Tổng trực tiếp các mô đun tựa liên tục

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1

5

Các kiến thức chuẩn bị

1.1. Khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Môđun tựa liên tục và một số tính chất . . . . . . . . . . .

11

2 Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục

và ec - tựa

liên tục

14

2.1. Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục

. . . . . . . . . . .

14

2.2. Môđun ec- liên tục và ec - tựa liên tục

. . . . . . . . . . .

18

Kết luận

22

Tài liệu tham khảo

23


2

LỜI NÓI ĐẦU
Môđun tựa liên tục là một trong những lớp mở rộng của môđun nội
xạ và gần hơn nữa nó là mở rộng của lớp môđun liên tục, đó là lớp
môđun thỏa mãn hai điều kiện (C1 ) và (C3 ) sau:

• (C1 ): Mọi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp
của M .
• (C2 ): Mọi môđun con của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp
của M thì nó là một hạng tử trực tiếp của M .
• (C3 ): Nếu M1 và M2 là các hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn
M1 ∩ M2 = 0 thì M1 ⊕ M2 cũng là một hạng tử trực tiếp của M.
Một điều đáng lưu ý rằng, mọi hạng tử trực tiếp của môđun tựa liên
tục là môđun tựa liên tục nhưng tổng trực tiếp của các môđun tựa liên
tục không hẳn là môđun tựa liên tục. Chẳng hạn xét ví dụ sau:
F F
F F
Xét vành R = 0 F trong đó F là một trường. Đặt A = 0 0
0 0
và B = 0 F . Rõ ràng A và B là các R- môđun tựa liên tục, vì A
là môđun nội xạ, B là môđun đơn và ta có R = A ⊕ B. Tuy nhiên RR
chỉ thỏa mãn điều kiện (C1 ) nhưng không thỏa mãn điều kiện (C3 ) và
do đó nó không là môđun tựa liên tục.
Mục đích chính của luận văn đó là:
1. Hệ thống lại các kiến thức về môđun liên tục, tựa liên tục.
2. Tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến tổng trực tiếp các môđun
tựa liên tục.
3. Tìm hiểu điều kiện C1 : Mọi môđun con xiclic đóng của M cốt yếu
trong một hạng tử trực tiếp của M , và các lớp môđun ec-liên tục


3

(thỏa mãn C1 và C2 ), lớp môđun ec- tựa liên tục (thỏa mãn C1 và
C3 ).
Xuất phát từ mục đích nghiên cứu, đề tài có tựa đề là: "Tổng trực

tiếp các môđun tựa liên tục". Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo, nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Trong chương này chủ yếu dành để trình
bày các khái niệm, định nghĩa liên quan ở chương 2.
Chương 2. Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục và ec - tựa
liên tục.
Nội dung của chương 2 được trình bày trong 2 phần:
2.1 Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục. Phần này chủ yếu dành để
trình bày các kết quả về tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục, tường
minh các kết quả đã được giới thiệu trong [5] và [8].
2.2 Môđun ec- liên tục và ec - tựa liên tục. Trong [9] đã giới thiệu khái
niệm điều kiện (C1 ) và từ đó chúng ta có các khái niệm ec - liên tục,
ec - tựa liên tục, ec- CS. Đây là một trong những hướng mở rộng của
điều kiện (C1 ). Trong tài liệu tham khảo [8], tác giả S. Plubtieng đã giới
thiệu một số kết quả về lớp mở rộng này. Nội dung chính của phần này
chúng tôi trình bày lại một cách có hệ thống và tường minh các kết quả
đó.
Luận văn được bắt đầu thực hiện từ tháng 3 năm 2010 dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc tới Thầy, người đã đặt bài toán và tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy giáo, Cô giáo
trong tổ Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại
học Vinh về sự tận tâm giảng dạy và tạo những điều kiện thuận lợi nhất
để tác giả hoàn thành khóa học.
Mặc dù đã hết sức cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo


4

các tài liệu cũng như tiếp thu các ý kiến đóng góp, song luận văn khó
tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Kính mong nhận được các ý kiến
đóng góp của quý Thầy, Cô và các bạn.
Vinh, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Thị Ngọc Dung


5

CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn, các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp
và có đơn vị. Các môđun trên vành luôn được hiểu là unita phải (nếu
không nói gì thêm ).
Ở chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và các kết
quả đã biết sẽ được sử dụng trực tiếp trong nội dung các chương sau.
Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu, chúng tôi chủ yếu tham
khảo trong các tài liệu [1], [2] và [10].

1.1

Khái niệm cơ sở

Trước hết chúng ta có các khái niệm về môđun đơn và môđun nửa
đơn.
1.1.1 Định nghĩa.

• Trên vành R, một R- môđun phải M được gọi

là môđun đơn (simple) nếu M = 0 và không có môđun con nào
khác ngoại trừ 0 và chính nó. Môđun M được gọi là môđun nửa
đơn (semisimple) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tương
đương sau:
1. Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn.
2. M là tổng của các môđun con đơn.
3. M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn.
4. Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M .


6

• Tổng tất cả các môđun con đơn của R- môđun phải M được gọi là
đế phải của môđun MR . Ký hiệu Soc(MR ) hoặc Sr (M ).
1.1.2 Định nghĩa. Cho R- môđun M khác không. Một dãy hữu hạn
n + 1 các môđun con của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 được gọi là
dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) nếu Mi−1 /Mi
là đơn.
Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành khái
niệm về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:
1.1.3 Định lý. Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành
có độ dài hữu hạn thì mọi cặp dãy hợp thành đó đều có cùng độ dài.
1.1.4 Định nghĩa. Một môđun M có sự phân tích thành dãy hợp thành
được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp thành được
gọi là độ dài của M . Ký hiệu lg(M ) hoặc length(M ).
Trong lý thuyết vành, một trong những lớp iđêan đặc biệt đó là linh
hóa tử. Nhiều tính chất của các lớp vành cũng như các đặc trưng của
chúng đã được nghiên cứu thông qua lớp iđêan này.
1.1.5 Định nghĩa. Cho vành R và A ⊂ R là tập con khác rỗng. Linh

hóa tử (annihilator) phải (trái) của tập A trong R là tập hợp r(A) :=
{b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tư., l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}).
Một cách tự nhiên chúng ta có linh hóa tử của phần tử a là trường hợp
đặc biệt khi tập A = {a} và linh hóa tử của tập A là tập hợp thỏa mãn
tính chất linh hóa tử cả hai phía trái và phải.
Đối với linh hóa tử ta có một số tính chất cơ bản sau:
1.1.6 Bổ đề. Cho A là một tập con khác rỗng của vành R. Khi đó ta
có:
1. Linh hóa tử trái l(A) là iđêan trái của R. Tương tự đối với linh hóa
tử phải r(A).


7

2. Nếu A là tập con của Z(R) (tâm của vành R) thì l(A) = r(A) là
một iđêan của vành R.
3. Nếu A là một iđêan trái (phải) của vành R thì l(A) (r(A) là một
iđêan của vành R).
Vào cuối những năm của thập kỷ hai mươi, E. Noether và E. Artin
đã giới thiệu các khái niệm ACC và DCC. Từ đây, Artin đã chứng minh
được định lý mô tả cấu trúc của lớp vành nửa đơn và được gọi là định
lý Wedderburn - Artin, đánh dấu cho việc phát triển của lý thuyết vành
một cách có hệ thống.
1.1.7 Định nghĩa.
• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending Chain
Condition) nếu với mọi dãy tăng các môđun con M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆
Mn ⊆ ...., tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2, ....
• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện DCC (Descending Chain
Codition) nếu với mọi dãy giảm các môđun con M1 ⊇ M2 ⊇ ... ⊇
Mn ⊇ ...., tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2, ....

1.1.8 Định nghĩa.
• Môđun M được gọi là môđun Artin (Noether) nếu M thõa mãn điều
kiện DCC (ACC).
• Vành R được gọi là vành Artin (Noether) phải nếu RR là môđun
Artin (Noether). Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vành
Artin (Noether) trái.
Môđun nội xạ là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọng
trong nghiên cứu lý thuyết vành. Theo thời gian và nhu cầu của việc
nghiên cứu chuyên sâu, khái niệm này đến nay đã được mở rộng theo
nhiều hướng khác nhau như: nội xạ chính, min nội xạ, nội xạ trực tiếp,


8

giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ,... Trong phần này chúng tôi tập trung
giới thiệu về lớp môđun nội xạ, các tính chất cơ bản và một số hướng
mở rộng của lớp môđun này. Trước khi đi vào khái niệm môđun nội xạ
chúng ta có khái niệm môđun con cốt yếu và một số tính chất của nó.
1.1.9 Định nghĩa. Môđun con A của R- môđun M được gọi là môđun
con cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) nếu và chỉ nếu với mọi
môđun con U ⊂ M , A ∩ U = 0 ⇒ U = 0 (t.ư A + U = M ⇒ U = M ).
Nếu A ⊂∗ M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của A.
Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu và môđun con bé ta có một
số tính chất sau:
1.1.10 Nhận xét.
1. A ⊂◦ M ⇔ ∀U ⊂ M ta có A + U ⊂ M .
2. A ⊂∗ M ⇔ ∀0 = U ⊂ M ta có A ∩ U = 0.
3. A ⊂◦ M = 0 ⇒ A = M .
4. A ⊂∗ M = 0 ⇒ A = 0.
5. 0 ⊂◦ M và M ⊂∗ M với mọi R môđun M .

Nếu K là một môđun con của môđun M , sử dụng bổ đề Zorn, tồn
tại môđun con tối đại C của M thỏa mãn C ∩ K = 0. Khi đó C được
gọi là môđun con bù (complement) của K trong M . Do đó, K ⊂∗ M
nếu và chỉ nếu 0 là bù của K.
Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của nó môđun con bù.
1.1.11 Mệnh đề. Cho C là một môđun con của môđun M. Các điều
kiện sau tương đương:
1. C đóng trong M;
2. Nếu C ⊂∗ N ⊆ M thì C = N ;


9

3. Nếu C ⊆ N ⊂∗ M thì N/C ⊂∗ M/C;
4. Nếu D là môđun con bù bất kỳ của C trong M thì C là môđun con
bù của D trong M.
Bổ đề sau còn được biết đến với tên gọi là bổ đề cốt yếu (Essential
Lemma).
1.1.12 Bổ đề. Giả sử K là một môđun con của môđun M . Nếu C là
một môđun con bù bất kỳ của K trong M thì:
1. K ⊕ C ⊂∗ M .
2. (K ⊕ C)/C ⊂∗ M/C.
1.1.13 Định nghĩa. R-môđun N được gọi là M -nội xạ nếu với mọi
môđun con X của M , mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng
được thành một đồng cấu ψ : M → N . Môđun N được gọi là tựa nội
xạ nếu N là N - nội xạ. Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N là
A-nội xạ với mọi A trong Mod-R.
Như vậy chúng ta có, môđun N là nội xạ nếu và chỉ nếu N là RR
-nội xạ. Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các
điều kiện tương đương sau:

1. Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu
f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từ
A → N;
2. (Tiêu chuẩn Baer ) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I của R tới N
đều có thể mở rộng được thành đồng cấu từ R tới N ;
3. Với mọi R-môđun M , mọi đơn cấu f : N → M đều chẻ ra. Nghĩa
là, Im f là hạng tử trực tiếp của M ;
4. R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự.


10

1.1.14 Định nghĩa. Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau
nếu M là N -nội xạ và ngược lại.
Về tính chất nội xạ lẫn nhau ta có một số kết quả sau.
1.1.15 Bổ đề. Cho G = ⊕i∈I Gi và M là một R-môđun phải. Khi đó G
là M- nội xạ nếu và chỉ nếu Gi là M-nội xạ với mọi i ∈ I.
1.1.16 Bổ đề. Nếu G là M- nội xạ và N ⊆ M thì G là N- nội xạ và
(M/N )- nội xạ.
Kết quả sau còn được biết đến với tên gọi bổ đề Azumaya (Azumaya’s
Lemma).
1.1.17 Bổ đề. Nếu G và M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn là các R-môđun phải
thì G là M- nội xạ nếu và chỉ nếu G là Mi - nội xạ với mỗi i = 1, 2, ..., n.
1.1.18 Bổ đề. Môđun G là M- nội xạ nếu và chỉ nếu λ(M ) ⊆ G với
mọi đồng cấu λ : E(M ) → E(G).
1.1.19 Định nghĩa. Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội
xạ E thì E được gọi là bao nội xạ hay R-bao nội xạ của môđun N . Kí
hiệu E(N ).
Chúng ta có một số tính chất của môđun nội xạ.
1.1.20 Mệnh đề. Tích trực tiếp và các hạng tử trực tiếp của môđun

nội xạ là môđun nội xạ.
Giữa các tính chất khác của bao nội xạ ta có bổ đề sau.
1.1.21 Mệnh đề. Trong phạm trù các R- môđun phải (trái) trên vành
R ta có:
1. M là nội xạ nếu và chỉ nếu M = E(M ).
2. Nếu M ⊂∗ N thì E(M ) = E(N ).


11

3. Nếu M ⊂◦ Q, với Q nội xạ, thì Q = E(M ) + E .
4. Nếu ⊕A E(Mα ) là nội xạ, với A là tập hữu hạn các chỉ số, thì
E(⊕A Mα ) = ⊕A E(Mα ).
Như chúng ta đã có trong Mệnh đề 1.1.20, hạng tử trực tiếp của một
môđun nội xạ là môđun nội xạ. Vấn đề đặt ra là, liệu tổng trực tiếp của
các môđun nội xạ có là môđun nội xạ hay không. Điều này chỉ đúng
trong một số trường hợp cụ thể. Chẳng hạn chúng ta có câu trả lời trong
mệnh đề sau.
1.1.22 Mệnh đề. Trên vành R, các điều kiện sau là tương đương:
1. Mọi tổng trực tiếp của các R- môđun nội xạ phải (trái) là môđun
nội xạ phải (trái).
2. Nếu (Mα )α∈A là một họ các R- môđun phải (trái) thì E(⊕A Mα ) =
⊕A E(Mα ).
3. R là vành Noether phải (trái).
Chúng ta kết thúc phần này bằng bổ đề Zorn.
1.1.23 Bổ đề. (Zorn’s Lemma) Cho A là một tập sắp thứ tự. Nếu mọi
tập con sắp thứ tự hoàn toàn của A đều có cận trên trong A thì A có
một phần tử tối đại.

1.2

Môđun tựa liên tục và một số tính chất

Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạn
như: mở rộng thông qua các điều kiện C1 , C2 , C3 ... chúng ta có các khái
niệm CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục.
Cho MR là R- môđun phải. Ta định nghĩa các điều kiện sau:


12

1.2.1 Định nghĩa.

• (C1 ) : Mọi môđun con của MR là cốt yếu trong

một hạng tử trực tiếp của MR . Hay nói cách khác, mọi môđun con
đóng trong MR là hạng tử trực tiếp của MR .
• (C2 ) : Nếu A và B là các môđun con của MR đẳng cấu với nhau và
A là hạng tử trực tiếp của MR thì B cũng là hạng tử trực tiếp của
MR .
• (C3 ) : Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của MR và A ∩ B = 0
thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của MR .
• (1 − C1 ) : Nếu U là một môđun con đóng, đều của MR thì U là
một hạng tử trực tiếp của MR .
Điều kiện (1 − C1 ) là mở rộng của điều kiện C1 và từ điều kiện C2
suy ra điều kiện C3 .
1.2.2 Định nghĩa. Môđun MR được gọi là CS-môđun (extending module) nếu MR thỏa mãn điều kiện (C1 ). Môđun MR được gọi là liên tục
(continuous) nếu MR thỏa mãn các điều kiện (C1 ) và (C2 ). Môđun MR
được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa mãn các điều
kiện (C1 ) và (C3 ). Môđun MR được gọi là (1 − C1 )- môđun (uniform

extending) nếu MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ).
Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:
Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) .
Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđun
trên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng.
1.2.3 Định nghĩa. Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục) vành
phải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trên chính
nó. Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái
và vành tựa liên tục trái.


13

Tiếp theo chúng ta có một số tính chất.
1.2.4 Mệnh đề. R- môđun phải (trái) có tính chất (C1 ) nếu và chỉ nếu
mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp.
Môđun M được gọi là môđun đều (uniform) nếu giao của hai môđun
con khác không bất kỳ của M là một môđun con khác không. Một trong
những mối liên hệ giữa lớp môđun tựa liên tục và lớp môđun này được
thể hiện trong bổ đề sau.
1.2.5 Mệnh đề. Môđun M không phân tích được và có tính chất (C1 )
nếu và chỉ nếu M đều. Mọi môđun đều M là môđun tựa liên tục.
Chúng ta có mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là một môđun
nội xạ. Mệnh đề sau là kết quả tương tự trên lớp môđun thỏa mãn các
điều kiện (Ci )3i=1 .
1.2.6 Mệnh đề. Các điều kiện (Ci )3i=1 có tính chất di truyền đối với
các hạng tử trực tiếp. Đặc biệt, mọi hạng tử trực tiếp của một môđun
liên tục (tựa liên tục) là một môđun liên tục (t.ư., tựa liên tục).

14

CHƯƠNG 2
TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC
VÀ EC - TỰA LIÊN TỤC

2.1

Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục

Như đã giới thiệu trong 1.2, mọi hạng tử trực tiếp của môđun tựa
liên tục là môđun tựa liên tục (Mệnh đề 1.2.6). Tuy nhiên, tổng trực
tiếp của các môđun tựa liên tục không hẳn là môđun tựa liên tục.
F F
2.1.1 Ví dụ. Xét vành R = 0 F trong đó F là một trường. Đặt
0 0
F F
A = 0 0 và B = 0 F . Rõ ràng A và B là các R - môđun tựa
liên tục, vì A là môđun nội xạ, B là môđun đơn và ta có R = A ⊕ B.
Tuy nhiên RR chỉ thỏa mãn điều kiện (C1 ) nhưng không thỏa mãn điều
kiện (C3 ) và do đó nó không là môđun tựa liên tục.
Mục đích chính của phần này là đưa ra một số điều kiện cần thiết
để tổng trực tiếp của các môđun là tựa liên tục. Trước hết chúng ta có
một đặc trưng của môđun tựa liên tục.
2.1.2 Định lý. Cho M là một R - môđun phải. Các điều kiện sau tương
đương:
1. M là môđun tựa liên tục;
2. Nếu C và D là các môđun con bù lẫn nhau trong M thì M = C ⊕D;
3. τ (M ) ⊆ M với mọi τ 2 = τ ∈ End[E(M )];
4. Nếu E(M ) = ⊕i∈I Ei thì M = ⊕i∈I (M ∩ Ei ).

15

Chứng minh. Để thuận tiện trong trình bày chứng minh, chúng ta ký
hiệu E thay cho bao nội xạ E(M ) của M . Chúng ta sẽ chứng minh theo
lược đồ sau: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).
• (1) ⇒ (2). Giả sử C và D là các môđun con thỏa mãn điều kiện
(2). Sử dụng Mệnh đề 1.1.11, C và D là các môđun con đóng trong
M . Mặt khác, M là môđun tựa liên tục nên M có tính chất (C1 ),
do đó C (t.ư D) cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của
M . Theo tính chất (2), Mệnh đề 1.1.11, cả C và D đều là hạng tử
trực tiếp của M . Theo giả thiết, C và D là các môđun con bù lẫn
nhau nên C ∩ D = 0. Kết hợp điều kiện M có tính chất (C3 ) (do
M tựa liên tục) ta có M = C ⊕ D.
• (2) ⇒ (3). Giả sử τ 2 = τ : E → E. Đặt K = M ∩ τ (E) và
N = M ∩ (1 − τ )(E). Suy ra K ∩ N = 0, do đó ta có K ⊆ C là
môđun con bù của N trong M . Do C là đóng trong M , theo Mệnh
đề 1.1.11, C là môđun con bù của D trong M . Theo tính chất (2),
M = C ⊕ D. Đặt π : M → C là một phép chiếu với Ker(π) = D.
Do M ⊂∗ E nên M ∩ (τ − π)(M ) = 0. Nhưng nếu m = (τ − π)(x),
trong đó m, x ∈ M , thì τ (x) = m + π(x) ∈ M ∩ τ (E) = K ⊆ C.
Suy ra (1 − τ )(x) ∈ M ∩ (1 − τ )(E) = N ⊆ D và do đó từ x =
τ (x)+(1−τ )(x), kết hợp định nghĩa của π chúng ta có π(x) = τ (x).
Điều này chứng tỏ m = 0 và ta có điều kiện (3).
• (3) ⇒ (4). Hiển nhiên chúng ta có M ⊇ ⊕i∈I (M ∩ Ei ) (∗).
Giả sử m ∈ M ; m ∈ E1 + E2 + ... + En và τ1 , τ2 , ..., τn là họ
các lũy đẳng trực giao trong End(E) thỏa mãn τ (E) = Ei với mỗi
i ∈ I. Khi đó, theo điều kiện (3), τi (M ) ⊆ M với mỗi i ∈ I và
do đó m = Σni=1 τi (m) ∈ ⊕ni=1 (M ∩ Ei ). Điều này chứng tỏ rằng

M ⊆ ⊕i∈I (M ∩ Ei ) (∗∗). Từ (∗) và (∗∗) ta có M = ⊕i∈I (M ∩ Ei ).
• (4) ⇒ (1). Nếu K ⊆ M thì E = E(K) ⊕ G. Khi đó, theo (4),


16

M = (M ∩ E(K)) ⊕ (M ∩ G) và K ⊂∗ (M ∩ E(K)). Vậy M thỏa
mãn điều kiện C1 .
Để chứng minh M thỏa mãn điều kiện C3 ta giả sử K1 , K2 là
các hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn K1 ∩ K2 = 0. Ta phải
chứng minh (K1 ⊕ K2 ) cũng là hạng tử trực tiếp của M . Thật vậy,
với môi i, chọn bao nội xạ Ei = E(Ki ) sao cho Ki ⊆ Ei ⊆ E.
Khi đó, vì Ki ⊂∗ Ei với mỗi i nên E1 ∩ E2 = 0. Từ E1 ⊕ E2 nội
xạ nên ta đặt E = E1 ⊕ E2 ⊕ H, với H nào đó. Theo (4), ta có
M = (M ∩ E1 ) ⊕ (M ∩ E2 ) ⊕ (M ∩ H). Ta chỉ cần chứng tỏ rằng
Ki = M ∩ Ei với mỗi i. Thật vậy, do Ki ⊂∗ Ei nên Ki ⊂∗ (M ∩ Ei )
và do Ki ⊂⊕ M nên Ki ⊂⊕ (M ∩ Ei ). Vậy Ki = M ∩ Ei . Suy ra
K1 ⊕ K2 là hạng tử trực tiếp của M .

Chúng ta có hệ quả sau, một trong những điều kiện để tổng trực tiếp
các môđun là tựa liên tục.
2.1.3 Hệ quả. Nếu M = K ⊕ N là môđun tựa liên tục thì K là N - nội
xạ.
Chứng minh. Nếu X ⊆ N và α : X → K là một đồng cấu, ta phải
tìm cách mở rộng α từ N vào K. Đặt Y = {x − α(x)|x ∈ X}. Khi đó
Y ∩ K = 0, do đó gọi C ⊇ Y là phần bù của K trong M . Từ K đóng
trong M nên theo Mệnh đề 1.1.11, K là phần bù của C trong M . Theo
Định lý 2.1.2, M = K ⊕ C. Đặt π : M → K là một phép chiếu với
Ker(π) = C. Khi đó Y ⊆ Ker(π) và do đó π(x) = π[α(x)] = α(x) với
mọi x ∈ X. Như vậy π|N chính là sự mở rộng của α.

Mở rộng kết quả trên cho trường hợp M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn ta có
định lý sau.
2.1.4 Định lý. Cho R-môđun M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn , các điều kiện
sau tương đương:


17

1. M là môđun tựa liên tục.
2. Mỗi Mi là một môđun tựa liên tục và Mi là Mj - nội xạ với mọi
i = j.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Từ (1) kết hợp Mệnh đề 1.2.6, Mi là môđun
tựa liên tục. Nếu i = j thì Mi ⊕ Mj là tựa liên tục theo Mệnh đề 1.2.6
và do đó Mi là Mj nội xạ (theo Hệ quả 2.1.3).
(2) ⇒ (1). Nếu N = M2 ⊕ ... ⊕ Mn thì theo Bổ đề 1.1.15, N là M1 nội xạ. Mặt khác, theo Bổ đề 1.1.17, M1 là N - nội xạ. Do đó không
mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng n = 2. Trong trường
hợp này, chúng ta ký hiệu E = E(M ) và chọn Ei = E(Mi ) ⊆ E với
mỗi i ∈ I. Khi đó: E = E(M ) = E(M1 ⊕ M2 ) = E(M1 ) ⊕ E(M2 ). Đặt
τ 2 = τ ∈ End(E). Chúng ta sẽ chứng minhM tựa liên tục thông qua
Định lý 2.1.2, nghĩa là chúng ta phải chỉ ra rằng τ (M ) ⊆ M . Chúng
τ τ
ta có thể biểu diễn τ dưới dạng các ma trận τ = τ11 τ12 , trong đó
21
22
τij : Ej → Ei . Suy ra τ M1 = τ11 M1 + τ21 M1 và τ M2 = τ12 M2 + τ22 M2 .
Từ M2 là M1 - nội xạ, kết hợp Bổ đề 1.1.18, ta có τ21 M1 ⊆ M2 . Tương
tự, τ12 M2 ⊆ M1 . Suy ra τ11 M1 ⊆ M1 và τ22 M2 ⊆ M2 .
2
+ τ12 τ21 . Để thuận tiện trong trình bày
Từ τ 2 = τ ta có τ11 = τ11

chúng ta ký hiệu α = τ11 và β = 1 − τ11 . Khi đó αβ = βα = α − α2 =
β − β 2 = τ12 τ21 ∈ End(E1 ). Ký hiệu K = Ker(αβ).
• Trước hết chúng ta sẽ chứng minh K = αK ⊕ βK.
Thật vậy, nếu x ∈ αK ∩ βK thì αx ∈ αβK = 0, do đó x = x − αx
= βx ∈ βαK = 0. Suy ra αK ∩ βK = 0. Ta có αK ⊆ Ker(β) ⊆
Ker(αβ) = K. Tương tự ta có βK ⊆ K. Vậy αK ⊕ βK ⊆ K. Mặt khác
α + β = 1 nên ta có αK ⊕ βK = K.
Từ E1 nội xạ ta chọn bao nội xạ E(αK) ⊆ E1 và E(βK) ⊆ E1 . Theo
chứng minh trên K = αK ⊕βK ⊆ E(αK)⊕E(βK) và E(αK)⊕E(βK)
là một hạng tử trực tiếp của E1 . Do đó tồn tại các lũy đẳng trực giao µ và


18

ν trong End(E1 ) sao cho αK ⊆ µE1 và βK ⊆ νE1 . Suy ra µ(αK) = αK,
ν(βK) = βK và µ(βK) = 0 = ν(αK).
• Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh α|βµE1 là một đơn ánh.
Trước hết ta có µK = µ(αK) ⊕ (βK) = αK do đó K ∩ µE1 ⊆ µK =
αK ⊆ K ∩ µE1 . Suy ra K ∩ µE1 = αK ⊆ Ker(β). Bây giờ chúng ta giả
sử rằng x ∈ Ker(α) ∩ βµE1 thì x = βµe1 với e1 nào đó trong E1 . Khi
đó αβ(µe1 ) = 0, do đó µe1 ∈ Ker(αβ) = K. Suy ra µe1 ∈ K ∩ µE1 ⊆
Ker(β) và do đó 0 = βµe1 = x. Suy ra α|βµE1 là một đơn ánh. .
Xét đồng cấu bao hàm i : βµE1 → E1 . Do E1 nội xạ nên tồn tại
λ ∈ End(E1 ) sao cho βµ = λαβµ trong E1 . Hiển nhiên µ(M1 ) ⊆ M1 ,
theo Định lý 2.1.2 ta có M1 tựa liên tục và µ2 = µ ∈ End(E1 ). Mặt
khác, Mi là Mj - nội xạ với mọi i = j nên τij (Mj ) ⊆ Mi với mọi i = j. Do
đó ta có βµM1 = λαβµM1 ⊆ λαβM1 = λτ12 τ21 M1 ⊆ (λτ12 )M1 ⊆ M1 .
Hoàn toàn tương tự ta có ανM1 ⊆ M1 và do đó αM1 = α(µ + ν)M1 ⊆
αµM1 + ανM1 = (1 − β)µM1 + ανM2 ⊆ M1 . Kết hợp điều kiện α = τ11

ta có điều phải chứng minh.

2.2

Môđun ec- liên tục và ec - tựa liên tục

Ở trong Định nghĩa 1.2.1 chúng ta có các điều kiện (C1 ), (C2 ), (C3 )
và (1 − C1 ). Một cách mở rộng khác của điều kiện (C1 ) đã giới thiệu
trong [9] và được gọi là điều kiện (C1 ):
2.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R- môđun phải (trái).
• Môđun M được gọi là môđun xiclic cốt yếu (essentially cyclic) nếu
nó có chứa một môđun con xiclic cốt yếu trong nó.
• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (C1 ) nếu mọi môđun con
xiclic cốt yếu của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của
M.


19

• Môđun M được gọi là: ec- CS nếu nó thỏa mãn điều kiện C1 ; ecliên tục (ec- continuous) nếu nó thỏa mãn điều kiện (C1 ) và (C2 );
ec- tựa liên tục (ec- quasi continuous) nếu nó thỏa mãn điều kiện
(C1 ) và (C3 ).
Tương tự đối với lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C1 ) trong Mệnh đề
1.2.4 chúng ta có bổ đề sau:
2.2.2 Bổ đề. R- môđun phải (trái) M có tính chất (C1 ) nếu và chỉ nếu
mọi môđun con xiclic cốt yếu, đóng của M là hạng tử trực tiếp của M .
Chứng minh.

• Điều kiện cần là hiển nhiên vì: nếu M có tính chất

(C1 ) thì mọi môđun con xiclic cốt yếu đều là hạng tử trực tiếp. Do
đó mọi môđun con xiclic cốt yếu và đóng cũng là hạng tử trực tiếp
của M .
• Để chứng minh điều kiện đủ ta giả sử N là một môđun con xiclic
cốt yếu của M , nghĩa là N ⊆ M có chứa một môđun con xiclic
N ⊂∗ N . Theo bổ đề Zorn, môđun N có một mở rộng cốt yếu tối
đại L trong M . Hiển nhiên L là một môđun con đóng của M (vì nó
không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M ) và L là một môđun
xiclic cốt yếu (vì L chứa môđun con xiclic N ). Theo giả thiết ta
có L là hạng tử trực tiếp của M . Vậy M có tính chất (C1 ).

Tính chất tương tự đối với lớp môđun tựa liên tục trong Mệnh đề
1.2.6 ta có kết quả sau:
2.2.3 Bổ đề. Cho M là một R - môđun phải ec-liên tục. Khi đó:
1. Mọi hạng tử trực tiếp của M cũng là ec- liên tục.
2. Nếu M không phân tích được thì End(M ) là vành địa phương.
Chứng minh.

1. Từ kết quả của Bổ đề 2.2.2 và luật modular ta có

điều phải chứng minh.


20

2. Do M là môđun không phân tích được và ec- liên tục nên M là
môđun liên tục và do đó End(M ) là vành địa phương.

Tiếp theo chúng ta có một số kết quả trên lớp các môđun ec- tựa liên
tục.

2.2.4 Mệnh đề. Cho R là vành thỏa mãn điều kiện ACC cho các iđêan
phải có dạng r(m), m ∈ M , trong đó M là một R - môđun phải ec- tựa
liên tục. Khi đó M là tổng trực tiếp của các môđun đều.
Chứng minh. Trước hết chúng ta sẽ chứng minh M có chứa một hạng
tử trực tiếp tối đại địa phương N = ⊕α∈I Nα , với Nα là các môđun đều
với mỗi α ∈ I. Thật vậy, với 0 = m là một phần tử của M sao cho r(m)
tối đại trong tập hợp {r(m)|0 = m ∈ M }. Khi đó tồn tại một hạng tử
trực tiếp K của M sao cho mR ⊂∗ K. Giả sử K không phải là môđun
không phân tích được, khi đó tồn tại các môđun con K1 , K2 của K sao
cho K = K1 ⊕ K2 . Từ m ∈ M = K1 ⊕ K2 ta có m = m1 + m2 , trong đó
m 1 ∈ K1 ; m 2 ∈ K2 .
Nếu m1 = 0 thì m = m2 ∈ K2 , và mR ∩ K1 = 0. Suy ra K1 = 0,
mâu thuẩn với giả thiết trên, do đó m1 = 0. Hiển nhiên chúng ta có
r(m) ⊆ r(m1 ). Mặt khác, theo cách chọn m ta có r(m) tối đại trong tất
cả các {r(m)|0 = m ∈ M } nên r(m1 ) ⊇ r(m). Vậy r(m) = r(m1 ).
Chứng minh tương tự cho m2 ta có 0 = m2 và r(m) = r(m2 ). Suy ra
r(m1 ) = r(m2 ).
Do m1 = 0 nên tồn tại r1 , r2 ∈ R sao cho 0 = m1 r1 = mr2 =
(m1 +m2 )r2 = m1 r2 +m2 r2 . Suy ra m2 r2 = 0, và do đó r2 ∈ r(m2 )\r(m),
mâu thuẩn. Vậy K là môđun không phân tích được. Mặt khác, K là ecCS nên ta có K đều. Sử dụng Bổ đề 1.1.23, M có chứa một hạng tử
trực tiếp tối đại địa phương N = ⊕α∈I Nα , trong đó Nα là các môđun
con đều của M với mỗi α ∈ I.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh N ⊂∗ M . Giả sử rằng tồn tại


21

0 = m ∈ M sao cho mR ∩ N = 0. Đặt 0 = y ∈ M sao cho r(y) tối
đại trong tập hợp có dạng {r(m)|0 = m ∈ M và mR ∩ N = 0}. Chúng
ta lưu ý rằng yR ⊂∗ N với N nào đó là một hạng tử trực tiếp của

M . Theo lập luận trên, N là một môđun đều. Sử dụng điều kiện C3 ,
N ⊕ N là một hạng tử trực tiếp địa phương, mâu thuẩn với cách chọn
N . Do đó N ⊂∗ M , kết hợp ([3], Theorem 8) ta có M = N . Vậy M là
một tổng trực tiếp các môđun đều.


22

KẾT LUẬN

Trên cơ sở các tài liệu tham khảo chính [5] và [8]. Luận văn đã đề
cập đến các vấn đề sau:
1. Tìm hiểu một số điều kiện để tổng trực tiếp các môđun là tựa liên
tục (Hệ quả 2.1.3, Định lý 2.1.4).
2. Nghiên cứu điều kiện (C1 ) và các khái niệm ec- CS, ec- liên tục và
ec- tựa liên tục. Làm sáng tỏ một số tính chất của lớp các môđun
thỏa mãn điều kiện (C1 ) (Bổ đề 2.2.2, Bổ đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4).


23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết
môđun và vành , NXB Giáo dục.
B Tiếng Anh
[2] F.W. Anderson and K.R Furler (1974), Rings and Categories of
Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin.
[3] Nguyen Viet Dung, Dinh Van Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer

(1994), Extending Modules, Pitman, London.
[4] P. Ara and J. K. Park (1991), On continuous semiprimary rings,
Comm. Algebra, 19, 1945-1957.
[5] S.H. Mohamed and B.J. Muller (1990), Continuous and Discrete
Modules, London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 147, Cambridge University Press.
[6] W.K. Nicholson and M.F. Yousif (2003), Quasi- Frobenius Rings,
Cambridge Univ Press, Vol. 158.
[7] M. Okado (1984), On the decomposition of extending modules,
Math. Japonica, 29, 939-941.
[8] Somyot Plubtieng (2003), A Generalization of Continuous Modules and Their Application to QF-rings, Kyungpook Math J. 43,
11-18


24

[9] L. V. Thuyet and R. Wisbauer (1997), Extending property for
finitely generated submodules, Vietnam J. Math, 25, 65-73.
[10] T. Y. Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings,
Springer Verlag.