Một số luật số lớn và luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên

Trờng Đại học Vinh

Khoa toán
======

Phạm Thị Hạnh

Một số luật số lớn và luật mạnh số lớn
đối với dãy các biến ngẫu nhiên

khóa Luận tốt nghiệp

Mở đầu
Vinh, 2003
Luật số lớn (LSL) và luật mạnh số
lớn (LMSL)
là một trong những hớng
=
=
nghiên cứu quan trọng của lý thuyết xác suất cùng với các hớng: Định lý Giới
hạn trung tâm và Luật Lôga lặp.
Về phơng diện lý thuyết, việc tìm những điều kiện đặt lên dãy các đại lợng
ngẫu nhiên độc lập (Xn) để xảy ra LSL và LMSL đã đợc nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu.

1


Trong những công trình nghiên cứu thuộc hớng này, phải kể đến những công
trình có tính chất kinh điển của: Bernoulli, Poisson, Trebsep, Marcov, Liapunov,
Canteli, Konmogorov...

Khoá luận này không đi theo hớng tìm những điều kiện chung nhất có tính
chất lý thuyết đặt lên các dãy các đại lợng ngẫu nhiên (Xn) để xảy ra LSL hoặc
LMSL mà đi vào xem xét lớp các đại lợng ngẫu nhiên lấy những giá trị cụ thể
khác nhau và thỏa mãn một số điều kiện cụ thể nhất định về kỳ vọng, phơng
sai, hệ số tơng quan và các moment... để xảy ra LSL và LMSL.
Khoá luận này gồm có những nội dung chính sau:
Phần I: Đ1 và Đ2.
Giới thiệu định nghĩa LSL, LMSL và trình bày một số LSL, LMSL
có tính chất kinh điển nh là: Bernoulli, Trebsep,
Markov,
Konmogorov, Khinchin, Borel... và một số bất đẳng thức có liên
quan.

Phần II: Đ3
Trình bày một số lớp dãy các biến ngẫu nhiên tuân theo LSL và
LMSL từ Mệnh đề 6 - Mệnh đề 21.
Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS-TS. Phan Đức
Thành. Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - ngời đã
dành cho tôi sự hớng dẫn nhiệt tình, tận tâm trong quá trình học tập và nghiên
cứu để hoàn thành đề tài.
Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Điều khiển và các thầy
cô giáo trong Khoa Toán - Trờng ĐH Vinh đã nhiệt tình giúp đỡ và quan tâm
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành khoá
luận tốt nghiệp.

2


Vinh, th¸ng 5 n¨m 2003.
T¸c gi¶

3


Luật số lớn cùng với Định lý giới hạn trung tâm và Luật Lôga lặp là "3 viên
ngọc quý" của lý thuyết xác suất. Nói một cách ngắn gọn, luật số lớn là mệnh
đề khẳng định: trung bình số học của các biến số ngẫu nhiên hội tụ theo xác
suất. Luật số lớn đầu tiên của Jame Bernoulli đợc công bố năm 1713, về sau kết
quả này đợc Poisson, Trebsep, Markov, Liapunov mở rộng.
Luật mạnh số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến
ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn. Luật mạnh số lớn đầu tiên đợc Borel phát
hiện năm 1909 và đợc Kolmogorov hoàn thiện năm 1926.

Phần I:
Luật số lớn và luật mạnh số lớn
Đ1. Định nghĩa luật số lớn và luật mạnh số lớn.
1.1. Định nghĩa luật số lớn.
Ta nói dãy các biến ngẫu nhiên 1, ..., n tuân theo luật số lớn nếu có thực
dãy số a1, ..., an sao cho:
1 n

1 n
Lim P k a k > = 0
n
n k =1
n k =1


với cho trớc.

1.2. Định nghĩa luật mạnh số lớn.
Ta nói dãy các biến ngẫu nhiên 1, ..., n tuân theo luật mạnh số lớn, nếu:
1 n

1 n

Lim P k E k 0 = 1 .
n
n k =1

n k =1

Đ2. Một số luật số lớn và luật mạnh số lớn đối với dãy các
biến ngẫu nhiên độc lập.

2.1. Luật số lớn Bernoulli.

4


Nếu pn là tần suất xuất hiện sự kiện A trong dãy n phép thử độc lập Bernoulli
và p(A) = p trong mỗi phép thử, thì với > 0 ta có:
1 n

Lim P k p = 1 .
n
n k =1

2.2. Luật số lớn dạng Trebsep.
Nếu các biến ngẫu nhiên 1, ..., n ... độc lập, có phơng sai giới nội đều bởi

một hằng số c > 0 nào đó. Thì với > 0 cho trớc ta có:
1 n

1 n
Lim P k E k > = 0 .
n
n k =1
n k =1

2.3. Luật số lớn dạng Khinchin.
Nếu các biến ngẫu nhiên 1, ..., n độc lập, cùng phân phối, có kỳ vọng hữu
hạn thì:
1 n

Lim P k E k > = 0 .
n
n k =1

2.4. Luật số lớn dạng Maccốp.
Nếu các biến ngẫu nhiên 1, ..., n ... có phơng sai thỏa mãn điều kiện
1 n
Lim 2 D k = 0 thì với > 0, ta có:
n n
k =1
1 n

1 n
Lim P k E k > = 0 .
n
n k =1

n k =1

2.5. Luật mạnh số lớn dạng Borel.
Giả sử ta có n phép thử Bernoulli độc lập, p là xác suất xuất hiện biến cố
trong phép thử đó.

5


Gọi k là số lần xuất hiện trong phép thử k. Khi đó dãy 1, ..., n tuân theo
luật mạnh số lớn, tức là:
1 n


P k p 0 = 1 khi n .

n k =1

* Bất đẳng thức Kolmogorov:
Nếu các biến ngẫu nhiên 1, ..., n ... độc lập, có phơng sai hữu hạn thì
> 0 cho trớc, ta có:

P max
k n

k

k

j =1

j =1

j E j


1
2





n

D k

k =1

2.6. Luật mạnh số lớn Kolmogorov.
Dãy các biến ngẫu nhiên 1, ..., n độc lập, thỏa mãn điều kiện




k =1

D k
k

2

< + thì tuân theo luật mạnh số lớn.

2.7. Tiêu chuẩn cần và đủ để dãy các biến ngẫu nhiên tuân theo luật
mạnh số lớn.
Dãy các biến ngẫu nhiên 1, ..., n độc lập, cùng phân phối tuân theo luật
mạnh số lớn khi và chỉ khi tồn tại kỳ vọng, tức là:
E k = a < +
Trớc khi trình bày một số luật số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên độc
lập, chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức tơng tự nh bất đẳng thức Trebsep.

Mệnh đề 1: Giả sử là biến ngẫu nhiên và E < + ( > 1, E = 0 ) . Khi

đó ta có:
P{ > }

E


6


1 nếu A
Chứng minh: Với IA là hàm chỉ tiêu của tập A, I A =
0 nếu A
Ta có:

= .I( ) + .I(> )

= .I( ) + .I(> )



.I(> ) .I(> )





.I(> )

(vì > )

Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc:
E E . I ( > ) = .P ( > )
P( > )



E


Mệnh đề 2: Giả sử là biến ngẫu nhiên sao cho tồn tại Eea (a > 0).
a
Khi đó ta có: P{ } Ee .
e a

Chứng minh:
Ta có:

= .I( ) + .I(< )



ea = ea.I( ) + ea.I(< )



ea ea.I( ) ea.I( )

Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc:
Eea ea.EI( ) = ea.P( )


Ee a
P( )
e a
7

(a > 0)


Mệnh đề 3: Giả sử f(x) là số liên tục tăng, dơng và tồn tại Ef( - E).
Khi đó ta có: P{ E }

Ef ( E

).

f ()

Chứng minh:
Ta có:
f( - E) = f( - E).I( - E ) + f( - E).I( - E< )
f( - E) f( - E).I( - E ) (vì f dơng)
Vì f là hàm liên tục, tăng nên f( - E) f()
Do đó:

f( - E) f().I( - E ).

Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc:
Ef( - E) f().EI( - E ) = f().P( - E )


P( - E )

Ef ( E

)

f ( )

Mệnh đề 4: Giả sử f(x) là hàm số liên tục, đơn điệu tăng thực sự trên
[0; +),

f ( x ) < + . Khi đó, điều kiện cần và đủ để
f(0) = 0 và Sup

x 0

Lim P( n ) = 0 là Lim Ef ( n ) = 0 .
n

n

Chứng minh:
+ Giả sử Lim Ef ( n ) = 0 , ta chứng minh Lim P( n > ) = 0
n

n

Theo mệnh đề 3, ta có:
P(n )

Ef ( n

)

f ( )
8


P( n ) = 0.
Theo giả thiết Efn 0 khi n . Do đó Lim
n
P( n ) = 0, ta chứng minh Lim Ef ( n ) = 0
+ Giả sử Lim
n

n
Ta có:

f(n) = f(n).I(n ) + f(n).I(n< )



f(n) - f(n).I(n< ) = f(n).I(n )

Vì f là hàm liên tục, đơn điệu tăng thực sự trên [0; +), f(0) = 0
Đặt c = Sup f ( x ) < + , ta đợc:
x 0



I(n )

1
1
f ( n ) - f ( n ) .I(n< )
c
c

I(n )

1
1
f ( n ) - f ( )
c
c

Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc:
EI(n )

1
1
Ef ( n ) - f ()
c
c

Vì f là hàm liên tục, f(0) = 0 nên với > 0 đủ bé thì f() cũng đủ bé.
P( n ) = 0 suy ra Lim Ef ( n ) = 0
Do vậy Lim
n
n

(đpcm).

Mệnh đề 5: Giả sử { n } n1 là các dãy biến ngẫu nhiên giới nội đều. Khi đó
Lim P{ n > } = 0 khi và chỉ khi Lim E ( n ) 2 = 0 , > 0 cho trớc.
n

n

Chứng minh:
2
+ Giả sử Lim E ( n ) = 0 . Ta chứng minh Lim P{ n > } = 0
n

n

Ta có:

n - 2 = n - 2.I(n - > ) + n - 2.I(n - )

9




n - 2 n - 2.I(n - > ) 2.I(n - > )

Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc:
En - 2 2EI(n - > ) = 2. P{ n > } 0
2
P{ n > } = 0.
Theo giả thiết Lim E ( n ) = 0 nên suy ra Lim
n
n

2
+ Giả sử Lim P{ n > } = 0, ta chứng minh Lim E ( n ) = 0
n

Ta có:

Từ đó:


n

n - 2 = n - 2.I(n - > ) + n - 2.I(n - )
n - 2 n - 2.I(n - > ) + 2
En - 2 c.EI { n > } + 2
En - 2 c.P { n > } + 2

P{ n > } = 0 nên Lim E ( n ) 2 = 0 .
Vì > 0 bé tùy ý và Lim
n
n

10


Phần II:
Đ3. Một số lớp dãy các biến ngẫu nhiên
tuân theo luật số lớn và luật mạnh số lớn.

Mệnh đề 6: Giả sử { n } n1 các dãy biến ngẫu nhiên sao cho: n phân phối
đồng thời của 1, ..., n ... đều xác định và Dk < c < +, cov(k, j) 0, k
j. Khi đó { n } n1 tuân theo luật số lớn.
Chứng minh:
áp dụng bất đẳng thức Trebsep cho dãy biến ngẫu nhiên { k } có phơng sai
hữu hạn. Với mọi > 0 cho trớc, ta có:
1 n
1 n
P k E k
n k =1
n k =1

1 n
n
D k
D k

n k =1 =
k =1
>
2

n2 2


Mặt khác ta có:
n

D k =
k =1

n

k

k =1

+

cov( k , j )
n

k , j =1
k j



n

D k

k =1

n.c

(theo giả thiết, cov(k, j) 0, k j, Dk c < +)
Nên ta có:
1 n

1 n
n.c
c
P k E k > 2 2
0 khi n
n k =1
n 2
n k =1
n
Vậy

1 n

1 n
Lim P k E k > = 0 , tức là { n } n1 tuân theo
n
n k =1
n k =1


luật số lớn Trebsep.

11


Mệnh đề 7: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn Dk < c và
hệ số tơng quan

kj 0 khi k - j +. Khi đó { n } n1 tuân theo luật số

lớn.
Chứng minh:
Xét

n
1
1
1 n
D k = 2 D k = 2
n
n k =1 n k =1

1

n2

n

n

kj . k . j

( )

k =1 j =1

trong đó 2k = Dk . Vì



1
n2

n

cov( k , j )
n

n

=

k =1 j =1
n

kj . k . j

k =1 j =1

c
n2

n

n

kj

k =1 j =1

kj 0 khi k - j 0 nên với mọi > 0, tồn tại

một số tự nhiên N sao cho k,j: k - j > N thì kj < .
Ma trận các hệ số tơng quan

kj có nìn = n2 phần tử. Chỉ với những phần

tử mà k - j > N thì kj < nên số phần tử màkj > có không vợt quá
n.N. Các phần tử khác đều có trị số tuyệt đối bé hơn .
Vì kj 1, nên:
1
n2
Tức là

n

n

kj

k =1 j =1



1
1 2
N
.
nN
+
(
n

Nn
)

=

+
(1 )
n
n2
n2

1 n
Lim D k = 0 . Vậy { n } n1 tuân theo luật số lớn Maccốp.
n n k =1


Mệnh đề 8: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên sao cho k chỉ có thể
phụ thuộc vào k-1 và k+1 nhng độc lập với các i khác và phơng sai của các k
giới nội đều thì dãy đó tuân theo luật số lớn.
Chứng minh:
áp dụng bất đẳng thức Trebsep, ta có:
12


1 n
1 n
P k - E k
n k =1
n k =1


1
n
> 2 2 D k
n
k =1


n
n
D k = E k

k =1
k =1

2

(*)

Mặt khác

=

n 2
E k
=
k =1

n

n 1

k =1

k =1

D k +

( E k k +1 E k E k +1 )

+

n

( E k k 1 E k E k 1 )

+

k =2

Các số hạng khác triệt tiêu vì giả thiết độc lập của các biến ngẫu nhiên có
chỉ số cách nhau từ 2 trở lên.
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki-Svac, ta có:
E k k +1 E k E k +1


=

E ( k E k ) ( k +1 E k +1 )

E ( k E k ) 2 E( k +1 E k +1 ) 2 =

D k D k +1 < c


(const )

Tơng tự:
E k k 1 E k E k 1
Vậy:

< c

n
D k nc + 2(n 1)c = (3n 1)c
k =1

Thế vào (*) ta có:
1 n
1 n
P k - E k
n k =1
n k =1



1
> 2 2 (3n 1)c 0 khi n
n


1 n
1 n
Lim P k - E k
n
n k =1
n k =1

Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.
13

> = 0



Mệnh đề 9: Giả sử dãy các biến ngẫu nhiên 1, ..., n độc lập và Ek1+ < c
(0 < < 1, 0 < c) khi đó dãy 1, ..., n tuân theo luật số lớn.
Chứng minh:
Giả sử N là một số cố định sẽ chọn sau và Ek = 0, k . Đặt:
0 nếu k > N
;
k nếu k N

k =

k = k + k , Ek + Ek = 0 = Ek

Vậy:

Ek = -Ek = k



1
P
n


4
( k - k ) 2 2 2
n

k =1
n

n

D k

k =1

E 2k N1-E (k1+) N1-(Ek)1+ c.N1-

Nhng

n

D( k ) =
k =1

Do đó:

1
P
n
1
P
n

Mà:

k nếu k > N
k =
0 nếu k N

n

D k

k =1

n

( k - k )

k =1
n

k

k =1

cnN1-

4c.N 1


2
n 2

1
= P
2
n

n

( k - k) +

k =1


1
+ P
2
n

1
P
n

( k - k )

1
P
n

1
( k + k ) 2 P n

1


n

1

n

14

n

n

( k k )

k =1

( k + k )
1

n

k
1

1

2 n






.
2
n



1



k




1
P
n

n

k >
1

n

P{ k



k =1


c
n

P
k 0
2 N
1


> N}

cn
N 1+

Vì Nk = NEk Ek1+ c k <
n
2

Chọn N =
Ta có:

c.N
N

1
P
n

n

k
1



4c
2
.c 0 (n )
1 1+ +
2 n

n +1

Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.

Mệnh đề 10: Giả sử

{ n } n1

dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, trong đó

k nhận giá trị:
0

ak
2a k

...
2k + 1
2k + 1

1
1
. Khi đó Lim 2
n n
2k + 1
tuân theo luật số lớn.
cùng xác suất

n

a 2k

...

k.a k
2k + 1

= 0 là điều kiện đủ để dãy 1, ..., k

k =1

Chứng minh:
Ta có:

Ek = 0
Dk = E k - (Ek) = E k
2

2

2

15

2a 2k (1 + 2 2 + ... + k 2 )
=
=
(2k + 1) 3


a 2k .k (k + 1)(2k + 1)
a 2k .k (k + 1)
=

3(2 k + 1)3
3(2k + 1) 2

=

Theo tiêu chuẩn Maccốp, để dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn thì điều kiện
là: Lim
n

1
n2

n

D k

= 0.

k =1

1
n2

Ta xét:

n

D k =

k =1

1
n2

n

a 2k

k =1

k (k + 1)
1
2
2
3.(2k + 1)
n

n

a 2k

k =1

k (k + 1)
k 2 +k
=
< 1
Vì k N thì
3.(2k + 1) 2
3.(2 k + 1) 2

Suy ra:

Lim
n

1
n2

n

D k Lim

k =1

n

n

1
n2

a 2k

= 0.

k =1

n

Vậy điều kiện đủ để dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn là

Mệnh đề 11:

{

}

P n = n =

k =1
n n 2

Lim

1
1
(n 1) với < . Khi đó { n } n1 tuân theo luật số lớn.
2
2

En = n.

1
1
- n. = 0
2
2

Dn = E2n - (En)2 = (n)2.
Với <

= 0.

Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với

Chứng minh:
Ta có:

a 2k

1
2 < 1 1 - 2 > 0
2

16

1
1
+ (-n)2. = n2
2
2


áp dụng bất đẳng thức Trebsep, ta có:
1 n
P k
n k =1


1

2 2
n



1 n
Vậy P
k
n
k =1


{

}

k =1

=

1
2 2
n

1
1
.n.n 2 = 12 2
n
n

2 2


0,


Mệnh đề 12: Giả sử
P n = ln k =

n

D k

{ n } n1

n

k 2

k =1

0 khi n

tức là { n } n1 tuân theo luật số lớn.
là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với

1
. Khi đó dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.
2

Chứng minh:
E k =

Ta có:

ln k .

1
2

ln k .

1
= 0
2

Dk = E2k - (Ek)2 = ln k
n

Xét

D k
k =1
2

n

n

=

D k

k =1

n2

n

=

ln k

k =1

n2

ln( n !)
ln n
ln n n
=

=
0 khi n
n
n2
n2
1
Theo quy tắc Lopitan
.

ln x
Lim
= Lim x = 0
x x
x x
Với mọi dãy xn (n ) thì Lim
x
ln n
= 0
n n

Lấy xn = n, suy ra Lim

17

ln x n
= 0
xn


n

Vậy

Lim
n

D k
k =1
2

n

= 0

. Theo luật số lớn Maccốp { n } n1 tuân theo luật số lớn.

Mệnh đề 13: Giả sử

{

{ n } n1

là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho

}

P k = 2 k = 2 -(2 k +1) ; P{ k = 0} = 1 - 2 -2 k . Khi đó dãy { n } n1 tuân theo
luật số lớn.
Chứng minh:
Ta có bảng phân phối của biến ngẫu nhiên k là:
k
Pk

-2k

0

2k

2-(2k+1)

1-2-2k

2-(2k+1)

Từ đó ta có Ek = 0
Dk = 22k . 2-(2k+1) + 22k . 2-(2k+1) = 2-1 + 2-1 = 1
n

Xét

Lim
n

D k
k =1
2

n

= Lim
n

.
n
1
=
Lim
=

0
n n
n2

Vậy theo luật số lớn Maccốp, dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.
Mệnh đề 14: Giả sử

{ n } n1

là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, n nhận

các giá trị: -n , -(n-1), . . ., -1, 0, 1, . . ., (n-1), n
Và:

2
1
1
1
P{ n = 0} = 1 - 1 + 3 + 3 + . . . + 3
3
2
3
n
P{ n = k} =

2
, k = 1, n
3k 3

Khi đó dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.

Chứng minh:
Ta có bảng phân phối của biến ngẫu nhiên là:

18


n
Pn

-n

-(n-1)

-1

0

1

(n-1)

n

2
3n 3

2
3(n - 1)3

2

3

P1

2
3

2
3(n - 1) 3

2
3n 3

n
E k = 0
k =1

Ta có:

n
D k =
k =1

n



k =1

2k 2

=
3k 3

n

2

3k

k =1

< (n + lnn)

2
3

Vì xét dãy { n } n1 ta thấy:
1 1
1
1
2

1
1
k
n 1
n


1 = n < n + lnn

k =1 k
1
Xét Lim

1 n
2
2
2 ln n
2

D k Lim + 2 ln n = Lim
+ Lim
= 0
2
n 3n
n 3n
n 3n 2
n k =1
3n


Vậy Lim

n
1
D k = 0 . Dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Maccốp.
n 2 k =1

n

n

Mệnh đề 15: Giả sử

{ n } n1

dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, trong đó n

nhận giá trị n với xác suất bằng

1
nếu n là số chính phơng và nhận giá trị
2

19


1
1
trong các trờng hợp khác. Khi đó dãy { n } n1 tuân theo
n với xác suất là
2
2
luật số lớn.


Chứng minh:
1

2

n
nếu
n
=
k
với
p
=

2
n =
1 nếu n k 2 với p = 1

2
2n

Ta có:

En = 0
n nếu n = k 2

D n = 1
2 n nếu n k
2
Xét Lim
n

1
n2

n

D k

k =1

Ta thấy:
1
n2

=



n 1
1 [ n ] 2
1 n

D k 2 k + 2 k 2
n k =1
n
k =1
k =1 2


k i2

[ ] ([ n ] + 1) (2[ n ] + 1) + 1

n

[ n ] ([ n ] + 1) (2[ n ] + 1) +

6



1
0 khi n
n2

6n 2

n

Vậy

Lim
n

D k

k =1

n2

= 0

Mệnh đề 16: Giả sử

. Dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Maccốp.

{ n } n1

là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập nhận các

giá trị -n, 0, n ( > 0) với xác suất tơng ứng:
a)

1
1
1
,
1
,
2n 2
n2
2n 2
20


b)

1
1
1
, 1 - n-1 , n
n
2

2
2

Khi đó dãy trên tuân theo luật số lớn.
Chứng minh:
a) Ta có: En = 0
Dn =

1 2 2
1 2 2
.
n

+
.n = 2 > 0
2
2
2n
2n

Vậy Dn = 2 > 0 là giới nội đều nên dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn
Trebsep.

b) Ta có: En = 0
2n 2 2
n2 2
Dn =
= n-1
2n
2

1 n
2
1 n
D k = 2 D k = 2
n 1
n
n k =1

Với các giá trị của k mà

n



k =1

k2
2 k 1

2
k 1
<
, thì
log 2
logk

k2
< 1 . Vì vậy

2 k 1

k2
k 1 n + n 0 , với n0 là một số nguyên dơng cố định.
k =1 2
n

2 2
1 n ( n +n 0 ) 2
D k
<
0 khi n
2
n
n
n
k =1
Vậy dãy tuân theo luật số lớn.

21


{ n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

Mệnh đề 17: Giả sử
phối: P{ n = k} =

c
, k = 1, 2, 3... Khi đó dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.
k3

Chứng minh:
c
En = k. 3 =
k =1 k

c
< + k = 1, 2, ...
2
k =1 k

n

Ta có:

n



Vậy theo luật số lớn Khinchin, dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.
Mệnh đề 18: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có hàm mật độ




p( x ) =

0

nếu x -a n

an + x
nếu - a n < x 0
a 2n

với an = n , <

an x
nếu 0 < x a n
a 2n
0

1
2

nếu x > a n

Khi đó dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.
Chứng minh:
+

Ta có:

an

an + x

En = xp( x )dx = x. 2 .dx +
an

an
+

0

x.
0

an + x
Dn = x p( x )dx = x . 2 .dx +
an

an
0

2

2

an

an x
a 2n
x . a 2 .dx = 6
0
n

n

Xét

Lim
n

D k

k =1

n

2

= Lim
n

1
6n 2

n

a 2k = Lim
n

k =1

22

1
6n 2

n

k 2

k =1

an x
.dx = 0
a 2n
2


Mặt khác

<

Vậy Lim
n

1
6n 2

1
k <2

6n
k=

1
n

2

n+
1
x 2
.dx


1

1
+
1 (n +
1) 2
1
<
=2

2
(
2
1
)
6n
1)

+ 6 n (2

+

(n + 1)2 +1
1
0 khi n 0 (vì < )
2
2
6n (2 + 1)
1
n2

n

D k

k =1

= 0 . Theo luật số lớn Maccốp, dãy { n } n1 tuân theo

luật số lớn.
Mệnh đề 19: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối: P{ n = k} =

c
, k 2, c-1 =
2 2
k ln k

1
. Khi đó dãy { n } n1 tuân
2 2
k
ln
k
k =1



theo luật số lớn.
Chứng minh:


Xét Ek = k
k =2

c
=
k 2 ln 2k



c
< +
2
k
l
n
k

k =2






c
d (ln x )
Vì
hội tụ
dx = c
2
2
x
ln
x
ln
x
0
0

Vậy theo định lý Khinchin, dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn.
Mệnh đề 20: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có phơng
sai hữu hạn, { a n }

n

n 1

là dãy số dơng bị chặn. Gọi Sn =

k

k =1

{ a n S n } n 1 tuân theo luật số lớn.
Chứng minh:
Gọi Xn = a1S1 + a2S2 + + anSn =
= (a1 + a2 + + an) 1 + (a2 + a3 + + an) 2 + + ann
23

. Khi đó dãy


= 1 + 2 + + n
Với k = (ak + + an) k
Ta thấy k (k = 1, 2, , n) độc lập.
Dk = (ak + + an) Dk = (ak + + an)2 2
n

DXn =

Dk

k =1

n

=

k =1

2

(ak + ... + an )

2

c . n (Với c =
2

2

n

ak

)

k =1

2 2
1
Xét D( X n ) = 1 DX n c 0 khi n .
n
n
n2

1
Hay lim D( X n ) = 0
n
n
Vậy { a n S n }

n 1

tuân theo luật số lớn Maccôp

Mệnh đề 21: Giả sử
D{ n } c

{ n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, thỏa mãn

n
, n > 2 thì { n } n1 tuân theo luật mạnh số lớn.
ln 2 n

Chứng minh:
Ta có:

D{ }
2n
n =1 n

c

n =1


1
1
=
c
< (theo Mệnh đề 19)

2
n ln 2 n
n
ln
n
n =1

Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật mạnh số lớn Kolmogorov .

24


Mục lục
Trang
Mở đầu

Phần I:

Luật số lớn và luật mạnh số lớn

1
3

Đ1. Định nghĩa luật số lớn và luật mạnh số lớn.

3

Đ2. Một số luật số lớn và luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu
nhiên độc lập.

4

Phần II:
Đ3. Một số lớp dãy các biến ngẫu
mạnh số lớn.
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề
Mệnh đề

Mệnh đề
Mệnh đề

nhiên tuân theo luật số lớn và luật

10

6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

10
11
11
13
14
15

16
16
18
19
20
21
21
23
23
24

25