Một số phương pháp sẵp xếp và tìm kiếm ngoài

Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài
Mục lục
Trang

Lời nói đầu

2

Chơng 1. Mô hình của xử lý ngoài

3

1.1. Tập tin

4

1.2. Lu trữ hai cấp

4

1.3. Mẫu tin bị chốt

5

1.4. Tổ chức của mẫu tin

6

1.5. Mẫu tin có chiều dài thay đổi

8

1.6. Đánh giá các phép xử lý ngoài

10

Chơng 2. Sắp xếp trên bộ nhớ ngoài

11

2.1. Phơng pháp trộn trực tiếp

11

2.2. Phơng pháp trộn tự nhiên

16

2.3. Trộn nhiều đờng cân bằng

18

2.4. Trộn nhiều giai đoạn

21

2.5. Sắp xếp trên đĩa từ

28

2.6. Những nhận xét chung

31

Chơng 3. Tìm kiếm trên bộ nhớ ngoài

33

3.1. File tuần tin

34

3.2. File băm

36

3.3. File có chỉ số

39

3.4. Cây tìm kiếm ngoài

44

3.4.1. Cây tìm kiếm đa nhánh

44

3.4.2. B-Cây

45

3.5. Những nhận xét chung

50

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53

1


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài
Lời nói đầu

Trong thực tế, việc tổ chức sắp xếp và tìm kiếm là rất quan trọng. Trớc
đây, chúng ta đã đợc làm quen với một số phơng pháp sắp xếp và tìm kiếm nhng
với giả thiết là các dữ liệu đa vào máy không quá lớn, nghĩa là có thể lu trữ đồng
thời đợc ở bộ nhớ trong, trong quá trình xử lý.
Tuy nhiên, một thực tế cho thấy khối lợng dữ liệu ngày một tăng và nó có
thể vợt quá dung lợng bộ nhớ trong của máy tính điện tử. Vậy vấn đề đặt ra là
làm thế nào để giải quyết đợc vấn đề đó? Vì vậy, trong Luận văn tốt nghiệp Cử

nhân khoa học, tôi mạnh dạn chọn đề tài: "Một số phơng pháp sắp xếp và tìm
kiếm trên bộ nhớ ngoài".
Luận văn đợc chia thành 3 chơng.
Chơng 1: "Mô hình của xử lý ngoài", bàn luận về các kỹ thuật lu trữ vật lý.
Chơng 2: "Sắp xếp trên bộ nhớ ngoài", giới thiệu chi tiết về các phơng
pháp để sắp xếp lại các tập tin theo thứ tự; một loạt các phơng pháp sẽ đợc phát
triển, đợc mô tả và đợc so sánh với nhau.
Chơng 3: "Tìm kiếm trên bộ nhớ ngoài", giới thiệu chi tiết về các phơng
pháp cơ bản và nâng cao để thực hiện công việc tìm kiếm.
Để hoàn thành Luận văn, tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của Thầy
giáo Trần Xuân Hào. Nhân dịp này cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
Thầy giáo. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo thuộc tổ
"Tin học đại cơng và phơng pháp giảng dạy" đã động viên giúp đỡ tôi nhiều trong
quá trình học tập, rèn luyện và thực hiện đề tài. Tuy nhiên, vì thời gian có hạn và
năng lực còn non nớt nên Luận văn chắc không tránh khỏi những sai sót. Rất
mong đợc sự góp ý quý báu từ phía Thầy giáo, Cô giáo và bạn bè.
Tác giả

2


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Chơng 1

mô hình của xử lý ngoài

Các cấu trúc dữ liệu mà chúng ta xét trớc đây đều giả thiết rằng các dữ liệu

đa vào máy không quá lớn và nó đợc lu trữ trong bộ nhớ chính.
Nhng sẽ nh thế nào nếu bây giờ ta muốn quản lý tất cả phiếu nhân sự của
mọi công dân trong cuộc điều tra dân số hoặc muốn lu trữ mọi thông tin về thuế
toàn quốc gia? Rõ ràng là khối lợng dữ liệu trong các bài toán đã vợt quá dung lợng bộ nhớ trong, chúng phải lu trữ ở bộ nhớ ngoài trớc khi xử lý. Sau đây chúng
ta sẽ xem xét mô hình của xử lý ngoài (hay có thể gọi là mô hình dữ liệu vật lý):
Cơ sở dữ liệu là một tập các mẫu tin, mỗi mẫu tin chứa một hoặc nhiều trờng. Giá trị của các trờng có thể là kiểu cơ bản nh số nguyên, số thực và chuỗi ký
tự có chiều dài cố định. Chúng ta cũng xem các con trỏ nh một kiểu cơ bản, đó là
một tham chiếu đến một mẫu tin. Cũng có khi một số kiểu khác nh chuỗi ký tự
chiều dài thay đổi cũng đợc xem nh kiểu cơ bản.
Các mẫu tin đợc dùng để lu các đối tợng dữ liệu cơ bản có trong mô hình
dữ liệu khác nhau. Chẳng hạn:
1. Một bộ có thể lu nh một mẫu tin; mỗi thành phần của bộ đợc lu trong
một trờng.
2. Một mẫu tin logic, đợc dùng trong mô hình mạng và mô hình phân cấp,
có thể đợc lu nh một mẫu tin. Các trờng của mẫu tin logic là các trờng của mẫu
tin vật lý. ở trờng hợp mô hình phân cấp, nếu một trờng trong mẫu tin logic là
một mẫu tin ảo thuộc kiểu T thì tơng ứng của nó trong mẫu tin vật lý là một con
trỏ chỉ đến một mẫu tin thuộc kiểu T.
3. Một đối tợng OPAL có thể đợc lu nh một mẫu tin. Các biến thể hiện các
giá trị là những đối tợng cơ bản, thí dụ nh các số nguyên, có các giá trị đợc lu trữ
vật lý trong các trờng, còn các biến thể hiện với giá trị là những đối tợng của một

3


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

lớp do ngời sử dụng định nghĩa lại đợc biểu diễn bởi các trờng chứa những con

trỏ chỉ đến đối tợng đó (nghĩa là những con trỏ chỉ đến mẫu tin biểu diễn đối tợng này).

1.1. Tập tin
Giống nh các mô hình dữ liệu cấp cao, các mẫu tin thờng đợc xem là
những thể hiện của một lợc đồ. Nghĩa là chúng ta phải xử lý tập các mẫu tin có
cùng số lợng trờng, và các trờng tơng ứng có cùng kiểu dữ liệu, cùng tên và cùng
ý nghĩa. Chẳng hạn các mẫu tin biểu diễn các bộ của một quan hệ của một trờng
cho mỗi thuộc tính của quan hệ đó. Chúng ta hãy gọi danh sách các tên trờng và
kiểu dữ liệu tơng ứng là khuôn dạng cho mẫu tin.
Chúng ta dùng thuật ngữ tập tin để biểu thị một tập các mẫu tin có cùng
khuôn dạng. Vì vậy tập tin là một cách biểu diễn vật lý thích hợp cho một quan
hệ. Khái niệm tập tin theo cách này khác với khái niệm thông thờng của một
Tập tin, đó là một Dòng các chuỗi ký tự, hoặc có thể thuộc kiểu cơ bản khác,
và chỉ truy xuất đợc nó bằng cách Quét từ đầu đến cuối. Trong chơng 2 và chơng 3 chúng ta sẽ thấy rằng có nhiều cách khác nhau để truy xuất các tập tin, và
những mẫu tin thờng không đợc lu trữ theo kiểu một Dòng dữ liệu.

1.2. Lu trữ hai cấp
Thiết bị lu trữ tin vật lý dùng để ghi các mẫu tin và các tập tin có thể xem
nh một mảng các byte đợc đánh số tuần tự. Chẳng hạn thiết bị lu trữ tin có thể là
vùng nhớ ảo có các byte đợc đánh số từ 0 đến một số rất lớn, có thể lên đến 2 24
hoặc 230. Bộ nhớ ảo này có thể đợc lu trữ trên bộ nhớ thứ cấp hay còn gọi là bộ
nhớ phụ, chẳng hạn nh các băng từ, đĩa từ. Các thiết bị này có đặc điểm truy nhập
hoàn toàn khác với bộ nhớ trong. Chẳng hạn, với băng từ: Dữ liệu sẽ đợc ghi
nhận trên băng dọc theo chiều dài của nó, chúng đợc đọc ghi bởi đầu từ. Khi có
lệnh đọc ghi, băng từ đợc kéo chạy qua đầu từ. Nh vậy sẽ phải xuất các đoạn

4


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

băng bị bỏ qua khi khởi động cũng nh khi giảm tốc độ để dừng, nghĩa là xuất
hiện các Khoảng trống cần thiết trên băng. Vì vậy băng từ phải chia thành từng
khối và giữa các khối có các đoạn phân cách khối. Kích thớc của khối đợc quy
định tuỳ thuộc vào hệ điều hành (tuỳ theo từng bộ máy), từ 512 byte đến 4096
byte. Mỗi khối đều có một địa chỉ đó là địa chỉ tuyệt đối của nó trên phơng diện
nhớ ngoài. Tệp sẽ đợc lu trữ trong một hoặc nhiều khối bao gồm trọn vẹn một số
mẫu tin (trong khối có thể có các byte thừa không dùng trong mẫu tin nào). Mẫu
tin cũng có địa chỉ, có thể đó là địa chỉ tuyệt đối của byte đầu tiên của mẫu tin đó
hoặc là địa chỉ của khối chứa nó cộng thêm với số byte trong khối đứng trớc byte
đầu tiên của mẫu tin ấy mà thờng đợc gọi là độ dời.
Với đĩa từ hoặc trống từ cách tổ chức cũng tơng tự nh vậy. Chỉ có khác là:
Dữ liệu đợc phân theo từng khối lu trữ trên các rãnh đồng tâm trên mặt đĩa hay
trống, đầu từ sẽ đợc đặt tới từng rãnh khi đọc và khi ghi dữ liệu. Trong quá trình
xử lý, việc chuyển giao dữ liệu từ bộ nhớ ngoài vào bộ nhớ trong và ngợc lại, đợc
thực hiện theo từng khối thông qua vùng đệm. Đó là một miền nhớ trong, đợc
dành riêng, có kích thớc nh kích thớc của một khối.

1.3. Mẫu tin bị chốt
Khi có những con trỏ chỉ đến một mẫu tin, chúng ta nói mẫu tin này bị
chốt lại; ngợc lại chúng ta nói là không bị chốt. Khi mẫu tin không bị chốt, chúng
ta có thể di chuyển nó bên trong khối, thậm chí từ khối này đến khối khác mà
không gây hậu quả tệ hại nào, miễn là sự di chuyển các khối có ý nghĩa về phơng
diện cấu trúc lu trữ dữ liệu. Tuy nhiên khi mẫu tin bị chốt thì chúng ta không thể
di chuyển chúng sang khối khác đợc nếu con trỏ là địa chỉ tuyệt đối, và có thể di
chuyển chúng bên trong phạm vi khối nếu con trỏ là cặp (b, k).
Một ràng buộc khác chúng ta gặp phải khi mẫu tin bị chốt là chúng ta
không thể xoá chúng hoàn toàn đợc. Nếu có một con trỏ p chỉ đến mẫu tin r, tại

5


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

một thời điểm nào đó chúng ta xoá r, và về sau lại đặt một mẫu tin r vào vị trí trớc đó của r. Khi đó nếu đi theo con trỏ p, chúng ta có thể thấy mẫu tin r ở vị trí r,
không có dấu vết nào cho thấy mẫu tin chúng ta vừa tìm đợc không phải là mẫu
tin r do p chỉ đến. Dù có sử dụng cặp khối-khoá làm con trỏ, chúng ta vẫn không
bảo đảm an toàn trong vấn đề này, đó là vấn đề con trỏ h ảo hay tham chiếu h
ảo. Lý do là r có thể có cùng giá trị khoá nh r, vì nó đợc chèn vào trong tập tin
sau khi r đã bị loại bỏ đi, và nh thế không vi phạm giá trị khoá duy nhất.
Để tránh các con trỏ h ảo, mỗi mẫu tin cần có một bit gọi là bit Xoá, nó
đợc đặt là 1 nếu mẫu tin bị xoá. Vùng lu trữ cho mẫu tin này có thể không bao
giờ đợc dùng lại, và khi truy tìm một mẫu tin, chẳng hạn bằng cách đi theo con
trỏ, chúng ta có thể nhận ra rằng mẫu tin đã bị xoá, nghĩa là mẫu tin thực sự đã
không còn ở đó và có thể bỏ qua nó.

1.4. Tổ chức của mẫu tin
Khi sắp xếp các trờng trong một mẫu tin, chúng ta phải đặt chúng theo một
cách nào đó để có thể truy xuất đợc giá trị của chúng. Nếu tất cả các trờng có
chiều dài cố định thì chúng ta chỉ cần chọn một thứ tự cho các trờng này. Vì thế
mỗi trờng sẽ bắt đầu tại một byte nhất định nào đó đợc gọi là offset, đợc tính từ
đầu mẫu tin. Cho nên khi dò theo một mẫu tin đã biết đợc khuôn dạng của nó,
chúng ta có thể tìm ra một trờng khi biết vị trí bắt đầu của mẫu tin, bằng cách di
chuyển về phía trớc một số byte bằng với offset của trờng đó.
Cũng có thể có nhiều byte không dùng để chứa dữ liệu. Chẳng hạn chúng
ta có thể cần:

1. Một số byte cho biết khuôn dạng của mẫu tin. Nếu cần lu trữ các mẫu
tin thuộc nhiều kiểu khác nhau hay thuộc nhiều quan hệ khác nhau, chúng ta cần
phải có một mã biểu thị cho kiểu hoặc cho quan hệ của một mẫu tin. Một cách

6


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

khác, trong một khối chúng ta có thể lu trữ một kiểu mẫu tin, và để cho khối chỉ
ra kiểu của tất cả các mẫu tin trong đó.
2. Một hay nhiều byte biểu diễn chiều dài mẫu tin. Nếu mẫu tin thuộc kiểu
có các trờng cố định thì chiều dài đợc khai báo ngầm trong thông tin về kiểu.
3. Một byte chứa một bit Xoá, nh đã mô tả ở trên.
Một bit Đã dùng/ cha dùng, đợc giữ trong một byte riêng hoặc chia sẻ
một byte với các thông tin khác nhau nh bit "Xoá". Bit này cần có khi các khối đợc chia thành các vùng, mỗi vùng có thể giữ một mẫu tin có chiều dài cố định
nào đó. Khi xem xét một vùng, chúng ta cần biết đợc liệu nó có thực sự đang giữ
một mẫu tin hay nó hiện đang trống nhng một số dữ liệu cũ đang còn trên đó.
4. Không gian thừa. Chúng ta có thể đặt những byte không sử dụng trong
một vùng của mẫu tin sao cho tất cả các trờng có thể bắt đầu tại một byte có địa
chỉ là một số dễ sử dụng. Chẳng hạn nhiều máy có thể hoạt tác hiệu quả trên số
nguyên nếu chúng ta bắt đầu ở địa chỉ chia chẵn cho 4, và ở đây chúng ta giả sử
yêu cầu này đợc thoả.
Ví dụ 1.1: Chúng ta giả sử rằng các mẫu tin thuộc kiểu numbers chứa các
trờng sau:
1. Trờng NUMBER, thuộc kiểu số nguyên và đợc dùng làm khoá. Trờng
này dùng để lu một số nguyên dơng.
2. Trờng NAME, là một byte cho biết chữ cái đầu tiên trong tiếng anh của

số đợc lu trong trờng NUMBER. Tất cả các số nguyên dơng đều có tên khởi đầu
bằng một trong những chữ cái của từ Soften, nhng ở đây chúng không có vai
trò quan trọng nào.
3. Trờng SQUARE giữ giá trị bình phơng của số trong trờng đầu tiên.
Trong ví dụ này SQUARE thuộc kiểu số nguyên.

7


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Với giả thiết là mỗi số nguyên chiếm 4 byte, ba trờng ở trên cả thảy cần 9
byte. Chúng ta cũng thêm một byte ở đầu mỗi mẫu tin. Byte này chứa bit Đã
dùng/ cha dùng và bit "Xoá". Chúng ta gọi byte này là INFO.
0

1

2

3

4

7
NUMBER

8

11
SQUARE

INFO NAME WASTE
Hình1.1. Khuôn dạng cho mẫu tin có chiều dài cố định.

1.5. Mẫu tin có chiều dài thay đổi
Khi các trờng có chiều dài thay đổi, chúng ta sẽ phải giải quyết thêm vấn
đề định khuôn dạng mẫu tin bởi vì chúng ta không thể cố định các trờng tại cùng
một offset nh mỗi mẫu tin có khuôn dạng biết trớc, Chúng ta sử dụng hai chiến lợc tổng quát nh sau:
1. Cho mỗi trờng có chiều dài thay đổi bắt đầu bằng một dấu đếm biểu thị
chiều dài của trờng. Nếu có nhiều trờng có chiều dài thay đổi thì nên có một dấu
đếm ngay tại đầu mẫu tin ghi nhận tổng chiều dài của mẫu tin, mặc dầu về
nguyên tắc thông tin này thừa.
2. ở đầu mẫu tin, chúng ta đặt những con trỏ chỉ về vị trí bắt đầu của mỗi
trờng thay đổi. Chúng ta cũng cần một con trỏ chỉ về vị trí kết thúc của trờng
cuối cùng. Hơn nữa cũng nên cho tất cả các trờng cố định nằm trớc các trờng
thay đổi, do đó vị trí kết thúc của nhóm trờng cố định là vị trí bắt đầu của nhóm
trờng có chiều dài thay đổi.
Ví dụ 1.2: Chúng ta hãy xét các mẫu tin numbers trong ví dụ 1.1 nhng trờng SQUARE giữ chuỗi ký số thập phân. Chúng ta đặt trớc các byte của trờng
SQUARE một byte biểu thị số byte đợc dùng trong SQUARE. Do đó chuỗi ký số
trong SQUARE bị giới hạn trong khoảng 0 đến 255 ký tự, đó là cách xử lý thông

8


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

thờng cho các chuỗi ký tự có chiều dài thay đổi. Các trờng và các byte thông tin
của mẫu tin nh sau:
1. Byte 0 chứa chiều dài của toàn bộ mẫu tin, bao gồm luôn trờng thay đổi.
Vì vậy giới hạn cho SQUARE thờng không phải là 255 byte bởi vì toàn bộ mẫu
tin không đợc vợt quá 255 byte.
2. Byte 1 giữ các bit INFO nh ở ví dụ 1.1.
3. Byte 2 giữ trờng NAME.
4. Byte 3 bỏ trống.
5

5. Byte 4 - 7 giữ trờng NUMBER.
6. Byte 8 giữ chiều dài của trờng SQUARE.
7. Từ byte 9 trở đi lu các giá trị của SQUARE dới dạng chuỗi ký tự
Nội dung của hai mẫu tin cho hai số 2 và 13 đợc trình bày nh hình 1.2.
Chú ý rằng vì chỉ có một trờng thay đổi nên chiều dài của mẫu tin và chiều
dài của trờng đó rất dễ liên hệ, do đó chúng ta có thể bỏ đi byte 0 và byte 8 nhng
không đợc đồng thời bỏ cả hai byte này. Nghĩa là giá trị của byte 0 luôn lớn hơn
giá trị của byte 8 là 9 byte.
Chúng ta cũng cần nhớ rằng trong khuôn dạng này, nếu có những trờng đi
sau SQUARE thì chúng ta phải nhờ đến byte 8 để tìm ra chúng. Chẳng hạn về lý
thuyết, offset của trờng đi theo sau SQUARE phải bằng 9 cộng thêm nội dung
của byte 8.
0
10

INFO

1

2

3

4

5

6

t

7
2

8
1

WASTE
(a) Mẫu tin cho số NUMBER = 2

9

9
4


Luận văn tốt nghiệp
0
12

INFO

1

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài
2

3

4

t

7

8

9

10

11

13

3

1

6

9

WASTE
(b) Mẫu tin cho số NUMBER = 13
hình 1.2 Các mẫu tin có chiều dài thay đổi

1.6. Đánh giá các phép xử lý ngoài
Đối với thiết bị nhớ ngoài, việc đọc một khối dữ liệu ở bộ nhớ ngoài vào
vùng đệm trong bộ nhớ chính hoặc ghi các dữ liệu ở vùng đệm trong bộ nhớ
chính vào một khối ở bộ nhớ ngoài đợc gọi là phép truy nhập khối. Cần chú ý
rằng, việc chuyển một khối dữ liệu ở bộ nhớ ngoài vào bộ nhớ chính đòi hỏi
nhiều thời gian hơn việc xử lý dữ liệu. Ví dụ ta có một khối gồm 1000 số nguyên
trên một đĩa quay với tốc độ 1000 vòng/phút. Thời gian để đầu từ đặt vào rãnh
chứa khối đó cộng với thời gian để khối đó đợc đặt dới đầu từ phải tốn khoảng
100 miligiây. Trong khi đó với thời gian này máy có thể thực hiện đợc 100000
lệnh, nghĩa là thừa đủ để tính tổng của 1000 số nguyên trên hoặc thậm chí sắp
xếp chúng theo giải thuật sắp xếp kiểu phân đoạn ở bộ nhớ trong.
Vì vậy khi đánh giá thời gian thực hiện một thuật toán thao tác với các dữ
liệu đợc tổ chức dới dạng tệp, chúng ta cần phải chú ý tới số lần cần thiết phải
thực hiện phép truy nhập khối. Bởi vì kích thớc của khối đợc ấn định bởi hệ điều
hành mà chúng ta sử dụng nên chúng ta không thể làm giảm thời gian thực hiện
giải thuật bằng cách tăng kích thớc của khối lên, mà phải giảm số lần truy nhập
khối bằng các cách khác.
Số lần thực hiện phép truy nhập khối đợc dùng để biểu diễn tính hiệu quả
của các thuật toán trên các tệp.

10

Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Chơng 2

Sắp xếp trên bộ nhớ ngoài

Phần lớn các phơng pháp sắp xếp ngoài sử dụng chiến lợc tổng quát:
Tạo một lần duyệt trên tập tin cần sắp, chia nó thành các khối có kích thớc phù
hợp và sắp xếp các khối này. Sau đó trộn các khối này với nhau bằng cách duyệt
vài lần tập tin, rồi lại tạo các khối đợc sắp lớn hơn cho đến khi sắp xong toàn bộ
tập tin. Đa số dữ liệu thờng đợc truy xuất theo kiểu tuần tự, đây là tính chất làm
cho phơng pháp này thích hợp đối với các thiết bị bên ngoài.

2.1. Phơng pháp trộn trực tiếp
Phơng pháp chung: Cho trớc băng F chứa tập tin gồm n khóa
Bớc 1: Chia đôi băng F thành 2 băng F 1 và F2 bằng cách sao [n/2] khoá lên
băng F1 và phần còn lại lên F2. Trộn lần lợt các khối một khoá của băng F1 và các
khối một khoá tơng ứng của băng F2 để tạo ra các khối có thứ tự ghi vào băng F.
Bớc 2: Sau bớc 1, băng F chứa một dãy các khối hai khoá (có thứ tự trong
mỗi băng). Một lần nữa, ta chia nó thành hai băng F 1 và F2, bằng cách sao một
nửa số khối hai khoá lên F1 và nửa còn lại lên F2.
Tiếp tục trộn lần lợt các khối hai khoá tơng ứng trong F1và F2 để tạo ra các
khối bốn khoá (có thứ tự trong mỗi khối ) ghi vào F.
Bớc 3: Lặp lại các bớc trên, trộn các khối bốn khoá thành khối tám khoá.
Rồi cứ tiếp tục, mỗi lần lại nhân đôi độ dài của khối đợc sắp, cho tới khi toàn bộ
các khoá trong băng F đợc sắp.
Tất cả các khối đợc tạo ra trong các bớc có thể có cùng kích thớc, nhng

cũng có thể có trờng hợp khối cuối cùng không có cùng kích thớc, những khối đó
có kích thớc bé hơn các khối trớc trong từng bớc. Xét hai ví dụ cho hai trờng hợp.
Ví dụ 2.1: Trờng hợp các khối cuối cùng có kích thớc bé hơn các khối trớc
trong từng bớc:

11


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Sắp xếp băng F chứa các mẫu tin gồm 25 khoá nh sau:
F: A S O R T I N G A N D M E R G I N G E X A M P L E
Đầu tiên chia đôi số khoá trong F, một nửa sao lên F 1 và nửa còn lại sao
lên F2:
F1: A S O R T I N G A N D M
F2: E

R G I

N G E X

A M P

L E

Trộn khối một khoá đầu tiên của F 1 với khối một khoá đầu tiên của F 2 để
tạo ra hai khoá có thứ tự rồi ghi vào F:
F1: A S O R T I

F2: E R G I

N G A N D M

N G E X A M P L E

F: AE
Tiếp theo ta trộn khối một khoá thứ hai của F 1 với khối một khoá thứ hai
của F2 để tạo ra hai khoá có thứ tự rồi ghi vào F:
F1: A

S O R

T

I

F2: E

R

N

G E X A M P

G

I

N G

A N

D M
L

E

F: AE RS
Cách trộn các khối một khoá tơng ứng này tiếp tục cho đến khi kết thúc cả
2 băng F1 và F2 (băng F2 còn chứa một khối cuối cùng ta sao vào F):
F: A E R S G O I R N T G I E N G X A A M N D P L M E
Nh vậy, băng F bây giờ chứa một dãy các khối hai khoá (có thứ tự trong
mỗi khối). Một lần nữa ta chia đôi nó thành F 1 và F2 bằng cách sao một nửa số
khối hai khoá lên F1 và nửa còn lại lên F2, ta đợc:
F1: A E

RS

GO IR

NT

GI

F2: E N

GX

AA

DP

LM E

MN

Tiếp tục trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để tạo ra các khối bốn khoá
và ghi vào F (tệp F2 chứa một khối một khoá cuối cùng cũng đợc sao vào F ), sau
lần trộn này ta đợc:

12


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

F: A E E N R G S X

AAGO IMNR

DNPT

GILM E

Đến đây băng F chứa một dãy các khối bốn khoá. Lại tiếp tục chia nó
thành F1 và F2 bằng cách sao một nửa số khối lên F1 và nửa còn lại lên F2:
F1: A E E N

RGSX

AAGO

F2: I M N R

DNPT

GILM

E

Trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để tạo ra các khối tám khoá và ghi
vào F (băng F2 còn chứa một khối một khoá cuối cùng cũng đợc sao vào F ), sau
lần trộn này ta đợc:
F: A E E I M N N R

DGNPRSTX

AAGGILMO E

Nh vậy, băng F chứa một dãy các khối tám khoá. Một lần nữa ta chia đôi
nó thành F1 và F2 bằng cách sao một nửa số khối tám khoá lên F 1 và nửa còn lại
lên F2, ta đợc:
F1: A E E I M N N R

DGNPRSTX

F2: A A G G I L M O E
Tiếp tục Trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để tạo ra các khối tám khoá

và ghi vào F, sau lần trộn này ta đợc:
F: A A A E E G G I I L M M N N O R

DEGNPRSTX

Băng F bây giờ chứa hai khối, tiếp tục sao khối đầu tiên vào F 1 và khối sau
vào F2:
F1: A A A E E G G I I L M M N N O R
F2: D E G N P R S T X
Trộn các khối trong F1 và F2 để tạo ra khối có 25 khoá:
F: A A A D E E E G G G I I L M M N N N O P R R S T X
Nh vậy, các mẫu tin đã đợc sắp xếp xong.
Ví dụ 2.2: Trờng hợp các khối có kích thớc bằng nhau trong từng bớc
Sắp xếp băng F gồm 32 khoá nh sau:
F: A S O R T I N G A N D M E R G I R T I N A N G F N R E X N S T T

13


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Đầu tiên chia đôi số khoá trong F, một nửa sao lên F 1 và nửa còn lại sao
lên F2:
F1: A

S O R

F2: R

T

I N

T

I

N G

A

N

D

M E

R G

A

N

G

N

R E

X N

S

F

T

I
T

Trộn khối một khoá đầu tiên của F1 với khối một khoá đầu tiên của F2 để
tạo ra hai khoá có thứ tự rồi ghi vào F:
F1: A

S O R

F2: R

T

I N

T

I

N G

A

N

D

M E

R G

A

N

G

N

R E

X N

S

F

T

I
T

F:AR
Tiếp theo ta trộn khối một khoá thứ hai của F 1 với khối một khoá thứ hai
của F2 để tạo ra hai khoá có thứ tự rồi ghi vào F:
F1: A

S O R

F2: R

T

I N

T

I

N G

A

N

D

M E

R G

A

N

G

N

R E

X N

S

F

T

I
T

F:AR ST
Cách trộn các khối một khoá tơng ứng này tiếp tục cho đến khi kết thúc cả
2 băng F1 và F2:
F: AR ST IO NR AT IN GN FG AN NR DE MX EN RS GT IT
Nh vậy, băng F bây giờ chứa một dãy các khối hai khoá (có thứ tự trong
mỗi khối). Một lần nữa ta chia đôi nó thành F 1 và F2 bằng cách sao một nửa số
khối hai khoá lên F1 và nửa còn lại lên F2, ta đợc:
F1: A R S T I O N R A T I N G N

FG

F2: A N N R D E M X E N R S G T I T
Tiếp tục trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để tạo ra các khối bốn khoá
và ghi vào F, sau lần trộn này ta đợc:
F: A A N R N R S T D E I O M N R X A E N T I N R S G G N T
FGIT

14


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Đến đây băng F chứa một dãy các khối bốn khoá. Lại tiếp tục chia nó
thành F1 và F2 bằng cách sao một nửa số khối lên F1 và nửa còn lại lên F2:
F1: A A N R

NRST

DEIO MNRX

F2: A E N T I N R S G G N T

FGIT

Trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để tạo ra các khối tám khoá và ghi
vào F, sau lần trộn này ta đợc:
F: A A A E N N R T I N N R R S S T D E G G I N O T F G I M N R T X

Nh vậy, băng F chứa một dãy các khối tám khoá (có thứ tự trong mỗi
khối). Một lần nữa ta chia đôi nó thành F 1 và F2 bằng cách sao một nửa số khối
tám khoá lên F1 và nửa còn lại lên F2, ta đợc:
F1: A A A E N N R T

INNRRSST

F2: D E G G I N O T

FGIMNRTX

Tiếp tục trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để tạo ra các khối 16 khoá
và ghi vào F, sau lần trộn này ta đợc:
F: A A A D E E G G I N N N O R T T

FGIIMNNNRRRSSTTX

Cuối cùng, chia đôi F thành F1 và F2 bằng cách sao một nửa số khối 16
khoá lên F1 và nửa còn lại lên F2, ta đợc:
F1: A A A D E E G G I N N N O R T T
F2: F G I I M N N N R R R S S T T X
Trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để tạo ra các khối 32 khoá và ghi
vào F, kết quả sẽ là:
F: A A A D E E F G G G I I I M N N N N N N O R R R R S S T T T T X
Trên đây là hai ví dụ về 2 trờng hợp nêu ở phần phơng pháp. Qua 2 ví dụ
đã cho ta thấy cùng một phơng pháp sắp xếp nhng nếu đặt trong trờng hợp: Số
khoá cần sắp xếp là một luỹ thừa của 2 (giả sử là 2 k ) và nh vậy thì luôn luôn có k
lần chia và trộn. Nếu xem một lần chia và trộn là 1 bớc thì có k bớc sắp xếp,
trong khi có thể số khoá cần sắp xếp bé hơn 2 k thì số bớc cần thực hiện phải là k

15


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

bớc (nh ở 2 ví dụ trên: Trong ví dụ 2.1 số khoá là 25 (=25) bé hơn số khoá trong
ví dụ 2.2, song số bớc thực hiện sắp xếp vẫn phải là 5. Tức là bằng số bớc sắp xếp
trong ví dụ 2.2 ). Nh vậy phơng pháp sắp xếp này sẽ hiệu quả cao hơn đối với số
khoá cần sắp xếp là một luỹ thừa của 2 và khi này phơng pháp trộn trên sẽ đợc
gọi là phơng pháp sắp xếp kiểu trộn nhị phân. Vì vậy, chúng ta nên sử dụng phơng pháp này cho việc sắp xếp tập tin có số khoá là một luỹ thừa của 2.

2.2. Phơng pháp trộn tự nhiên
Phơng pháp trộn trực tiếp không tận dụng đợc việc từng đoạn của dữ liệu
ban đầu đã đợc sắp. Độ dài các khối đợc trộn ở bớc thứ k nhỏ hơn hay bằng 2k,
độc lập với việc có những khối dài hơn đã đợc sắp hay có thể đã đợc trộn. Thực
ra có thể trộn 2 khối bất kỳ đã đợc sắp với chiều dài m, n thành khối dài m+n.
Trộn tự nhiên là phơng pháp luôn luôn trộn 2 khối dài nhất có thể có. Phơng pháp
này đợc nêu ra nh sau:
Giả sử có 3 băng F, F 1, F2 dùng cho quá trình sắp xếp và ban đầu F gồm n
khoá, một số đoạn trong F chứa các phần tử đã đợc sắp thứ tự.
Bớc 1: Chia băng F một cách tự nhiên để đợc các khối có kích thớc khác
nhau, hay chứa số các khoá khác nhau (các khối này có thứ tự).
Sao các khối theo thứ tự luân phiên vào hai băng F 1 và F2. Sau đó trộn khối
đầu tiên của băng F1 với khối đầu tiên của băng F 2 để đợc một khối có thứ tự và
ghi vào F. Tiếp tục trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để đợc các khối lớn hơn,
ghi vào F.
Bớc 2: Lại chia F bằng cách sao các khối theo thứ tự luân phiên vào hai
băng F1 và F2. Trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để đợc các khối lớn hơn các

khối ở bớc 2. Rồi ghi vào F.

16


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Lặp lại các bớc trên cho đến khi trên mỗi băng F 1 và F2 chỉ còn một khối.
Trộn các khối này để đợc khối duy nhất và ghi lên băng F. Quá trình sắp xếp đã
hoàn thành.
Ví dụ 2.3: Sắp xếp băng F gồm 25 khoá nh sau:
F: A S O R T I N G A N D M E R G I N G E X A M P L E
Ta thấy một số đoạn trong F chứa các khoá đã đợc sắp xếp:
F: A S O R T I N G A N D M E R G I N G E X A M P L E
và các khối có thứ tự này chia F một cách tự nhiên.
Chia F thành F1 và F2 bằng cách sao các khối theo thứ tự luân phiên vào 2
băng F1 và F2, ta đợc:
F1: A S I N
F2: O R T

G

AN

ER

DM

G

GIN

AMP

E

EX L

Trộn các khối tơng ứng trong F1 và F2 để tạo ra các khối có thứ tự trong F:
F: A O R S T

GIN

ADMN

EGINR EGX

ALMP E

Lại chia F thành F1 và F2 bằng cách sao các khối theo thứ tự luân phiên vào
2 băng F1 và F2:
F1: A O R S T
F2: G I N

ADMN

EGINR

EGX

E

ALMP

Cũng nh bớc trớc, ta trộn các khối tơng ứng của băng F1 và băng F2, rồi ghi
kết quả vào F:
F: A G I N O R S T

ADEGIMNNR AEGLMPX

E

Lại chia F thành F1 và F2 bằng cách sao các khối theo thứ tự luân phiên vào
2 băng F1 và F2:
F1: A G I N O R S T

AEGLMPX

F2: A D E G I M N N R

E

Tiếp tục trộn trộn các khối tơng ứng của băng F1 và băng F2, rồi ghi kết
quả vào F:

17

Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

F: A A D E G G I I M N N N O R R S T

AEEGLMPX

Trong bớc tiếp theo, chia F thành F 1 và F2 bằng cách sao các khối theo thứ
tự luân phiên vào 2 băng F1 và F2. Lúc này mỗi băng F1, F2 chỉ chứa một khối:
F1: A A D E G G I I M N N N O R R S T
F2: A E E G L M P X
Thực hiện trộn ở lần này, ta đợc:
F: A A A D E E E G G G I I L M M N N N O P R R S T X
Nh vậy, nếu ta cũng xem mỗi lợt trộn và chia là 1 bớc thì quá trình sắp xếp
ở trên gồm có 4 bớc, giảm hơn một bớc so với sắp xếp trộn trực tiếp.

2.3. Trộn nhiều đờng cân bằng
Trộn nhiều đờng cân bằng là phơng pháp sắp xếp mà số băng từ để chứa
các khối đa vào trộn và số băng từ để chứa các khối đa ra sau khi trộn là bằng
nhau.
Băng từ để chứa các khối đa vào trộn gọi là băng Input và băng từ để chứa
các khối đa ra sau khi trộn gọi là băng output. Nh vậy số lợng băng input sẽ bằng
số lợng băng output. Nghĩa là nếu có n băng từ (với n chẵn) thì [n/2] băng từ đợc
làm băng input và [n/2] băng từ đợc làm băng output. Các khối trên [n/2] băng
input sẽ lần lợt đợc trộn theo thứ tự và đợc ghi luân phiên lên [n/2] băng output.
Sau mỗi lợt, khi các khối trên băng input đã hết thì vai trò của băng input và băng
output lại đổi cho nhau. Quá trình này cứ tiếp tục cho tới khi chỉ còn một khối
duy nhất trên một băng. Nh vậy ở đây áp dụng phơng pháp trộn n đờng. Để hiểu
một cách tờng minh về phơng pháp này, chúng ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 2.4: Sắp xếp băng F chứa các mẫu tin gồm 25 khoá nh sau:
F: A S O R T I N G A N D M E R G I N G E X A M P L E
Giả thiết là chúng ta chỉ có đủ chỗ cho 3 khoá trong bộ nhớ và có sẵn
nhiều băng từ.

18


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Đầu tiên đọc 3 khoá một lúc, sắp chúng để tạo thành khối 3 khoá và xuất
các khối đợc sắp. vì vậy, trớc tiên chúng ta đọc A S O và xuất khối A O S. Kế
tiếp đọc R T I và xuất khối I R T. Lại tiếp tục đọc và xuất các khối nh sau:
Đọc N G A và xuất khối A G N
Đọc N D M và xuất khối D M N
Đọc E R G và xuất khối E G R
Đọc I N G và xuất khối G I N
Đọc E X A và xuất khối A E X
Đọc M P L và xuất khối L M P
Đọc E và xuất khối E
Nh vậy các khoá trong mỗi khối đã đợc sắp xếp theo thứ tự, kết quả ta có 9
khối nh sau:
AOS

IRT

AGN

DMN

EGR

GIN

AEX

LMP E

Chúng ta thực hiện trộn 3 khối nên sử dụng 3 băng input và 3 băng output.
Đầu tiên sao luân phiên các khối lên 3 băng input và kết quả của bớc thứ nhất nh
sau:
F1: A O S D M N
F2: I R T
F3: A G N

AEX

EGR LMP
GNI

E

F4:
F5:
F6:
Tiếp theo ta sẽ thực hiện bớc 2:
Trộn các khối đầu tiên tơng ứng của băng F1, băng F2 và băng F3. Ta đợc
khối chín khoá (các khoá có thứ tự ) nh sau: A A G I N O R S T. Xuất khối này

lên băng F4.

19


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Lại tiếp tục trộn các khối thứ hai tơng ứng của băng F1, băng F2 và băng
F3 . Ta đợc khối chín khoá (các khoá có thứ tự ) nh sau: D E G G I M N N R.
Xuất khối này lên băng F5.
Cuối cùng, trộn các khối thứ ba tơng ứng của băng F1, băng F2 và băng F3.
Ta đợc khối bảy khoá (vì khối thứ ba của băng F3 chỉ có một khoá), các khoá có
thứ tự nh sau: A E E L M P X. Xuất lên băng F6
Nh vậy, sau bớc thứ hai ta thu đợc kết quả nh sau:
F1:
F2:
F3:
F4: A A G I N O R S T
F5: D E G G I M N N R
F6: A E E L M P X
Đến đây băng F4, băng F5 và băng F6 mỗi băng đều chỉ có một khối và các
băng này sẽ trở thành các băng input. Và băng F1, băng F2 và băng F3 sẽ trở thành
các băng output cho bớc tiếp theo.
Một lần nữa, trộn 3 khối trên 3 băng input để đợc kết quả cuối cùng. Và
xuất lên băng F1 chẳng hạn:
F1: A A A D E E E G G G I L M M N N N O P R R S T
Nh vậy, băng F1 là băng chứa các khoá đã đợc sắp xếp hay các mẫu tin đã
đợc sắp xếp hoàn toàn.

Trên đây chỉ là một ví dụ cụ thể với số khoá rất nhỏ để minh hoạ cho phơng pháp trộn nhiều đờng cân bằng. Nhng tốt nhất là sử dụng tập tin lớn khi dùng
phơng pháp này.

2.4. Trộn nhiều giai đoạn

20


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

Phơng pháp sắp xếp kiểu trộn nhiều đờng cân bằng có u điểm là đơn giản
và đồng đều với mọi lợt sắp xếp. Nhng nó đã hạn chế việc sử dụng cao hơn nửa
số lợng băng từ hiện có để làm băng input. Phơng pháp trộn nhiều giai đoạn do
R.L Gilstar đa ra năm 1960 đã khắc phục đợc nhợc điểm này. Phơng pháp này sử
dụng băng từ đến mức tối đa. ở đây, nếu có n băng từ thì ta sử dụng (n - 1) băng
từ làm băng input và một băng làm băng output. Nh vậy là có thể áp dụng phơng
pháp trộn (n - 1) đờng chứ không phải chỉ là [n/2] đờng.
Đầu tiên các khối trên các băng input sẽ đợc trộn thành khối mới và đợc
ghi vào băng output. Quá trình này tiếp tục cho tới khi một băng input cạn, lúc
này băng đã cạn trở thành băng output và băng output trớc sẽ trở thành băng
input, cùng với các băng input cũ để thực hiện tiếp quá trình trộn. Nh vậy rõ ràng
để phép trộn đợc thực hiện Nhịp nhàng lúc nào cũng có (n - 1) băng input và
một băng output thì việc phân bố các khối trên băng input lúc khởi tạo không thể
tuỳ tiện. Xét một vài ví dụ minh hoạ cho phơng pháp này và để từ đó chúng ta đa
ra quy tắc phân phối các khối cho hợp lý.
Ví dụ 2.5: Sắp xếp băng F chứa các mẫu tin gồm 25 khoá nh sau:
F: A S O R T I N G A N D M E R G I N G E X A M P L E
Nhng với giả thiết chúng ta chỉ có ba băng F 1, F2, F3 và ban đầu các khối đợc sắp

xếp trên các băng nh sau:
F1: A O R S T
F2: E G X

IN AGN

DEMR

GIN

AMP EL

F3:
Băng F3 đợc khởi tạo lúc đầu và là băng xuất dành cho lần trộn đầu. Trộn
lần lợt 3 khối đầu của băng F1 với 3 khối đầu của băng F2 theo phơng pháp trộn
hai đờng để tạo thành 3 khối mới (có thứ tự trong mỗi khối) ghi vào băng F 3, bây
giờ băng F2 trở thành rỗng:

21


Luận văn tốt nghiệp
F1: D E M R

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài
GIN

F2:
F3: A E G O R S T X

AIMNP AEGLN

Tiếp tục trộn lần lợt 2 khối của băng F1 với 2 khối đầu của băng F3 theo
phơng pháp trộn hai đờng để tạo thành 2 khối mới ghi vào băng F 2 và lúc này
băng F1 rỗng:
F1:
F2: A D E E G M O R R S T X

AGIIMNNP

F3: A E G L N
Một lần nữa trộn khối đầu tiên của băng F 2 với khối của băng F3 để tạo
thành khối mới ghi vào băng F1 và lúc này băng F3 rỗng:
F1: A A D E E E G G L M N O R R S T X
F2: A G I I M N N P
F3:
Nh vậy, bây giờ băng F1 và băng F2 mỗi băng còn 1 khối. Ta thực hiện trộn
2 khối trên 2 băng này để tạo thành một khối duy nhất và ghi lên băng F3:
F1:
F2:
F3: A A A D E E E G G G I I L M M N N N O P R R S T X
Đến đây, các khoá đã đợc sắp thứ tự và quá trình trộn kết thúc. Có thể đợc
mô tả nh hình 2.1.
Ví dụ 2.6: Cũng trộn nhiều giai đoạn với 3 băng F 1, F2, F3 nhng số lợng
các khối là nhiều hơn và phân bố trên các băng là khác so với ví dụ 2.5.
Giả sử lúc đầu băng F1 và băng F2 chứa lần lợt 13 khối và 8 khối. Thế thì
trong lợt đầu 8 khối của F2 trộn với 8 khối của F1 (trên băng F1 sẽ còn lại 5 khối)
để thành 8 khối mới, ghi vào F3. ở lợt thứ hai 5 khối của F2 trộn với 5 khối của F3

22

Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

(trên băng F3 sẽ còn lại 3 khối) để thành 5 khối mới, ghi vào F 2. ở lợt thứ ba 3
khối của F3 trộn với 3 khối của F2 (trên băng F2 sẽ còn lại 2 khối) để thành 3 khối
mới, ghi vào F1 ... Cuối cùng ta sẽ đợc một khối lớn ứng với tệp. Minh hoạ ở hình
2.2.
F1

F2

5

3

2

0

0

F3

F1

F2

F3

13

8

3

5

0

8

2

1

0

5

3

1

1

0

3

2

0

0

0

1

0

2

0

1

1

1

0

0

1

Hình 2.1

Hình 2.2

Ví dụ 2.7: Minh hoạ phơng pháp trộn nhiều giai đoạn với 6 băng F1, F2, F3,
F4, F5, F6. Đầu tiên F1 có 16 khối, F2 có 15 khối, F3 có 14 khối, F4 có 12 khối, F5
có 8 khối, F6 là rỗng
Bớc đầu, 8 khối đợc trộn vào F6, khi này F5 rỗng. Tiếp tục trộn...và ta đợc
sơ đồ minh hoạ nh hình 2.3.
F1

F2

F3

F4

F5

16

15

14

12

8

23

F6


Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

8

7

6

4

0

8

4

3

2

0

4

4

2

1

0

2

2

2

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

Hình 2.3.

Trộn nhiều giai đoạn hiệu quả hơn trộn nhiều đờng cân bằng vì với N băng
ta luôn dùng phép trộn (N - 1) đờng thay vì [N/2] đờng. Vì số bớc cần thiết
khoảng logNn, với n là số khoá cần sắp và N là bậc những phép toán trộn.
Dĩ nhiên, sự phân bố các khối ban đầu trong các ví dụ trên đã đợc lựa chọn
cẩn thận. Để tìm đợc sự phân bố tốt cho các đờng ban đầu, chúng ta làm ngợc lại.
Bắt đầu với sự phân bố cuối cùng. Lập lại 2 bảng ở ví dụ 2.6 và ví dụ 2.7, xoay
mỗi dòng một vị trí đối với dòng trớc nó, chúng ta có 2 bảng với 6 bớc 3 băng và
6 bớc 6 băng:
Bảng 1: phân bố các khối lên 2 băng
l

a1(l)

a2(l)

ai(l)

0

1

0

1

1

1

1

2

2

2

1

3

3

3

2

5

24

Luận văn tốt nghiệp

Một số ph ơng pháp sắp xếp và tìm kiếm ngoài

4

5

3

8

5

8

5

13

6

13

8

21

Bảng 2: Phân bố các khối lên 5 băng
l

a1(l)

a2(l)

a3(l)

a4(l)

a5(l)

ai(l)

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

5

2

2

2

2

2

1

9

3

4

4

4

3

2

17

4

8

8

7

6

4

33

5

16

15

14

12

8

65

+)Từ bảng 1, suy ra các phơng trình:
a2(l+1) = a1(l)
a1(l+1) = a1(l) + a1(l) với l > 0
và a1(0) = 1, a2(0) = 0.
Xem a1(l) là fi+1 ta có:
fi+1 = fi + fi-1 với i 1
f1 = 1
f0 = 0
Đó là định nghĩa đệ quy của dãy Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
Mỗi số Fibonacci là tổng của 2 số đứng trớc nó. Nh thế số các khối ban
đầu trên 2 băng phải có 2 số Fibonacci để phơng pháp sắp xếp trộn nhiều giai
đoạn hoạt động tốt hơn.
+) Từ bảng 2, suy ra các phơng trình:
a5(l+1) = a1(l)
a4(l+1) = a1(l) + a5(l) = a1(l) + a1(l-1)

25