Luyện tập cho học sinh một số hoạt động phát hiện vấn đề trong dạy học giải bài tập toán ở trường trung học phổ thông l

1

bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh
==== ====

NGUYN TH THU
LUYệN TậP cho HọC SINH MộT Số HOạT Động
phát hiện Vấn đề trong dạy học giảI bài tập Toán
ở trờng thpt

Chuyên ngành: Lý luận và PPdh bộ môn toán

Mã số: 60.14.10

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Ngời hớng dẫn khoa học:
Gs.TS. đào tam

Vinh 2011

M U
1. Lý do chn ti


2
1.1. Với sự phát triển như vũ bão của nền kinh tế tri thức, sự bùng nổ về
khoa học công nghệ thông tin trên toàn cầu đang đặt ra cho chúng ta sự thách
thức trước nguy cơ tụt hậu về trí tuệ. Điều đó đòi hỏi phải có sự đổi mới về
giáo dục. Trong đó có sự đổi mới căn bản về phương pháp dạy học. Việc dạy

học hướng vào thúc đẩy học sinh biết các phương pháp phát hiện vấn đề và
giải quyết vấn đề một cách hiệu quả phải được đặt lên hàng đầu. Yêu cầu đó
được thể hiện trong các văn bản sau.
Nghị quyết TW2 (khóa 8, 1997) của ban chấp hành trung ương Đảng
Cộng Sản Việt Nam khẳng định “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đòa
tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nêp tư duy sáng tạo
cho người học…”
Luật giáo dục nước Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam ( 12/1998),
điều 24.2 quy định: “…..Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh”.
Luật giáo dục nước Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam năm 2005
cũng quy định “Nhà nước phát triển giáo dục nhằm nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài…”, “ phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực tự giác, chủ động, tư duy sáng tạp của người học…”.
Trong những năm gần đây việc đổi mới phương pháp dạy học đã được
bộ giáo dục triển khai trong cả nước và đã đạt được kết quả nhất định. Các
PPDH hiện đại như dạy học khám phá, dạy học kiến tạo, dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề đã bước đầu được áp dụng vào dạy học Toán ở các trường
phổ thông, trong đó hoạt động của giáo viên đã bước đầu quan tâm tạo môi
trường học tập cho học sinh được hoạt động trí tuệ nhiều hơn có cơ hội khám
phá và kiến tạo trí thức, qua đó học sinh có điều kiện tốt hơn phát triển tư duy
cho bản thân họ. Nhưng trong thực tế còn nhiều giáo viên vẫn gặp khó khăn
trong việc tiếp cận và thực hiện các PPDH đặc biệt là PPDH theo hướng phát
hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập Toán. Khó khăn trên do


3

người giáo viên chưa quan tâm nghiên cứu những vẫn đề cơ bản về lý luận
then chốt về hoạt động phát hiện của học sinh trong dạy Toán nói chung, dạy
học giải bài tập Toán nói riêng, như cơ sở triết học, cơ sở tâm lý học nhận
thức, nghiên cứu các loại tri thức điều chỉnh hoạt động phát hiện và giải quyết
vấn đề.
1.2. Ở trường phố thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A.Stôliar).
Đối với học sinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động Toán học. Các bài Toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có
hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri
thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng Toán học vào
thực tiễn. Hoạt động giải bài tập Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục
đích dạy Toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải
bài tập Toán học có vai trò quyết định với chất lượng dạy học Toán. Đứng
trước những bài tập Toán, giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế nào
để họ phát hiện vấn đề là hết sức quan trọng.
1.3. Khái niệm phát hiện đã được trình bày trong cuốn “Những vấn đề
cơ bản về chương trình và quá trình dạy học" (2005) của Nguyễn Hữu
Châu.“Phương pháp dạy học môn Toán” của tác giả Nguyễn Bá Kim. Cũng
có thể thấy được cách dạy học phát hiện vấn đề đã được làm sáng tỏ trong
cuốn “Giải một bài toán như thế nào” của nhà sư phạm G.Polya luôn quan
tâm định hướng tiếp cận phát hiện thông qua giải bài tập Toán.
Gần đây đã có nhiều đề tài nghiên cứu liên quan đến phát hiện vấn đề
trong dạy học giải bài tập Toán như: Luận án “Rèn luyện năng lực giải Toán
theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo cho học sinh
khá giỏi ở trường THPT” của tác giả Nguyễn Thị Hương Trang. Luận văn
“Một số phương thức tiếp cận phát hiện trong dạy học giải bài tập Toán” của
tác giả Hồ Văn Quảng.
Như vậy vấn đề đặt ra nghiên cứu đã được nhiều nhà sư phạm quan tâm,
tuy nhiên việc nghiên cứu để vạch ra con đường tiếp cận phát hiện tri thức
như thế nào để có hiệu quả đối với người giáo viên còn cần phải được tiếp tục

4
quan tâm. Đặc biệt cần làm sáng tỏ để phát hiện vấn đề thì cần những hoạt
động nào. Đề tài nghiên cứu cần giải đáp những câu hỏi sau:
• Rèn luyện cho học sinh những loại hình tri thức nào để họ có khả năng
điều chỉnh định hướng hoạt động phát hiện vấn đề.
• Để thúc đẩy hoạt động phát hiện vấn đề thì cần những loại hình hoạt
động chủ yếu nào liên quan đến hoạt động trí tuệ và hoạt động Toán học.
Vì lý do đó tôi chọn đề tài: “Luyện tập cho học sinh một số hoạt động
phát hiện vấn đề trong dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu
Cụ thể hóa thêm quan điểm hoạt động phát hiện vấn đề và phát hiện cách
giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập Toán
Góp phần tăng cường đổi mới phương pháp dạy học Toán ở trường phổ
thông trong giai đoạn hiện nay.
3.Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở trương trình sách giáo khoa hiện hành, trong quá trình dạy học
giải bài tập Toán nếu giáo viên xác định được các dạng hoạt động phát hiện
và giải quyết vấn đề và tổ chức các hoạt động trên một cách có hiệu quả cho
học sinh thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông trong
giai đoạn hiện nay.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về lý luận và thực tiễn hoạt động của phát
hiện vấn đề trong các lý thuyết và phương pháp dạy học tích cực.
Xác định một số tri thức nhằm thúc đẩy hoạt động phát hiện vấn đề
trong dạy học giải bài tập Toán.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận (Các tài liện có liên quan đến đề tài
luận văn)

5.2. Nghiên cứu thực tiễn về thực trạng dạy học phát hiện vấn đề trong
dạy học giải bài tập Toán ở trường phổ thông hiện nay.
5.3. Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính đúng đắn và khả thi của
các biện pháp được đề xuất


5
5.4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Về lý luận: Luận văn góp phần làm sáng tỏ lý luận dạy học giải bài
tập Toán theo hướng hoạt động phát hiện vấn đề.
6.2. Về mặt thục tiễn: Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên dạy Toán nhằm nâng cao hiệu quả dạy học.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo luận văn có 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Khái niệm cơ bản.
1.1.1. Khái niệm về hoạt động phát hiện vấn đề
1.1.2. Những dạng hoạt động phát hiện
1.1.3. Tri thức trong hoạt động phát hiện
1.2. Hoạt động phát hiện thể hiện trong các lý thuyết DH và PPDH tích cực.
1.2.1. Hoạt động phát hiện thể hiện trong PPDH theo lý thuyết hoạt động
1.2.2. Hoạt động phát hiện thể hiện trong PPDH theo lý thuyết kiến tạo
1.2.3. Hoạt động phát hiện thể hiện trong dạy học PH và GQVĐ
1.2.4. Hoạt động phát hiện thể hiện trong DH khám phá
1.3. Đặc điểm của bài toán THPT
1.4. Thực trạng giảng dạy giải bài tập toán ở trường THPT hiện nay
Kết luận chương I
Chương 2. Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện vấn đề trong DH
giải bài tập Toán.

2.1. Cơ sở khoa học để đề ra hoạt động phát hiện vấn đề trong dạy học
giải bài tập Toán.
2.1.1. Dựa vào yêu cầu đổi mới của sách giáo khoa
2.1.2. Dựa vào yêu cầu đổi mới PPDH Toán ở trường phổ thông hiện nay
3.1.3. Dựa vào trình độ nhận thức của học sinh
2.2. Một số định hướng sư phạm của việc đề ra hoạt động phát hiện trong
DH giải bài tập Toán


6
2.3. Một số biện pháp luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện vấn đề
trong dạy học giải bài tập Toán
2.3.1. Biện pháp 1: Khai thác một số tri thức thuộc phạm trù triết học duy vật
biện chứng nhằm định hướng điều chỉnh các hoạt động tìm tòi kiến thức mới.
2.3.2. Biện pháp 2: Khai thác quan điểm dạy học PH và GQVĐ trong
dạy học giải bài tập Toán
2.3.3. Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh hoạt động liên tưởng, tìm mối
liên hệ giữa các bài toán trong quá trình PH và GQVĐ
2.3.4. Biện pháp 4: Luyện tập cho học sinh hoạt động mò mẫm dự đoán
thông qua khảo sát các trường hợp riêng
2.3.5. Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh hoạt động huy động kiến thức
thông qua việc xác lập liên hệ các tri thức đã có và tri thức cần tìm.
2.3.6. Biện pháp 6: Luyện tập cho học sinh khả năng phối hợp giữa các
thao tác tư duy, hoạt động trí tuệ nhằm thúc đẩy hoạt động phát hiện
2.4. Kết luận chương II
Chương 3. Thử nghiệm sư phạm
3.1. Xác định mục đích thử nghiệm
3.2. Tường trình quá trình thử nghiệm
3.3. Đánh giá quá trình thử nghiệm
3.4. Kết luận chương III

7

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Khái niệm hoạt động phát hiện
Theo từ điển Tiếng Việt, phát hiện là “tìm thấy cái chưa ai biết”, nghĩa là
tìm ra cái mới được nhân loại thừa nhận và dùng được trong phạm vi khoa
học và cả phạm vi loài người.
Theo Nguyễn Hữu Châu thì phát hiện là sự hấp thu về mặt tinh thần một
khái niệm hay nguyên lý mà một cá nhân đã đúc kết từ một hoạt động thể
chất hay tinh thần.
Hoạt động phát hiện: Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, hoạt động
PH là hoạt động trí tuệ của học sinh được điều chỉnh bởi vốn tri thức đã có
thông qua các hoạt động khảo sát tương tác với các tình huống mới để phát
hiện tri thức mới.
Trong luận văn này chúng tôi quan niệm về cụm từ hoạt động phát hiện
bao gồm hoạt động phát hiện vấn đề và hoạt động phát hiện cách giải quyết
vấn đề.
1.1.2. Những dạng hoạt động phát hiện
Hoạt động phát hiện có ý nghĩa quan trọng trong bất kỳ lĩnh vực nào, đặc
biệt trong công tác nghiên cứu khoa học và trong học tập. Hoạt động phát
hiện luôn gắn liền với hoạt động sáng tạo và suy luận mò mẫm. Bằng những
hoạt động trí tuệ chung như khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ
thể hóa, tương tự hóa, phân tích và tổng hợp, quy lạ về quen, chuyển hóa liên
tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác… Sau đây chúng tôi xin làm rõ
các dạng hoạt động đó.

8
1.1.2.1. Phân tích và tổng hợp.
Phân tích tổng hợp là hai thao tác quan trọng của tư duy được vận dụng
thường xuyên vào trong dạy học PH và GQVĐ
Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành
nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn
bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các
bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh.
Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương
hướng cho sự phân tích tiếp theo [42, tr. 122]
Theo Hoàng Chúng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của
học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học
sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [8, tr. 15].
Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng
lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ
bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền
tảng của phân tích và tổng hợp. Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không
tầm thường) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện
và giải quyết vấn đề.
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau. Chúng là hai
mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp,
phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó. Vì phân tích cái
toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa
các phần của cái toàn thể ấy. Phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận
thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá trình phân tích- tổng hợp
còn được thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hướng cho
phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là
cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2). Như vậy, phân
tích và tổng hợp theo con đường: tổng hợp 1 - phân tích - tổng hợp 2. Các thao
tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con người.

Bằng gợi ý của G. Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán như thế nào”
đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán. Trong mỗi bước tác giả đã đưa ra


9
các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau
để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán.
Có thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường
gắn bó khăng khít với nhau. Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành
phần) và trong quá trình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic
và tính định hướng của quá trình tổng hợp).
Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải (Bài tập
này do thầy giáo đặt ra, do chương trình học tập yêu cầu, do học sinh biết
được trong quá trình tự học...) chỉ có hữu hạn các phương pháp giải, các
phương pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức đã
được học, kiến thức tự tích lũy). Ta có thể xét ví dụ sau đây để làm sáng tỏ
điều này:
Ví dụ1: Giải phương trình

= 1 + sin 2x

( 1)

Hoạt động phân tích diễn ra trước hết ở điều kiện của bài toán.
cos x

0

x

tan x

-1

x

+k

-

+k

Tổng hợp lại điều kiện của bài toán
x

R\{ +k ;- +k }

Tiếp tục hoạt động phân tích tanx =

Ta có:

=(

)2


10

)2

=(
=(

)3

(2)

Đến đây học sinh gặp khó khăn khi biến đổi công thức này:

Trong khi tri thức đã có của học sinh là các công thức biến đổi tổng
thành tích. Vấn đề đặt ra là sử dụng công thức nào trong 4 công thức đó.
Đến đây giáo viên phải định hướng cho học sinh sử dụng công thức:
cosa + cosb
sin a + sinb
Sự định hướng đó giúp học sinh phát hiện ra biến đổi sinx thành cos
trong đó x và

là hai góc phụ nhau.

+)

= cosx + cos( + x)

= 2cos( x + )cos(- )

=

+)

cos (x + )

= sinx + sin( + x )

= 2sinx( x+ ) cos(- )

=

sin (x + )


11
Tổng hợp lại ta có:
)3

=(

cos (x + ) = 2sin3 (x + )

cot (x + ) =

cot3 (x + ) + cot (x + ) - 2 = 0
Bằng hoạt động phân tích đa thức thành nhân tử ta biến đổi (3) thành
= 0 (4)
Đến đây học sinh phát hiện:
>0

(4)

=0

x=k

x nên

(K

Z)

1.1.2.2. Khái quát hóa, đặc biệt hóa.
•Khái quát hóa: Là tách cái chung trong các đối tượng, sự kiện được
đem ra xét. Muốn khái quát phải so sánh, khảo sát nhiều đối tượng với nhau
để rút ra cái chung, nhưng cũng có khi từ một đối tượng ta cũng có thể khái
quát hóa một tính chất, một phương pháp.
Có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên cơ sở so sánh
quát
hóa
từ lẻ, con đường thứ hai không
Kháidựa
quáttrên
hóasựtừso
cáisánh mà
những Khái
trường
hợp
riêng
cái riêng lẻ đến cái
tổng quát đến cái tổng
dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống
tổng quát
quát hơn

nhau. Những dạng khái quát hóa thường gặp trong môn Toán có thể biểu diễn
theo sơ đồ sau:
Khái quát hóa tới cái
tổng quát đã biết

Khái quát hóa

Khái quát hóa tới cái
tổng quát chưa biết


12

Ví dụ 2: Khi dạy bất đẳng thức Cauchy ta có thể yêu cầu học sinh chứng
minh các bất đẳng thức sau:
1. Chứng minh rằng:

(1)

Bằng phép biến đổi tương đương ta có
(1)

ab
(a + b)2

4ab

(a – b )2

0

2. CM bất đẳng thức:

với a,b,c là các số không âm.

Để chứng minh bất đẳng thức trên ta đưa về bài toán sau:
3. CM bất đẳng thức
( với a, b, c, d là các số không âm )
Hoạt động biến đổi vế trái bằng cách đặt:
a+b=m


13
c+d=n
Và áp dụng BĐT ở bài toán 1 ta có:

m2n2

Do m, n > 0 nên

(1)

m2 = (a+b)2

4ab

(2)

n2 = (c+d)2

4cd

(3)

Do a,b,c,d

0 nên nhân (2) với (3) ta được:

m2n2

16 abcd

(4)

Bằng hoạt động tổng hợp (1) và (4) ta có:
16 abcd
Dấu “ = ” xảy ra

a=b=c=d

Từ kết quả của bài toán 3 đưa đến cách giải bài toán 2 nếu ta đặt d =

Ta có

abc

Hoạt động biến đổi biểu thức ta được:
abc

Chia 2 vế cho

>0


14

Ta được

abc

Dấu “ = ” xảy ra khi a= b= c=
Và bằng hoạt động khái quát với n số không âm, ta có bất đẳng thức
Cauchy trong trường hợp tổng quát:

•Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại với khái quát hóa. Đó là việc
nghiên cứu từ tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu đối tượng nhỏ hơn
chứa trong tập hợp ban đầu.
Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minh họa
hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể.
Đặc biệt hoá có vai trò quan trọng khi giải Toán. Khi cho một mệnh đề
mà ta giả thiết là tổng quát và liên quan tới một lớp đối tượng nào đó, để phủ
định nó ta đưa về trường hợp đặc biệt bằng cách chọn trong tập hợp đó một
đối tượng không theo mệnh đề.
Chẳng hạn ta đặc biệt biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu một đa
giác sang nghiên cứu một tam giác. Tiếp tục chuyển từ nghiên cứu tam giác
bất kỳ sang nghiên cứu tam giác đặc biệt như tam vuông, tam giác đều.
Đặc biệt hóa
Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn Toán có thể được biểu
diễn theo sơ đồ sau:
Đặc biệt hóa từ

cái tổng quát đến cái
riêng lẻ

Đặc biệt hóa từ
cái riêng đến cái
riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ chưa biết


15

Ví dụ 3: Cho a1 , a2 , a3 là các số không âm, chứng minh rằng:
a +a +a
1 2 3 ≥3a a a
1 2 3
3

(1)

Để chứng minh (1) giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh một
trường hợp đặc biệt khi a3 =

a1 + a2
. Khi đó (1) trở thành:
2

a +a
a +|a + 1 2
a +a
a +a
1
2
2 ≥ 3 a a 1 2 ⇔ 1 2 ≥ a a ⇔ a −a 2 ≥ 0
1 2 2
1 2
1 2
3
2

(

)

Từ trường hợp đặc biệt đúng ta có thể áp dụng để chứng minh tổng quát
hơn cho 4 số không âm. Đó là:
a +a
a +a
1 2+ 3 4
aa + a a
a +a +a +a
3 4 ≥ 4 a a a a (2)
1 2 3 4= 2
2 ≥ 1 2
1 2 3 4
4

2
2
Khi (2) là bất đẳng thức tổng quát hơn đã được chứng minh bây giờ
chúng ta xét trường hợp đặc biệt khi a4 =

a1 + a2 + a3
ta sẽ được bất đẳng
3

thức (1).
1.1.2.3. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tượng hoá là sự nêu bật và tách những đặc
điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất”. Chẳng hạn trừu tượng
hoá mệnh đề: “Bình phương của một số âm là một số dương” học sinh phải
tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để được mệnh đề: “luỹ
thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương”.
Không có khái quát hoá và trừu tượng hoá thì không thể có kiến thức
và tri thức lí thuyết được. Khi trừu tượng hoá, chúng ta tách ra cái chung


16
trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một
bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú
ý tới những cái riêng này. Chẳng hạn từ những kết quả cụ thể: Hình chữ
nhật có giao của 2 đường chéo là trung điểm của mỗi đường. Hình vuông
cũng có 2 dường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình thoi
cũng có kết quả tương tự. Tất cả 3 hình kể trên đều là hình bình hành. Từ
đó ta có thể tách một đặc điểm chung của các hình trên và có mệnh đề khái
quát sau: “Trong một hình bình hành các đường chéo giao nhau tại trung
điểm của mỗi đường”.

Cụ thể hóa là tìm ví dụ minh họa cho cái chung đó, tức là tìm một cái
riêng mà nó thõa mãn những tính chất (điều kiện)của cái chung đã xác định.
Học sinh cũng thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những
điều kiện cụ thể mới, thường là do phải chuyển từ tư duy cụ thể sang tư duy
trừu tượng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất
làm mờ nhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và
cái trừu tượng.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA

(ABC) Xác định khoảng

cách từ điểm A đến mp(SBC).
Theo giả thiết, gọi H là hình chiếu
của điểm A trên SB, tức là AH ⊥ SB.
HS chứngminh được AH ⊥ (SBC). Khi
đó khoảng cách từ điểm A tới
mp(SBC) là độ dài đoạn AH.
Mặc dù học sinh nắm rõ cách tìm
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhưng khi gặp bài toán cụ thể
thì HS còn gặp một số khó khăn trong việc xác định được hình chiếu của
điểm đó trên mặt phẳng.
1.1.2.4. Tương tự hóa


17
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống nhau
nhưng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm.
Trong “lôgic học”, D. Gorki viết: “Tương tự là phép suy luận trong đó

từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các
đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác. Nếu đối tượng A có dấu hiệu
là a, b, c, d và đối tượng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả
định rằng đối tượng B cũng có tính chất d. Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép
suy luận tương tự như sau:
A có tính chất a, b, c, d
B có tính chất a, b, c
-------------------------------------------Kết luận B cũng có tính chất d” (Theo 20).
Trong Toán học, người ta thường xét vấn đề tương tự trên các khía
cạnh sau:
- Hai phép chứng minh là tương tự, nếu đường lối, phương pháp chứng
minh là giống nhau;
- Hai hình là tương tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau. Nếu vai
trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử
tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau. Chẳng hạn đường thẳng trong
mặt phẳng tương tự với mặt phẳng (trong Hình học không gian), vì trong Hình
học phẳng đường thẳng là đường đơn giản nhất có vai trò giống mặt phẳng là
mặt đơn giản nhất trong Hình học không gian. Ngoài ra, có nhiều định lý vẫn
còn đúng nếu chúng ta thay từ “đường thẳng” bởi từ “mặt phẳng”, ví dụ định
lý “Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song” (có thể thay “đường thẳng” bởi “mặt phẳng”).
Nói về vai trò của phép tương tự, nhà Sư phạm đồng thời là nhà Toán
học nổi tiếng người Mỹ G. Pôlya có nhận xét: “Trong Toán học sơ cấp cũng
như trong Toán học cao cấp, phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh.
Trong một số phát minh, phép tương tự đóng vai trò quan trọng hơn cả”. Ở
đây, chúng ta chỉ xét những phép tương tự theo nghĩa là chuyển từ một trường
hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát.
Ví dụ 5: Dạy học về phương trình bậc 2

18
Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
Nếu

Thì

S = x 1 + x2 = -

P = x1.x2 =
Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2 trên. Học sinh dễ dàng
tính được biểu thức theo hệ số a, b, c.
S2 =

+

= ( x1 + x2 )2 – 2x1x2
Thay

S = x 1 + x2 = -

P = x1.x2 =

Vào ta được S2 =
Tương tự như vậy yêu cầu HS tính:
S3 =

+

=

1.1.2.5. Quy lạ về quen
Mục tiêu của việc luyện tập cho học sinh hoạt động quy lạ về quen là để
tăng cường khả năng huy động kiến thức để giải quyết vấn đề nói chung, nói
riêng để chuyển bài toán về dạng quen thuộc.
Mọi sự vật hiện tượng đều có mối liên hệ với nhau. Đó có thể là sự liên
hệ bên trong hoặc bên ngoài; trực tiếp hoặc gián tiếp trong tổng thể những


19
mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn màu muôn vẻ của nó đối với các
sự vật hiện tượng khác.
Mỗi bài tập không phải ngẫu nhiên mà có, nó có thể là kết quả của sự
khái quát, tương tự... của một lý thuyết, bài tập nào đó. Mỗi bài tập có thể
được diễn đạt theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc vào môi trường "không
gian" của nó.
Do đó, khi giải một bài toán, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh nhìn
nhận bài tập cần giải trong tổng thể hình dạng không gian khác, đặt bài toán
cần xem xét trong hình biểu diễn khác, thay đổi ngôn ngữ, vừa để "lợi dụng"
được những tính chất của hình dạng biểu diễn vừa tìm ra được những cách
giải hay, ngắn gọn súc tích. Học sinh vừa có dịp ôn lại các tính chất của hình
biểu diễn lại được nâng cao khả năng tưởng tượng, tính linh hoạt, sáng tạo
trong lời giải, biết nhìn bài toán trong tổng thể các mối liên hệ lại vừa cung
cấp thêm một phương pháp mới để giải toán. Thực hiện nhuần nhuyễn những
thao tác trên còn giúp học sinh được giáo dục về tư duy biện chứng.
Việc rèn luyện cho học sinh hoạt động này có thể tiến hành bằng cách
chuyển việc xét bài toán từ hình không gian này sang xét bài toán trong hình
không gian khác liên quan trực quan hơn, quen thuộc hơn. Chẳng hạn, có thể
đặt các hình tứ diện, hình chóp, lăng trụ vào hình hộp chữ nhật, để làm sáng
tỏ điều này ta xét các ví dụ minh họa sau:
Ví dụ 6: Cho tứ diện trực tâm ABCD

1. Chứng minh các đoạn trung bình của tứ diện bằng nhau.
2. Chứng minh tổng các bình phương hai cạnh đối của tứ diện bằng nhau.
Đối với bài toán trên, học sinh có thể giải trực tiếp, song việc đặt tứ diện
vào hình hộp, chuyển bài toán tứ diện thành bài toán hình hộp giúp học sinh có
phương pháp giải đơn giản hơn, ngắn gọn hơn và trực quan hơn. Việc đặt tứ diện
vào hình hộp là có thể. Qua mỗi cạnh của tứ diện dựng mặt phẳng song song với
cạnh đối. Ta được ba cặp mặt phẳng, và trong mỗi cặp ấy hai mặt phẳng song
song với nhau. Sáu mặt phẳng này cắt nhau tạo thành hình hộp.
Quay trở lại ví dụ trên, giáo viên hướng dẫn, gợi ý học sinh giải toán:
- Tứ diện trực tâm có gì đặc biệt ?


20
- Là tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc nhau.

D

B'

- Hãy đặt tứ diện trực tâm ABCD vào trong
hình hộp nào đó, hình hộp ngoại tiếp tứ diện trực

I
A

C'

tâm ABCD có gì đặc biệt ?
Gọi hình hộp đó là A'BD'C.AB'DC'.
Ta có B'C' // BC và A'D' ⊥ BC.

⇒ AD ⊥ B'C'
⇒ hình bình hành AC'DB' là hình thoi

D'

B
J
A'

C

⇒ hình bình hành A'CD'B cũng là hình thoi
Chứng minh tương tự ta có các mặt còn lại của hình hộp cũng là hình thoi.
Vậy tứ diện trực tâm ABCD nội tiếp trong hình hộp A'CD'B.AC'DB' có
sáu mặt là hình thoi cạnh bằng nhau, bằng a.
- Gọi I, J là trung điểm các cạnh AD và BC. Nhận xét gì về quan hệ của
đoạn thẳng IJ với tứ diện và với mặt chéo AD'DA' của hình hộp?
IJ là đoạn trung bình của tứ diện. IJ cũng là đoạn trung bình của hình
bình hành AD'DA.
Do đó: IJ = AA' = a
Chứng minh các đường trung bình còn lại tương tự cũng bằng a.
Vậy 3 đoạn trung bình của tứ diện trực tâm dài bằng nhau.
- Nhận xét gì hai mặt đáy của hình hộp?
Hai mặt đáy của hình hộp là hai hình bình hành bằng nhau.
- Hãy tính AD2 + BC2 qua a?
Ta có: AD2 + BC2 = AD2 + B'C'2 = (2 AI)2 + (2IB')2
= 4AI2 + 4IB'2 = 4 (AI2 + IB'2) = 4AB'2 = 4a2
Tương tự:

AB2 + CD2 = 4a2

AC2 + BD2 = 4a2

Vậy:

AB2 + BD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 = 4a2.

Ở ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng các tính chất của hình hộp để giải
quyết bài toán tứ diện. Không chỉ đặt được tứ diện vào hình hộp mà đối với


21
hình chóp, lăng trụ hoặc hai đường chéo nhau bất kỳ ta cũng có thể đặt vào
trong hình hộp được.
1.1.2.6. Chuyển hóa liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác
Liên tưởng nghĩa là nghĩ tới sự việc, hiện tượng nào đó có liên quan đến
sự việc hiện tượng đang xảy ra.
Liên tưởng có vai trò rất quan trọng khi ghi nhớ và nhớ lại. Để giải
quyết bài toán nào đó có thể ta phải liên tưởng đến những định lý, nhữn bài
toán, những kiến thức quen thuộc đã biết, nhưng đến khi bài toán đã được giải
quyết song rồi nó sẽ trở thành kiến thức quen thuộc đối với chính mình và sau
đó đối với những bài toán khó hơn, trong quá trình giải có khi ta lại nghĩ tới,
liên tưởng tới cái mà ta vừa tích lũy được, vì vậy để bồi dưỡng cho học sinh
hoạt động phát hiện ta cần thiết phải quan tâm một cách đúng mực đến việc
bồi dưỡng năng lực chuyển hóa liên tưởng mà ta có thể chuyển việc xem xét
các đối tượng quan hệ từ mô hình này qua mô hình khác quen thuộc hơn, dể
phát hiện vấn đề hơn.
Ví dụ 7: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giác đều
cạnh đáy bằng a và cạnh đáy bằng b.
Giả sử hình chóp SABCD đều, SA = SB = SC =b,AB =BC= CA =a. Do
hình chóp SABCD đều nên chân đường cao vẽ từ S là tâm H của tam giác

ABC, khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên tâm O của mặt
cầu A thuộc đường thẳng SH.
Giả sử (ABC) cắt mặt cầu ngoại
tiếp theo đường tròn ngoại tiếp
ABC. Đường cao của ABC kéo
dài cắt đường tròn trên tại I.
=> Mặt phẳng ( SAI) cắt mặt cầu
theo đường tròn lớn. Việc tìm bán kính
của mặt cầu quy về tìm bán kính
đường tròn ngoại tiếp SAI trong đó
SH⊥AI, SA = SI =b, HA =HI ( vì hai đường xiên SA bằng SI vẽ từ một điểm.


22
Khi đó, Giả sử R là bán kính mặt cầu, cũng là bán kính đường tròn ngoại
tiếp SAI theo định lý hàm số sin trong SAI
2R =

( với

là độ lớn SAI )

Trong  vuông SAH ta có:

Cosα =

AH a 3
3a 2
3b2 − a 2
=

⇒ sin α = 1 −
=
2
SA 3b
9b2
3b

( )

3b2
⇒ 2R =
3b2 − a2
R=

Vậy:

3b2
2 3b2 − a 2
Trong dạy học, đặc biệt là trong hoạt động giải toán, liên tưởng có vai

trò rất quan trọng. Đứng trước một bài toán cụ thể nếu liên tưởng được những
kiến thức từ các định nghĩa, địnhlý, các bài toán cũng đang biết cách giải…
Thì việc giải quyết đó sẽ dễ dàng hơn. Lẽ đương nhiên không cần sử đến
những kiến thức mà người ta đã tích lũy được trước đó, mà cần xem xét đến
những mối liên hệ đó, những kiến thức đó giúp chủ thể giải quyết được bài
toán đặt ra không, điều này còn phụ thuộc vào khả năng của người giải toán.
Nhũng tri thức được tích lũy từ trước đó trong trí nhớ của người giải toán, giờ
đây được rút ra để vận dụng một cách thích hợp.

23
1.1.3. Tri thức trong hoạt động phát hiện
Chúng ta biết rằng, tri thức là đối tượng của hoạt động học tập. Để dạy
một tri thức nào đó, thầy giáo không thể trao ngay cho học sinh điều thầy
muốn dạy; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình
huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích
cực và sáng tạo của bản thân.
Sau mỗi quá trình học tập, người học không chỉ đơn thuần thu được
những tri thức khoa học (khái niệm mới, định lí mới,...) mà còn phải nắm
được những tri thức phương pháp (dự đoán, giải quyết, nghiên cứu...). Đó
chính là những tri thức phương pháp, vừa là kết quả vừa là phương tiện của
hoạt động tạo cho học sinh một tiềm lực quan trọng để hoạt động tiếp theo.
Các dạng tri thức thường gặp [35, tr.28]:
Tri thức sự vật: Những hiểu biết về hiện thực khách quan mà con người
đã tích lũy được. Trong môn toán đó là: khái niệm, định lí, phương pháp giải
Toán, có khi là một yếu tố lịch sử.
Tri thức phương pháp: Gồm có hai loại, phương pháp có tính chất thuật
toán và phương pháp có tính chất tìm đoán.
Tri thức chuẩn: Những kiến thức có liên quan đến chuẩn mực đạo đức (ít
gặp ở môn Toán).
Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá. Ví dụ như:
"Khái quát hóa là một thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học" hay "phép
tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh nó
chiếm vai trò quan trọng hơn cả" (theo G.Polya).
Trong những dạng tri thức kể trên thì tri thức phương pháp đóng một vai
trò quan trọng trong việc tổ chức hoạt động vì đó là cơ sở định hướng cho
hoạt động.
Những tri thức phương pháp định hướng cho hoạt động nhận thức
thường gặp trong dạy học toán [35, tr. 37]:
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học cụ

thể như cộng hai số hữu tỉ, giải phương trình bậc hai…


24
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán
họcphức tạp như định nghĩa, chứng minh…
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ phổ biến
trong môn toán như hoạt động tư duy hàm, phân chia các trường hợp riêng.
- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ
chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự,...
- Những tri thức về phương pháp tiến hành nhữn hoạt động ngôn ngữ logic
như dịch sang ngôn ngữ vectơ, tọa độ, biến hình, mệnh đề ba điểm A, B, C thẳng
hàng, lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành
một tuteenr hay hội của chúng.
Tri thức vừa là điều kiện, vừa là kết quả của hoạt động. Vì vậy trong
dạy học ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt
được trong quá trình hoạt động. Thầy giáo cần chú ý tới những dạng khác
nhau của tri thức như: Tri thức sự vật, tri thức phương pháp, tri thức chuẩn,
tri thức giá trị… điều này tạo cơ sở cho việc giáo dục toàn diện.
Đứng trước một nội dung dạy học, người thầy giáo cần nắm được tất cả
các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó. Nắm được như vậy
không phải là để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải
căn cứ vào mục đích và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, mức độ làm
việc thích hợp, từ mức độ dạy học tường minh tới mức độ thực hành ăn khớp
với tri thức phương pháp.
1.2. Hoạt động phát hiện thể hiện trong một số lý thuyết dạy học và
phương pháp dạy học tích cực
1.2.1. Hoạt động phát hiện thể hiện trong PPDH theo lý thuyết HĐ
1.2.1.1. Quan điểm hoạt động trong dạy học giải bài tập toán.
Luận điểm cơ bản của lý thuyết HĐ là “Con người làm ra chính bản thân

mình bằng lao động và HĐ xã hội. Toàn bộ đời sống tâm lý, ý thức của con
người là sự phản ánh thực tiễn đời sống vật chất của nó. Tâm lý, ý thức được
hình thành và được biểu hiện qua HĐ, mà trước hết là lao động sản suất và
HĐ xã hội ” [19,tr32]


25
Nội dung dạy học giải bài tập Toán có mối liên hệ mật thiết với HĐ của
con người, đó là một biểu hiện của mối liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và
PPDH. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với nhữngHĐ nhất định. Đó là các
HĐ được thực hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó.
Chúng ta cần quan tâm không chỉ là những HĐ cụ thể mà còn cần biết
nhìn những HĐ một cách trừu tượng hơn mà xét chúng trên những bình diện
khác nhau để thấy được những dạng HĐ khác nhau. Làm như vậy ta sẽ xác
định được những dạng HĐ cơ bản tiềm tàng trong từng nội dung.
Trong một HĐ có thể có nhiều HĐ thành phần. Người GV cần khai thác
những HĐ thành phần ẩn chứa trong mỗi HĐ, nhằm rèn luyện cho HS đã có
kỹ năng trong các HĐ thành phần thì những HĐ bao hàm những hoạt động đó
sẽ tốt hơn.
Mục đích dạy học giải bài tập Toán không phải chỉ ở những kết quả cụ
thể của quá trình học tập, ở tri thức và kỹ năng mà điều quan trọng hơn là ở
bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện
những quá trình học tập một cách có hiệu quả. Đương nhiên ý tưởng này chỉ
có thể được thực hiện trong những quá trình mà người học thực sự HĐ để đạt
được những gì mà họ cần đạt.
Con người sống trong HĐ, học tập diễn ra trong HĐ đó chính là học tập
trong HĐ và bằng HĐ. Việc thiết kế các HĐ, tạo môi trường cho học sinh
được học tập trong HĐ và bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của việc đổi mới
PPDH hiện nay. Vì PPDH mới là phương pháp tổ chức HĐ có đối tượng. Do
đó việc xác định được đối tượng HĐ dựa trên cơ sở tổ chức HĐ của người

học là nền tảng cơ bản để tiến hành việc giáo dục có hiệu quả.
Tính tự giác, tích cực của người học từ lâu đã thành một nguyên tắc của
giao dục học xã hội chủ nghĩa. Tính tự giác, tích cực và chủ động của người
học có thể đạt được bằng cách tổ chức cho học sinh học tập thông qua những
HĐ được hướng đích và gợi động cơ để chuyển hóa nhu cầu cho xã hội thành
nhu cầu nội tại của chính bản thân mình. HS chỉ có thể phát huy sáng tạo khi
họ được học tập trong HĐ và bằng HĐ. Tùy theo hoàn cảnh cụ thể có thể tổ
chức cho học sinh HĐ độc lập hoặc trong giao lưu.