Môđun hữu hạn sinh trên vành chính và ứng dụng luận văn thạc sĩ

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN MẠNH TIẾN

MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH CHÍNH V À ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An – 12.2011


2

Mục lục
Trang
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Sự phân tích các nhóm xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Môđun tự do và nhóm aben tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Sự phân tích của nhóm aben hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2. Môđun trên vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1. Môđun tự do trên vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Môđun hữu hạn sinh trên vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38


3

Mở đầu
Mỗi nhóm aben có cấu trúc tự nhiên là một ¢ – môđun. Mặt khác vành
số nguyên ¢ là một vành chính. Vì vậy lý thuyết môđun trên vành chính có
thể áp dụng cho các nhóm aben. Tuy nhiên, do những đặc tính của vành cơ sở
¢ , ta có thể thu được những mô tả sâu sắc hơn cho lớp các môđun trên nó.

Cũng có thể nói khái niệm môđun là một mở rộng của khái niệm nhóm aben
và khái niệm không gian véctơ.
Dựa vào các tài liệu tham khảo, Luận văn trình bày một số kết quả về
phân tích nhóm aben hữu hạn sinh và một số kết quả về cấu trúc các môđun
trên vành chính. Lý thuyết về phân tích nhóm aben hữu hạn sinh có thể được
trình bày như một hệ quả của lý thuyết môđun trên vành chính. Tuy nhiên,
trong luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả về nhóm aben trước.
Chúng ta sẽ thấy rằng những kỹ thuật của nó có thể soi sáng cho những kỹ
thuật của lý thuyết môđun trên vành chính. Lý thuyết môđun trên vành chính
kế thừa được nhiều thành quả của lý thuyết nhóm aben. Các kết quả về
môđun trên vành chính trình bày trong luận văn được nhìn nhận từ các kết
quả về nhóm aben đã trình bày trước đó. Từ các kết quả về môđun trên vành
chính, chúng ta có thể nhận lại được các kết quả về nhóm aben hữu hạn sinh.
Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày lại
một số kết quả về nhóm aben hữu hạn sinh và một số kết quả về môđun trên
vành chính để từ đó thấy được lý thuyết nhóm aben hữu hạn sinh có thể được
trình bày độc lập nhưng cũng có thể được suy ra từ lý thuyết môđun trên vành
chính.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia

làm hai chương.


4

Chương 1: Nhóm aben hữu hạn sinh. Trong chương này, chúng tôi sẽ
trình bày các kết quả về cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh. Kết quả chính là có
thể biểu diễn mỗi nhóm aben hữu hạn sinh một cách duy nhất dưới dạng tổng
trực tiếp của những nhóm xyclic không phân tích được.
Chương 2: Môđun trên vành chính. Trong chương này chúng tôi trình
bày về môđun trên vành chính. Các kết quả trong chương này được nhìn nhận
từ các kết quả về nhóm aben đã trình bày ở Chương 1. Mặt khác từ các kết
quả ở chương này, chúng ta có thể suy ra các kết quả tương ứng ở Chương 1
như những hệ quả.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại học
Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng
dẫn tận tình, chu đáo trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Cũng nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.
TS. Ngô Sỹ Tùng; thầy PGS.TS. Lê Quốc Hán; thầy PGS.TS. Nguyễn Thành
Quang; các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Vinh, các bạn bè
trong lớp cao học Toán 17 – Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã có
những ý kiến đóng góp quý báu để tác giả hoàn thành luận văn này.
Mặc dù hết sức cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những sai sót.
Tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên.

Nghệ An, tháng 12 năm 2011
Tác giả

5

Chương 1. Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về cấu trúc
nhóm aben hữu hạn sinh, tức là lớp nhóm aben với một hệ sinh hữu hạn. Kết
quả chính là có thể biểu diễn mỗi nhóm aben hữu hạn sinh một cách duy nhất
dưới dạng tổng trực tiếp của những nhóm xyclic không phân tích được.

1.1. Sự phân tích các nhóm xyclic
1.1.1. Định nghĩa. Một nhóm aben X được gọi là không phân tích được nếu
X không thể biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm
thường.
1.1.2. Mệnh đề. Nhóm cộng ¢ các số nguyên là không phân tích được.
Chứng minh. Giả sử có biểu diễn ¢ = X ⊕ Y với X, Y là những nhóm con
không tầm thường của ¢ . Khi đó tìm được các phần tử khác không a ∈ X và
b ∈ Y . Vì X, Y là những nhóm con của ¢ , nên ab ∈ X ∩ Y . Nhưng điều này
trái với điều kiện X ∩ Y = { 0} . Vậy ¢ là nhóm không phân tích được.



1.1.3. Mệnh đề. Nếu p là một số nguyên tố và m là một số nguyên dương,
thì nhóm cộng ¢ pm các số nguyên môđun pm là không phân tích được.
Chứng minh. Giả sử ¢ pm = X ⊕ Y là một phân tích của ¢ pm thành tổng
trực tiếp của những nhóm con không tầm thường. Khi đó tồn tại hai số
nguyên dương s, t nhỏ hơn m sao cho X , Y là những nhóm xyclic được sinh
s t
theo thứ tự bởi p , p . Bây giờ tùy theo s ≤ t hay s > t mà ta sẽ có X ⊇ Y hay
X ⊂ Y . Và như vậy thì điều kiện X ∩ Y = { 0} không thể xảy ra, mâu thuẫn. 

1.1.4. Định nghĩa. Một nhóm xyclic có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố
được gọi là nhóm xyclic nguyên sơ.


6

1.1.5. Định lí. Giả sử số nguyên n > 1 có phân tích tiêu chuẩn là
m
¢ ≅ ¢ m ⊕ .... ⊕ ¢ m
m
pr r .
n = p 1.... pr r . Khi đó n
p 1
1
1
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo r. Với r = 1 , định lí hiển nhiên
m
m
m
đúng. Giả sử r > 1 . Đặt p = p 1.... p r−1 và q = pr r . Khi đó do n = pq và
1
1
p, q nguyên tố cùng nhau, nên ¢ n ≅ ¢ p ⊕ ¢ q . Theo giả thiết quy nạp

¢ p ≅ ¢ m ⊕ .... ⊕ ¢ m
¢ n ≅ ¢ m ⊕ .... ⊕ ¢ m ⊕ ¢ m
pr r . 
p 1
p r−1 . Vậy
p 1

p r−1
1
1
r−1
r−1
1.1.6. Nhận xét. Ta biết rằng, chỉ có hai loại nhóm xyclic là nhóm xyclic cấp
vô hạn (mọi nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số
nguyên ¢ ) và nhóm xyclic cấp hữu hạn (mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp m đều
đẳng cấu với nhóm cộng ¢ m các số nguyên môđun m). Từ những kết quả trên
ta suy ra rằng chỉ có hai loại nhóm xyclic khác 0 không phân tích được là
nhóm nhóm xyclic vô hạn và nhóm xyclic nguyên sơ. Mọi nhóm nhóm xyclic
hữu hạn khác 0 đều phân tích được thành tổng trực tiếp của những nhóm
xyclic nguyên sơ.
1.2. Môđun tự do và nhóm aben tự do
1.2.1. Định nghĩa. (i) Cho M là một R − môđun. Một tập { xi } i∈I , xi ∈ M
được gọi là một hệ sinh của M nếu với mọi phần tử x ∈ M đều là tổ hợp
tuyến tính trên R của hệ { xi } i∈I , nghĩa là với mọi x ∈ M thì
x = ∑ ai xi , a ∈ R, J ⊆ I , J < ∞ .
i
i∈J

(ii) Nếu M có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M được gọi là
môđun hữu hạn sinh.
1.2.2. Định nghĩa. Tập con S của một R − môđun M được gọi là một tập


7

độc lập tuyến tính, nếu từ mỗi đẳng thức r1 x1 + L + rn xn = 0 với x1 , K , xn ∈ S
đôi một khác nhau, ta rút ra r1 = L = rn = 0 . Nếu trái lại thì S được gọi là một

tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu môđun M là môđun 0 hoặc M có một hệ sinh
S độc lập tuyến tính thì nó được gọi là môđun tự do và tập S được gọi là một
cơ sở của M .
1.2.3. Ví dụ. 1. Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở { 1} .
Tổng quát hơn, với I là một tập chỉ số bất kì, R ( I ) là một R − môđun tự do
với cơ sở { ei | i ∈ I } , trong đó ei có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần
còn lại bằng 0. Cơ sở này gọi là cơ sở tự nhiên hay cơ sở chính tắc của R ( I ) .
2. Mỗi một không gian vectơ trên một trường K đều là một K − môđun
tự do, vì nó luôn có cơ sở.
Ta biết rằng mỗi nhóm aben là một ¢ - môđun, vì vậy ta có định nghĩa
sau đây.
1.2.4. Định nghĩa. Cho G là một nhóm aben. Khi đó:
(i) G được gọi là nhóm aben tự do nếu G là một ¢ - môđun tự do.
(ii) Mỗi cơ sở của ¢ - môđun tự do G được gọi là một cơ sở của nhóm
aben G.
Hai cơ sở bất kỳ của một không gian vectơ có cùng lực lượng, điều đó có
còn đúng đối với môđun tự do hay không, ta có mệnh đề sau.
1.2.5. Mệnh đề. Nếu M là một môđun tự do trên vành giao hoán R thì hai cơ
sở bất kỳ của M có cùng lực lượng.
Chứng minh. Giả sử m là một iđêan cực đại của R. Khi đó R/m là một
trường, và môđun thương M/mM là một R/m-môđun, tức là một R/m-không

{ }

gian vectơ. Bây giờ giả sử xi i∈I là một cơ sở của M. Với mỗi a ∈ R và
x ∈ M , kí hiệu ảnh của chúng trong R/m và M/mM tương ứng là a và x . Vì


8

hai cơ sở bất kì của một không gian vectơ có cùng lực lượng nên để chứng

{ }

minh Định lý, ta chỉ cần chứng tỏ rằng xi i∈I là một cơ sở của R/m-không

{ }

gian vectơ M/mM. Rõ ràng xi i∈I là một hệ sinh của M/mM, ta còn phải
chứng minh nó độc lập tuyến tính. Giả sử có đẳng thức ∑i∈I ai xi = 0 với
ai ∈ R bằng 0 với tất cả, trừ ra một số hữu hạn i ∈ I . Khi đó ∑i∈I ai xi ∈ mM ,
vì vậy tìm được các bi ∈ m, bằng 0 với hầu hết i ∈ I

sao cho

∑ ax = ∑ bx
i∈I i i i∈I i i .

{ }

Do xi i∈I là một cơ sở của M, điều đó dẫn đến ai = bi , tức là ai = 0 với

{ }

mọi i ∈ I . Vậy họ xi i∈I độc lập tuyến tính, và chứng minh của Định lý
được hoàn thành.



Chú ý rằng kết quả trên có thể không đúng nếu R là vành không giao

hoán. Kết quả này dẫn đến khái niệm sau đây, là một mở rộng của khái niệm
chiều không gian vectơ.
1.2.6. Định nghĩa. (i). Cho M là một môđun tự do trên vành giao hoán R. Khi
đó lực lượng của một cơ sở bất kỳ của M được gọi là hạng của M, ký hiệu là
r(M).
(ii). Cho G là một nhóm aben tự do. Khi đó hạng của ¢ - môđun G được
gọi là hạng của nhóm aben G, kí hiệu là r(G).
Cấu trúc của môđun tự do được mô tả qua định lý sau đây.
1.2.7. Định lý. R-môđun M là tự do nếu và chỉ nếu tồn tại một tập chỉ số I sao
cho M ≅ R(I).
Chứng minh. Nếu có một tập I và một đẳng cấu R – môđun f : R I ÷ → M , thì





9

có thể kiểm tra không khó khăn rằng M là một môđun tự do với cơ sở

{ f ( ei ) i ∈ I } , trong đó { ei i ∈ I } là cơ sở chính tắc của R I .





{


÷

÷


}

Ngược lại, giả sử M có một cơ sở là S = si i ∈ I , khi đó do S là hệ sinh độc
lập tuyến tính của M, mỗi phần tử x ∈ M biểu diễn được duy nhất dưới dạng
x = a s + ... + a s

i i
1 1

in in với

ai ∈ R, si ∈ S, j = 1,..., n
j
j

khi

đó

dẫn

đến

M = ⊕i∈I Rs . Bây giờ ta nhận thấy rằng với mỗi i ∈ I , toàn cấu R-môđun
i

µi : R → Rsi

a a asi
cũng là một đẳng cấu, do tính độc lập tuyến tính của si .
 
I ÷
Vậy M = ⊕ Rsi ≅ R  .
i∈I



1.2.8. Nhận xét. Từ chứng minh của định lý trên ta suy ra nếu M là một R-mô
đun tự do với cơ sở S thì M ≅ R(S). Do đó, nếu G là một nhóm aben với cơ sở
S thì G ≅ ¢ (S). Đặc biệt mọi nhóm aben tự do hạng n đều đẳng cấu với ¢ n.
1.2.9. Mệnh đề. Cho M là một môđun trên vành giao hoán R . Khi đó tồn tại
một R − môđun tự do F và một toàn cấu R − môđun f : F → M . Ngoài ra,
nếu M là hữu hạn sinh và sinh bởi n phần tử thì F là một R − môđun tự do
với một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử.
1.2.10. Nhận xét. Từ mệnh đề trên ta suy ra mỗi R-môđun đều đẳng cấu với
thương của một R-môđun tự do. Đặc biệt, một R-môđun là hữu hạn sinh khi
và chỉ khi nó đẳng cấu với thương của Rn với n là một số nguyên dương nào
đó. Do đó, mỗi nhóm aben với d phần tử sinh đều đẳng cấu với một nhóm
thương của một nhóm aben tự do hạng d. Sau đây là một kết quả đặc sắc về


10

các nhóm con của một nhóm aben tự do.
1.2.11. Định lý. Cho F là một nhóm aben tự do hạng n. Khi đó mỗi nhóm
con G của F đều có một nhóm aben tự do hạng r ( G ) = m ≤ n . Hơn nữa, tồn

{

}

{

}

tại một cơ sở S = u1,...., un của F và một cơ sở T = v1,....., vm của G sao
cho vi = tiui với i = 1,..., m trong đó t1,....., tm là những số nguyên dương thỏa
mãn ti chia hết ti+1 với mọi i = 1,..., m − 1 .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n . Với n = 0 , định lý đúng
một cách hiển nhiên. Giả sử n > 0 và định lý được chứng minh khi n được
thay bằng n − 1 . Ta loại trừ trường hợp tầm thường G = 0 và coi G ≠ 0 .

{

}

Giả sử V = y1,..., yn là cơ sở của F . Khi đó mỗi phần tử g ∈ G điều
biểu diễn được duy nhất dưới dạng g = k1 ( g ) y1 + .... + kn ( g ) yn với
ki ( g ) ∈ ¢, i = 1,..., n . Và gọi k ( g ) là số nguyên dương nhỏ nhất trong tất cả các

{

}

số nguyên dương của tập k1 ( g ) ,...., kn ( g ) . Với mỗi cơ sở V của F , ta đặt
k ( V ) = min { k ( g ) g ∈ G} . Gọi ℑ là tập hợp tất cả các cơ sở của G và gọi
t = min { k ( C ) / C ∈ℑ} . Khi đó tồn tại v1 ∈ G và một cơ sở U sao cho t1 là
1

một hệ số trong biểu diễn của v1 qua cơ sở U . Đánh số lại các phần tử của U
, nếu cần thiết, ta có thể coi rằng v1 = t1x1 + k2 x2 + .... + kn xn , trong đó
k ,..., kn ∈¢ .
2

Chia

k ,..., kn
2

ki = t qi + ri , 0 ≤ ri < t ( i = 2,...., n ) .
1
1

Đặt

cho

t ,
1

ta

u = x + q x + ... + qn xn ,
1 1 2 2

được
thì

11

{

}

U ' = u , x ,..., xn là một cơ sở của F mà theo cơ sở đó ta có
1 2
v = t u + r x + ... + rn xn . Vì 0 ≤ r < t ( i = 2,...., n ) , nên từ cách xác định t
1 11 2 2
1
i 1
ta suy ra ri = 0 với mọi i = 2,...., n . Vậy v1 = t1u1 .
Bây giờ gọi H là nhóm con của F sinh bởi các phần tử x2 ,..., xn . Rõ
ràng H là nhóm aben tự do hạng n − 1 . Đặt K = H ∩ G . Theo giả thiết quy
nạp, K là một nhóm aben tự do hạng r ( K ) ≤ n − 1 . Giả sử r ( K ) = m − 1 . Vẫn

{

}

theo giả thiết quy nạp, tồn tại một cơ sở u2 ,...., un của H và một cơ sở

{ v2 ,...., vm }

của K sao cho vi = tiui ( i = 2,..., m ) , trong đó t2 ,...., tm là những

số nguyên dương và ti chia hết ti+1 với mọi i = 2,....., m − 1 .
Gọi J là nhóm con xyclic của F sinh bởi v1 và I là nhóm con xyclic

của F sinh bởi u1 . Ta thấy ngay J ⊆ I . Vì v1 ∈ G , nên J ⊂ G . Ta sẽ chỉ ra

{

}

rằng G = J ⊕ K . Thật vậy, vì U ' = u1, x2 ,..., xn là một cơ sở của F , nên
I ∩ H = { 0} . Nhớ rằng

J ⊆ I , nên

J ∩ H = { 0} . Từ đó

rút ra

J ∩ K ⊆ J ∩ K = { 0} .
Mặt khác, với g là phần tử bất kì của G , ta có thể biểu diễn nó qua cơ
sở U ' : g = c1u1 + c2 x2 + ... + cn xn , trong đó ci ∈ ¢, i = 1,..., n . Chia v1 cho t1 ,
ta được v1 = t1q + r,0 ≤ r < t1 .
Đặt g ' = g − qv1 ∈ G , ta có g ' = ru1 + c2 x2 + ... + cn xn . Vì 0 ≤ r < t1 , nên
theo cách chọn t1 ta suy ra r = 0 . Vậy g ' = c2 x2 + ... + cn xn ∈ H . Điều này


12

dẫn đến g ' ∈ H ∩ G = K , và do đó g = qv1 + g ' ∈ J + K . Như vậy G = J ⊕ K ,
tức là G là một nhóm aben tự do hạng r ( G ) = m ≤ n .

{

}

{

}

Dễ thấy S = u1,..., un là một cơ sở của F và T = v1,...., vm là cơ sở
của G. Để hoàn thành chứng minh của định lý, ta còn phải chỉ ra rằng t1 chia
hết t2 . Giả sử t2 = t1q0 + r0 , 0 ≤ r0 < t1 . Xét phần tử u '1 = u1 − q0u2 . Khi đó

{ u '1, u2 ,..., un} cũng là một cơ sở của

F, và đối với cơ sở này, phần tử

( )

v − v ∈ G có biểu diễn v − v = −t u ' + r u . Vì 0 ≤ r0 < t1 , nên theo cách
2 1
2 1
1 1 0 2
chọn của t1 ta rút ra r0 = 0 , tức là t1 chia hết t2 .



1.3. Sự phân tích của nhóm aben hữu hạn sinh
1.3.1. Mệnh đề. Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều phân tích được thành tổng
trực tiếp của các nhóm con xyclic.
Chứng minh. Giả sử nhóm aben B có tập sinh gồm n phần tử. Khi đó B đẳng
cấu với nhóm thương Fn / A của nhóm aben tự do hạng n. Trong đó các nhóm

{

} {

}

A, Fn là các nhóm tự do có các cơ sở a , a ,...., a và e , e ,...., en sao cho
1 2
k
1 2
ai = miei , 1 ≤ i ≤ k ≤ n . Do B ≅ Fn / A nên ta chỉ cần chứng minh sự phân tích
n
thành tổng trực tiếp của nhóm thương Fn / A . Rõ ràng Fn / A = ∑ ei + A .
i=1
Giả sử a ∈ A là phần tử nào đó, a = t1e1 + t2e2 + ... + tnen .
Mặt khác biểu diễn a qua cơ sở của A ta được
a = s a + s a + ... + s a
11 2 2
k k
= s m e + s m e + ... + s m e
1 11 2 2 2
k k k


13

Từ đó suy ra ti = si mi , 1 ≤ i ≤ k , ti = 0 với k ≤ i ≤ n . Điều này có nghĩa là mỗi
tiei

phần tử

đều thuộc

A . Từ đó suy ra rằng nếu phần tử

t e + t e + ... + tne n + A bằng 0 trong Fn / A thì mỗi hạng tử tiei + A đều
11 2 2
bằng 0 trong đó ta có Fn / A ≅ ⊕ ei + A .



1.3.2. Mệnh đề. Mọi nhóm aben sinh bởi n phần tử đều đẳng cấu với tổng
trực tiếp của n nhóm xyclic có cấp lần lượt là t1,...., tn , trong đó
1 ≤ t ≤ .... ≤ tn ≤ ∞ và ti chia hết t
t
1
i+1 với mọi i mà i+1 hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử X là một nhóm aben sinh bởi n phần tử. Khi đó tồn tại
một nhóm aben tự do F hạng n và một nhóm con G của F sao cho X đẳng
cấu với nhóm thương F / G . Bởi Định lí 1.2.11, G là một nhóm aben tự do

{

}

hạng r ( G ) = m ≤ n , đồng thời tồn tại một cơ sở S = u1,..., un của F và một

{

}

cơ sở T = v1,..., vm của G sao cho vi = tiui ( 1 ≤ i ≤ m ) , trong đó t1,..., tm là
những số nguyên dương thỏa mãn ti chia hết ti+1 với mọi i = 1,...., m − 1 .
Bây giờ ta chọn n nhóm xyclic C1,...., Cn như sau: Với i ≤ m thì Ci = ¢ ti , là
nhóm cộng các số nguyên môđun ti ; còn với i > m thì Ci = ¢ . Ta sẽ chứng
minh rằng F / G đẳng cấu với C1 ⊕ .... ⊕ Cn . Để tránh nhầm lẫn, ta kí hiệu
phần tử sinh của nhóm Ci là ci . Xét đồng cấu h : F → C1 ⊕ ... ⊕ Cn cho bởi

( )

h ui = ci với mọi i = 1,...., n . Dễ thấy rằng h là một toàn cấu và Kerh = G .
Vậy X ≅ F / G ≅ C1 ⊕ ... ⊕ Cn .




14

Từ Định lý 1.1.5 và mệnh đề trên ta có ngay kết quả sau đây về sự phân
tích của nhóm aben hữu hạn sinh. Tuy nhiên ở đây chúng tôi trình bày thêm
một chứng minh khác.
1.3.3. Định lý. Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều phân tích được thành tổng
trực tiếp của một số hữu hạn nhóm xyclic không phân tích được.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm aben có hệ sinh n phần tử. Ta đặt Ω là tập
hợp tất cả những hệ sinh gồm n phần tử của G (chú ý rằng, trong một hệ sinh
như thế ta chấp nhận cả phần tử không để cho đủ n phần tử). Cho a là một

{

}

phần tử của G , ta ký hiệu ο ( a ) là bậc của a . Giả sử S = a1,..., an ∈Ω . Ta có

( ) ( )

thể đánh số lại để lúc nào cũng có ο a1 ≤ ο a2 ≤ ... ≤ ο ( an ) .
Ta xây dựng trên Ω một quan hệ thứ tự toàn phần “ ≤ ” theo kiểu từ

{

điển như sau: Cho X = b1,..., bn

}

là một phần tử khác của Ω với

( ) ( )

ο b1 ≤ ο b2 ≤ ... ≤ ο ( bn ) . Ta nói S ≤ X khi và chỉ khi tồn tại một số tự nhiên

( ) ( )

(

) (

) ( ) ( )

i với 1 ≤ i ≤ n , sao cho ο a1 = ο b1 ,....,ο ai−1 = ο bi−1 ,ο ai = ο b i .
Bây giờ, giả sử hệ sinh S đã chọn ở trên là phần tử cực tiểu trong tập hợp

được sắp thứ tự Ω . Khi đó ta sẽ chứng minh rằng G là tổng trực tiếp của các
nhóm con xyclic a1 ,..., an và do đó định lý được chứng minh.
Giả sử ngược lại, G không phải là tổng trực tiếp của những nhóm
xyclic trên. Do đó tồn tại những số nguyên

m ,..., mn
1

sao cho

m a + m a + ... + mnan = 0 , mà có ít nhất một hạng tử trong tổng trên khác
11
2 2
không. Giả sử j là một số sao cho m1a1 = ... = m j −1a j −1 = 0 nhưng m j a j ≠ 0 .


15



Rõ ràng ta có thể giả thiết thêm rằng 0 < m j < ο  a j ÷. Gọi m là ước số chung




lớn nhất của các số m j ,..., mn tức tồn tại những số nguyên k j ,..., kn có ước số
chung lớn nhất là 1 sao cho mi = mki , i = j,..., n .
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo đại lượng
k = k + ... + kn rằng, luôn có thể tìm được các phần tử b1,..., bn ∈ G sao cho
1

G = a ,..., a , b j ,..., bn , trong đó b j = k j a j + k j +1a j+1 + ... + knan .
1
j −1
Thật vậy, nếu k = 1 thì kết luận trên là hiển nhiên. Với k > 1 , phải có ít
nhất hai số trong những số nguyên tố cùng nhau k j ,..., kn là khác không,
chẳng hạn bằng cách đánh số lại ta có thể cho k j và k j+1 cùng khác không.
Từ đó ta suy ra k j + k j +1 < k j hoặc k j − k j +1 < k j .
Giả sử k j + k j +1 < k j , từ đây kéo theo k j + k j +1 + k j +1 + ... + kn < k
. Vậy, áp dụng giả thiết quy nạp theo hệ số nguyên tố cùng nhau

{ k j + k j+1,k j+1,..., kn}

đối

{ a1,..., a j−1, a j , a j+1 − a j , a j+2,..., an}
{

}

S ' = a ,..., a , b j ,..., bn của G , mà
1
j −1

với

hệ

sinh

mới

của G , ta tìm được một hệ sinh


16




b j =  k j + k
÷a j + k j +1  a j +1 − a j ÷+ k j +2a j +2 + ... + knan
j
+
1




= k ja j + k a
+ ... + kn an
j +1 j +1

Một cách hoàn toàn tương tự ta chứng minh được kết luận trên cho
trường hợp k j − k j +1 < k j . Từ biểu thức của b j ta suy ra mb j = 0 . Do đó

ο  b j ÷≤ m j ≤ ο  a j ÷, tức S ' < S trong Ω . Điều này mâu thuẫn với tính cực








n
tiểu của S . Vậy ta phải có G = ⊕ ai .
i=1



Giả sử X là một nhóm aben hữu hạn sinh. Khi đó nhóm con xoắn τ ( X ) của X
là nhóm con gồm tất cả những phần tử có cấp hữu hạn của X. Nếu
X = X1 ⊕ ... ⊕ Xn

(*)

là một phân tích của X thành tổng trực tiếp của những nhóm xyclic không
phân tích được thì dễ thấy rằng τ ( X ) chính là tổng trực tiếp của các hạng tử
nguyên sơ, còn nhóm thương X/τ ( X ) là tổng trực tiếp của những hạng tử
xyclic cấp vô hạn trong phân tích đó. Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau.
1.3.4. Hệ quả. Nếu X là một nhóm aben hữu hạn sinh thì
(i) X = τ ( X ) ⊕ F , trong đó F là một nhóm con aben tự do của X .
(ii) X là một nhóm aben tự do nếu và chỉ nếu τ ( X ) = 0 .
Bây giờ ta xét nhóm aben hữu hạn sinh X và (*) là một phân tích của X
thành tổng trực tiếp các nhóm xyclic không phân tích được. Các kết quả tiếp
theo sẽ chứng tỏ rằng phân tích dạng này của X là duy nhất sai khác một đẳng
cấu.
Với mỗi số nguyên tố p, kí hiệu Cp(X) là tập tất cả các phần tử của X có
cấp là một lũy thừa của p và gọi là thành phần p-nguyên sơ của X. Dễ thấy

17

rằng Cp(X) là một nhóm con của X và nó chính là tổng trực tiếp của tất cả các
hạng tử nguyên sơ có cấp là một lũy thừa của p xuất hiện trong phân tích (*)
của X. Bây giờ ta sắp xếp lại các hạng tử trong phân tích (*) như sau: đầu tiên
gom tất cả các hạng tử xyclic nguyên sơ, nếu có, mà có cấp là lũy thừa của
cùng một số nguyên tố p vào cùng một cụm, để được thành phần p-nguyên sơ.
Sau đó liệt kê các thành phần p-nguyên sơ theo thứ tự tăng dần của các số
nguyên tố, cuối cùng là cụm gồm các hạng tử xyclic cấp vô hạn. Trong mỗi
thành phần p-nguyên sơ, ta lại viết các nhóm con xyclic nguyên sơ theo thứ tự
có cấp giảm dần. Sau khi phân tích (*) đã được sắp xếp theo cách ấy thì (*)
được gọi là một phân tích tiêu chuẩn của của X.
Chẳng hạn, nhóm X = ¢ ⊕ ¢ 6 ⊕ ¢ 12 ⊕ ¢ có phân tích tiêu chuẩn là
X = ¢ 22 ⊕ ¢ 2 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ ⊕ ¢ .

Nhóm này có hạng 2 và có các thành phần nguyên sơ là C2(X) = ¢ 2 ⊕ ¢ 2 và
2

C2(X) = ¢ 3 ⊕ ¢ 3 .
Từ Hệ quả 1.3.4 ta suy ra rằng để phân loại các nhóm aben hữu hạn
sinh thì ta chỉ cần phân loại các nhóm xoắn hữu hạn sinh. Định lý sau đây cho
thấy có thể phân loại các nhóm xoắn hữu hạn sinh dựa trên dạng phân tích
tiêu chuẩn của chúng.
1.3.5. Định lý. Giả sử X , Y là những nhóm xoắn hữu hạn sinh đẳng cấu.
Nếu X , Y có phân tích tiêu chuẩn lần lượt là X = X1 ⊕ ... ⊕ Xn ;
Y = Y ⊕ ... ⊕ Ym , thì m = n và Xi ≅ Yi , với mọi i = 1,..., n .
1
Chứng minh. Giả sử h : X → Y là một đẳng cấu. Vì h không làm thay đổi cấp
của mọi phần tử của X, nên với mỗi số nguyên tố p, h chuyển thành phần

p − nguyên sơ C p ( X ) của X một cách đẳng cấu lên thành phần p − nguyên
sơ C p ( X ) của Y . Do vậy, ta có thể coi X và Y là những nhóm p − nguyên


18

sơ, tức là X = C p ( X ) và Y = C p ( Y ) . Khi đó cấp của các nhóm Xi và Y j là

β
α
những lũy thừa của p, giả sử Xi = p i và Y = p j . Theo định nghĩa của
j
phân tích tiêu chuẩn, ta có α1 ≥ ... ≥ α n ≥ 1; β1 ≥ ... ≥ β m ≥ 1 . Ta chứng minh
rằng m = n và αi = βi với mọi i = 1,..., n .
Kí hiệu N p ( X ) và N p ( Y ) lần lượt là các nhóm con của X và Y sinh bởi các
phần tử có cấp p . Khi đó N p ( X ) có cấp pn và N p ( Y ) có cấp pm . Vì

(

)

h N p ( X ) = N p ( Y ) , nên ta phải có pn = pm , hay n = m .
Bây giờ giả sử tồn tại k ∈{ 1,...., n} sao cho α k ≠ βk . Giả thiết thêm rằng k là
số nhỏ nhất có tính chất đó, tức là αi = βi với mọi i < k . Và không làm mất

α
α
tính tổng quát ta có thể giả sử α k < βk . Gọi C = p k X và D = p k Y tương

α

ứng là các nhóm con của X và Y gồm các phần tử chia hết cho p k . Khi đó
C

có

cấp

là

k −1 α −α
C= ∏ p i k
i=1

và

D

có

cấp

β −α
k β −α
D ≥ ∏ p i k = C p k k > C . Ta gặp mâu thuẫn vì C đẳng cấu với D
i=1

Từ Định lý 1.3.3, Hệ quả 1.3.4 và Định lý 1.3.5 ta có ngay kết quả sau
đây về cấu trúc của nhóm aben hữu hạn sinh.
1.3.6. Định lý. Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều có một phân tích tiêu chuẩn
duy nhất, sai khác một đẳng cấu.

19

1.3.7. Định nghĩa. Cho một nhóm aben hữu hạn sinh X . Khi đó cấp của các
hạng tử xyclic nguyên sơ trong phân tích tiêu chuẩn của X được gọi là các
bất biến nguyên sơ của X .
Như vậy, hai nhóm aben hữu hạn sinh có cùng hạng và cùng bất biến
nguyên sơ thì đẳng cấu.
1.3.8. Bổ đề. Giả sử G và H là hai nhóm hữu hạn có cấp là a và b theo thứ
tự. Khi đó G ⊕ H là một nhóm xyclic nếu và chỉ nếu G và H là các nhóm
xyclic và a, b nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh. Vì G và H là hai nhóm hữu hạn có cấp là a và b nên tổng trực
tiếp của hai nhóm xyclic được xem như là tích trực tiếp của G và H .
Giả sử G = x có cấp là a và H = y có cấp là b với ( a, b ) = 1 . Ta sẽ
chứng minh rằng G × H là nhóm xyclic sinh bởi phần tử ( x, y ) . Vì G có a
phần tử và H có b phần tử nên G × H có ab phần tử hay cấp của G × H bằng

)
) (
k
k k
k
Nếu ( x, y ) = ( eG , eH ) thì ( x , y ) = ( eG , eH ) ⇒ x = eG và y k = eH .

ab . Ta có: ( x, y )

ab

(

= x ab , y ab = eG , eH .

Suy ra k Ma và k Mb . Vì ( a, b ) = 1 nên k Mab . Do đó ord ( x, y ) = ab và bằng cấp
G × H . Vậy G × H là nhóm xyclic sinh bởi phần tử ( x, y ) .

(

)

b.

Ta

có

(

)

k l
Đảo lại, giả sử G × H là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử x , y .
Gọi

M

(

M

x k , yl

)

là

(

bội

chung

) (

nhỏ

= x kM , ylM = eG , eH

)

nhất

của

a

và

⇒ M chia hết cho cấp của x k , yl hay

M chia hết cho ab . Vậy ( a, b ) = 1 . 


20

Ngoài phân tích tiêu chuẩn của nhóm aben hữu hạn sinh như trong
Định lý 1.3.6 thì ta còn có phân tích sau đây.
1.3.9. Định lý. Với mỗi nhóm aben hữu hạn X , tồn tại duy nhất một số
nguyên không âm r và n ( n ≥ 0 ) số nguyên dương t1,...., tn lớn hơn 1 thỏa
mãn ti chia hết ti+1 với mọi i = 1,...n − 1 sao cho X có phân tích
X = X ⊕ ... ⊕ Xn ⊕ F ,
1
trong đó F là một nhóm aben tự do hạng r, còn Xi là một nhóm xyclic cấp ti .
Chứng minh. Tồn tại phân tích và các số nguyên r và t1,...., tn được suy ra từ
Mệnh đề 1.3.2. Số r là duy nhất vì nó chính là hạng của nhóm X . Ta còn phải
chứng minh tính duy nhất của các số t1,...., tn . Muốn vậy, ta hay phân tích

α
nhóm con xoắn τ ( X ) của X dưới dạng tiêu chuẩn và gọi p ij với
i
i = 1,..., k , j = 1,..., li

là

những

bất

biến

nguyên

{

sơ

của

X

với

}

αi1 ≥ ... ≥ αil ≥ 1, i = 1,...., k . Đặt N ( X ) = l = max l / 1 ≤ i ≤ k , và với mỗi i
i
i
có

li < l

ta bổ sung thêm

αil = ... = αil = 0 . Bây giờ giả sử
i+1

τ ( X ) = Y1 ⊕ ... ⊕ Ym là một phân tích tùy ý của τ ( X ) , trong đó các Yi là các
nhóm xyclic cấp ri chia hết r i+1 với i = 1,...., m − 1 . Ta cần chỉ ra rằng
m = N ( X ) = l và có các đẳng thức sau

21

α
α
rm = p 11... p k1,
1
k
α
α
r
= p 12 ... p k 2 ,
m−1 1
k
.. ...
...
α
α
r = p 1m ... p km
l 1
k
Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo N ( X ) = l . Với N ( X ) = 1 khi đó

α
τ ( X ) = D1 ⊕ ... ⊕ Dk trong đó các Di là các nhóm xyclic cấp p i1 . Do đó bởi
i
α
α
Bổ đề trên thì τ ( X ) là một nhóm xyclic cấp t = p 11... p k1 . Cũng lại vì
1 1

k
τ ( X ) là một nhóm xyclic cấp t1 , nên bởi Bổ đề 1.3.8 trên thì

τ ( X ) ≠ U1 ⊕ ... ⊕ Ud ,
trong đó d > 1 còn các Ui là các nhóm con xyclic cấp hi > 1 và hi chia hết
h
i+1 với i = 1,..., d − 1 . Do đó trong trường hợp này τ ( X ) là thành phần duy
nhất trong phân tích, chứ không có một phân tích nào khác nhiều hơn một
thành phần, thỏa mãn tiêu chí đặt ra trong định lý. Như vậy m = 1 = N ( X ) và
kết quả đúng với N ( X ) = 1 . Giả sử kết quả đúng cho nhóm aben Y có
N ( X ) = l − 1 , ta cần chứng minh nó đúng cho cả nhóm aben X có N ( X ) = l .
Nhận xét rằng nếu τ ( X ) = Y1 ⊕ ... ⊕ Ym , trong đó các Yi là các nhóm xyclic
cấp ri và ri chia hết ri+1 với mọi i = 1,..., m − 1 , thì rõ ràng rm là số mũ của

τ ( X ) (tức là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cấp của mọi phần tử của
τ ( X ) ).

Do

đó

ta

rút

ra

ngay

α

α
rm = p 11... p k1 .
1
k

Để

ý

rằng


22

τ ( X ) / Ym ≅ τ ( X / Ym ) ≅ Y1 ⊕ ... ⊕ Ym−1 , nên N ( X / Ym ) = l − 1 . Từ giả thiết
quy nạp ta rút ra l − 1 = m − 1 hay N ( X ) = l = m và

α
α
r
= p 12 ... p k 2 ,
m−1 1
k
α
α
r
= p 13 ... p 13 ,
m−2 1
k
...

...
...
α
α
r = p 1m ... p km
l 1
k
Như vậy là

α
α
rm = p 11... p k1,
1
k
α
α
r
= p 12 ... p k 2 ,
m−1 1
k
.. ...
...
α
α
r = p 1m ... p km
l 1
k
Quy nạp đã hoàn thành. Từ kết quả vừa chứng minh ta rút ra rằng
n = l = N ( X ) và

α
α
tn = p 11... p k1,
1
k
α
α
t
= p 12 ... p k 2 ,
n−1 1
k
... ...
...
α
α
t = p 1n ... p kn
l 1
k
Định lý được chứng minh.



1.3.10. Hệ quả. Với mỗi số nguyên m > 1 , số các kiểu nhóm aben cấp m
chính là số các cấp phân tích của m thành một tích các thừa số nguyên lớn
hơn 1 có dạng t1, ..., tn , trong đó ti chia hết ti+1 với mọi i = 1,...., n − 1 , và mỗi
phân tích như vậy cho ta một kiểu nhóm aben có đại diện là
¢ t ⊕ ¢ t ⊕ ... ⊕ ¢ t .
n
1
2

23

Chương 2.

Môđun trên vành chính


24

Trong chương này chúng tôi trình bày về môđun trên vành chính. Các
kết quả trong chương này được nhìn nhận từ các kết quả về nhóm aben đã
trình bày ở Chương 1. Mặt khác từ các kết quả ở chương này, chúng ta có thể
suy ra các kết quả tương ứng ở Chương 1 như những hệ quả.

2.1. Môđun tự do trên vành chính
Với một môđun tự do trên vành R bất kỳ thì môđun con của nó chưa hẳn
đã là môđun tự do. Chẳng hạn, xét vành R = ¢ 6 thì R là một ¢ 6 − môđun tự
do. Gọi M là ¢ 6 − môđun sinh bởi phần tử 2 thì M là môđun con của R
nhưng M không phải là môđun tự do vì không có cơ sở do mọi x ∈ M thì
x = n.2 nên 3.x = n.3.2 = 0 .
Tuy nhiên nếu R là một vành chính thì ta có kết quả sau.
2.1.1. Định lý. Cho R là một vành chính, khi đó mọi môđun con của một R −
môđun tự do là một R − môđun tự do.
Chứng minh. Giả sử F là một môđun tự do trên vành chính R . Khi đó tồn tại
tập chỉ số I sao cho F ≅ R ( I ) .
Theo Nguyên lý Zermelo, ta có thể trang bị cho I một thứ tự tốt. Bởi vậy,
ta luôn coi F = R ( I ) với I là tập sắp thứ tự tốt. Giả sử M là một môđun con
khác môđun con 0 của F và { ei } i∈I là cơ sở tự nhiên của F . Ký hiệu Fi là

môđun con sinh bởi { e j } j ≤i , đặt M i = Fi ∩ M . Xét các phép chiếu
pi : R ( I ) → R
( xi )i∈I a xi .
Với mỗi i ∈ I , ta có pi ( M i ) là một iđêan của R . Vì R là vành chính nên tồn
tại ai ∈ R để pi ( M i ) = Rai . Khi đó, lấy bi ∈ M i sao cho pi (bi ) = ai với quy


25

ước rằng ai = 0 thì chọn bi = 0 . Như vậy ta thu được một họ { bi } i∈I . Sử dụng
nguyên lý quy nạp siêu hạn, ta sẽ chứng minh họ { b j } j ≤i sinh ra M i với mọi
i ∈ I . Thật vậy, trước hết với i0 là phần tử đầu tiên của I , ta chỉ ra bi0 sinh ra
M i0 . Do bi0 ∈ M i0 nên Span(bi0 ) ⊂ M i0 (ký hiệu Span(bi0 ) chỉ môđun con sinh

{ }

bởi bi0 ) và bi0 ∈ Fi0 = Span(ei0 ) nên tồn tại r ∈ R để bi0 = rei0 . Mặt khác nếu
x ∉ Span(bi0 ) thì x ≠ r ′bi0 với mọi r ′ ∈ R nên x ≠ r ′.r.ei0 , nghĩa là x ∉ Fi0 nên
x ∉ M i0 , chứng tỏ M i0 ⊂ Span(bi0 ) suy ra M i0 = Span(bi0 ) .
Bây giờ giả sử với mọi k < i thì M k được sinh bởi { b j } j ≤k . Khi đó với
x ∈ M i ta có pi ( x) = α ai với α ∈ R . Do đó ta có được
pi ( x − α bi ) = pi ( x) − pi (α bi ) = α ai − α ai = 0 .
Thành phần thứ i của phần tử x − α bi bằng 0 nên x − α bi ∈ M k với k < i.

)

(

(

Theo giả thiết quy nạp x − α bi ∈ Span { b j } j ≤k ⊂ Span { b j }

(

Span { b j }

j ≤i

)

(

suy ra Span { b j }

j ≤i

) =M

i

j ≤i

) . Dẫn đến

x∈

với mọi i ∈ I . Tiếp theo ta chứng

minh họ { bi } i∈I sinh ra M . Dễ thấy mỗi phần tử y ∈ M đều có thể viết ở
dạng y = α1ei1 + α 2ei2 + L + α neim với i1 < i2 < L < im . Do vậy y ∈ Fim và vì thế

(

)

(

)

y ∈ M im ⊂ Span { bi } i∈I . Vậy M = Span { bi } i∈I .

Đặt I ′ = { i ∈ I | bi ≠ 0} thì họ { bi } i∈I ′ cũng là một hệ sinh của M . Ta sẽ
chứng minh hệ sinh này độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại
một tổ hợp tuyến tính

α1bi1 + α 2bi2 + L + α mbim = 0 với i1 < i2 < L < im thuộc I ′ và α m ≠ 0 .