Một số vấn đề về phủ điểm đếm được và k lưới

2

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh

------------------

phan văn thái

một số vấn đề về
phủ điểm - đếm đợc và k-lới
Chuyên ngành : Giải tích
Mã số
: 1.01.01
Luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học :

TS. đinh huy hoàng

Vinh - 2002

*******


3

Mục lục
Trang
Mở đầu

2

Chơng I. Các mối quan hệ giữa các loại lới

3

1.1. Các khái niệm cơ bản

3

1.2. Các mối quan hệ giữa các loại lới

7

Chơng II. Sự tồn tại k- lới.

24

2.1. Các khái niệm cơ bản

24

2.2. Sự tồn k - lới

26

Kết luận
Tài liệu tham khảo

33

34


4

mở đầu
Lý thuyết cơ bản về các phủ điểm - đếm đợc trong các không gian
mêtric tổng quát đã đợc các nhà toán học nh Burke, Grnenhege, Michael,
Tanaka... quan tâm từ những năm 1970. Gần đây các vấn đề nói trên đợc
nghiên cứu sâu hơn trong các không gian tôpô đặc biệt ( T 1 và chính quy )
bởi các nhà toán học nh Chuan Liu, Shoulin, Tanaka, Pengfei Yan... . Các
nhà toán học trên đã nghiên cứu các phủ điểm - đếm đợc với các đặc trng
khác nhau nh k- lới, cs*- lới, wcs*- lới, p-k- lới,....
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tập trung nghiên cứu các vấn đề
về phủ điểm - đếm đợc thông qua một số kết quả của Tanaka trong [6],
Pengfei Yan và Shoulin trong [7]. Đặc biệt, xét mối quan hệ giữa các loại lới và sự tồn tại của k- lới, cs*- lới... . Trong luận văn này, nếu không chú
thích gì về các không gian X, Y và ánh xạ f thì ta hiểu X, Y là T1 - không
gian, chính quy và f là ánh xạ liên tục lên.Với mục đích đó, luận văn đợc
chia thành 2 chơng nh sau :
Chơng I. Các mối quan hệ giữa các loại lới
Chơng II. Sự tồn tại k- lới
Nhân đây tôi xin chân thành cảm ơn TS. Đinh Huy Hoàng đã nêu vấn
đề nghiên cứu và hết lòng hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin
gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Sau Đại học, khoa Toán,
đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ Giải tích đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Tác giả


5

chơng I.

các mối quan hệ giữa các loại lới
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử X là một không gian và
X (không nhất thiết phải mở hay đóng ). Đặt

P là một phủ của

P <= {p p : p ' <

}.
(1)

P đợc gọi là một lới tại x X

U thì tồn tại P
(2)

P

nếu với bất kỳ U mở trong X,

x

sao cho x P U.

P đợc gọi là k- lới

nếu với bất kỳ U mở trong X, K U với K là

tập con compact của X thì tồn tại p

P < sao cho K p U, trong

đó {P: P p '}: = p '.
(3)

P đợc gọi là một p-k-lới nếu với bất kỳ y X, K là tập compact

trong X, K X \ {y} thì tồn tại p
(4)

P < sao cho K p X\ {y}.

P đợc gọi là một cs-lới nếu với bất kỳ {xn}là dãy trong X

tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại n N và P

hội tụ

P sao cho

{x} { xm : m n } P U.
(5) P đợc gọi là một cs-lới nếu {xn}là dãy trong X hội tụ tới x X và
U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { xni } của {xn} và P

{x} { xni : i N } P U.

P sao cho


6

(6)

P đợc gọi là một wcs -lới nếu {xn}là dãy trong X hội tụ tới xX


và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { xni } của {xn} và P

P sao

cho

{ xni :iN } P U.
(7)

P

đợc gọi là một p - wcs-lới nếu {xn}là dãy trong X hội tụ tới

xX và y x thì tồn tại dãy con { xni } của {xn} và P

P sao cho

{ xni : i N } P X \ {y}.
1.1.2. Định nghĩa. Phủ p của X đợc gọi là phủ điểm - đếm đợc nếu
mỗi điểm của X thuộc không quá đếm đợc các P

P.

1.1.3. Nhận xét (1). Mọi không gian tôpô đều có k- lới.
Thật vậy, giả sử X là một không gian tôpô.
Đặt p = { P : P mở trong X }thì p là một phủ mở của X. Giả sử U là một tập
mở bất kỳ trong X, K là tập con compact của X với K U.
Vì K compact nên tồn tại hữu hạn P1, P2, ..., Pn thuộc p sao cho
n
K Pi U .
i =1

(2) Mọi không gian tôpô thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai đều có klới điểm - đếm đợc và cs lới.
Thật vậy giả sử X là không gian tôpô thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ
hai. Khi đó ( X,t ) có cơ sở đếm đợc các phần tử { U1, U2, ..., Un,... }.


7

Đặt

P

={ U1, U2, ..., Un,... } thì

chứng minh

P

là một phủ điểm - đếm đợc của X. Ta

P là một k- lới của X. Thật vậy, với bất kỳ U mở trong X, K là


tập con compact của X, K U ta có : U =

Ui . Với x K U, tồn tại
i =1



Ui U, Ui chứa x.
Do K compact nên tồn tại hữu hạn các Uk phủ K, tức là tồn tại
k

p ' = {U , U , ... , U } p sao cho K Ui
1

2

k

i =1

U. Vậy

P

là một k- lới

điểm - đếm đợc.
Hiển nhiên P cũng là cs lới điểm - đếm đợc. Nh vậy mọi không
gian tôpô đều có cs- lới.
1.1.4. Định nghĩa. Không gian con E của không gian X đợc gọi là
một cái quạt (tại điểm x ) nếu nó chứa điểm x và một họ đếm đợc các dãy
phân biệt hội tụ tới x. Ta gọi một tập con của một cái quạt là một đờng chéo
nếu nó là một dãy hội tụ gặp vô hạn các dãy hội tụ tới x và hội tụ tới một
điểm nào đó trong quạt.
(1) Một không gian X là 4 không gian nếu mỗi quạt tại x của X có
một đờng chéo hội tụ tới x.
(2) Một quạt không có đờng chéo gọi là S
1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian và x P X, P đợc
gọi là một lân cận dãy tại x trong X nếu với bất kỳ dãy {xn} hội tụ tới x
trong X thì xn P với mọi n, trừ một số hữu hạn n N.
1.1.6. Định nghĩa. Giả sử
của X sao cho với mỗi x X:

P={ Px : x X} là một họ các tập con


8

Px là một lới tại x, nghĩa là x P với mọi P p và mọi tập mở
U trong X, U x đều tồn tại P p mà P U.
(2) Nếu U,V Px thì tồn tại W Px sao cho W U V.
P đợc gọi là một sn-lới của X nếu mỗi phần tử của Px là một lân cận
(1)

x

x

dãy của x trong X.
1.1.7. Định nghĩa. Gọi F là một họ các tập con của X, ta đặt
Ints (f)={x:

F là một lân cận dãy tại x trong X}

Một họ các tập con F của X đợc gọi là một sn - phủ của A nếu
A Ints ( f).
Phủ P đợc gọi là có tính chất (A) nếu U là tập mở trong X và x U
thì tồn tại

F P < sao cho

x Ints ( f) f U.
Phủ P đợc gọi là có tính chất (B) nếu U là tập mở trong X và xU
thì tồn tại F P

<

sao cho

x Ints ( f) f U và x
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử

F.

P = { Px : x X } là một họ các tập

con của X sao cho với mỗi x X đều thoả mãn :

Px là một lới tại x
(2) Nếu U,V Px thì tồn tại W Px sao cho W U V.
p đợc gọi là một cơ sở yếu của X nếu tập F X là đóng khi và chỉ
khi với mỗi x F, tồn tại P Px sao cho P F= .
(1)


9

1.2. Các mối quan hệ giữa các loại lới
Giả sử X là không gian tôpô và

p là một phủ của X. Từ định nghĩa

của các loại lới ta có các mối quan hệ giữa chúng nh sau:
1.2.1. Mệnh đề. (1) Nếu p là một cs - lới thì p là một cs- lới.
(2) Nếu p là một cs-lới thì p là một w cs- lới.
(3) Nếu P là một wcs- lới thì

P

là một p - wcs- lới.

Chứng minh. (1) Giả sử {xn} là một dãy trong X, xn x X và U là
một lân cận của x. Vì

P là một cs - lới nên tồn tại số tự nhiên n và P P

sao cho {x}{ xm : m n} P U.
Do { xm : m n}là một dãy con của {xn} nên theo định nghĩa của
cs-lới ta có P là một cs- lới.
(2) Giả sử {xn} là một dãy trong X, xn x X và U là một lân cận
của x. Vì

P là một cs - lới nên tồn tại dãy con {


xn : i N} của{xn} và
i

P P sao cho {x} { xni : i N} P U suy ra
{ xni : i N} P U.
Do đó P là một wcs-lới.
(3) Đợc suy ra từ định nghĩa bằng cách lấy U = X\ { y} là một lân
cận của x ( do { y} đóng trong X ).
1.2.2. Mệnh đề. Mỗi k- lới là một wcs* - lới.
Chứng minh. Giả sử

P là một k-lới, { xn }là một dãy trong

xnxX và U là một lân cận của x. Ta cần chỉ ra tồn tại P P,

X,


10

{ xni : i N}{ xn } sao cho

{ xni : i N} P U.
Vì U là lân cận của x và xn x nên tồn tại số n0 N sao cho
xn U với mọi n n0. Đặt K = {x} { xn : n n0 } thì K là tập con
compact của X và K U. Vì P là một k - lới nên tồn tại họ con hữu hạn




P < của P sao cho K p

p

U hay

{x} { xn : n n0 }

p U.

Do p ' hữu hạn nên tồn tại P p P và một dãy con
{ xni : i N }{ xn : n n0 } { xn } sao cho
{ x n : i N} P U.
i

Vậy p là wcs* - lới.
Từ mệnh đề 1.2.1 (2) ta thấy mỗi cs- lới là một wcs- lới. Tuy nhiên
điều ngợc lại chỉ đúng khi phủ P có thêm điều kiện:
1.2.3. Mệnh đề. Mỗi wcs- lới đóng là một cs- lới.
Chứng minh. Giả sử P là một wcs- lới đóng ( mỗi phần tử của P là
một tập đóng ) của X, {xn} là một dãy trong X, xn x X và U là một lân
cận của x. Khi đó tồn tại dãy con { xni : i N} của { xn } và P P sao cho

{ xni : i N} P U .
Vì P đóng và xni x nên x P.


11

Do đó { x} { xni : i N} P U . Suy ra P là một cs- lới.
1.2.4. Hệ quả. Mỗi k - lới đóng là một cs-lới.
Từ mệnh đề 1.2.3 và hệ quả 1.2.4 ta có mỗi k - lới đóng hoặc wcs- lới đóng đều là một cs - lới đóng. Tuy nhiên nếu bỏ điều kiện đóng của phủ
thì tính chất đó không còn đúng nữa. Ta có phản ví dụ sau :
1.2.5. Ví dụ. Từ k - lới hoặc wcs- lới không suy ra đợc cs- lới.
Giả sử X = [ 0; + ) với tô pô cảm sinh bởi tôpô thông thờng trên
không gian các số thực R . Lấy

p = {{0}, ( p, q ) : p, q Q , p < q }


với Q* là tập các số hữu tỷ không âm. Khi đó

p là một k- lới

điểm - đếm

đợc. Thật vậy, giả sử U là tập mở trong X, K là tập con compact của U, ta
cần chỉ ra rằng , với mọi x K ắt tồn tại họ hữu hạn f

P < sao cho

K F U.
Đầu tiên, giả sử 0 K. Khi đó với mọi x K tồn tại ( px, qx) chứa x và

( px, qx) U, với px, qx Q*. Vì K compact nên tồn tại phủ hữu hạn
n



i =1

{ ( p xi , q xi ) } K.

Đặt

f = {(

p x , q x ): i = 1, n }
i
i

thì
<

K F U và f P

.


12

Nếu 0 K thì chọn P1 = {0}. Với x 0, x K U, tồn tại (px, qx) x sao
cho (px, qx) U. Do K compact nên tồn tại { ( p xi , q xi ) : i = 2, n } sao cho
n

K



i=2

( p x , q x ) P1.
i
i

<
Đặt f = {P1; ( p xi , q xi ) : i = 2, n } thì f P và K

F U . Vậy P là

một k - lới điểm - đếm đợc.
Theo mệnh đề 1.1.2, ta có p là một wcs* - lới.

P không phải là cs -lới. Thật vậy, xét dãy {xn} với xn= 1n


. Ta thấy

{xn} hội tụ đến 0 X. Nếu p là cs- lới thì với U mở chứa 0, tồn tại P

p

và dãy con { xni } {xn} sao cho {0} { xni } P U. Điều này không
xảy ra vì với mọi P

p, nếu P 0 thì P = {0} nên x

n

P với mọi n. Vậy P

không phải là cs-lới.
1.2.6. Mệnh đề. (1) Nếu P là một k - lới thì P là p - k - lới.
(2) Nếu P là p - k - lới thì P là một p - wcs- lới.
Chứng minh. (1) Giả sử P là một k- lới, y là phần tử bất kỳ của X, K
là tập con compact trong X, K X \ {y}. Đặt U = X \ {y} thì U là tập mở
trong X và K U . Do đó tồn tại p


P < sao cho K p U hay

K

p X \ {y}. Suy ra p là một p - k - lới.
(2) Chứng minh hoàn toàn tơng tự nh mệnh đề 1.1.2 bằng cách lấy

lân cận U = X \ {y}.


13

Theo mệnh đề 1.2.2 hoặc theo mệnh đề 1.2.6 ta có hệ quả sau :
1.2.7. Hệ quả. Nếu p là một k - lới thì p là một p - wcs- lới.
1.2.8. Mệnh đề. Giả sử p = {

px : x X }

là một họ các tập con

của X sao cho với mỗi x X đều thoả mãn :
(1) px là một lới tại x.
(2) Nếu U,V px thì tồn tại W px sao cho W U V.
Khi đó P là một cơ sở yếu của X nếu tập G X là mở khi và chỉ khi
với mỗi x G tồn tại P

px sao cho P G.

Chứng minh. Mệnh đề này chính là điều kiện tơng đơng của định
nghĩa 1.1.8. Thật vậy, theo định nghĩa 1.1.8, p là một cơ sở yếu của X nếu tập
F X là đóng khi v à chỉ khi với mỗi x F tồn tại P Px sao cho P F =

. Điều này tơng đơng với tập G = X \ F là mở khi và chỉ khi với mỗi x G tồn
tại P Px sao cho P G = X \ F ( tức là P F = ).
1.2.9. Mệnh đề. Nếu P là một cơ sở yếu thì P là một sn- lới.
Chứng minh. Giả sử

p = { px : x X } là cơ sở yếu của X nhng P

không là sn- lới của X. Khi đó, tồn tại x X, Px Px ; {xn} X, xn hội tụ
tới x nhng tồn tại dãy con { xni } của {xn} sao cho xni Px với mọi ni.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết các xni đôi một khác nhau.


14

Đặt A={ xni : i N} {x}, B={ xni : i N} . Từ X là T1 - không gian và
chính quy ta suy ra A đóng. Do đó X \ A mở. B không chứa điểm giới hạn x
của nó nên B không là tập đóng của X. Từ đó X \ B không là tập mở của X.
Bây giờ, với mọi y X \ B, y x ta có y A. Vì

P là cơ sở yếu nên tồn tại

PyPy sao cho Py X \ A X \ B ( do X \ A mở ).
Mặt khác Px X \ B nên từ

P là cơ sở yếu của x suy ra X \ B là mở.

Điều này mâu thuẫn với X \ B không là tập mở. Do đó

P là sn- lới.

1.2.10. Mệnh đề. Nếu p là một sn- lới thì p thoả mãn (B).
Chứng minh. Giả sử

p = { px : xX }

là một sn- lới. Vì

px là

một lới tại x trong X nên với mỗi U mở trong X, x U đều tồn tại P

p

x

sao cho {x} P U. Mặt khác, mỗi phần tử P Px là lân cận dãy của x
trong X nên
x ints P P U, x P.
Vậy P thoả mãn (B).
Từ định nghĩa của (A) và (B) ta có:
1.2.11. Mệnh đề. Nếu

P

P có tính

là phủ của X có tính chất (B) thì

chất (A).
1.2.12. Mệnh đề. Nếu phủ P có tính chất (B) thì p là một cs- lới .
Chứng minh. Giả sử {xn} là một dãy trong X, xn x X và U là lân
cận mở của x, ta cần chứng minh tồn tại P
sao cho

P và dãy con { xn

i

} {xn}


15

{ x} { xni : i N } P U.
Thật vậy, vì p là thoả mãn (B) nên tồn tại họ con hữu hạn p
x Ints (
Suy ra

p ) p U .

p là lân cận dãy của x và do đó tồn tại n

n n0 thì xn

p . Vì p

P
0

N sao cho với mọi

là hữu hạn nên tồn tại P P ( do đó P P )

và dãy con { xni : i N, ni n0} {xn} để
{ xni : i N } P U.
Vì

p thoả mãn (B) nên x



p '. Do đó x P. Đó là điều phải chứng

minh.
1.2.13. Mệnh đề. Nếu phủ P thoả mãn (A) thì p là một wcs-lới.
Chứng minh. Giả sử {xn} là một dãy trong X, xn x X và U là một
lân cận mở của x. Do
sao cho x Ints (

p thoả mãn (A) nên tồn tại họ con hữu hạn p P <

p ) p U. Suy ra p là lân cận dãy của x. Do

xn x nên tồn tại n0 N sao cho xn
hạn nên tồn tại P

p với mọi n n . Do p hữu
0

p p và dãy con{ xn

i

} { xn: n n0} {xn} sao

cho { xni } P U. Vậy P là một wcs - lới.

Từ mệnh đề 1.2.3 và 1.2.13 ta có hệ quả sau :
1.2.14. Hệ quả. Nếu p là một phủ đóng thoả mãn (A) thì p là một cs -lới.


16

Chứng minh.Vì

p là một phủ đóng thoả mãn (A) nên theo mệnh đề

1.2.12 thì p là một wcs-lới đóng và theo mệnh đề 1.2.2 thì p là một cs-lới.
Theo nhận xét sau định nghĩa 4 trong [7] thì X có một cs-lới điểm đếm đợc không suy ra đợc X có một phủ điểm - đếm đợc thoả mãn (A),
Chẳng hạn S. Tuy nhiên điều kiện đó đợc thoả mãn nếu X là 4- không
gian. Cụ thể theo bổ đề 5 trong [7] ta có :
1.2.15. Mệnh đề. Giả sử X là một 4 - không gian và p là một wcs
- lới điểm - đếm đợc. Khi đó p thoả mãn (A)
Chứng minh. Giả sử phủ p không thoả mãn (A). Khi đó tồn tại U mở
trong X và x U sao cho với mọi f

P < thì

x Ints ( F) F U

(1)

Với mỗi tập C - đếm đợc nằm trong U, đặt

P(C) ={P P : P
Do

P là phủ

C , P U}.

điểm - đếm đợc nên có thể viết P(C) ={Pi (C) :i N}, tức là

p(C) đếm đợc. Đặt C ={x}. Khi đó
0

P1(C0) không là lân cận dãy của x (vì

nếu P1(C0) là lân cận dãy của x thì mâu thuẫn với (1) ). Do đó tồn tại dãy
{x1n} U \ P1(C0) sao cho x1n x. Đặt C1= { x1n : n N}. Vì P là
wcs-lới của X nên tồn tại P P và dãy con { x1ni } {x1n} sao cho

{ x1ni

} P U. Suy ra P C1 và do đó P = Pi(C1) với i nào đó. Từ đó suy


ra tồn tại n1 N và tập vô hạn C1 C1 sao cho


17



C1 { Pi(Cj) : 1 i n1; 0 j 1}.


Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết C1 = C1.
Khi đó { Pi(Cj) : 1 i n1; 0 j 1} không là lân cận dãy của x vì
nếu ngợc lại thì mâu thuẫn với (1). Tiếp tục lý luận tơng tự, bằng quy nạp,
với mỗi m N, ta tìm đợc Cm= { x m : nN } U sao cho { x m } hội tụ tới x
n

n

và dãy tăng {nm} các số tự nhiên sao cho
Cm { Pi(Cj) : 1 i nm ; 0 j m } \ { Pi(Cj) : 1 i nm-1; 0 jm1}. Từ điều kiện cuối cùng suy ra với mọi P P, P U chỉ gặp một số hữu
hạn

Cm

các

(2).
Đặt S = { x m : m N, n N } {x}. Khi đó S là một cái quạt trong
n

X. Vì X là 4- không gian nên tồn tại một đờng chéo hội tụ tới x. Mặt khác
do p là wcs-lới điểm - đếm đợc nên tồn tại P P, P U sao cho P gặp vô
hạn Cm . Điều này mâu thuẫn với (2). Vậy p thoả mãn (A).
1.2.16. Mệnh đề[7]. Nếu P là phủ điểm - đếm đợc của X thì mọi tập
A X chỉ có một số đếm đợc các sn- phủ hữu hạn, cực tiểu gồm các phần tử
của P .
Chứng minh. Với mỗi p

P < ta đặt

H ( p ) = { H X : p là sn- phủ, cực tiểu của H}.
Nếu tồn tại quá đếm đợc

p

P

<

sao cho A

chọn đợc m N và một tập con quá đếm đợc

H (p

P <



)thì ta có thể


18

sao cho p = m và A H ( p ) với mọi p ( Nếu mọi m mà không
quá đếm đợc thì có ngay điều phải chứng minh vì khi đó chỉ có đếm đợc p


P <

sao cho A

H ( p ) ).

Giả sử R là tập con cực đại của P thoả mãn
đếm đợc p



R p với một số quá

. Khi đó 0 R < m . Đặt ={ p





: R

p }. Nếu

p thì A Ints ( R ) ( vì p là sn- phủ cực tiểu của A ). Do đó chọn
đợc x A \ Ints ( R ), {xn } X \ ( R ) và xn x.
Đặt L = {xn : n N }. Do
suy ra

p là sn- phủ của A nên từ

x A Ints (

p )

p là lân cận dãy của x. Khi đó với mọi p thì L có giao với

một phần tử nào đó của p . Vì P là điểm - đếm đợc và là quá đếm đợc
nên tìm đợc P
tử của

P sao cho L P và một số không đếm đợc các phần

chứa P ( Do L đếm đợc nên L chỉ có giao với một số không quá

đếm đợc các phần tử của P. Mặt khác quá đếm đợc mà L có giao với mỗi

p ) Do L ( R ) = và L P nên P R và có quá đếm đợc
các phần tử của chứa

R p

R {P}. Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của

với quá đếm đợc p .

1.2.17. Định lý.[7]. Đối với mỗi không gian X, các khẳng định sau
đây là tơng đơng :
( 1) X có một phủ điểm - đếm đợc thoả mãn (A).
(2) X có một phủ điểm - đếm đợc thoả mãn (B).


19

(3) X là một 4- không gian với một cs lới điểm - đếm đợc.
(4) X là một 4- không gian với một wcs lới điểm - đếm đợc.
Chứng minh.(2 (3) (4) là hiển nhiên. (4) (1) là do mệnh đề
1.2.15. Ta chỉ cần chứng minh (1) (2) : Giả sử P là một phủ điểm - đếm
đợc thoả mãn (A). Với mỗi f

P < ta đặt

M (f ) = {x X : f là sn- phủ cực tiểu của{x}}.
Từ mệnh đề 1.2.16 suy ra nếu x X thì x M (f ) chỉ với một số đếm đợc

f P < . Với mỗi PP đặt
P = P ( { M (f ) :

f P <,

P



Khi đó P P . Thật vậy, với mọi x M (f ) và P

f }).

f thì x Ints ( f ).

Mặt khác do là sn- phủ cực tiểu của {x } nên x Ints ( (f \ {P})) . Do đó
tồn tại một dãy trong P hội tụ tới x, tức là x P .

Giả sử P = {P : P

P } . Với mỗi x X, đặt

Ax = { f P < : x M (f ) }.


Khi đó, Ax là đếm đợc ( do mệnh đề 1.2.16). Từ x P khi và chỉ khi xP
hay x M (f ) với P
Với mỗi xW

t

f

và P

(X), tồn tại U

(do X - chính quy ). Chọn f0
(tồn tại f0 là do

Ax suy ra p là phủ
t

điểm - đếm đợc của X.

(X) sao cho x U U W

P < sao cho x Ints ( f0 ) f0 U

P có tính chất (A)). Ta có thể giả thiết x M( f0 ). Giả sử


20

f0 = {P : P f0 }. Khi đó x P với mọi P f0 vì x M( f0 ) (xem


cách xác định P ). Mặt khác x

f0 f ' 0 U



W. Suy ra p thoả

mãn (B).
1.2.18. Nhận xét. Từ mệnh đề 1.2.11 ta thấy nếu P là phủ của X thoả
mãn điều kiện (B) thì P thoả mãn điều kiện (A). Theo mệnh đề 1.2.17, nếu
X có phủ điểm- đếm đợc thoả mãn (A) thì X có phủ điểm - đếm đợc thoả
mãn (B). Tuy nhiên, nếu P là phủ điểm - đếm đợc thoả mãn (A) thì cha hẳn

p thoả mãn (B). Chẳng hạn phủ P

trong ví dụ 1.2.4 có tính chất điểm -

đếm đợc thoả mãn (A) nhng không thoả mãn (B).
Thật vậy, giả sử U là một tập mở trong X và x U . Nếu x 0 thì ắt
tồn tại (px, qx) P sao cho x (px, qx) U. Khi đó với mọi dãy {x n} X ,

xn x thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn (px, qx) với mọi n n0, nghĩa là
x Ints(px, qx) U .
Nếu x = 0 thì tồn tại tập dạng [0; p) U với p Q* .
Đặt P1 = {0}, P2 = (0; p) và

f = {P ; P } . Rõ ràng f P <. Khi đó mọi
1

2

dãy {xn}trong X mà xn 0 thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn P1 P2 với
mọi n n0, nghĩa là
x Ints (P1 P2 ) P1 P2 U
Vậy P là phủ điểm - đếm đợc thoả mãn (A).

P không thoả mãn (B): Giả sử ngợc lại P thoả mãn (B) thì với mọi U
mở trong X và x U , ắt tồn tại f P

<

sao cho


21

x Ints( f) f U và x f.
Điều này không xảy ra vì nếu chọn x = 0 thì x f , suy ra f = {{0}}.
Mặt khác 0 ints {0} vì ints {0} = . Vậy P không thoả mãn (B).
Theo mệnh đề 1.2.12, nếu phủ

p có tính chất (B) thì p

là cs* - lới.

Theo nhận xét 1.2.18 thì một phủ có tính chất (A) cha hẳn đã có tính chất (B). Do
đó một vấn đề đợc đặt ra một cách tự nhiên là với điều kiện nào thì một
phủ có tính chất (A) sẽ có tính chất (B) hay một cs* - lới sẽ có tính chất (B).
Định lý sau đây giải quyết vấn đề này.
1.2.19. Định lý. Giả sử X là 4 - không gian. Khi đó nếu phủ p là cs*
- lới điểm - đếm đợc thì p có tính chất (B).
Để chứng minh định lý này, trớc hết ta chứng minh bổ đề sau.
1.2.20. Bổ đề. Giả sử X là 4 - không gian, p là cs* - lới điểm - đếm
đợc của X, U là tập mở trong X, x U và f p < sao cho
x Ints( f) f U.
Nếu tồn tại P* f mà x P* thì tồn tại G p < (G có thể bằng )
sao cho
x Ints ( f ' ) f ' U và x P, P G với G ,
trong đó f ' = (f \ {P*}) G .
Chứng minh. Ta có thể giả thiết tồn tại dãy {xn} P* sao cho xn hội
tụ tới x , vì nếu ngợc lại thì
x Ints ( f ' ) U với
Nh vậy, bổ đề đúng với G = .

f ' = f \ {P*} .


22

Vì p là cs* - lới nển tồn tại P p và dãy con {x'1k} của {xn}sao cho
{ x} {x'1k: k = 1, 2, .. } P U.

Đặt

p ' = {G p : x G U}.
Vì p có tính chất điểm - đếm đợc nên

p ' = {P : i = 1,2 , ... }.
i

Do đó, tồn tại n1 sao cho P = Pn1 p '. Khi đó, nếu không tồn tại dãy hội
tụ tới x mà các số hạng của nó nằm trong
P* \ [( Pi ) ( f ') ]
i n1

với f ' = f \ {P*} thì G = {Pi : i < n1 } thoả mãn điều phải chứng minh.
Giả sử tồn tại dãy
{x2n} P* \ [( Pi ) ( f ') ]
i n1

sao cho x2n x. Khi đó tồn tại Pn2 p ' và dãy con {x'2k} của {x2n} sao cho
{x} {x'2k : k = 1,2, ... } Pn2 U.
Rõ ràng n 2 > n1 .
Nếu không có dãy nào hội tụ tới x mà các số hạng của nó nằm trong
P* \ [( Pi ) ( f ' )]
i n2

thì lấy G = {Pi: i < n2} ta có điều phải chứng minh. Trong trờng hợp ngợc
lại thì tơng tự nh trên ta tìm đợc dãy


23

{x'3k} P* \ [( Pi ) ( f ')]
i n2

sao cho x'3k x và tồn tại Pn3 p ' sao cho
{x} {x'3k : k = 1,2, ...} Pn3 U
trong đó n3 > n2.
Tiếp tục quá trình trên, nếu sau một số hữu hạn bớc mà ta tìm đợc G
thì bổ đề đợc chứng minh. Nếu ngợc lại, thì ta xây dựng đợc đếm đợc các
dãy {x'jk}k ; j = 1, 2, ... sao cho
x'jk x khi k , j,
nghiã là ta xây dựng đợc một cái quạt tại x. Vì X là 4 - không gian nên tồn
~
~
tại đờng chéo { x j }của quạt sao cho x j x. Vì thế tồn tại Pi p ' và dãy
~
con S của { x j } sao cho
{x} S Pi U
Theo cách xây dựng các dãy {xjk} ta thấy mỗi Pi p ' chỉ gặp một số hữu
~
hạn các dãy {x'jk}và do đó chỉ chứa một số hữu hạn các phần tử của { x j }.
Từ điều mâu thuẫn này suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh định lý. Vì X là 4 - không gian và p là cs* - lới nên
theo 1.2.15, p có tính chất (A). Do đó với mọi U mở trong X mà U chứa x
đều tồn tại f p < sao cho
x Ints ( f) f U.
Từ bổ đề 1.2.20, suy ra tồn tại f ' p < sao cho
x Ints ( f ') f ' U, x f '.

24

Vậy p có tính chất (B).
1.2.21. Mệnh đề. Nếu p là một k- lới mở thì p là một cơ sở yếu.
Chứng minh.Với mỗi x X đặt

p

x

= {P p: x P}

Khi đó

p = {p : x X}.
x

Vì p là k- lới nên p xlà lới tại x. Giả sử U và V thuộc px . Ta có U
V là tập mở chứa x nên tồn tại P px sao cho P U V. Nếu G là tập
mở trong X thì với mọi x G, từ tính k- lới của

p suy ra tồn tại P p sao

cho x P G. Ngợc lại, nếu G X sao cho mọi x G đều tồn tại

p

x

P

mà x P G thì do P mở nên G là tập mở trong X. Vậy p là một cơ sở

yếu của X.
1.2.22. Nhận xét. (1) Nếu p là một k- lới mở thì p là một cs - lới và
do đó nó là cs*- lới.
Thật vậy, giả sử {xn} là một dãy hội tụ tới x X và U là một lân cận
của x. Ta có tập {x} là compact trong X nên từ P là k- lới suy ra tồn tại P

P < sao cho x P U. Vì P là mở nên P là một lân cận của x và từ {xn}
hội tụ tới x suy ra tồn tại số m N sao cho xn P với mọi n m, nghĩa là
{x} { xn: n m } P U. Vậy
có

p

P là một cs- lới. Theo mệnh đề 1.2.1 ta

là cs*- lới.
(2) Pengfei Yan và ShouLin trong [7] đã chỉ ra rằng :


25

i)Nếu X có một cơ sở yếu điểm - đếm đợc thì X có một k- lới điểm
- đếm đợc.
ii) X có một sn- lới điểm - đếm đợc không suy ra đợc X có một
p- k- lới điểm - đếm đợc, chẳng hạn compact hoá Stone Cech N.
iii) X có một cs*- lới điểm - đếm đợc không suy ra đợc X có một
phủ điểm đếm đợc thoả mãn (A), chẳng hạn S.

26

Chơng II

Sự tồn tại k- lới
Từ định nghĩa của các loại lới và mối quan hệ giữa chúng, trong chơng này ta xét sự tồn tại của k- lới .
2.1. Các khái niệm cơ bản.
2.1.1. Định nghĩa. (1) Họ {A : A} các tập con của X đợc gọi là
có tính chất HCP nếu {B : A'} = { B : A' } với bất kỳ A' A và
B A với mỗi A'.
(2)Họ p các tập con của X đợc gọi là có tính chất - HCP nếu


p = p , trong đó mỗi p
n =1

n

n

có tính chất HCP.

2.1.2. Định nghĩa. Giả sử p là một phủ của không gian X
(1) Ta nói X đợc xác định bởi

P hoặc X có tô pô yếu tơng ứng với P

nếu A X là đóng trong X khi và chỉ khi A P là đóng trong P với mỗi

P P. ở đây, ta có thể thay tính "đóng" bởi "mở".
(2) Không gian X đợc làm trội bởi

P nếu hợp tuỳ ý các P P là

đóng trong X và đợc xác định bởi P '.
(3) Không gian X là không gian dãy nếu A X là đóng khi và chỉ khi
không dãy nào trong A hội tụ đến một điểm không ở trong A.
2.1.3. Định nghĩa. Tập A X gọi là G tập nếu A là giao đếm đợc
các tập mở chứa A.