Một số thuật toán tìm bao lồi của họ hữu hạn điểm trong mặt phẳng

❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

◆❣✉②Ô♥ ➜ø❝ ❚❤➭♥❤

♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐
❝ñ❛ ❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣
♠➷t ♣❤➻♥❣

▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝

❱✐♥❤ ✲ ✷✵✵✻



❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

◆❣✉②Ô♥ ➜ø❝ ❚❤➭♥❤

♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐
❝ñ❛ ❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣
♠➷t ♣❤➻♥❣
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ❍×♥❤ ❤ä❝✲❚➠♣➠
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✶✵

▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝

❈➳♥ ❇é ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿

✶✳ ❚❙✳ P❤➵♠ ◆❣ä❝ ❇é✐
✷✳ ❚❙✳ P❤❛♥ ❚❤➭♥❤ ❆♥

❱✐♥❤ ✲ ✷✵✵✻




ụ ụ
ụụ













ụ ì ẽ
ở



ế tứ ổ s

ị ĩ ề t ồ ồ



ồ tí t



ồ ủ ột t



ể ự



ể ự



ể ể ự



ự

t





tt t tì ồ



t t ờ tì ể ự



t t tì ể ể ự



t t tì ự





t t ó q t



t tt t

t t ó q t



t t



t ỷ tt







t t



t t t



t tt t t

trú tt t t







ị ồ tr

t t s s tì ồ


ý tở s s

✷
✷✳✺✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼

❑Õt ▲✉❐♥

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦


✸

❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➳❝ ❤×♥❤ ✈Ï ✈➭ ❜➯♥❣
✶✳ ❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➳❝ ❤×♥❤ ✈Ï✿

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✹

✷✳ ❉❛♥❤ ♠ô❝ ❜➯♥❣✿

❇➯♥❣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶


✹

▼ë ➤➬✉
❆✳

▲Þ❝❤ sö ✈✃♥ ➤Ò

❍×♥❤ ❤ä❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❧➭ ♠ét ♠➠♥ ❤ä❝ ➤➢î❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ r✃t ré♥❣ r➲✐ tr♦♥❣ t❤ù❝
tÕ✳ ❨➟✉ ❝➬✉ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣ ♥❤✃t tr♦♥❣ ♠➠♥ ❤×♥❤ ❤ä❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❧➭ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛
❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠✱ ✈➭ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ ♠ét ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ q✉❛♥ trä♥❣ ①✉✃t ❤✐Ö♥ tõ ❧➞✉ tr♦♥❣
♥❤✐Ò✉ ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ♥❤➢ ●✐➯✐ tÝ❝❤✱ ❍×♥❤ ❤ä❝✱ ❚♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ✳✳✳ ❑❤➳✐
♥✐Ö♠ ♥➭② ➤➲ t❤✉ ❤ót q✉❛♥ t➞♠ ❝ñ❛ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝✱ ♥❤➢ ❲✳ ❱✳ ❍❡❧❧②✱ ❈✳
❈❛r❛t❤Ð♦❞♦r②✱ ❲✳ ❋r❡♥❝❤❡❧✱ ▲✳ ❑❧❡❡✱ ❍✳ ▼✐♥❦♦✇s❦✐✱ ✳✳✳ ❚õ sù ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ❝➳❝
❜❛♦ ❧å✐✱ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲ t×♠ r❛ ♥❤÷♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❦❤✐ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐ ❝❤♦
t❐♣ ❤î♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét sè t❤✉❐t
t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐✳
❇✳

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t r❛

❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ ❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣✱
❝➞✉ ❤á✐ ➤➷t r❛ ❧➭ ❝ã t❤Ó t×♠ ➤➢î❝ ❜❛♦ ❧å✐ ✈í✐ sè ➤✐Ó♠ r✃t ❧í♥ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥
♥❤❛♥❤ ♥❤✃t✱ ✈➭ ❝ã t❤Ó ➳♣ ❞ô♥❣ ✈➭♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♥❤✐Ò✉ ❝❤✐Ò✉ ➤➢î❝ ❤❛②
❦❤➠♥❣❄ ❱í✐ s✉② ♥❣❤Ü ♥❤➢ t❤Õ ❝❤ó♥❣ t➠✐ q✉②Õt ➤Þ♥❤ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✿
✧▼ét

sè t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ ❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣

✧✳

▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐ ➤➲ ❜✐Õt ✭①❡♠ ❬✽❪✮✱ tõ ➤ã
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ s♦♥❣ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐✱ ✈➭ ❧✃② ❝➳❝
✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝❤♦ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ❑Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ♥➭② ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭②
tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❣ö✐ ➤➝♥❣ t➵♣ ❝❤Ý ❑❤♦❛ ❤ä❝ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤✳
❈✳

❈✃✉ tró❝ ❧✉❐♥ ✈➝♥

❱í✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤➢ ✈❐②✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✿
❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥✱ ❣å♠ ❝➳❝ ♥é✐ ❞✉♥❣✿
✶✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈Ò t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❜❛♦ ❧å✐✳
✷✳ ❈➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✳


✺
❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣✱ ❣å♠ ❝➳❝
♥é✐ ❞✉♥❣✿
✶✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❦❤ê ❦❤➵♦ t×♠ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✱
✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❣ã✐ q✉➭ t➷♥❣✱
✸✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ◗✉✐❝❦❍✉❧❧✱
✹✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t➝♥❣ ❞➬♥✱
✺✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ s♦♥❣ s♦♥❣ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐✱
✈➭ ❧✃② ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ trù❝ t✐Õ♣ t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ ❚❙✳ P❤➵♠
◆❣ä❝ ❇é✐ ✈➭ ❚❙✳ P❤❛♥ ❚❤➭♥❤ ❆♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥
❣✐➳♦ ✈✐➟♥ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ➤➲ ❞➭♥❤ ❝❤♦ t➳❝ ❣✐➯ ♥❤÷♥❣ ❣✐ó♣ ➤ì t❐♥ t×♥❤ ✈➭ t➞♠ ❤✉②Õt

tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ò♥❣ ♥❤➢ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❦ú ❤×♥❤ t❤➭♥❤ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤
❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ➤➷❝ ❜✐Öt ❝➯♠ ➡♥ P●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②Ô♥ ❍÷✉ ◗✉❛♥❣✱ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥
❉✉② ❇×♥❤ ✈➭ P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❍✉ú♥❤ P❤➳♥ ➤➲ ❝ã ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ q✉ý ❜➳✉ tr♦♥❣
q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✈➭ ❦❤♦❛
➜➭♦ t➵♦ ❙❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝✱ ❝➳❝ ❆♥❤ ❝❤Þ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❈❛♦ ❤ä❝ ✶✷✲❚♦➳♥✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲
❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ❝❤Ø ❜➯♦ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ ❈❛♦ ❤ä❝✳
❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ tí✐ ●✐❛ ➤×♥❤ ❝ï♥❣ ❇➵♥ ❜❒ ➤➲ ❞➭♥❤
❝❤♦ t➳❝ ❣✐➯ sù ❣✐ó♣ ➤ì ✈➠ ❝ï♥❣ q✉ý ❜➳✉ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ t❤ê✐ ❣✐❛♥
❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳

❱✐♥❤✱ t❤➳♥❣ ✶✷ ♥➝♠ ✷✵✵✻✳
❚➳❝ ❣✐➯


✻

❈❤➢➡♥❣ ✶

❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ s✉♥❣
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❤Ö t❤è♥❣ ❧➵✐ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛
t❐♣ ❧å✐✱ ❜❛♦ ❧å✐✱ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✱ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥✳

✶✳✶

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈Ò t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❜❛♦ ❧å✐

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤Ø ①Ðt tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ m ✲ ❝❤✐Ò✉ Em ✳

✶✳✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳

(xem [9])

●✐➯ sö x, y ∈ Em ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ [x, y] ❧➭ t❐♣ ❤î♣ {

λx + (1 − λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1 }✳
− ◆Õ✉ x = y ✱ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛ [x, y] ❧➭ t❐♣ ❤î♣ { λx + (1 − λ)y, 0 < λ < 1 }✱
❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ]x, y[ ✳

− ◆Õ✉ x = y ✱ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛ [x, y] ✈➭ ❝❤ø❛ ➤✐Ó♠ x ❧➭ t❐♣ ❤î♣ { λx + (1 −
λ)y, 0 < λ ≤ 1 }✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ [x, y[ ✳
− ◆Õ✉ x = y ✱ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛ [x, y] ✈➭ ❝❤ø❛ ➤✐Ó♠ y ❧➭ t❐♣ ❤î♣ { λx + (1 −
λ)y, 0 ≤ λ < 1}✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ]x, y] ✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳

(xem [9])

●✐➯ sö S ⊂ Em ✳ ❚❐♣ S ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ♥Õ✉ ✈í✐

♠ä✐ x ∈ S, y ∈ S t❤× [x, y] ⊂ S ✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳

S = {(x, y) ∈ E2 : x ≥ 1} \ {(x, y) ∈ E2 : y > x} ❧➭ t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣

E2 ✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳

(xem [6]) ❚æ ❤î♣ ❧å✐ ✭❤÷✉ ❤➵♥✮ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ x1 , x2 , ..., xm ∈

Em ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ Em ❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ó♥ ❞➢í✐ ❞➵♥❣
m

λi x i ,
i=1




tr ó i 0(i = 1, 2, ..., m) 1 + 2 + ... + m = 1.
ệ ề

(xem [10]) sử S Em ó S t ồ ỉ

ó ứ ọ tổ ợ tử ủ ó
ứ

ỉ ứ r ế

S t ồ tì ó ứ ọ

m

tổ ợ ồ tử ủ ó ĩ

i=1

m

i

= 1, 2, ..., m

i xi S ớ ọ xi S i 0

x=

i = 1 ứ q
i=1

ớ

m t ó x = 1 x1 + 2 x2 S ớ ọ x1 , x2 S, 1 , 2 0

1 + 2 = 1.
sử ủ ệ ề ú ớ
ị ó ú ớ

m = k(k 2) t ứ r

m = k + 1 ó tể tết 0 k+1 < 1 ở ì ế

k

k+1 = 1 tì từ

i = 1 i 0(i = 1, 2, ..., k + 1) t s r 1 = 2 =
i=1

... = k ó x = xk+1 S ó t ó 1 k+1 = 1 + 2 + ... + k > 0
k



1i
k+1
k

ó
i=1

0 ì

i
1k+1 xi

ệ ề

i=1

i
1k+1 t tết q t

S ó x = (1 k+1 )xk + k+1 xk+1 S
(xem [9]) sử A Em ó A t ồ ỉ

( + )A = A + A ớ ọ 0, 0
ệ ề

(xem [6])

(a) ổ ợ tế tí ữ ủ t ồ ồ
(b) ị ủ ột t ồ q tế tí ồ
ệ ề

(xem [6]) ế A t ồ tì ó A ủ A ũ

t ồ
ứ
sử



x0 , x1 clA t x := x0 + (1 )x1 ớ 0 1

U ột ồ ủ ể x0 , x1 clA (xi + U ) A =

, (i = 0, 1) r tồ t xi (xi + U ) A, (i = 0, 1) t x := x0 + (1




)x1 ễ t x A x0 , x1 A ó x (x0 +U )+(1)(x1 +U ) =
x + U ó (x + U ) A = s r x clA


clA t ồ

ồ ủ ột t

ệ ề

(xem [9]) ủ ột ọ tù ý t ồ t ồ

ứ

sử

Ai (i I) t ồ t A =

Ai
iI

x1 , x2 A ể x1 , x2 Ai , i I t Ai ồ ớ i I
t ó

x1 + (1 )x2 Ai , [0, 1], i I
r


x1 + (1 )x2 A, [0, 1]
A t ồ

ị ĩ

ủ tt t ồ ứ A ọ

(xem [6])

ồ ủ A ý ệ A

a) A t ồ ỏ t ứ A

ét

b) A t ồ ỉ A A.
ệ ề

(xem [9]) A t ợ tt tổ ợ ồ ủ A

ứ

sử

t ồ ét

A A t s r P A

ể ứ A


P t ợ tt tổ ợ ồ ủ A ì A
P trớ t t ứ P t ồ t

x, y P ó x =

i ai y =
iI

i = 1
iI

ớ

j bj tr ó ai , bj A, i, j I
jI

j = 1 i , j 0, i, j I
jI

0 1 t ó
(1 )x + y =

j bj

(1 )i ai +
iI

jI


✾
▼➭

(1 − λ)αi ai +
i∈I

λβj = (1 − λ)
j∈I

βj = (1 − λ) + λ = 1.

αi + λ
i∈I

j∈I

❉♦ ➤ã

λβj bj ∈ P ✱

(1 − λ)αi ai +
i∈I

j∈I

❤❛②

(1 − λ)x + λy ∈ P ⇒ P ❧å✐✳
▼➷t ❦❤➳❝

A ⊂ P ♠➭ ❝♦♥✈A ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ♥❤á ♥❤✃t ❝❤ø❛ A ♥➟♥ ❝♦♥✈A ⊂ P ✳

❚õ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✻ t❛ ❝ã ❤Ö q✉➯ s❛✉✿
❍Ö q✉➯ ✶✳✶✳

❚❐♣ A ❧➭ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ A ❝❤ø❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛ ♥ã✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✼✳

(xem [4]) ◆Õ✉ A, B ⊂ Em ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ t❤× ❝♦♥✈(A ∪ B) =

{λA + (1 − λ)B}.
0≤λ≤1

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜➷t

{λA + (1 − λ)B}✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ a ∈

C :=
0≤λ≤1

A, b ∈ B ✈➭ 0 ≤ λ ≤ 1 t❛ ❝ã λa + (1 − λ)b ∈ ❝♦♥✈(A ∪ B)✱ ✭✈× a, b ∈ A ∪ B)✳
❉♦ ➤ã✱

C ⊂ ❝♦♥✈(A ∪ B)✳

➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ ♥❣➢î❝ ❧➵✐✱ t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣
❝❤ø❛

C ❧➭ t❐♣ ❧å✐

A ∪ B✳

❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥

(A ∪ B) ⊂ C ✱ t❛ ❝❤Ø ❝ß♥ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ C ❧å✐✳

❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃②

x, y ∈ C ✈➭ 0 ≤ λ ≤ 1 ✭❣✐➯ sö x = λ1 a1 + (1 − λ1 )b1 ✱

y = λ2 a2 + (1 − λ2 )b2 ✱ tr♦♥❣ ➤ã a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B ✈➭ 0 ≤ λ1 , λ2 ≤ 1✮ t❛
①Ðt

z = λx + (1 − λ)y ✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt 0 < λ < 1, 0 < λλ1 + (1 − λ)λ2 < 1

✭⇒

0 < λ(1−λ1 )+(1−λ)(1−λ2 ) < 1✱ ✈× ♥Õ✉ λ = 0 ❤♦➷❝ λ = 1 t❤× z = y ❤♦➷❝

z = x✱ ❝ß♥ ♥Õ✉ λ1 = λ1 = 0 ❤♦➷❝ λ1 = λ1 = 1 t❤× z = λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B
❤♦➷❝

z = λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A tõ ➤ã s✉② r❛ z ∈ C)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã ✿

(1−λ)λ2
λλ1 +(1−λ)λ2 a2 ] ✰
λ(1−λ1
2)
[λ(1 − λ1 ) + (1 − λ)(1 − λ2 )][ λ(1−λ1 )+(1−λ)(1−λ
b1 + λ(1−λ(1−λ)(1−λ
b2 ]
2)
1 )+(1−λ)(1−λ2 )

β
α
λ−α
1−λ−α
❂ (α + β)( α+β
a1 + α+β
a2 ) + [1 − (α + β)][ 1−(α+β)
b1 + 1−(α+β)
b2 ]

λλ1
a1 +
z = [λλ1 + (1 − λ)λ2 ][ λλ1 +(1−λ)λ
2





àa + (1 à)b C

r ó

= 1 , = (1 )2 , a =

1
1(+) b2

B à = +

+


+ a2

A b =


1(+) b1

+

C t ồ ủ Em
S ột t ồ tr Em x ột ể tộ S

ệ ề

ó


+ a1

({x} S) = S

ứ

ó

S {x} S s r S ({x} S)

ờ t ứ tứ ợ ({x} S)

(1)

S

t

x S S S s r {x} S S.
({x} S) (S) = S
({x} S) S
ừ

(1) (2) s r

({x} S)

(2)
= S

ệ ề q trọ ể t ứ tt t tì ồ
ủ ọ ữ ể tr t
ệ ề

(Xem [3]) ồ ủ ọ ữ ể tr t E2

ì ồ ó ỉ tộ ọ ể
ệ ề

(xem [6]) ế S Em t t tì S ũ t

t
ứ

sử

S t t tr Em {xk } S

ệ ề ớ ỗ

k = 1, 2, ... t ó

xk = 0,k a0,k + 1,k a1,k + ... + m,k am,k
ớ

ai,k S, i,k 0 (i = 0, 1, ..., m)

m

i,k = 1
i=0



S ì [0, 1] t t tồ t {i , kt ai,kt } s

i,kt ai,kt ài ai kt ớ ai S, ài 0(i = 1, 2, ..., k),

m

ài = 1
i=0



ó t ó

xkt à0 a0 + à1 a1 + ... + àm am S

S t t



ể ự

ị ĩ

ọ x M ể ự ủ t ồ M ế x

[y, z], y, z M tì x = y x = z
ét

ể tr ủ ột ồ M ể ự

ừ trở t ét tr t

E2 ọ S t ồ n ể tr

t
ét

ồ ủ ọ ữ ể ì ồ xi1 xi2 ...xik

tr ó ỉ ủ ì ồ xi1 , xi2 , ..., xik {x1 , x2 , ..., xm } í
ể ự ủ {x1 , x2 , ..., xm } ỉ ó ể ự ó
t

ể ự

ể s ể ự ủ ủ S

a) ọ ể t ủ S ể ó t ộ ớ t r ữ
ể t tì ể ó ộ ớ ể ó ộ é ể
ự ủ S

b) ọ ể t t ủ S ể ó t ộ ỏ t r ữ
ể t t tì ể ó ộ ớ ể ó ộ é ể
ự ủ S

c) ọ ể t ề ủ S ể ó ộ ớ t
r ữ ể t ề tì ể ó t ộ ớ ể ó t
ộ é ể ự ủ S




d) ọ ể t ề tr ủ S ể ó ộ ỏ t
r ữ ể t ề tr tì ể ó t ộ ớ ể ó t

ộ é ể ự ủ S
ét

ột ể ể ự ủ S ế tồ t ột ờ

t q ể ó ể ó ó t S

ể ể ự

ổ ề

(xem [9])

ột ể ể ự ủ ột t ồ

ế ỉ ế ể tr tr ủ t ó
ó ỉ ể ủ t ồ ể ột ỉ ủ
t ể tr
ứ

sử r ế ột ể tr ột t tì ó

ể ự ó ỉ ủ ột t ó tể ể ự

t ột ể tr ủ ột t ỉ
tì ể ự

ự

ị ĩ

(xem [8])

ự ủ S ọ ể

ủ S tr ột ử t ủ ờ t ợ ị ở
ó
ị ĩ

a) ọ ể c tr t ủ t [a, b]( t ó
ớ từ a ế b) ế ệ tí số ủ t abc

b) ọ ể c t ủ t [a, b]( t ó


✶✸

❤➢í♥❣ tõ a ➤Õ♥ b) ♥Õ✉ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ ➤➵✐ sè ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ abc ❧➭ ➞♠✳

c) ❚❛ ❣ä✐ ➤✐Ó♠ c ♥➺♠ tr➟♥ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ [a, b](➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ❤➢í♥❣ tõ a ➤Õ♥
b) t❤× ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ abc ❜➺♥❣ ❦❤➠♥❣✳
✶✳✷✳✹ ❇➭✐ t♦➳♥

■♥♣✉t✿

❈❤♦

❖✉t♣✉t✿

❝♦♥✈S ✳

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✺✳

S ❧➭ t❐♣ n ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣✱

❚õ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✾ ❜❛♦ ❧å✐ t×♠ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣

♠➷t ♣❤➻♥❣ ❝ã ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ ❞➵♥❣ s❛✉✿

(1) ▼ä✐ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ❜❛♦ ❧å✐ t❤❡♦ t❤ø tù t✉ú ý✳
(2) ❈➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ t❤❡♦ t❤ø tù t✉ú ý✳
(3) ▼ä✐ ➤✐Ó♠ ❜❛♦ ❧å✐ t❤❡♦ t❤ø tù tr➟♥ ❜✐➟♥✳
(4) ❈➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ t❤❡♦ t❤ø tù tr➟♥ ❜✐➟♥✳


✶✹

❈❤➢➡♥❣ ✷

❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝❤✐ t✐Õt ♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐
tr♦♥❣ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣✱ ✈➭ s♦ s➳♥❤ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ♥➭②✳
➜Ó t×♠ ❜❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ ♠ét ❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣✱ tr➢í❝ ❤Õt t❛ t×♠
➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ✈➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥✳ ▼ô❝ s❛✉ ➤➞② ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t×♠ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝
❜✐➟♥ ✈➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣✳

✷✳✶

❚❤✉❐t t♦➳♥ ❦❤ê ❦❤➵♦ t×♠ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥

✷✳✶✳✶ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥

▼➠ t➯ t❤✉❐t t♦➳♥✿

❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥

1.2.4✳ ●✐➯ sö S := {p0 , p1 , p2 , ..., pn−1 } ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝➳❝ ➤✐Ó♠

➤➲ ❝❤♦ ❧➭ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ ❤➲② t×♠ tr♦♥❣ sè ❝➳❝ ➤✐Ó♠ p0 , p1 , ..., pn−1 ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠
❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✱ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ ❝ß♥ ❧➵✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳
❉ù❛ ✈➭♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✶ ✭❈❤✉➡♥❣ ■✮ t❛ ❝ã ♠➠ t➯ t❤✉❐t t♦➳♥ ♥❤➢ s❛✉✿

− ▲✃② ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ S ✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ p0 ✳
− ❳Ðt ❝➳❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ S ❝ã ➤➢î❝ ✈í✐ ➤✐Ó♠ p0 ♠ét t❛♠ ❣✐➳❝✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥

p0 pi pj ✳

− ▲✃② ➤✐Ó♠ pl ∈ S ❦❤➳❝ ✈í✐ p0 , pi , pj ✳
− ❑✐Ó♠ tr❛ pl ∈

p0 pi pj ✳

❛✮ ◆Õ✉ pl

∈

p0 pi pj ❦Õt ❧✉❐♥ ➤✐Ó♠ pl ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

❜✮ ◆Õ✉ pl

∈
/

p0 pi pj ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

❚✐Õ♣ tô❝ ❧✃② pl

= pl ❦✐Ó♠ tr❛ ♥❤➢ q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥✱ t×♠ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ t❤✉é❝

{p0 , p1 , ..., pn−1 } ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳
❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✿

(xem [8])


✶✺
✶✿

♠ç✐ ♠ét i

❢♦r

✷✿

♠ç✐ ♠ét j = i

❢♦r

✸✿

pl ∈

✐❢

✻✿

❞♦

(pi , pj , pk )

t❤❡♥

pl ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✳

✼✿

❡♥❞ ✐❢

✽✿

❡♥❞ ❢♦r

✾✿

❡♥❞ ❢♦r

✶✵✿

❡♥❞ ❢♦r

✶✶✿
❈❤ó ý✿

❞♦

♠ç✐ ♠ét l = i = j = k

❢♦r

✺✿

❞♦

♠ç✐ ♠ét k = i = j

❢♦r

✹✿

❞♦

✳

❡♥❞ ❢♦r

❚❤✉❐t t♦➳♥ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❝➬♥ ❦✐Ó♠ tr❛ ý t❤ø ❤❛✐ ❝ñ❛ ❇æ ➤Ò

1.1 ✈× pi ❦❤➠♥❣

♣❤➯✐ ❧➭ ♠ét ➤Ø♥❤ ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ ♥➭♦ ❝➯ ✭✈× ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ➤➲ ❝❤♦ ❧➭ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✮✳

❱Ý ❞ô ✷✳✶✳

❚r♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ t❛ ❧✃② t❐♣ S := {p0 , p1 , p2 , p3 , p4 }✱ (tr♦♥❣ ➤ã

p0 (0; 3); p1 (1, −2); p2 (2; 3); p3 (1; 1); p4 (−3; 4))✳ ❚×♠ tr♦♥❣ sè ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ➤➲ ❝❤♦
❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳
❉ù❛ ✈➭♦ t❤✉❐t t♦➳♥

2.1.1 t❛ ❝ã q✉➳ tr×♥❤ t×♠ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠

❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ♥❤➢ s❛✉✿

− ❚➵✐ ➤✐Ó♠ p0 ✿ ❝➳❝ ➤Ø♥❤ p1 , p2 , p3 , p4 t➵♦ t❤➭♥❤ ❝➳❝ t❛♠ ❣✐➳❝✿
p0 p1 p3 ,

p0 p1 p4 ,

p0 p2 p3 ,

p0 p2 p4 ,

p0 p1 p2 ,

p0 p3 p4

+ ❳Ðt ❝➳❝ ➤✐Ó♠ p3 , p4 ✱ ✈× p3 , p4 ∈
/

p0 p1 p2 ♥➟♥ p3 , p4 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ❝➳❝ ➤✐Ó♠ p2 , p4 ✱ ✈× p2 , p4 ∈
/

p0 p1 p3 ♥➟♥ p2 , p4 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ❝➳❝ ➤✐Ó♠ p2 , p3 ✱ ✈× ➤✐Ó♠ p2 ∈
/
p3 ∈

p0 p1 p4 ♥➟♥ p2 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✱ ➤✐Ó♠

p0 p1 p4 ♥➟♥ p3 ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p4 ✱ ✈× p4 ∈
/

p0 p2 p3 ♥➟♥ p4 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p1 ✱ ✈× p1 ∈
/

p0 p2 p4 ♥➟♥ p1 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳


✶✻

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p2 ✱ ✈× p2 ∈
/

p0 p3 p4 ♥➟♥ p2 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

❉♦ ➤ã t➵✐ ➤✐Ó♠ p0 t×♠ ➤➢î❝ ➤✐Ó♠ p3 ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

− ❚➵✐ ➤✐Ó♠ p1 ✿ ❝➳❝ ➤Ø♥❤ p0 , p2 , p4 t➵♦ t❤➭♥❤ ❝➳❝ t❛♠ ❣✐➳❝ ❧➭✿

p1 p0 p2 ,

p1 p0 p4 ,

p1 p2 p4 ✳
+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p4 ✱ ✈× p4 ∈
/

p1 p0 p2 ♥➟♥ p4 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p2 ✱ ✈× p2 ∈
/

p1 p0 p4 ♥➟♥ p2 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p0 ✱ ✈× p0 ∈
/

p1 p2 p4 ♥➟♥ p0 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

❚➵✐ ➤✐Ó♠ p1 ❦❤➠♥❣ ❝ã ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

− ❚➵✐ ➤✐Ó♠ p2 ✿ ❝➳❝ ➤Ø♥❤ p0 , p1 , p4 t➵♦ t❤➭♥❤ ❝➳❝ t❛♠ ❣✐➳❝ ❧➭✿

p2 p0 p1 ,

p2 p1 p4 ,

p2 p0 p4 ✳
+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p4 ✱ ✈× p4 ∈
/

p2 p0 p1 ♥➟♥ p4 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p0 ✱ ✈× p0 ∈
/

p2 p1 p4 ♥➟♥ p2 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p1 ✱ ✈× p1 ∈
/

p2 p0 p4 ♥➟♥ p1 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

❚➵✐ ➤✐Ó♠ p2 ❦❤➠♥❣ ❝ã ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

− ❚➵✐ ➤✐Ó♠ p4 ✿ ❝➳❝ ➤Ø♥❤ p0 , p1 , p2 t➵♦ t❤➭♥❤ ❝➳❝ t❛♠ ❣✐➳❝ ❧➭✿

p4 p2 p0 ,

p4 p0 p1 ,

p4 p1 p2
+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p1 ✱ ✈× p1 ∈
/

p4 p2 p0 ♥➟♥ p0 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p2 ✱ ✈× p2 ∈
/

p4 p0 p1 ♥➟♥ p2 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

+ ❳Ðt ➤✐Ó♠ p0 ✱ ✈× p0 ∈
/

p4 p2 p1 ♥➟♥ p0 ❝❤➢❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥✳

❚➵✐ ➤✐Ó♠ p4 ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥➭♦ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳
❱❐② t×♠ ➤➢î❝ p3 ❧➭ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✱ ❝➳❝ ➤✐Ó♠
❝ß♥ ❧➵✐

{p0 , p1 , p2 , p4 } ❧➭ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

✷✳✶✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝➳❝ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥

▼➠ t➯ t❤✉❐t t♦➳♥✿

❇ë✐ ✈× ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ➤✐ q✉❛ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❞♦ ➤ã t❛ ❝ã t❤Ó t×♠ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥
♥❤ê ♠ét ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✱ ❝ò♥❣ ❝ã t❤Ó ❞ù❛ ✈➭♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥✿ ◆Õ✉


✶✼
❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✱ t❤× ♠ä✐ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛

S ♥➺♠ tr➟♥ ❤♦➷❝ ✈Ò ♠ét ♣❤Ý❛ ❝ñ❛

➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❝➵♥❤ ♥➭②✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ♠➠ t➯ t❤✉❐t t♦➳♥ ♥❤➢ s❛✉✿

− ▲✃② ❤❛✐ ➤✐Ó♠ pi , pj t✉② ý t❤✉é❝ ❤Ö ➤✐Ó♠ {p0 , p1 , ...., pn−1 } ➤➲ ❝❤♦✳
− ▲✃② pl = pi ✈➭ pj ✈í✐ pl ∈ {p0 , p1 , ...., pn−1 }

{pi , pj }✳

+ ◆Õ✉ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ pl ❝ï♥❣ t❤✉é❝ ❜➟♥ tr➳✐ ♥❣➷t ❤♦➷❝ tr➟♥ [pi , pj ] (❤♦➷❝
❜➟♥ ♣❤➯✐ ♥❣➷t ❤♦➷❝ tr➟♥

[pi , pj ] ) t❤× [pi , pj ] ❧➭ ♠ét ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥✳

+ ◆Õ✉ ❝ã ♠ét pl ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ ❤♦➷❝ tr➟♥ tr➟♥ [pi , pj ] ✭❤♦➷❝ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ t❤×✮
t❤×

[pi , pj ] ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❝➵❝❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥✳

❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝➳❝ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥✿

✶✿
✷✿
✸✿
✹✿

♠ç✐ ♠ét i

❢♦r

✼✿
✽✿
✾✿
❱Ý ❞ô ✷✳✷✳

❞♦

♠ç✐ ♠ét j = i

❢♦r

❞♦

♠ç✐ ♠ét l = i = j

❢♦r

❞♦

pl ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ ❤♦➷❝ tr➟♥ [pi , pj ]

✐❢

t❤❡♥

[pi , pj ] ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥✳

✺✿
✻✿

(xem [8])

❡♥❞ ✐❢
❡♥❞ ❢♦r
❡♥❞ ❢♦r

✳

❡♥❞ ❢♦r

❚r♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ t❛ ❧✃② t❐♣ S = {p0 , p1 , p2 , p3 , p4 }✱ (tr♦♥❣ ➤ã

p0 (−1; −1), p1 (2; −3), p2 (3; 3), p3 (−1; 4), p4 (−3; 1)). ❚×♠ ❝➳❝ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥
❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳
❉ù❛ ✈➭♦ t❤✉❐t t♦➳♥

2.1.2 t❛ ❝ã q✉➳ tr×♥❤ t×♠ ❝➳❝ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S

➤➢î❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ♥❤➢ s❛✉✿

− ❚➵✐ ➤✐Ó♠ p0 ✿ ❳Ðt ❝➳❝ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ [p0 , p1 ], [p0 , p2 ], [p0 , p3 ], [p0 , p4 ]✳
+ ❳Ðt p2 , p3 , p4 t×♠ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ ❝ñ❛ [p0 , p1 ]✱ ✈× p4 ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐
[p0 , p1 ] ♥➟♥ [p0 , p1 ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳


✶✽

+ ❳Ðt p1 , p3 , p4 ✱ t×♠ ➤✐Ó♠ ♥➭♦ ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ ❝ñ❛ [p0 , p2 ]✱ ✈× p1 ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥
tr➳✐

[p0 , p2 ] ♥➟♥ [p0 , p2 ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

+ ❳Ðt p1 , p2 , p4 ✱ t×♠ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ [p0 , p3 ]✱ ✈× p2 ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐
[p0 , p3 ] ♥➟♥ [p0 , p3 ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳
+ ❳Ðt p1 , p2 , p3 ✱ t×♠ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ [p0 , p4 ]✱ ✈× p2 ❦❤➠♥❣ ♥➺♠ ë tr➳✐
[p0 , p4 ] ♥➟♥ [p0 , p4 ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳
❉♦ ➤ã ❝➳❝ ❝➵♥❤

[p0 , p1 ], [p0 , p2 ], [p0 , p3 ], [p0 , p4 ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛

❝♦♥✈S ✳

− ❚➵✐ ➤✐Ó♠ p1 ✿ ❳Ðt ❝➳❝ ➤♦➵♥ [p1 , p2 ], [p1 , p3 ], [p1 , p4 ].
+ ❳Ðt p3 , p4 t×♠ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ ❝➵♥❤ p1 p2 ✳ ❑❤➠♥❣ t×♠ t❤✃② ❝➵♥❤ ❦❤➠♥❣
❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✱ ✈× p3 , p4 ë ❜➟♥ tr➳✐

[p1 , p2 ]✳

+ ❳Ðt p2 , p4 ✱ t×♠ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ [p1 , p3 ]✱ ✈× p2 ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ [p1 , p3 ]
♥➟♥

[p1 , p3 ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

+ ❳Ðt p2 , p3 ✱ t×♠ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ [p1 , p4 ]✱ ✈× p2 , p3 ë ❜➟♥ tr➳✐ [p1 , p2 ]
♥➟♥ ❦❤➠♥❣ t×♠ t❤✃② ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳
❉♦ ➤ã

[p1 , p2 ], [p1 , p4 ] ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

− ❚➵✐ ➤✐Ó♠ p2 ✿ ❳Ðt ❝➳❝ ➤♦➵♥ [p2 , p3 ], [p2 , p4 ]✳

+ ❱× p4 ë ❜➟♥ tr➳✐ [p2 , p3 ]✱ ♥➟♥ [p2 , p3 ] ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❝➵♥❤ ❦❤➠♥❣ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛
❝♦♥✈S ✳

+ ❱× p3 ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ [p2 , p4 ] ♥➟♥ [p2 , p4 ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛
❝♦♥✈S ✳

− ❚➵✐ ➤✐Ó♠ p3 ✿ ❳Ðt ➤♦➵♥ [p3 , p4 ]✱ ✈× ❦❤➠♥❣ ❝ã ➤✐Ó♠ ♥➭♦ ❦❤➠♥❣ ë ❜➟♥ tr➳✐ [p3 , p4 ]
♥➟♥

[p3 , p4 ] ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➵♥❤ ❦❤➠♥❣ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ t❤✃② ❝➵♥❤

❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❧➭✿

[p0 , p1 ], [p0 , p2 ], [p0 , p3 ], [p0 , p4 ], [p1 , p2 ], [p1 , p4 ], [p2 , p4 ]✳
❱❐② ❝➳❝ ❝➵♥❤ ❝ß♥ ❧➵✐

[p1 , p2 ], [p2 , p3 ], [p3 , p4 ] ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ✳

❙❛✉ ➤➞② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❜❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ ❤ä ❤÷✉ ❤➵♥ ➤✐Ó♠



tr t



t t ó q t

ú t sẽ ứ tt t tì ồ tự tế t
ọ r

1970 ột ộ r tt tó ó

q t ý tở sử ụ ể ự t ố ể ự

tì ợ ột ồ ó tể n ỉ tì số ợ ể
ự tế tí t

n

t tt t

tết

S t n ể ù tt t 2.1.2 tì ợ ột ự

[a, b] ủ S s S ở tr ủ [a, b] t ớ từ a ế b
ị rớ ết tì ột ự ủ S

[a1 , b1 ] ột ể v S ét ệ tí số s ủ t (a1 , b1 , v) ế
s > 0 tì S ở tr [a1 , b1 ] ó t a = a1 , b = b1 ợ ế
s < 0 tì S ở [a1 , b1 ] t t a = b1 b = a1 tr

ì
ố

b ớ ể ò ủ S tì ợ ột ể c S s ể

ủ

S ở tr t tr [b, c] õ r [b, c] ự ủ

S S ề tr ủ
ố ớ

[b, c] ế tụ q trì [b, c]

[a, b] t tì ợ ự [c, d] ủ S S

ề tr ủ

[c, d] trì ết tú s ữ ớ ì số ể

ữ ọ



ờ t q ự

[a, b] [b, c] t t ột ó ì ố ể ủ S
ớ ể


b tì t t ó ớ

t ề ợ ề ồ ồ

ó ỏ t q ớ ự [a, b] ừ ý ó

r r tt t

ó qù t

t t ó q t

tết

S = {p0 , p1 , p2 , ..., pn1 } sử t tì ột ự ủ

S ọ

p ột ể ự tứ ủ ó t ù

tr t ù ó ỏ t tì ợ ự tế t ủ
S
t t ó q t

ì ể t t ủ
t

xem

S sử i0 ỉ số ủ ó

i i0

t



r

ỗ ột j = i





í ó ợ ề ồ ồ từ
ồ trớ ớ [pi , pj ]



r

sử k ỉ số ủ ể t t ó ỏ t




tt



i=k

t

i = i0

[pi , pk ] ột ự ủ ồ


✷✶
◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✶✳

− ❖✉t♣✉t (❜❛♦ ❧å✐) ❝ã ❞➵♥❣ (3) ❤♦➷❝ (4) ✭①❡♠ ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✺✮✳
− ❚Ý♥❤ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❞ï♥❣ ❤➭♠ ✧❜➟♥ tr➳✐✧ ♠✃t ♥❤✐Ò✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥✱ ✈× ♥ã tÝ♥❤
❝❤♦ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ S ✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã ❞ï♥❣ ✧❣ã❝ ♥❤á ♥❤✃t✧ t❤× ♥❤❛♥❤ ❤➡♥
♥❤✐Ò✉✳
❱Ý ❞ô ✷✳✸✳

❚r♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ❧✃② t❐♣ S = {p0 , p1 , p2 , ..., p9 , p10 }✱ (tr♦♥❣ ➤ã✿

p0 (−1; 1), p1 (−1; −1), p2 (2; −2), p3 (1; −3), p4 (2; 2), p5 (3; 1), p6 (−2; −1),
p7 (2; 2), p8 (−3; 3), p9 (1; −1), p10 (2; 3)). ❉ï♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥

●ã✐ q✉➭ t➷♥❣ t×♠

❝♦♥✈S ✳
❉ù❛ ✈➭♦ t❤✉❐t t♦➳♥

2.2 t❛ ❝ã q✉➳ tr×♥❤ t×♠ ❝♦♥✈S ♥❤➢ s❛✉✿

− ❚×♠ ➤✐Ó♠ t❤✃♣ ♥❤✃t S ✿ p3 ❧➭ ➤✐Ó♠ t❤✃♣ ♥❤✃t✳
− ❚×♠ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ❝♦♥✈S ➤✐ q✉❛ p3 ✳

❍×♥❤ ✷✳✷
❳Ðt ❝➳❝ ➤♦➵♥

[p3 , p1 ], [p3 , p2 ], [p3 , p4 ], [p3 , p5 ], [p3 , p6 ], [p3 , p7 ], [p3 , p8 ], [p3 , p9 ]✱

[p3 , p10 ] ✈× p0 , p1 , p4 , p5 , p6 , p7 , p8 , p9 , p10 ë ❜➟♥ tr➳✐ [p3 , p2 ] ❧➭ ❝➵♥❤ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛
❝♦♥✈S ✳

− ❳Ðt t➵✐ ➤✐Ó♠ p2 ✿
❳Ðt t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❣ã❝ t➵♦ ❜ë✐

[p3 , p2 ] ✈í✐ [p2 , p0 ], [p2 , p1 ], [p2 , p4 ], [p2 , p5 ], [p2 , p6 ],