Nhóm phép thế nguyên thuỷ giải được

Mở đầu.
Lớp nhóm giải đợc là một lớp nhóm giữ vị trí quan trọng, có nhiều ứng
dụng không chỉ trong lý thuyết nhóm mà còn trong các nghành khoa học khác
nh lý thuyết Ga Loa, trong Vật lý, Hoá học... Lớp nhóm này đã đợc nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu từ rất sớm, thu đợc nhiều kết quả tốt. Bản thân lý
thuyết này cũng không ngừng phát triển, bên cạnh lý thuyết nhóm giải đợc trừu tợng, lý thuyết nhóm giải đợc tôpô, lý thuyết nhóm giải đợc tuyến tính ... cũng rất
phát triển.
Cho X là một tập hợp tuỳ ý, tập hợp các song ánh trên X cùng với phép
nhân ánh xạ lập thành một nhóm, ta gọi đó là nhóm các phép thế và kí hiệu là
S(X). Theo định lí Kelly, mọi nhóm trừu tợng đều đẳng cấu với một nhóm các
phép thế nào đó. Do đó việc nghiên cứu về nhóm các phép thế có ý nghĩa rất
quan trọng trong nghiên cứu về nhóm trừu tợng.
Chính vì vậy, luận văn có mục đích nghiên cứu hai lớp nhóm nói trên. Đó
là nghiên cứu lớp nhóm giải đợc của nhóm các phép thế, đặc biệt nghiên cứu, mô
tả cấu trúc của nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc. Cũng vì lí do đó mà
trong suốt luận văn khi đề cập tới khái niệm nhóm và không nói gì hơn thì ta hiểu
đó là nhóm các phép thế.
Nội dung của luận văn gồm hai chơng:
Chơng 1. Các kiến thức cơ bản.
Trong chơng này trình bày một số kết quả mang tính cơ sở nh: nhóm giải
đợc, nhóm phép thế bắc cầu, nhóm phép thế nguyên thuỷ ... nhằm phục vụ cho
chơng sau.

1


Chơng 2. Nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc.
Trọng tâm của chơng đồng thời là nội dung chính của luận văn: đi sâu
nghiên cứu về nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc, xét cấu trúc, tính chất
của nó. Nội dung gồm có:
2.1 Nhóm chính quy.

2.2 Tâm tập của nhóm bắc cầu.
2.3 Nhóm các phép thế có ớc chuẩn chính quy.
2.4 Nhóm nguyên thuỷ có ớc chuẩn aben.
2.5 Nhóm con của nhóm cộng không gian vectơ.
2.6 Nhóm con nguyên thuỷ giải đợc của nhóm S(X).
Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dói sự hớng
dẫn trực tiếp của thầy giáo GS-TS Nguyễn Quốc Thi và thầy giáo PGS-TS Lê
Quốc Hán. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy, những ngời đã rất
nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Nhân đây tôi cũng xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong tổ
Đại số, các thầy cô trong khoa toán, khoa Sau đại học, tập thể lớp Cao học 9 Đại
số trờng Đại học Vinh, những ngời thân và bạn bè đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện
thuận lợi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Tác giả

2


chơng 1
các kiến thức cơ bản
Chơng này chúng tôi đề cập chủ yếu tới các khái niệm cơ bản: nhóm giải
đợc, nhóm phép thế bắc cầu, nhóm nguyên thuỷ, không nguyên thuỷ nhằm mục
đích làm cơ sở phục vụ cho chơng sau. Chính vì vậy một số khái niệm chỉ nêu ra
mà không đi sâu vào việc chứng minh và đợc xem nh là đã biết.
1.1 Nhóm giải đợc
Định nghĩa 1.1.1 + Giả sử x và y là hai phần tử của nhóm G. Ta gọi phần tử
xyx-1y-1 là một hoán tử của hai phần tử x,y và kí hiệu là [x,y].
+ Nhóm con của nhóm G sinh ra bởi các hoán tử của G đợc gọi là đạo
nhóm. Kí hiệu:

{

}

G' = xyx-1 y-1/x, y G = [ G, G ] .
Định lý 1.1.2 Nhóm con G của nhóm G là nhóm con bất biến với mọi tự đồng
cấu của G.
Chứng minh .
Giả sử xyx-1y-1 G. là một tự đồng cấu của nhóm G.
Tacó :

(xyx-1y-1) = (x) (y) (x-1) (y-1)
= (x) (y) (x) -1 (y) 1 G .

Định lý 1.1.3 Cho H là ớc chuẩn của nhóm G. Nhóm thơng G/H là nhóm aben
khi và chỉ khi H G.
Chứng minh. + Giả sử G/H là nhóm aben. Khi đó xH, yH G/H. Ta có:
xH. yH = xyH = yH. xH = yxH.
Từ xyH = yxH suy ra x-1y-1xyH = H.
=> x-1y-1xy H => G' H.
3


+ Ngợc lại giả sử G H, ta sẽ chứng minh cho G/H aben.
Ta có:

xH.yH.x-1H.y-1H = xyx-1y-1H = H.

Vì G H suy ra xH.yH = yH.xH. Định lí đợc chứng minh.

Ta kí hiệu G(i) = [ Gi-1 , Gi-1 ] với G = [ G,G ]; G (2) = [ G,G]. Khi đó dãy các
nhóm con G G G(2) ... G(n) ...
có đợc là dãy các đạo nhóm của nhóm G
Chú ý trong dãy đạo nhóm nếu G(i) = G(i+1) thì G(i) = G(j) j i ).
Định nghĩa 1.1.4 Nhóm G có dãy đạo nhóm sau một số hữu hạn bớc có
G(n) = e đợc gọi là nhóm giải đợc.
Ví dụ 1.1.5
a) Mọi nhóm aben đều là nhóm giải đợc. Thật vậy:
-1 -1
-1 -1
G G = xyx y /x, y G = xy y x /x, y G = e .

{

} {

}

b) Nhóm ma trận tam giác đặc biệt (ma trận tam giác có phần tử trên đờng chéo
chính bằng 1).

aij ={

0 nếu i >j
1 nếu i =j

là nhóm giải đợc.
Tính chất 1.1.6
a) Nhóm con, nhóm thơng, tích trực tiếp của nhóm giải đợc là nhóm giải đợc.
Mở rộng của nhóm giải đợc bởi nhóm giải đợc là nhóm giải đợc.

Ta chứng minh tính chất nhóm con, nhóm thơng của nhóm giải đợc là
nhóm giải đợc. Thật vậy:
+ Nếu H là nhóm con giải đợc của nhóm G. Khi đó H G,vì H sinh bởi
các hoán tử của các phần tử của H G, còn G sinh bởi các hoán tử của các phần
tử của G.
Từ đó suy ra H G ... nhng G(n) = <e> vì G là nhóm giải đợc
=> H(n) = <e>. Tức là H là nhóm giải đợc.

4


+ Nếu G/H = Q ; Ta xét ánh xạ đồng cấu tự nhiên G Q , bất kì phần tử
là hoán tử của Q đều là ảnh của các hoán tử trong G. Do đó suy ra G' Q'
.v.v...cuối cùng ta có G(n) Q(n). Vậy Q(n) = <e> vì G(n) = <e> (cũng có thể Q(i)
= <e> khi i < n.
b) G là nhóm giải đợc khi và chỉ khi.
i> Nhóm G có dãy bất biến hữu hạn.
G A0 A1 A2 ... AS = <e>.
trong đó tất cả các nhóm thơng Ai-1/Ai là nhóm aben 1 i s.
ii> Nhóm G có dãy chuẩn hữu hạn
G = B0 B1 ... Bt = <e>, Bi Bi-1.
trong đó các nhóm thơng Bi-1/Bi là nhóm aben.
Chứng minh. Nếu G là nhóm giải đợc, theo định nghĩa => có dãy đạo nhóm hữu
hạn.
G = G0 G1 ... G(n) = <e> với Gi-1/Gi là nhóm aben vậy tính chất i> và
ii> đợc thoả mãn.
Ta chứng minh từ tính chất ii> suy ra G là nhóm giải đợc. Nếu:
G= B0 B1 ... Bt = <e> là dãy chuẩn có nhóm thơng Bi-1/Bi là nhóm
aben ( i = 1,...t), do G/B1 là nhóm aben suy ra B1 G tơng tự Bi-1 Gi-1
=> Bi Bi-1 G(i) vậy Bt = <e> => G(t) = <e> => G là nhóm giải đợc.

Chú ý: Dãy các nhóm con của G : G = A0 A1 ... An = <e> đợc gọi là dãy
chuẩn nếu Ai Ai-1 ; i = 1, n , Nếu Ai G ta có dãy bất biến.

5


1.2 Nhóm phép Thế
Trong mục này ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về nhóm phép thế, sự
phân tích phép thế, phép thế liên hợp và chứng minh định lý về sự biểu diễn của
nhóm hữu hạn bởi nhóm phép thế.
Định Nghĩa 1.2.1 Cho tập X = { x1, x2, ..., xn }. Mỗi song ánh từ tập X vào
chính nó đợc gọi là một phép thế.
Nếu ta lấy tập X = { 1,2,3,... ,n } khi đó mỗi phép thế đợc biểu thị dới

dạng sau:

2 ... n
1

=



...

(n)
(1) ( 2)

Kí hiệu Sn là tập tất cả các phép thế trên X = { 1,2,... ,n }. Khi đó Sn cùng
với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng bậc n. Nhóm

này có n! phần tử, phần tử đơn vị là phép thế đồng nhất e.
1
e =
1

2
2

... n

... n

Mỗi nhóm con G của nhóm đối xứng Sn đợc gọi là nhóm phép thế bậc n.
Ngoài ra ta cũng đã có các kết quả : một phép thế luôn viết đợc dới dạng
tích của các vòng xích độc lập. Mỗi vòng xích luôn viết đợc dới dạng tích của các
phép chuyển trí. Cấp của vòng xích bằng độ dài vòng xích. Cấp của phép thế là
bội chung nhỏ nhất của độ dài các vòng xích độc lập trong sự phân tích phép thế
đó.
Xét tập X bất kỳ, tập S(X) các song ánh trên tập X với phép nhân ánh xạ
lập thành một nhóm. Nhóm con của nhóm S(X) đợc gọi là nhóm phép thế.
Định nghĩa 1.2.2 + Giả sử và là hai phép thế trong nhóm phép thế G.
Chúng đợc gọi là liên hợp trong G nếu tồn tại phép thế của G sao cho :
= -1 .
+ Hai nhóm phép thế G1 , G2 đợc gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại phép
thế sao cho : G2 = -1G1 .
Nhận xét:

6

Quan hệ liên hợp là một quan hệ tơng đơng.
Mệnh đề 1.2.3 Hai phép thế viết đợc dới dạng tích của các vòng xích độc lập
liên hợp với nhau khi và chỉ khi nó có cùng số vòng xích nh nhau và mỗi vòng
xích tơng ứng có cùng độ dài(Theo [1]).
Định nghĩa 1.2.4 Một ánh xạ đồng cấu của một nhóm G hữu hạn vào một nhóm
phép thế đợc gọi là biểu diễn của nhóm G bởi nhóm các phép thế. Nếu ánh xạ đó
là một đơn cấu thì đợc gọi là một biểu diễn thật sự.
Định lý 1.2.5 Một nhóm G cấp n bao giờ cũng biểu diễn thật sự bởi một nhóm
phép thế cấp n.
Chứng minh: Giả sử G là nhóm hữu hạn cấp n với đơn vị e. Với mỗi phần tử a bất
kỳ thuộc G, Ta xây dựng ánh xạ a .
a : G

G

x

xa.

Khi đó a là một song ánh. Thật vậy:
+ a là đơn ánh vì giả sử a(x) = a(y)
=> xa =ya. Vì G là một nhóm
=> x=y
+ a là toàn ánh.
y G, tồn tại x = ya-1 sao cho : a(x) = a(ya-1) = ya-1a = y.
Xét ánh xạ :

G
a

Sn
a

Khi đó là một đồng cấu. Thật vậy:
Với (a) = a ; (b) = b ; (ab) = ab .
x G . ab(x) = xab = (xa)b = b(xa) = bb(x)
=> ab = ab
là đơn ánh vì với a,b G, a b thì a(e) = ea = a
b(e) = eb = b a.
=> a b => là đơn ánh. Vậy là đơn cấu.

7


Từ đó suy ra G = (G).
Vì với mỗi a G => a là một song ánh của G => (G) là nhóm các phép
thế bậc n. Biểu diễn đợc gọi là biểu diễn chính quy phải.
Tơng tự ta cũng có bểu diễn chính quy bên trái bằng cách xây dựng song ánh

g
và đặt

:

: G

G

x

gx

G

X(G)

g

g

Khi đó ta có (G) G
Còn

(G) phản đẳng cấu với G

8


1.3 Nhóm phép thế bắc cầu

Định nghĩa 1.3.1 Nhóm phép thế G của các ký hiệu X = {x1, x2, ... ,xn } đợc gọi
là nhóm bắc cầu trên tập X nếu thoả mãn hai điều kiện:
i i>Với mỗi xi X , g G thì sẽ tồn tại xj X sao cho g(xi) = xj.

ii ii>Nếu xi, xj X thì tồn tại g G để g(xi) = xj .
Nếu hai điều kiện trên không thoả mãn thì G đợc gọi là nhóm không bắc cầu
Nhận xét 1.3.2 Giả sử G là nhóm phép thế của tập X, ta đa vào trên X quan hệ
hai ngôi R nh sau: x, y X ; xRy khi và chỉ khi trong G tồn tại phép thế g để
g(x) = y. Khi đó R là quan hệ tơng đơng và ta có sự chia lớp X = X ( I)
Ta cũng có G bắc cầu trên các tập X - gọi là quỹ đạo của nhóm G.

Định nghĩa 1.3.3
Giả sử G1,G2 là các nhóm phép thế trên tập X. ta nói chúng có một kiểu
quỹ đạo nếu tồn tại song ánh

s:

X

X chuyển quỹ đạo của G1 lên

quỹ đạo của G2 .
Ví dụ:

G1 = <( 1,2 )> = { e,(1,2)} S3.

G1không bắc cầu và có các quỹ đạo X1 ={1,2 } ; X2 = {3}
G2 = <( 2,3 )> = {e,(2,3)}
G2 không bắc cầu và có các quỹ đạo X1 ={2,3 } ; X2 = {1}.
Khi đó dễ thấy song ánh

s = (1,3) S3 chuyển quỹ đạo của G1 lên quỹ đạo

cuả G2 vì:
s(X1) = s({1,2}) = {2,3} = X1 .
s(X2) = s({3}) = {1} = X2 .
Vậy G1, G2 có cùng một kiểu quỹ đạo.
Định lí 1.3.4 Các nhóm con của S(X) có cùng kiểu quỹ đạo liên hợp với nhau và
ngợc lại.

9

Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh tính chất : Nếu X = X ( I ),là sự
chia lớp của X thành các quỹ đạo của G thì X = S(X) ( I ) là sự chia lớp
của X thành các quỹ đạo của sGs-1.Thật vậy:
s(X) s(X) = , , I vì nếu s(X) s(X)
thì x s(X) S(X) =>

x s(X) => s-1(x) X
x s(X) => s-1(x) X

s-1(x) X X = điều này mâu thuẫn.
Giả sử x,y s(X) thì xRy thật vậy:
x,y s(X) => tồn tại x1, y1 X sao cho s(x1) = x, s(y1) = y.
Vì x1, y1 X => tồn tại g G để g(x1) = y1
=> sgs-1(x) = sgs-1[s(x1)] = sg(x1) = s(y1) = y
=> = sgs-1(x) sGs-1 để (x) = y .
Vậy s(X) I là sự chia lớp X thành các quỹ đạo của sGs-1.
Giả sử G1, G2, ,có cùng kiểu quỹ đạo => s S(X) sao cho s chuyển quỹ đạo của
G1 lên quỹ đạo của G2 , có nghĩa là nếu X = X ( I) là các quỹ đạo của G1
thì X = X ( I) là các quỹ đạo của G2.
Mặt khác theo chứng minh trên thì X = s(X) , I cũng là sự chia lớp
sGs-1 . Từ đó ta có: G2 = s G1s-1 tức là G1 liên hợp với G2.
Ngợc lại giả sử G1, G2 là hai nhóm con của S(X) liên hợp với nhau, suy ra
tồn tại s S(X) để G2 = s G1s-1 .
=> Nếu X = X ( I) là các quỹ đạo của G1 ta có:
s G1s-1 (s(X)) = s G1(X) = s(X).
=> s(X) là quỹ đạo của G2 = s G1s-1.
=> Tồn tại song ánh s chuyển quỹ đạo của G 1 lên quỹ đạo của G2 . Vậy G1 và G2
có cùng một kiểu quỹ đạo.

Định nghĩa 1.3.5 Cho G là nhóm phép thế trên X, kí hiệu a X cố định. Ta kí
hiệu:

10


Ga = <g Gg(a) = a> là nhóm con của G và đợc gọi là nhóm con ổn định của
a.
Định lí 1.3.6 Giả sử X là quỹ đạo của G ; a là kí hiệu thuộc X. Ga là nhóm con
ổn định của a. Đối với mỗi kí hiệu x X ta chọn trong G phần tử gx để gx(a) = x.
Khi đó G = gx Ga , x X là sự phân tích nhóm G thành các lớp ghép trái theo
Ga.
Chứng minh. Hai lớp ghép bất kì đều khác nhau, thật vậy:
gx Ga(a) = gx(a) = x
gy Ga(a) = gy(a) = x
Với x y => gx Ga gy Ga .
Với g G bất kì, ta sẽ chứng minh tồn tại gx Ga để g gx Ga. Thật vậy:
Vì G bắc cầu trên X, a X => x = g(a) X.
Mặt khác ta có: gx(a) = x => g(a) = gx(a)
=> g-1xg(a) =a => g-1xg Ga => g gxGa.
Hệ quả 1.3.7 Cấp của nhóm phép thế trên tập hữu hạn chia hết cho lực lợng
quỹ đạo bất kì. Đặc biệt cấp của nhóm bắc cầu chia hết cho bậc của nó.
Chứng minh. áp dụng định lí Lagrăng: Nếu H G thì :
Ord(G) = Ord(H) . [ G : H ] từ đó áp dụng vào ta có:Ord(G) = [G: Ga ] . Ord(Ga).
Vì G =



x X

gx Ga => [G : Ga ] = X.

=> Ord(G) = X. Ord (Ga) => Ord(G) X.
Trờng hợp đặc biệt khi G là nhóm bắc cầu thì:
=> X = X => Ord(G) X.
Định lý 1.3.8 Giả sử X là quỹ đạo của nhóm G, còn R là tập tất cả các nhóm
con giữ nguyên tại chỗ phần tử a X. Khi đó trong R các nhóm con Ga, a X
liên hợp với nhau.
Chứng minh. Giả sử Ga , Gb R ta sẽ chứng minh Ga liên hợp với Gb.
Thật vậy: Với a,b X => g G ; g(a) =b
11


Khi đó ta có:

gGag-1(b) = gGa(a) = g(a) =b. => gGag-1 Gb.

(*)

Vì g(a) = b => g-1(b) = a => g-1Gbg(a) =g-1Gb(b) = g-1(b) = a
=> g-1Gbg Ga => Gb gGag-1.

(**)

Từ (*) và (**) => Gb = gGag-1 hay Ga, Gb liên hợp với nhau. Từ định lí trên ta rút
ra hệ quả:
Hệ quả 1.3.9 + Giả sử G bắc cầu và R là hệ các nhóm con ổn định của G , khi
đó trong R các nhóm con liên hợp với nhau.
+ G là nhóm phép thế mà tất cả các nhóm con đều là ớc chuẩn .X là quỹ
đạo của G. Khi đó nếu a,b X thì Ga = Gb .

Chứng minh. a,b X , theo định lý 1.3.8 thì Ga ,Gb liên hợp với nhau
=>

g G để Gb = gGag-1 .

Do Ga G ; theo giả thiết thì Ga G nên ta có:
gGag-1 = Ga vậy Ga = Gb .
Ngoài ra ta còn có một số kết quả sau:
+ (G) là một nhóm phép thế bắc cầu trên tập G.
((G) nêu ở 1.2.5 ).Thật vậy lấy a1, a2 G xét

a2 a 1 ( a1 ) =a2 a 1a1 =a 2
1

1

+ Nhóm con bất động của (G) bằng {e}.
Thật vậy, lấy g là phần tử bất biến của (G) => ga = a => g = e.

12


1.4 Nhóm phép thế nguyên thuỷ
Định nghĩa 1.4.1 Nhóm bắc cầu G đợc gọi là nhóm không nguyên thuỷ trên tập
X nếu ta chia đợc X = X

I sao cho I>1 , X>1 ; Thoả mãn các

điều kiện:
+ X X = .

+Với g bất kì thuộc G thì hoặc g(X) = X hoặc g(X) = X.
Nếu không chia đợc thì nhóm ấy là nhóm nguyên thuỷ.
Ví dụ: trong S4, xét nhóm G <(1,2,3,4)>.
G = {e, g1, g2, g3} trong đó g1= (1234); G2= (13)(24); g3 = (1432) ; Khi đó
có thể phân chia X nh sau:
X = {13} {24}; X1 = {13} ; X2 = {24}
Nhận thấy e(X1) = X1 ; e(X2) = X2 ; g(X1) =X2 ; g(X2) = X1
g2(X1) = X1 ;g2(X2) = X2; g3(X1) = X2 ;g3(X2) = X1
Vậy G là nhóm không nguyên thuỷ.
Nhận xét: Sự phân chia X thực hiện đợc do mỗi phép thế là một song ánh nên tất
cả các X cùng lực lợng .Từ đó ta có hệ quả:
Hệ quả 1.4.2 + Nhóm bắc cầu bậc nguyên tố là nhóm nguyên thuỷ.
+ Nhóm bắc cầu bội hai là nhóm nguyên thuỷ.
Chứng minh: Giả sử G là nhóm bắc cầu bậc p là số nguyên tố .Khi đó nếu G
không nguyên thuỷ => ta chia đợc X = X , I , trong đó các X có cùng
lực lợng => X X mà X >1
=> X là ớc khác 1 của số nguyên tố p = X , mâu thuẫn vậy G là nhóm
nguyên thuỷ.
+ Giả sử ngợc lại G là nhóm không nguyên thuỷ, khi đó ta có X = X ,
I là sự phân chia X thành các tập nh trong định nghĩa.

13


Giả sử a, a1 X , b X ; a a1 , . Vì G bắc cầu bội hai => g G để
cho g(a) = a1 => g( X) = X
g(a1) = b1 => g( X) = X
=> X = X mâu thuẫn với X X = . Vậy G là nhóm nguyên thuỷ.
Định lý 1.4.3 Cho G là nhóm bắc cầu trên tập X, H là ớc chuẩn không bắc cầu,
H {e} của G. Khi đó ta có thể chia tập X ra thành các quỹ đạo của nhóm H,

phép chia đó là phép chia X thành các miền nguyên thuỷ của G.
Chứng minh: Giả sử X = X, I là phép chia X thành các quỹ đạo của H =>
I >1 ( Vì nếu I =1 thì H là nhóm bắc cầu ).
Vì H {e} => I : X >1.
Lấy g bất kỳ thuộc G , ta chứng minh g(X) = (X ) .
Nếu a1,b1 g(X) thì a1 = g(a) tơng tự b1 = g(b) ; a,b X . vì H bắc cầu
trên X nên h H sao cho h(a) = b.
Do H G => ghg-1 H và ghg-1(a) = gh(a) = g(b) = b
=> a1,b1 cùng thuộc một quỹ đạo nào đó
=> a1,b1 X với I => g(X) = X .
Hệ quả 1.4.4 + ớc chuẩn khác {e} của nhóm nguyên thuỷ là nhóm bắc cầu.
+ ớc chuẩn aben H {e} của nhóm nguyên thuỷ là nhóm đặc trng nguyên tố.
Định lý 1.4.5 Nhóm bắc cầu nguyên thuỷ khi và chỉ khi nhóm con ổn định của
nó là nhóm con cực đại.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm phép thế bắc cầu của tập X, a X . Ga là nhóm
con ổn định của a trong G. Giả sử G a không cực đại tức là nhóm con U sao cho
Ga U G; Ta chia G theo các lớp ghép trái của U; G = g U = U ( I) (*)
Đặt X = U (a). Vì X bắc cầu nên X = UX
Ta sẽ chứng minh (**) là sự chia lớp.

14

(**)


Thật vậy, X X = với . Vì giả sử u(a) = v(a), trong đó u U , v U,
khi đó:
u-1v(a) = a => u-1v Ga => v uGa U , trái giả thiết. Ta chứng minh (**) là sự
phân lớp không nguyên thuỷ.
g(X) = gU(a) = ggU(a) = U(a) = X => g(X) = X

(***)

vì U Ga nên X >1, U G nên I >1, vậy từ *** suy ra nó là sự phân lớp
không nguyên thuỷ.
Ngợc lại, giả sử G không nguyên thuỷ, a X , X là một trong các tập của
hệ không nguyên thuỷ của G ta kí hiệu U là tập tất cả các phép thế h để h(X ) =
X .
Vì G là nhóm bắc cầu , X {a}, X X nên Ga , U G . Vậy G bắc cầu
khi và chỉ khi nhóm con ổn định là nhóm con cực đại.

15


Chơng 2
Nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc
Mục đích của chơng này là mô tả cấu trúc của của nhóm các phép thế
nguyên thuỷ giải đợc. Để làm đợc điều đó , ta nghiên cứu tính chất của một số
nhóm con đặc biệt của nhóm S(X) ( Nhóm nhân các song ánh của tập X ). Các
tính chất đó không những có liên quan tới việc nghiên cứu nhóm các phép thế
nguyên thuỷ giải đợc mà còn có tính độc lập, cho ta biết đặc điểm của một số
nhóm ( nhóm con đặc biệt của S(X) ) nh : nhóm con chính quy, tâm tập của một
nhóm bắc cầu, nhóm các phép thế có ớc chuẩn là nhóm chính quy, nhóm các
phép thế có ớc chuẩn là nhóm aben.
2.1 Nhóm chính quy
Định nghĩa 2.1.1 Nhóm phép thế G đợc gọi là nhóm chính quy nếu G là nhóm
bắc cầu và nhóm con ổn định của G bằng đơn vị e G.
Định lí 2.1.2 Bất kì một nhóm chính quy của S(X) là ảnh của biểu diễn chính
quy trái và ngợc lại ảnh của biểu diễn chính quy trái là nhóm con chính quy của
nhóm S(X).

Chứng minh. Giả sử F là nhóm chính quy trên tập X của S(X) và 0 là kí hiệu cố
định của X.
Đặt ánh xạ: : X F
a fa
Với fa (0) = a.

(1)

Ta thấy là một song ánh trên X. Ta đa vào trên X phép toán cộng nh sau:
Nếu a,b X => a + b = fafb.

(2)

16


Khi đó (X, +) lập thành một nhóm và ánh xạ ở trong (1) là một đẳng cấu
suy ra (X, +) F. Vậy có nhóm chính quy F thì có nhóm (X, +) , ảnh của nó
chính bằng F = (X, +).
Định lí 2.1.3 i> Giả sử + và +1 là hai phép cộng trên X để có hai nhóm
(X, + ) ; (X,+1) và ánh xạ đẳng cấu : (X,+) (X,+1).
ánh xạ : (X,+) S(X) và 1 : (X, +1) S(X) là hai biểu diễn chính quy
trái của (X,+) và (X,+1) thoả mãn Im = G ; Im 1 = G . Khi đó G và G liên hợp
với nhau trong S(X) .
ii> Nếu hai nhóm chính quy G và G đẳng cấu với nhau thì chúng sẽ liên
hợp với nhau trong S(X).
Chứng minh. Từ định lí 2.1.2, mọi nhóm chính quy đều là ảnh của biểu diễn
chính quy trái do vậy i đợc suy từ định lí 2.1.2 và ii> ta sẽ chứng minh ii>.
Đặt (a) = ga và 1(a) = g a , trong đó ga G , g a G .
Theo công thức (1), vì g a G và x X, ta có:

g 1
g a ( (x)) = 1(a) ((x)); a +1 (x) = (-1(a+x)) = ( (a ) (x)

=> g a = ga hay g a = ga -1 hay G = gGg-1 .
Tức là G và G liên hợp với nhau.Từ đó ta có hệ quả:
Hệ quả 2.1.4 Nếu A là nhóm trừu tợng có cấp Ord(A) = X thì trong S(X) có
duy nhất một nhóm ( sai khác một phép liên hợp ) chính quy đẳng cấu với A, đó
chính là nhóm (X, +) .
Mệnh đề 2.1.5 Nhóm bắc cầu G mà mọi nhóm con đều là ớc chuẩn thì G là
chính quy.
Chứng minh. Vì G bắc cầu => a X thì Ga liên hợp với Gb , b X vì G có
mọi nhóm con đều là ớc chuẩn , kết hợp hệ quả 1.3.9 chơng1.
Ta có Ga = Gb , b X => Ga(b) = Gb(b) = b b X
=> Ga = e , a X
Vậy G là nhóm chính quy.

17


2.2 Tâm tập của nhóm bắc cầu
Khi nghiên cứu một lớp nhóm con nào đó của S(X) thì tập các phần tử của
S(X) giao hoán với với mọi phần tử của nhóm con đó giữ một vị trí rất quan
trọng. Tập tất cả các phần tử đó gọi là tâm tập của nhóm con đã cho, hiển nhiên
nó là nhóm con của S(X). Trong mục này ta nghiên cứu tâm tập của nhóm con
trong S(X).
Định lí 2.2.1 Giả sử B là nhóm bắc cầu của nhóm S(X). C là tâm tập của B trong
S(X). Khi đó:
i> Nếu C là nhóm bắc cầu thì B C và trên tập X có phép toán + để cho
nhóm B là biểu diễn chính quy trái của (X, +) và C là biểu diễn chính quy phải

của (X, +).
X là sự phân lớp theo quỹ đạo của
ii> Nếu C không bắc cầu và X =
I
C và với mỗi I , bất kỳ biểu diễn r : C S(X)
f f X = f
là biểu diễn chính quy thực sự và đối với , I thì r r .
Chứng minh. i>.C bắc cầu, trớc hết ta chứng minh B là nhóm chính quy.
Giả sử a X. kí hiệu Ba là nhóm con ổn định của a trong B. (Ba ={b} b(a) = a }
với x X, trong C có phần tử f để f(a) =x vì C bắc cầu trên X.
Nếu g Ba thì fg = gf vì Ba B , ta có:
fg(a) = gf(a) = g(x) = f(a) = x => g(x) =x => g = e.
hay Ba = e Vậy B là nhóm chính quy.
Theo (1) tồn tại phép cộng trên X để B là ảnh của biểu diễn chính quy trái
của (X, +) và C là ảnh của biểu diễn chính quy phải của (X, +). Khi đó B C.
ii> Giả sử C là nhóm không bắc cầu, ta có C là ớc chuẩn của nhóm
bắc cầu G = BC.
18


+ Nếu C = e thì ii> là hiển nhiên.
+Nếu C e theo định lí về quy tắc nguyên thuỷ thì nhóm G = BC không
phải là nhóm nguyên thuỷ (Vì C không bắc cầu ). Khi đó ta phân X thành các lớp
X .
không nguyên thuỷ X =
I
Giả sử là một ký hiệu cố định của I. Vì B là nhóm bắc cầu => với mỗi
I, ta chọn đợc một phép thế g B để g(X ) = X , với g.. = e B thì g(X
) = X .
Giả sử f C, khi đó: f(X ) = X. Đặt f = f X = r(f). = g X

: X X là song ánh, đối với x X thì x = g(x)= và:
r(f) (x) = f.g(x) = fg (x) = r(f)(x) = r(f) = (r(f))-1
Từ đó suy ra: r = r-1 vậy chúng tơng đơng với nhau. Vì các r , I từng
cặp tơng đơng với nhau. Đặc biệt nếu I, f C thì: r(f) = f phép thế đồng
nhất e S(X) , e(f) = e vậy f = e và biểu diễn r là biểu diễn thực sự.
Hệ quả2.2.2 Tâm tập C của nhóm nguyên thuỷ B S(X) bằng đơn vị trừ trờng
hợp lực lợng của X bằng p và cấp của B bằng p (p là số nguyên tố).
Chứng minh: Giả sử C e và vì C là ớc chuẩn của nhóm nguyên thuỷ = BC do
đó theo hệ quả 2.1.4 thì C phải là nhóm bắc cầu, kết hợp định lí 2.2.1 ta có B là
nhóm chính quy. Từ đó suy ra B phải có cấp là số nguyên tố.
Hệ quả 2.2.3 Giả sử C là tâm tập của nhóm bắc cầu B S(X) . Khi đó :
i> H là nhóm bắc cầu của C thì H C
X là sự phân lớp theo
ii> Nếu H là nhóm con không bắc cầu của C ; X =
I
quỹ đạo của H. Thì biểu diễn r : H S(X)
h hX , I
là biểu diễn thực sự và cặp r , r , I tơng đơng với nhau.

19


Chứng minh. Điều kiện i> đợc suy từ định lí 2.2.1 . Vì H là nhóm con bắc cầu
của C suy ra C cũng bắc cầu H = B = C
X là sự phân lớp theo quỹ đạo của H thì ii> đNếu H không bắc cầu và X =
I
ợc suy ra trực tiếp từ định lí 2.2.1
Định lí 2.2.4 Giả sử G là nhóm bắc cầu của S(X) biểu diễn đợc dới dạng G
=HF trong đó H là nhóm con bất biến không bắc cầu và thuộc chuẩn tập của F
và mọi phần tử của H giao hoán với mọi phần tử của F. [H, F] = e. Nếu

X = X là sự phân lớp của X theo quỹ đạo của H và:
I

r : H S(X) , với r(h) = h X . Khi đó các biểu diễn của r là tơng đơng
với nhau.
Chứng minh. Vì H là nhóm con bất biến không bắc cầu trong G và G là nhóm
X là sự phân lớp
bắc cầu suy ra G là nhóm nguyên thuỷ và sự phân lớp X =
I
nguyên thuỷ. Giả sử , I khi đó trong F có phép thế f để f(X) = X .
Đặt: = f X rõ ràng : X X là song ánh với x X , h H ta
có:

r (h)[( x )] = r (h) = f (x ) = hf (x ) =
= fh (x) = f h (x ) = (r (h)( x )).

Vậy:
r (h) = r (h) => r (h) = r (h)-1. Từ đó suy ra r tơng đơng với r .
Hệ quả. Nếu phép thế f giao hoán với mọi phần tử của nhóm bắc cầu B thì khi
phân tích f bằng các vòng xích độc lập thì các vòng xích có độ dài bằng nhau.

20


2.3 Nhóm các phép thế có ớc chuẩn chính quy
Trong 2.1 ta đã xét các nhóm phép thế chính quy, trong mục này ta tìm
điều kiện để cho một nhóm có ớc chuẩn chính quy. Để xét trờng hợp đó, trớc hết
ta xét chuẩn tập của nhóm chính quy. Giả sử F là nhóm con chính quy của S(X)
và NS(F) là chuẩn tập của F trong S(X) , F NS(F). Vì F là nhóm chính quy nên
tồn tại một phép + để < X , +> đẳng cấu với F ((2)- 2.1 ). Ta kí hiệu 0 là đơn

vị của nhóm < X , +> và N0 là nhóm con ổn định của điểm 0 của NS(F).
Định lí 2.3.1 Giả sử F là nhóm chính quy của S(X) ; NS(F) là chuẩn tập của F
trong S(X) ; N0 là nhóm con ổn định của điểm 0 của NS(F), khi đó;
i>

Chuẩn tập NS(F) = F.N0.

ii>

N0 đẳng cấu với nhóm các tự đẳng cấu của < X , +>.

iii>

Đối với bất kì tự đẳng cấu của F, khi đó tồn tại g0 N0 sao cho:

(f) = g0 f g 01 , f F.
Chứng minh: Điều kiện i> đợc suy ra từ định lí về nhóm con ổn định. Ta chứng
minh ii>.
Giả sử g0 N0 , a,b < X , +>. Theo 2.1 chơng 2 ta có:
g0(a) = g0fa(0) = g0fag 0 1 (0) = fc(0) = c.
Vì F là ớc chuẩn của NS(F) chứa N0, ta có:
g0(b) = g0fb(0) = g0fb g 01 (0) = fd(0) = d.
Với fc = g0fag 0 1 ; fd = g0fbg 0 1 .
Ta có: g0(a+b) = g0( fafb)(0) = g0( fafb) g 01 (0) = fc fd(0) =
=

c + d = g0(a) + g0(b).

Vậy g0 Aut< X , +>.

21


Ngợc lại giả sử Aut< X , +>, nếu 0 là đơn vị của < X , +>.
=> (0) = 0
Ta có (a) = fa(0) = fa-1(0) = b = b(0).
Ta chứng minh nếu x < X , +> thì fa-1(x) = fb(x).
Đặt (y) = x với y X. khi đó fa-1(x) = fa (y) = fafy(0) = [a + y] =
= (a) + (y) = b + x = fb (x). (Do (1)).
Vậy fa-1 = fb , f F.
Với bất kì thuộc Aut< X , +>. => N0.Vậy N0 Aut< X , +>.
Ta chứng minh iii>.Vì (0) = 0 => N0 . Vậy (fx) = f(x)
=> fx-1(0) = (x) = f(x)(0).
Do f(x) và fx-1 là các phần tử của nhóm chính quy F nên suy ra (fx) = fx-1
định lí đợc chứng minh. Từ định lí trên kết hợp G NS(X)(G) lập tức ta có hệ quả:
Hệ quả 2.3.2 Giả sử G là nhóm các phép thế chứa ớc chuẩn chính quy F và
F < X , +>. Khi đó :
i> G = G0.F ; F G0 = <e>. Với G0 là nhóm con ổn định của 0 < X , +>
của G
ii> G0 là nhóm con của nhóm Aut< X , +
Định nghĩa 2.3.3 Giả sử A là một nhóm , Aut(A) là nhóm các tự đẳng cấu của
A, nhóm con H Aut(A).

22


+Nhóm con B của A đợc gọi là H-nhóm nếu B bất biến đối với nhóm H.
Tức là h H thì h(B) = B.
+ Nhóm con H của Aut(A) đợc gọi là bất khả quy nếu chỉ có hai nhóm con
của A là A và <e> là H-nhóm.

+ Nhóm G đợc gọi là đặc trng nguyên tố nếu G không có nhóm con đặc trng thực sự (Nhóm con bất biến với mọi Aut(G)).
Định lí 2.3.4 Nhóm các phép thế G của S(X) chứa ớc chuẩn chính quy F là nhóm
nguyên thuỷ khi và chỉ khi G0 là nhóm con bất khả quy của Aut< X , +>. Trong
trờng hợp đặc biệt, chuẩn tập NG(F) của nhóm chính quy F là nhóm nguyên thuỷ
khi và chỉ khi F là nhóm đặc trng nguyên tố (G0 là nhóm con ổn định của G tại
0 ).
Chứng minh: Theo hệ quả 2.3.2 G = F.G 0; Giả sử G0 nguyên thuỷ, khi đó theo
quy tắc không nguyên thuỷ, nhóm G sẽ có một nhóm con U để cho U G. Đặt
F1 = U F. khi đó F1 <e> và F1 F. Đối với g G0 thì gUg-1 = U vậy g G0
thì gF1g-1 = F1.
Giả sử -1 : F < X, + > là biểu diễn ngợc của (xét ở trong 2.1 chơng 2): Ta
đặt
X1 = -1(F1) ta sẽ chứng minh X1 là G0- nhóm con của < X, + > .
Với x1 X1 , g G0 ta có : g(X1) = gfX1(0) = gfX1g-1(0).
Ta đặt F1= (X1) rõ ràng e F F.
Với y X1 , g G0 ta có gfyg-1(0) = = gfy(0) =g(y) = y1 X.
Vậy gfyg-1 = fy1 (X1) = F1 hay: gF1g-1 = F1 vậy F1G0 là nhóm con của G . Ta
có G0 F1G0 G vậy G0 là nhóm không nguyên thuỷ.
Hệ quả 2.3.5 Giả sử G là nhóm các phép thế có ớc chuẩn chính quy F, G0 nhóm
con ổn định của G. H là nhóm con của Aut(F).
H = { h Aut(F) h(f) = gfg-1 ; g G ; f F}. Khi đó nhóm G nguyên
thuỷ <=> H là nhóm con bất khả quy của Aut(F).

23


2.4 Nhóm nguyên thuỷ có ớc chuẩn aben
Trong nhóm giải đợc luôn tồn tại ớc chuẩn aben chính vì vậy ớc chuẩn
aben giữ một vị trí quan trọng trong nhóm giải đợc, do đó nghiên cứu về ớc
chuẩn aben là rất cần thiết.

Định lí 2.4.1 Giả sử F <e> là nhóm aben của S(X). N S(F ) là chuẩn tâp của F,
các nhóm nguyên thuỷ A, B NS(F) chứa F. A0, B0, N0 là các nhóm con ổn định
của A, B, N tơng ứng tại điểm 0 X. Khi đó nhóm A và B liên hợp trong S(X)
<=> A0, B0 liên hợp trong N0 .
Chứng minh. Theo tính chất của nhóm nguyên thuỷ, vì A, B nguyên thuỷ nên suy
ra F là nhóm con bắc cầu. Vì F giao hoán => F là nhóm chính quy, khi đó theo
định lí 2.3.1 , N =N 0F; A = FA0 ; B = FB0 Giả sử A0 và B0 liên hợp tức là tồn tại
phần tử v N0 để vA0v-1 =B0 => vAv-1 = vFA0v-1 = vFv-1. vA0v-1 = FB0 (do F là
ớc chuẩn) vậy A và B liên hợp .
Ngợc lại A và B liên hợp trong S(X) khi đó r S(X) để rAr-1 = B. Khi đó
vFv-1 là ớcchuẩn aben của B. Vì F là ớc chuẩn của A => vFv-1 = F. theo định lí
2.3.1 => r NS(F) và r = vf với v N0 , f F. Do đó rAr-1 = vAv-1 =F.B0 là ổn
định của nhóm vAv-1 tại điểm 0 trùng với vAv-1. Vậy B0 = vA0v-1 hay A0 và B0 liên
hợp.
Định lí 2.4.2 Giả sử và G là hai nhóm con nguyên thuỷ của S(X) sao cho mỗi
một trong chúng có ớc chuẩn aben khác <e>. Khi đó nếu có ánh xạ đẳng cấu :

G thì đó là ánh xạ liên hợp.
Chứng minh: Giả sử e là ớc chuẩn aben của , e F là ớc chuẩn aben của
của G. Vì và G là hai nhóm nguyên thuỷ F và là hai nhóm aben. Khi đó theo
định lí 2.3.1. F và là hai nhóm chính quy và = 0 ; G = G0
24


Với 0 và G0 là hai nhóm con ổn định của và G tại điểm 0 X.
:

Giả sử

G là ánh xạ đẳng cấu, suy ra () là ớc chuẩn aben của G

theo định lí 2.3.5 ta có () = F và có phép thế t sao cho tt-1 = F.
Đặt A = tt-1 , khi đó A là một nhóm nguyên thuỷ đẳng cấu với theo
định lí 2.3.1: A = A0F, trong đó A0 là nhóm con ổn định của A tại 0.
nếu

: A G là đẳng cấu khi đó từ định lí 2.3.1 => (F) = F vậy F là

một tự đẳng cấu của F.
Giả sử NS(F) là chuẩn tập của F trong S(X) . Khi đó N = N 0Fvới N0 là
nhóm con ổn định của N tại 0 X. Theo định lí 2.3.1 trong N 0 có phép thế d sao
cho f F thì (t) = dfd-1 . Xây dựng ánh xạ đẳng cấu : A (A)
x (x) = d-1(x)d
Nhờ cách chọn dF để hạn chế dF là đơn vị vủa Aut(F).
Đối với bất kỳ f F , a A . Ta có afa-1 F => (a)f-1(a) = afa-1
Vậy với f F thì a-1-(a)f = fa-1(a). Từ hệ quả 2.3.5 => a-1 (a) f
và (a) = af1 ,

f1 F

(A) = (A0F)= A0F = A
Mặt khác

(A) = d-1 (A)d = d-1G d. Vậy tGt-1 = A = d-1G d

Định lí đợc chứng minh.

25