Vành cực tiểu nội xạ

Mục lục

Trang
Mở đầu: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

2

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ::4
1:1 Môđun nội xạ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1:2 Sự nội xạ lẫn nhau: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ::10
1:3 Môđun liên tục : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12
1:4 Môđun tựa liên tục: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
1:5 Vành tựa - Frobenius: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :::17
Chương 2. Vành cực tiểu nội xạ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24
2:1 Định nghĩa và ví dụ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24
2:2 Vành cực tiểu đối xứng : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :33
2:3 Tính đối ngẫu và điều kiện Kasch: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36
2:4 Vành cực tiểu linh hoá tử: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: 39
Kết luận: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Tài liệu tham khảo: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

1

41

: 42


Mở đầu

Vành cực tiểu nội xạ phải đã được M. Ikeda giới thiệu vào năm

1952 và sau đó đã được J. Dieuconne và M. Harada tiếp tục nghiên cứu,
năm 1970 J. E. Bijork và năm 1989 V. Camillo đã đưa ra một số khái
niệm và ví dụ về vành cực tiểu nội xạ.
Một số tính chất của vành tự - nội xạ phải được nghiên cứu từ lớp
các vành cực tiểu nội xạ phải. Ngoài ra, một số khái niệm, tính chất của
vành cực tiểu nội xạ phải được ứng dụng vào việc nghiên cứu Q-F vành
(Quasi - Frobenius rings) và một số vành khác.
Luận văn tập trung khai thác một số tính chất quan trọng của vành
cực tiểu nội xạ phải. Chủ yếu là đi sâu vào việc chứng minh chi tiết các
tính chất của vành cực tiểu nội xạ phải và tìm hiểu về mối liên hệ giữa
vành cực tiểu nội xạ phải với một số vành khác như: Vành actin, vành
cực tiểu đối xứng, vành cực tiểu linh hoá tử : : :
Luận văn được trình bày theo 2 chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này gồm 5 mục, trình bày một số khái niệm cơ bản về
môđun nội xạ, sự nội xạ lẫn nhau, môđun liên tục, môđun tựa liên tục,
vành tựa -Frobenius.
Chương 2. Vành cực tiểu nội xạ
Sử dụng các kết quả của chương 1 để tìm hiểu về vành cực tiểu nội
xạ và mối liên hệ giữa vành cực tiểu nội xạ với vành actin, vành cực tiểu
đối xứng, vành cực tiểu linh hoá tử : : :
Luận văn được hoàn thành nhờ sự tận tình hướng dẫn của thầy giáo
2


PGS . TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới thầy giáo.
Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo Khoa
Toán, Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô
giáo tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý để tác được hiểu sâu

hơn về vấn đề, tạo điều kiện để luận văn được hoàn thành.
Mặc dù đã cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên luận
văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong được sự góp
ý của quý thầy cô giáo và đồng nghiệp để tác giả được hiểu sâu hơn về
vấn đề.

Lê Na

1 r

3


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Đặt J = J(R) = \T Ătối đại T là căn Jacobson của R và Mn (R) là
vành các ma trận n Ê n trên R. Các môđun phải, trái lần lượt được
kí hiệu là MR và

RM ,

các đồng cấu môđun được hiểu theo nghĩa

thông thường. Nếu M là một R Ă môđun, ký hiệu Z(M); Soc(M )

và M Ô = homR (M; R) lần lượt là môđun con suy biến, đế và đối ngẫu
của M. Chiều Goldie của môđun M kí hiệu là dim(M ).
R là vành, ký hiệu
Soc(RR ) = Sr ; Soc(R R) = Sl ; Z(RR ) = Zr và Z(R R) = Zl :

Môđun con tối đại, môđun con cốt yếu và môđun con bé N của M lần
lượt được kí hiệu là:
N àmax M; N àe M và N àsm M;
và kí hiệu N àâ M nếu N là hạng tử trực tiếp của M . Các linh hoá tử
phải kí hiệu là: r(Y ) = rX (Y ) = fx 2 X j yx = 0; 8y 2 Y g, tương tự
với linh hoá tử trái lX (Y ) = l(Y ). Các ánh xạ x 7! ax và x 7! xa được
kí hiệu a và Âa, nếu ẳ là một tính chất của các môđun, ta gọi M là một
môđun ẳ nếu nó có tính chất ẳ và các vành R là một vành ẳ phải nếu
RR là một môđun ẳ (với quy ước tương tự bên trái).

4


1.1

môđun nội xạ

1.1.1. Định nghĩa. Cho M là RĂ môđun (môđun phải), K là môđun con
của M và được gọi là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi môđun con
X 6= 0 của M thì K \ X 6= 0, kí hiệu: K àe M .
1.1.2. Bổ đề. Cho M là một môđun
(1)

Nếu K à N à M thì K àe M , K àe N và N àe M .

(2)

Nếu K àe N à M và K 0 àe N 0 à M thì K \ K 0 àe N \ N 0.

(3)

Nếu đ : M ! N là đồng cấu và K àe N thì đĂ1 (K) àe M , với

đĂ1(K) = fm 2 M j đ(m) 2 Kg.
(4)

Cho M = âi2I Mi là một tổng trực tiếp, Mi 2 M với mỗi i và cho
Ki à Mi với mỗi i. Khi đó âi2I Ki àe M , Ki àe Mi với mỗi i.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (1) K àe M , khi đó 80 6= Q à M ta có
K \ Q 6= 0 ) P = N \ Q 6= 0 ) N àe M .
Ta lại có K \ P 6= 0 ) K àe N:
Ngược lại K àe N và N àe M .
Lấy 0 6= H à M ta chứng minh H \ K 6= 0.
Thật vậy, vì N àe M ) X = H \ N 6= 0 ) X à N; X 6= 0.
Vì K àe N nên K \ X 6= 0 mà X à H ) K \ H 6= 0 ) K àe M
(2) K àe N à M; K 0 àe N 0 à M

Ta cần chứng minh K \ K 0 àe N \ N 0

Giả sử 0 6= X à N \ N 0 ) K 0 \ X 6= 0 (vì K 0 àe N 0; X à N 0 )

) K 0 \ X à N (vì X à N )

5


) K \ (K 0 \ X) 6= 0 (vì K àe N)

) K \ K 0 àe N \ N 0.

(3) Giả sử 0 6= X à M ta chứng minh X \ đĂ1 (K) 6= 0.

Thật vậy, đặt Y = đ(X), vì đ là đồng cấu nên suy ra Y à N.
Nếu 0 6= Y; vì K àe N ) Y \ K 6= 0 ) X \ đĂ1 (K) 6= 0.

Nếu 0 = Y ) X à ker(đ) à đĂ1(K) ) X \ đĂ1(K) = X 6= 0.

) đĂ1 (K) àe M.

(4) Đặt K = âi2I Ki và giả sử Ki àe Mi ; i 2 I.
Khi đó K àe M , mR \ K 6= 0 với 0 6= m 2 M.
Trường hợp 1: I hữu hạn. Ta dùng phương pháp quy nạp.
Giả sử jIj = 2, cho K1 àe M1 ; K2 àe M ) K1 \ K2 àe M1 \ M2 .
Ta có 0 àe M1 \ M2 ) M1 \ M2 = 0 ) tồn tại M1 â M2 .
Xét ẳ1 : M1 â M2 Ă! M1 và ẳ2 : M1 â M2 Ă! M2 .

Do K1 àe M1 nên K1 â M2 = ẳ1Ă1 (K1 ) àe M1 â M2 (theo (3)).

Tương tự ta có M1 â K2 = ẳ2Ă1 (K2 ) àe M1 â M2.

Suy ra, K1 â M2 \ M1 â K2 àe M1 â M2 (theo (2)).
Ta lại có, K1 â M2 \ M1 â K2 = [(K1 â M2 ) \ M1 ] â K2
= K1 â (M2 \ M1 ) â K2 = K1 â K2 ) K1 â K2 àe M1 â M2 :
Trường hợp 2: I vô hạn.
Lấy 0 6= m 2 M ) m = m1 + Â Â Â + mn .
) mR à m1 R + Â Â Â + mn R à M1 â Â Â Â â Mn (do miR à Mi ).
Theo trường hợp 1 ta có: ân1 Ki àe ân1 Mi ) mR \ ân1 Ki 6= 0
suy ra, mR \ âI Ki 6= 0 ) âI Ki àe âI Mi:

6


1.1.3. Định nghĩa. Cho M và A là các RĂ môđun.
(i)

M gọi là AĂ nội xạ nếu với mọi X là môđun con của A, mọi đồng
cấu f : X Ă! M luôn tồn tại mở rộng của f là f Ô : A Ă! M ,
nghĩa là f Ô i = f với i là phép nhúng đồng nhất.

(ii) M được gọi là tự- nội xạ (tựa- nội xạ) nếu M là M Ă nội xạ.
(iii)

M được gọi là nội xạ nếu M là AĂ nội xạ với mọi môđun A.

1.1.4. Bổ đề. Môđun E là nội xạ khi và chỉ khi K à M , mỗi đồng cấu
: K Ă! E mở rộng thành một đồng cấu : M Ă! E.
Chứng minh. Nếu E là nội xạ, từ định nghĩa ta suy ra với K à M , mỗi
đồng cấu : K Ă! E tồn tại mở rộng của là : M Ă! E.

Ngược lại, nếu đ : N Ă! M là đơn cấu, ánh xạ đ0 : đ(N) Ă! N xác

định bởi đ0(đ(n)) = n; n 2 N . Khi đó, cho ánh xạ : N Ă! E, ánh xạ

đ0 : đ(N) Ă! E mở rộng thành : M Ă! E (theo giả thiết), và ta

kiểm tra được rằng đ = . Vậy E là nội xạ (theo định nghĩa).
1.1.5. Hệ quả. Giả sử E = ƯiEi là tích trực tiếp của các môđun, khi đó
E là nội xạ khi và chỉ khi Ei là nội xạ với mỗi i.
ẳ

ắi
j
Chứng minh. Cho Ei ĂĂ
! E ĂĂ! Ej là các ánh xạ chính tắc.

Nếu E là nội xạ và nếuK à M , cho : K Ă! Ei, tồn tại : M Ă! E
sao cho = ắi trên K. Khi đó ẳi : M Ă! Ei là mở rộng của .
Vậy Ei là nội xạ (theo bổ đề 1.1.4).
Ngược lại, nếu mỗi Ei là nội xạ, lấy đ : K Ă! E; K à M. Với mỗi i,
tồn tại i : M Ă! Ei mở rộng của ẳi đ.
Nếu : M Ă! E được xác định bởi (m) = (i(m)), với mỗi m 2 M thì
7


là mở rộng của đ vì x = (ẳi (x)), với mỗi x 2 M .
Vậy E là nội xạ (theo bổ đề 1.1.4).
1.1.6. Bổ đề. (Tiêu chuẩn Baer). RĂ môđun phải E là nội xạ khi và chỉ
khi với mỗi T à R là một iđêan phải, mọi đồng cấu : T Ă! E mở rộng
thành R ! E thì = c là phép nhân, c là một phần tử nào đó thuộc E.
1.1.7. Bổ đề. Cho R là một vành, khi đó các khẳng định sau là đúng:
(1)

Nếu Q là một nhóm chia được thì ER = homZ (R; Q) là một

RĂ môđun nội xạ phải.
(2)

Mỗi môđun MR đều nhúng được vào một môđun nội xạ phải.

Chứng minh. (1): Nếu á 2 E; a 2 R, E trở thành một RĂ môđun phải
theo (á:a)(r) = á(ar); 8r 2 R. Cho : T Ă! ER là đồng cấu, T là một
iđêan phải của R. Từ bổ đề 1.1.6 ta mở rộng thành RR Ă! ER. Xác
định à : T Ă! Q cho bởi à(t) = [(t)](1). Khi đó à là một ZĂ cấu xạ.

Do Z Q là nội xạ nên xác định được à^ : R Ă! Q là một ZĂ cấu xạ mở
rộng của à.
^
Từ à^ 2 E, xác định ^ : R Ă! E cho bởi ^ (a) = à:a;
8a 2 R.
Thử lại thấy ^ là đồng cấu, rõ ràng nó là mở rộng của ; ^(t) = (t);
8t 2 T . Nếu r 2 R ta có:

^
^
[^
(t)](r) = [à:t](r)
= à(tr)
= à(tr) = [(tr)](1) = [(t):r](1) = [(t)](r)

vì là đồng cấu và (t) 2 E. Do đó ^(t) = (t).

(2): Cho MR ; ' : Z(I) Ă! M là ZĂ toàn cấu với tập I nào đó sao cho
ZM

ằ
= Z(I)=K à QI =K; K = ker('). Đặt Q = QI =K, Q chia được.

Từ MR ằ
= hom(RR ; MR ) với m 7! m ta có

8


MR ằ
= homR (RR ; MR ) à homZ (R; M ) ,! homZ (R; Q):
Do ER = homZ (R; Q) là nội xạ theo (1). Suy ra (2) được chứng minh.
1.1.8. Hệ quả. Môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mọi đơn cấu ắ : E Ă! M
chẻ ra, nghĩa là ắ(E) àâ M .
Chứng minh. Nếu ắ : E Ă! M là đơn cấu, tồn tại : M Ă! E sao cho
ắ = 1E . Khi đó M = ắ(E) â ker().
Điều ngược lại được suy ra từ bổ đề 1.1.7. Vì hạng tử trực tiếp của môđun
nội xạ là nội xạ.
1.1.9. Bổ đề. (Bổ đề cốt yếu). Cho K à M là các môđun. Nếu C là phần
bù của K trong M thì các khẳng định sau là đúng:
(1)

K â C àe M;

(2)

(K â C)=C àe M=C:

Chứng minh. (1): Cho 0 6= X à M. Ta chứng minh X \ (K â C) 6= 0.
Phản chứng: Nếu K â C \ X = 0 ) 9 K â C â X ) K \ (C â X) = 0.
Mà C ẵ C â X ) mâu thuẫn với tính tối đại của C.
Suy ra K â C \ X 6= 0 ) K â C àe M:
(2): Cho Y =C \ (K â C)=C = 0. Nếu Y 6= C thì Y \ K 6= 0 theo cách
chọn C. Lấy 0 6= a 2 Y \ K, khi đó a + C 2 Y=C \ (K â C)=C 6= 0, vì
vậy a 2 C. Nhưng 0 6= a 2 C \ K = 0 ) mâu thuẫn.
Vậy Y =C \ (K â C)=C 6= 0 ) (K â C)=C àe M=C:

9


1.2

Sự nội xạ lẫn nhau

1.2.1. Bổ đề. Cho G = Ưi2I Gi và M là môđun. Khi đó G là M Ă nội xạ
khi và chỉ khi Gi là M Ă nội xạ với mỗi i 2 I.
Chứng minh. Điều kiện cần: Cho G là nội xạ, tồn tại Ô là mở rộng của
Ô
Ô
pi
^
1ii hay Ô i = 1ii . Lấy ^i : M ĂĂ
! G ĂĂ!
Gi; pi = i trong đó

pi là phép chiếu.

Ta có ^i i = pi Ô i = pi1i i = 1Gi i = i ) Gi là M Ă nội xạ với mỗi
i 2 I.
Điều kiện đủ: Cho Gi là M Ă nội xạ với mỗi i 2 I.

pk
^
Cho pk : X ĂĂ! G ĂĂ
! Gk . Với 8k 2 I; k là mở rộng của pk hay
^k i = pk .

^ = (^k (b))I 2 G. ^ : M Ă! G
Lấy ^ = ẳ^k : M Ă! G xác định bởi (b)
^ = vì với x 2 X à M ta có
là đồng cấu. i

^
^
i(x)
= (x)
= (^k (x))I = (^k i(x))I = (pk (x))I = (x).

a 2 G = ƯGi , a = (pk (a))I .
) G là M Ă nội xạ.
1.2.2. Bổ đề. Nếu G là MĂ nội xạ và N à M thì G vừa là NĂ nội xạ
vừa là (M=N)Ă nội xạ.
1.2.3. Bổ đề. (Bổ đề Azumaya). Nếu G và M = M1 â Â Â Â â Mn là các
môđun thì G là M Ă nội xạ khi và chỉ khi G là Mi Ă nội xạ với mỗi
i = 1; 2; : : : ; n.
Chứng minh. Nếu G là MĂ nội xạ thì G là MiĂ nội xạ với mỗi i (theo
bổ đề 1.2.2).
10


Ngược lại, nếu G là Mi Ă nội xạ với mỗi i, cho : X Ă! G là đồng cấu,
X à M . Tương tự như trong chứng minh bổ đề 1.1.6, cho (C; Ô ) là tối

đại sao cho X à C à M và Ô : C Ă! G mở rộng của . Ta chứng minh
C = M bằng việc chứng minh Mi à C với mỗi i. Từ giả thiết, tồn tại
đi : Mi Ă! G sao cho đi = Ô trên Mi \ C. Xây dựng i : Mi + C Ă! G

xác định bởi i(mi + c) = đi(mi ) + Ô (c); 8mi 2 Mi và c 2 C. Khi đó i

được định nghĩa vì đi = Ô trên Mi \ C, và i mở rộng của vì X à C

và Ô mở rộng của . Do đó Mi + C = C theo tính tối đại của (C; Ô ) vì
vậy Mi à C.
1.2.4. Bổ đề. (Bổ đề Johnson - Wong). Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ
khi M hoàn toàn bất biến trong bao nội xạ E(M ).
1.2.5. Hệ quả. Cho M là môđun tựa nội xạ. Nếu E(M ) = âi2I Ki thì
M = âi2I (M \ Ki ).
Chứng minh. Cho m = Đni=1ki 2 M; ki 2 Ki. Nếu ẳi : E(M ) Ă! E(M )
là phép chiếu lên Ki, thì ki = ẳi(m) 2 ẳi(M )(theo bổ đề 1.2.4), vì vậy
ki 2 M \ Ki . Do đó M à âi2I (M \ Ki). Chiều ngược lại là hiển
nhiên.

11


1.3


môđun liên tục.

M thoả mãn C1Ă điều kiện nếu mỗi môđun con của M là cốt yếu
trong một hạng tử trực tiếp của M . (Ta coi như môđun con không là
cốt yếu trong chính nó).



M thoả mãn C2 Ă điều kiện nếu K và N là các môđun con của M ,

Kằ
= N và K là hạng tử trực tiếp của M thì N cũng là hạng tử trực
tiếp của M .



M thoả mãn C3 Ă điều kiện nếu với N và K là các môđun con của
M với N àâ M , K àâ M và N \ K = 0 thì N â K àâ M .

Nếu M là một môđun không phân tích được thì M là một C3 Ă môđun;
M là C1 Ă môđun nếu và chỉ nếu nó là đều (nghĩa là X \ Y 6= 0 với
mọi môđun con X 6= 0 và Y 6= 0) và M là một C2 Ă môđun nếu và chỉ
nếu các đơn cấu trong end(M ) là các phép đẳng cấu.
2

3
F F
5, F là một trường. Khi đó R là một C1 Ă
1.3.1. Ví dụ. Cho R = 4
0 F
vành trái và phải, nhưng không phải là C2 Ă vành trái và phải.
2
3
0 F
5ằ
Chứng minh. Ta có J = 4
= e12 R (eij là ma trận đơn vị) vì vậy R
0 0
không là C2 Ă phải vì JR không là hạng tử trực tiếp của RR .
Tương tự, R không là C2 Ă trái. Ta thấy

2 rằng
3 R là một C1 Ă phải, cho T 6= 0
0 F
5 thì T = e11 R hoặc T = R, vì
là một iđêan phải. Nếu T 6à Sr = 4
0 F
vậy T là một hạng tử. Nếu T = Sr thì T àe RR vì R là artin phải. Giả sử
12


dimF (T ) = 1, lấy T = xR, x 2 Sr . Nếu x2 = x 6= 0 ta được điều
2 cần
3 tìm.
F F
5.
Mặt khác, x 2 J, vì vậy T = J và thử lại ta có T àe e11 R = 4
0 0
Hơn nữa, R là C1Ă phải; Tương tự R là C2 Ă phải.
1.3.2. Định nghĩa.

(i)

Môđun được gọi là liên tục nếu nó thoả mãn cả

C1 và C2 Ă điều kiện.
(ii) Môđun được gọi là tựa liên tục nếu nó thoả mãn cả C1 và C3 Ă điều
kiện.
(iii)

R được gọi là một vành liên tục phải (vành tựa liên tục phải) nếu

RR có tính chất(i) (tương ứng (ii)).

1.3.3. Định lí. Mọi môđun tựa nội xạ là liên tục.
Chứng minh. Cho M là tựa nội xạ. Nếu N à M thì E(M ) chứa E(N) = E
và E(M) = E â G, G là môđun con, vì E là nội xạ. Từ hệ quả 1.2.5 ta
có M = (M \ E) â (M \ G). Hơn nữa, N àe E, vì vậy N àe M \ E.
Từ đó suy ra M có C1 Ă tính chất.

Ta chứng minh N ằ
= P àâ M. Từ M là M Ă nội xạ, và từ bổ đề 1.2.1 ta
có P còn là M Ă nội xạ, do đó N là M Ă nội xạ. Nhưng ánh xạ đồng nhất
1N : N Ă! N mở rộng thành á : M Ă! N suy ra M = N âker(á).

13


1.4

môđun tựa liên tục

Nếu K à M là các môđun, phần bù C của K trong M là môđun
con của M tối đại với K \ C = 0 và trong trường hợp này K â C à e M
theo bổ đề 1.1.9. Một môđun con C của M được gọi là đóng trong M
nếu C là phần bù của một số môđun con của M .
1.4.1. Định lí. C là môđun con của môđun M . Các khẳng định sau đây
là tương đương:
(1)

C là đóng trong M .

(2)

Nếu C àe N à M thì C = N.

(3)

Nếu C à N àe M thì N=C àe M=C.

(4)

Nếu D là phần bù của C trong M thì C là phần bù của D trong M .

Chứng minh. (1))(2). Cho C là phần bù của K à M , cho N như trong
(2), điều đó thoả mãn K \ N = 0. Nhưng nếu K \ N 6= 0 thì C àe N ta
có 0 6= C \ (K \ N) = C \ K điều này mâu thuẫn với giả thiết C là phần
bù của K.
(2))(3). Nếu (3) không cho C à N àe M và giả sử rằng (X=C) \
(N=C) = 0; X=C 6= 0. Theo (2) thì C không cốt yếu trong X, chọn
Y \C = 0 với 0 6= Y à X. Khi đó Y \N = (Y \X)\N = Y \(X \N) =
Y \ C = 0 điều này mâu thuẫn vì N àe M .
(3))(4). Nếu D là một phần bù của C, cho D\N = 0; C\N ; ta cần chứng
minh C = N. Ta có D â C à M theo bổ đề 1.1.9 vì vậy (D â C)=C àe
M=C theo (3). Hơn nữa, điều đó thoả mãn (N=C) \ [(D â C)=C] = 0.
14


Nhưng nếu n + C = d + C; n 2 N; d 2 D thì n Ă d 2 C à N, vì vậy
d 2 N \ D = 0.
(4))(1). Hiển nhiên.
1.4.2. Định lí. Cho M là môđun, các khẳng định sau tương đương:

(1)

M là tựa liên tục.

(2)

Nếu C và D là phần bù của nhau thì M = C â D.

(3)

(M ) à M với mọi 2 = 2 end[E(M )].

(4)

Nếu E(M ) = âi2I Ei thì M = âi2I (M \ Ei).

Chứng minh. Đặt E(M ) = E.
(1))(2). Cho C và D như ở trong (2), mỗi C, D là đóng theo Định lí 1.4.1,
vì vậy mỗi C, D là hạng tử trực tiếp. Nhưng C \ D = 0, nên C â D = M
(theo C3Ă điều kiện).
(2))(3). Cho 2 = : E Ă! E. Đặt K = M \ (E), N = M \(1Ă )E.
Như vậy K \ N = 0, lấy C ả K là một phần bù của N trong M và
C \ N = 0, lấy D ả N là một phần bù của C trong M . Từ C là
đóng và là một phần bù của D (theo Định lí 1.4.1), nên M = C â D
theo (2). Cho ẳ : M Ă! C là một phép chiếu với hạt nhân D. Vì
M àe E nên ta có M \ (1 Ă )M = 0. Nhưng nếu m = ( Ă ẳ)(x)
với x; m 2 M thì (x) = m + ẳ(x) 2 M \ (E) = K à C. Hơn nữa
(1 Ă )(x) 2 M \ (1 Ă )E = N à D vì vậy, từ x = (x) + (1 Ă )(x) ta
có ẳ(x) = (x) theo định nghĩa của ẳ. Do đó m = 0.
(3))(4). Cho m 2 M , lấy m 2 E1 â Â Â Â â En , và cho 1; :::; n là các luỹ

đẳng trực giao trong end(E) với i (E) = Ei với mỗi i. Khi đó i (M ) à M
15


với mỗi i theo (3), vì vậy m = Đni=1 i (m) 2 âni=1 (M \ Ei). Từ đó suy ra
M à âni=1 (M \ Ei). Dễ dàng chứng minh điều ngược lại.
(4))(1). Nếu K à M . Đặt E = E(K) â G. Khi đó
M = (M \ E(K)) â (M \ G) theo (4), và K àe M \ E(K). Như vậy M
thoả mãn C1 Ă điều kiện.

Chứng minh C3 Ă điều kiện, cho K1 àâ M; K2 àâ M và K1 \K2 = 0. Ta

chứng minh (K1 âK2) àâ M . Với mỗi i chọn một bao nội xạ Ei = E(Ki )
sao cho Ki à Ei à E. Khi đó E1 \ E2 = 0 vì Ki àe Ei với mỗi i. Từ
E1 â E2 là nội xạ, ta có E = E1 â E2 â H với H nào đó. Từ (4) ta có
M = (M \ E1 ) â (M \ E2) â (M \ H) nên Ki = M \ Ei với mỗi i.

Điều đó suy ra (1) vì Ki àe M \ Ei (từ Ki àe Ei) và Ki àâ M \ Ei (từ
Ki àâ M ).
1.4.3. Hệ quả. Nếu M = K â N là tựa liên tục thì K là NĂ nội xạ.
Chứng minh. Nếu X à N và đ : X Ă! K là đồng cấu, ta mở rộng đ
thành N Ă! K. Đặt Y = fx Ă đ(x) j x 2 Xg. Khi đó Y \ K = 0,
vì vậy lấy C ả Y là một phần bù của K trong M . Từ K là đóng trong
M và nó là một phần bù của C theo Định lí 1.4.1 nên M = K â C theo
Định lí 1.4.2. Chọn ẳ : M Ă! K là phép chiếu với ker(ẳ) = C. Khi đó
Y à ker(ẳ), vì vậy ẳ(x) = ẳ[đ(x)] = đ(x) với x 2 X. Như vậy hạn chế
của ẳ trên N là mở rộng của đ.
2
F
1.4.4. Ví dụ. Nếu F là một trường, R = 4

0
và phải, vành CS phải nghĩa là không tựa liên

16

3
F
5 là một vành artin trái
F
tục phải.


1.4.5. Định lí. R là một vành, các khẳng định sau là tương đương:
(1)

R là tự nội xạ phải.

(2)

R â R là liên tục (tựa liên tục) như một RĂ môđun phải.

(3)

M2 (R) là liên tục (tựa liên tục) phải.

(4)

Mn(R) là liên tục (tựa liên tục) phải với mọi n á 1.

(5)

Mn(R) là tự nội xạ phải với mọi n á 1.

Chứng minh. (1),(2). Suy ra từ hệ quả 1.4.3, (1))(5) vì tự nội xạ phải
là một tính chất Morita - bất biến, và (5))(4))(3) rõ ràng. Cho (3), đặt
S = M2(R) sao cho S = e11 S â e22S, eii là ma trận đơn vị. Khi đó S là tựa
liên tục phải theo (3), vì vậy eiiS là ejj SĂ nội xạ với i 6= j, theo hệ quả
1.4.3 Mà e11 S ằ
= e22 S, e11 S là ejj SĂ nội xạ, với mọi j. Hơn nữa, e11S là
SĂ nội xạ theo bổ đề 1.2.3, vì vậy nó nội xạ như một SĂ môđun phải (bổ
đề 1.1.6). Tương tự, e22S là nội xạ nên suy ra S là tự nội xạ phải.
1.5

Vành tựa - Frobenius

1.5.1. Định nghĩa. Một vành gọi là tựa - Frobenius (hoặc một vành QF)
nếu nó là actin phải và trái và tự nội xạ phải và trái.
Các ví dụ
(1)

Các vành nửa đơn, actin.

(2)

Các nhóm đại số F G, F là một trường và G là một nhóm hữu hạn.

(3)

Các vành R=aR, a 6= 0, a khác đơn vị trong một (giao hoán) miền
iđêan chính R.

17


Gọi iđêan phải T của vành R là mở rộng nếu mọi đồng cấu đ : T Ă! R
mở rộng thành R Ă! R, nghĩa là đ = a là phép nhân bên trái, a 2 R.
Như vậy R là tự nội xạ phải nếu mọi iđêan phải là mở rộng.
1.5.2. Bổ đề. Cho T và T 0 là các iđêan phải của vành R.
(1)

Nếu T + T 0 là mở rộng thì l(T \ T 0) = l(T ) + l(T 0).

(2)

Ngược lại, nếu l(T \ T 0) = l(T ) + l(T 0) và đ : T + T Ă! R là

một đồng cấu sao cho thu hẹp đ jT và đ j0T là phép nhân bên trái, thì
đ là phép nhân bên trái.

Chứng minh. (1). Nếu b 2 l(T \ T 0 ) thì đ : T + T 0 Ă! RR xác định bởi
đ(t + t0) = bt, đ = aÂ, a 2 R (theo giả thiết). Vì b Ă a 2 l(T ) và a 2 l(T 0 ),
nên b = (b Ă a) + a 2 l(T ) + l(T 0 ). Do đó, l(T \ T 0) à l(T ) + l(T 0). Chiều
ngược lại luôn đúng.
(2). Chọn đ = b trên T và đ = c trên T 0.
Từ b Ă c 2 l(T \ T 0 ) = l(T ) + l(T 0 ), chọn b Ă c = d Ă d0 với dT = 0 = d0 T 0 .
Đặt a = b Ă d = c Ă d0. Khi đó, at = (b Ă d)t = bt = đ(t) với mọi t 2 T

và at0 = (c Ă d0)t = ct0 = đ(t0 ) với mọi t0 2 T 0. Từ đó suy ra đ = a.

Bổ đề 1.5.2 thường được ứng dụng khi T + T 0 = R, trong trường hợp
l(T \ T 0) = l(T ) â l(T 0 ).

1.5.3. Bổ đề. Một vành R là F Ă nội xạ phải nếu và chỉ nếu nó thoả mãn
hai điều kiện sau:
(a)

l(T \ T 0) = l(T ) + l(T 0) với mọi iđêan phải T và T 0 hữu hạn sinh.

(b)

lr(a) = Ra; 8a 2 R.
18


Chứng minh. Giả sử R là F Ă nội xạ phải. Khi đó, T + T 0 là mở rộng với

mọi iđêan phải T và T 0 hữu hạn sinh, vì vậy (a) đúng theo bổ đề 1.5.2.
Nếu b 2 lr(a), ánh xạ : aR Ă! R xác định bởi (ar) = br, vì vậy
= c với c 2 R. Hơn nữa, b = (a) = ca 2 Ra, vì vậy lr(a) à Ra.
Chiều ngược lại luôn đúng.
Ngược lại, nếu các điều kiện đúng và đ : T Ă! RR xác định, quy nạp
theo n với T = Đni=1 ti R. Nếu n = 1 thì đ(t1 ) à lr(t1 ) = Rt1 , chọn
đ(t1 ) = at1 suy ra đ = aÂ, vì vậy đ là mở rộng. Trong trường hợp tổng
quát, các thu hẹp của đ trên t1 R và trên T 0 = Đni=2 ti R đều mở rộng trên
R theo phép quy nạp, vì vậy đ mở rộng theo bổ đề 1.5.2.
1.5.4. Hệ quả. Nếu R là nội xạ phải thì
(1)

l(T \ T 0) = l(T ) + l(T 0) với mọi iđêan phải T và T 0 .

(2)

lr(L) = L với mọi iđêan trái hữu hạn sinh L của R.

Chứng minh. (1). Suy ra từ bổ đề 1.5.2.
(2). Đặt L = Đni=1 Rai. Từ (1) ta có lr(L) = l[\ni=1 r(ai)] = Đni=1 Rai = L,
áp dụng (1) và bổ đề 1.5.3 ta được điều cần chứng minh.
1.5.5. Bổ đề. Giả sử lr(a) = Ra với mọi a 2 R và l(T0 \T ) = l(T0 )+l(T )
mọi iđêan phải T0 và T của R với T0 là hữu hạn sinh. Khi đó mọi đồng
cấu đ : T Ă! R với ảnh hữu hạn sinh mở rộng thành R Ă! R.
Chứng minh. Từ đ(t) hữu hạn sinh, ta có
T = T0 + ker(đ), T0 = t1 R + Â Â Â + tn R. Từ lr(t1 ) = Rt1 theo giả thiết,
sự hạn chế của đ trên t1 R mở rộng thành R (xem chứng minh của bổ đề
1.5.3). Hơn nữa, theo quy nạp, sự hạn chế của đ trên T0 mở rộng như sự
hạn chế trên ker(đ). Vì vậy, đ mở rộng theo bổ đề 1.5.2.
19


Một RĂ môđun phải được gọi là xoắn nếu nó có thể được nhúng
trong một tích của các bản sao của RR .
1.5.6. Bổ đề. Nếu T là một iđêan phải của R thì rl(T ) = T khi và chỉ
khi R=T là xoắn.
Chứng minh. Nếu ắ : R=T Ă! RI là đơn cấu, cho ắ(1 + T ) = (ai ), đặt
A = fai j i 2 Ig. Khi đó T = r(A), vì vậy rl(T ) = rlr(A) = r(A) = T .
Ngược lại, nếu T = rfai j i 2 Ig, ánh xạ R Ă! RI xác định bởi
r 7Ă! (air) là hạt nhân của T .
Môđun C gọi là đối sinh môđun M nếu M có thể được nhúng vào
trong một tích trực tiếp C I của các bản sao của C và CR được gọi là đối
sinh nếu nó đối tạo thành mọi môđun phải.
1.5.7. Bổ đề. CR là đối sinh khi và chỉ khi \fker(á) j á : M Ă! Cg = 0
với mọi môđun RR .
Chứng minh. Nếu ắ : M Ă! C I là đơn cấu và ẳi : C I Ă! C là các

phép chiếu, thì \fker(ẳi ắ) j i 2 Ig = 0.
Ngược lại, nếu \fker(á) j á : M Ă! Cg = 0 chọn I = homR (M; C),
xác định ắ : M Ă! C I bởi ắ(m) = (á(m))á2I . Khi đó ắ là RĂ đơn
cấu.
1.5.8. Bổ đề. Nếu ER là môđun nội xạ, thì E là đối sinh khi và chỉ khi
mọi môđun phải đơn có thể được nhúng trong E.
Chứng minh. Nếu KR đơn và ắ : K Ă! E I là đơn cấu thì ẳi ắ 6= 0
với phép chiếu ẳi : E I Ă! E. Mặt khác, K ,! E. Ngược lại, cho MR ,
đặt N = \fker(á) j á : M Ă! Eg. Do đó N = 0 (theo bổ đề 1.5.7).
20


Nhưng nếu N 6= 0, lấy 0 6= n 2 N và chọn X àmax nR. Theo giả thiết
lấy ắ : nR=X Ă! E là đơn cấu vì vậy E là nội xạ, mở rộng ắ thành
ắ
^ : M=X Ă! E. Khi đó xác định á : M Ă! E bởi á(m) = ắ
^ (m + X).
Với n 2 N ta có 0 = á(n) = ắ
^ (n + X) = ắ(n + X), do đó n 2 X. Mâu
thuẫn.
1.5.9. Định lí. Cho fKi j i 2 Ig là một hệ đại diện phân biệt của các
RĂ môđun phải đơn và đặt C = âi2I E(Ki) Khi đó
(1)

CR là một đối sinh.

(2)

CR nhúng trong mọi đối sinh.

Chứng minh. (1). Môđun nội xạ E = Ưi2I E(Ki) là một đối sinh được suy
ra từ bổ đề 1.5.8 và (1) vì E ,! C I .
(2). Nếu D là đối sinh bất kì, lấy ắ : E(Ki ) Ă! DJ là đơn cấu. Khi
đó ẳj [ắ(Ki)] 6= 0 với phép chiếu ẳj : D J Ă! D; j 2 J, vì vậy tồn
tại : E(Ki) Ă! D sao cho (Ki) 6= 0. Nên Ki 6à ker(), vì vậy
Ki \ ker() = 0 (do Ki là đơn). Nhưng là đơn cấu vì Ki àe E(Ki).
Vậy E(Ki) nhúng trong D với mọi i. Nếu ta coi như E(Ki) à D thì
Đi2I Ki là trực tiếp vì Ki không đẳng cấu từng đôi một, vì vậy Đi2I E(Ki )
là trực tiếp. Từ đó suy ra C ,! D (C = âi2I E(Ki) được gọi là một đối
sinh tối tiểu với phạm trù các RĂ môđun).
1.5.10. Định nghĩa. Một vành R được gọi là một vành Kasch phải (hoặc
Kasch phải đơn) nếu mọi môđun phải đơn K nhúng trong RR .
1.5.11. Định lí. Cho vành R, các mệnh đề sau là tương đương:
(1)

R là Kasch phải.
21


(2)

hom(M; RR ) 6= 0 với mọi RĂ môđun phải M hữu hạn sinh.

(3)

l(T ) 6= 0 với mọi iđêan phải thực sự T của R.

(4)

rl(T ) = T với mọi iđêan phải tối đại T của R.

(5)

E(RR ) là đối sinh.

Chứng minh. (1))(2). Vì mọi môđun hữu hạn sinh có một ảnh đơn.
(2))(3). Giả sử T là tối đại. Nếu 0 6= ắ : R=T Ă! RR và ắ(1 + T ) = a
thì 0 6= a 2 l(T ).
(3))(4). Cho (3), T à rl(T ) 6= R và kéo theo (4).
(4))(5). Nếu T là một iđêan phải tối đại của R, lấy 0 6= a 2 l(T ) theo (4).
Khi đó : R=T Ă! R xác định bởi (r + T ) = ar. Từ T à r(a) 6= R ta
có T = r(a), suy ra là đơn cấu. Như vậy R=T Ă! R à E(RR ) và suy
ra (5) (theo bổ đề 1.5.8).
1.5.12. Bổ đề. Vành tự nội xạ phải R là Kasch phải khi và chỉ khi rl(T ) = T
với mọi iđêan phải (tối đại) T của R.
Chứng minh. Nếu R là Kasch phải thì R = E(RR ) là một đối sinh theo
Định lí 1.5.11, vì vậy từ bổ đề 1.5.6 ta có rl(T ) = T với mọi iđêan phải
(tối đại) T của R. Điều ngược lại suy trực tiếp từ Định lí 1.5.11.
Gọi một vành R là một vành C2 phải nếu RR thoả mãn C2 Ă điều kiện.
1.5.13. Bổ đề. (Bổ đề Nakayama). Nếu MR là hữu hạn sinh thì
(1)

Nếu M J = M thì M = 0.

(2)

M J àsm M.
22

Chứng minh. (1). Nếu M là chính, chọn M = mR, thì M = M J = mJ.
Suy ra m(1 Ă a) = 0; a 2 J, vì vậy m = 0. Trong trường hợp tổng quát,
nếu M = m1 R + Â Â Â + mn R và M = M J thì M = m1 J + Â Â Â + mn J, từ
đó lấy m1 = m1a + y; a 2 J và y 2 m2 J + Â Â Â + mn J. Điều đó kéo theo
M = m1J + Â Â Â + mnJ, vì vậy M = 0 theo quy nạp.
(2). Nếu M J + X = M , X là môđun con của M , thì (M=X)J = M=X.
Khi đó M=X = 0 vì vậy M = X.

2
.

23


Chương 2

Vành cực tiểu nội xạ

2.1 Định nghĩa và ví dụ
2.1.1. Định nghĩa. Cho R là một vành, một môđun MR được gọi là cực
tiểu nội xạ nếu với mỗi iđêan phải đơn K của R, mỗi đồng cấu : K Ă!
MR mở rộng thành : R Ă! M ; nghĩa là = m là phép nhân với
m 2 M [thật ra m = (1)].
Iđêan phải T trong vành R được gọi là mở rộng được nếu mỗi đồng cấu
xạ : T Ă! RR có thể mở rộng thành RR Ă! RR , tức là = c là phép
nhân trái với một phần tử c 2 R.
R là cực tiểu nội xạ phải khi và chỉ khi mỗi iđêan phải đơn K là mở rộng
được.
2.1.2. Bổ đề. Cho một vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(1)

R là cực tiểu nội xạ phải.

(2)

Nếu kR là đơn, k 2 R thì lr(k) = Rk.

(3)

Nếu kR là đơn và r(k) à r(a); k; a 2 R thì Ra à Rk.

(4)

Nếu kR là đơn và : kR Ă! R là đồng cấu, k 2 R thì (k) 2 Rk.

Chứng minh. (1))(2). Vì r(k) = fx 2 R : kx = 0g
) kr(k) = 0 ) k 2 lr(k)
) Rk à lr(k).
24


Nếu a 2 lr(k) thì r(k) à r(a), vì vậy : kR Ă! R xác định bởi
(kr) = ar. Vậy = c với c 2 R theo (1). Từ đó a = (k) = c(k) 2 Rk.
(2))(3). Nếu r(k) à r(a) thì a 2 lr(k), vì vậy a 2 Rk theo (2).
(3))(4). Nếu (k) = a, x 2 r(k) ta có 0 = (0) = (kx) = (k)x = ax
) x 2 r(a)
) r(k) à r(a), vì vậy a 2 Rk theo (3).
(4))(1). Cho : kR Ă! RR ) (k) 2 Rk ) (k) = ck; c 2 R. Khi
đó = cÂ.
Trong chứng minh của bổ đề 2.1.2 đã chỉ ra rằng với bất kì iđêan phải

kR đều mở rộng được
Một iđêan phải đơn K không nhất thiết mở rộng được ngay cả
2 khi nó
3
D D
5,
đẳng cấu với một iđêan phải mở rộng được. Chẳng hạn, R = 4
0 D
2
3
2
3
0 1
0 0
5 và e = 4
5. Thì kR ằ
D là một thể, đặt k = 4
= eR và e2 = e,
0 0
0 1
nhưng kR không mở rộng được theo bổ đề 2.1.2. Vì lr(k) 6= Rk. Như
vậy R không là cực tiểu nội xạ ngay cả khi nó là xạ ảnh, đế phải thuần
nhất.
2.1.3. Ví dụ. Mỗi vành đa thức R[x] là cực tiểu nội xạ phải và trái.
Chứng minh. Vì cả hai đế của R[x] là không. Chẳng hạn, nếu K = kR[x]
là đơn, deg(k) = n thì K = xn+1 K vì xn+1 là trung tâm, vì vậy
k 2 xn+1 kR[x], điều này mâu thuẫn.
2.1.4. Ví dụ. Nếu Sr là đơn và cũng là một iđêan trái, thì R là cực tiểu
nội xạ phải.
25