Về một số tính chất của không gian tôpô mờ trực giác

MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Không gian tôpô mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Tập mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Không gian tôpô mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Một số tính chất của không gian tôpô mờ trực giác .23
2.1. Tính compact mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Nửa θ-compact trong không gian tôpô mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Tính Hausdorff trong không gian tôpô mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . .29
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1


LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết về tập mờ được giới thiệu bởi L. A. Zadeh vào năm 1965. Sau
những nghiên cứu của L. A. Zadeh về tập mờ thì đã có những kết quả thú
vị thu được trong lý thuyết cổ điển. Khái niệm của tôpô mờ có nhiều ứng
dụng quan trọng trong vật lý lượng tử, nhiều tính chất toán học được giới
thiệu tổng quát bởi khái niệm tập mờ. Ý niệm về tập mờ trực giác lần đầu
tiên được công bố bởi K. Atanassov vào năm 1978, tiếp đến khái niệm này
được mở rộng thành tập L-mờ trực giác bởi K. Anatassov và S. Stoeva. Sau
đó C. Chang đã sử dụng tập mờ để giới thiệu khái niệm tôpô mờ, sau khái
niệm này D. Coker đã xây dựng lý thuyết của không gian tôpô mờ trực giác,
cùng với các nhà khoa học khác ông đã nghiên cứu tôpô trên tập mờ trực

giác, tính liên thông, tính compact, liên tục, paracompact, hội tụ, tách trong
không gian tôpô mờ trực giác.
Một trong những hướng nghiên cứu khác trong tôpô mờ đó là xây dựng
một số khái niệm cơ bản về tính Hausdorff trong không gian tôpô mờ trực
giác.
Trên cơ sở các bài báo của D. Coker và F. G. Lupianez và sự hướng dẫn
của thầy giáo PGS.TS. Trần Văn Ân, tác giả đã tiếp cận hướng nghiên cứu
này. Mục đích chính của luận văn là trình bày có hệ thống các khái niệm và
tính chất cơ bản của không gian tôpô mờ trực giác. Với mục đích như vậy,
luận văn được trình bày thành 2 chương.
Chương 1. Không gian tôpô mờ trực giác. Trong chương này, chúng
tôi giới thiệu một số khái niệm và các tính chất cơ bản của không gian tôpô
mờ trực giác.
1.1. Một số khái niệm cơ bản
Trình bày một số kiến thức và tính chất cơ bản về không gian tôpô, tập
mờ, không gian tôpô mờ.
2


1.2. Tập mờ trực giác
Trình bày các khái niệm, tính chất của tập mờ trực giác, liệt kê một số
tính chất về ảnh và tạo ảnh của tập mờ trực giác.
1.3. Không gian tôpô mờ trực giác
Phần này mở rộng khái niệm về không gian tôpô mờ trực giác theo nghĩa
của Lowen, định nghĩa các toán tử bao đóng, phần trong một IF T S, đưa ra
khái niệm cơ bản về ánh xạ liên tục mờ. Đồng thời chứng minh một số tính
chất, ví dụ liên quan.
Chương 2. Một số tính chất của không gian tôpô mờ trực giác.
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của
không gian tôpô mờ trực giác.

2.1. Tính compact mờ trực giác
Trình bày các khái niệm cơ bản về một phủ mở mờ, tính compact mờ của
không gian tôpô mờ trực giác. Nghiên cứu các tính chất cơ bản và những đặc
trưng liên quan, tương tự như những tính chất về tập compact đã biết trong
tôpô đại cương như ở Hệ quả 2.1.6 và Hệ quả 2.1.10.
2.2. Nửa θ-compact trong không gian tôpô mờ trực giác
Nêu lên cấu trúc của nửa θ-compact trong không gian tôpô mờ trực giác
như các Định nghĩa 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6; so sánh chúng với
một số loại khác trong không gian tôpô mờ trực giác. Chỉ ra một số đặc trưng
và tính chất cơ sở cho những khái niệm đó ở Định lý 2.2.7 và Định lý 2.2.8.
2.3. Tính Hausdorff trong không gian tôpô mờ trực giác
Trong mục này giới thiệu các khái niệm mới về tính Hausdorff trong không
gian tôpô mờ trực giác, các Định nghĩa 2.3.14 về q-T2 , Định nghĩa 2.3.16 về
q-mờ Hausdorff. Mối liên hệ của T2 IF T S với q-T2 trong Mệnh đề 2.3.17.
Các kết quả trình bày trong luận văn chủ yếu đã có trong các tài liệu tham
khảo [3], [5], [7]. Ở đây, ngoài việc trình bày lại các khái niệm, tính chất cơ
bản đã có và chứng minh chi tiết các kết quả trong các tài liệu tham khảo

3


chúng tôi chứng minh cụ thể một số Hệ quả mà trong tài liệu chưa chứng
minh như Hệ quả 1.2.10, Hệ quả 1.2.12 và Ví dụ 1.3.2, Ví dụ 1.3.9; Mệnh đề
1.3.11.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
PGS.TS. Trần Văn Ân. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Nhân
dịp này, em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ
nhiệm khoa Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ em
trong suốt quá trình công tác và học tập tại trường. Đặc biệt, em xin bày tỏ
lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường

Đại học Vinh đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận
văn. Tác giả xin cảm ơn các học viên Cao học 13 - Giải tích đã tạo điều kiện
thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập.
Dù đã cố gắng nhiều, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô
giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2007
Tác giả

4


CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Định nghĩa. Cho tập hợp X. Họ τ các tập con của X được gọi là
một tôpô trên X nếu thoả mãn
(T1 ) ∅, X ∈ τ ;
(T2 ) Nếu Gα ∈ τ, α ∈ Λ bất kỳ thì

Gα ∈ τ ;
α∈Λ

(T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ .
Tập hợp X cùng với một tôpô τ xác định trên nó thì được gọi là không
gian tôpô và ký hiệu là (X, τ ) hay X.
Các phần tử thuộc X được gọi là điểm, các phần tử thuộc τ được gọi là
tập mở.
1.1.2. Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, E ⊂ X, bao đóng

E ký hiệu là E (hay clE) là giao của tất cả các tập đóng chứa E, nghĩa là
E = ∩{F ∈ X : F đóng , E ⊂ F }.
1.1.3. Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X. Tập
con U ⊂ X được gọi là lân cận của A nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho
A ⊂ V ⊂ U.
1.1.4. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, E ⊂ X. Điểm x ∈ X
được gọi là điểm trong của E nếu E là lân cận của x.
Tập hợp tất cả các điểm trong của E được gọi là phần trong của E ký
◦

hiệu là E hay intE.

5


1.1.5. Định nghĩa. Giả sử (D, ≥) là một tập có hướng. Ta gọi hàm
S : D −→ X là một lưới trong X và ký hiệu là {Sα , α ∈ D, ≥} hay {Sα }α∈D .
1.1.6. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, {Sn }n∈D là một lưới
trong X. Lưới {Sn }n∈D được gọi là hội tụ về điểm x ∈ X nếu với mọi lân
cận U của x trong X, lưới {Sn }n∈D nằm trong U từ một lúc nào đó.
1.1.7. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T2 -không gian hay
là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X mà x = y tồn tại lân cận U
của x, lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅.
1.1.8. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian compact
nếu mỗi phủ mở của X chứa một phủ con hữu hạn.
1.1.9. Định lý. Giả sử X là không gian compact. Nếu F là tập con đóng
của X thì F compact.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian compact và P là phủ mở bất
kỳ của F . Ký hiệu P = {X \ F } ∪ P. Khi đó P là phủ mở của X. Vì
X compact nên tồn tại phủ con hữu hạn P1 của P . Bây giờ ta giả sử

P1 = {P1 , . . . , Pn , X|F }. Vì X \ F

F suy ra {P1 , . . . , Pn } ⊃ F . Khi đó

{P1 , . . . , Pn } là phủ F nên F là tập compact.
1.1.10. Định lý. Giả sử rằng f : X −→ Y là ánh xạ liên tục từ không
gian compact X lên không gian tôpô Y . Khi đó Y là không gian compact.
Chứng minh. Giả sử U là phủ mở bất kỳ của không gian tôpô Y . Nhờ tính
liên tục của f họ f −1 (U ) : U ∈ U

là phủ mở của X. Vì X compact nên
k

tồn tại họ con hữu hạn

−1
−1
−1
f(U
, f(U
, . . . , f(U
1)
2)
k)

f −1 (Ui ) .

sao cho X ⊂
i=1

k

Suy ra Y ⊂

Ui .
i=1

Vậy Y là không gian compact.
6


1.1.11. Định nghĩa. Họ L các tập con của X được gọi là một lọc trong
X nếu thỏa mãn các điều kiện.
(1) Nếu A ∈ L thì A = ∅;
(2) Nếu A, B ∈ L thì A ∩ B ∈ L;
(3) Nếu A ∈ L, A ⊂ B thì B ∈ L.
Nhận xét. Nếu X là không gian tôpô, x ∈ X và U(x) là họ tất cả các
lân cận của X, thì U(x) là một lọc trên X.
1.1.12. Định nghĩa. Lọc L trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ
về điểm x ∈ X, nếu U(x) ⊂ L.

7


1.2. TẬP MỜ TRỰC GIÁC
1.2.1. Định nghĩa. Cho một tập X, một tập mờ trong X được hiểu là
một hàm µ : X −→ [0, 1].
Nhận xét. Một tập con A của tập X có thể đồng nhất với hàm đặc trưng
χA của nó, khi đó hàm χA là một tập mờ trong X.
1.2.2. Định nghĩa. Cho X là tập cố định khác rỗng. Một tập mờ trực

giác A (viết tắt là IF S A) là tập có dạng
A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} ,
trong đó các hàm µA : X −→ I và γA : X −→ I lần lượt là các hàm chỉ mức
độ sự có mặt và mức độ sự không có mặt của phần tử x ∈ X trong tập A và
0 ≤ µA (x) + γA (x) ≤ 1.
Ở đây ta ký hiệu I = [0, 1].
1.2.3. Nhận xét. Để đơn giản, chúng tôi ký hiệu A = x, µA , γA thay
cho A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}.
1.2.4. Định nghĩa. Cho X là tập khác rỗng và A, B là các IF S có dạng
A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}, B = { x, µB (x), γB (x) : x ∈ X}. Khi đó
(a)A ⊆ B khi và chỉ khi µA (x) ≤ µB (x) và γA (x) ≥ γB (x), với mọi x ∈ X;
(b) A = B khi và chỉ khi A ⊆ B và B ⊆ A;
(c) A = { x, γA (x), µA (x) : x ∈ X};
(d) A ∩ B = { x, µA (x) ∧ µB (x), γA (x) ∨ γB (x) : x ∈ X};
(e) A ∪ B = { x, µA (x) ∨ µB (x), γA (x) ∧ γB (x) : x ∈ X};
(f) [ ]A = { x, µA (x), 1 − µA (x) : x ∈ X};
(g)

A = { x, 1 − γA (x), γA (x) : x ∈ X};

(h) (A × B)(x, y) = (x, y), min(µA (x), µB (y)), max(γA (x), γB (y) .

8


Chú ý các phép toán ∧ và ∨ được hiểu như sau
µA (x) ∧ µB (x) = min{µA (x), µB (x)}, γA (x) ∨ γB (x) = max{γA (x), γB (x)}
A được gọi là phần bù của A.
1.2.5. Định nghĩa. Cho {Ai : i ∈ J} là một họ tuỳ ý các IF S trong X.
Khi đó

Ai =

(a)

x,

i∈J

i∈J

Ai =

(b)

µA1 (x),

i∈J

x,

γAi (x)

:x∈X

;

γAi (x)

:x∈X

,

i∈J

µA1 (x),
i∈J

i∈J

trong đó
µAi (x) = inf {µAi (x) : i ∈ J},
i∈J

µAi (x) = sup{µAi (x) : i ∈ J}.
i∈J

1.2.6. Chú ý. Ta ký hiệu 0∼ = { x, 0, 1 : x ∈ X}, 1∼ = { x, 1, 0 : x ∈
X}.
1.2.7. Các phép toán trên tập mờ
Cho µ, ϑ là các tập mờ trên X. Khi đó
(a) µ ≤ ϑ có nghĩa là µ(x) ≤ ϑ(x), với mọi x ∈ X;
(b) µ = ϑ có nghĩa là µ(x) = ϑ(x), x ∈ X;
(c) (µ ∨ ϑ)(x) = sup{µ(x), ϑ(x)};
(d) (µ ∧ ϑ)(x) = inf{µ(x), ϑ(x)};
(e) (1 − µ)(x) = 1 − µ(x).
1.2.8. Định nghĩa. Một họ τ các tập mờ trong X được gọi là một tôpô
mờ nếu thoả mãn
(i) 0∼ ∈ τ và 1∼ ∈ τ ;
(ii) Nếu µ, ϑ ∈ τ thì µ ∧ ϑ ∈ τ ;
9

(iii) Nếu µi ∈ τ thì

µi ∈ τ .
i∈J

1.2.9. Hệ quả. Giả sử A, B, C, D là các IF S trong X. Khi đó
(a) Nếu A ⊆ B và C ⊆ D thì A ∪ C ⊆ B ∪ D và A ∩ C ⊂ B ∩ D;
(b) Nếu A ⊆ B và A ⊆ C thì A ⊆ B ∩ C;
(c) Nếu A ⊆ C và B ⊆ C thì A ∪ B ⊆ C;
(d) Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C;
(e) A ∪ B = A ∩ B;
(f) A ∩ B = A ∪ B;
(g) Nếu A ⊆ B thì B ⊆ A;
(h) A = A;
(i) 1∼ = 0∼ ;
(j) 0∼ = 1∼ .
Chứng minh. (a) Đặt
A = x, µA , γA , B = x, µB , γB ;
C = x, µC , γC , D = x, µD , γD .
Ta có
A ∪ C = { x, µA (x) ∨ µC (x), γA (x) ∧ γC (x) : x ∈ X};
B ∪ D = { x, µB (x) ∨ µD (x), γB (x) ∧ γD (x) : x ∈ X}.
Giả thiết A ⊆ B, C ⊆ D suy ra µA ≤ µB , γA ≥ γB và µC ≤ µD , γC ≥ γD
suy ra µA ∨ µC ≤ µB ∨ µD , γA ∧ γC ≥ γB ∧ γD .
Suy ra A ∪ C ⊆ B ∪ D.
Tương tự ta cũng có µA ∧ µC ≤ µB ∧ µD , γA ∨ γC ≥ γB ∨ γD suy ra
A ∩ C ⊆ B ∩ D.
(b), (c), (d) tương tự (a).

10


(e) Ta có A ∪ B = x, µA ∨ µB , γA ∧ γB suy ra
A ∪ B = x, γA ∧ γB , µA ∨ µB .

(1)

Mặt khác A = x, γA , µA , B = x, γB , µB suy ra
A ∩ B = x, γA ∧ γB , µA ∨ µB

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra A ∪ B = A ∩ B.
(f) Chứng minh tương tự (e).
(g) Ta có A = x, γA , µA , B = x, γB , µB . Từ giả thiết A ⊂ B ta có
µA ≤ µB , γA ≥ γB suy ra B ⊆ A.
(h) Ta có A = x, µA , γA nên A = x, γA , µA suy ra A = x, µA , γA = A.
(i) Ta có 1∼ = x, 1, 0 suy ra 1∼ = x, 0, 1 = 0∼ .
(j) Ta có 0∼ = x, 0, 1 suy ra 0∼ = x, 1, 0 = 1∼ .
1.2.10. Định nghĩa. Cho X, Y là hai tập khác rỗng và f : X−→Y
là một ánh xạ. A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} là một IFS trong X và
B = { y, µB (y), γB (y) : y ∈ Y } là một IF S trong Y .
a) Tạo ảnh f −1 (B) của B dưới ánh xạ f là một IF S trong X được xác định
bởi f −1 (B) = { x, µf −1 (B) (x), γf −1 (B) (x) : x ∈ X} trong đó µf −1 (B) (x) =
µB (f (x)) và γf −1 (B) (x) = γB (f (x)).
b) Ảnh f (A) của A qua ánh xạ f là một IFS trong Y được xác định bởi
f (A) = { y, µf (A) (y), γf (A) (y) : y ∈ Y }
trong đó


supµA (x)
µf (A) (y) = x ∈ f −1 (y)

0

infγA (x)
γf (A) (y) = x ∈ f −1 (y)

1
11

nếu f −1 (y) = ∅
nếu ngược lại
nếu f −1 (y) = ∅
nếu ngược lại


1.2.11. Hệ quả. Cho A, Ai , (i ∈ J) là các tập IF S trong X, B, Bj , (j ∈ k)
là các IF S trong Y và f : X−→Y là một ánh xạ từ X vào Y . Khi đó
(a) Nếu A1 ⊆ A2 thì f (A1 ) ⊆ f (A2 );
(b) Nếu B1 ⊆ B2 thì f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 );
(c) A ⊆ f −1 (f (A)), nếu f đơn ánh thì A = f −1 (f (A));
(d) f (f −1 (B)) ⊆ B, nếu f là ánh xạ lên thì f (f −1 (B)) = B;
(e) f −1 (∪Bj ) = ∪f −1 (Bj );
(f) f −1 (∩Bj ) = ∩f −1 (Bj );
(g) f (∪Ai ) = ∪f (Ai );
(h) f (∩Ai ) ⊆ ∩ f (Ai ), nếu f đơn ánh thì f (∩Ai ) = ∩f (Ai );
(i) f −1 (1∼ ) = 1∼ ;
(j) f −1 (0∼ ) = 0∼ ;
(k) f (1∼ ) = 1∼ nếu f là ánh xạ lên;

(l) f (0∼ ) = 0∼ ;
(m) f (A) ⊆ f (A) nếu f là ánh xạ lên;
(n) f −1 (B) = f −1 (B).
Chứng minh. (a) Ta có
A1 = { x, µA1 (x), γA1 (x) : x ∈ X},
A2 = { x, µA2 (x), γA2 (x) : x ∈ X},
f (A1 ) = { y, f (µA1 )(y), f− (γA1 )(y) : y ∈ Y },
f (A2 ) = { y, f (µA2 )(y), f− (γA2 )(y) : y ∈ Y }.
Với mỗi y ∈ Y , nếu f −1 (y) = ∅ thì
f (µA1 )(y) = 0, f (µA2 )(y) = 0,
f− (γA1 )(y) = 1, f− (γA2 )(y) = 0.
Nếu f −1 (y) = ∅ thì
f (µA1 )(y) =

sup µA1 (x) ≤

x∈f −1 (y)

sup
x∈f −1 (y)

12

= µA2 (x) = f (µA2 )(y)


f− (γA1 )(y) =

inf

x∈f −1 (y)

γA1 (x) ≥

inf

x∈f −1 (y)

γA2 (x) = f− (γA2 )(y).

Suy ra với mọi y ∈ Y thì
f (µA1 )(y) ≤ f (µA2 )(y),
f− (γA1 )(y) ≥ f− (γA2 )(y).
Vậy f (A1 ) ⊆ f (A2 ).
b) Ta có B = y, µB1 , γB1 , B2 = y, µB2 , γB2 .
Do đó
f −1 (B1 ) = x, f −1 (µB1 ), f −1 (γB1 ) ,
f −1 (B2 ) = x, f −1 (µB2 ), f −1 (γB2 ) .
Theo giả thiết B1 ⊆ B2 suy ra µB1 (y) ≤ µB2 (y), γB1 (y) ≥ γB2 (y), với mỗi
y ∈ Y . Suy ra
µB1 (f (x)) ≤ µB2 (f (x)), γB1 (f (x)) ≥ γB2 (f (x)).
Suy ra
f −1 (µB1 )(x) ≤ f −1 (µB2 )(x), f −1 (γB1 )(x) ≥ f −1 (γB2 )(x).
Do đó f −1 (B1 )⊆ f −1 (B2 ).
(c) Ta có
f −1 (f (A)) = f −1 [f ( x, µA , γA )] = f −1 ( y, f (µA ), f− (γA ) ]
= x, f −1 (f (µA )), f −1 (f− (γA )) .
Với mỗi x ∈ X ta có f −1 (f (µA ))(x) = f (µA )(f (x)) ≥ µA (x) và
f −1 (f− (γA ))(x) = f −1 (1 − f (1 − γA ))(x) = 1 − f −1 (f (1 − γA ))(x)
≤ 1 − (1 − γA )(x) = γA (x).

Suy ra A ⊆ f −1 (f (A)).

13


(d) Ta có
f (f −1 (B)) = f (f −1 ( y, µB , γB ))
= f ( x, f −1 (µB ), f −1 γ )
= f y, f (f −1 (µB )), f− (f −1 (γB ) .
Với mỗi y ∈ Y , nếu f −1 (y) = ∅ thì f (f −1 (µB )) = 0
f− (f −1 (γB )) = 1 suy ra f (f −1 (µB )) ≤ µB , f− (f −1 (γB )) ≥ γB .
Nếu f −1 (y) = ∅ thì
f (f −1 (µB ))(y) =

sup f −1 (µB )(x) =
x∈f −1 (y)

f− (f −1 (γB ))(y) =

inf

x∈f −1 (y)

sup µB (f (x)) = µB (y),
x∈f −1 (y)

f −1 (γB )(x) =

inf

x∈f −1 (y)

γB (f (x)) = γB (y).

Suy ra f (f −1 (B))⊆B.
(e) Ta có
f −1 (∪Bj ) = f −1 ( y, ∨µBj , ∧γBj ) = x, f −1 (∨µBj ), f −1 (∧γBj )
= x, ∨(f −1 (µBj )), ∧(f −1 (γBj ))
= ∪f −1 (Bj ).
Ở đây với mọi x ∈ X thì
f −1 (∨µBj (x) = ∨µBj (f (x)) = sup µBj (f (x)) = sup f −1 (µBj )(x)
j

= ∨f

−1

j

(µBj )(x).

Tương tự ta có f −1 (∧γBj ) = ∧(f −1 (γBj )).
(f) Chứng minh tương tự (e).
(g) Ta có f (∪Ai ) = f ( x, ∨µAi , ∧γAi ) = y, f (∨µAi ), f− (∧γAi ) với mỗi
y ∈ Y mà f −1 (y) = ∅ thì có
f (∨µAi ) (y) =

sup (∨µAi )(x) =

x∈f −1 (y)

sup {sup µA1 (x)}

x∈f −1 (y)

i

= sup sup µAi (x) = ∨f (µAi )(y), và
i

x∈f −1 (y)

14


f− (∧γAi ) = 1 − f (1 − ∧γAi ) = 1 − f (∨(1 − γAi ))
= 1 − ∨f (1 − γAi ) = ∧(1 − f (1 − γAi )) = ∧f− (γAi ).
Suy ra f (∪Ai ) = y, ∨f (µAi ), ∧f− (γAi ) = ∪f (Ai ). Nếu y ∈ Y mà f 1 (y) = ∅
thì đẳng thức là hiển nhiên.
(h) Ta có f (∩Ai ) = f ( x, ∧i∈J µAi , ∨i∈J γAi ) = y, f (∧µAi ), f− (∨γAi ) .
Mặt khác,
Nếu

f (Ai ) = ∩ y, f (µAi ), f− (γAi ) = y, ∧f (µAi ), ∨f− (γAi ) .

i∈J
−1
f (y)

= ∅ thì f (∧µAi )(y) = 0, (∧f (γAi )(y) = 0. Tương tự

f − (γAi )(y) = (∨f− (γAi )(y) = 1.

Nếu f −1 (y) = ∅ thì f (∧µAi )(y) =
=

sup {∧µAi (x) : i ∈ J}

x∈f −1 (y)

sup

inf µAi (x),

x∈f −1 (y) i∈J

∧f (µAi )(y) = inf {f (µAi )(x)} = inf
i∈J

Với bất kỳ x ∈ f −1 (y) ta có µAi (x) ≤
inf µAi (x) ≤ inf

i∈J

Nên

sup

inf µAi (x) ≤ inf

x∈f −1 (y) i∈J

sup µAi (x).

i∈J x∈f −1 (y)

sup µAi (x). Suy ra

x∈f −1 (y)

sup µA1 (x).

i∈J x∈f −1 (y)

sup µAi (x). Do đó f (∧µAi ) ≤ ∧f (µAi ). Tương

i∈J x∈f −1 (y)

tự ta có f− (∨γAi ) ≥ ∨f− (γAi ). Vậy f (∩Ai ) ⊆ ∩ f (Ai ).
(i) Ta có f −1 (1∼ ) = f −1 ( y, 1, 0 ) = x, f −1 (1), f −1 (0) = x, 1, 0 = 1∼ .
(j), (k), (l) chứng minh tương tự (i).
(m) Ta có f (A) = f ( x, µA , γA ) = f ( x, γA , µA ) = y, f (γA ), f− (µA )
và f (A) = f ( x, µA , γA ) = y, f (µA ), f− (γA ) = y, f− (γA ), f (µA ) .
Theo giả thiết f là ánh xạ lên suy ra f (A) ⊆ f (A).
(n) Chứng minh tương tự (m).

15


1.3. KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC
1.3.1. Định nghĩa. Một tôpô mờ trực giác (viết tắt là IF T ) trên tập X

khác rỗng là một họ τ gồm các IF S trong X thỏa mãn 3 tiên đề sau
(T1 ) 0∼ , 1∼ ∈ τ ;
(T2 ) G1 ∩ G2 ∈ τ với mọi G1 , G2 ∈ τ ;
(T3 ) ∪ Gi ∈ τ, với họ tuỳ ý {Gi : i ∈ J} ⊆ τ
Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô mờ trực giác (viết tắt
là IF T S) và mỗi IF S trong τ được gọi là một tập mở mờ trực giác trong X
(viết tắt là IF OS).
1.3.2. Ví dụ. Cho tập X = {a, b, c}. Trước hết ta ký hiệu IFS
A = x, µA , γA =

x,

a
b
c
b
c
a
,
,
,
,
,
0, 5 0, 5 0, 4
0, 2 0, 4 0, 4

nghĩa là
µA (a) = 0, 5

γA (a) = 0, 2

µA (b) = 0, 5

γA (b) = 0, 4

µA (c) = 0, 4

γA (c) = 0, 4

tương tự các IF S B, C, D được ký hiệu như sau
a
b
c
a
b
c
,
,
,
,
,
0, 4 0, 6 0, 2
0, 5 0, 3 0, 3
b
c
a
b
c
a
,

,
,
,
,
C = x,
0, 5 0, 6 0, 4
0, 2 0, 3 0, 3
a
b
c
a
b
c
D = x,
,
,
,
,
,
0, 4 0, 5 0, 2
0, 5 0, 4 0, 4
B=

x,

Khi đó họ τ = {0∼ , 1∼ , A, B, C, D} là một IF T trên X.
Chứng minh. Ta thử các điều kiện của IF T .
(T1 ) Rõ ràng 0∼ , 1∼ ∈ τ .
16

;
;
.


(T2 ) Ta có A ∩ B = x,

a
b
c
0,4 , 0,5 , 0,2

a
b
c
0,5 , 0,4 , 0,4

,

= D ∈ τ.

Tương tự ta cũng có
A ∩ C ∈ τ, A ∩ D ∈ τ, B ∩ C ∈ τ, B ∩ D ∈ τ, C ∩ D ∈ τ.
(T3 ) Ta có A ∪ B = x,

b
c
a
0,5 , 0,4 , 0,4

b
c
a
0,2 , 0,3 , 0,3

,

= C ∈ τ.

Vậy τ là IF T trên X.
1.3.3. Ví dụ. Cho tập X = {1, 2} và các IF S Gn (n ∈ N + ) như sau
Gn =

x,

1
n
n+1

,

2
n+1
n+2

,

1
1
n+2

,

2
1
n+3

.

Khi đó họ τ = {0∼ , 1∼ } ∪ {Gn : n ∈ N + } là một IF T trên X.
1.3.4. Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là một IF T S. Khi đó chúng ta có thể xây
dựng nhiều IF T trên X theo cách sau
(a) τ0,1 = {[ ]G : G ∈ τ };
(b) τ0,2 = {

G : G ∈ τ }.

Chứng minh. (a) Ta thử 3 điều kiện của IF T
(T1 )

Ta có 0∼ = x, 0, 1 và [ ]0∼ = x, 0, 1 − 0 = x, 0, 1 suy ra

0∼ = [ ]0∼ nên 0∼ ∈ τ0,1 .
Tương tự 1∼ = x, 1, 0 , [ ]1∼ = x, 1, 1 − 1 = x, 1, 0 suy ra 1∼ = [ ]1∼
nên 1∼ ∈ τ0,1
(T2 ) Giả sử [ ]G1 , [ ]G2 ∈ τ0,1 , ta có
G1 ∩ G2 = x, µG1 ∧ µG2 , γG1 ∨ γG2 ,
suy ra
[ ](G1 ∩ G2 ) = x, µG1 ∧ µG2 , 1 − µG1 ∧ µG2 ,
[ ]G1 = x, µG1 , 1 − µG1 ,

[ ]G2 = x, µG2 , 1 − µG2 .
Suy ra [ ] G1 ∩ [ ]G2 = x, µG1 ∧ µG2 , (1 − µG1 ) ∨ (1 − µG2 )
17


= x, µG1 ∧ µG2 , 1 − µG1 ∧ µG2 .
Do đó [ ](G1 ∩ G2 ) = [ ]G1 ∩ [ ]G2 . Vậy [ ]G1 ∩ [ ]G2 ∈ τ0,1 .
(T3 ) Xét {[ ]Gi : i ∈ J, Gi ∈ τ }⊆τ0,1 . Từ ∪Gi = x, ∨µGi , ∧γGi ∈ τ . Ta có
∪([ ]Gi ) = x, ∨µGi , ∧(1 − µGi ) = x, ∨µGi , 1 − ∨µGi ∈ τ0,1 .
Vậy τ0,1 là một IF T .
(b) Chứng minh tương tự (a).
1.3.5. Định nghĩa. Giả sử (X, τ1 ), (X, τ2 ) là hai IF T S trên X. Khi đó
ta nói τ1 bị chứa trong τ2 (ký hiệu τ1 ⊆ τ2 ) nếu với mỗi G ∈ τ1 thì G ∈ τ2 .
Trong trường hợp này chúng ta cũng nói τ1 yếu hơn τ2 .
1.3.6. Định nghĩa. Một không gian tôpô mờ trực giác theo nghĩa của
Lowen là một cặp (X, τ ), trong đó (X, τ ) là một IF T S và một IF S có dạng
Cα,β = { x, α, β : x ∈ X} với α, β ∈ [0, 1] là tuỳ ý sao cho α+β ≤ 1 thuộc τ .
1.3.7. Định nghĩa. Phần bù A của một IF OS A trong một IF T S(X, τ )
được gọi là tập đóng mờ trực giác trong X (viết tắt là IF CS).
1.3.8. Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là một IF T S và A = x, µA , γA là một
IF S trong X. Khi đó bao đóng mờ và phần trong mờ của A được xác định bởi
cl(A) = ∩ {K : K là IF CS trong X và A⊆K},
int(A) = ∪ {G : G là IF OS trong X và G⊆A}.
Nhận xét. (a) Ta có thể chỉ ra rằng cl(A) là một IF CS và int(A) là một
IF OS trong X
(b) A là một IF CS trong X khi và chỉ khi cl(A) = A;
(c) A là một IF OS trong X khi và chỉ khi int(A) = A.

18

1.3.9. Ví dụ. Cho tập X = {a, b, c} và
a
b
c
,
,
0, 5 0, 5 0, 4
b
c
a
,
,
B = x,
0, 4 0, 6 0, 2
a
b
c
C = x,
,
,
0, 5 0, 6 0, 4
a
b
c
D = x,
,
,
0, 4 0, 5 0, 2
A=

x,

a
b
c
,
,
0, 2 0, 4 0, 4
a
b
c
,
,
,
0, 5 0, 3 0, 3
a
b
c
,
,
,
0, 2 0, 3 0, 3
a
b
c
,
,
,
0, 5 0, 4 0, 4

,

;
;
;
.

Khi đó τ = {0∼ , 1∼ , A, B, C, D} là một IF T trên X suy ra (X, τ ) là IF T S.
Giả sử F = x,

b
c
a
0,55 , 0,55 , 0,45

intF =

x,

a
b
c
0,3 , 0,4 , 0,3

,

thì

a

b
c
b
c
a
,
,
,
,
,
0, 4 0, 5 0, 2
0, 5 0, 4 0, 4

clF = 1∼ .
Chứng minh. Ta có T = {0∼ , 1∼ , A, B, C, D} là một IF T trên X suy ra
tập các IF CS là {1∼ , 0∼ , Ac , B c , C c , Dc } trong đó
a
b
c
,
,
0, 2 0, 4 0, 4
a
b
c
B c = x,
,
,
0, 5 0, 3 0, 3
a

b
c
,
,
C c = x,
0, 2 0, 3 0, 3
a
b
c
Dc = x,
,
,
0, 5 0, 4 0, 4
Ac =

với F =

x,

x,

a
b
c
0,55 , 0,55 , 0,45

,

a
b

c
0,3 , 0,4 , 0,3

b
c
a
,
,
0, 5 0, 5 0, 4
b
c
a
,
,
,
0, 4 0, 6 0, 2
a
b
c
,
,
,
0, 5 0, 6 0, 4
a
b
c
,
,
,
0, 4 0, 5 0, 2

,

;
;
;
.

thì chỉ có IF CS 1∼ thỏa mãn

F ⊆ 1∼ suy ra clF = 1∼ .
Trong các tập 0∼ , 1∼ , A, B, C, D thì 0∼ ⊆ F, D ⊆ F suy ra intF = 0∼ ∩ D
do đó intF = D = x,

a
b
c
0,4 , 0,5 , 0,2

,

b
c
a
0,5 , 0,4 , 0,4

19

.

1.3.10. Mệnh đề. Với mỗi IF S A trong IF T S(X, τ ) ta có
(a) cl(A) = int(A);
(b) int(A) = cl(A).
Chứng minh. (a) Xét A = x, µA , γA . Giả sử họ của các IF OS bị chứa
trong A và đánh số bởi họ { x, µGi , γGi : i ∈ J}. Khi đó intA = x, ∨µGi , ∧γGi
do đó int(A) = x, ∧γGi , ∨µGi . Từ A = x, γA , µA và µGi ≤ µA , γGi ≥ γA ,
với mỗi i ∈ J ta thu được { x, γGi , µGi : i ∈ J} là họ IF CS chứa A, nghĩa
là cl(A) = x, ∧γGi , ∨µGi . Do đó cl(A) = int(A).
(b) Chứng minh tương tự (a).
1.3.11. Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là một IF T S và A, B là các IF S trong
X. Khi đó ta có các tính chất sau
(a) int(A) ⊆ A;
(b) A ⊆ cl(A);
(c) Nếu A ⊆ B thì int(A) ⊆ int(B);
(d) Nếu A ⊆ B thì cl(A) ⊆ cl(B);
(e) int(int(A)) = int(A);
(f) cl(clA) = cl(A);
(g) int(A ∩ B) = int(A) ∩ (B);
(h) cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B);
(i) int(1∼ ) = 1∼ ;
(j) cl(0∼ ) = 0∼ .
Chứng minh. (a) Ta có int(A) = ∪ {G : G là IF OS trong X và G ⊆ A}
suy ra int(A) ⊆ A.
(b) Ta có A ⊆ ∩{K : A ⊆ K, K là IF CS} = clA suy ra A ⊆ clA.
(c) Từ giả thiết A ⊆ B suy ra intA ⊆ B. Do đó intA ⊆ intB.
(d) Từ A ⊆ B suy ra A ⊆ clB. Vậy clA ⊆ clB.

20

(e) Vì intA là IF OS nên int(intA) = intA.
(f) Chứng minh tương tự (e).
(g) Từ int(A ∩ B) ⊆ intA và int(A ∩ B) ⊆ intB, ta có
int(A ∩ B) ⊆ int(A) ∩ int(B).
Mặt khác, từ int(A) ⊆ A, int(B) ⊆ B suy ra
int(A) ∩ int(B) ⊆ A ∩ B và int(A) ∩ int(B) ∈ τ.
Ta thấy rằng int(A) ∩ int(B) ⊆ int(A ∩ B), từ đó suy ra
int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).
(h) Ta có từ A ⊆ A ∪ B suy ra clA ⊆ cl(A ∪ B). Tương tự từ B ⊆ A ∪ B
suy ra clB ⊆ cl(A ∪ B). Do đó clA ∪ clB ⊆ cl(A ∪ B).
Mặt khác, từ A ⊆ clA và B ⊆ clB suy ra A∪B ⊆ clA ⊆ clB. Mà clA∪clB
là IF CS nên ta có cl(A ∪ B) ⊆ clA ∪ clB.
(i) Do 1∼ là IF OS suy ra int1∼ = 1∼ .
(j) Do 0∼ là IF CS nên ta có int0∼ = 0∼ .
1.3.12. Định nghĩa. Giả sử (X, τ ), (Y, Φ) là hai IF T S và f : X−→Y là
một ánh xạ từ X vào Y . Khi đó f được gọi là liên tục mờ nếu tạo ảnh của
mỗi IF S trong Φ là một IF S trong τ .
1.3.13. Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) và (Y, Φ) là hai IF T S và f : X−→Y
là một ánh xạ từ X vào Y . Khi đó f được gọi là ánh xạ mở mờ nếu ảnh của
mỗi IF OS trong τ là một IF OS trong Φ.
1.3.14. Ví dụ. Giả sử (X, τ ) là một IF T S theo nghĩa của Lowen, (Y, Φ)
là một IF T S và c0 ∈ Y . Khi đó ánh xạ hằng c : X−→Y, c(x) = c0 với mọi
x ∈ Y là liên tục mờ.
1.3.15. Mệnh đề. Ánh xạ f : (X, τ )−→(Y, Φ) là liên tục mờ khi và chỉ
khi tạo ảnh của mỗi IF CS trong Φ là một IF CS trong τ .
21


Chứng minh. Suy từ Hệ quả 1.2.11.

1.3.16. Định nghĩa. (a) Cho X là một tập không rỗng và c ∈ X là phần
tử cố định trong X. Nếu α ∈ [0, 1], β ∈ [0, 1] là hai số thực không đổi thoả
mãn α + β < 1, thì IF S c(α, β) = x, cα , 1 − c1−β được gọi là một điểm mờ
trực giác, ký hiệu là IF P trong X, trong đó cα , c1−β là các điểm mờ trong
X, xác định bởi

cα (x) =
c1−β (x) =

α
0

nếu x = c
nếu x = c

1−β
0

nếu x = c
nếu x = c

c được gọi là giá của c(α, β) α, β lần lượt được gọi là giá trị và phi giá trị
của c(α, β).
(b) Nếu β ∈ [0, 1] là số thực không đổi thì IF S c(β) = x, 0, 1−c1−β được
gọi là một điểm mờ trực giác triệt tiêu trong X, ký hiệu là V IF P .

22


CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC
2.1. TÍNH COMPACT MỜ TRỰC GIÁC
2.1.1. Định nghĩa. Cho (X, τ ) là một IF T S.
(a) Họ { x, µGi , γGi : i ∈ J} các IF OS trong X được gọi là một phủ mở
mờ của X nếu ∪ { x, µGi , γGi : i ∈ J} = 1∼ .
Một họ con hữu hạn của phủ mờ mở { x, µGi , γGi : i ∈ J} của X đồng thời
là một phủ mờ mở của X được gọi là một phủ con hữu hạn của { x, µGi , γGi :
i ∈ J}.
(b) Họ { x, µKi , γKi : i ∈ J} các IF CS trong X được gọi là có tính chất
giao hữu hạn (viết tắt là F IP ), nếu mỗi họ con hữu hạn
{ x, µKi , γKi : i = 1, 2, . . . , n},
n

{ x, µKi , γKi } = 0∼ .

của nó thỏa mãn điều kiện

i=1

2.1.2. Định nghĩa. Một IF T S (X, τ ) được gọi là compact mờ nếu mỗi
phủ mở mờ của X có một phủ con hữu hạn.
1.3. Ví dụ. Cho tập X = {1, 2} và các IF S Gn , n ∈ N + như sau
Gn =

x,

1
n

n+1

,

2
n+1
n+2

,

1
1
n+2

,

2
1
n+3

.

τ = {0∼ , 1∼ } ∪ {Gn : n ∈ N + }.
Khi đó (X, τ ) không compact mờ. Bởi vì phủ mở mờ {Gn : n ∈ N + } không
có phủ con hữu hạn.

23


2.1.4. Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là một IF T S. Khi đó (X, τ ) là compact

mờ khi và chỉ khi IF T S (X, τ0,1 ) là compact mờ.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ ) là compact mờ và xét một phủ
mở mờ {[ ]Gj : j ∈ K} của X trong (X, τ0,1 ), do đó ∪([ ]Gj ) = 1∼ . Suy ra
∨µG1 = 1 và γGj ≤ 1 − µGj . Vì vậy ta thu được ∧γGj ≤ 1 − ∨µGj = 1 − 1 = 0.
Điều này kéo theo ∧γGj = 0. Do đó ta thu được ∨Gj = 1∼ . Từ giả thiết
n

Gi = 1∼ , từ

(X, τ ) là compact mờ nên tồn tại G1 , G2 , . . . , Gn thỏa mãn
n

µGi = 1 và

đó thu được

i=1

n

j=1

(1 − µGi ) = 0. Vậy (X, τ0,1 ) là compact mờ.
i=1

Điều kiện đủ. Giả sử (X, τ0,1 ) là compact mờ và xét một phủ mở mờ
{Gj : j ∈ K} của X trong (X, τ ) suy ra ∪Gj = 1∼ ta thu được ∨µGj = 1 và
∧(1 − µGj ) = 0.
n

Từ giả thiết (X, τ0,1 ) là compact mờ nên tồn tại G1 , G2 , . . . , Gn thỏa mãn
n

([ ]Gi ) = 1∼ suy ra
i=1

n

i=1
n

n

µGi ≤ 1−

suy ra 1 =
i=1

(1 − µGi ) = 0. Do đó µGi ≤ 1 − γGi ,

µGi = 1 và

i=1

n

γGi . Từ đó ta được
i=1

n

γGi = 0. Do đó
i=1

Gi = 1∼ .
i=1

Vậy (X, τ ) là compact mờ.
2.1.5. Hệ quả. Một IF T S (X, τ ) là compact mờ khi và chỉ khi mỗi một
họ { x, µki , γki : i ∈ J} các IF CS trong X thỏa mãn F IP thì
∩{ x, µki , γki : i ∈ J} = 0∼ .

2.1.6. Hệ quả. Giả sử (X, τ ), (Y, Φ) là các IF T S và f : X−→Y là một
ánh xạ liên tục mờ từ X lên Y . Khi đó, nếu (X, τ ) là compact mờ thì (Y, Φ)
cũng là compact mờ.
2.1.7. Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là một IF T S và A là một IF S trong
24


X.
(a) Họ { x, µGi , γGi : i ∈ J} các IF OS trong X được gọi là một phủ mở
mờ của A nếu A ⊆

{ x, µGi , γGi : i ∈ J}.

(b) Một họ con hữu hạn của phủ mở mờ { x, µGi , γGi : i ∈ J} của A
mà cũng là một phủ mở mờ của A được gọi là một phủ con hữu hạn của
{ x, µGi , γGi : i ∈ J}.
(c) Một IF S A = x, µA , γA trong IF T S (X, τ ) được gọi là compact mờ
nếu mỗi phủ mở mờ của A có một phủ con hữu hạn.

2.1.8. Hệ quả. Một IF S A = x, µA , γA của một IF T S (X, τ ) là compact mờ khi và chỉ khi với mỗi họ G = {Gi : i ∈ J} trong đó
Gi = { x, µGi , γGi : (i ∈ J)},
là các IF OS trong X thỏa mãn µA ≤

µGi , 1 − γA ≤
i∈J

(1 − γGi ) và tồn
i∈J

tại một họ con hữu hạn {Gi : i = 1, 2, . . . , n} của G sao cho
n

n

µA ≤

µGi , 1 − γA ≤
i=1

(1 − γGi ).
i=1

2.1.9. Hệ quả. Giả sử (X, τ ), (Y, Φ) là các IF T S và f : X−→Y là ánh
xạ liên tục mờ. Nếu A là compact mờ trong (X, τ ) thì f (A) cũng là compact
mờ trong (Y, Φ).
Chứng minh. Giả sử B = {Gi : i ∈ J} trong đó Gi = x, µGi , γGi i ∈ J
là một phủ mở mờ của f (A). Khi đó theo Định nghĩa 3.16 và Hệ quả 2.9 ta
có A = {f −1 (Gi ) : i ∈ J} cũng là một phủ mở mờ của A. Từ giả thiết A là
compact mờ nên tồn tại một phủ con hữu hạn của A là Gi , i = 1, 2, . . . , n

n

f −1 (Gi ). Do đó

thỏa mãn A ⊆
i=1

n

f (A) ⊆ f

n

f

−1

(Gi )

=

i=1

f (f
i=1

25

n
−1

(G1 )) ⊆

Gi .
i=1