Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh

Trờng đại học vinh
Khoa toán

Phạm khắc quý

Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân khoa học toán

Vinh - 2005

Vinh - 2005

2


Trờng đại học vinh
Khoa toán

Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh
Chuyên ngành đại số

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân khoa học toán

Giáo viên hớng dẫn: pgs.ts. lê quốc hán
Sinh viên thực hiện: phạm khắc quý
Lớp: 41e2 - toán
Vinh - 2005

Vinh - 2005

3


Mục lục
Trang.
Lời nói đầu
Chỉ dẫn ký hiệu

3
4

Đ1. Nhóm aben hữu hạn sinh

5

Đ2. Nhóm luỹ linh

15

Đ3. Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh
Kết luận
Tài liệu tham khảo

21
33
34

4

lời nói đầu:
Trong lý thuyết nhóm, lớp nhóm Aben có nhiều tính chất tốt và do đó có
nhiều ứng dụng trong đại số nói riêng và trong toán học nói chung. Do đó việc
khảo sát các nhóm Aben đợc đặc biệt quan tâm và nghiên cứu từ rất sớm và nhiều
kết quả thu đợc đã trở thành kinh điển. Một trong các kết quả đó là sự mô tả về
cấu trúc các nhóm Aben hữu hạn sinh(xem định lý 1.9 và 1.10).
Vì nhóm luỹ linh là lớp nhóm gần với lớp nhóm Aben nhất, nên một ý tởng
nảy ra khá tự nhiên là chuyển kết quả trên sang mô tả các cấu trúc của nhóm luỹ
linh hữu hạn sinh. Việc làm này khá thuận lợi khi G là nhóm luỹ linh hữu hạn sinh
không xoắn(định lý 3.8) nhng trong trờng hợp nhóm luỹ linh bất kỳ còn phải đa
vào một cơ sở chuẩn của nhóm G mới thu đợc kết quả bớc đầu(xem định lý 3.12
và các hệ quả của nó).
Luận văn gồm 3 tiết.
Tiết 1: Nhắc lại một số kết quả đã biết về nhóm Aben hữu hạn sinh.
Tiết 2: Nhắc lại các kết quả đã biết về nhóm luỹ linh.
Tiết 3: Đây là phần chủ yếu của luận văn nhằm khảo sát các nhóm luỹ linh
hữu hạn sinh với các kết quả đợc nêu lên trong các định lý 3.8, định lý 3.12 và các
hệ quả của nó.
Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS - TS. Lê Quốc
Hán, nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về những sự
giúp đỡ tận tình chu đáo và những góp ý thiết thực.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, các cô trong tổ đại số và các bạn học trong lớp đã
động viên giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này,
Vì thời gian và trình độ có hạn bản luận văn không thể tránh khỏi nhng thiếu
sót. Rất mong nhận đợc sự góp ý của bạn đọc để hoàn thiện trong quá trình học
tập và nghiên cứu sau này.
Tác giả.

chỉ dẫn ký hiệu

5


Ký hiệu

AB
<S>




Ai



Ai

i =1

i =1

ý nghĩa

A là tập con của B
Nhóm sinh bởi tập S
Hợp của các Ai, i = 1, 2, ...
Giao của các Ai, i = 1. 2, ...

AB

A là ớc chuẩn của B

A B

Tổng trực tiếp của A và B

M n G
[a, b]

M là nhóm con của nhóm G
Hoán tử của a và b

[A,B]

Nhóm con sinh bởi các hoán tử dạng [a,b]

[G, G]

với a A, b B
Hoán tập hay đạo nhóm của nhóm G

A

Lực lợng của tập hợp A
Kết thúc chứng minh

6

Đ1. Nhóm aben hữu hạn sinh.
Các nhóm Aben hữu hạn sinh đáng đợc quan tâm đặc biệt vì chúng đóng vai
trò quan trọng trong nhiều ứng dụng. Trong tiết này chúng ta sẽ nghiên cứu về lớp
nhóm này.
1.1. Định nghĩa: Một nhóm X đợc gọi là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu có một tập
hợp hữu hạn S những phần tử của X sinh ra X.
1.2. Bổ đề: Mọi nhóm Aben đều đẳng cấu với một nhóm thơng của nhóm Aben tự
do.
Chứng minh: Giả sử X là một nhóm Aben tuỳ ý cho trớc, Ta hãy rút ra một
tập sinh bất kỳ S của X, chẳng hạn ta có thể lấy S = X.
Xét nhóm Aben tự do sinh bởi S. Khi đó hàm bao g : S X mở rộng ra thành
đồng cấu h : F X. Vì S = g(S) h(F) và vì S sinh ra X, nên ta có h(F) = X. Do
đó h là một toàn cấu. Giả sử K là hạt nhân của h. Thế thì X đẳng cấu với nhóm th ơng F/K của nhóm tự do F. Vậy bổ đề đợc chứng minh.
Từ chứng minh bổ đề 1.2, ta suy ra: Mọi nhóm Aben với n phần tử sinh đều
đẳng cấu với một nhóm thơng của nhóm Aben tự do hạng n. Từ đó, để mô tả các
nhóm Aben hữu hạn sinh, trớc hết ta cần khảo sát các nhóm con của nhóm Aben
tự do hạng n.
1.3. Bổ đề: Mọi nhóm con G của nhóm Aben tự do F hạng n là nhóm Aben tự do
hạng r(G) n.
Hơn nữa, có một cơ sở

X = {u1, u2, ..., un}

trong F và một cơ sở

= {v1, v2, ..., vm} trong G, với m = r(G), thoả mãn:
vi = tiui, i = 1, 2, ..., m.
trong đó t1, t2, ..., tm là những số nguyên sao cho ti+1 chia hết cho ti, với i = 1, 2, ...,
m-1.
Chứng minh: Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp. Khi n = 0, bổ đề trở thành

tầm thờng.
Giả sử n > 0, và giả sử bổ đề 1.3 đúng khi thay thế n bởi n - 1.
Nếu G = {0} thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh. Vì vậy ta sẽ giả thiết
G không tầm thờng.
7


Giả sử = {x1, x2, ..., xn} là một cơ sở tuỳ ý của F. Thế thì mọi phần tử g F
có thể biểu thị một cách duy nhất dới dạng tuyến tính
g = k1x1 + k2x2 + ... + knxn
qua x1, x2, ..., xn với các hệ số nguyên k1, k2, ..., kn.
Giả sử () là số nguyên dơng nhỏ nhất xuất hiện nh là một hệ số trong các
dạng tuyến tính đó. Số () đó phụ thuộc vào cơ sở . Ta hãy giả thiết rằng cơ sở
đã đợc lựa chọn sao cho () có giá trị nhỏ nhất có thể đợc.
Đặt t1 = (). Theo định nghĩa của số dơng (), có một phần tử v1 sao cho t1
xuất hiện nh là một hệ số trong dạng tuyến tính của v 1. Bằng cách hoán vị các
phần tử của cơ sở x1, x2, ..., xn, nếu cần. Ta có
v1 = t1x1 + k2x2 + ... + knxn trong đó k1, k2, ..., kn là những số nguyên.
Chia các số nguyên k2, k3, ..., kn cho số nguyên dơng t1, ta đợc ki = qi t1 + ri với
0 ri < t1, i = 2, 3, ..., n.
Nếu ta kí hiệu u1 = x1 + q2x2 + ... + qnxn thì ta đợc một cơ sở mới
= {u1, x2, ..., xn} của F sao cho
v1 = t1u1 + r2x2 + ... + rnxn



trong đó 0 ri < t1, i = 2, 3, ..., n. Nên từ sự lựa chon số dơng t1, ta suy ra

ri

= 0, i = 2, 3, ..., n. Do đó vi = t1u1.
Gọi H là nhóm con của F sinh bởi n - 1 phần tử x 2, ..., xn. Thế thì H là một
nhóm Aben tự do hạng n - 1. Xét nhóm con K = H G của nhóm con đã cho G
của F.
Vì H là một nhóm Aben tự do hạng n - 1 và K là một nhóm con của H nên từ
giả thiết quy nạp ta suy ra rằng K là một nhóm Aben tự do hạng không lớn hơn
n - 1. Giả sử hạng của K là m - 1. Thế thì ta có m n. Theo giả thiết quy nạp, có
một cơ sở {u2, ..., un} của H và một cơ sở {v 2, ..., vm} của K sao cho vi = tiui,
i = 2, 3, ..., m
Trong đó t2, ..., tm là những số nguyên dơng thoả mãn ti + 1 chia hết cho ti, với mọi i
= 2, ..., m - 1.

8


Để chứng minh rằng G là nhóm Aben tự do, giả sử J là nhóm xyclic vô hạn
của F sinh bởi phần tử v1. Vì v1 G, nên ta có J G.
Vì = {u1, x2, ..., xn} là một cơ sở của F và v1 = t1u1 nên ta có:
J K J H = {0}.
Mặt khác, giả sử g là phần tử tuỳ ý của G. Vì là một cơ sở của F, nên ta có
G = c1u1 + c2x2 + ... + cnxn
trong đó c1, c2, ..., cn là những số nguyên. Chia c1 cho t1, ta đợc c1 = qt1+p với

0

r < ti.
Thế thì nhóm G chứa phần tử
k = g - qv1 = pu1 + c2x2 + ... +cnxn
vì 0 r < t1, nên từ sự lựa chọn của số nguyên dơng t1, ta suy ra rằng r = 0. Do đó
k = c2x2 + c3x3 + ... + cnxn H.

Điều này kéo theo k H G = K. Vì vậy
g = qv1 + k J + K.
Do g là phần tử bất kỳ của G nên ta có G J + K, điều này suy ra G = J + K.
Mặt khác J K = {0} nên ta có G = J K. Nh vậy ta đã chứng minh đợc G
là một nhóm Aben tự do hạng m n.
Dĩ nhiên = {u 1 , u 2 , ..., u n } là một cơ sở của F. Ta chứng minh rằng
= {v 1 , v 2, ...,vm} là một cơ sở của G.
Thật vậy giả sử g là một phần tử tuỳ ý của G. Vì G = J K nên tồn tại duy
nhất x J và y K thoả mãn g = x + y. Do J là nhóm xyclic vô hạn sinh bởi v 1,
nên x xác định một số nguyên d 1 sao cho x = d1v1. Vì K là nhóm Aben tự do nhận
{v2, v3, ..., vm} làm cơ sở, nên y đợc biểu thị duy nhất dới dạng tuyến tính
y = d2v2 + ... + dmvm
của các phần tử v2, ..., vm trong đó d2, ..., dm là những số nguyên. Nh vậy ta đã
chứng minh đợc g có thể biểu thị duy nhất dới dạng tuyến tính
g = d1v1 + d2v2 + ... + dmvm

9


Từ đó ta suy ra = {v1, v2, ..., vm} là một cơ sở của G. Còn phải chứng minh t 2
chia hết cho t1. Muốn vậy, ta chia t2 cho t1 ta đợc t2 = q0t1 + r0, 0 r0< t1
Xét phần tử w1 = u1 - q0u2. Thế thì {w1, u2, ..., un} là một cơ sở của F. Đối với
cơ sở này ta có
v2 - v1 = (- t1)w1 + r0u2
trong đó 0 r0< t1, nên từ sự lựa chọn của số nguyên dơng t1 ta suy ra rằng r0 = 0.
Do đó t2 chia hết cho t1. Bổ đề đợc chứng minh.
1.4. Bổ đề: Mọi nhóm Aben với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một tổng trực
tiếp của n nhóm xyclic cấp t1, t2, ..., tn với
1 t1 t2 ... tn
trong đó ti + 1 chia hết cho ti, trong trờng hợp ti + 1 hữu hạn.

Chứng minh.
Giả sử X là nhóm Aben tuỳ ý cho trớc với một tập S ={x1, x2, ..., xn} những
phần tử sinh. Khi đó X đẳng cấu với nhóm thơng F/G của nhóm Aben tự do F
hạng n sinh bởi S trên nhóm con G. Theo bổ đề 1.2, G là nhóm Aben tự do hạng
m n. Ngoài ra, có một cơ sở = {u1, u2, ..., un} của F và một cơ sở



= {v1, v2, ..., vm} của G thoả mãn vi = tiui, i = 1, 2, ..., m. Trong đó t 1, t2, ..., tm là
những số nguyên dơng với ti + 1 chia hết cho ti , i = 1, 2, ..., m - 1.
Định nghĩa n nhóm xyclic C1, C2, ..., Cn nh sau: Nếu i m thì Ci là nhóm
xyclic cấp ti sinh ra bởi một phần tử i. Gọi là tổng trực tiếp của n nhóm xyclic
C1, C2, ..., Cn đó. Ta sẽ xhứng minh F/G .
Muốn thế, trớc hết ta nhắc lại rằng các phần tử của chính là các ánh xạ

: M C từ tập hợp M = {1, 2, ..., n} vào tập hợp C là tổng của n tập C1, C2, ..., Cn
sao cho (i) Ci, i = 1, 2, ..., n.
Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ h : F nh sau. Giả sử x là một phần tử tuỳ ý
cho trớc của F. Vì = {u1, u2, ..., un} là một cơ sở của F, nên có thể biểu thị một
cách duy nhất dới dạng x = k1u1 + k2u2 + ... + knun, trong đó k1, k2, ..., kn là những
số nguyên. Ta cho x ứng với ánh xạ h(x): M C xác định bởi
10


[h(x)](i) = kii Ci, với i M.
Khi đó h là toàn cấu và ker(h) = G, do đó theo định lý đồng cấu ta có F/G . Bổ
đề đợc chứng minh.
Chú ý: Một nhóm Aben đợc gọi là không phân tích đợc nếu và chỉ nếu nó không
thể phân tích đợc thành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thờng.
1.5. Bổ đề: nhóm cộng các số nguyên là không phân tích đợc.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử là phân tích đợc
thành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thờng A và B của . Vì A và B
không tầm thờng, nên tồn tại những số nguyên 0 a A và 0 b B.
Do A và B là những nhóm con của , nên ta có ab A và ab B. Do đó
ab A B A B {0}. Điều này mâu thuẫn với A B = {0} do

0
=

A B.
Vậy Z không phân tích đợc. Bổ đề đợc chứng minh.
1.6. Bổ đề: Giả sử n = pm, trong đó p là số nguyên tố và m là số nguyên dơng. Khi
đó nhóm cộng n là không phân tích đợc.
Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề bằng phản chứng. Giả sử n là phân tích
đợc thành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thờng A và B của n, khi đó
tồn tai hai số nguyên và , cả hai đều nhỏ hơn m sao cho A và B là những nhóm
con xyclic của Zn sinh bởi các phần tử p và p theo thứ tự. Ta suy ra rằng một
trong hai nhóm con A và B đó chứa nhóm con kia. Vì A và B không tầm thờng nên
mâu thuẫn với điều kiện A B = {0}. Vậy n không phân tích đợc. Bổ đề đợc
chứng minh.
1.7. Bổ đề: Giả sử n = pq, trong đó p và q là hai số nguyên dơng nguyên tố cùng
nhau. Khi đó
Zn Zp Zq.
11


Chứng minh: Số nguyên q trong nhóm Zn các số nguyên mod n sinh ra nhóm
xyclic
A = {0, q, 2q, ..., (p - 1)q}, cấp p.
Tơng tự, số nguyên p trong Zn sinh ra nhóm xyclic

B = {0, p, 2p, ..., (q - 1)p}, cấp q.
Vì (p,q) = 1 nên , Z sao cho p + q = 1. Điều này kéo theo phần tử
sinh 1 của Zn nằm trong nhóm con A + B. Do đó Zn = A + B.
Dễ dàng nhận thấy A B = {0} nên theo định nghĩa ta có Zn= A B. Bổ đề
đợc chứng minh.
1.8. Bổ đề: Giả sử số tự nhiên n đợc phân tích thành tích các luỹ thừa của các số
nguyên dạng tiêu chuẩn n = p 1m p m
2
1

2

... p m
. Khi đó
r
r

Zn Z k Z k ... Z k
1

2

r

trong đó ki = pi , i = 1, 2, ..., r.
Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp.
Khi r = 1 bổ đề trở nên tầm thờng. Vì vậy ta giả sử r > 1và ta thừa nhận kết
luận của bổ đề đúng đến r -1.
Đặt p = p 1m p m
2

1

2

... p m
và q = pr, khi đó p và q là hai số nguyên tố cùng
r 1
r 1

nhau nên theo bổ đề 1.7, ta có Zn Zp Zq.
Theo giả thiết quy nạp ta có Zp Z k Z k ... Z k và Zq Z k , nên ta có
1

r 1

2

r

Zp Z k Z k ... Z k , trong đó ki = p im , i = 1, 2, ..., r.
i

1

2

r

Vậy bổ đề đợc chứng minh.
Chú ý: Một nhóm xyclic hữu hạn đợc gọi là nhóm xyclic nguyên sơ, nếu và chỉ

nếu cấp của nó là một luỹ thừa pm của một số nguyên tố p nào đó.
Từ các bổ đề trên ta suy ra hệ quả:
Hệ quả 1: (i) Một nhóm xyclic không tầm thờng là không phân tích đợc khi và chỉ
khi nó là vô hạn hoặc nguyên sơ.
(ii) Mọi nhóm xyclic hữu hạn không tầm thờng đều phân tích đợc thành
tổng trực tiếp của những nhóm xyclic nguyên sơ.
12


Từ hệ quả 1và bổ đề 1.4 ta có định lý sau:
1.9. Định lý về sự phân tích.
Mọi nhóm Aben hữu hạn sinh đều phân tích đợc thành tổng trực tiếp của một
số hữu hạn nhóm xyclic vô hạn hoặc nguyên sơ.
Bây giờ ta hãy xét một sự phân tích tuỳ ý cho trớc
X = X1 X2 ... Xn
của một nhóm Aben thành tổng trực tiếp của n nhóm con xyclic không phân tích
đợc X1, X2, ..., Xn của X. Theo hệ quả trên ta có một số trong các nhóm xyclic đó
là hữu hạn và nguyên sơ, còn lại các nhóm con khác là vô hạn. Dễ dàng thử
nghiệm đợc rằng tổng các hạng tử hữu hạn của sự phân tích đó là nhóm con xoắn
(X) của X và số các hạng tử vô hạn của sự phân tích đó bằng hạng của nhóm
Aben tự do X/(X). Hơn nữa, tổng các hạng tử hữu hạn mà cấp là những luỹ thừa
của một số nguyên tố p chính là thành phần p - nguyên sơ Cp(X) của X.
Theo định nghĩa, tổng trực tiếp X1 X2 ... Xn không phụ thuộc vào sự
xắp xếp của các hạng tử X1, X2, ..., Xn. Do đó ta có thể sắp xếp các hạng tử theo
thứ tự sau:
Ta xuất phát từ nhóm xyclic nguyên sơ, mà cấp là luỹ thừa cao nhất của số
nguyên tố nhỏ nhất p, rồi tiếp theo là nhóm con xyclic nguyên sơ mà cấp là luỹ
thừa cao nhất còn lại của p, và cứ nh thế cho tới khi thành phần p - nguyên sơ
Cp(X) bị vét cạn. Rồi ta liệt kê các thành phần nguyên sơ cho số nguyên tố nhỏ
nhất còn lại nh đã làm với p. Ta tiếp tục làm theo cách ấy cho tới khi ta đã liệt kê

tất cả các hạng tử có cấp hữu hạn. Cuối cùng ta viết các hạng tử vô hạn. Trong trờng hợp các hạng tử X1, X2, ..., Xn đã đợc sắp xếp theo cách ấy, sự phân tích X =
X1 ... Xn gọi là sự phân tích tiêu chuẩn của X.
1.10. Định lý về tính duy nhất.
Giả sử X và Y là hai nhóm Aben hữu hạn sinh đẳng cấu với nhau và có sự
phân tích tiêu chuẩn
X = X1 X2 ... Xn
Y = Y1 Y2 ... Yq
Khi đó n = q và Xi Yi, i = 1, 2, ..., n.

13


Chứng minh. Giả sử h : X Y là đẳng cấu. Vì ảnh h(x) Y của một phần tử
x X có cấp hữu hạn cũng có cấp hữu hạn, nên suy ra rằng h chuyển nhóm con
xoắn (X) của X một cách đẳng cấu lên nhóm con xoắn (Y) của Y. do đó h cảm
ứng ra một đẳng cấu:
h* : X/(X) Y/(Y).
Điều này kéo theo số hạng tử xyclic vô hạn trong sự phân tích tiêu chuẩn là
bằng nhau.
Vì h chuyển (X) một cách đẳng cấu lên (Y), nên bây giờ ta có thể giả thiết
rằng X và Y là những nhóm xoắn, tức X = (X) và Y = (Y). Nh vậy, tất cả các
hạng tử Xi, Yj đều là những nhóm xyclic nguyên sơ.
Vì ảnh h(x) Y phải có cùng cấp nh phần tử x X, nên ta suy ra rằng với mỗi
số nguyên tố p, h chuyển thành phần p - nguyên sơ Cp(X) của X một cách đẳng
cấu lên thành phần p - nguyên sơ của Y. Nhờ đó, ta có thể giả thiết rằng X và Y là
những nhóm p - nguyên sơ, tức X = Cp(X) và Y = Cp(Y). Thế thì cấp của các nhóm
con xyclic Xi và Yj là những luỹ thừa của p, p và p theo thứ tự chẳng hạn. Hơn
nữa ta có
i

j

1 2 ... n 1
1 2 ... q 1
còn phải chứng minh n = q và i = i, i = 1, 2, ..., n.
Thật vậy, trớc hết ta xét nhóm con A X và B Y sinh bởi phần tử cấp p.
Thế thì A có cấp p và B có cấp p. Vì đẳng cấu h rõ ràng chuyển A lên B, nên suy
ra pn = pq và do đó n = q.
Ta chứng minh i = i, i = 1, 2, ..., n bằng phản chứng. Giả sử rằng, với một
số nguyên k nào đó với 1 k n, ta có k k, trong lúc đó i = i, i < k.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng i < i.
Xét các nhóm con C X và D Y gồm các phần tử chia hết cho số nguyên
m = p .
k

14


Nếu 1, ..., n là các phần tử sinh của các nhóm con xyclic X 1, ..., Xn thì C đợc
sinh ra bởi các phần tử {m1, m2, ..., mn }.
Tơng tự nếu 1, 2, ..., n là các phần tử sinh của các nhóm con xyclic Y1,
Y2,..., Yn thì D đợc sinh ra bởi các phần tử {m1,m2,..., mn}.
k 1

Vì: k - 1 = k - 1 k > k. Ta suy ra rằng nhóm C có cấp là = p và
i

k

i =1

nhóm D có cấp là

k


i =1

p = p > , hay > .
i

k

i

k

Mặt khác, đẳng cấu h rõ ràng chuyển C lên D. do đó = . Điều này dẫn đến
mâu thuẫn. Do đó i = i, i = 1, 2, ..., n.
Vậy định lý đợc chứng minh.
Khi X = Y ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2: Mọi nhóm Aben hữu hạn sinh đều có một sự phân tích chủ yếu duy
nhất.
Số các hạng tử xyclic vô hạn trong sự phân tích tiêu chuẩn của một nhóm
Aben hữu hạn sinh X đợc gọi là hạng của X và đợc ký hiệu là r(X). Cấp của các
hạng tử nguyên sơ trong sự phân tích tiêu chuẩn của X đợc gọi là các bất biến
nguyên sơ của X. Chúng lập thành một hệ đầy đủ những bất biến của X. Tức là,
nếu hai nhóm Aben hữu hạn sinh có cùng hạng và cùng những bất biến nguyên sơ
thì đẳng cấu.

15


Đ2. Nhóm luỹ linh.
Trong tiết này chúng tôi sẽ trình bày các vấn đề về lớp nhóm luỹ linh một lớp
nhóm khá gần với lớp nhóm Aben.
2.1. Định nghĩa.
Giả sử G là một nhóm. Dãy chuẩn tắc
1 = G0 n G2 n ... n GS = G
đợc gọi là dãy tâm, nếu các thơng của nó thoả mãn điều kiện:
Gi + 1/Gi n C(G/Gi), với i,
hay tơng đơng [Gi +1/Gi] n Gi, với i.

(1)
(2)
(3)

s đợc gọi là độ dài của dãy tâm (1).
Nhóm có dãy tâm đợc gọi là nhóm luỹ linh và độ dài nhỏ nhất của các dãy
tâm đợc gọi là bậc luỹ linh của nó.
2.2. Bổ đề. Giả sử Z là tâm của G sao cho Z G. Khi đó, nhóm thơng G/Z không
phải là nhóm xyclic.
Chứng minh:
Giả sử G/Z là nhóm xyclic sinh bởi a e . Khi đó g G, số nguyên m
sao cho g = a m a- m g Z a- m ga = a.a- m g
a- m ga = a- (m - 1) g
a- m g a = g
ga = ag a Z
a = e mâu thuẫn.
Vậy G/Z không là nhóm xyclic. Bổ đề đợc chứng minh.

2.3. Bổ đề. Giả sử G là nhóm luỹ linh cấp s 2. Khi đó nhóm con tuỳ ý của G đợc
sinh bởi hoán tập và một phần tử có bậc luỹ linh không vợt quá s - 1.
Chứng minh: Giả sử a H, H = < a, [G,G] >.
Do [G,G] (s - 1 G ) H = s - 1H nên nhóm thơng H/s - 1H là xyclic.
16


Vì nhóm thơng theo tâm không thể là nhóm xyclic khác đơn vị, nên ta có

s

H = H, từ đó ta có bổ đề đợc chứng minh.
2,4. Bổ đề. Giả sử A, B, C là các nhóm con, H là nhóm con chuẩn tắc của
G. Nếu hai trong ba hoán tập [A, B, C], [B, C, A], [C, A, B] nằm trong H
thì hoán tập còn lại cũng nằm trong H. Nếu A, B, C là nhóm con chuẩn tắc
của G thì [AB, C] = [A, C].[B, C].
Chứng minh: Ta nhận thấy bổ đề này suy ra hoán tử
[a, b]- 1 = [b, a], [ab, c] = [a, c] b. [b, c], [a- 1, b] = [b, a] a
và đồng nhất thức Jacobieng
[a, b- 1, c] b.[b, a- 1, c] c.[c, a- 1,b] a = 1.
2.5. Định lý.
Nhóm con bất kỳ của một nhóm luỹ linh á chuẩn. Chính xác, nếu G là nhóm
luỹ linh bậc s, thì đối với mọi nhóm con H của nó, dãy chuẩn hoá liên tiếp đạt đến
G không quá s bớc.
Chứng minh:
Chúng ta đa vào ký hiệu:
-1

1

Zi = i G,n H0 = H, Hj + 1 = NG(Hj).
Ta chỉ cần kiểm tra đợc Zi Hi.
Đối với i = 0, điều đó là hiển nhiên. Bây giờ ta chuyển i sang i + 1.
Bởi vì
[G, Zi + 1] n Zi n H,
nên

Hi Z n Hi [Hi, Zi + 1] n Hi
i +1

điều đó có nghĩa là Zi + 1 chuẩn hoá Hi, nên
Zi + 1 n Hi + 1.
Vậy định lý đợc chứng minh.
2.6. Định lý.
Trong nhóm luỹ linh, nhóm con chuẩn tắc không tầm thờng có giao không
tầm thờng với tâm.
Chứng minh: Ta chứng minh định lý theo quy nạp.

17


n
Giả sử G là nhóm luỹ linh, H G, H {1}; Zi = iG. Nếu H Z1 thì điều
khẳng định là tầm thờng.
Giả sử H không phải là ớc chuẩn của Z1. Khi đó sử dụng giả thiết quy nạp đối

với G/Z1, ta có giao HZ1 Z2 chứa phần tử a Z1. Vì
a = hz, với h H, z Z1
h H Z2, với h Z1.

nên

Giả sử phần tử g G thoả mãn điều kiện [h,g] 1.
Khi đó
n

[h, g] H [Z2, G] H Z1.
Do đó nhóm con H Z1 không tầm thờng.
2.7. Định lý.
Trong nhóm luỹ linh tuỳ ý G, mọi nhóm con chuẩn tắc Aben tối đại trùng cái
tâm hoá của nó. Nói riêng, A là nhóm Aben tối đại và G/A đợc nhúng đẳng cấu
vào Aut G.
Chứng minh:
n

Ký hiệu H = CG(A). Giả sử ta đã chứng minh đợc H Z1 A và giả sử

x

H Zi + 1 nhóm con <x, A> là nhóm con chuẩn tắc của G và chứa A.
n

Theo tính chất tối đại, ta có <x, A> = A. do đó H Zi + 1 A.
Vì Zn = G nên H = A. Định lý đợc chứng minh.

2.8. Định lý.
Trong nhóm luỹ linh G bất kỳ, tập hợp (G) các phần tử có cấp hữu hạn của G
là một nhóm con của G.
Chứng minh: Ta chứng minh định lý bằng phơng pháp quy nạp theo bậc luỹ
linh của nhóm.

Nếu G là nhóm luỹ linh có bậc là 1 thì G là nhóm Aben, do đó (G) là nhóm
con của G.

18


Giả sử định lý đúng với mọi nhóm luỹ linh mà bậc luỹ linh nhỏ hơn hoặc
bằng s - 1.
Ta chứng minh định lý cũng đúng với mọi nhóm luỹ linh G có bậc bằng s.
Thật vậy, giả sử a, b G và a, b (G).
Đặt: A = a, [G, G]
B=

b, [G, G] .

Khi đó A, B là nhóm luỹ linh có bậc s - 1.
Theo giả thiết quy nạp ta có (A) và (B) tơng ứng là những nhóm con của A và B.
Giả sử x (A) thì x A và số nguyên n, n 0 sao cho xn = e. Vì A G
(g -1xg).(g -1xg) ... (g -1xg)
nên g- 1xg A, g G và (g- 1xg)n =
n

= g- 1eg = e.
g- 1xg (A) (A) G.
Tơng tự ta cũng chỉ ra đợc (B) G.
Giả sử x (A), y (B) x A và số nguyên n 0: xn = e
(xy).(xy) ... (xy)
(xy)n = n
-1

2

-2

n

-n

) (x yx ) (x yx )
= (xyx
. ... .xn
( B )

(B)

(B)

(xy)n (B) xy B và số nguyên m 0 sao cho [(xy)n ] = e
(xy)n.m = e với n.m là số nguyên , n.m 0.
a A

xy (B) xy (G) vì a (G )


a có cấp hữu hạn.

a (A). Tơng tự ta cũng chỉ ra đợc b (B) ab (G) theo chứng minh
n

trên vì a (A) và (A) A a- 1 (A) mà e (B) nên theo chứng minh trên

n

ta có a- 1 = a- 1e (G). Vậy (G) G. Định lý đợc chứng minh.

19


2.9. Định lý.
Trong nhóm luỹ linh phi xoắn, phép khai căn là đơn trị, nghĩa là
an = bn a = b.
Chứng minh: Giả sử G là nhóm luỹ linh phi xoắn và a, b G thoả mãn
a = b với n là số nguyên dơng. Ta cần chứng minh a = b.
Ta sẽ chứng minh định lý bằng phơng pháp quy nạp theo bậc luỹ linh của
nhóm.
Giả sử bậc luỹ linh của nhóm G bằng 1, khi đó G là nhóm Aben nên ab = ba
n

n

(ab - 1).(ab - 1) ... (ab - 1)
ab- 1 = b-1a (a.b- 1)n = n

= an .b- n = bn.b- n = e.
Vì (a.b- 1)n = e và G phi xoắn nên a. b- 1 = e a = b.
Giả sử kết luận của mệnh đề đúng với mọi nhóm luỹ linh bậc bé thua hoặc
bằng s - 1 và G là nhóm luỹ linh bậc s.
Ký hiệu N = a,[G, G] N G và N là nhóm với bậc luỹ linh bé thua hoặc
-1 -1

aa b

ab
bằng s - 1. Khi đó a N và ab = b- 1a b = [G,
N.
G]
-1
a b).(b -1a b) ... (b -1a b)
Hơn nữa (ab)n = (b- 1a b)n = (b

n

= b a b = b- 1bn b = bn = an.
-1 n

ab = a, (theo quy nạp).
b- 1.a.b = a b- 1a = ab- 1 (ab- 1)n = an(b- 1)n = an b- n = bn b- n = e, (do G phi
xoắn) a = b. Định lý đợc chứng minh.
2.10. Hệ quả.
Giả sử G là nhóm luỹ linh phi xoắn và a m.bn = bn.am với a, b G và m, n là
các số nguyên dơng. Khi đó a.b = b.a.
-n
ab n ).(b -n ab n ) ... (b -n ab n )
Chứng minh: Ta có (b- nabn)m = (b
= b- nambn
m

nên từ am.bn = bn.am am = b- n.am.bn = (b- n.a.b)m.
Mặt khác theo định lý 2.9 ta có từ
am = (b- n.a.b)m a = b- n.a.bn bn = a- 1.bn.a = (a- 1.b.a)n.
20

Tức bn = (a- 1.b.a)n b = a- 1.b.a a.b = b.a. Hệ quả đợc chứng minh.
2.11. Định lý. Giả sử G là nhóm phi xoắn. Khi đó đơn vị là phần tử duy nhất liên
hợp với nghịch đảo của nó.
Chứng minh:
Giả sử {1} = G0 n G1 n ... n Gn = G là dãy tâm của nhóm luỹ linh G,
nghĩa là [G1 + 1, Gi] n Gi với i = 0, 1, ..., n và x là phần tử của G liên hợp với
x- 1. Khi đó tồn tại phần tử g G sao cho x = g- 1x- 1g
n

x2 = g- 1x- 1gx = [g, x] [Gn, Gn - 1] Gn - 1.
Tơng tự x2 = g- 1x- 1g.g- 1x- 1g = g- 1x- 2g
n

x4 = g- 1x- 2gx2 [Gn - 1, Gn - 2] Gn - 2.
Do đó tồn tại số tự nhiên m sao cho x2m G0 = 1, vì G không xoắn nên x = 1.
Định lý đợc chứng minh.

21


Đ3. Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh.
Một ví dụ khá tờng minh về lớp nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là nhóm

UT(n;

). Cần chú ý rằng các nhóm con của UT(n; ) vét kiệt tất cả các nhóm luỹ linh
hữu hạn sinh không xoắn và các nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là mở rộng hữu hạn
của chúng. Nói riêng, các nhóm luỹ linh hữu hạn sinh có thể nhúng vào nhóm
tuyến tính đặc biệt SL(n; ). Trớc hết, ta thiết lập những kết quả cơ bản của lớp

nhóm luỹ linh hữu hạn sinh.
3.1. Bổ đề. Giả sử G là nhóm tuỳ ý. Nếu G sinh bởi M, thì nhóm con trung tâm

i(G) đợc sinh bởi nhóm con trung tâm i + 1G tiếp sau đó và các hoán tử đơn của
tất cả i phần tử thuộc M.
Chứng minh: Đối với i = 1, khẳng định của bổ đề là hiển nhiên. Giả sử
khẳng định của bổ đề đúng đến i. Theo định nghĩa, i + 1G đợc sinh bởi các hoán tử
[x, y] trong đó x iG và y G.
Theo giả thiết quy nạp
x = x 1 . x 2 ... x m . z
1

2

m

trong đó mỗi xj là hoán tử đơn của i phần tử thuộc M, z i + 1G và j= 1. Hơn
nữa, y M hoặc y M- 1. Sử dụng các hệ thức giao hoán tử, chúng ta thấy [x, y]
là từ của các phần tử có dạng
[xj, a]g = [xj, a][xj,a,g] và [z,a]g
với a M, g G. Vì [xj, a, g], [z,a] i + 2G, nên từ đó bổ đề đợc chứng minh.
3.2. Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm. Dãy
1 = G0 n G1 n ... n Gn = G

(1)

đợc gọi là dãy chuẩn tắc nếu Gi G, i = 1, 2, ..., n.
Dãy (1) đợc gọi là dãy á chuẩn, nếu Gi Gi + 1, i = 0, 1, ..., n - 1.
Nhóm thơng Gi/Gi + 1 đợc gọi là thơng, còn n đợc gọi là độ dài của dãy (1).
3.3. Mệnh đề: Giả sử G là một nhóm với dãy chuẩn tắc (á chuẩn) (1).

22


i) Nếu H n G, thì {1} = H0 n H1 n ... n Hn = H; trong đó Hi = Gi H, là
một dãy chuẩn tắc (á chuẩn) của H, hơn nữa Hi + 1/Hi n Gi + 1/Gi.
ii) Nếu H G thì khi lấy ảnh của các thành phần của dãy (1) qua đồng cấu tự
nhiên p : G G/H, chúng ta nhận đợc dãy chuẩn tắc (á chuẩn) trong G/H:
{1} = G 0 n G 1 n ... n G n = G/H, trong đó G i = GiH/H.
Hơn nữa G i + 1/ G i là ảnh đồng cấu của Gi + 1/Gi.
Chứng minh: Hệ thức Hi Hi + 1 và G i G i + 1, còn trong trờng hợp dãy
chuẩn tắc: Hi H, G i G i + 1, đợc kiểm tra trực tiếp. Hơn nữa, nếu sử dụng định
lý đồng cấu, ta có
n

Hi + 1/Hi = Hi/Hi + 1 Gi Hi + 1Gi/Gi Gi + 1/Gi
Gi + 1/Gi Gi + 1H/GiH Gi + 1/Gi(Gi H) (Gi + 1/Gi)/( ... ).

và

Định lý đợc chứng minh.
Hai dãy á chuẩn đợc gọi là đẳng cấu, nếu chúng có cùng độ dài và giữa các
thơng của chúng tơng ứng một - một, với các thơng tơng ứng đẳng cấu với nhau.
Nếu một dãy chứa tất cả các phần tử của một dãy khác, thì dãy thứ nhất đ ợc
gọi là mịn hoá của dãy thứ hai.
3.4. Mệnh đề. Hai dãy chuẩn tắc (á chuẩn) bất kỳ của một nhóm có các mịn hoá
đẳng cấu.
Chứng minh: Giả sử trong nhóm G đã cho hai dãy

Đặt

{1} = A0 n A1 n ... n Am = G

(2)

{1} = B0 n B1 n ... n Bn = G

(3).

Cij = (Ai + 1 Bj).Ai

ta đợc một xích con
Ai = Ci0 n Ci1 n ... n Cin = Ai + 1.
Tơng tự, nếu ta đặt Dji = (Bj + 1 Ai).Bj
thì ta đợc xích con
23

(2)


Bj = Dj0 n Dj1 n ... n Djm = Bj + 1.
(3)
Rõ ràng nếu các thành phần của dãy (2) và (3) là các nhóm con của dãy chuẩn
tắc của G, thì tất cả các thành phần của các xích con cũng vậy. Ta còn phải chứng
minh
Cij + 1/Cij Dji + 1/Dji.
Thật vậy ta có
Ci.j + 1/Cij = (Ai + 1 Bj + 1)Ai/(Ai + 1 Bj)Ai
(Ai + 1 Bj + 1).(Ai + 1 Bj + 1)/(Ai + 1 Bj).( Ai Bj + 1).
và

Dj.i + 1/Dji = (Bj + 1 Ai + 1)Bj/(Bj + 1 Ai)Bj
(Bj + 1 Ai + 1)/(Bj + 1 Ai).(Bj Ai + 1).

Bổ sung vào dãy (2) các xích con (2) và bổ sung vào dãy (3) các xích con
(3), ta đợc hai dãy chuẩn tắc(á chuẩn) đẳng cấu của G là các mịn hoá tơng ứng
của (2) và (3). định lý đợc chứng minh.
Từ mệnh đề trên, suy ra: Hai dãy chuẩn tắc có các thành phần không lặp và
không mịn hoá đợc là đẳng cấu với nhau.
3.5. Định nghĩa. Nhóm G đợc gọi là nhóm đa xyclic, nếu nó có dãy chuẩn tắc
{1}= G0 n G1 n ... n Gn = G
sao cho các nhóm thơng Gi + 1/Gi đều là các nhóm xyclic, i = 1,..., n - 1.
3.6. Mệnh đề. Nhóm con và nhóm thơng của nhóm đa xyclic là nhóm đa xyclic.
Chứng minh:
i). Giả sử G là nhóm đa xyclic. Khi đó G có dãy chuẩn tắc (1) với các th ơng là
xyclic. Giả sử H là nhóm con của G. Khi đó, nếu đặt
Hi = Gi H, i = 0, 1, ..., n
thì H có dãy chuẩn tắc
{1} = H0 n H1 n ... n Hn = H
(2)
thoả mãn điều kiện Hi + 1/Hi là nhóm con của Gi + 1/Gi (xem mệnh đề 3.3).
Vì nhóm con của nhóm xyclic là nhóm xyclic và Gi + 1/Gi xyclic nên Hi + 1/Hi là
nhóm xyclic, do đó H là nhóm đa xyclic.
ii). Giả sử N là ớc chuẩn của H và p : G G/N là toàn cấu chính tắc.
24


Đặt G i = p(Gi), i = 0, 1, ..., n. Khi đó G := G/N có đãy chuẩn tắc
1 = G 0 n G 1 n ... n G n = G
trong đó G i = GiN/N. Vì Gi + 1/Gi xyclic và G i + 1/ G i là ảnh đồng cấu của Gi +1/Gi

(xem mệnh đề 3.3) nên G i + 1/ G i xyclic. Do đó G là nhóm đa xyclic. Mệnh đề đợc
chứng minh.
3.7. Định nghĩa. Ta nói rằng nhóm G hầu nh có tính chất (A), nếu nó có một ớc
chuẩn với chỉ số hữu hạn sao cho G/N có tính chất (A).
3.8. Định lý.
i) Mọi nhóm luỹ linh hữu hạn sinh G có dãy tâm với các thơng xyclic và hầu
nh không xoắn.
ii) Nếu G là nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn, thì G có dãy tâm với
các thơng là các nhóm xyclic vô hạn.
Chứng minh:
i) Giả sử G là nhóm hữu hạn sinh. Mỗi thơng của dãy tâm dới của nó là các
nhóm Aben hữu hạn sinh (theo bổ đề 3.1), nghĩa là nó có dãy tâm với các thơng là
xyclic. Vì các mịn hoá của dãy tâm lại là dãy tâm, nên G có dãy tâm với các thơng
là xyclic.
Ta chứng minh các thơng hầu nh không xoắn bằng phơng pháp quy nạp của
dãy tâm đó. Giả sử H là phần tử tối đại của dãy đó, khác với G, còn a là phần tử
sinh ra G (mod H). Theo giả thiết quy nạp, H hầu nh không xoắn, bởi vậy với một
số tự nhiên m nào đó ta có nhóm con
Hm = (hm h H)
không xoắn.
Vì phần xoắn của nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là hữu hạn, nênH : Hm < .
Nếu G : H < thì Hm là nhóm con không xoắn cần tìm trong G.
Giả sử G : H = . Khi đó (a).Hm chứa nhóm con cần tìm, vì nó không
xoắn và G : (a).Hm =H : H (a).Hm H : Hm < .
ii) Giả sử G là nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn. Theo chứng minh
trên nó là nhóm đa xyclic, bởi vậy thơng của dãy tâm trên của nó cũng là nhóm đa
xyclic (vì nhóm con và nhóm thơng của nhóm đa xyclic cũng là nhóm đa xyclic).
25

Vì chúng không xoắn theo kết quả: Trong nhóm luỹ linh không xoắn tất cả các thơng của dãy tâm trên đều không xoắn, nên dãy tâm đợc mịn hoá đến dãy với các
thơng là nhóm xyclic vô hạn. Định lý đợc chứng minh.
Từ định lý 3.8 ta suy ra trực tiếp một số hệ quả sau.
3.9. Hệ quả.
Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là nhóm đa xyclic.
3.10. Hệ quả.
Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh với tâm hữu hạn là một nhóm hữu hạn.
3.11. Hệ quả.
Trong nhóm luỹ linh hữu hạn sinh bất kỳ, phần xoắn là hữu hạn.
Định lý 3.8 cho phép chúng ta đa vào nhóm luỹ linh hữu hạn sinh không xoắn
G hệ toạ độ nguyên dơng đặc biệt và nhờ chúng biểu diễn G đợc bằng các ma trận
tam giác unhita với phần tử nguyên. Chính xác hơn, giả sử G là một tập hợp, họ
hàm fi : G i, i = 1, 2, ..., s đợc gọi là hàm toạ độ nếu ánh xạ
x (f1(x), f2(x), ..., fS(x))
là một - một từ G lên tập hợp S với tất cả chỉ số nguyên s.
Giả sử G S ánh xạ : G r đợc gọi là nửa chuẩn, nếu tồn tại các đa thức
f1, f2, ..., fS của s biến với các tọ độ thuộc trờng , sao cho
x = (f1(x), f2(x), ..., fr(x)), đối với x G.
Nếu f1, f2, ..., fr là các đa thức bậc nhất, thì đợc gọi là tuyến tính. Bây giờ,
giả sử G là nhóm luỹ linh hữu hạn sinh phi xoắn. Chúng ta xét dãy tâm trên
G = G1 n G2 n ... n GS + 1 = {e}
với các thơng là các nhóm xyclic vô hạn và lấy các phần tử a 1, a2, ..., aS thoả mãn
điều kiện Gi = < ai, Gi + 1 >.
Khi đó, mỗi phần tử x G đợc viết duy nhất dới dạng
x = a 1t ( x ) .a t2 ( x ) ... a tS ( x ) , ti(x)
1

S

2

26