Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu

1

Mục lục
Trang
2

Chỉ dẫn kí hiệu
Lời nói đầu

3

Đ 1.Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm

5

Đ 2.Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm Aben

10

Đ 3.Nhóm luỹ linh

15

Đ 4.Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu

21

Kết luận
Tài liệu tham khảo

26

27

Chỉ dẫn ký hiệu
Ký hiệu
AB
<S>
[a,b]
[G,G]
A B
A B

ý nghĩa
A là tập con của B
Nhóm sinh bởi tập S
Hoán tử của A và B
Hoán tập của G
A là nhóm con của B
Nhóm A đẳng cấu với nhóm B


2


3

Lời nói đầu
Nhóm luỹ linh đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm nói riêng và
trong các ngành toán học nói chung. Trong các tài liệu nói về nhóm chúng ta đã
biết, các tác giả chủ yếu xét nhóm Aben và các tự đẳng cấu của nhóm Aben. Dựa
trên những kết quả đã biết đó, chúng tôi khảo sát nhóm luỹ linh và các tự đẳng

cấu của nhóm luỹ linh và đã thu đợc những kết quả đáng quan tâm mà chúng tôi
trình bày trong khoá luận này.
Khoá luận đợc trình bày thành bốn phần:
Đ 1. Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm.Trong tiết này,chúng tôi nhắc lại
các khái niệm cơ bản nh nhóm các song ánh của một tập,nhóm phép thế,nhóm
các tự đẳng cấu của một nhóm cho trớc và các tính chất quen thuộc của chúng(đợc trình bày ở các mệnh đề 1.1;1.4;1.8;1.10).
Đ 2. Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm Aben.Trong tiết này chúng tôi đi sâu
vào khảo sát các tính chất của các tự đẳng cấu của lớp nhóm Aben quen thuộc,đó
là lớp nhóm Aben.Các kết quả chính của tiết này nêu ở các mệnh đề 2.2;2.5;2.6
và các hệ quả của chúng.
Đ 3. Nhóm luỹ linh.Trong tiết này,chúng tôi nhắc lại định nghĩa nhóm luỹ
linh và các tính chất của nhóm luỹ linh(mệnh đề 3.5;3.6;3.7;3.8;3.9;3.11).
Đ 4.Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu. Đây là phần chính của luận văn.Trớc
hết chúng tôi xây dựng nhóm toàn hình của nhóm cho trớc với các kết quả đáng
chú ý đợc trình bày trong mệnh đề 4.1.4 và mệnh đề 4.1.5.Sau đó chúng tôi trình
bày nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu với các kết quả đang quan tâm đợc trình bày
trong định lý 4.2.1 và 4.2.3.
Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Lê
Quốc Hán. Nhân dịp này chúng tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về
những sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho chúng tôi trong quá
trình hoàn thành khoá luận. Chúng tôi cũng xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo
trong tổ Đại số và các bạn đã động viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành khoá luận
này.
Vì trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót,
rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận này đợc hoàn
thiện hơn.


4
T¸c gi¶:

5

Đ 1. Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm
1.1. Mệnh đề:
Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và S(X) là tập hợp tất cả các song ánh
từ X lên chính nó. Khi đó S(X) cùng với phép nhân ánh xạ là một nhóm.
Chứng minh:
+> Vì phép nhân ánh xạ có tính chất kết hợp, nên f, g, h S(X).
Ta có: (f.g).h=f.(g.h) phép toán trên S(X) có tính chất kết hợp.
+> Giả sử e là ánh xạ đồng nhất của X. Khi đó e.f(x)=e[f(x)]=f(x) x
X nên e.f=f. Tơng tự f.e=f, f S(X).
Vậy e là đơn vị của S(X).
+> Giả sử f S(X). Khi đó f là song ánh nên f có ánh xạ ngợc f-1: XX
thoả mãn điều kiện f-1.f=f.f-1=e. Do đó f-1 là nghịch đảo của f trong S(X).
Kết luận: S(X) là một nhóm.
1.2. Chú ý:
Nếu X là một tập gồm hữu hạn phần tử, giả sử |X|=n thì nhóm S(X) đợc
gọi là nhóm các phép thế bậc n và đợc kí hiệu là Sn .
Mỗi phần tử f Sn đợc gọi là một phép thế bậc n.Theo lý thuyết tập hợp,
ta có |Sn|=n!
1.3. Định nghĩa:
Giả sử G là một nhóm. Khi đó ánh xạ f: G G thoả mãn điều kiện
f(ab)=f(b) a,b G đợc gọi là một tự đồng cấu của nhóm G.
Tự đồng cấu f của G đợc gọi là tự đẳng cấu của G nếu f là một song ánh.
1.4. Mệnh đề:
Giả sử G là một nhóm. Khi đó, tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G là
một nhóm con của nhóm các song ánh S(G).

Chứng minh:
Ký hiệu M là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu cảu G. Khi đó M, vì chẳng
hạn ánh xạ đồng nhất e của G thuộc M. Hơn nữa M S(G), ta lại có: Tích của
hai song ánh là một song ánh và nghịch đảo của một song ánh cũng là một song


6
ánh.Hơn nữa, tích của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm và nghịch đảo
của một đẳng cấu nhóm là một đẳng cấu nhóm, nên f, g M, ta lại có f.g
M, f-1 M. Do đó M là nhóm con của S(G)
1.5. Định nghĩa:
Nhóm M trong mệnh đề 1.4 đợc gọi là nhóm các tự đẳng cấu của nhóm
G.
Kí hiệu: Aut(G).
1.6. Bổ đề:
Giả sử G là một nhóm và a là một phần tử thuộc G. Khi đó ánh xạ:
fa:

GG
x

là một tự đẳng cấu của G

xa = a-1xa

Chứng minh:
+)Giả sử x,y G. Khi đó: fa(xy)=(xy)a=a-1xya=a-1xa.a-1ya=xaya=fa(x).fa(y).
fa đồng cấu.
+) Mặt khác, nếu fa(x)=fa(y) xa=ya a-1xa=a-1ya
x=y (vì G là nhóm nếu có luật giản ớc) fa đơn ánh và do đó fa đơn

cấu
+) Để chứng minh fa là toàn ánh ta lấy phần tử g G. Khi đó, do G là
nhóm và a G nên phần tử x =aga-1 G và fa(x) =xa=a-1xa=(a-1(aga-1)a)=g
fa toàn ánh và do đó fa toàn cấu.
Vậy: fa là đẳng cấu của G.

1.7. Định nghĩa:
Tự đẳng cấu fa của G đợc gọi là tự đẳng cấu trong sinh bởi phần tử a. Kí
hiệu â.
1.8. Mệnh đề:
Tập hợp các tự đẳng cấu trong của G là một nhóm con chuẩn tắc của
Aut(G).
Chứng minh:


7
+) Trớc hết ta nhận xét rằng a,b,x G ta có (xa)b=xab;
(xa)a-1=x.
Thật vậy: (xa)b=(a-1xa)b=b-1(a-1xa)b=(ab)-1xab=xab
(xa)a-1=(a-1)-1 (a-1xa)a-1=a.a-1x.a.a-1=x.
Từ đó sinh ra: a) . b =ab và a) . a) 1 = 1G
)
a 1 =a-1

Tập hợp các tự đẳng cấu trong G là một nhóm con của Aut(G).
+) Mặt khác, a, x G và Aut(G), ta có:
)
)
(. a .-1) (x)=(. a )[-1(x)]=( a-1-1(x) a)=

= (a-1) (-1(x)) (a)=(a-1) x (a)=(a)-1 x (a)=
= x(a)= (a) (x)
o a .-1= (a).
)

Nhóm các tự đẳng cấu trong của G là chuẩn tắc trong Aut(G)
1.9. Đinh nghĩa:
Giả sử G là một nhóm, khi đó:
i) Tập hợp các tự đẳng cấu trong của G với phép nhân ánh xạ là một
nhóm và đợc gọi là nhóm các tự đẳng cấu trong của G. Ký hiệu Int(G).
ii) Nhóm thơng Aut(G)/Int(G) đợc gọi là nhóm các tự đẳng cấu ngoài và
ký hiệu Out(G).
1.10. Mệnh đề:
Giả sử G là một nhóm tuỳ ý. Và C(G) là tâm của G. Khi đó:
Int(G) G/C(G).
Chứng minh:
Xét ánh xạ : G Int(G)
a â
Khi đó (ab)= ab = a.b =(a). (b)
(Vì ab(x)=xab=(ab)-1xab=b-1a-1xab
a
a b
ab (x)=( b.a )(x)= b(a (x))= b (x )=(x ) =


8
= b-1(a-1xa)b=b-1a-1xab.
ab(x)= ( a.b )(x)

x G ab(x)= a.b ).

Do đó là đồng cấu nhóm
Theo cách xác định , ta có Im()= Int(G)
Mặt khác: ker ={a G| (a).=1G}={a G| â.=1G}
{a G|ax=x,x G}={a G| a-1xa=x,x G}
= {a G|xa=ax,x G}={a G|xa=ax,x G}=C(G)
Theo định lý đồng cấu nhóm, ta có:
G/Ker Im() hay G/C(G) Int(G)
1.11. Hệ quả:
Giả sử Sn là nhóm thế bậc n và An là nhóm thay phiên bậc n. Thế thì:
i) Int(Sn) Sn với n3
ii) Int(An) An với n4
Chứng minh:
i) Với n3 thì Sn là nhóm không tâm hay C(Sn) ={e}.
Theo mệnh đề 1.10 ta có Int(Sn) Sn/C(Sn). Do đó:
Int(Sn) Sn/{e} hay Int(Sn) Sn.
ii) Với n4 thì An cũng là nhóm không tâm hay C(An)={e}.
Theo mệnh đề 1.10 thì Int(An) An/C(An).
Suy ra: Int(An) An/{e} hay Int(An) An.


9

Đ2. Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm ABEn
2.1. Đặt vấn đề:
Giả sử G là một nhóm tuỳ ý. Khi đó tập hợp các song ánh từ G lên chính
nó cùng với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm, ký hiệu là S(G). Nếu không
sợ nhầm lẫn, ngời ta cũng gọi S(G) là nhóm các phép thế của G, cả khi G không
phải là nhóm hữu hạn.
Tập hợp các đồng cấu từ G vào chính nó cùng với phép nhân ánh xạ là

một vị nhóm với phần tử đơn vị là phép đồng nhất, kí hiệu End(G).
Nói chung, End(G) không phải là một nhóm. Tập hợp các tự đẳng cấu
của nhóm G cùng với phép nhân ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm các tự đẳng
cấu của nhóm G và đợc kí hiệu là Aut(G).
Ta có Aut(G) là nhóm con của S(G) và là nhóm con của vị nhóm
End(G).Trong trờng hợp G là nhóm Aben và phép toán trong G đợc kí hiệu theo
lối cộng, ta đa vào End(G) phép toán cộng nh sau:
, End(G) ta có + = G G xác định bởi :
( + )(g) = (g) + (g), g G .Khi đó: g1,g2 G,ta có:
( + )(g1 + g2) = (g1 + g2) + (g1 + g2)
= (g1) + (g2) + (g1) + (g2)
= (g1) + (g1) + (g2) + (g2)
= ( + )(g1) + ( + )(g2).
nên + End(G). Khi đó End(G) cùng với phép cộng nói trên trở
thành một nhóm Aben với phần tử 0 là ánh xạ 0: G G, 0(g) = 0, g G và
phần tử đối của là ánh xạ - , đợc xác định bởi:
(- ):

GG
g -[ (g)].

Mặt khác, End(G) là vị nhóm nhân theo lập luận trên, và luật phân phối
của

phép cộng đối với phép nhân đợc thử trực tiếp, nên End(G) trở

thành một vành có đơn vị.
Nói chung vành End(G) này không giao hoán.

10
Ký hiệu (End(G))* là tập hợp các phần tử khả nghịch của End(G) thì xét
về lý thuyết tập hợp, ta có: Aut(G) = (End(G))*
Dựa vào kết quả này, ta có thể mô tả đợc nhóm tự đẳng cấu của nhiều lớp
nhóm Aben quen thuộc.
2.2. Mệnh đề:
Giả sử Z là vành các số nguyên, Zm là vành các số nguyên thu gọn theo
Môdul m, Q là trờng các số hữu tỉ
Thế thì:

(i) End Z Z
(ii) End Zm Zm
(iii) EndQ Q.

Chứng minh:
(i) Lập ánh xạ: : EndZ Z đợc xác định bởi:
()=(1), End Z. Khi đó (+)=(+) (1) =
=(1)+(1)=()+(), nên là đồng cấu
Giả sử ker ()=0 (1)=0
(z)=(z.1)= z.(1)=z.0=0 nên =0
Do đó Ker()=0 đơn cấu
Mặt khác, m Z, ánh xạ: m:

ZZ
x mx

là một đồng cấu của vành Z và (m)=m(1)=m.1=m nên là toàn ánh.
Vậy đẳng cấu hay End Z Z.
(ii). Phép chứng minh End Zm Zm đợc chứng minh tơng tự.
(iii). Để chứng minh End Q Q cũng lập ánh xạ:

:

End Q Q
(1)

End(Q)

Khi đó: (+)=(+) (1)=(1)+(1)=()+()
, End(Q), nên là đồng cấu.
Với m Q, xét ánh xạ

m:

QQ


11
x mx
là đồng cấu của Q và (m)=m(1)=m.1
nên toàn ánh là toàn cấu.
Hơn nữa, nếu Ker() thì (m)=0, m Z. Nếu x Q, x 0
p

thì p,q Z, q>0, (p,q)=1 sao cho x= q .
1

1

Khi đó (1)=0, ta suy ra: (q. q )=0 ( q )=0 vì q 0
p

1

( q )=p( q )=p.0=0 do đó =0 nên Ker()=0.
Do đó là đơn cấu.
Vậy là đẳng cấu, suy ra EndQ Q
2.3. Hệ quả:
(i) Aut(Z) Z2
(ii) Aut(Zm)(Zm)*
(iii) Aut(Q) Q*
Trong đó Zm*={ k |0m nguyên tố với m.
Q* là nhóm nhân các số hữu tỷ khác không.

2.4. Nhận xét:
Ta có thể mở rộng các kết quả trên nh sau: Giả sử A và B là các nhóm
Aben. Ký hiệu Hom(A,B) là tập tất cả các đẳng cấu từ A vào B. Xác định trong
Hom(A,B) phép cộng (,) +, theo quy tắc:
(+) (x)=(x)+(x), x A. Khi đó + Hom(A,B) và Hom(A,B)
trở thành một nhóm Aben với phần tử không là ánh xạ không:
0:

A B


12
a0
Và phần tử đối của là -, xác định bởi (-) (a)=-[(a)], a A.
2.5. Mệnh đề:
Giả sử Z là nhóm cộng các số nguyên và X là nhóm Aben tuý ý.

Khi đó: Hom(Z,X) X.
Chứng minh:
Thiết lập ánh xạ : Hom(Z,X) X
(1)
Khi đó theo định nghĩa của phép toán trong Hom(Z,X) ta có là đồng
cấu. Để chứng minh là đẳng cấu ta chứng minh đơn cấu và toàn cấu.
- Chứng minh toàn cấu: Giả sử x là phần tử tuỳ ý của X. Vì Z là nhóm
Aben tự do sinh bởi 1, nên một đồng cấu duy nhất : Z X sao cho
()=(1)=x nên toàn cấu.
- Chứng minh đơn cấu:
Ta có Z là nhóm Xyclic sinh bởi 1 nên = (1)=(1)
()=() nên là đơn cấu.
Vậy là đẳng cấu và do đó Hom(Z,X) X

2.6. Mệnh đề:
Giả sử Zm là nhóm cộng các số nguyên, thu gọn theo modun m và X là
nhóm Aben tuỳ ý. Khi đó:
(i) Tm(x)={x X| mx=0} là nhóm con của X
(ii) Hom(Zm,X) Tm(X)
Chứng minh:
(i) Nếu x1, x2 Tm(x) thì
m(x1-x2)=mx1-mx2=0-0=0 nên x1-x2 Tm(X)


13
Mặt khác: m.0=0 nên 0 Tm(X)
Vậy Tm(X)

X.

(ii) Thiết lập ánh xạ

:

Hom(Zm,X) X
( 1 )

Vì Zm cảm sinh bởi 1 nên ta có:
= (1 )=( 1 ) ()=() nên là đơn ánh.
Theo định nghĩa của phép toán trong Hom(Zm,X) ta có là đồng cấu nên
là đơn cấu.
Ta còn phải chứng minh: Im()=Tm(x).
Trớc hết, giả sử Hom(Zm,X) thế thì, ta có:
m.()=(m)=m(I)=(m)=(0)=0
Điều này chứng tỏ Im() Tm(X)
Đảo lại, giả sử x Tm(X) vì mx=0 nên có một đồng cấu : Zm X
sao cho (1)=x.
Thế thì ()=x. Điều này kéo theo Tm(X) Im() và do đó
Im()=Tm(X)
Vì là đơn cấu nên Hom(Z,X) Im(), do đó: Hom(Zm,X) Tm(X)

Đ3. Nhóm luỹ linh
3.1. Định nghĩa:
Giả sử G là một nhóm. Dãy chuẩn tắc:
{e}=Go

G1

..

Gn-1

Gn=G (1)

đợc gọi là dãy tâm nếu các thơng của nó thoả mãn điều kiện:
Gi+1/Gi C(Gi+1/Gi) (2)
hay tơng đơng [Gi+1/Gi] n Gi với i= 0, n 1 (3)
n đợc gọi là độ dài của dãy tâm (1)
Nhóm có dãy tâm đợc gọi là nhóm luỹ linh, và độ dài nhỏ nhất của các dãy
tâm đợc gọi là bậc luỹ linh của nó.


14
Nhận xét:
i). Vì tâm của nhóm luôn luôn là dãy Aben và nhóm con của dãy Aben
cũng là nhóm Aben nên từ (2) suy ra Gi+1/Gi cũng là nhóm Aben i= 0, n 1 . Vì
vậy, nhóm luỹ linh là giải đợc.
ii). Vì nhóm Aben có tâm trùng với nó, do đó mọi nhóm Aben đều có dãy
tâm độ dài bằng 1. Nói cách khác, nhóm Aben là nhóm luỹ linh với bậc luỹ linh
bằng 1.
3.2. Bổ đề:
Giả sử Z là tâm của G sao cho Z G.Khi đó nhóm thơng G/Z không phải là
nhóm xyclic.
Chứng minh:
Giả sử G/Z là nhóm xyclic sinh bởi a e , khi đó g G, số nguyên m
sao cho: g = a m a-mg Z a-m .g.a=a.a-m.g a-m.g.a=a-(m-1).g
a-1.g.a=g ga=ag a Z a = e mâu thuẫn.

G/Z không là nhóm xyclic.
3.3. Bổ đề:

Giả sử G là nhóm luỹ linh cấp S2. Khi đó nhóm con tuỳ ý của G, đợc
sinh bởi hoán tập và một phần tử, có bậc luỹ linh không vợt quá s-1.
Chứng minh:
Giả sử a H, H=(a, [G,G])
n

Bởi vì [G,G] (s-1G) H=s-1H nên nhóm H/s-1 H là xyclic.
Vì nhóm thơng theo tâm không thể là nhóm xyclic khác đơn vị, nên
s-1H=H, từ đó ta có điều phải chứng minh.
3.4. Bổ đề:
Giả sử A, B, C là các nhóm con, H là nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu
hai trong ba hoán tập [A,B,C]; [B,C,A]; [C,A,B] nằm trong H thì hoán tập còn
lại cũng nằm trong H. Nếu A, B, C là các nhóm con chuẩn tắc của G.Thì
[AB,C]=[A,C].[B,C].
Chứng minh:


15
Bổ đề này suy ra từ các công thức hoán tử.
1

[a,b]-1=[b,a]; [ab,c]=[a,c]b.[b,c]; [a-1,b]=[b,a] x
và đồng nhất thức Jacôbiêng
[a,b-1,c]c.[b,c-1,a]c.[c,a-1,b]a=1.
3.5. Mệnh đề:
Nhóm con bất kỳ của một nhóm luỹ linh là á chuẩn. Cụ thể hơn, nếu G là
nhóm luỹ linh bậc s, thì đối với mọi nhóm con H của nó, dãy chuẩn hoá liên tiếp
đạt đến G không quá s bớc.
Chứng minh:
Chúng ta đa vào ký hiệu: Zi=iG, Ho=H; Hj+1=NG(Hj)

Ta chỉ cần kiểm tra đợc Zi n Hi.
Đối với i=0, điều đó là hiển nhiên. Bây giờ ta chuyển từ i sang i+1.
Bởi vì [G, Zi+1] n Zi n Hi nên H iz n Hi [HiZi+1] n Hi
i +1

điều đó có nghĩa là Zi+1 chuẩn hoá Hi, nên Zi+1 n Hi+1 điều phải chứng minh.
3.6. Mệnh đề:
Trong nhóm luỹ linh, nhóm con chuẩn tắc không tầm thờng có giao
không tầm thơng với tâm.
Chứng minh:
Quy nạp theo bậc luỹ linh:
Giả sử G là nhóm luỹ linh, H G; H 1; Zi= iG.
Nếu H n Z1 thì điều khẳng định là tầm thờng.
Giả sử H không phải là ớc chuẩn của Z1. Khi đó sử dụng giả thiết qui nạp
đối với G/Z1, ta có giao HZ1 Z2 chứa phần tử a Z1, vì a=h.z, h H, zZ1, nên
hHZ2, h Z1. Giả sử phần tử g G thoả mãn điều kiện [h,g] 1, khi đó
n

[h,g] H [Z2,G] H Z1 H Z1 không tầm thờng.
3.7. Mệnh đề:
Trong nhóm luỹ linh tuỳ ý G, mọi nhóm con chuẩn tắc Aben tối đại trùng
cái tâm hoá của nó. Nói riêng, A là nhóm con Aben tối đại và G/A đợc nhúng
đẳng cấu vào Aut G.


16
Chứng minh:
n

Ký hiệu H=CG(A). Giả sử đã chứng minh đợc HZ1 A và giả sử

xHZi+1 nhóm con <x, A> là nhóm con chuẩn tắc của G và chứa A.
n

Theo tính chất tối đại, ta có <x,A>=A. Do đó H Zi+1 A vì Zn=G nên
H=A điều phải chứng minh.
3.8. Mệnh đề:
Trong nhóm luỹ linh G bất kỳ, tập hợp T(G) các phần tử có cấp hữu hạn
của G là một nhóm con của G.
Chứng minh:
Quy nạp theo bậc luỹ linh của nhóm.
Nếu G là nhóm luỹ linh theo bậc luỹ linh bằng 1 thì G là nhóm Aben do
đó T(G) là nhóm con của G.
Giả sử kết luận đúng với mọi nhóm luỹ linh mà bậc luỹ linh nhỏ hơn hoặc bằng
s-1.
Ta cần chứng minh kết luận của định lý đúng với mọi nhóm luỹ linh G
bậc bằng s.
Giả sử a, b G và a, b T(G)
Đặt A= <a, [G,G]>
B=<b, [G,G]>
Khi đó a, b là nhóm luỹ linh với bậc luỹ linh S-1
Theo giả thiết quy nạp T(A); T(B) là nhóm của A; B tơng ứng.
Giả sử x T(A) thì x A và n Z, n 0: xn=e vì A G nên g-1xg A,
g G và (g-1xg)n=g-1xg.g-1xg g-1xg=g-1eg=e.
g-1xg T(A) T(A) G, tơng tự T(B) G.
Giả sử x T(A); y T(B) x A; và n Z, n 0; xn = e
(x.y)n =x.y.x.yx.y=x.y.x-1.x2.y.x-2.xn.y.x-n.xn


17
(x.y)n T(B) (x.y)n B và m Z, m 0 sao cho [(x,y)n]m=e

a A

(x.y)n.m=e với m,n Z, m.n 0 (x.y) T(B) x.y T(G) vì a T (G )

a có cấp hữu hạn
a T(A); tơng tự b T(B) a.b T(G) (theo chứng minh trên).
n

Vì a T(A) và T(A) A a-1 T(A) mà e T(B) nên theo chứng minh
n

trên ta có a-1=a-1e T(G), vậy T(G) G
3.9. Mệnh đề:
Trong nhóm luỹ linh phi xoắn, phép khai căn là đơn trị.
Chứng minh:
Giả sử G là nhóm luỹ linh phi xoắn và a, b G thoả mãn an=bn với n là
số nguyên dơng. Ta cần chứng minh a=b.
Ta sẽ chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo bậc luỹ linh của nhóm.
Giả sử bậc luỹ linh của nhóm G bằng 1, khi đó G là nhóm Aben
nên a.b=b.aa.b-1=b-1.a (a.b-1)n=an(b-1)n= anb-n=bnb-n=e vì (ab-1)n=e và G phi
xoắn nên ab-1=e a=b.
Giả sử kết luận của mệnh đề đúng với mọi nhóm luỹ linh bậc s-1 và G
là nhóm luỹ linh bậc s.
Ký hiệu N= <a, [G,G]> N G và N là nhóm với bậc luỹ linh s-1, khi
đó a N và ab=b-1a.b=a.a-1b-1.a.b N [G,G].
Hơn nữa (ab)n=(b-1a.b)n= b-1ab b-1ab b-1ab= b-1.an.b=b-1.bn.b=bn=an
ab=a(theo quy nạp)
b-1.a.b=a b-1.a=a.b-1 (a. b-1)n=an(b-1)n=an.b-n= bn. b-n=e (vì G phi xoắn)

a=b.

3.10. Hệ quả:
Giả sử G là nhóm luỹ linh phi xoắn và a m.bn=bn .am với a, b G và m, n
là các số nguyên dơng. Khi đó a.b=b.a.


18
Chứng minh:
Ta có (b-na.bn)m=b-n.a.bn.b-n.a.bn b-na.b=b-nambn
nên từ am.bn=bnam am=b-n.am.bn=(b-n.a.bn)m a=b-n.a.bn (theo mệnh đề
3.9) bn=a-1bna=(a-1b.a)n b=a-1b.a (theo mệnh đề 3.9) ab = ba.

3.11. Mệnh đề:
Giả sử G là nhóm luỹ linh phi xoắn. Khi đó đơn vị là phần tử duy nhất
liên hợp với nghịch đảo của nó.
Chứng minh:
Giả sử: 1=Go n G1 n n Gn=G là dãy tâm trên của nhóm luỹ linh G,
nghĩa là [Gi+1,Gi] n Gi, i= 0, n và x là phần tử của G liên hợp với x-1.
Khi đó tồn tại phần tử g G sao cho x= g-1x-1g x2=g-1x-1gx=[g,x]
[Gn,Gn-1] n Gn-1 .
n

Tơng tự x2=g-1x-1g.g-1x-1g=g-1x-2g x4=g-1x-2gx2 [Gn-1,Gn-2] Gn-2
Do đó tồn tại số tự nhiên m sao cho x 2m Go=, vì G không phi xoắn nên
x=1.


19

Đ4. Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu
4.1. Nhóm toàn hình.

4.1.1. Xây dựng nhóm toàn hình của một nhóm cho trớc.
Giả sử G là một nhóm tuỳ ý. Bài toán đặt ra trong tiết này là hãy nhúng
chìm G vào một nhóm G* nào đó sao cho mỗi tự đẳng cấu của G là một tự đẳng
cấu trong của G*.
Ký hiệu: := Aut(G) là nhóm các tự đẳng cấu của G và G *=

{ | , g G} là các cặp hình thức g với , g G xác định trên G*
phép toán nhân theo quy tắc:
g.'.g'=..'g.'g' (1)
Khi đó, các tiên đề của nhóm đợc thoả mãn và G* trở thành nhóm hơn nữa
các ánh xạ:
G*

,

1

G G*
g 1g (2)

là các đơn cấu. Do đó có thể đồng nhất và G với các nhóm con tơng ứng của
G . Từ các qui tắc nhân ở (1) suy ra:
*

-1g =g với , g G (3)
Thế thì G*=G, G G*, G=1(4)
Và do (3), mỗi tự đẳng cấu của G là một tự đẳng cấu trong G*
Bài toán đợc giải quyết trọn vẹn.
4.1.2. Định nghĩa:
Nhóm G đợc xây dựng ở trên đợc gọi là nhóm toàn hình của nhóm G.

Kí hiệu HolG.


20

4.1.3. Chú ý:
n

Nếu thay thế =Aut(G) bởi Aut(G) thì trong G, các tính chất (3),
(4) vẫn thoả mãn.
Trong trờng hợp này, nhóm G đợc gọi là mở rộng của nhóm G bởi các
tự đẳng cấu .
4.1.4. Mệnh đề:
Giả sử G là nhóm hoàn chỉnh. Khi đó Hol G GxG. Nói riêng, nếu n
2, n 6 thì Hol Sn SnxSn
Chứng minh:
Vì G là nhóm hoàn chỉnh nên Aut G G. Mặt khác, vì G Hol G nên
G là hạng tử trực tiếp và do đó Hol G GxG.
Với n 2, n 6 thì Sn là nhóm hoàn chỉnh nên HolSn SnxSn.
4.1.5. Mệnh đề:
Giả sử K là một trong các vành Z hay Zm hay Q.
1



*
Thế thì: Hol K 0 | K , K

Chứng minh:
Vì AutZ Z*, AutZm (Zm)*, AutQ Q* nên các tự đẳng cấu của nhóm
cộng tính K vét kiệt phép nhân các phần tử trên K*. Do đó:
1



*
Hol K 0 | K , K Mệnh đề đợc chứng minh




4.2. Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu.
Giả sử K là một trờng và n là số nguyên dơng cho trớc. Khi đó, tập hợp
tất cả các ma trận vuông cấp n với phần tử trên K mà tất cả các phần tử trên đờng
chéo chính đều bằng 1, cùng với phép nhân thông thờng là một nhóm và đợc gọi
là nhóm Unhita. Ký hiệu UT(n;k).
Với mỗi số nguyên dơng mUTm(n;k) là tập hợp tất cả các ma trận thuộc nhóm UT(n;k) với m-1 dãy phần tử
bằng không ở góc trên đờng chéo chính.


21
Khi đó UT(n;k) có dãy tâm.
UT(n;k)= UT1(n;k) UT2(n;k)

. UTn(n;k)=1

nên UT(n;k) là nhóm luỹ linh.
Nhng ta biết rằng, các ma trận không suy biến chính là các tự đẳng cấu của
các không gian véctơ với một cơ sở cố định, và các ma trận tam giác Unhita tơng
ứng với các tự đẳng cấu giữ nguyên vị trí của dãy các không gian con và tác
động đồng nhất trong không gian thơng của dãy đó. Khảo sát các mệnh đề dới
đây, ta thấy nguyên nhân của các tính chất trên là do tính luỹ linh.
4.2.1.Định lí:
Giả sử trong nhóm G đã cho dãy ớc chuẩn G=Go G1 Gn=1 (1)
độ dài n và là nhóm tất cả các t đẳng cấu của G bất biển trên từng thành
phần của dãy (1) và tác động đồng nhất trong các thơng Gi/Gi+1 (nghĩa là ổn
định với dãy (1)).
Chúng ta xét G và nh nhóm con của nhóm toàn hình Hol G.Khi đó
nhóm và hoán tập [G,] là các nhóm luỹ linh bậc nhỏ hơn n.
Chứng minh:
i) là nhóm luỹ linh bậc nhở hơn n. Thật vậy, theo giả thiết có ( Gi)= Gi,
[Gi,] Gi+1 (2) với mọi i=0,1,,n-1.
Giả sử i là cái tâm hoá trong của nhóm thơng Gi/Gi+1, i=0,1,
Khi đó =1

2



n=1 (3), và do đó chúng ta chỉ cần chứng minh

rằng(3) là dãy tâm trong , nghĩa là [j,]
[[Gi, [j,]]
[j, [,Gi]]

j+1 đối với tất cả các j, hay:

Gi+j+1 đối với tất cả các i, j. Nhng điều này suy ra từ các hệ thức.
[j, Gi+1] Gi+j+1 và [, [Gi,j]]

[,Gi+j]

Gi+j+1

và theo bổ đề 3.4.
ii). Nhóm [G,] là nhóm luỹ linh bậc nhỏ hơn n. Thật vậy, ta có:
[G,[,Gi]]

[G,Gi+1]

[ [Gi,G]]

[,Gi]

Gi+1
Gi+1

Do đó, theo bổ đề 3.4, ta có:[ Gi, [ ,]]

Gi+1 đối với tất cả Gi. Điều đó

có nghĩa là sự liên hợp các phần tử trong [G,] tác động đồng nhất trong nhóm


22
thơng của dãy G1

G2



Gn=1. Nh đã chứng minh trong khẳng định i) nhóm

này tự liên hợp, nghĩa là [G,]/C [G,] (G1) là nhóm luỹ linh bậc n-1. Mặt khác,
[G,]

G1, do đó C[G,] (G1) nằm trong tâm của [G,].

Từ đó suy ra ii).
Đinh lý 4.2.1 đợc chứng minh.
Đến đây, một câu hỏi đặt ra là: có thể thay điều kiên "chuẩn tắc" trong dãy
(1) bởi điều kiện "dãy nhóm con". Câu trả lời là khẳng định,nhng chứng minh rất
phức tạp.
4.2.2. Đinh nghĩa:
Nhóm các tự đẳng cấu trong định lý 4.2.1. đợc gọi là cái ổn định của
dãy (1)
4.2.3. Định lý:
Cái ổn định của dãy giảm các nhóm con độ dài r là nhóm luỹ linh bậc
không vợt quá Cr2 .
Chứng minh:
Ta chứng minh qui nạp theo độ dài của dãy (1). Giả sử là các ổn định của
dãy (1). Giả sử A= C (G). Vì là cái ổn định của dãy G1

G2

., độ dài n-1,

2
nên theo giả thiết qui nạp, nhóm /A là nhóm luỹ linh bậc không vợt quá Cn1 ,
nghĩa là 1+Cn-12 A.

Ký hiệu A1=A, Ai+1=[Ai,A]. Vì A nên: A

A1

A2

Chúng ta chỉ cần chứng minh [G,Ar]=1 (4)
Để chứng minh đợc (4), chúng ta sẽ đa về chứng minh [G,Ai]
cả i.
Đối với i=1, điều đó là hiển nhiên. Ta chuyển từ i sang i+1.

Gi đối với tất

Giả sử g G, ai+1 Ai+1 cần chứng minh rằng [a i+1,g] Gi+1. Nhng ai+1 là hoán
g
tử có dạng [ai,-1], trong đó aiAi. . Phần tử ai đó chính là phần tử thuộc
tích.

[ai,]g=[ai,-1][ai,-1,g] (5)
Hơn nữa: [ai,-1,g] Gi+1 do đồng nhất thức Jacobi và do các hệ thức sau:
[,g-1,ai] [,G,Ai] [Gi,A]=1


23
[g, ai1 ,] [G,Ai,] [Gi,]

Gi+1

Bởi vậy, trong tích (5) n phần tử bên trái thuộc A, còn nhân tử bên phải thuộc
Gi+1. Nhng A tâm hoá Gi Gi+1, và do đó aig+1 ai+1. Gi+1. Từ đó [ai+1,g] Gi+1 và
định lý 4.2.3. đợc chứng minh.


24

Kết luận
Khoá luận đã thu đợc kết quả sau:
-Tổng quan về nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm cho trớc.
-Tổng quan lại về nhóm các tự đẳng cấu của nhóm Aben.
- Nhắc lại định nghĩa và các tính chất của nhóm luỹ linh.
- Xây dựng nhóm toàn hình của một nhóm cho trớc.
-Khảo sát một số tính chất của nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu.
Việc khảo sát các tính chất của nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu là vấn đề của
chúng tôi tiếp tục nghiên cứu.


25

Tài liệu tham khảo
1. Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm, ĐHSP Vinh, 1997.
2. Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số đại cơng, NXBGD, 2001.
3. Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng, NXBGD, 2001.
4. Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ, Bài tập Đại số, NXB Đại học và Trung học
chuyên nghiệp, 1978.