Tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan đối với các t nửa nhóm luận văn thạc sĩ toán học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THANH TÚ

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP
IĐÊAN
ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH – 2011


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THANH TÚ

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP
IĐÊAN
ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
MÃ SỐ: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN

VINH – 2011


3

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU

2

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

4

1.1. Iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm

4

1.2. Nửa nhóm xyclic

13

Chương 2. TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN
ĐỐI VỚI CÁC t-NỬA NHÓM

18

2.1. Tính chất mở rộng iđêan và mở rộng tương đẳng đối với
các t – nửa nhóm.

18

2.2. Tính chất mở rộng và thu hẹp Iđêan đối với các t – nửa
nhóm

29

2.3. Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm tách được

33

Kết luận

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

38

MỞ ĐẦU
Hai khái niệm sau đây đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu
vào cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21.
Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan nếu đối với
mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T có một iđêan J của S sao
cho J ∩ T = I .

4

Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất thu hẹp iđêan nếu S không
phải là nửa nhóm đơn và với mọi iđêan I của S, tồn tại một thu hẹp đồng
cấu ϕ : S → I .
Luận văn của tôi dựa trên bài báo chính “On t – semigroups” của
J.A.Dumesnil đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 50 (1995) để tìm hiểu
tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan các iđêan.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của
các iđêan,các quan hệ Grin trên nửa nhóm xyclic.
Chương 2. Tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan đối với các t – nửa
nhóm.
2.1. Tính chất mở rộng iđêan và mở rộng tương đẳng đối với các t –
nửa nhóm.
2.2. Tính chất mở rộng và thu hẹp Iđêan đối với các t – nửa nhóm.
2.3. Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm tách được.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy,người đã
định hướng và thường xuyên giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và
tập dượt nghiên cứu khoa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô ở khoa toán – Trường Đại
Học Vinh, đặc biệt là các thầy cô trong chuyên nghành đại số và lý thuyết
số đã tận tình dạy chúng tôi trong hai năm qua. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
tới khoa Sau Đai Học - Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Sài Gòn

5

đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành chương trình học tập cũng như bản
luận văn này.
Mặc dù đã hết sức cố gắng song luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô bạn be
để luận văn được hoàn thành tốt hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả
Ngô Thị Thanh Tú

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. IĐÊAN VÀ CÁC QUAN HỆ GRIN TRÊN NỬA NHÓM.
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử I là một tập con không rỗng của nửa nhóm S.
Khi đó:
i)

I được gọi là iđêan trái (tương ứng, phải) của nửa nhóm S nếu
(tương ứng, IS

.

ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là idêan trái, vừa là iđêan phải.


6

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra
1.1.2.

Hệ quả. Giả sử I là tập con khác rỗng của nửa nhóm S. Thế

thì
i)

I là iđêan trái (tương ứng, phải) của S nếu với mọi
có

ii)

(tương ứng,

, với mọi

).

Nếu I là iđêan trái của S thì I là một nửa nhóm con của S.

iii) Nếu I và J là các iđêan trái (phải) của S với
cũng là iđêan trái (phải) của S.
1.1.3.
Định nghĩa. Giả sử I là một iđêan của S. Ta định nghĩa một
quan hệ ρ I xác định bởi

ρ I = I × I ∪ is
(nghĩa là x ρ I y nếu và chỉ nếu hoặc x,

hoặc x = y). Khi đó ρ I là một

tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng Rixơ trên S liên kết với I.

Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.3 hợp lý, ta cần chứng minh rằng ρ I là
một tương đẳng, nhưng điều đó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Nửa nhóm thương S ρ I sẽ được ký hiệu là
Rixơ của iđêan I.

S

I

S

I

, và được gọi là thương

có một phần tử là I và các phần tử khác {x}, với

x ∈ S . Để đơn giản ký hiệu, chúng ta đồng nhất phần tử {x} = x ρ I với
I

phần tử

. Tích các phần tử trong

Ix = I = xI với mọi

như sau x.y =xy với x, y

. Do đó I là phần tử không (zero) của

.

I và


7

1.1.4.

Định nghĩa. Một iđêan I của nửa nhóm S được gọi là iđêan

tối tiểu nếu với mọi iđêan J của S,J ⊆ I kéo theo J = I.
1.1.5.
Bổ đề. Giả sử I là iđêan tối tiểu và J là iđêan tùy ý của S. Thế
I ⊆ J.

thì

Chứng minh. Trước hết ,
S, nên

. Hơn nữa

Mặt khác,
của I, suy ra

, và do đó

. Thật vậy, vì I và J là những iđêan của
. Do đó

.

là iđêan của S, nên từ tính tối tiểu

và do đó

Từ bổ đề 1.1.5 trực tiếp suy ra
1.1.6.

Hệ quả. Nếu một nửa nhóm S có iđêan tối tiểu, thì iđêan tối

tiểu của S là duy nhất.
Chú ý rằng một nửa nhóm có thể có hoặc không có iđêan tối tiểu. Xét
nửa nhóm ( , +). Các iđêan của nhóm ( , +) thực chất là các tập con
n+

=

. Hơn nữa

nếu và chỉ nếu m ≥ n.

Do đó, ( , +) không có iđêan tối tiểu. Tuy nhiên, mọi nửa nhóm hữu hạn S
đều có một iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có số phần tử ít nhất (iđêan như
vậy tồn tại vì S là một iđêan của S và S chỉ có hữu hạn phần tử).
1.1.7.

Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn, nếu

nó không có iđêan khác S.
1.1.8. Bổ đề. Nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu S = SxS, với mọi x

S.


8

Chứng minh. Rõ ràng rằng, với mọi x có SxS = S là iđêan của S, và do đó
nếu S đơn thì SxS = S.
Đảo lại, giả thiết rằng với mọi x có SxS = S. Khi đó nếu I là một đêan
của S và x
1.1.9.

nào đó thì S = SxS

I nên I = S. Vậy S đơn.

Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Ta định nghĩa các

quan hệ
L, ,

sau đây trên S
L

trong đó S1a, aS1và S1aS1là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính
của S được sinh ra bởi a. Theo định nghĩa,
aL
Từ định nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệ L,

tương đương trên S. Thực ra,

là các quan hệ

là một tương đẳng phải và

là một tương

đẳng trái trên S.
Với mỗi x

, ta ký hiệu Lx là L - lớp tương đương chứa x:
x

={y

S / xL y}

Tương tự, Rx và Jx là ký hiệu lớp tương đương theo

và

tương ứng

chứa x.
1.1.10.

Ví du (1) Xét nửa nhóm S ={a, b, c} với phép nhân được xác

định ở bảng dưới. Thế thì

S1a = {a, b, c}, S1b = {b,a}, S1c = {c},
a
b
c

a

b

c

a
b
c

b
a
b

c
c
c


9

aS1 ={a, b, c}, bS1 = {a, b, c}, cS1 = {b, c}
các lớp tương đương theo quan hệ L là La = {a}, Lb = {b},

Từ đó a

Lc = {c}, và theo quan hệ

là Ra = {a},{ b} = Rb, Rc = {c}.

(2) Giả sử TX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X. Thế
thì đối với α, β

TX :

α
Do đó
định

kéo theo α(X) = β(X). Mặt khác, nếu α(X) = β(X) thì xác
bởi:

Thế thì ký hiệu trên, có
nên α

, và do đó

.

1.1.11.

Định lý. Các quan hệ L

giao hoán : L o

Chứng minh. Giả sử (x,y)∈L o . Thế thì có một phần tử z

=

oL

.

S sao cho xL

z, z y. Do đó tồn tại các phần tử s, s’, r, r’ S sao cho
x = sz, z = s’x, z = yr, y = zr’
Ký hiệu t = szr’. Thế thì t = szr’ = xr’, x =sz = syr =szr’r =tr nên x t.
Ta lại có: t = szr’ = sy, y = zr’ = s’szr’ = s’t nên Lt.
Suy ra (x, y)

oL

Tương tự, có L o

nên
Lo

oL

⊂Lo .

nên L o

1.1.12. Định nghĩa. Giả sử L và

=

oL.

là các quan hệ tương đương đã được

xác định theo Định nghĩa 1.1.9. Ta xác định các quan hệ trên S bởi:


10

D =Lo

=

oL

và H =

L

Khi đó H là quan hệ tương đương lớn nhất của S được chứa trong L
và

theo lý thuyết tập hợp. Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé

nhất chứa cả L và

.

Thật vậy, vì L và

là quan hệ tương đương nên D = L o

cũng là

quan hệ tương đương. Hơn nữa, xLx và x x với mọi x∈S1 nên L ⊆ D và

⊆ L.
Nếu T là một quan hệ tương đương trên S chứa L,
nên D là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và

thì D ⊆ T,
an hệ L, ,

D, H được xác định như trên đươc gọi là các quan hệ Grin trên nửa
nhóm S
Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Grin được cho bởi hình dưới đây với
chú ý D ⊆ T
T
D
R

L
H

Ký hiệu Dx và Hx là các D – lớp và H – Lớp tương ứng chứa x ∈ S.
Khi đó với mọi x có Lx ∩

x

= Hx

1.1.13. Bổ đề. Đối với mỗi nửa nhóm S, ta có


11

xD y ⇔ Lx ∩ Ry ≠ ∅ ⇔ Ly ∩ Rx ≠ ∅
Ly = U Ry
Hơn nữa, Dy = yU
∈D
y∈D
x

x

Chứng minh. Theo định nghĩa của D, ta có
xDy ⇔ ∃ z ∈ S; xLz và z y ⇔ ∃ z∈S: x s và sLy.
Từ đó suy ra khẳng định thứ nhất của Bổ đề. Khẳng định thứ hai
được suy ra từ L ⊆ D và

⊆ D.

Tình huống này có thể được hình dung bằng bức tranh “hộp trứng”
– lớp và các cột là L – lớp, giao của

dưới đây, ở đây các dòng là các

chúng, nếu không rỗng, là các H – lớp ( y ∩ Rx ≠ ∅ nếu y ∈ Dx). Thực tế
u∈

y

∩ R x thì Ly = Lu và Rx =

. Do đó

u

y

Bây giờ, ta nêu Bổ đề Grin
và các hệ quả của nó
Giả sử S là một nửa nhóm. Với
mỗi s ∈ S chúng ta xác định một
ánh xạ:
R

x

∩

x

= Hu 

{

ρ s : S → S , ρ s ( z ) = sz,∀z ∈ S
1.1.14. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm, xLy
1

1

1

và giả sử s,s’ ∈ S1 sao cho sx = y và s’y = x. Thế thì
i)

R x∩ L y

Ly

ρ s : Rx→ Ry và ρ s, : Ry→ Rx là các song ánh;

ii) ρ s, = ρ s−1 là hàm ngược của ρ s hạn chế trên Rx,
iii) ρ s bảo toàn các H - lớp, nghĩa là đối với mọi u,v ∈

x

:

uHv ⇔ ρ s (u)H ρ s (v).
Chứng minh. Trước hết, phải chứng minh ρ s ánh xạ Rx vào
giả sử z ∈

x

y

. Muốn vậy,

, nghĩa là zS1 = xS1. Thế thì sxS1 = yS1. Do đó ρ s (z) = sz ∈

y

.


12

Lập luận tương tự, ta có ρ s, ánh xạ Ry vào Rx.
Nếu z∈

x

thì z x, và do đó có các phần tử u, u’∈ S1 sao cho
z = xu và x = zu’.

Thế thì s’sz = s’.sx.u = s’yu = xu = z, và do đó s’sz =z,∀z ∈

.

x

(1.1)

Từ đó ρ s ρ s, (z) = ρ s, (sz) = s’sz = z, và bởi vậy ρ s ρ s, là ánh xạ đồng nhất

của Rx.
Tương tự, ρ s ρ s, là ánh xạ của Ry. Từ đó suy ra tính đúng đắn của các
khẳng định i) và ii).
Đối với iii), giả sử z ∈

x

. Theo (1.1), các phần tử z và ρ s (z) = sz ở

trong cùng một L - lớp.
Để chứng minh iii), chúng ta chú ý rằng u H v nếu và chỉ nếu uLv và
u v do đó uHv ⇔ ρ s (u)L ρ s ( v ) và ρ s (u)
do ii) và vì

(v) ⇔ ρ s (u)H ρ s (v) ρ s (v)

là một tương đẳng trái (và ρ s (u) = su, ρ s (v) = sv). Mặt khác,

nếu ρ s (u)H ρ s (v), nghĩa là suH sv thì uHv, vì do (1.1), u = s’su và
v = s’sv (và do

là một tương đẳng trái và ρ s giữ nguyên các L - lớp).

Nói riêng, ρ s ánh xạ mỗi H - lớp H2 (với z ∈

x

) song ánh vào

H –lớp H ρ s ( x ) 

.
Dạng đối ngẫu của Bổ đề 1.1.14 được chứng minh tương tự. Ở đây
λ r : S 1 → S 1 được xác định bởi:

λr ( z ) = zr , ∀z ∈ S

1.1.15. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm, y z và giả sử r,r’ ∈ S1 sao cho
yr = z và zr’ = y. Thế thì


13

i) λr : Ly→ Lz và
ii)

=

: Lz→ Ly là các song ánh;

là hàm ngược của λr được hạn chế trên Ly;

iii) λr : bảo toàn các

lớp, nghĩa là w λr(w) với mọi w ∈ Ly.

1.1.16.Hệ quả .
i) Giả sử e ∈ Es là một lũy đẳng. Nếu xLe thì xe = x. Nếu x e thì ex = x;
ii) Mỗi H – lớp chứa không quá một lũy đẳng.
Chứng minh. i) Nếu xLe thì x ∈ Ls nghĩa là x = se với s ∈ S1 nào đó. Thế
thì x = se = se2 = se.e = xe. Chứng minh khẳng định còn lại tương tự.

ii) Giả sử e, f ∈ ES và eHf. Khi đó L và

nên

e (vì

đối

xứng). Do đó i) có ef = e và ef = f .
1.1.17. Hệ quả. Các H – lớp nằm trong một D – lớp có cùng lực lượng,
nghĩa là tồn tại một song ánh giữa Hx và Hy nếu xDy.
Chứng minh. Thật vậy, nếu x, z ∈ S nằm trong cùng một lớp D – sao cho
xLy, y z Với sx = y, s’y = x, yr = z, zr’ = y thì theo các bổ đề trên,

ρ s : Hx → Hy và

λr :

Hy → Hz là các song ánh, do đó λr o ρ s :HS → HZ là

một song ánh.
Kết quả sau đây là định lý định vị của Miller và Clifford (1956).
1.1.18. Định lý. Giả sử x, y ∈ S, thế thì xy ∈

x

∩ Ly ⇔ R y ∩ Lx chứa một

lũy đẳng duy nhất.
Chứng minh. Trước hết ta giả sử rằng xy ∈

x

∩ Ly. Vì yLxy, chúng ta có

thể chọn s = x trong Bổ đề 1.1.15, và như vậy px: Ry → Rxy là song ánh. Vì


14

xy x nên Rxy = Rx, do đó px: Ry →

x

các L - lớp và do đó ρx ánh xạ Ry

∩

là một song ánh. Ánh xạ ρx bảo toàn
Lx vào Rx

∩

Lx = Hx. Do đó tồn tại

z ∈ Ry ∩ Lx sao cho ρx(z) = x, nghĩa là zx = x.
Vì zLx nên tồn tại u ∈ S1 sao cho z = ux. Khi đó xux = xz = z và do
đó zz = uxux = ux = z nên z ∈ Es.
Đảo lại, nếu tồn tại lũy đẳng e ∈ Rx ∩ Ly thì theo Hệ quả 1.1.16, có
ey = y và xe = x.

Từ e y chúng ta nhận được xe xy, và do đó x xy. Từ eLx có eyLxy
nên yLxy. Do đó xy ∈

x

∩

L y.

Cuối cùng, nếu Rx ∩ Ly chứa lũy đẳng thì nó là lũy đẳng duy nhất vì
Rx ∩ Ly là một H – lớp. 
Trong Định lý Grin sau đây, G được gọi là một nhóm con nửa nhóm
S nếu G là một nửa nhóm con mà bản thân G là một nhóm.
1.1.19. Bổ đề. Giả sử e, f ∈ ES. Thế thì với mọi x ∈ Re
y∈

f

∩

∩

Lf, tồn tại

Le sao cho xy = e và yx = f.

Chứng minh. Giả sử x ∈ Re

∩

Lf. Từ Hệ quả 1.1.16, có x = ex = xf, do đó

tồn tại u, v ∈ S1 sao cho e = xu và f = vx. Thế thì y = fu là phần tử cần tìm.
Thật vậy, trước hết có:
f = vx = vex = vxux = fux = yx
(1.2)
và e = xu = xfu = xy
(1.3)
Từ đó, y ∈ Rf theo (1.2) và thực tế, y = fu, y ∈ Le theo (1.3) và do
y = fu = vxu = ve . Do đó y ∈ Rf ∩ Le .



1.1.20. Định lý. Giả sử H là một H – lớp của nhóm S. Thế thì các điều
kiện sau đây là tương đương:
i) H chứa một lũy đẳng;
ii) Tồn tại x, y ∈ H sao cho xy ∈ H;
iii) H là một nhóm con của S.


15

Chứng minh.
i) ⇒ ii): là hiển nhiên, vì ta có thể chọn x = e = y với lũy đẳng e ∈ H.
ii)

iii): Do đó H chứa một lũy đẳng e, và theo khẳng định ngược lại

của Định lý 1.1.18 chúng ta biết rằng H là một nửa nhóm con của S. Hơn
nữa, H là vị nhóm con với đơn vị là e theo Hệ quả 1.1.16. Rồi áp dụng Bổ

đề 1.1.19 với e = f. Điều này suy ra H là một nhóm.
i): Vì phần tử đơn vị của một nhóm con H là một lũy đẳng của
S. 
1.2.

NỬA NHÓM XYCLIC
Ta nhắc lại rằng, tập hợp con A khác rỗng của nửa nhóm S được gọi là

một nửa nhóm con của S nếu A khép kín dưới phép lấy tích, nghĩa là với
mọi x, y ∈ A có xy ∈ A.
Bổ đề. Giả sử {Ai / i

∈

I} là một họ tùy ý của nửa nhóm con của S

1.2.1.
sao cho A =

I

i∈I

Ai không rỗng. Khi đó, A là nửa nhóm con của S.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử x, y ∈ A thì x, y ∈ Ai với mọi i ∈ I. Vì Ai là
nửa nhóm con của S với mọi i ∈ I nên xy ∈

Ai hay xy ∈ A. Vậy A là nửa
i∈I

nhóm con của S. 
Giả sử X là một tập hợp con khác rỗng của nửa nhóm S, ta ký hiệu [X]S
là giao của tất các các nửa nhóm con của S chứa X. Theo Bổ đề 1.2.1 [ X]S
là một nửa nhóm con của S và gọi là nửa nhóm con sinh bởi X, và nó là nửa
nhóm con bé nhất của S chứa X. Trong trường hợp S đã được xác định rõ
ràng trong ngữ cảnh đang xét thì ta sẽ viết [X] thay cho [X]S.


16

Nếu X = {x1,x2,…} là một tập hữu hạn hay vô hạn đếm được thì ta sẽ
viết [x1,x2…] thay cho [{x1,x2…}]. Nói riêng, nếu X là một tập đơn tử
X = {x} thì ta sẽ viết [x] thay cho [{x}]S.
Mệnh đề. Giả sử X là một tập con không rỗng của nửa nhóm S.
1.2.2.
Thế thì [X]S =

U {x1x2 …xn / n ≥ 1, xi ∈ X}.
n≥1

∞

Chứng minh. Ký hiệu A =  Xn. Khi đó A là nửa nhóm con của S. Mặt
n =1

khác, X ⊆ [X]S, với mọi n ≥ 1 nên từ [X]S là nửa nhóm con của S chứa X ta
n

có điều phải chứng minh. 

1.2.3.

Mệnh đề. Giả sử α : S → P là một đồng cấu của nhóm và X ⊆ S.

Khi đó α ([X]S) = [ α (X)]P.
Chứng minh. Nếu y ∈ α ([X]S) thì có x ∈ ([X]S) sao cho y = α (x). Khi đó
tồn tại x1, x2,…,xn ∈ X sao cho x = x1x2…xn. Vì α là đồng cấu nên
y = α (x) = α ( x1x2…xn) = α (x1) α (x2)… α (xn) ∈ [ α (X)]P (Vì

α (xi) ∈ α (X) với mọi i = 1, 2..n). Do đó α ([X]S) ⊆ [ α (X)]P. Đảo lại, nếu
y ∈ [ α (X)]P thì tồn tại y1, y2, …,ym∈ α [X] sao cho y= y1y2…ym. Với mỗi
j = 1,2,…, m có xj ∈ X sao cho α (xj) = yj. Khi đó x = x1x2…xm∈ [X]S và
y = α (x1) α (x2)… α (xm) = α (x1x2…xm) = α (x) ∈ α ([X]S) nên [ α (X)]P ⊆

α ([X]s) và do đó α ([X]S) = [ α (X)]P.
Từ Bổ đề 1.2.1, trực tiếp suy ra.
1.2.4. Hệ quả. Nếu A là nửa nhóm con của S và α :S → P là một đồng cấu
nửa nhóm thì α (A) là một nửa nhóm con của P.


17

Bây giờ, ta xét trường hợp đặc biệt X chỉ gồm một phần tử a. Khi đó
[X]s được gọi là nửa nhóm con xyclic sinh bởi a.
Theo Mệnh đề 1.2.2, nửa nhóm con [a] của S gồm các lũy thừa
nguyên dương của a
[a] = {a, a2, a3…}
Hai khả năng xảy ra:
i) Hoặc mỗi lũy thừa a điều khác nhau, khi đó [a] có vô hạn đếm
được phần tử, hơn nữa ánh xạ ϕ :

→ [a] đặt tương ứng mỗi số nguyên

dương n với phần tử an ∈ [a] là một đẳng cấu từ nửa nhóm cộng các số
nguyên dương

*

lên [a] nên [a] ≅

*

. Trong trường hợp này, ta nói rằng

[a] là nửa nhóm xyclic vô hạn.
ii) Hoặc tồn tại số nguyên dương k sao cho [a] = {a,a2,...,ak – 1} gồm
k – 1 phần tử riêng biệt. Khi đó, tồn tại số nguyên dương r sao cho ak = ar
với 1 ≤ r ≤ k – 1. Đặt m = k – r thì k = m + r và từ ak = a r có am + r = ar nên
ar + m + 1 = ar + 1, …, ar + m + n = ar + m = ar.
Do đó an = an + m với mọi n ≥ r. Trong trường hợp này, m được gọi là
chu kỳ và r được gọi là chỉ số của nửa nhóm con [a].
Ta tổng kết các kết quả trên vào mệnh đề sau
1.2.5. Mệnh đề. Gỉả sử a là một phần tử của nửa nhóm S và [a] là nửa
nhóm xyclic sinh bởi a. Nếu [a] là nửa nhóm xyclic vô hạn thì mọi lũy thừa
của a khác nhau. Nếu [a] là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chỉ số r và chu kì
m của thì am + r = ar và [a] ={a,a2,…,ar, ar + 1,…,am + r – 1}.Khi đó số phần tử
[a] bằng m + r – 1 .Tập

Ka =

{ ar, ar + 1,…, am + r – 1}. là nhóm con xyclic cấp

m của nửa nhóm S.
Chứng minh.Ta chỉ cần phải chứng minh Ka là nhóm con xyclic cấp m của
S. Thật vậy, dễ thấy Ka là nửa nhóm con của S. Đặt an ∈ Ka
(r ≤ n ≤ r + m – 1 ) và xét ánh xạ ϕ : an → (m) + n trong đó (m) + n là lớp


18

thặng dư theo mod m. Khi đó

ϕ

là một đẳng cấu từ Ka lên

tất cả các

lớp thặng dư theo mod m. Từ đó Ka là nhóm con xyclic cấp m của S.



1.2.6. Chú ý. Ta thấy, ϕ (an) = (m) khi và chỉ khi n chia hết cho m. Do đó,
đơn vị của Ka là phần tử an thỏa mãn r ≤ n ≤ m + r – 1 sao cho n

≡

0 (mod

)

Nếu [ ] là nửa nhóm xyclic vô hạn thì [ ] đẳng cấu với nhóm cộng
các số nguyên dương

*

. Do đó, cấu trúc của các nửa nhóm xyclic vô hạn

xem như đã được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, kết quả sau đây
khá bất ngờ.
Mệnh đề. Mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm xyclic vô hạn

là một

1.2.7.
nhóm xyclic hữu hạn, và mỗi nhóm xyclic hữu hạn là ảnh đồng cấu của
nửa nhóm xyclic vô hạn .
Chứng minh. Giả sử ϕ :
nửa nhóm G (

→ G là một đồng cấu từ nửa nhóm xyclic

là nửa nhóm cộng các số tự nhiên) và

với mỗi g ∈ G, tồn tại k ∈
nhóm xyclic sinh bởi y.

sao cho

lên

ϕ(1) = y. Khi đó,

ϕ (k ) = g ⇒ g = yk nên G là một


19

Mặt khác, nếu ρ là tương đẳng hạt nhân cảm sinh bởi ϕ (nghĩa là a

ρ

ϕ (a) = ϕ (b)

b nếu và chỉ nếu
+) Hoặc ρ =

thì G

thì

hay

. Do đó:

mâu thuẫn vì G là một nhóm mà

là nửa

nhóm.

ρ

+) Hoặc

≠

thì

hữu hạn nếu G hữu hạn thì G là nhóm

xyclic hữu hạn.
Đảo lại, nếu G là nhóm xyclic cấp m thì
→ Zm, ϕ (k) =

ϕ:

k là một đồng cấu từ

. Hơn nữa, tương ứng
lên

nên

cấu của . Từ đó suy ra G là ảnh đồng của nửa nhóm

là ảnh đồng



Ta quan tâm đến các nhóm xyclic hữu hạn. Đối với hai số nguyên

dương cho trước r và m, có thể xây dựng nửa nhóm xyclic [a] mà chỉ số
bằng r và chu kỳ bằng m. Chẳng hạn, nếu:
X = {0, 1, 2,…, r, r +1, …, r + m – 1} và A là nửa nhóm con của nửa
nhóm

đầy

đủ

các

phép

biến

đổi

TX

sinh

bởi

phần

tử

 0 1 2... r − 1 r... r + m − 2 r + m − 1
 thì A là nửa nhóm xyclic hữu
α = 

 1 2 3... r r + 1... r + m − 1 r


hạn chỉ số r và chu kỳ m. Hiển nhiên, hai nửa nhóm xyclic hữu hạn đẳng
cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số và chu kỳ.


20

CHƯƠNG 2. TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN
ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM.
2.1. TÍNH CHẤT MỞ RỘNG IĐÊAN VÀ MỞ RỘNG TƯƠNG
ĐẲNG ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM.
2.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó S được gọi là một t
– nửa nhóm (t-semigroup) nếu quan hệ “là iđêan của” có tính chất bắc cầu
(transitive) trong tập hợp các iđêan của S.
Cụ thể hơn, S là một t – nửa nhóm nếu điều kiện sau đây được thoả
mãn: Nếu J là một iđêan của S và I là một iđêan của J thì I là iđêan của S.
Ta nhắc lại rằng một nhóm G được gọi là t – nhóm nếu quan hệ “là
nhóm con chuẩn tắc của” có tính bắc cầu trong tập hợp các nhóm con của
G, nghĩa là: Nếu L, M, N là các nhóm con của G sao cho L∆ M , M∆N thì
L∆N . Vì các iđêan của một nửa nhóm theo một nghĩa nào đó tương tự các

nhóm con chuẩn tắc của một nhóm, nên các t – nửa nhóm tương tự các t –
nhóm. Chẳng hạn năm 1977, B.Biró, E.W.Kiss và P.R.Páfy đã chứng minh
được rằng: một nhóm hữu hạn G có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm
nếu và chỉ nếu G là một t – nhóm giải được. Chúng ta tìm hiểu mối liên hệ
giữa các t – nửa nhóm với sự mở rộng hoặc thu hẹp iđêan và tính chất mở
rộng tương đẳng trên nửa nhóm.
Từ Định nghĩa 2.1.1, suy ra

2.1.2. Mệnh đề.
i) Ảnh đồng cấu của một t – nửa nhóm là một t – nửa nhóm;
ii) Tích trực tiếp tuỳ ý của các t – nửa nhóm là một t – nửa nhóm.
Chứng minh.
i) Giả sử ϕ : S →T là một đồng cấu từ t – nửa nhóm S lên nửa nhóm
T. Giả sử J1 là một iđêan của T và I1 là một iđêan của J1. Vì ϕ là toàn cấu
nên J 2 = ϕ − 1 ( J1 ) là iđêan của S và I 2 = ϕ − 1 ( I1 ) là iđêan của J2. Khi đó I2 là


21

iđêan của S vì S là t – nửa nhóm. Vì ϕ là toàn cấu nên
của

T = ϕ( S ) .

Vậy T là t – nửa nhóm.
ii) Giả sử S là tích trực tiếp của các t – nửa nhóm

I1 =ϕ( I 2 )

Sα , α ∈Λ;

của S và I là iđêan của J. Khi đó J là tích trực tiếp của các

là iđêan

J là iđêan

Jα, α∈Λ;

(trong đó J α là iđêan của Sα với mọi α ∈ Λ ) và I là tích trực tiếp của các
Iα , α ∈Λ;

(trong đó Iα là iđêan của Jα với mọi α ). Vì Sα là t – nửa nhóm

nên Iα là iđêan của Sα với mọi α ∈Λ . Từ đó I là iđêan của S nên S là t –
nửa nhóm.
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng một nửa nhóm của một t – nửa nhóm có
thể không phải là một t – nửa nhóm.
2.1.3. Ví du. Giả sử S = {1, 2, 3, 4, 5} là một nửa nhóm với phép nhân
được cho bởi bảng Cayley:
1

2

3

4

5

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

3

1

2

3

1

1

4

1

1

1

4

5

5

1

4

5

1

1

Thế thì S là t – nửa nhóm vì S chỉ có hai iđêan là {1} và S.
Giả sử T = {1, 2, 3, 4}. Thế thì T là một nửa nhóm con của S, nhưng T
không phải là một t – nửa nhóm. Thật vậy, I = {1, 3, 4} là một iđêan của T
và K = {1, 3} là iđêan của T, nhưng K không phải là iđêan của T vì
3.2 = 2 ∉ K .

2.1.4. Ví du. Một nửa nhóm xyclic vô hạn không phải là t – nửa nhóm

22

Thật vậy, xét nửa nhóm cộng các số tự nhiên khác không
*

J = {3, 4, 5,…} là một iđêan của
nhưng I không phải là iđêan của
1∈

*

*

. Khi đó

và I = {3, 6, 7,…} là iđêan của J,

, vì chẳng hạn 3 + 1 = 4 ∉ I với 3 ∈ I và

*.

Vậy

*

không phải là t – nửa nhóm.

2.1.5. Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng
iđêan (ideal extension property – IEP) nếu đối với mỗi nửa nhóm con T của

S và mỗi iđêan I của T có một iđêan J của S sao cho J ∩ T = I .
2.1.6. Định lý. Mỗi nửa nhóm với tính chất mở rộng iđêan là một t – nửa
nhóm.
Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm với tính chất với tính chất mở rộng
iđêan. Giả sử I là một iđêan của S và K là một iđêan của I. Vì S có tính chất
mở rộng iđêan nên tồn tại một iđêan J của S sao cho K = I ∩ J . Vì giao
(khác rỗng) của các iđêan của S lại là một iđêan của S nên K là iđêan của S.
Vậy S là một t – nửa nhóm. 
2.1.7. Chú ý. Tồn tại những t – nửa nhóm không có tính chất mở rộng
iđêan.
Xét lại Ví dụ 2.1.3 ở trên. Ta thấy S là một t – nửa nhóm theo nhận xét
trên, nhưng S không phải là nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan. Thật
vậy, T = {1, 2, 3, 4} là nửa nhóm con của S và I = {1, 2, 3} là một iđêan
của T, nhưng không tồn tại một iđêan J nào của S để J ∩ T = I , vì S chỉ có
hai iđêan là {1} và S.
Định lý 2.1.11 dưới đây chứng tỏ rằng đối với một nửa nhóm xyclic, S
là t – nửa nhóm nếu và chỉ nếu S có tính chất mở rộng iđêan. Hơn nữa, có


23

nhiều ví dụ chứng tỏ rằng khẳng định trên không đúng khi S không phải là
nửa nhóm giao hoán. Khi S giao hoán, sự tương đương giữa hai khái niệm
(t – nửa nhóm và nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan) cần thiết những
điều kiện bổ sung.
2.1.8. Ví du. Giả sử S = {1, 2, 3, 4} là một nửa nhóm với bảng nhân
Cayley:
1

2

3

4

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

3

1

1

3

4

4

1

1

4

3

Khi đó, S là một nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan. Giả sử
T = {1, 2, 3} và I = {1, 3}, thế thì T là một nửa nhóm con của S và I là một
iđêan của T, hơn nữa I không phải là iđêan của S vì 4 = 3.4 ∉ I với 3 ∈ I , 4 ∈ S .
Như vậy, một nửa nhóm S có tính chất mở rộng iđêan không nhất thiết
kéo theo rằng các iđêan của các nửa nhóm con của S là các iđêan của S.
Để dễ theo dõi, ta tóm tắt một số kết quả liên quan đến nửa nhóm
xyclic đã trình bày trong tiết 1.2.
n
*
(i) Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S . Ký hiệu a = a n ∈N

{

}

là nửa nhóm con của S sinh bởi a. Khi đó a được gọi là nửa nhóm con
xyclic sinh bởi a. Nếu S = a với a ∈ S nào đó thì S được gọi là nửa
nhóm xyclic với phần tử sinh a.
(ii) Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S . Nếu am = an với m > n nào
đó, thế thì chỉ số của a được xác định là số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa
mãn điều kiện như vậy. Nếu a m ≠ a n với mọi cặp số nguyên dương m, n


24

khác nhau thì ta nói rằng a có chỉ số vô hạn. Chỉ số của a được ký hiệu bởi
index(a).
(iii) Đối với một phần tử a của nửa nhóm S, index(a) là số nguyên
dương n nhỏ nhất sao cho a n = M ( a ) nếu M ( a ) ≠ ∅ và index(a) = ∞
nếu M ( a ) = ∅ (chú ý: nếu S là một nửa nhóm thì M(S) là ký hiệu iđêan
tối tiểu của S nếu iđêan đó tồn tại).
(iv) Ta định nghĩa index(S) là giá trị cực đại (maximum) của index(a)
khi a chạy khắp S, nếu giá trị này tồn tại. Trong trường hợp ngược lại, ta
định nghĩa index(a) = ∞.
2.1.9. Bổ đề. Nếu S là một t – nửa nhóm xyclic thì index(S) ≤ 3.
Chứng minh. Giả sử S là một t – nửa nhóm xyclic. Giả thiết rằng
index(S) = n + 1 ≥ 4.
Chúng ta viết S = {a, a 2 , a3 , . . ., a n } ∪ M ( S ) .
Giả sử I = {a 2 , a 3 , . . ., a n} ∪ M ( S ) và K = {a 2 , a 4 , . . ., a n } ∪ M ( S ) .
Thế thì I là một iđêan của S và K là một iđêan của I nhưng K không phải là
iđêan của S. Thật vậy, a 3 = a. a 2 ∈ SK nhưng a3 ∉ K . Điều này mâu thuẫn
với giả thiết S là một t – nửa nhóm. Do đó index(S) ≤ 3. 
2.1.10. Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng
tương đẳng (congruaence extension property – CEP) nếu đối với mỗi nửa
nhóm con T của S và mỗi tương đẳng σ , σ có một mở rộng trên S.

2.1.11. Định lý. Một nửa nhóm xyclic a có tính chất mở rộng tương
đẳng nếu và chỉ nếu index(a) ≤ 3.
Chứng minh.
• Giả thiết rằng a có chỉ số ít nhất là 4. Thế thì T = {a2, a3,…} là
một nửa nhóm con của a và I = {a2, a4, a5…} là một iđêan của T. Giả sử

σ = I × I  ∆ T (trong đó

∆T

là quan hệ đồng nhất trên T: ( a, b ) ∈ ∆ T ⇔ a = b với


25

a, b ∈ T ). Giả sử σ là tương đẳng của S = a được sinh bởi σ . Vì
( a, a ) ∈ a × a

và

( a ,a ) ∈σ ⊆ σ
2

4

nên ( a, a ) ( a 2 , a 4 ) = ( a 3 , a 5 ) ∈ σ . Khi đó

( a , a ) ∈ σ ( T × T ) , nhưng ( a ,a ) ∉ σ . Suy ra σ
3

3

5

5

không phải là mở rộng của

σ và từ đó a không có tính chất mở rộng tương đẳng.
• Đảo lại, giả thiết rằng index(a) ≤ 3. Ta chứng minh

a có tính

chất mở rộng tương đẳng. Đặt i = index(a ) . Xét các khả năng xảy ra:
(1) Nếu i = 1 thì

a là một nhóm xyclic hữu hạn và do đó a có

tính chất mở rộng tương đẳng.
(2) Nếu i = 2 thì a = a ∪ M ( a ) ,trong đó M ( a
xyclic và mỗi nửa nhóm con thực sự T của
(3) Nếu i = 3 thì

)

là một nhóm

a là một nhóm con của M.

a = {a, a2} ∪ M và mỗi nữa nhóm con thực sự T

của a hoặc là một nhóm con của M hoặc có dạng T = {a2} ∪ H với H là một
nhóm con nào đó của M, trong trường hợp này, T = {a2} hoặc T = {a2} ∪
M.
Phần còn lại chỉ cần chứng minh khẳng định: Nếu T là một nhóm con
của M, thế thì mỗi tương đẳng trên T có thể mở rộng thành một tương đẳng
trên

a .
Thật vậy, giả sử σ là một tương đẳng trên T với T là một nửa nhóm

con của M, khi đó tồn tại một tương đẳng σ * trên M là mở rộng của σ .
Giả sử σ : = σ * ∪ ∆ a . Thế thì σ là mở rộng của σ lên a . Thật
vậy, trực tiếp kiểm tra được rằng để
chỉ cần chứng tỏ rằng nếu (x, y) ∈

σ là một mở rộng của σ lên

σ và z ∈

a

thì (xz, yz) ∈

a ,

σ . Nếu