n này, chúng tôi tậ
p hợ
p và chứng minh chi tiế
t các tính chấ
t
củ
a liên thông tuyế
n tính, liên thông Lêvi-sivita và mộ
t sốtính chấ
t củ
a dạ
ng
liên thông trên đ
a tạ
p.
Luậ
n vă
nđ
ượ
c chia thành 2 chư
ơng:
Chương I: Liên thông tuyế
n tính trên đ
a tạp.
I. Liên thông tuyế
n tính trên M.
II. Đạ
o hàm củ
a các trư

ờng vectơ
.
Chương II: Liên thông Lêvi-sivita trên đ
a tạ
p Riemann.
I. Liên thông Lêvi-sivita trên đ
a tạ
p Riemann.
II. Dạ
ng liên thông.
Trong chươ
ng I, chúng tôi trình bày đ
ị
nh nghĩ
a, các ví dụminh họa và mộ
t số
tính chấ
t cơbả
n củ
a liên thông tuyế
n tính, chứ
ng minh sựtồ
n tạ
i của liên
thông tuyế
n tính trên mộ
tđ
a tạ
p khảvi và tính bấ
t biế

n củ
a liên thông tuyế
n
tính qua mộ
t phép vi phôi. Ngoài ra, chúng tôi đ
ã trình bày các tính chấ
t về
đ
ạ
o hàm củ
a trư
ờng vectơtheo mộ
t vectơtiế
p xúc, đạ
o hàm củ
a trườ
ng vectơ
dọ
c theo mộ
t cung.
Trong chươ
ng II, chúng tôi trình bày các đ
ị
nh nghĩ
a, ví dụvà mộ
t sốtính chấ
t
cơbả
n củ
a liên thông Lêvi-sivita, chứ

ng minh liên thông Lêvi-sivita luôn tồ
n
tạ
i và duy nhấ
t trên đ
a tạ
p Riemann M, chứ
ng minh tính bấ
t biế
n của liên
thông Lêvi-sivita qua mộ
t phép vi phôi đẳ
ng cự
. Ngoài ra, chúng tôi cũ
ng


3

chứng minh sựtồ
n tạ
i và duy nhấ
t củ
a trườ
ng vectơf trên đ
a tạ
p. Cũ
ng
trong chươ
ng này chúng tôi đ

ã chứng minh mộ
t sốtính chấ
t củ
a dạ
ng liên
n
thông trên R .

Luậ
n vă
nđ
ượ
c hoàn thành vào tháng 12 nă
m 2007 tạ
i khoa Đào tạ
o sau đ
ạ
i
họ
c, trư
ờng Đạ
i họ
c Vinh dư
ới sựhư
ớng dẫ
n củ
a thầ
y giáo, PGS.TS Nguyễ
n
Hữ

u Quang. Nhân dị
p này, chúng tôi xin đ
ượ
c bày tỏlòng biế
tơ
n sâu sắ
c đế
n
thầ
y, ngườ
i đã tậ
n tình chỉ
dẫ
n, giả
ng dạ
y chúng tôi trong suố
t quá trình học
tậ
p và nghiên cứ
u. Chúng tôi cả
m ơn các thầ
y giáo trong bộmôn hình họ
cđ
ã
giả
ng dạ
y, chỉbả
o nhữ
ng vấ
nđ

ềcó liên quan đ
ế
nđ
ềtài nghiên cứ
u và cũ
ng
xin chân thành cả
mơ
n các thầ
y cô giáo trong Khoa Toán, khoa Sau đ
ạ
i họ
cTrườ
ng Đạ
i học Vinh, Trư
ờng THPT Nghi Lộ
c 3, các đ
ồ
ng nghiệ
p, gia đ
ình,
bạ
n bè đã tạ
ođ
iề
u kiệ
n thuậ
n lợ
i cho chúng tôi trong suố
t quá trình hoàn

thành luậ
n vă
n này.

Vinh, tháng 12 nă
m 2007.

Tác giả


4

CHƯƠNG I

LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP.
Trong luậ
n vă
n này, chúng tôi luôn giảthiế
t M là mộ
tđ
a tạ
p khảvi thự
c nchiề
u vớ
i cơsởđ
ế
mđ
ượ
c và vớ
i hệbả

nđ
ồ
U , 
.Ta kí hiệ
u:
I

B (M) = {X\X là trườ
ng vectơtiế
p xúc khảvi trên M}.

F(M) = { f f : U  R , f khảvi trên U- mởtrong R n }.

T p M = {không gian các vectơtiế
p xúc với M tạ
i p M }.

I. LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN M.
1.1. Đị
nh nghĩ
a:
Ánh xạ  : B (M)B (M) 

X ,Y 



B (M)

X Y

Đư
ợc gọ
i là liên thông tuyế
n tính trên đ
a tạ
p M nế
u và chỉ
nế
u  thỏa mãn 4
đ
iề
u kiệ
n sau:


T1 . X 
Y Z X Y X Z

; X , Y , Z B (M).


T2 . X Y Z X Z Y Z

; X , Y , Z  B (M).


T3 
. X Y X Y

; X , Y , Z  B (M), F(M).


T4 
Y X 
Y X Y
. X 

; X , Y , Z B (M), F(M).

Ta thườ
ng gọ
i X Y là đ
ạ
o hàm thuậ
n biế
n củ
a trườ
ng vectơY dọ
c theo
trườ
ng vectơX.
1.2.Ví dụ:
3
1. GiảsửD là mộ
tđ
ạ
o hàm tựnhiên củ
a trư
ờng vectơtrong R , ta xét ánh xạ

 : B ( R 3 ) B ( R 3 )

X , Y 

3

B (R )

1
X Y .
n

 DX Y 

3
Khi đ
ó,  là mộ
t liên thông tuyế
n tính trên R .


5

Thậ
t vậ
y, với X , Y , Z  B ( R ); F( R ) ta có:
3

Y Z =


T1 X 

3

1
DX 
Y Z 
 
X 
Y Z 

n
1

X Y X Z 

n

= D X Y D X Z 

1
1
X Y D X Z  
X Z 
= DXY  
n
n

= X Y X Z .


T2  X Y Z

1
X Y Z 
= D X Y Z  
n
1
X Z 
Y Z 

= D X Z DY Z  
n
1
1
X Z DY Z  
Y Z 
= DX Z  
n
n

= X Z Y Z .
1

X 
Y 
= D X Y  
n


T3   X Y

1
X Y 
= D X Y  
n
1


X Y 

= D X Y  
n



= X Y .


T4 X 
Y =

1
DX 
Y 
 
X 
Y 


n

1
Y D X Y  
X Y 
= X 
n

1


Y D X Y  
X Y 

= X 
n



 Y  X Y .
= X 
2. GiảsửM là đ
a tạ
p khảsong n - chiề
u vớ
i trườ
ng mụ
c tiêu 
E1 , E2 ,..., E n .

6

n

n

i 1

i 1

Vớ
i mọ
i X , Y B (M): X X i E i ; Y Yi Ei ( X i , Yi F(M); i 1, n ).
n

Yi Ei . Khi đ
Ta đặ
t : X Y X 
ó  là một liên thông tuyế
n tính trên M.
i 1

Thậ
t vậ
y, với X, X’, Y, Y’ B (M); F(M), ta có:


T1 X X 'Y

n

=

X
i 1

 X '

Yi 
Ei

Yi 
E i X ' 
Yi 
Ei
= X 
n

n

i 1

i 1

= X Y X ' Y .
n

Yi Yi


Ei
T2 X Y Y ' = X 
i 1


Yi E i X 
Yi E i
= X 

 

i
1
i 1
n

n

= X Y X Y ' .


T3  X Y

X 

Yi E i
= 
n

i 1

n

Yi 
Ei
=  X 
i 1

=  X Y .
n

Y i 
Ei

T4  X 
Y =  X 
i 1

n

X 
Yi Yi X 

Ei
= 
i 1

n

n

i
1

i 1

Yi E i X 
 Y i E i
= X 

= X Y X 
Y .□
1.3. Mệ
nh đề
:
Giảsử f : M  N là mộ
t vi phôi và  là mộ
t liên thông tuyế
n tính trên N.


7





1
Ta đ
ặ

t: X Y  f  f X f Y ; X, Y B (M).

Khi đ
ó  là liên thông tuyế
n tính trên M.
Chứng minh:
Vớ
i X , X ' , Y , Y ' B (M);  F(M), ta kiể
m tra 4 điề
u kiệ
n củ
a liên thông
tuyế
n tính.


T1 X 
Y Y '=







f  f X f 
Y Y '
1

1

= f

f Y f X f Y ' 

f X







1
1
= f  f X f Y  f  f X f Y '



= X Y X Y ' .


T2  X X ' Y






1
= f   f X X ' f Y

1
= f
1
= f



f X

f Y f X ' f Y 

f X

f Y 
 f 1 
f X ' f Y 

= X Y X 'Y .


T3  X Y

1
 f 
= f 
X f Y

1

= f

1
= f 







f Y
f Y

f X

f X





=  X Y .
Đểkiể
m tra đ
iề
u kiệ
n thứ4 củ
a  ta sửdụ
ng các nhậ
n xét sau:

t 0 p ; ' 
1. Giảsửcung tham số: J  M thỏ
a mãn: 
t 0 p
t  
t


 

t0 ;  F(M).
Khi đ
ó ta có: p 
Chứng minh:
Trong hệtọa đ
ộđ
ị
a phư
ơng, ta có:

;

t

x1 
t
, x2 
t
,..., x m 
t

8



t

x1 ' 
t
, x 2 '
t
,..., x m ' 
t
;
p ' 
t 0 
x1 ' 
t0 
, x2 ' 
t0 
,..., x m ' 
t0 
.
  '


' 
t0 
t0

 
 x i 
m

i 1 x i p

 .□
=  p 
2. Giảsử f : M  N là mộ
t ánh xạkhảvi và X p T p M ; F(N), ta có:

f X 


 X 
f 
p

p

p

Chứng minh:
t tạ
GiảsửX p là vectơtiế
p xúc với cung 
i p. Nhưta đ
ã biế
t, khi đ
ó

f  p X p là vectơtiế
t tạ
p xúc với đ
ườ
ng cong f 
i f 
p . Từđ
ó ta có:

f

 p

X

p



 =
=

d
f 
t
t t0
dt

d


f 
t t t 0
dt

f 
= X p
.□
3. Giảsử f : M  N là mộ
t vi phôi.
Khi đ
ó : f X 

 X 
f 
f

1

, X B (M);  F(M).

Chứng minh:
Từ1) ta có:

f X f p 
 X p 
f 
.




f X 


X p 
f 
f 
p
p


f X 

 f 

p X 
f 

p

f X 

 f 
p X 
f 

p

f X 



p '
X 
f 
f 1 
p '; p'  f 
p ; p 'N .



f X 

 X 
f 
f

1

.□

Bây giờ
, trởlạ
i chứ
ng minh mệ
nh đ
ề
.


9

Ta có:


Y = f  
 f X f 
Y 

T4 X 
1


f Y 

f 
f X 

f 
f Y 
f 

f Y
f 

X 

f f 
f 
f Y 
f 
 f Y

f 
X 
 f 
f Y 
f 
 f Y
X 
Y f 
 f Y

1

f
= f  f X 

=
=
=
=

1




1


1


1



1

1



1

1

1

f X

1



1





f X

f X





1

f X



Y X Y .□
= X 
Nhưta đ
ã biế
t, (xem[ 3]). GiảsửU là mộ
t phủmởbấ
t kì củ
a A R n . Khi đ
ó
tồ
n tạ
i họ các hàm  khảvi, xác đ
ị
nh trên mộ
t tậ
p mởW chứa A sao cho:

x 1 ; x A , .
1. 0 
2. Vớ
i mọi x A , tồ
n tạ
i tậ
p mởV chứ
a x sao cho chỉcó mộ
t sốhữ
u hạ
n các
hàm của họ là khác 0 trên V.
3.

x 1 ; x A .




4. Vớ
i mọi , tồ
n tạ
i tậ
p mởU U sao cho 0 ngoài mộ
t tậ
pđ
óng bị
chứa trong U.
Họ thỏ
a mãn các đ

iề
u kiệ
n trên đư
ợc gọ
i là phân hoạ
ch đ
ơ
n vị
phù hợp với
U.
Trên mỗi đ
a tạ
p M vớ
i tậ
p bả
nđ
ồ
U 
luôn tồ
n tạ
i mộ
t họ= g 
phù
I
I
U 
hợ
p vớ
i
I .

Bằ
ng việ
c sửdụ
ng mệ
nh đ
ề1.3 và phân hoạ
ch đ
ơ
n vị ta có mệ
nh đ
ềsau:
1.4. Mệ
nh đề
:
Trên đ
a tạ
p M luôn tồ
n tạ
i liên thông tuyế
n tính .
Chứng minh:
n
U  và vớ
GiảsửX, Y  B 
i vi phôi  :U   V ; I , V - mởtrong R .


10

U  
Ta xét ánh xạ  : B 

U 
B 
X , Y  1 D X~ Y~ .

 

 
 

~
X  1 X
Trong đ
ó: ~
1
Y   Y
1
Từmệ
nh đ
ề1.3 vớ
i f  ; M V; N U , ta có  là liên thông tuyế
n

tính trên 
U 
.

U 

Ta đ
ặ
t  g  ; với g 
ch đ
ơn vịphù hợp với 
I là phân hoạ
I .
I

Khi đ
ó, là liên thông tuyế
n tính trên đ
a tạ
p M.
Thậ
t vậ
y, dễthấ
y thỏ
a mãn các đ
iề
u kiệ
n 1, 2, 3 củ
a liên thông tuyế
n tính.
Ởđ
ây ta chỉ
kiể
m tra đ
iề
u kiệ

n thứ4 củ
a .
Vớ
i mọ
i p M ; X, Y B (M) ; F(M) ta có:

g 
Y 


X 
Y 
p = 
X 
I

=
=

p

g  
p 
 
Y 



X

I

p

p 
p 
 Y 
X 
 Y 
g  
X

I

p

p



p g 
p 
X 
Y 
= 
X Y  g  
p


I



I

p

p 
X Y 
X 
Y 
= 
p 1. 
p .

Y X Y X 
Y .□
Nhưvậ
y X 
1.5. Mệ
nh đề
:
Giảsử1 , 2 là hai liên thông tuyế
n tính trên M. Khi đ
ó 11 22 là
liên thông tuyế
n tính trên M  1 2 1 , vớ
i 1 , 2 F(M).
Chứng minh:
Điề
u kiệ

n cầ
n:


11

Giảsử1 , 2 là hai liên thông tuyế
n tính trên M và 11 2 2 là liên
thông tuyế
n tính trên M.
Vớ
i X,Y B (M); , 1 , 2 F(M), ta có:
X 
Y = 
1 1 2 2 
Y
X 

Y 
2 2 X 
Y 
= 11 X 

X 
Y 1 X Y 
2 
X 
Y 2 X Y 
= 1 

1 2 
X 
Y 
11 X Y 2 2 X Y 
= 
1 2 
X 
Y 
1 1 2 2 
= 
X Y

1 2 
X 
Y X Y .
= 
Do  là liên thông tuyế
n tính nên 1 2 1.
Điề
u kiệ
nđ
ủ
:
Giảthiế
t 1 2 1 .Ta cầ
n chứ
ng minh 1 1 2 2 là liên thông tuyế
n
tính.
Thậ

t vậ
y, với X, X’, Y, Y’  B (M); , 1 , 2 F(M), ta kiể
m tra 4 đ
iề
u kiệ
n
củ
a liên thông tuyế
n tính.

1 1 2 2 

T1  X X 'Y = 
X X ' Y
= 1 1 X X ' Y 2 2 X X ' Y
= 11 X Y 1 1 X 'Y 2 2 X Y 2 2 X 'Y

1 1 2 2 
1 1 2 2 
=
X Y 
X'Y
= X Y X 'Y .

11 2 2 
Y Y '
Y Y '= 

T2 X 
X

Y Y '
2 2 X 
Y Y '
= 11 X 
= 11 X Y 11 X Y ' 2 2 X Y 2 2 X Y '

1 1 2 2 X Y '
1 1 2 2 
=
X Y 
= X Y X Y ' .


12


T3  X Y

1 1 2 2 
Y
=
X
= 1 1X Y 2 2X Y

1 1 X Y 2 2 X Y 
= 

1 1 2 2 
= 
XY

= X Y .

1 1 2 2 
Y 

T4  X Y = 
X
Y 
2 2 X 
Y 
= 1 1 X 
X 
Y 1 X Y 
2 
X 
Y 2 X Y 
= 1 

1 2 
X 
Y 
11 X Y 2 X Y 
= 
1 2 
X 
Y 
1 1 2 2 
= 
X Y

1 2 
X 
Y X Y
= 
 Y X Y ( do 1 2 1 ). □
= X 
Nhưvậ
y, ta nhậ
n thấ
y rằ
ng: Nế
u 1 , 2 là hai liên thông tuyế
n tính thì
1 2 không phả
i là một liên thông tuyế
n tính.

1.6. Mệ
nh đề
: Xem [1]
a. Ánh xạ: Y  X Y chỉ
phụthuộ
c Y tạ
i lân cậ
n mỗ
iđ
iể
m, tức là nế
u thu
hẹ

p Y

U

lên tậ
p mởU M và Y

U

0 thì X Y | U = 0.

b. Ánh xạ: Y  X Y chỉ
phụthuộ
c X tạ
i từng đ
iể
m, tức là nế
u X p X ' p 
X Y
thì 


X 'Y 

p 

p

Chứng minh:
a. Thậ

t vậ
y:
Với mỗ
i p U , ta có hàm  F(M) sao cho:

p 0 ; M \U 1. Khi đ
ó : .Y Y

Và ta có:


X Y 

X 
Y 


p =
p 


13

X 
Y 
X Y 
=

p 
p 

 

X Y 
= X 
p .Y 
p 
p 
p 

=0.□
n


U, x vớ
b. Xét trong bả
nđ
ồđị
a phươ
ng 
i trườ
ng mục tiêu tựnhiên   .
xi i 1

Đặ
t Ei   . Khi đ
ó vớ
i mọ
i X , X 'B (U) ta có các biể
u diễ
n sau:

xi

n

n

i 1

i 1

X i E i và X ' i' E i ; vớ
i 1,..., n
i i ,i , F(U) , 
'
p i' 
p ,
i 1,..., n
Từ X p X p ta suy ra i 
. Do đ
ó:



n
Y

X Y 
=
p  
 i E i

 i1





p 

p 

 
n

=

i

Ei

i 1

Y



p

p 
 Y



n

=

'
i

Ei

i 1

p

X 'Y 
= 
p 

X Y 
X 'Y 
Vậ
y: 
p 
p .□

II. ĐẠO HÀM CỦA CÁC TRƯỜNG VECTƠ:
Giảsử là mộ
t liên thông tuyế
n tính trên M. Theo mệ
nh đ

ề1.6 thì


X Y 
phụthuộ
c
p chỉ

X p . Từđ
ó ta có thểnói vềkhái niệ
mđ
ạ
o hàm củ
a

trườ
ng vectơtheo mộ
t vectơtiế
p xúc.

p . Khi
Vớ
i mỗ
i T p M , ta có trườ
ng vectơX B (M) sao cho : X 
X Y 

p ; Y  B (M).
đ
ó ta đ

ặ
t : Y 
1.7. Đị
nh nghĩ
a:
Y đ
ư
ợc gọi là đ
ạ
o hàm củ
a trư
ờng vectơY theo vectơ .


14

1.8. Nhậ
n xét:
Ánh xạ :


TM  T p M

p M


TM B (M)  TM;


, Y 






 Y

Thỏ
a mãn các tính chấ
t sau:

Y Y 'Y Y ' .
1.  

Y 
Y 
p 
p Y .
2.  
T p M ; F(M); Y, Y’ B (M); p M .

Thậ
t vậ
y: GiảsửX, Y B (M); X p  ta có:
Y Y ' = 
X 
Y Y ' 
p
1.  

= 
 X Y  X Y ' 
p
= Y Y ' .

Y
2.  

= 
X 
Y 
p
X 
Y 
X Y 
=
p 
p

= X

p


Y p


p X p Y

Y p 
p Y .□
= 
Từchứ
ng minh trên, ta nhậ
n thấ
y rằ
ng: Nế
uđ
ã cho Y , TM thì ta cũ
ng

X Y 
xây dựng đ
ư
ợc  trên M bằ
ng cách đ
ặ
t 
i X,YB
p X p Y ; mọ
(M). Chẳ
ng hạ
n,(trong hình họ
c vi phân) ta thườ
ng xây dự
ng D X Y từDY ,


DXY 

D X
p

p

Y.


Bây giờta giảsử f : M  N là ánh xạkhảvi. Khi đ
ó, trư
ờng
p  p

vectơZ dọ
c f là ánh xạkhảvi Z : M  TN sao cho Z  f , tứ
c
p  Z p

p T f p N .
là vớ
i p M , Z 


15

Kí hiệ
u: B

f

={ tậ
p các trườ
ng vectơZ dọ
c f | f : M  N }.

Rõ ràng, nế
u X B (M) thì ánh xạp  f p 
X p là mộ
t trư
ờng vectơdọ
cf
và đ
ư
ợc kí hiệ
u là f X .
TM

TN



Z p'



M

f

GiảsửZ  B

N



Z
;

p

f

p’

~
khi đ
ó luôn có trườ
ng vectơZ trên mộ
t lân cậ
n V củ
a

f

~
p' f 
p trong N sao cho vớ
i mọ
i q  f 1 
V : Z 

q Z 
f 
q 
.

Khi đ
ó, ta đ
ặ
t : B (M)B

f

 B

X , Z  

X Z

f

X Z 

p = f X  Z (Ởđ
Vớ
i 
ây  là liên thông tuyế
n tính trên N).

~

p

=

j

f X 
p 

j



yj

p A j 
p
Trong đ
ó: Z 
j





j

X

p

A
f 
p ; X B (M)

j

yj

y
j

p 
A 

f 
p

; A j là hàm sốtrên f

1


V .

Ta nhậ
n thấ
y rằ
ng, X Z hoàn toàn xác đị
nh nế
u biế

t X, Z và X Z là duy
nhấ
t vớ
i mọ
i X , Z .

f 1
V
. p .q

~

f

Z

. q’

V
. p’

f(M)

N
M


16

1.9. Đị

nh nghĩ
a:
Ánh xạ: B (M)  B

f

 B

X , Z  

X Z

f

đ
ư
ợc gọ
i là đ
ạ
o hàm của trư
ờng vectơZ theo X dọ
c f.
1.10. Mệ
nh đề
:
Ánh xạ: B (M)  B

 B

f

X , Z  

f

X Z

Thỏ
a mãn các tính chấ
t sau:
1. X 
Z Z ' 
X Z X Z ' ; X B (M), Z , Z 
 B
Z X 
f 
Z X Z ; Z B
2. X 

f

f

, F(M).

Chứng minh:
Vớ
i mọ
i X B (M), Z, Z’ B
1. X 

Z Z ' 

p = f X 
p

, F(M) ta có:
~ ~
Z Z 
f





~

~

= f X  Z f X  Z 
p

p

= X Z 
p X Z ' 
p
 X 
Z Z '= X Z X Z ' .

2.  X 

Z

Z


p = f X  

~

p



~
~

 Z f X  Z
= fX 
p
p

= X 
p
f 
Z 
p X Z 
p
 X 
Z = X


f 
Z X Z .□

1.11. Bổđề
:

X ,Y 

fX , fY 
Nế
u f : M  N là mộ
t vi phôi thì f 
, vớ
i mọ
i

X , Y B(M).
Chứng minh:
Vớ
i mọ
i X , Y B (M), F(M), ta có:


17

f X

, f Y 


 = f X 
f Y 

 f Y 
f X 

.

Theo nhậ
n xét 3) củ
a mệ
nh đ
ề1.3 ta có:



X

Y
f 
f 
f 
f

f X 
f Y 
 = fX Y 
f 
f

=

1

1

Y
 f
= X



f

1

1

.

Tươ
ng tựta có:
fY 
fX 

Y 
X
f 
f

1

.

Do đ
ó:

f X , f Y 

 =
=
=
=

X
Y
f



f 1 Y 
X
f 
f 1
X 
Y
f 
Y X 
f 


f 1



X ,Y 

 f 

f
f 
X ,Y 

.

1

X ,Y 

f X , f Y 
Suy ra: f 
.□
1.12. Mệ
nh đề
:
Vớ
i mọ
i X,YB (M), ZB

f

và f là mộ
t vi phôi, ta có:

1. X 
f Y 
Y 
f X 
f 
X ,Y 
T 
f X , f Y 
.
f X , f Y 
.Z .
2. X Y Z Y X Z X , Y Z R 

Trong đ
ó, T và R là trườ
ng tenxơxoắ
n, trườ
ng tenxơcong củ
a .
Chứng minh:
Thậ
t vậ
y, với mọ
i X,Y B (M), ZB

f

và f là mộ
t vi phôi, ta có:

f Y fX f 
X ,Y 
1. X 
f Y 
Y fX 
f
X ,Y 
= f X fY 
= f X fY f Y fX fX , fY (theo bổđ
ề1.11)
= T fX , fY 
.
2. X Y Z Y X Z X ,Y Z f X f Y Z f Y f X Z f X ,Y Z
= f X f Y Z f Y f X Z f X , f Y Z
fX , f Y 
. Z .□
= R


18


Bây giờta xét trườ
ng hợ
p f : J  M
t  
t.

Trong đ
ó, M là đ
a tạ
p Riemann n - chiề
u, khảsong vớ
i trườ
ng mụ
c tiêu trự
c

Ui
chuẩ
n
t khoả
ng mởtrong R, tứ
c là ta xét mộ
t cung tham số
i
1 , J là mộ
n

trên đ
a tạ
p M.
GiảsửX là mộ
t trườ
ng vectơdọ
c , trong bả
nđ

ồđ
ị
a phư
ơng (V,y) củ
aM



i







vớ
i X i  yi  .
i

y
t



thì X X i 


Khi đ
ó, ta kí hiệ

u: B



(M) ={ tậ
p các trườ
ng vectơdọ
c }.

1.13. Đị
nh nghĩ
a:
Giảsử là liên thông tuyế
n tính trên đ
a tạ
p M và : J  M là mộ
t
t  
t

cung tham số
.
Khi đ
ó, ánh xạ  : B
t



(M)  B

X





(M)


X

t

n
n


X

X

t

U

X i
t
 U i
Trong đ
ó:


i
i

 
t
i 1
i 1
t


đ
ượ
c gọ
i là đ
ạ
o hàm củ
a trườ
ng vectơX B



(M) dọ
c cung .

1.14. Hệquả
:
Ánh xạ



: B

t



(M)  B



(M) thỏ
a mãn các tính chấ
t sau:

1.


X Y  X Y ; X ,Y B
t
t
t

2.


d


X 


X  X ; X B
t
dt
t



(M).

(M), F(J)



~
 ~ 

t ' t X~ , với  
3. Nế
u X ' thì  X 
 .
t 
t 


19

Chứng minh:
Vớ
i mọ
i X , Y B


X Y 
1. 
=
t



(M) ; F(J). Ta có:

n




X i Yi 
t
U i 
X i Yi 

t  U i 

   
i 1
i
1
 t  
n

n

n

 n








X

t

U

Y

t

X

t


U

Y


t


U
= i



i
i
i
i
 i
 i


  


  
i 1
i 1
i 1
 t   i 1
 t  
n

n
n


 n 







t
Ui X i 
t  Ui Yi 
t
U i Yi 
t
U
= X i 
 i



  

  
i 1
i 1
i 1
 t   i 1
 t  
n

=
Vậ
y:



X  Y.
t
t


X Y  X Y .
t
t
t



X
2.
t





U
 i 
 
 t  




X i 
t
U i 
X i 
t
= 

n

n

i 1

i 1

n







' X i 
t 
U i 

X i 

t
U i 
t
Xi
t
U
= 
 i








i 1
i 1
i 1
 t  
n

n

n
n
n







'
X

t

U


X

t

U


X

t


U
=  i
i

i

i

i
 i 

 
i 1
i 1
i 1
 t  

n
n







'
X



X

t

U


X

t


U

=


i
i
i
 i 






i 1

 t  
i 1

= ' X 


X .

t


d


X 

X  X .
t
dt
t
~ ~ ~
~
. Khi đ
3. Giảsử X X 1 , X 2 ,..., X n 

1
, 
ó ta có:
2 ,..., 
n 

Vậ
y:





n

~


t
Ui
t X = t i
i 1



20

n

=



t
U 
 

=



t




t

U


t

i

i

i 1

n

i 1

i

i

i

t

t U i

n

n

i 1

i 1


t



t

U i 

t

Ui
= 
i
i
t
n

n
~
~
t
U i  X i 

t
 t 
U
= X i
i 1

i 1

 ~ 
X 
t
.
t


= 

~
 ~ 
X =  X 
t
Vậ
y:  
.
t
t



i

21

CHƯƠNG II

LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA TRÊN ĐA TẠP
RIEMANN.
I. LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN.
2.1. Đị
nh nghĩ
a:
Giảsử là mộ
t liên thông tuyế
n tính trên đ
a tạ
p M. Khi đ
ó,  đ
ư
ợc gọ
i là
liên thông Lêvi-sivita nế
u

 thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. Trườ
ng tenxơxoắ
n T = 0.

X , Y X Y Y X 
X ,Y 
0 ; X , Y B (M).
Tức là: T 
2. Z 
X .Y Z X .Y X .Z Y ; X , Y , Z B (M).
2.2. Ví dụ
:
E1 , E2 ,..., E n và
GiảsửM là đ
a tạ
p khảsong n - chiề
u với trườ
ng mụ
c tiêu 
n

n

i 1

j 1

X X i E i ; Y Y j E j .
n

Yi E i .
Ta đ
ặ
t : X Y X 

i 1

 là mộtliên thông Lêvi-sivita trên M.
Thậ
t vậ
y, theo ví dụ2 (1.2) ta đ
ã chứng minh  là liên thông tuyế
n tính. Bây
Khi đ
ó,

giờta sẽkiể
m tra hai đ
iề
u kiệ
n củ
a liên thông Lêvi-sivita.
Vớ
i X , Y , Z B (M), F(M), ta có:

X ,Y 

 = X
Y 

Y 
X 

1. 


Y1 E1 ... Y n E n 


Y 
X 1 E1 ... X n E n 


= X
n

n

X

Y
E



Xi
Ei 




Y 
= 
i
i

i 1

i 1


X Y 

 
Y X
= 



.


22


X , Y X Y Y X .
n

n

i
1

j 1

2. Do X X i E i ; Y Y j E j

 X .Y X i Y j 
E iE
n

i , j 1

 X Y
n

j

i

i, j 
1

.

j

Ta có:

n

X i Yi 
Z
X .Y = Z 

i 1



X
Z 
n

=

i 1

i

.Y i 

n

=

Z
X 
Y Z 
Y 
X 

i

i 1

i

i

n

n

i
1

i 1

i

Xi
Y i Z 
Yi 
Xi
= Z 

X 1
Y1 Z 
X2
Y2 ... Z 
Xn
Yn Z 
Y1 
X 1 Z 
Y2 
X 2 ... Z 
Yn 

Xn
= Z
n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

Z
Xi
Ei 
. Y i E i 
Z 
Yi E i 
.X i E i
= 
n

=

n

Z
X 
E 
.Y 
Z
Y 
E 
.X

i

i

i 1

i

i

i 1

= Z X .Y Z Y . X .

X .Y Z X .Y Z Y . X .□
Vậ
y: Z
2.3. Mệ
nh đề

: Xem [4]
Liên thông Lêvi-sivita trên đ
a tạ
p M luôn tồ
n tạ
i và duy nhấ
t.
Chứng minh:
Đểchứ
ng minh mệ
nh đ
ềtrên ta phả
i sửdụ
ng bổđ
ềsau:
Bổđ
ề
:
GiảsửM là đ
a tạ
p khảvi và : B (M)  F(M) là 1- dạ
ng trên M.
Tức là : p  p : T p M  R ; với p là dạ
ng tuyế
n tính, p M .


23

Khi đ

ó, tồn tạ
i duy nhấ
t mộ
t trư
ờng vectơA B (M) sao cho:


Z A.Z ; Z B (M).

(1)

Chứng minh:
Ta cầ
n chứng minh sựtồ
n tạ
i và tính duy nhấ
t củ
a A trong lân cậ
n củ
a mộ
t
đ
iể
m tùy ý p M .
n
U , x
GiảsửEi 
là trư
ờng mụ
c tiêu trong bả

nđ
ồđ
ị
a phươ
ng 
. Khi đ
ó với
i 1

A B (M) ta có biể
u diễ
n:



n

A i E i ; i F(M), i 1, n
i 1



Đẳ
ng thứ
c (1) tư
ơng đ
ư
ơng với:



Ei 
A. E i
=

 E
j

j

Ei .

j

 
Ei 
j g ij ; với g ij E i E j , 
i , j 1, n 

(2)

j

Từ(2) ta có đ
ư
ợc mộ
t hệgồ
m n phư
ơng trình ẩ
n i .Vì dạ
ng tích vô hư

ớng g



không suy biế
n nên với mọ
i q U , ta có det g ij | q 0 . Do đ
ó, từ(2) xác đ
ị
nh

E i và
j và chúng đ
duy nhấ
tđ
ượ
c các 
ượ
c biể
u thị
qua các hàm khảvi 
g ij .
 j cũ
ng khảvi . Nhưvậ
y, trư
ờng vectơA khảvi và A đ
ượ
c xác đ
ị
nh mộ

t

cách duy nhấ
t thỏ
a mãn (1).
Bây giờ
, ta chứng minh đ
ị
nh lí:
+ Tính duy nhấ
t củ
a

:

Giảsử: B (M) B (M)  B (M)

X , Y 



X Y

Là liên thông Lêvi-sivita thỏ
a mãn:
(1). T 
X , Y 0


24

 X Y Y X 
X ,Y 
0 .
X .Y 
Z X .Y X .Z Y . X , Y , Z B (M).
(2). Z 

Đểchứ
ng minh tính duy nhấ
t, ta chứ
ng tỏrằ
ng nế
u X Y thỏ
a mãn điề
u kiệ
n
(1) và (2) thì nó thỏ
a mãn phươ
ng trình sau:
1

X Y .Z  
X .
Y .Z 
Y 
Z .X 
Z 
X .Y 
Z 

X ,Y 
Y 
Z, X
X 
Y, Z 
2

(3)

Thậ
t vậ
y, từ(1) ta có:
X Y Y X 
X ,Y 

(4)

Tươ
ng tự
: Y Z Z Y 
Y ,Z 

(5)

Z X X Z 
Z,X

(6)

Từ(2) ta có:

Z
X .Y 
Z X .Y X .Z Y

Y .Z 
X Y .Z Y .X Z
Tươ
ng tự
: X

(7)

Y
Z .X 
Y Z . X Z .Y X

(8)

Mặ
t khác, từ(8) ta có:
Y X .Z Y 
Z .X 
Y Z . X

(9)

Do đ
ó:
X Y . Z = 
Y X 

X ,Y 

.Z

(theo (4) )

X ,Y 
.Z
= Y X . Z 

Z . X 
X,Y 
.Z
= Y Z. X Y 

( theo (9) )

Z Y 
Y ,Z 

. X Y 
Z .X 

X ,Y 
.Z
= 

( theo (5) )

Y, Z

. X Y 
Z.X 

X ,Y 
.Z
= Z Y . X 

X .Y 

Y,Z 
. X Y 
Z .X 

X ,Y 
.Z
= Z X .Y Z 

( theo (2) )

X Z 
Z,X

.Y Z 
X .Y 

Y, Z
. X Y 
Z .X 

X ,Y 

.Z
= 

( theo (6) )

Z, X 
.Y Z 
X .Y 

Y, Z
. X Y 
Z .X 

X ,Y 
.Z
= X Z .Y 

= X
Y .Z 
X Y .Z 
Z, X
.Y Z 
X .Y 
Y,Z
. X Y 
Z . X 
X ,Y 
.Z
 2X Y .Z X 
Y.Z 

Z, X 
.Y Z
X .Y 

Y,Z
. X Y
Z. X 

X ,Y 
.Z

( theo (7))