Phép dời hình và ứng dụng khoá luận tốt nghiệp đại học

Trờng đại học vinh
Khoa TON HC

NGUYN TH HIN

KHóA LUậN tốt nghiệp
Đề tài:

PHẫP DI HèNH V NG DNG
ngành: HèNH HC
Lớp: 49B - Toỏn

Ging viờn hng dn: PGS.TS. Nguyn Hu Quang

VINH - 2012

1


LỜI NÓI ĐẦU

Phép dời hình trong hình học phổ thông là phép biến hình cơ bản và có
nhiều ứng dụng để giải các bài toán trong hình học Ơclit. Đặc biệt đối với các
bài toán trong hình học sơ cấp thì việc dùng phép dời hình là rất hữu ích.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài “Phép dời hình và ứng dụng” nhằm hệ
thống định nghĩa, tính chất, phân loại và viết phương trình của các phép dời
hình trên cơ sở sử dụng các kiến thức về tích vô hướng, không gian Ơclit,
phép biến đổi trực giao… Ngoài việc trình bày lí thuyết, chúng tôi cũng đã
đưa ra một số ứng dụng của phép dời hình vào việc giải các bài toán hình học
phổ thông.
Trong khóa luận này, chúng tôi đã trình bày một số nội dung như sau:

§1. Không gian Ơclit. Chúng tôi trình bày về các khái niệm và tính chất cơ
bản của tích vô hướng, không gian Ơclit, các phẳng vuông góc trong E n và
phương trình của phẳng trong En.
§2. Phép dời hình trong không gian Ơclit. Chúng tôi trình bày sơ lược về
ánh xạ đẳng cự; định nghĩa, tính chất, phân loại và phương trình của phép dời
hình.
§3. Các phép dời hình ở phổ thông và ứng dụng. Chúng tôi trình bày định
nghĩa,tính chất, phương trình và ứng dụng giải một số bài toán sơ cấp.
Khóa luận được thực hiện dưới sự hướng dẫn, giúp của PGS.TS
Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành đến thầy.

2


Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến các thầy, cô trong tổ hình
học cũng như các thầy, cô trong toàn khoa toán đã giảng dạy, trang bị kiến
thức cho chúng tôi trong suốt thời gian qua.
Sau cùng, chúng tôi xin cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của tất cả các
bạn sinh viên.
Xin chân thành cảm ơn!
Nghệ An, tháng 05 năm 2012.
Tác giả.

3


§1. Không gian Ơclit
Trong mục này, ta luôn giả giả thiết rằng: Vn là không gian vectơ trên
trường số thực, n- chiều. Cũng trong mục này, chúng tôi trình bày các khái

niệm và tính chất cơ bản của tích vô hướng, không gian vectơ Ơclit, không
gian Ơclit, các phẳng vuông góc trong En…
I.Không gian vectơ Ơclit
1.1. Định nghĩa
∗ Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ ϕ:

V×V → R

( x, y )

( )

a x y = ϕ x, y

thỏa mãn các điều kiện sau.
1) x y = y x

∀ x, y ∈ V

( )
3) (λ x ) y = λ ( x y )

2) x + x' y = x y + x' y ∀ x, x', y ∈ V
∀ x, y ∈ V, ∀λ ∈ R

4) x x ≥ 0
x x = 0 ⇔ x = 0, ∀x ∈ V.

∗ Một không gian vectơ V trên trường số thực cùng với tích vô hướng trên nó
được gọi là không gian vectơ Ơclit.

1.2. Ví dụ
urur
a) Giả sử x, y là các vectơ trong mặt phẳng Oxy.Ta xét ánh xạ

ϕ : R2 × R2 → R
r ur
urur
r ur
( x, y ) a | x || y |cos( x, y )
Khi đó, ϕ là một tích vô hướng trên R2
b)Trên Rn, ánh xạ ϕ : Rn × Rn → R được cho bởi
((x1, x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)) a x1y1+x2y2+…+xnyn
là một tích vô hướng, gọi là tích vô hướng chính tắc trên Rn.

4


1.3. Nhận xét
r r ur r r rur
a) a ( x − y ) = a x −a y
rr
b) 0 x = 0
1.4. Định lý (Bất đẳng thức Cauchy – Schwartz) (Xem tài liệu [ 8] )
Nếu ánh xạ ϕ : V × V → R
rr
rr
rr
(a, b) a a.b : = ϕ (a, b)
rr
r2 r2

là một tích vô hướng trên V thì (ab) 2 ≤ a .b
Chứng minh
rr
r
r
Trường hợp 1: a, b phụ thuộc tuyến tính, tức ∃k ∈ R : a = kb .
r2 r2
r r2
r2 r2
Khi đó: a b = (kb) 2 b = k 2 b b
rr
r r2
r2 r2
(ab) 2 = (kb) 2 b = k 2 b b
r2 r2 rr
a b = (ab) 2
rr
r
r
Trường hợp 2: a, b phụ thuộc tuyến tính, tức a ≠ kb với ∀k ∈ R .
r r
⇔ a − kb ≠ 0 ∀k ∈ R
r r
⇔ ( a − kb) 2 ≠ 0 ∀k ∈ R

Nên

r2
rr
r2

⇔ a − 2kab + k 2 b ≠ 0 ∀k ∈ R
r
rr
r
⇔ phương trình a 2 − 2k ab + k 2 b 2 = 0 vô nghiệm k
rr
r2 r2
⇔ ∆ ' = ( ab)2 − a b < 0
rr
r2 r2
⇔ ( ab) 2 < a b
rr
r2 r2
Vậy ta luôn có (ab) 2 ≤ a b .
r
r
1.5. Hệ quả: Cho a (a1,a2,...,an) và a1,a2,...,an) b (b1,b2,…,bn) là hai vectơ trong
Rn. Khi đó:

5


(a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 ≤ (a12 +a22 +...+an2)(b12 + b22 +...+ bn2)
1.6. Định lý (Pytago). (Xem tài liệu [ 7 ] )
ur
rur
r
Giả sử x và y là hai vectơ trực giao ( x y = 0 ). Khi đó:
r ur 2 r 2 ur 2
x+ y = x + y .

Chứng minh
r ur 2 r ur r ur rr rur urur
Ta có: x + y = ( x + y )( x + y ) = xx + 2 x y + y y
r2
rur ur 2
= x + 2x y + y
rur
Mặt khác: x y = 0
suy ra:

r ur 2 r 2 ur 2
x+ y = x + y .

1.7. Biến đổi trực giao.
ur uur
Cho 2 không gian vectơ Ơclit E , E ' . Một ánh xạ tuyến tính ϕ : E → E ' đượ
gọi là ánh xạ trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng giữa hai vector bất kì
r ur rur
r ur
ur
của E tức là ϕ ( x).ϕ ( y ) = x y với ∀ x, y ∈ E .
1.8. Mệnh đề. ( Xem tài liệu [ 6] )
urn
urn
ur
Giả sử ϕ : E → E là một ánh xạ tuyến tính của E n và ma trận của ϕ đối
ur uur
e
với cơ sở trực chuẩn 1,..., en là:

{

 a11
A =  ..
 an1

a12
..
an 2

}

..
..
..

a1n 
..  .
ann 

Khi đó, ϕ là biến đổi trực giao khi và chỉ khi A là ma trận trực giao.

6


II. Không gian Ơclit
1.9. Định nghĩa
Một không gian Ơclit, đó là không gian afin n- chiều với nền là không gian
vectơ Ơclit n- chiều.
Không gian Ơclit n- chiều thường được kí hiệu là En , với không gian vectơ

uur
Ơclit nền là E n
1.10. Ví dụ:
a) Không gian Oxy thông thường là không gian Ơclit 3 chiều. Thật vậy:
uuur
⊕ ϕ ( A, B ) = AB = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ); ∀A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ) ∈ Oxy .
Khi đó: ϕ thỏa mãn 2 tiên đề Afin:
r
i) Với mọi điểm A(a1 , a2 , a3 ) ∈ Oxy và mọi vectơ u (a1' , a2' , a3' ) ∈ Oxy , có duy
uuuur r
nhất điểm M (a1 − a1' , b1 − b1' , c1 − c1' ) ∈ Oxy sao cho AM = u
ii) Với 3 điểm A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C (c1 , c2 , c3 ) ∈ Oxy bất kì, ta có:
uuur uuur uuur
AB + BC = AC
Do đó Oxy là không gian Afin.
uuuruuur uuur uuur
uuur uuur
⊕ ABCD = AB CD cos( AB, CD ) là tích vô hướng trong không gian vectơ 3
chiều thông thường.
b) Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều cới cấu trúc Afin chính tắc là
một không gian Ơclit, chẳng hạn như Rn.
c) Các không gian Afin thực n- chiều đều có thể trở thành không gian Ơclit
n- chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho không gian vectơ liên kết
với không gian Afin đã cho.
ur
d) Nếu E là không gian Ơclit có nền là E thì mỗi phẳng α của nó cũng là
ur
ur
không gian Ơclit liên kết với α (Trong α xét tích vô hướng cảm sinh từ tích
ur

vô hướng của E )

7


III. Các phẳng vuông góc trong En
Trong không gian Afin, ta đã xét các vấn đề về vị trí tương đối của các
phẳng như: cắt nhau, song song, chéo nhau… Trong không gian Ơclit chúng
ta sẽ xét thêm quan hệ vuông góc giữa các phẳng.
1.11. Định nghĩa
ur
ur
Trong En cho phẳng α có phương α , phẳng β có phương β . Hai phẳng α
và β được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu α ⊥ β , nếu 2 không gian
ur
ur
vector α và β trực giao với nhau.
1.12. Định lí ( Xem tài liệu [ 5] )
Hai phẳng vuông góc với nhau có không quá một điểm chung. Hai phẳng
bù vuông góc có một điểm chung duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử α và β là hai cái phẳng trong E n , α ⊥ β . Nếu có hai điểm M,N
uuuur ur ur
ur ur
uuuur ur uuuur ur
thuộc α ∩ β thì MN ∈ α ∩ β , tức là MN ∈ α và MN ∈ β . Mặt khác, α ⊥ β
nên =0 hay M ≡ N.
urn ur ur
Nếu α và β bù vuông góc thì E = α ⊕ β . Do đó, nếu giả sử α ∩ β = ∅
ur uur

thì dim( α + β )= dim α + dim β − dim (α ∩ β ) + 1 = n −0 + 1 = n + 1 (vô lý).
Hệ quả 1: Nếu α và β bù vuông góc với nhau thì tổng của chúng là En.
Chứng minh: Vì α bù vuông góc với β nên α ∩ β tại một điểm duy nhất,
tức là α ∩ β ≠ ∅ .Do đó theo định lí về số chiều trong không gian afin ta có:
dim ( α + β ) = dim α + dim β − dim ( α ∩ β )

(1)

Vì α ∩ β là một điểm duy nhất nên:
dim (α ∩ β ) = 0

(2)

ur
ur
Mặt khác, nếu gọi phương của α và β lần lượt là α và β thì:

8


ur
ur
α bù vuông góc với β nên α bù vuông góc với β
ur
ur
⇒ dim α + dim β = n
⇒ dim α + dim β = n

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra dim ( α + β ) = n hay α + β = E n .
Hệ quả 2: Trong E n , qua một điểm đã cho có một và chỉ một phẳng bù vuông
góc với phẳng đã cho ( Nghĩa là phương trình của phẳng này hoàn toàn xác
định).
Chứng minh: Giả sử trong En cho phẳng α và điểm A. Ta chứng minh tồn tại
duy nhất phẳng β qua A và bù vuông góc với α .
ur
ur
- Chứng minh sự tồn tại: Gọi α phương của α . Giả sử β là không gian con
uur
ur
trong E n và bù vuông góc với α . Khi đó, β là phẳng bù vuông góc với
phẳng α .
- Chứng minh sự duy nhất: Giả sử β ' cũng là phẳng qua A và bù vuông góc
ur
ur
ur
với α , suy ra β ' cũng có phương là β (do α bù vuông góc với β và do định
nghĩa sự bù vuông góc của các phẳng). Như vậy β ' cũng là phẳng qua A và
ur
có phương α , tức là β ' trùng với β .
1.13. Định lí ( Xem tài liệu [ 5] )
Nếu phẳng α vuông góc với phẳng β và phẳng γ

bù vuông góc với

phẳng β thì α cùng phương với γ .
uurur r
ur
Chứng minh: Gọi α ,β , γ lần lượt là phương của các phẳng α , β , γ . Vì α

ur
r
ur
ur ur
ur
trực giao với β còn γ là phần bù trực giao của β trong E n nên suy ra α ⊂ β
.
Vậy α cùng phương với β .

9


Hệ quả: Hai phẳng phân biệt cùng bù vuông góc với phẳng thứ ba thì song
song với nhau và có cùng số chiều.
1.14. Ví dụ
a) Trong E 3 , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là hai phẳng bù
vuông góc.
b) Trong E n cho m- phẳng α và k- phẳng β vuông góc với nhau.

Khi đó:

i) Nếu n = m + k thì α và β bù vuông góc.
ii) Mọi k- phẳng β ' song song với β đều vuông góc với α .
Thật vậy:
ur ur
i) Nếu n = m + k thì theo định lý về số chiều suy ra dim α + β = m + k = n

(

)

ur ur r
ur
ur
vì α ∩ β = 0 . Do đó, α và β bù trực giao, tức hai cái phẳng α và β bù
vuông góc.
uur ur
ii) Vì k- phẳng β ' song song với β nên β ' = β .
Vậy β vuông góc với α .
1.15. Phương trình của phẳng trong En
a) Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông
góc với một siêu phẳng.
Trong không gian Ơ clit En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho siêu
phẳng P có phương trình: a1x1+a2x2+…+anxn+b = b
Viết phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm
Mn(x01,x02,…,x0n) và vuông góc với siêu phẳng P.
Giải: Lấy một điểm M(m1,m2,…,mn) thuộc siêu phẳng P.
Với X là một điểm bất kì thuộc P, X=( x1,x2,…,xn ) ,X≠M , ta có:
uuuur
MX = ( x1 − m1 , x2 − m2 ,..., xn − mn )
r
Siêu phẳng có vecto pháp tuyến là a ( a1 , a2 ,..., an )

10


Đường thẳng d đi qua điểm Mn(x01,x02,…,x0n) và vuông góc với siêu phẳng P
r
sẽ nhận vecto pháp tuyến a của siêu phẳng P làm vectơ chỉ phương, tức là:
uuuur r

MX = ta
 x1 = ta1 + x 01

0
 x2 = ta2 + x 2
⇔
M
 x = ta + x 0
n
n
 n

(*)

Hệ (*) là phương trình tham số của đường thẳng d.
Từ x1 = ta1 + x suy ra t =
0
1

x1 − x 01
, thay vào các phương trình còn lại của hệ
a1

(*), ta được:
x1 − x 01 x2 − x 0 2
xn − x 0 n
=
= ... =
a1
a2

an
 x1 − x 01 xn − x 0 n
=
 a
an
1

 x2 − x 0 2 xn − x 0 n
=

an
Ta có thể viết lại hệ  a2
M

 xn−1 − x 0 n−1 xn − x 0 n
=

an
 an−1

(**)

Hệ (**) là phương trình tổng quát của đường thẳng d.
b) Bài toán 2: Viết phương trình của phẳng đi qua một điểm, bù vuông góc
với m – phẳng.
Trong không gian Ơclit n- chiều En với mục tiêu trực chuẩn, cho m- phẳng
P xác định bởi hệ n-m phương trình

11

n

∑a
j =1

kj

x j + bk = 0 ( k = 1,2,..., n − m )

Viết phương trình Q là phẳng đi qua điểm A ( x1o , x2o ,..., xno ) và bù trực giao
với P.
ur
uur
Giải: Vì Q bù trực giao với P cho nên phương Q của Q chứa các ak

( k = 1, n − m ) . Như vậy, Q là (n-m)- phẳng đi qua A ( x , x ,..., x )
o
1

o
2

o
n

và có

ur uur uur
ur

a
phương Q sinh bởi hệ n-m vectơ độc lập tuyến tính 1 , a2 ,..., an , trong đó

{

uur
ak ( ak 1 , ak 2 ,..., akn )

}

( k = 1, n − m ) . Từ đó suy ra Q có phương trình tham số:

 x1 = a11t1 + a21t2 + ... + an −m1tn−m + x1o

o
 x2 = a12t1 + a22t2 + ... + an−m 2tn −m + x2

M
 x = a t + a t + ... + a t + x o
1n 1
2n 2
n − mn n − m
n
 n

12


§2: Phép dời trong không gian Ơclit
Trong mục này, chúng tôi trình bày về ánh xạ đẳng cự; định nghĩa, tính

chất, phân loại và phương trình của phép dời.
I. Ánh xạ đẳng cự
2.1. Định nghĩa:
Ánh xạ f: E → E ' được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu f là một ánh xạ afin và
ur uur
ánh xạ nền của nó ϕ : E → E ' là một ánh xạ tuyến tính trực giao.
2.3. Nhận xét:
Ánh xạ đẳng cự f: E → E ' bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, tức
d(M,N) = d ( f ( M ) , f ( N ) ) , ∀M , N ∈ E .
2.4. Định lí
Mọi ánh xạ f: E → E '

giữa các không gian Ơclit bảo tồn khoảng cách

giữa hai điểm bất kì là một ánh xạ đẳng cự.
Chứng minh:
ur uur
Lấy I ∈ E và I ' ∈ f ( I ) .Xét ánh xạ ϕ : E → E ' xác định như sau:
r uuuuur
r ur
uuur r
Giả sử u ∈ E ta lấy điểm M ∈ E sao cho IM = u và đặt ϕ u = I ' M '

( )

với M ' = f ( M ) . Ta chứng minh ϕ không thay đổi tích vô hướng của hai
r
ur
ur
vectơ bất kì của E . Lấy thêm v bất kì thuộc E và lấy điểm N thuộc E sao

r uuuur
uur r
cho IN = v , khi đó: ϕ v = I ' N ' với N ' = f ( N )

( )

Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M,N)=d(M’,N’).
uuuur2 uuuuuur2
uur uuur 2 uuuur uuuuur 2
Do đó: MN = M ' N ' ⇔ IN − IM = I ' N ' − I ' M '

(

) (

)

uur2 uuur2
uuuruuur uuuur2 uuuuur2
uuuuuruuuuur
⇔ IN + IM − 2 IN .IM = I ' N ' + I ' M ' − 2 I ' N '.I ' M '

13


rr
r
r
uuuruuur uuuuuruuuuur
⇒ IN .IM = I ' N '.I ' M ' ,tức là u.v = ϕ u .ϕ v

( ) ( )

rr
Vì ϕ bảo tồn tích vô hướng của hai vectơ u , v bất kì nên ϕ là ánh xạ
tuyến tính trực giao và rõ ràng là nền của f. Vậy ϕ là ánh xạ đẳng cự.
2.5 Ví dụ
Xét ánh xạ f: R2 → R2

( x, y ) a ( x + 1, y + 2 )
Khi đó, f là ánh xạ đẳng cự vì ∀M ( x, y ) , N ( x ', y ') ∈ ¡
d( M,N) =

( x '− x )

2

+ ( y '− y )

2

thì:

2

d ( f ( M ) , f ( N ) ) = ( x '+ 1) − ( x + 1)  + ( y '+ 2 ) − ( y + 2 ) 
2

=

( x '− x )

2

+ ( y '− y )

2

2

nên d ( M , N ) = d ( f ( M ), f ( N )) .
II. Phép dời hình
2.6. Định nghĩa:
Ánh xạ đẳng cự f: E → E được gọi là một phép dời hình của không gian
Ơclit E.
Ánh xạ ϕ (nền của f) là một phép biến đổi tuyến tính trực giao của không
ur
gian vectơ E .
2.7. Định lí ( Xem tài liệu [ 6] )
Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.
Chứng minh: Cho hai phép dời hình f và g. Ta hãy xét tính chất của phép
biến hình g o f. Giả sử A,B là hai điểm bất kì và ta có AB = A' Bvà ' A' B ' = A'' B .
''

Như vậy g o f đã biến điểm A thành điểm A" , biến điểm B thành điểm B"
thỏa mãn điều kiện A" B" = AB . Do đó tích của hai phép dời hình là một phép
dời hình.

14

2.8. Định lí ( Xem tài liệu [ 6] )
Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp.

Chứng minh: Giả sử g, h, f đều là các phép dời hình, ta cần chứng minh (g o
h) o f = g o (h o f). Thật vậy:
Giả sử f biến M thành M’, h biến M’ thành M " và g biến M " thành M’’’.
Ta có g o h là một phép dời hình biến M’ thành M’’’ và do đó (g o h) o f
biến M thành M’’’.
Mặt khác, h o f biến M thành M’’ và g o (h o f) biến M thành M’’’.
Vậy ( g o f ) f = g o ( h o f ) vì cả hai đều biến điểm M thành điểm M’’’
với mọi điểm M bất kì.
2.9. Định lí ( Xem tài liệu [ 6] )
Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép biến hình với
phép toán là tích các phép biến hình.
Chứng minh: Theo định lí 2.7 thì tích hai phép dới hình là một phép dời hình.
Vì vậy, tập hợp các phép dời hình khép kín với phép toán đã cho. Mặt khác,
theo định lí 2.8 tập hợp các phép dời hình có tính chất kết hợp. Hơn nữa,
trong tập hợp các phép dời hình có phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất
và bất cứ phép dời hình nào cũng có phép dời hình đảo ngược của nó.

15


Nếu gọi f là một phép dời hình bất kì, f −1 là phép dời hình đảo ngược của
nó, e là phép đồng nhất ta luôn có f o f −1 = e.
2.10. Nhận xét
i) Các tính chất afin ( những tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi
afin ) cũng là các tính chất của phép dời hình.
n

ii) Hình học Ơclit trên E rộng hơn hình học afin trên E n .
2.11. Phân loại phép dời hình và phương trình của phép dời hình
a) Phân loại phép dời hình
uurur ur
O
;
e
,e2 ,..., en trong E n , cho phép biến đổi
Với mục tiêu trực chuẩn
1

{

}

afin f: E n →E n có phương trình:
 x ,  = A[ x ] + [ b ]

Khi đó, A cũng là ma trận của phép đẳng cấu tuyến tính đối với cơ sở
ur ur ur
e
trực chuẩn 1 , e2 ,..., en .

{

}

Bởi vậy phép biến đổi afin f trở thành phép dời hình khi và chỉ khi ma
trận A trực giao, tức là A ∗ A = I (ma trận đơn vị).

Vì A là ma trận trực giao nên detA = ±1 .
-

Nếu A là ma trận trực giao và detA = 1 thì f được gọi là phép dời hình

loại 1 hay phép dời hình thuận.
-

Nếu a là ma trận trực giao và detA = −1 thì f được gọi là phép dời hình

loại 2 hay phép dời hình nghịch.
b) Phương trình của phép dời hình
Định lí ( Xem tài liệu [ 5] )
Phương trình của phép dời hình trong E n đối với một mục tiêu trực chuẩn
cho trước, có dạng:

16


 x '  = A[ x ] + [ b ]
 
trong đó A là ma trận trực giao cấp n.
'
Ngược lại: Mỗi phương trình có dạng  x  = A[ x ] + [ b ] trong đó A là

ma trận trực giao cấp n đều là phương trình của phép dời hình trong E n đối
với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn.
2.12. Các tính chất của phép dời hình
Phép dời hình có đầy đủ các tính chất của phép afin. Hơn nữa, nó còn có
một số tính chất khác.

a) Qua phép dời hình, m- phẳng biến thành m- phẳng (điểm, đường thẳng,
mặt phẳng, siêu phẳng...).
b) Phép dời hình bảo tồn tính song song
Cho hai phẳng M,N và M’=f(M), N’=f(N), f là phép dời hình. Khi đó,
nếu M và N song song thì M’ và N’ cũng song song.
c) Phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỉ số đơn.
Chứng minh: Giả sử f là phép dời hình và A,B,C là ba điểm phân biệt thẳng
hàng, B nằm giữa A và C, A’= f(A), B’= f(B), C’= f(C). Ta chứng minh ba
điểm A’,B’,C’ thẳng hàng và (A,B,C) = (A’,B’,C’). Thật vậy:
Vì phép dời hình bảo tồn khoảng cách nên ta có: AB = A ’B’, BC = B’C’,
AC =A’C’. Vì B nằm giữa A và C nên AB + AC = AC.Do đó, A ’B’+B’C’ =
A’C’. Suy ra ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’.Từ đó ta
cũng có (A,B,C) = (A’,B’,C’). Vậy phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỉ
số đơn.
d) Phép dời hình bảo tồn khoảng cách: Phép dời hình bảo tồn độ dài đoạn
thẳng nên biến một tam giác thành một tam giác bằng nó. Thật vậy:

17


Nếu tam giác ABC biến thành tam giác A ’ B ’ C ’ thì ta có AB = A ’ B ’ ,
BC = B ’ C ’ , AC=A ’ C ’ . Vì vây, hai tam giác đó bằng nhau theo trường
hợp c-c-c.
e) Phép dời hình bảo tồn góc:

Qua phép dời, góc được bảo tồn. Thật vậy:
Giả sử phép dời hình f biến góc xOy thành góc x ’O’y’. Lấy A,B lần lượt
thuộc Ox,Oy mà A,B khác O.
Gọi A’,B’,O’ lần lượt là ảnh của A,B,O qua f: A’= f(A), B’= f(B),
O’= f(O). Khi đó A’,B’ lần lượt thuộc O’x’,O’y’.

Vì phép dời hình bảo tồn khoảng cách nên tam giác AOB và A ’O’B’ bằng
nhau. Do đó, hai góc xOy và x’O’y’ bằng nhau.
f) Phép dời hình biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn, biến
một mục tiêu trực chuẩn thành một mục tiêu trực chuẩn.

18


§3: Các phép dời hình ở phổ thông và ứng dụng
Như chúng ta đã biết, một phép biến hình của mặt phẳng là một song ánh
f: P → P với P là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng.
I. Phép đối xứng trục
3.1. Định nghĩa:
Cho đường thẳng d trong mặt phẳng. Phép biến hình mà biến mỗi điểm
M thành M ’; sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM ’ thì phép
biến hình đó được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối
xứng trục d.
Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thường
được kí hiệu là Đ d .

3.2. Định lí ( Xem tài liệu [ 6] )
Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Chứng minh:
Giả sử M, N là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và phép đối xứng trục Đ d
biến các điểm M, N thành các điểm M ’, N ' . Khi đó, các đoạn thẳng MM ' , NN
'

cùng vuông góc với trục d tại trung điểm H,K của chúng.

19

uuuur
uuuur
MH = − MH
Ta có:
uuuur
uuur
KN = − KN '
uuuur uuuur uuur uuur
Mặt khác: MN = MH + HK + KN
uuuur2 uuuur2 uuur2 uuur2
uuuur uuur
⇒ MN = MH + HK + KN + 2 MH .KN
uuuur uuur
uuur uuur
(còn MH .HK = 0 và HK .KN = 0 )
uuuuuur2 uuuuur2 uuur2 uuuur2
uuuuur uuuur
Tương tự: M ' N ' = M ' H + HK + KN ' + 2 M ' H .KN '
uuuur 2 uuur2
uuur 2
uuuur
uuur
= − MH + HK + − KN + 2 − MH . − KN

(

)

(

)

(

)(

)

uuuur2
= MN
uuuuuur uuuur
Do đó: M ' N ' = MN hay MN = M ' N '
Vậy phép đối xứng trục là phép dời hình.

3.3. Phương trình của phép đối xứng trục
a) Bài toán 1: Trong mặt phẳng cho đường thẳng a. Viết phương trình phép
đối xứng qua a.

20


Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Ox ≡ a, M(x,y). Khi đó, tọa độ của M’ là
điểm đối xứng của M qua a là M’(-x,y).
Nếu ta gọi M’(x’,y’) thì phương trình phép đối xứng qua a là:
 x ' = − x
 '
 y = y
b) Bài toán 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a có phương trình:

ax + by + c = 0 . Viết phương trình phép đối xứng qua a.

Giả sử M(x,y) và M’(x’,y’) là điểm đối xứng của M qua a. Gọi I là trung
 x + x' y + y' 
;
điểm của MM’ ⇒ 
÷ và tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình
2 
 2
đường thẳng a.

21


 x + x'   y + y' 
a
÷+ b 
÷+ c = b
 2   2 
Ta có: ⇔ a x + x ' + b y + y ' + 2c = 0
(
) (
)

⇔ ax '+ by '+ ax + by + 2c = 0
( 1)
uuuuur r
Mặt khác: MM’ ⊥ a nên MM ' ⊥ u ( b; −a ) là véc tơ chỉ phương của đường
thẳng a.
uuuuur r

⇒ MM '.u = 0
⇒ ( x '− x ) ( −b ) + ( y '− y ) a = 0

( 2)

⇒ bx '− ay '− bx + ay = 0

ax '+ by '+ ax + by + 2c = 0
Từ (1) và (2) ta có hệ: 
bx '− ay '− bx + ay = 0

b2 − a 2
2ab
 x ' = b 2 + a 2 x − b 2 + a 2 y − 2ac
⇒
2
2
 y ' = − 2ab x − b − a y − 2bc
b2 + a 2
b2 + a2


( *)

Hệ (*) là phương trình phép đối xứng qua đường thẳng a.
3.4.Tính chất của phép đối xứng trục
a) Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của
phép dời hình.
b) Nếu M ' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M lại là ảnh của M ' qua
phép đối xứng đó. Ta suy ra tích của một phép đối xứng trục với chính nó là

một phép đồng nhất.
c) Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép.
d) Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành chính nó
và chú ý rằng ngoài giao điểm của a với d, các điểm khác của a đều không
phải là điểm kép.

22


e) Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối xứng d
của nó.
3.5. Áp dụng phép đối xứng trục để giải toán
a) Dấu hiệu sử dụng:
- Đối với phép đối xứng trục thì điểm kép nằm trên trục đối xứng.
- Chúng ta thường sử dụng phép đối xứng trục trong các bài toán có các đoạn
thẳng nhận một đường thẳng cố định làm đường trung trực hoặc bài toán có
giả thiết là tia phân giác của một góc.
- Các hình có trục đối xứng: đoạn thẳng. Tam giác cân, tam giác đều, hình
thang cân, hình vuông, hình chữ nhật, đường tròn...
b) Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai điểm A,B phân biệt và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng
bờ là đường thẳng x cho trước. Hãy tìm trên đường thẳng x một điểm M sao
cho tổng hai đoạn thẳng AM + MB là ngắn nhất.
Giải:

Hình 1
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x cho trước và gọi M là giao
điểm của đường thẳng A’B với x (Hình 1).
Ta có: AM + MB = A' M + MB
Khi đó trên đường thẳng x với mỗi điểm M’ khác M, ta có:

23


A' M ' + M ' B > A' B = AM + MB
Do đó:

AM ' + M ' B > AM + MB

Vậy điểm M cần tìm là giao của đường thẳng A' B với đường thẳng x.
Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và CD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng
minh rằng:
a) I,O,J là ba điểm thẳng hàng.
b) Kẻ đường thẳng d qua O và song song với AB cắt AD tại M, cắt BC tại N.
Chứng minh rằng: OM=ON.
Giải:

Hình 2
Gọi ∆ là trục đối xứng của hình thang ABCD.
⇒ ∆ đi qua I và J.
Ta có:

Đ ∆ : A → B nên Đ ∆ : AC → BD

(1) (Hình 2)

C→D
Tương tự: Đ ∆ : B → A nên Đ ∆ BD → AC
D→C

Từ (1) và (2) ⇒ Đ ∆ : AC ∩ BD → BD ∩ AC
⇒ Đ∆ : O→O

24

(2)


⇒ O là điểm kép hay O ∈ ∆ ⇒ I,J,O thẳng hàng.
b) Giả sử d cắt cạnh AD, BC lần lượt tại M,N.
Do d // AB suy ra d ⊥ ∆ . Gọi M’ là ảnh của M qua Đ ∆ .
M ∈ d ⇒ Đ ∆ : M → M’ ∈ d
Mặt khác M∈ AD, mà Đ ∆ : AD → BC ⇒ M’ ∈ BC
⇒ M’ = BC ∩ d hay M’ ≡ N
Do tính chất đối xứng nên OM = ON.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hãy dựng
tam giác cân đỉnh P có đáy song song với cạnh BC và có hai đỉnh lần lượt
nằm trên hai cạnh AB,AC của tam giác ABC cho trước.
Giải:

Hình 3
Giả sử ta đã dựng được tam giác PMN thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta nhận
thấy M và N là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục, có trục đối xứng là
đường thẳng d đi qua P và vuông góc với BC cho trước (Hình 3). Do đó ta có
cách dựng:
- Dựng đường thẳng d qua P và vuông góc BC.
- Dựng ảnh của cạnh AC là A’C’ qua phép đối xứng nhận d làm trục

25