Một số vấn đề về không gian sn mêtric hoá dược

Mục lục
Trang
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Các không gian với sn - lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.7 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.8 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.9 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 sn - lưới và mối quan hệ với các loại lưới khác . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Đặc trưng của các không gian với sn -lưới đếm được theo
điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.5 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.6 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.7 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.8 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 2. Không gian sn - mêtric hoá được . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.1.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.1.4 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.1.5 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Các đặc trưng của không gian sn - mêtric hoá được . . . . 23
2.2.1 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.2.6 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.2.7 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.2.8 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.9 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.10 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.11 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Các định lý ánh xạ về không gian sn - mêtric hoá được 29
2.3.1 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.3.2 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.3.4 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.5 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.6 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

lời nói đầu
Lý thuyết về các phủ, đặc biệt là các phủ đếm được theo điểm đã và
đang được nhiều chuyên gia tôpô trên thế giới quan tâm. sn - lưới được
giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi S.Lin[8], nó rộng hơn cs - lưới và
hẹp hơn cơ sở yếu. Dựa vào tính chất của sn - lưới người ta đưa ra các
khái niệm về không gian snf - đếm được, sn - mêtric hóa được và nghiên
cứu đặc trưng của các không gian này. Hướng nghiên cứu này đã thu hút
sự quan tâm của nhiều tác giả, những người đạt những kết quả đáng kể
trong lĩnh vực này phải kể đến là S.Lin, Y.Ge, Y.Tanaka, Zh.Luo,...
Mục đích của chúng tôi là tiếp cận hướng nghiên cứu này để tìm hiểu
các tính chất, mối quan hệ của sn - lưới với các loại lưới khác, các tính
chất của các không gian với sn - lưới và các không gian sn - mêtric hóa
được.
Với mục đích trên, luận văn được viết thành hai chương.
Chương 1. Các không gian với sn - lưới.
Phần đầu của chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm
và kết quả cơ bản về các loại lưới, các loại không gian tôpô, các loại ánh
xạ đặc biệt như cs - lưới, cs* - lưới, ánh xạ compăc, σ - ánh xạ,... mà
chương cần dùng trong luận văn.
Phần thứ hai, trình bày các tính chất của sn - lưới với các loại lưới
khác.
Phần thứ ba, trình bày các đặc trưng của không gian với sn - lưới
đếm được theo điểm.


4

Chương 2. Không gian sn - mêtric hóa được.

Phần thứ nhất, dành cho việc bổ sung thêm một số khái niệm và kết
quả cơ bản cần dùng về sau.
Phần thứ hai, trình bày một số điều kiện để một không gian tôpô là
sn - mêtric hóa được thông qua các tính chất của sn - lưới.
Phần thứ ba, trình bày một số đặc trưng của không gian sn - mêtric
hóa được bởi ảnh của các không gian mêtric qua các ánh xạ đặc biệt.
Các kết quả trong luận văn chủ yếu là đã có trong các tài liệu tham
khảo, chúng tôi đã hệ thống trình bày theo bố cục mới, chứng minh chi
tiết nhiều kết quả mà trong các tài liệu không chứng minh hoặc chứng
minh còn vắn tắt như: Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.2.4....
Bên cạnh đó chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả mới như Định lý
1.3.5, Định lý 1.3.7, Hệ quả 1.3.8 và Định lý 2.2.11.
Luận văn được hoàn thành tại khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại
học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng.
Nhân dịp này tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và cảm ơn
các thầy giáo trong tổ giải tích đã giảng dạy, chỉ bảo cho tôi trong suốt
thời gian học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này cho tôi được gửi lời
cảm ơn các thầy giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học, bạn bè và gia
đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn và không tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
thầy cô giáo và bạn bè để luận văn ngày được hoàn thiện.
Vinh, tháng 12 năm 2008.
Tác giả


5

chương 1. các không gian với sn -lưới
Trong mục này chúng tôi đưa ra các tính chất cơ bản, mối quan hệ

của một số loại lưới, đặc biệt là sn - lưới, cs - lưới, k - lưới, sn - lưới
đều..., và một số tính chất liên quan. Trong luận văn này, nếu không giải
thích gì thêm thì các không gian được hiểu là T1 , chính qui còn các ánh
xạ là toàn ánh và liên tục.
1.1. Kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày những kiến thức cơ bản cần dùng trong luận văn
1.1.1 Định nghĩa ([11]). Giả sử X là không gian tôpô và P là một
phủ của X.
(1) P được gọi là k - lưới nếu mỗi tập compact K và mỗi lân cận V
của K tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho K ⊂ ∪F⊂ V . Trong đó
ta viết ∪F thay cho ∪{P : P ∈ F}.
(2) P được gọi là cs - lưới nếu với mỗi x ∈ X và V là lân cận của x, mỗi
dãy {xn } hội tụ tới x tồn tại P ∈ P sao cho {xn ; n

m}∪{x} ⊂ P ⊂ V

với m ∈ N∗ nào đó.
(3) P được gọi cs* - lưới nếu mỗi x ∈ X, và mỗi lân cận V của x,
mọi dãy {xn } ⊂ X mà xn → x tồn tại dãy con {xnk } và P ∈ P sao cho
{xnk ; k ∈ N ∗ }∪{x}⊂ P ⊂ V .
(4) X được gọi là ℵ không gian nếu X có k - lưới σ - hữu hạn địa
phương.
1.1.2 Nhận xét. cs - lưới ⇒ cs∗ - lưới.
1.1.3 Định nghĩa([10]). Giả sử X là không gian tôpô và P ⊂ X.
(1) Dãy {xn } được gọi là có đuôi ở trong P hay ở trong P từ một lúc
nào đó nếu xn → x và tồn tại m ∈ N ∗ sao cho {xn ; n

m} ∪ {x}⊂ P .

6

(2) Giả sử x ∈ X. P được gọi là lân cận dãy của x nếu {xn } ⊂ X mà
xn → x thì {xn } có đuôi ở trong P . Nói cách khác, P là lân cận dãy của
x nếu mỗi dãy {xn } ⊂ X mà xn → x thì tồn tại m ∈ N sao cho xn ∈ P
với mọi n ≥ m.
(3) P được gọi mở dãy trong X nếu P là lân cận dãy của mọi điểm
thuộc P .
(4) X được gọi là không gian dãy nếu mỗi tập mở dãy của X là mở
trong X.
(5) X được gọi là không gian Fréchet, nếu mọi A ⊂ X và mọi x ∈ A,
tồn tại dãy trong A hội tụ đến x.
(6) Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompăc, nếu mỗi
phủ mở của X tồn tại một phủ mịn mở hữu hạn địa phương
1.1.4 Định nghĩa ([3]). Giả sử P là họ các tập con của X
(1) P là họ đếm được theo điểm (tương ứng hữu hạn theo điểm) nếu
mỗi x ∈ X thì x thuộc đếm được (tương ứng thuộc hữu hạn) phần tử
của P.
(2) P là họ sao - đếm được (tương ứng sao - hữu hạn) nếu mỗi P ∈ P
thì P giao với đếm được (tương ứng hữu hạn) các phần tử thuộc P.
(3) P là họ đếm được (tương ứng hữu hạn) địa phương nếu mỗi x ∈ X
tồn tại lân cận U của x sao cho U giao với không quá đếm được (tương
ứng hữu hạn) các phần tử của P.
(4) P là họ σ - (P) nếu
∞

P = ∪ Pn ,
n=1

trong đó Pn là họ có tính chất (P ) với mọi n ∈ N ∗ .

7

(5) Họ P = {Pα : α ∈ ∧} được gọi là bảo tồn phép lấy bao đóng di
truyền (nói gọn HCP ) nếu:
cl(∪ {Bα : α ∈ ∧ }) = ∪ {clBα : α ∈ ∧ },
với bất kì ∧ ⊂ ∧ và Bα ⊂ Pα với mọi α ∈ ∧ , trong đó clB là kí hiệu
bao đóng của tập B.
(6) P được gọi là bảo tồn bao đóng di truyền yếu hay đơn giản WHCP
nếu {x(P ) ∈ P : P ∈ P} là họ HCP .
(7) Không gian tôpô X được gọi k - không gian nếu X được xác định
bởi một phủ gồm các tập con compăc.
1.1.5 Định nghĩa ([2]). Giả sử X là không gian tôpô và x ∈ X. Tập
{x} được gọi là Gδ - tập nếu tồn tại đếm được các tập mở {Un } sao cho
∞

{x} =

Un .
n=1

1.1.6 Định nghĩa ([10]). Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} là phủ của X
thoả mãn hai điều kiện sau.
(a) Px là lưới tại x nghĩa là x ∈ ∩Px và mỗi lân cận U của x trong
X tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ U , trong đó ta viết ∩Px thay cho
∩{P : P ∈ Px }
(b) Nếu U, V ∈ Px tồn tại W ∈ Px sao cho W ⊂ U ∩ V .
(1) P được gọi là cơ sở yếu của X nếu với G ⊂ X, x ∈ G tồn tại
P ∈ Px sao cho P ⊂ G thì G là tập mở trong X. Khi đó Px được gọi là

cơ sở yếu tại x.
(2) P được gọi là sn - lưới của X nếu mỗi phần tử thuộc Px là lân
cận dãy của x. Khi đó ta cũng gọi Px là sn - lưới tại x.
1.1.7 Định nghĩa ([13]). Giả sử X là không gian tôpô.
(1) X được gọi g - mêtric hoá được (tương ứng sn - mêtric hoá được)
nếu X có cơ sở yếu (tương ứng sn - lưới) σ - hữu hạn địa phương.


8

(2) X được gọi là gf - đếm được (tương ứng snf - đếm được) nếu X
có cơ sở yếu (tương ứng sn - lưới)
P=

Px
x∈X

sao cho Px là đếm được với mọi x ∈ X.
1.1.8 Định nghĩa. ([13]) Giả sử P là phủ không gian X, kí hiệu
Ints (∪F) = {x ∈ X : ∪ F là lân cận dãy của x}.
P được gọi là có tính chất (B) nếu với mọi x ∈ X, mọi lân cận U của
x tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho:
(i) x ∈ Ints (∪F) ⊂ ∪F ⊂ U .
(ii) x ∈ ∩F.
1.1.9 Định nghĩa ([9]). Giả sử X là không gian tôpô, P là phủ của
X.
(1) P được gọi là phủ đều của X, nếu với mỗi x ∈ X, và P là họ con
đếm được của (P)x thì P là lưới tại x, trong đó
(P)x = {P ∈ P : x ∈ P }.
(2) P được gọi là sn - lưới đều (tương ứng cơ sở yếu đều, cs - lưới

đều) nếu P thoả mãn hai điều kiện: P là sn - lưới (tương ứng cơ sở yếu,
cs - lưới) và P phủ đều.
1.2 sn - lưới và mối quan hệ với các loại lưới khác.
Mục này trình bày mối quan hệ giữa sn - lưới, sn - lưới đều với cơ sở
yếu, cs - lưới , cs∗ - lưới, ...
1.2.1 Mệnh đề. Giả sử P là phủ của không gian tôpô X. Khi đó
(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4), trong đó
(1) P cơ sở yếu,
(2) P là sn - lưới,


9

(3) P là cs - lưới,
(4) P là cs* - lưới.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử P là cơ sở yếu của X. Khi đó ta
cần chứng minh mỗi P ∈ Px là lân cận dãy của x. Thật vậy, giả sử
tồn tại P0 ∈ Px mà P0 không là lân cận dãy của x. Khi đó tồn tại
một dãy {xn } ⊂ X \ P0 , {xn } hội tụ tới x. Ta có {xn } không là một
tập đóng vì x ∈
/ {xn }, do đó X \ {xn } không là tập mở. Mặt khác,
ta lại có {xn } ∪ {x} là một tập đóng nên X \ ({xn } ∪ {x}) là mở. Do
P là một cơ sở yếu nên mỗi a ∈ X \ {xn } ∪ {x} luôn tồn tại P ∈ Pa
mà P ⊂ X \ ({xn } ∪ {x}) ⊂ X \ {xn }. Xét tại x ta lại có P0 ∈ Px và
P0 ⊂ X \ {xn }. Theo giả thiết P là cơ sở yếu nên X \ {xn } là tập mở.
Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy P là sn - lưới.
(2) ⇒ (3). Giả sử {xn } ⊂ X mà xn → x. Khi đó với mỗi P ∈ Px tồn
tại n0 ∈ N sao cho
{xn ;n

n0 } ∪ {x} ⊂ P.

Mặt khác mỗi lân cận mở tuỳ ý của x thì {xn ;n
{xn ;n

n0 } ⊂ V nên

n0 } ∪ {x} ⊂ V.

Vậy P là cs - lưới.
(3) ⇒ (4). Giả sử {xn } ⊂ X mà xn → x và Vx là lân cận mở của x.
Khi đó tồn tại n0 ∈ N và P ∈ P sao cho {xn ;n

m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ Vx .

Do đó tồn tại {xnk } sao cho
{xnk ;

k∈N }

⊂ {xn } ⊂ Vx

hay
{xnk } ∪ {x} ⊂ P ⊂ Vx .
Vậy P là cs∗-lưới.

✷


10

1.2.2 Mệnh đề ([9]). Nếu X là không gian dãy thì mỗi sn - lưới trong
X là cơ sở yếu.
Chứng minh. Giả sử P là sn - lưới và P = ∪{Px ; x ∈ X}. Khi đó
P thoả mãn hai điều kiện trong Định nghĩa (1.1.6). Ta chỉ cần chứng
minh A mở trong X khi và chỉ khi, với x ∈ A tồn tại P ∈ Px sao cho
P ⊂ A. Giả sử A mở trong X. Khi đó, với x ∈ A thì A là lân cận mở
chứa x nên tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A. Ngược lại giả sử A ⊂ X mà
x ∈ A luôn tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A nhưng A không mở, tức là
X \ A là không đóng. Khi đó tồn tại dãy {xn } ⊂ X \ A sao cho xn → x
mà x ∈
/ X \ A hay x ∈ A. Mặt khác theo giả thiết, tồn tại P ∈ Px sao
cho P ⊂ A. Vì P là sn - lưới nên P là lân cận dãy của x. Do đó tồn tại
n0 ∈ N sao cho xn ∈ P ⊂ A với mọi n

n0 . Điều này mâu thuẫn với

{xn } ⊂ X \ A. Vậy A là mở trong X.

✷

1.2.3 Mệnh đề ([9]). Nếu X là không gian với cơ sở yếu đều thì X
là không gian gf - đếm được .
Chứng minh. Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} là cơ sở yếu đều trong
X. Ta cần chứng minh X có cơ sở yếu P = ∪{Px : x ∈ X}, trong đó
Px là đếm được với x ∈ X. Với x ∈ X, lấy bất kì P1 , P2 ∈ Px . Vì P là
cơ sở yếu nên tồn tại P3 ∈ Px sao cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 . Khi đó, từ P1 ,
P2 , P3 ∈ Px , suy ra tồn tại P4 ∈ Px sao cho P4 ⊂ P1 ∩ P2 ∩ P3 . Tiếp
tục lập luận tương tự ta xây dựng được tập con Px ⊂ Px với
Px = {P1 , P2 , P3 , ...}

thoả mãn Pn ⊂

n
i=1 Pi

với mỗi n ∈ N . Vì P là cơ sở yếu đều nên

Px lưới tại x. Nếu U, V ∈ Px thì hiển nhiên tồn tại W ∈ Px sao cho
W ⊂ U ∩V.
Giả sử G ⊂ X sao cho với mỗi x ∈ G, tồn tại P ∈ Px sao cho


11

P ⊂ G. Do Px ⊂ Px và P là cơ sở yếu nên G là mở trong X . Vậy
P = ∪{Px : x ∈ X} là cơ sở yếu trong X và Px là đếm được với mỗi
x ∈ X, hay X là không gian gf - đếm được.

✷

1.2.4 Mệnh đề ([9]). Với không gian tôpô X hai điều kiện sau là
tương đương.
(1) X có cơ sở yếu đều.
(2) X là không gian dãy với sn - lưới đều.
Chứng minh. (1) suy ra (2). Giả sử điều kiện (1) được thoả mãn.
Khi đó theo Mệnh đề 1.2.3 thì X là không gian gf - đếm được và do đó
theo [17] thì X là không gian dãy. Mặt khác mỗi cơ sở yếu trong X là
sn - lưới nên ta có (2).
(2) suy ra (1). Giả sử điều kiện (2) được thoả mãn. Khi đó, vì X là
không gian dãy nên mỗi sn - lưới trong X là cơ sở yếu. Từ đó suy ra (1)

được thoả mãn.

✷

1.3 Đặc trưng của các không gian với sn - lưới đếm được theo
điểm
Mục này chúng ta sẽ trình bày một số đặc trưng của không gian với
sn - lưới đếm được địa phương hoặc σ - đếm được địa phương thông qua
cs - lưới, k - lưới.
1.3.1 Bổ đề ([6]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó các tính chất
sau là tương đương.
(1) X có k - lưới đếm được địa phương.
(2) X có cs - lưới đếm được địa phương.
(3) X có cs* - lưới đếm được địa phương.
1.3.2 Định lý ([9]) . Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó các tính
chất sau là tương đương.


12

(1) X có sn - lưới đếm được địa phương.
(2) X là không gian snf - đếm được với cs - lưới đếm dược địa phương
(do đó X có k - lưới, cs* - lưới - đếm được địa phương).
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử X có sn - lưới đếm được địa phương
P = ∪Px . Vì P là tập đếm được địa phương nên Px là tập đếm được
hay X là không gian snf - đếm được. Mặt khác, do P là sn - lưới nên
P là cs - lưới. Vậy P là cs - lưới đếm được địa phương của X.
(2) ⇒ (1). Giả sử X là snf - không gian đếm được với cs- lưới đếm
được địa phương. Khi đó, ta có thể giả thiết X có cs- lưới P đếm được
địa phương và khép kín với phép giao hữu hạn. Với mỗi x ∈ X, giả sử

{B(n, x) : n ∈ N } là sn- lưới giảm tại x. Đặt
Fx = {P ∈ P : B(n, x) ⊂ P }, n ∈ N ∗ và F = ∪{Fx : x ∈ X}.
Khi đó x ∈ ∩Px và Fx khép kín với giao hữu hạn, do đó F thoả mãn hai
điều kiện của Định nghĩa 1.1.6. Bây giờ chỉ cần chứng minh mọi Q ∈ Fx
là lân cận dãy của x. Thật vậy giả sử ngược lại tồn tại P ∈ Fx mà P
không phải là lân cận dãy của x. Khi đó tồn tại {xn } ⊂ X hội tụ tới x
sao cho với mỗi k ∈ N , {xn : n > k}

P . Ta chọn

xn1 ∈ {xn : n > 1} \ P ,
xn2 ∈ {xn : n > 2} \ P ,
... ...
xnk +1 ∈ {xn , n > nk } \ P,
... ...
Khi đó xnk hội tụ tới x. Vì P ∈ Fx nên B(m, x) ⊂ P với mỗi m ∈ N ∗ .
Mặt khác B(m, x) là lân cận dãy của x nên {x} ∪ {xnk : k > j} ⊂
B(m, x), với mỗi j ∈ N nào đó. Vì thế {xnk : k > j} ⊂ P mâu thuẫn với
P không là lân cận dãy của x. Do đó F là sn - lưới. Mặt khác F ⊂ P


13

nên F là đếm được địa phương. Vậy F là sn - lưới đếm được địa phương
✷

của X.

1.3.3 Định lý ([9]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó (1) ⇔ (2)
⇒ (3) trong đó

(1) X có sn - lưới σ - đếm được - địa phương.
(2) X là không gian snf - đếm được với cs - lưới σ - đếm được địa
phương.
(3) X là không gian snf - đếm được với k - lưới σ đếm được - địa
phương.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Từ Định lý 1.3.2 ta có ngay điều phải
chứng minh.
(2) ⇒ (3). Giả sử X là snf - đếm được với cs - lưới σ - đếm được địa
phương, tức là tồn tại P = ∪{Pn : n ∈ N ∗ } sao cho P cs - lưới và Pn
đếm được địa phương trong X. Giả sử K ⊂ X là tập compăc và V là
lân cận mở của K. Với mỗi n ∈ N ∗ ta đặt
An = {P ∈ Pn : n ∈ N ∗ , P ∩ K = ∅, P ⊂ V }.
Khi đó P là tập đếm được nên A = ∪ {An : n ∈ N ∗ } là đếm được.
Kí hiệu A = {Pi , i ∈ N }. Khi đó K ⊂
sử ngược lại K

i
i
nào đó. Thật vậy, giả

với n ∈ N ∗ . Chọn xn ∈ K \

i
Vì

{P ∩ K, P ∈ P} là cs- lưới đếm được của không gian con K với K là
tập compăc nên K là không gian mêtric compăc. Vì dãy {xn } ⊂ K nên

tồn tại dãy con {xnk } sao cho xnk → x ∈ K. Vì P là cs- lưới nên tồn
tại m ∈ N ∗ và P ∈ P sao cho {xnk : k > m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V . Đặt
P = Pj , j ∈ N ∗ .Ta chọn l > m sao cho nl > j. Khi đó xnl ∈ Pj . Điều
này mâu thuẫn với K

i n Pi ,

n ∈ N ∗ . Vậy ta có (2) suy ra (3).

(2) ⇒ (1). Giả sử X là snf - đếm được và có cs - lưới σ - đếm được


14

địa phương. Khi đó P = ∪{Pn , n ∈ N ∗ } là cs - lưới, Pn là đếm được
địa phương. Với x ∈ X, ta có {B(n, x) : n ∈ N ∗ } là lưới tại x. Đặt
Fm,x = {P ∈ Pm : B(n, x) ⊂ P, n ∈ N ∗ },
Fx = ∪{Fm,x : m ∈ N ∗ },
Fm = ∪{Fm,x , x ∈ X},
F = ∪{Fx , x ∈ X}.
Khi đó F là sn - lưới của X. Thật vậy x ∈ ∩Px , và Fx khép kín dưới
giao hữu hạn phần tử của Fx .
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh mỗi x ∈ P ∈ Fx là lân cận dãy của x.
Chứng minh tương tự như Định lý 1.3.2 ta có F là sn - lưới của X.
Với mỗi m ∈ N , Fm ⊂ Pm , do đó Fm là đếm được trong X. Vậy
F = ∪{Fm : m ∈ N } là σ - đếm được địa phương trong X.

✷

1.3.4 Bổđề ([9]). Không gian paracompăc với k - lưới σ - đếm được

địa phương là ℵ - không gian.
Chứng minh. Giả sử X là không gian paracompăc với k - lưới σ đếm được địa phương. Khi đó X có P = ∪{Pi : i ∈ N }, Pi là đếm được
địa phương nên tồn tại họ {Ui } là họ các tập mở sao cho mỗi phần tử của
Ui giao đếm được với các phần tử Pi . Vì X là không gian paracompăc
nên tồn tại họ {Vi } là họ mịn mở của {Ui }, Vi là hữu hạn địa phương.
Do đó

i
∩ Vi ) là k - lưới σ - hữu hạn địa phương. Thật vậy mỗi

V ⊂ Vi xác định họ
{P ∈ Pi ;V ∩ P = ∅} = {P (V, n) : n ∈ N ∗ }.
Đặt
Hi,n = {P (V, n) ∩ V : V ∈ Vi }.
Do Vi là hữu hạn địa phương nên Hi,n là hữu hạn địa phương và Pi ∩Vi =
∞
n=1 Hi,n

nên

i∈N (Pi ∩ Vi )

là σ - hữu hạn địa phương. Giả sử K là tập


15

compăc và W là tập mở chứa K tồn tại i ∈ N và Pi∗ ⊂ Pi sao cho
K ⊂ ∪Pi∗ . Do đó K ⊂ ∪Vi∗ với Vi∗ ⊂ Vi . Khi đó Pi∗ ∩ Vi∗ là họ hữu

hạn của Pn ∩ Vi . Ta có K ⊂ ∪(Pi∗ ∩ Vi∗ ) ⊂ W , do đó

i∈N (Pn

∩ Vn ) là

k - lưới của X. Vậy X là ℵ - không gian.

✷

Trong Định nghĩa 1.1.8, ta đã định nghĩa phủ có tính chất (B). Bây
giờ ta nghiên cứu mối quan hệ giữa sn - lưới, cs - lưới và phủ có tính
chất (B). Định lí sau đây cho ta mối quan hệ đó.
1.3.5 Định lý. Với không gian X các điều kiện sau là tương đương.
(1) X có sn - lưới sao - đếm được.
(2) X là không gian snf - đếm được có cs - lưới sao - đếm được.
(3) X là không gian snf - đếm được với phủ đếm được có tính chất (B).
Chứng minh.(1) ⇒ (3). Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} là sn - lưới
sao - đếm được trong X. Khi đó Px là lưới tại x và mỗi P ∈ Px là lân
cận dãy của x. Do đó với mỗi U mở trong X ắt tồn tại P ∈ Px sao cho
x ∈ P ⊂ U và x ∈ Ints (P ). Từ đó ta có
x ∈ Ints (P ) ⊂ P ⊂ U .
Như vậy P là sao - đếm được, có tính chất (B). Mặt khác từ P là sao đếm được suy ra Px đếm được với mỗi x ∈ X, tức là X là không gian
snf - đếm được.
(3) ⇒ (2). Giả sử X là không gian snf - đếm được với phủ P có tính
sao - đếm được và tính chất (B). Mỗi x ∈ X đặt
Px = {P ∈ P : x ∈ P }.
(Px )∗ = {∪L : L ⊂ Px , trong đó ∪ L là họ con hữu hạn của Px }
Gx = {G ∈ (Px )∗ : x ∈ Ints (G)}.
G = ∪{Gx : x ∈ X}.

16

Từ tính chất sao - đếm được của P suy ra Px là đếm được, do đó
(Px )∗ đếm được với mỗi x ∈ X. Giả sử {xn } là dãy trong X, hội tụ tới
x ∈ X và U là tập mở trong X sao cho x ∈ U . Khi đó, vì P có tính chất
(B) nên tồn tại họ con hữu hạn L của P sao cho.
x ∈ Ints (∪L) ⊂ ∪L ⊂ U, x ∈ ∩L.
Lấy G = ∪L thì G ∈ Gx . Vì xn → x nên tồn tại m ∈ N sao cho
{xn : n

m} ⊂ ∪L. Vì vậy tồn tại G ∈ G sao cho.
{xn : n

m} ∪ {x} ⊂ G ⊂ U .

Do đó G là cs - lưới trong X.
Bây giờ ta chứng tỏ G có tính sao - đếm được. Giả sử G ∈ G.
G =

i m Pi

, P1 , P2 , ..., Pm ∈ Py

trong đó y là điểm nào đó thuộc X. Nếu G ∩ Pi = ∅ thì tồn tại Pj sao
cho Pi ∩ Pj = ∅. Vì P có tính sao - đếm được nên Pi chỉ có thể giao với
không quá đếm được phần tử P ∈ P và mỗi phần tử P này lại chỉ có
thể giao với không quá đếm được các phần tử của P. Từ đó suy ra mỗi
Pi chỉ có thể giao với không quá đếm được phần tử G ∈ G. Vậy G sao đếm được.

(2) ⇒ (1). Giả sử X là không gian snf - đếm được với cs - lưới sao
- đếm được . Khi đó X có một sn - lưới B = ∪{Bx :x ∈ X}, trong đó
mỗi Bx là đếm được và một cs - lưới sao - đếm được P. Vì mỗi Bx là
đếm được nên ta có thể kí hiệu.
Bx = {B(x, n) : n ∈ N ∗ },
và có thể giả thiết B(x, n + 1) ⊂ B(x, n) với mọi n. Đặt
P∗ = {∩L : L là họ con hữu hạn củaP}.


17

Khi đó P∗ là cs - lưới và nó cũng có tính sao - đếm được. Do đó ta có
thể giả thiết P khép kín với giao hữu hạn (nếu cần thì thay P bởi P∗ ).
Với mỗi x ∈ X, từ tính sao - đếm được suy ra họ
Px = {P ∈ Px : x ∈ P }
là đếm được. Do đó ta viết Px = {P1 , P2 , ...}. Đặt
Lx = {P ∈ Px : B(x, n) ⊂ P với n nào đó}.
Khi đó Lx = ∅. Thật vậy nếu Lx = ∅ thì với mọi n, m ∈ N ∗ đều có
B(x, n)

Pm . Từ đó suy ra tồn tại dãy {xn,m } với
xn,m ∈ B(x, n) \ Pm : n, m ∈ N ∗ .

Ta thiết lập dãy {xk } bằng cách đánh số các phần tử của dãy {xn,m }
như sau, đầu tiên đánh số k theo chiều tăng của k với mỗi n đánh số k
theo chiều tăng của m. Chẳng hạn
x1 = x11 , x2 = x21 , x3 = x22 , x4 = x31 ,
x5 = x32 , x6 = x33 , x7 = x41 , ....
Như vậy ta có k = m + n(n − 1)/2. Với mỗi tập mở U chứa x, vì
{B(x, n) : n ∈ N ∗ } là lưới tại x nên tồn tại n ∈ N ∗ sao cho B(n, x) ⊂ U .

Từ B(x, n+1) ⊂ B(x, n) với mọi n suy ra với mỗi n ∈ N tồn tại k0 ∈ N
sao cho xk ∈ B(x, n) với mọi k

k0 , n ∈ N ∗ từ đó suy ra xk → x. Vì P

là cs - lưới nên ồn tại Pm0 ∈ Px và k1 sao cho
{xk : k

k 1 } ⊂ P m0 .

Mặt khác theo cách xây dựng dãy {xk } thì tồn tại k sao cho k > k1 ,
xk = xnm với n > m > m0 , tức là xk ∈
/ Pm0 với k > k1 . Ta có một điều
mẫu thuẫn. Do đó Lx = ∅ với mọi x ∈ X. Đặt
L = ∪{Lx : x ∈ X}.


18

Từ P là cs - lưới suy ra Lx là lưới tại x. Hiển nhiên x ∈ ∩Lx . Giả sử
P và P thuộc Fx . Khi đó tồn tại B(x, n) ⊂ P và B(x, n ) ⊂ P .
Vì P khép kín với phép giao hữu hạn nên P ∩ P ∈ P. Mặt khác với
n” = max(n, n ). Ta có B(x, n”) ⊂ P ∩ P . Do đó P ∩ P ∈ Lx . Cuối
cùng, vì B là sn - lưới nên mỗi B(x, n) là lân cận dãy của x. Từ đó suy
ra mỗi P ∈ Lx cũng là lân cận dãy của x. Do đó L là sn - lưới trong X.
Vì L ⊂ P mà P là sao - đếm được nên L cũng là sao - đếm được.

✷

1.3.6 Bổ Đề. ([9]) Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} là họ HCP của X thì

họ P∗ tất cả các giao hữu hạn của các tập thuộc P cũng có tính chất
HCP .
Chứng minh. Ký hiệu Λ<ω là họ tất cả các tập con hữu hạn của Λ.
Ta có
P = {GJ : J ∈ Λ<ω }
trong đó GJ = ∩{Pα : α ∈ J}
Giả sử Λ ⊂ Λ<ω , HJ ⊂ GJ với J ∈ Λ . Khi đó HJ ⊂ Pα với α nào đó
thuộc J. Do đó, từ P có tính HCP ta suy ra
∪{HJ : J ∈ Λ } = ∪{HJ : J ∈ Λ }.
Vậy P∗ có tính chất HCP .

✷

1.3.7 Định lý. Với không gian X các điều kiện sau là tương đương.
(1) X có sn - lưới đếm được theo điểm, σ - HCP (tương ứng σ WHCP).
(2) X là không gian snf - đếm được, có cs- lưới đếm được theo điểm,
σ - HCP (tương ứng σ - WHCP).
Chứng minh. (1) ⇒ (2) là hiển nhiên.
Bây giờ ta chứng minh (2) suy ra (1). Giả sử B = {Bx : x ∈ X}
là sn - lưới trong X, trong đó Bx là đếm được và P = {∪Px } là cs -


19

lưới đếm được theo điểm, trong đó mỗi Pn có tính chất HCP . Khi đó,
ta có thể viết Bx = {Bx,1 , Bx,2 , ...} và giả thiết Bx,n+1 ⊂ Bx,n với mọi
n. Vì hợp của một số hữu hạn HCP là họ HCP nên có thể giả thiết
Pn ⊂ Pn+ , với mọi n. Hơn nữa theo Bổ đề 1.3.6, (Pn )∗ cũng có tính
chất HCP , trong đó (Pn )∗ là họ giao hữu hạn các tập thuộc Pn . Do đó
có thể giả thiết các Pn khép kín với giao hữu hạn.

Trong chứng minh Định lý 1.3.5 khi chứng tỏ (2) suy ra (1) ta đã
chỉ ra rằng mỗi x ∈ X họ {P ∈ Px : tồn tại B(x, n) ⊂ P } = ∅
(Px = {P ∈ P : x ∈ P }). Do đó từ Pn ⊂ Pn+ với mọi n. Ta xét họ
Ln,x = {P ∈ Pn : ∃B ∈ Bx , B ⊂ P } = ∅.
Với mọi n đủ lớn. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết Ln,x =
∅.Đặt
Lx = {Ln,x : n = 1, 2, ...}
Ln = ∪{Ln,x : x ∈ X}
L = ∪{Lx x ∈ X}.
Khi đó, ta có Ln ⊂ Pn với mọi n và
L = ∪{Ln : n = 1, 2, ...} ⊂ P.
Từ tính đếm được theo điểm và mối Pn là HCP suy ra L đếm được theo
điểm và σ - HCP . Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng minh
L là sn - lưới. Từ cách xác định Lx ta suy ra Lx là lưới tại x với mỗi
x ∈ X. Giả sử P và P thuộc Lx . Khi đó tồn tại Bx,n và Bx, n thuộc
sao cho Bx,n ⊂ P, Bx,n ⊂ P . Đặt m = max(n, n ) ta có
Bx,m ⊂ Bx,n ∩ Bx,n ⊂ P ∩ P ∈ Pm .
Do đó P ∩ P ∈ Lm,x ⊂ Lx . Từ mỗi Bx,n là lân cận dãy của x suy ra mỗi
P ∈ Lx là lân cận dãy của x. Vậy L là sn - lưới trong X.


20

Trường hợp P có tính chất σ - W HCP được chứng minh tương tự. ✷
1.3.8 Hệ quả. Với không gian X các điều kiện sau là tương đương.
(1) X có sn - lưới σ - hữu hạn địa phương.
(2) X là không gian snf - đếm được có cs - lưới σ - hữu hạn địa phương.
Chứng minh. Vì mỗi họ σ - hữu hạn địa phương là đếm được theo
điểm và σ - HCP nên áp dụng Định lý 1.3.7 ta có ngay điều cần chứng
minh.

✷


21

chương 2. không gian sn- mêtric hóa được
2.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản.
Mục này trình bày các khái niệm về các loại ánh xạ đặc biệt, sn lưới- sao điểm và một số tính chất cơ bản cần dùng về sau.
2.1.1 Định nghĩa ([6]). Giả sử {Pn } là một dãy phủ của X.
(1) {Pn } được gọi là sn - lưới (tương ứng cơ sở yếu) sao - điểm của
X nếu {st(x, Pn )}, n ∈ N là sn - lưới (tương ứng cơ sở yếu) tại x, với
mọi x ∈ X, trong đó
st(x, Pn ) = ∪{P ∈ Pn ; x ∈ P }.
(2) {Pn } được gọi hữu hạn địa phương (tương ứng HCP , rời rạc, hữu
hạn theo điểm) nếu mỗi Pn là hữu hạn địa phương ( tương ứng HCP ,
rời rạc, hữu hạn theo điểm) với mỗi n ∈ N .
2.1.2 Định nghĩa ([7]). Giả sử P là phủ của X. P được gọi cs* phủ nếu mỗi dãy S hội tụ tồn tại P ∈ P và dãy con S của S sao cho
S có đuôi ở trong P . P được gọi là fcs - phủ nếu mọi dãy S hội tụ về
x tồn tại họ con hữu hạn F ⊂ Px sao cho S có đuôi ở trong ∪F.
2.1.3 Định nghĩa ([7]). Giả sử f : X → Y là ánh xạ với (X, d) là
không gian mêtric. f được gọi là π -ánh xạ nếu với mỗi y ∈ Y và U là
lân cận của y thì d(f −1 (y), X − f −1 (U )) > 0.
2.1.4 Định nghĩa ([7]). Giả sử X, Y là không gian tôpô f : X → Y
là ánh xạ.
(1) f được gọi là ánh xạ - thương nếu f −1 (U ) mở thì U mở.
(2) f được gọi là ánh xạ thương - dãy nếu mọi dãy hội tụ S trong Y
tồn tại dãy L trong X sao cho f (L) là dãy con của S.

22

(3) f được gọi là ánh xạ phủ - giả dãy nếu mọi dãy hội tụ S của Y
tồn tại tập compăc K ⊂ X sao cho f (K) = S.
(4) f được gọi là ánh xạ phủ - dãy con nếu mọi dãy hội tụ S tồn tại
tập compăc K ⊂ X sao cho f (K) là dãy con của S.
(5) f được gọi là σ - ánh xạ nếu tồn tại một cơ sở B của X sao cho
f (B) là họ σ - hữu hạn địa phương của Y .
(6) f được gọi là ánh xạ phủ - dãy nếu mỗi dãy hội tụ (bao gồm cả
điểm giới hạn) trong Y là ảnh của một dãy hội tụ (bao gồm cả điểm giới
hạn) trong X.
(7) f được gọi là ánh xạ compăc nếu với mỗi y ∈ Y thì f −1 (y) là tập
compăc trong X.
(8) f được gọi là ánh xạ 1-phủ-dãy nếu với mỗi y ∈ Y , tồn tại x ∈
f −1 (y) sao cho mọi dãy {yn } hội tụ tới y ∈ Y thì tồn tại dãy {xn } hội
tụ tới x ∈ X và xn ∈ f −1 (yn ).
2.1.5 Mệnh đề ([4]). Giả sử f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó
i) Nếu f là ánh xạ phủ - dãy thì f là ánh xạ phủ - giả dãy và thương
- dãy.
ii) Nếu f là ánh xạ phủ - giả dãy (hay thương - dãy) thì f là ánh xạ
phủ - dãy con.
iii) Nếu f là ánh xạ phủ - compăc thì f là ánh xạ phủ - giả dãy.
Chứng minh. i) Giả sử f : X → Y là ánh xạ phủ - dãy, {yn } ⊂ Y, yn
hội tụ tới y ∈ Y . Khi đó, tồn tại {xn } ⊂ X, xn hội tụ tới x ∈ f −1 (y)
sao cho f (xn ) = yn , n = 1, 2, . . . . Đặt
K = {xn : n = 1, 2, . . . } ∪ {x}.
Khi đó K là tập compăc trong X và
f (K) = {yn : n = 1, 2, . . . } ∪ {y}.

23

Vậy f là ánh xạ phủ - giả dãy.
Rõ ràng {f (xn )} là một dãy con của {yn }. Do đó f là ánh xạ thương
- dãy.
ii) Giả sử f : X → Y là ánh xạ phủ - giả dãy, {yn } ⊂ Y, yn hội tụ tới
y ∈ Y . Khi đó tồn tại một tập compăc K của X sao cho f (K) = {yn }.
Rõ ràng f (K) là dãy con của dãy {yn }. Vậy f là ánh xạ phủ - dãy con.
Giả sử f là ánh xạ thương - dãy và L là một dãy trong Y hội tụ tới
y ∈ Y . Vì f : X → Y là ánh xạ thương - dãy nên tồn tại dãy S hội tụ
tới x ∈ X sao cho f (S) = L , với L là dãy con của L. Đặt
S = {x} ∪ {xn : n = 1, 2, . . . },
trong đó xn hội tụ tới x ∈ X. Khi đó S là tập compăc trong X và
f (S) = L . Vậy f là ánh xạ phủ - dãy con.
iii) Giả sử f : X → Y là ánh xạ phủ - compăc và {yn } ⊂ Y, yn hội
tụ tới y ∈ Y . Đặt
C = {y} ∪ {yn : n = 1, 2, . . . }.
Khi đó, C là tập compăc trong Y . Vì f là ánh xạ phủ - compăc nên tồn
tại tập compăc K ⊂ X sao cho f (K) = C. Vậy f là ánh xạ phủ - giả
dãy.

✷

2.2 Các đặc trưng của không gian sn - mêtric hoá được.
2.2.1 Bổ đề ([9]). Giả sử X là lhông gian tôpô các điều kiện sau là
tương đương.
(1) X là sn - mêtric hoá được.
(2) X có sn - lưới σ - rời rạc.
(3) X là không gian snf - đếm được và ℵ - không gian.
2.2.2 Định lý ([9]). Một không gian có sn - lưới đếm được địa phương

là không gian sn - mêtric hoá được.


24

Chứng minh. Giả sử X là không gian có sn - lưới đếm được địa
phương theo Định lý 1.3.2 ta có X là không gian snf - đếm được với k
- lưới đếm được địa phương do đó X là k - không gian với k - lưới đếm
được địa phương do đó X là ℵ - không gian, nên từ Bổ đề 2.2.1 thì X là
sn - mêtric hoá được.

✷

2.2.3 Định lý ([9]). Không gian paracompăc với sn - lưới σ - đếm
được địa phương là sn - mêtric hóa được.
Chứng minh. Giả sử X là không gian paracompăc với sn - lưới σ
- đếm được địa phương, từ Định lý 1.3.3 ta có X là không gian snf đếm được với k - lưới σ - đếm được địa phương. Do X là không gian
paracompăc nên theo Định lý 1.3.4 thì X là snf - không gian và ℵ không gian. Mặt khác, theo Bổ đề 1.3.1 ta có X là sn - mêtric hóa
được.

✷

2.2.4 Hệ quả ([9]). Một không gian paracompăc với sn - lưới σ đếm được địa phương là không gian sn - mêtric hoá được.
Chứng minh. Ta có, một không gian có sn - lưới σ - đếm được địa
phương nên theo Định lý 1.3.3 ta có X là không gian có snf - đếm được
và k - lưới σ - đếm được địa phương . Mặt khác theo Định lý 2.2.3 ta có
X là snf - đếm được và ℵ - không gian nên theo Bổ đề 2.2.1 ta có X là
không gian sn- mêtric hóa được.

✷

2.2.5 Bổ đề ([6]). Giả sử P là phủ có tính chất σ - HCP. Nếu P là
cs* - lưới thì P là k - lưới của X.
2.2.6 Bổ đề ([8]). Không gian tôpô X là sn - mêtric hoá được khi và
chỉ khi X là không gian snf - đếm được với cs* - lưới (đóng) σ - HCP.
2.2.7 Bổ đề ([6]). Giả sử P tập hợp có tính chất HCP và L là dãy
hội tụ và có đuôi trong ∪P. Khi đó tồn tại P ∈ P sao cho L thường
xuyên ở trong P, nghĩa là L có một dãy con vô hạn ở trong P.


25

Chứng minh. Giả sử ngược lại. Khi đó L ∩ P là hữu hạn với mọi
P ∈ P. Không mất tính tổng quát giả sử L = {xn : n ∈ N ∗ } ⊂ ∪P
và L vô hạn. Chọn xn1 ∈ ∪P. Tồn tại P1 ∈ P sao cho xn1 ∈ P1 . Do L là
vô hạn và L ∩ P1 là hữu hạn nên L − P1 là tập vô hạn. Ta chọn n2 > n1 .
Khi đó tồn tại P2 ∈ P sao cho xn2 ∈ P2 , và xn2 = xn1 . Bằng quy nạp ta
xây dựng được dãy con hội tụ {xnk } của L sao cho xnk ∈ Pk ∈ P với mọi
k ∈ N và xnk = xnt nếu k = t. Khi đó {{xnk } : k ∈ N ∗ } không bảo
tồn bao đóng. Điều này mâu thuẫn với giả thiết P có tính chất HCP .
Vậy tồn tại P ∈ P sao cho L thường xuyên gặp P .

✷

2.2.8 Định lý. ([6]) Giả sử X là không gian tôpô khi đó các điều kiện
sau là tương đương.
(1) X là sn - mêtric hoá được.
(2) X có sn - lưới sao - điểm hữu hạn địa phương.
(3) X có sn - lưới sao - điểm σ - HCP.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử X là sn - mêtric hoá được khi đó

tồn tại P = ∪{Pn : n ∈ N ∗ }. Từ Bổ đề 2.2.1 ta có Pn là tập rời rạc,
đóng của X. Do đó ta có P = {Bx : x ∈ X} trong đó Bx là lưới tại x.
Mỗi n ∈ N ta đặt
Fn = {x ∈ X : Pn ∩ Bx = ∅}
và Fx là lưới tại x, Fn = {Fn } ∪ Pn . Khi đó {Fn } là phủ dãy hữu hạn
địa phương của X, với mỗi x ∈ X ta cần chứng minh Fx = st(x, Fn )
là sn - lưới tại x.
- Với x ∈ X và U mở chứa x do Bx là lưới tại x nên tồn tại
x ∈ P ∈ Bx ∩ Pn ,
với n ∈ N ∗ sao cho P ⊂ U và mỗi x ∈ Fn thì
P ∩ Bx = ∅, P ∈ P, Bx ∈ Bx .