Một số vấn đề về lí thuyết toán tử

trờng đại học vinh
Khoa toán
----- -----

rịnh thị hơng

Một số vấn đề về lý thuyết
toán tử

Khoá luận tốt nghiệp đại học
cử nhân khoa học ngành toán
Chuyên ngành giải tích

Ngời hớng dẫn: pgs.ts. Trần Văn ÂN

vinh - 2004
1


Mục lục

Trang
Lời nói đầu

2

Chơng I. Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn

4

I.

Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn

4

II.

Toán tử liên hợp trong không gian định chuẩn

6

III. Phổ của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn 7
IV. Không gian liên hợp

10

Chơng II. Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert

16

I.

Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert

16

II.

Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

18

III. Phổ của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
Chơng III. Toán tử dơng, toán tử chiếu

20
22

I.

Toán tử dơng

22

II.

Toán tử chiếu

25

Chơng IV. Toán tử compact

28

I.

Toán tử compact trong không gian định chuẩn

28

II.

Toán tử compact trong không gian Hilbert

30

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35

2


Lời nói đầu
Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert cùng với
các ánh xạ tuyến tính liên tục ở trên nó làm nền tảng để xây dựng giải tích hàm,
một ngành toán học tuy bắt đầu xây dựng muộn (cách đây gần một thế kỷ) nhng
hiện nay nó đã đợc xem nh một ngành toán học cổ điển.
Trong khoảng thời gian ấy, giải tích hàm đã tích luỹ đợc cho mình một nội
dung hết sức phong phú, những phơng pháp và kết quả của giải tích hàm đã xâm
nhập vào các ngành toán học khác có liên quan và có sử dụng đến những công cụ
giải tích và không gian vectơ. Theo đó việc mở rộng các kết quả của ánh xạ (toán
tử) tuyến tính liên tục cũng đợc phát triển lên một bớc và quá trình thu hẹp các điều
kiện của toán tử tuyến tính trên các không gian nói trên đã đa ra cho chúng ta nhiều
kết quả thú vị.
Trong khuôn khổ của khoá luận này, tác giả chỉ giới thiệu một phần nhỏ về

vấn đề lý thuyết toán tử, từ đó cho ta thấy cách nhìn tổng quan hơn về lý thuyết
toán tử trong không gian định chuẩn, không gian Banach và không gian Hilbert.
Khoá luận ngoài phần mục lục, lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì
nội dung chính của khoá luận đợc chia làm 4 chơng. Cụ thể nh sau
- Chơng I. Trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về toán tử tuyến tính
liên tục trong không gian định chuẩn, toán tử liên hợp, phổ của toán tử tuyến tính
liên tục, không gian liên hợp.
- Chơng II. Trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về toán tử tuyến tính
liên tục trong không gian Hilbert, toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert, phổ
của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert.
- Chơng III. Trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về toán tử dơng, toán
tử chiếu.
- Chơng IV. Trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về toán tử compact.

3


Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích, đặc
biệt là PGS.TS. Trần Văn Ân, tập thể lớp 41B Toán đã giúp đỡ tận tình và góp ý
cho tác giả để hoàn thành đợc khoá luận này.
Vì thời gian hoàn thành khoá luận rất ngắn và trình độ hiểu biết của tác giả
còn hạn chế nên khoá luận không thể tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác giả rất
mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn bè ngày một tiến bộ hơn.
Vinh, ngày 20 tháng 4 năm 2004
Tác giả

4


chơng I

Toán tử tuyến tính liên tục
trong không gian định chuẩn
I.Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn

1.1. Định nghĩa. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn trên cùng một trờng số
K(thực hay phức). ánh xạ ( toán tử ) f : E F đợc gọi là tuyến tính nếu với mọi
phần tử x, y E và mọi số , K ta đều có:
f(x + y) = .f(x) + .f(y).
- Nếu f : E F là ánh xạ tuyến tính và liên tục theo các mêtric sinh bởi
chuẩn trên E và F thì f đợc gọi là ánh xạ( toán tử) tuyến tính liên tục.
Trong trờng hợp F là trờng số K thì f : E F đợc gọi là phiếm hàm tuyến
tính liên tục.
- Nếu f : E F là song ánh tuyến tính và liên tục hai chiều thì f đợc gọi là
một đẳng cấu giữa các không gian định chuẩn E và F.
1.2. Mệnh đề ([1]). Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào
không gian định chuẩn F. Khi đó các mệnh đề sau tơng đơng:
a) f liên tục đều;
b) f liên tục;
c) f liên tục tại điểm 0 E;
d) f bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao cho: f ( x ) k. x ; với mọi x E.
1.3. Mệnh đề ([1]). Đẳng cấu đại số f : E F là đẳng cấu nếu và chỉ nếu tồn tại
các số dơng a và b sao cho: a. x f ( x ) b. x với mọi x E.
1.4. Định lý. Giả sử f : E F là một đẳng cấu đại số. Để f 1 : F E liên tục,
điều kiện cần và đủ là tồn tại số h > 0 sao cho

5

f ( x)

h. x với mọi x E.

Chứng minh. Giả sử f 1 liên tục, theo mệnh đề I.1.2 sẽ tồn tại số k > 0 để với
1
mọi y F ta có f ( y ) k. y . Với mọi x E, do x = f 1(f(x)), ta có

x = f

1

( f ( y ) ) k. f ( x ) . Vì vậy với k =

1
thì f ( x ) h. x .
h

Ngợc lại, giả sử f ( x ) h. x ta cần chứng minh f-1 liên tục. Thật vậy, với
mọi số > 0 bất kỳ, chọn = .h. Khi đó với mọi m, n F mà m n < , do m =
f (f-1(m)), n = f (f-1(n)), ta có
mn = f

Suy ra

( f ( m) ) f ( f ( n) )
1

1

( f ( m) f ( n) )
1

1

1
1
1
1
= f ( f ( m ) f ( n ) ) h. ( f ( m ) f ( n ) ) .



mn
h

<

.h
= . Nghĩa là f-1 liên tục.
h

1.5. Định nghĩa. Giả sử E là một không gian vectơ và . 1 , . 2 là hai chuẩn xác định
trên E. Nếu các chuẩn . 1 và . 2 gây nên cùng một tôpô trên E thì hai chuẩn đó đợc
gọi là tơng đơng với nhau.
Nhận xét. Hai chuẩn . 1 và . 2 trên cùng một không gian vectơ E tơng đơng với
nhau nếu và chỉ nếu ánh xạ đồng nhất iE : (E, . 1 ) (E, . 2 ) là phép đẳng cấu.
1.6. Định lý. Hai chuẩn . 1 và . 2 trên không gian tuyến tính E tơng đơng nếu và
chỉ nếu tồn tại các số dơng a, b sao cho a. x 1 x 2 b. x 1 với mọi x E.
Chứng minh. Giả sử chuẩn . 1 và . 2 là hai chuẩn trên không gian tuyến tính
E. Ta đợc hai không gian định chuẩn (E, . 1 ) và (E, . 2 ). Vì . 1 và . 2 tơng đơng với
nhau khi và chỉ khi ánh xạ đồng nhất là một đẳng cấu tôpô khi và chỉ khi

iE : E E và iE-1 : E E liên tục khi và chỉ khi tồn tại các hằng số a > 0, b > 0 sao
cho a. x 1 x 2 b. x 1 (theo mệnh đề I.1.3).
1.7. Hệ quả. Tính Banach của một không gian định chuẩn không thay đổi nếu ta
thay chuẩn xuất phát bởi một chuẩn tơng đơng bất kỳ.
1.8. Mệnh đề([1]). Nếu f : E F và g : F G là các ánh xạ tuyến tính liên tục
thì gof là ánh xạ tuyến tính liên tục và g f g . f .

6


1.9. Mệnh đề([1]). Với moị f

L (E,F) ta có

f ( x ) = sup
x 0

f ( x)
x

f ( x) =
= sup
x 1

sup f ( x ) với mọi x E và hàm f f là một chuẩn trong L (E,F).
x =1

1.10. Định lý. Toán tử tuyến tính f : E F từ không gian định chuẩn E vào không
gian định chuẩn F là liên tục nếu tập hợp các giá trị của nó trên mặt cầu (tuỳ ý) là
giới nội.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử f ( x ) N với mọi x thuộc mặt cầu (x0,r) =

{x E :

x x0 = r} . Ta cần chứng minh f liên tục .

Lấy bất kỳ x E mà x = 1, vì x0 + rx x0 = r. x = r nên x0 + r.x thuộc mặt
1

cầu (x0,r). Do đó ta có f ( rx + x0 ) N. Hơn nữa f ( rx + x0 ) = r. f ( x ) + r f ( x0 ) N.
Ta suy ra f ( x )

sup
x 0

f ( x)
x

1
( N + f ( x0 ) ) . Theo mệnh đề I.1.9
r

f ( x ) 1 ( N + f ( x ) ) . Vậy f liên tục.
= sup
0
x =1
r

II. Toán tử liên hợp trong không gian định chuẩn

2.1. Định nghĩa. Giả sử E và F là hai không gian định chuẩn và f : E F là toán
tử tuyến tính liên tục. Khi đó xác định đợc ánh xạ f : F E cho bởi công thức
f*(y)[x] = y[f(x)] với mọi x E, y F*.
Toán tử f : F* E* xác định nh trên gọi là toán tử liên hợp của toán tử f :
E F.
2.2. Định lý. Giả sử f : E F là toán tử tuyến tính liên tục và f : F* E* là
toán tử liên hợp của f. Khi đó f là toán tử tuyến tính liên tục.
Chứng minh. Với mọi số , K, mọi số m, n F , mọi số x E ta đều
có

[f*(m + n )](x) = (m + n)[ f(x)] = .m[f(x)] + .n[f(x)]

7


= [.f*(m) + .f*(n)](x).
Mặt khác theo mệnh đề I.1.8 ta có
f ( m) = m f =

sup

x =1, xE

( m f )( x )

m . f . Do đó f f .

Vậy f* : F* E* là ánh xạ tuyến tính liên tục.
2.3. Định lý. Giả sử E, F, G là ba không gian định chuẩn, f , g
h

L (E,F) và

L (F,G). Ta có
a) (.f)* = .f*, với mọi số K;
b) (f + g )* = f* + g*;
c) (h f)*= f* h*.
Chứng minh. a, b) Hiển nhiên ( suy từ tính chất của ánh xạ tuyến tính).
c) Với mọi x E và z G* ta có

(h f)*(z)[x] = z[(h f)(x)] = z[h[f(x)]] = h*(z)[f(x)] = f*[h*(z)](x) = (f* h*)(z)[x].
Vậy (h f)* = f* h*.
2.4. Mệnh đề([2]). Giả sử f** là toán tử liên hợp của toán tử f*. Khi đó thu hẹp
của f** lên E là toán tử f, tức là (f**)(x) = f(x) với mọi x E.
2.5. Mệnh đề([2]). Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn và f

L (E,F).

a) Nếu f có toán tử ngợc liên tục f 1 thì f* cũng có toán tử ngợc liên tục và
(f*)-1 = ( f 1 )*.
b) Giả sử E là không gian Banach và f* có toán tử ngợc bị chặn. Khi đó f
cũng có toán tử ngợc bị chặn và F là một không gian Banach.
III. Phổ của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn

3.1. Đại số L (E)

L (E) = L (E,E)
là không gian định chuẩn các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E. Trên L (E) xác
Cho E là một không gian định chuẩn trên trờng K. Ký hiệu

định ba phép toán:
8


L (E) x L (E) L (E), (f,g) f + g, cho bởi ( f + g )(x) =
f(x) + g(x), với mọi f, g L (E), x E.
- Nhân vô hớng: KxL (E) L (E), (,f ) .f, cho bởi (.f)(x) = .f(x),
với mọi K, f L (E), x E.
- Nhân (hợp thành): L (E)x L (E) L (E), (f,g) f g, cho bởi (f g)(x) =
f[g(x)], với mọi f, g L (E), mọi x E.
Khi đó (L (E), +, ) lập thành một vành trên trờng số K và không gian L (E) là một
đại số. Hơn nữa đại số L (E) là một đại số định chuẩn vì chuẩn trên L (E) thoả mãn
- Phép cộng:

điều kiện f g f . g .
Nếu E là không gian Banach thì L (E) là đại số Banach.
Ký hiệu 1 = iE là ánh xạ đồng nhất trên E. Ta có 1 f = f 1 = f, với mọi
f L (E). Phần tử 1 gọi là đơn vị của L (E).
Phần tử f L (E) đợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại g L (E) sao cho g f = f
g = 1. Phần tử g xác định nh trên gọi là nghịch đảo của f và ký hiệu là f-1.

Với mọi f L (E) và n N ta viết f n = f f f (n lần f ).
Một hàm xác định trong một lân cận nào đó của điểm 0 K nhận giá trị
trong L (E) đợc gọi là giải tích tại 0 nếu trong lân cận này có thể viết


f() =

( )
n =0

0

n

. f n ; trong đó fn L (E).

3.2. Phổ và sự tồn tại giá trị phổ
3.2.1. Định nghĩa. Giả sử E là không gian định chuẩn và L (E) = L (E,E). Số K
gọi là chính quy đối với f L (E) nếu - f = .1 f là phần tử khả nghịch của

L

(E) Trong trờng hợp ngợc lại ta nói thuộc phổ của f. Ký hiệu tập các số chính quy
đối với f là S(f) và phổ của f là (f).
9


3.2.2. Nhận xét. - S(f) (f) = và S(f) (f) = K.
- Số đợc gọi là giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f

L (E) nếu

tồn tại x E, x 0 sao cho x f(x) = 0. Trong trờng hợp này - f không khả
nghịch, do đó nếu là giá trị riêng của f thì (f).
3.2.3. Mệnh đề ([1]). Nếu L (E) là một đại số Banach thì với mọi f

L (E) phổ

của f là tập compact của K, hàm ( - f )-1 là hàm giải tích trên tập mở S(f) của

K. Hơn nữa nếu K = C, tức E là không gian phức thì (f) .
3.2.4. Hệ quả. Với mọi f

L (E), (f) { : f } .

3.2.5. Hệ quả. Nếu S(f) thì d( , (f))

1

( f ) 1 .

3.2.6. Định lý. Giả sử f là một toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định
chuẩn E và là một giá trị riêng của f. Không gian con riêng

{ x E : f ( x ) = .x } ứng với giá tri riêng

n=


là một không gian con đóng của E.

Chứng minh. Vì f và là các ánh xạ tuyến tính liên tục trong không gian
định chuẩn E nên f - là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Tập một điểm { 0} trong trờng số K là tập đóng, do đó ta chỉ cần chứng minh:

n



= { x E : f ( x ) = .x } = { x E : f ( x ) .x = 0 } = ( f - )-1(0) là không gian con

của E.

n



vì tồn tại 0 E và f(0) = 0 = .0.

Với mọi x, y

n



và mọi số , K ta có

( f - )( .x + .y ) = f( .x + .y ) - ( .x + .y )
= .( f - )(x) - .( f - )(y) = 0.
Vậy

n



là không gian con đóng của E.

3.3. Bán kính phổ
Ta gọi bán kính phổ của f L (E) là số (f) = sup{ : ( f ) } .
3.3.1. Mệnh đề ([1]). Nếu L (E) là một đại số Banach và f

10

L (E) thì bán kính phổ


(f) = lim f
n

1
n n

.

3.3.2. Định lý. Nếu E là một không gian Banach và f
> lim n f
n

n

L (E) sao cho

thì S(f) và ( - f )-1 =



fn

n +1 .
n =0

Chứng minh. Giả sử ngợc lại S(f). Khi đó (f). Do đó ta có
(f) = lim f

1
n n

n

. Mâu thuẫn với giả thiết.

3.3.4. Định lý. Giả sử

L (E) là một đại số Banach và f L (E).

a) Nếu số thoã mãn điều kiện > f thì S(f) và ( - f )-1=
b) Nếu f < 1 thì (1 + f )-1 =
Chứng minh. a) Vì

n

f

n





( f )
n =0

n

f

n

n



fn
;

n +1
n =0

.

n f n
= f nên lim
f < , áp dụng
n

định lý I.3.3.2 ta có điều cần chứng minh.
b) Suy ra từ khẳng định a) trong đó = -1.
3.3.5. Mệnh đề ([2]). Giả sử E là một không gian Banach và f

L (E). Khi đó

(f) = (f*).

IV. Không gian liên hợp

4.1. Không gian liên hợp
4.1.1. Định nghĩa. Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trờng số K, không
gian

L (E,K) tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên E đợc gọi là

không gian liên hợp hay đối ngẫu (tôpô) của E và thờng đợc ký hiệu là E*.
4.1.2. Định lý. Với mọi không gian định chuẩn E, không gian liên hợp E* là một
không gian Banach.

11


Chứng minh. Theo định lý I.4.9 ([1]) thì L (E,F) là không gian Banach nếu F
Banach. Mà F = K là không gian Banach nên E* là không gian Banach.
4.1.3. Định lý. Nếu E là một không gian Banach thì không gian liên hợp E* là đầy
đủ với sự hội tụ đơn giản.
Chứng minh. Giả sử { f n } là một dãy Cauchy trong E*. Khi đó với mọi > 0
tồn tại n0 sao cho với mọi n, m n0 ta có f n f m < . Từ đó với mọi x mà x 1 ta
có f n ( x) f m ( x) < . Điều này chứng tỏ { f n (x)} là dãy Cauchy trong K. Vì K đầy đủ
nên theo định lý Banach Steinhaus tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục g
E* thoả mãn lim f n ( x) = g ( x) , với mọi x E. Do đó { f n }



E* hội tụ đơn giản (hay

hội tụ tại từng điểm thuộc không gian E) đến phiếm hàm g.
4.1.5 Mệnh đề([2]). Với mọi phần tử x của một không gian định chuẩn E tuỳ ý, ta
có

x =

sup
f E * , f =1

f ( x) .

4.1.6 Mệnh đề ([2]). Nếu không gian liên hợp E* là khả ly, thì không gian E khả ly.
4.2. Không gian liên hợp thứ hai
4.2.1. Định nghĩa. Giả sử E* là không gian liên hợp của không gian định chuẩn E.
Không gian L (E*,K) tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên E* đợc
gọi là không gian liên hợp thứ hai của E và thờng đợc ký hiệu là E**.
4.2.2. Mệnh đề ([2]). Tồn tại ánh xạ tuyến tính : E E** thoả mãn (x) = x
với mọi x E. Do đó là phép nhúng đẳng cự E vào E**.
4.2.3. Mệnh đề ([2]). Không gian định chuẩn E là hữu hạn chiều khi và chỉ khi
không gian liên hợp E* là hữu hạn chiều.
4.2.4. Định nghĩa. Không gian E đợc gọi là phản xạ nếu phép nhúng chính tắc
nói trên là toàn ánh, nghĩa là đẳng cấu.
Nhận xét. Phép nhúng ở trên là đẳng cấu, do đó E phản xạ nếu E E**,
hay ta cũng có thể coi E = E**.
4.2.5. Mệnh đề ([2]). Không gian con đóng của một không gian phản xạ là phản xạ.

12

4.2.6. Mệnh đề ([2]). Không gian Banach E là phản xạ khi và chỉ khi E* là phản xạ.
4.2.7. Định lý. Nếu E là một không gian Banach, thì
a) Hoặc E = E**= E****= và E* = E***= E****** =
b Hoặc E E** E**** và E* E*** E*****








Chứng minh. Vì là một phép đẳng cự tuyến tính từ E vào E** nên ta có thể
đồng nhất phần tử x E với ảnh của nó, khi đó ta có thể coi E E**.
a) Nếu E phản xạ, theo mệnh đề I.4.2.5 ta có E* phản xạ, tức là:
E = E** = E**** = và E* = E*** = E***** =
b) Nếu E không phản xạ, tức là E E** E**** , theo mệnh đề I.4.2.5
thì E* không phản xạ, hay E* E*** E*****
4.2.8. Định lý. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.
Chứng minh. Giả sử E là không gian định chuẩn n chiều, ta chứng minh E
phản xạ. Theo định lý I.6.1 ([1]) thì E cũng đẳng cấu với không gian Ơclit n chiều
Kn, ta chứng minh E* cũng đẳng cấu với K n. Với { e1 ,....., en } là một cơ sở của E và
với bất kỳ u = ( u1, , un ) Kn ta xác định phiếm hàm tuyến tính fu trên E nh sau:
n

Với mỗi x = ( x1, , xn ) E thì fu(x) =

u x
i =1

i

i

. Khi đó fu E*.

n
n
Ngợc lại, với mọi f E*, ta đều có f(x) = f xi ei = f ( ei ).xi =
i =1
i =1

n

u x
i =1

i

i

,

trong đó ui = f(ei), i = 1, n không phụ thuộc vào x E, nghĩa là với mỗi f E* đều
tồn tại u Kn sao cho fu = f.
Xét ánh xạ : En E* cho bởi (u) = fu với mọi u En thì là một đẳng
cấu đại số. Giả sử u En theo bất đẳng thức Schwartz, ta có
1

1

n
n
2 2
2 2
f ( x) = u i xi u i xi = u . x , hay f u u .
i =1
i =1
i =1

n

Nếu chọn x0 = ( x10, , xn0 ) sao cho:

xi0 = 0 nếu xi = 0;

13


x =
0
i

1

x

u . x

0

0

= u =

n

x u
i =1

0
i i

ui

2

nếu ui 0, i = 1, n ,

thì

1

n
n
2
2 2
= xi 0 = u i 2 = u
i =1

i =1


2

ui

và ta có

0
= fu(x0) f u . x hay u f u . Do đó (u ) = f u = u

Vậy E* đẳng cấu với Kn , khi đó E* cũng đẳng cấu với E, nên ta có thể đồng nhất
E* với E (E* = E).
Nh vậy ta có E* là không gian định chuẩn hữu hạn chiều. Do đó E** = (E*)*
cũng đẳng cấu với Kn (E** = E*). Vậy E** = E hay E là không gian phản xạ.
4.2.9. Định lý. Mọi không gian phản xạ là không gian đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử E là không gian phản xạ bất kỳ. Theo định lý IV.3.5.8
([2]) thì không gian liên hợp E* là Banach. Theo định lý IV.3.5.9 ([2]) thì không
gian liên hợp (E*)* là đầy đủ với sự hội tụ đơn giản. Vì E là không gian phản xạ
nên E = E** = (E*)*. Vậy không gian phản xạ là không gian đầy đủ.
4.3. Tôpô yếu
4.3.1. Định nghĩa. Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f E* liên tục đợc gọi là
tôpô yếu trên E.
Nhận xét. Lấy bất kỳ x E, để ánh xạ f liên tục tại x, điều kiện cần và đủ là
các tập dạng U(f, x, ) = { y E : f ( y ) f ( x ) < } là tập mở, với mọi > 0.
Gọi là tôpô yếu trên E thì là tôpô cảm sinh bởi họ các tập trên. Nghĩa là
w nếu và chỉ nếu mọi x w tồn tại hữu hạn hàm f1,., fn E* và > 0 sao
cho U(f1,., fn,x,) w, trong đó
n

U(f1,., fn,x,) =



i =1

v

( fi , x, ) = y E : sup f i ( y ) f i ( x ) < .


1 i n



4.3.2. Định nghĩa. Dãy { x n } E đợc gọi là hội tụ yếu đến x E, ký hiệu là

xn

w
x nếu mọi lân cận yếu U của x tồn tại n0 sao cho xn U với mọi n n0,



14


w
nghĩa là xn

x nếu với mọi f1 ,...., f p E*, > 0 tồn tại n0 sao cho


xn U( f1 ,...., f p ,x,) với mọi n n0.
4.3.3. Mệnh đề ([2]). Tôpô yếu hơn tôpô xuất phát của không gian định chuẩn
E (tôpô xuất phát của E là tôpô mêtric xác định bởi chuẩn của E).
4.3.4. Mệnh đề ([2]). Nếu không gian định chuẩn E có số chiều hữu hạn, thì tôpô
yếu trùng với tôpô xuất phát của E.
4.3.5. Mệnh đề ([2]). Nếu tôpô yếu trùng với tôpô xuất phát của không gian
định chuẩn E thì E có số chiều hữu hạn.
4.3.6. Mệnh đề ([1]). Mọi dãy { x n } trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến
x E nếu và chỉ nếu f(xn) f(x) với mọi f E*.
w
4.3.7. Định lý. Cho không gian định chuẩn E, điều kiện cần và đủ để x n
x


kéo theo x n x 0 trong E là dimE < .
w
Chứng minh. Giả sử { x n } là một dãy bất kỳ trong E, x n
x kéo theo

w
x n x 0, nghĩa là xn
x kéo theo xn x. Khi đó ta có tôpô yếu trùng


với tôpô xuất phát của không gian định chuẩn E. Theo mệnh đề I.4.3.4 thì E có số
chiều hữu hạn.
Ngợc lại, giả sử E có số chiều hữu hạn. Theo mệnh đề I.4.3.3 tôpô yếu trùng

w
w
với tôpô xuất phát của E, nghĩa là x n
x thì xn x, từ đó suy ra xn
x kéo



theo x n x 0.
4.3.8. Định lý. Trong không gian Banach E với mọi dãy { x n } E và mọi dãy

{ f n } E * , xn

w
x trong E, fn f trong E* thì fn(x) f(x).



w
Chứng minh. Giả sử { x n } E sao cho xn
x và { f n } E * . Vì { f n } E *


nên f n E * hay fn liên tục, nghĩa là với mọi
n n0 thì xn U(fn,x,


> 0 tồn tại n0 sao cho với mọi
2

). Do đó f n ( x n ) f n ( x ) < .
2
2

15


Mặt khác fn f trong E* nên với mọi


> 0 tồn tại số m0 sao cho với mọi
2


2

n m0 thì: f n ( x ) f ( x ) < . Chọn n0 = max( n0 ,m0), khi đó với mọi n n0 ta có
f n ( x n ) f ( x ) = f n ( x n ) f n ( x ) + f n ( x ) f (x) f n ( x n ) f n ( x ) + f n ( x ) f ( x )

<



+ = .
2
2

Vậy fn(xn) f(x).

4.4. Tôpô * yếu
4.4.1. Định nghĩa. Tôpô yếu nhất trên E* để các phiếm hàm tuyến tính x E

( E ) E liên tục đợc gọi là tôpô * yếu trên E*.
4.4.2. Mệnh đề ([1]). (Banach - Alaoglu). Nếu E là một không gian định chuẩn thì
hình cầu đơn vị đóng B* = { g E * : g 1} là tách và compăct * yếu.
4.4.3. Mệnh đề ([1]). Mọi không gian định chuẩn E đều đẳng cự tuyến tính với
một không gian vectơ con của một không gian C( ) các hàm liên tục trên không
gian compact nào đó với chuẩn sup.
4.4.4. Định lý. Mọi không gian định chuẩn E đều có bổ sung đầy đủ, tức là tồn tại
một không gian Banach F sao cho F E và E trù mật trong F.
Chứng minh. Gọi B* là hình cầu đơn vị đóng trong không gian liên hợp E*
với tôpô * yếu. Theo mệnh đề I.4.4.2, B* tách và compăct * yếu, do đó C(B*) các
hàm liên tục từ B* vào K với chuẩn sup là không gian Banach. Theo chứng minh
mệnh đề I.4.4.3, ánh xạ : x E ~x C(B*) là phép nhúng đẳng cự từ E vào
C(B*). Đặt F = ( E ) thì ta có E F. Vì C(B*) Banach, F C(B*), F đóng, theo
định lý 2.1.4 (chơng 2,[2]) không gian con đóng của không gian Banach là Banach,
nên F là Banach và E F.
Theo chứng minh mệnh đề I.4.4.3, ánh xạ liên tục, là phép nhúng đẳng
cự từ E vào C(B*). Hơn nữa theo cách đặt F = ( E ) , nên : E F = ( X ) là toàn
ánh, tức là đẳng cấu từ E vào F. Do đó F = E hay E trù mật trong F.
16


4.4.5. Mệnh đề ([1]). Nếu E là không gian phản xạ thì hình cầu đơn vị đóng trong
E là compăct yếu.

17

Chơng II
Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
I.Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert

Mọi định nghĩa, định lý, hệ quả, nhận xét về toán tử tuyến tính liên tục trong
không gian định chuẩn đều đúng cho toán tử tuyến tính liên tục trong không gian
Hilbert.
1.1. Định nghĩa. a) Giả sử E, F là hai không gian Hilbert và f

L (E,F) là toán tử

tuyến tính liên tục. ánh xạ f*: F E từ F vào E xác định bởi công thức
x> = <y f(x)> với mọi x E, y F đợc gọi là toán tử liên hợp của f.


b) Tập hợp f-1(0) = { x E : f ( x ) = 0} đợc gọi là không gian không của f và ký
hiệu là

n (f).
c) Tập hợp f(E) = { y F : y = f ( x ); x E} đợc gọi là miền giá trị của f và ký

hiệu là ( f ) .
Nhận xét. Nếu f

L (E,F), thì f* là một toán tử tuyến tính liên tục.

1.2. Mệnh đề ([2]). Nếu f: E F là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian
Hilbert E vào không gian Hilbert F thì

( )

E = n (f) f * ;

F = n (f*) ( f ) .

1.3. Mệnh đề ([2]). Giả sử f: E E là một toán tử tuyến tính liên tục trong không
gian Hilbert E, M là một không gian con đóng của E, bất biến đối với f (tức là
f(M) M ). Khi đó phần bù trực giao M là bất biến đối với f*.
1.4. Định lý. a) Nếu M và M đều bất biến đối với f thì chúng cũng bất biến đối
với f*.
b) M bất biến đối với f và f* thì M cũng bất biến đối với f và f*.
Chứng minh. a) Vì M bất biến đối với f nên theo mệnh đề II.1.3, M bất biến
đối với f*. Tơng tự, vì M bất biến đối với f nên (M ) cũng bất biến đối với f*.

18


Theo hệ quả 2 của định lý V.2.5 ([2]) ta có (M ) = M. Do đó M bất biến
đối với f*.
b) Vì M bất biến đối với f nên M bất biến đối với f*. Vì M bất biến đối với
f* nên M bất biến đối với (f*)* = f**.
Ta cần chứng minh f** = (f*)* = f. Thật vậy, với mọi x E, y F ta đều có
< y ( f *) * ( x) >=< f * ( y ) x >= < x f * ( y ) > = < f ( x) y > =< y f ( x ) > .

Do đó (f*)*(x) f(x) = 0. Hay (f*)* = f** = f. Vậy M bất biến đối với f.
1.5. Định lý. Với mọi f, g

L (E), K ta có

a) f** = (f*)* = f;
b) (f + g)* = g* + f*;
c) ( f)* = .f*;
d) (f g)* = g* f*.
Chứng minh. a) Suy từ chứng minh định lý II.1.4.
b) Với mọi f, g

L (E), mọi số x, y E ta đều có

(f + g)*(y) > = < (f + g)(x)
= < f(x)

Do đó


c) < ( .f)(x)

y> +
y>

y > = < x f*(y)) + (x g*(y) >.

(f* + g* - (f + g)*)(y) > = 0. Vậy (f + g)* = f* + g*.

y > = < f(x)
=

d) < x

y > = < (f(x) + g(x))

y > = < f(x)

f*(y) > = < x

(f g)*(y) > = < (f g)(x)
=
y > = < x f*(y) >

( f*)(y) >. Vậy ( f)* = f*.

y > = < f(g(x))

y > = < g(x)

f*(y) >

(g* f*)(y) >. Vậy (f g)* = g* f*.

1.6. Định nghĩa. Giả sử E, F là hai không gian Hilbert, f

L (E,F) đợc gọi là

toán tử đẳng cự bộ phận nếu E = M N với M, N là những không gian con đóng
của E trực giao với nhau, sao cho
a) f(x) = 0 khi x N;

b)

f (x) = x khi x M.

19


1.7. Mệnh đề ([2]). Mọi toán tử tuyến tính liên tục f từ không gian Hilbert E vào
không gian Hilbert F đều có thể biễu diễn đợc dới dạng f = g h, trong đó

h:

E F là toán tử dơng bị chặn trong E và g: E F là một đẳng cự bộ phận với
miền gốc ( f ) = ( h ) E và miền ảnh

( f ) F .

II. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

2.1. Định nghĩa. Giả sử E là không gian Hilbert. Toán tử f
toán tử tự liên hợp nếu f* = f, tức là < f(x)
2.2. Mệnh đề ([1]). Toán tử f

y>=
L (E) đợc gọi là

f(y) > với mọi x, y E.

L (E) là tự liên hợp nếu và chỉ nếu< (f(x)

x > R,

với mọi x E.
2.3. Mệnh đề ([2]). Nếu f, g

L (E) là hai toán tử tự liên hợp giao hoán với nhau

(tức là fog = gof ) thì fog là một toán tử tự liên hợp.
2.4. Mệnh đề ([2]). Giả sử { f n }

L (E) và f L (E) là những toán tử tự liên hợp

và thoã mãn điều kiện f1 f2 fn f, thì dãy { f n } hội tụ theo điểm đến
toán tử tự liên hợp g

L (E) với g f.

Nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục tuỳ ý giao hoán với tất cả các f n ,
n = 1,2,.. thì T cũng giao hoán với g.
2.5. Mệnh đề ([2]). Giả sử E là một không gian Hilbert.
a) Nếu f là một toán tử tự liên hợp bị chặn trong E thì [x,y] =< (f(x)

y >,

x, y X là một dạng song tuyến tính đối xứng liên tục đối với từng biến số, tức là
thoả mãn các điều kiện:
1) [.x1 + .x2, y] = .[x1,y] + .[x2,y];
2) [x,y] = [ y, x] ;
3) Nếu xn x thì [xn,y] [x,y];

4) Nếu yn y thì [x, yn] [x,y];
Với mọi x1, x2, x, y E, , K và mọi dãy { x n } , { y n } E .
20


b) Ngợc lại, giả sử trong không gian E, [x,y] là một dạng song tuyến tính đối
xứng, liên tục đối với một biến số. Khi đó tồn tại một toán tử tự liên hợp bị chặn
y> với mọi x, y E.

f trong E sao cho [x,y] = < f(x)

2.6. Mệnh đề ([2]). Giả sử f là một toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert.
< f ( x) x > ; M = sup < f ( x) x > thì
Đặt m = xinf
E ; x =1
xE ; x =1
|< f ( x) x >|
a) f = max{ m , M } =; x sup
E ; x =1

b) m (f); M (f) và (f) [m,M].
2.7. Định lý. Giả sử E là không gian Hilbert và f
f

2

= f

L (E) là toán tử tự liên hợp thì

2

Chứng minh. Vì f là ánh xạ tuyến tính liên tục nên
f

Ta cần chứng minh f
f (x)

2

= < f(x)

2

2

=

ff f . f = f

2

.

2
f . Thật vậy, với x E, x 1 ta có

f(x) > = < x

f* f(x) > = < x

2
2
f2(x) > x . f . x f .

2
2
2
2
Do đó f f . Vậy f = f .

2.8. Định lý. Giả sử E là một không gian Hilbert và f

L (E) là một toán tử tự liên

hợp. Khi đó, nếu f(x0) 0 với một phần tử x0 nào đó của E thì fn(x0) 0 với mọi n
N.
Chứng minh. Với n = 1 thì f(x0) 0.
Với n 2, ta chứng minh fn(x0) 0. Thật vậy, giả sử fn(x0) = 0. Khi đó
2

0 = (fn(x0) / fn-2(x0)) = (fn-1(x0) / f* fn-2(x0)) = (fn-1(x0) / fn-1(x0)) = f n1 (x0 ) .
Do đó fn-1(x0) = 0. Tơng tự ta cũng chứng minh đợc fn-2(x0) = 0, , f(x0) = 0,
mâu thuẫn. Vậy fn(x0) 0 với mọi n N.
2.9. Định lý. Giả sử E là một không gian Hilbert, f
hợp. Khi đó

21

L (E) là một toán tử

tự liên


2

a) f n (x)

f

b) Dãy số n =

n1

f

( x) . f

n+1

( x) với mọi x

E, n = 1,2,

( x)
, với n = 1,2,, x E, f(x) 0 hội tụ.
f n ( x)
n +1

Chứng minh. a) Với mọi x E, n = 1,2,, vì f

L (E) là một toán tử tự liên

hợp, nên ta có
f n (x )

2

= < fn(x)

fn(x) > = < fn-1(x)

f*. fn(x) > = < fn-1(x)

fn+1(x) >.

Theo bất đẳng thức Cauchy Schwartz thì
f n (x )

2

= < fn-1(x)

n1
n+1
fn+1(x)> f ( x) . f ( x) .

b) Từ giả thiết f(x) 0 theo định lý II.2.8 ta có fn(x) 0 với mọi n = 1,2,.

( x)

Theo a) ta có n 1
f ( x)
f

n



f

( x)
hay n-1 n với mọi n 2. Vậy (n) là dãy số
f n ( x)
n +1

n+1
n
n
tăng. Mặt khác f ( x) = f ( f ( x)) f . f (x) nên n f , với n = 1,2,, hay n

bị chặn trên. Vậy (n) hội tụ.
III. Phổ của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert

Mọi định nghĩa, định lý, .. về phổ của toán tử tuyến tính liên tục trong không
gian định chuẩn đều đúng trong không gian Hilbert.
3.1. Định lý. Giả sử f là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert E. Số
thuộc phổ (f) của f khi và chỉ khi (f*), hay nói cách khác (f*) = ( f ) .

Chứng minh. Giả sử f là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
E. Với bất kỳ số (f), vì ( .1 - f)* = .1 f* và ( .1 - f) có toán tử nghịch

đảo khi và chỉ khi .1 f* có toán tử nghịch đảo nên (f*). Vậy ( f ) =
(f*).
3.2. Mệnh đề ([2]). Mọi giá trị riêng của một toán tử tự liên hợp f đều là thực.

22


3.3. Mệnh đề ([2]). Giả sử và à là hai giá trị riêng khác nhau của toán tử tự
liên hợp f. Khi đó các không gian con riêng

n

= { x E : f ( x) = .x} ,

n à = { x E : f ( x) = à.x} là trực giao với nhau.
3.4. Mệnh đề ([2]). Phổ (f) của toán tử tự liên hợp f tập trung trên đờng thẳng
thực. Nói cách khác, nếu = s + i.t, với s, t là những số thực, t 0 thì (f).
3.5. Định lý. Giả sử E là một không gian Hilbert và f

L (E) là một toán tử tự liên

hợp, K, f = f - . Khi đó
a) Nếu ( f ) E thì là một giá trị riêng của f;
b) Nếu ( f ) = E và ( f ) E thì (f) nhng không phải là một giá trị
riêng của f;
c) Nếu ( f ) = E thì là một giá trị chính quy của f.

Chứng minh. Ta có E = n ( f ) ( f ) .

a) Nếu ( f ) E thì f không phải là một song ánh. Do đó không phải là

một giá trị chính quy của f, hay (f). Vì f là một toán tử liên hợp nên (f) R
và f = (f - )* = f* - = f - .Vậy là giá trị riêng của f.
b) Nếu ( f ) E thì f không phải là một song ánh. Do đó không phải là
một giá trị chính quy của f, hay (f).
Giả sử là giá trị riêng của f, khi đó tồn tại x E sao cho x 0 và f (x) = 0
khi đó x

n (f




n (f



). Mặt khác, f tự liên hợp nên là số thực và ( f ) = E nên

) = n ( f ) = { 0} , mâu thuẫn. Vậy không phải là giá trị riêng của f.


c) Nếu ( f ) = E thì R( f ) = E do đó

n

( f ) = { 0} hay f là một song

ánh.
Hơn nữa, f (x) = ( f .)( x ) = f ( x) .( x) . ( f + ) x nên theo định lý ánh
xạ mở f 1 liên tục. Vậy là giá trị riêng chính quy của f.

23


Chơng III
Toán tử dơng, toán tử chiếu
I. Toán tử dơng

1.1. Định nghĩa. Giả sử E là không gian Hilbert và f
toán tử dơng nếu < f(x)

L (E). Toán tử f đợc gọi là

x > 0 với mọi x E.

1.2. Định lý. Mỗi toán tử dơng là tự liên hợp.
Chứng minh. Vì f là toán tử dơng nên với mọi x E thì < f(x)

x > 0.

Theo mệnh đề II.2.2 ta có f là toán tử tự liên hợp.
1.3. Định lý. Với mọi toán tử tuyến tính liên tục f

L (E) toán tử

f* f là toán tử

dơng.
Chứng minh. Giả sử f là toán tử bất kỳ trong
có < f*of(x)

L (E). Khi đó với mọi x E ta

f(x) > 0. Hay f* f là toán tử dơng.

x > = < f(x)

1.4. Mệnh đề ([1]) ( Bất đẳng thức Cauchy Schwartz tổng quát). Nếu f
là toán tử dơng thì < f(x)

y >2 < f(x)

x E. Đặc biệt, nếu < f(x)

y > với mọi x, y E.

x>.< f(y)

1.5. Mệnh đề ([1]). Nếu f là toán tử dơng thì f (x)

L (E)

2

f .< f(x)

x > với mọi

x > = 0 thì f(x) = 0 với mọi x E.

1.6. Định lý. Nếu f là một toán tử dơng và { x n } là một dãy phần tử trong E sao cho
< f(xn)

xn > 0 thì f(xn) 0.

Chứng minh. Với y = f(xn), theo mệnh đề II.1.4 ta có
< f(xn)

f(xn) >2 = f ( xn ) < f(xn)

2
Do đó f ( x n ) f . < f(xn)

4

xn >. < f(f(xn))

f(xn) >

< f(xn)

xn >. f . f ( xn ) . f ( xn )

= < f(xn)

2
xn >. f . f ( xn ) .

xn > 0, hay f ( xn ) 0, nghĩa là f(xn) 0.

Ta viết f 0 nếu f là toán tử dơng và viết f g hoặc g f nếu f g 0.
24


1.7. Mệnh đề ([2]). Giả sử f là một toán tử dơng trong không gian Hilbert E.
< f ( x) x > ; M = sup < f ( x) x > thì
Đặt m = xinf
E ; x =1
xE ; x =1

a)

f = M;

b) m (f), M (f) và (f)

[m,M].

1.8. Định lý. Quan hệ là một số thứ tự trong lớp các ánh xạ tự liên hợp của L (E).
Hơn nữa, nếu g f và h tự liên hợp thì g + h f + h; nếu f 0 và c là số dơng thì
c.f 0.
Chứng minh. Ta cần chứng minh quan hệ trong lớp các ánh xạ tự liên hợp
của L (E) thoã mãn các tính chất sau:
- Tính phản xạ. Với bất kỳ toán tử tự liên hợp f
< (f - f)(x)

x > = < (f(x) f(x))

x > = < f(x)

L (E) ta có
x > < f(x)

x>=0 0

với mọi x E. Do đó f f 0 hay f f.
- Tính phản đối xứng. Nếu f g và g f thì
< (f - g)(x)

x > 0 và < (g - f)(x)
x > < g(x)

Do đó < f(x)
> = < g(x)

x > 0 với mọi x E.

x > và < g(x)

x >. Khi đó < (f(x) g(x))

x > < f(x)

x > hay < f(x)

x > = 0 nên < (f - g)(x)

x

x > = 0,

với mọi x E. Theo mệnh đề III.1.5 thì (f - g)(x) = 0 với mọi x E, nghĩa là f
= g.
- Tính bắc cầu. Với mọi toán tử tự liên hợp f, g, h
Ta có < (h - f)(x)

x > = < ((h - g) + (g - f))(x)
= < (h - g)(x)

L (E) thoã mãn f

g và g h.

x>

x > + < (g - f)(x)

x > 0 với mọi x

E, hay h f 0, tức là h f.
Nếu f g và h tự liên hợp thì ta có (f + h) ( g + h) = f g 0, do đó
(f + h) ( g + h).
Nếu f 0 và c là một số dơng, với mọi x E thì
25