Không gian các ánh xạ liên tục với tôpô dãy hội tụ mở và các phủ đếm được theo điểm

MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
§1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§2. Các tính chất đơn giản của không gian Ccs (X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . 9
§3. Một số tính chất của không gian Ccs (X, Y )
liên quan đến các phủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1


LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết cơ bản về các phủ, đặc biệt là phủ đếm được theo điểm trong
các không gian mêtric tổng quát đã được các nhà toán học như D. K. Burke,
G. Gruenhege, E. Michael, Y. Tanaka,. . . quan tâm từ những năm 1970.
Trong những năm gần đây, các vấn đề nói trên được nghiên cứu sâu hơn
trong các không gian tôpô đặc biệt bởi các nhà toán học như Shou lin,
Pengfei Yan, Y. Tanaka . . . Sự tồn tại các phủ đếm được theo điểm, các đặc
trưng của mỗi loại phủ trong không gian đặc biệt là những vấn đề được nhiều
người quan tâm.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại các lưới đếm được theo
điểm và các tính chất của không gian Ccs (X, Y ) (Ccs (X, Y ) là tập tất cả các
ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y với tôpô dãy
hội tụ-mở) . Ngoài ra, luận văn còn nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian
Ccs (X, Y ) với các không gian khác. Với mục đích trên, luận văn được trình
bày theo các mục sau.

§1. Kiến thức chuẩn bị.
§2. Các tính chất cơ bản của không gian Ccs (X, Y ).
§3. Một số tính chất của không gian Ccs (X, Y ) liên quan đến các
phủ.
Trong §1, chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và kiến thức cơ bản
để phục vụ cho việc nghiên cứu các mục tiếp theo.
Trong §2, trước tiên chúng tôi giới thiệu về không gian các ánh xạ liên
tục C(X, Y ) với tôpô dãy hội tụ-mở. Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày các
2


tính chất cơ bản của không gian Ccs (X, Y ) tương tự như của không C(X, Y )
với tôpô compact-mở. Đưa ra và chứng minh các Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4, 2.6
và Hệ quả 2.7; Định lý 2.8.
Trong §3, chúng tôi chứng minh chi tiết một số tính chất liên quan đến
các phủ của không gian Ccs (X, Y ) đã được đưa ra trong tài liệu tham khảo
[4]; như các Bổ đề 3.1, 3.4 và các Định lý 3.2, 3.6, 3.12, 3.17. Đưa ra và
chứng minh một số kết quả mới về điều kiện đủ để không gian Ccs (X, Y ) là
cs-σ-không gian và sự tồn tại các loại lưới trong Ccs (X, Y ) như Mệnh đề 3.5,
Mệnh đề 3.8, Mệnh đề 3.10; Hệ quả 3.14, Mệnh đề 3.15.
Nhân đây, tôi xin được chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy
Hoàng đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời
cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học, đặc biệt là
các thầy cô giáo trong tổ Giải tích cùng các bạn học viên Cao học 13 - Toán
đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Vinh, tháng 12 năm 2007
Tác giả

3

§1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong mục này, ta trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản cần
dùng trong luận văn.
1.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và τ là họ các tập con nào đó
của X. Họ τ được gọi là một tôpô trên X nếu X thỏa mãn các điều kiện sau
(1) ∅ và X thuộc τ ;
(2) Hợp của một số tuỳ ý và giao của một số hữu hạn các phần tử của τ
là thuộc τ .
Tập X cùng với tôpô τ trên đó được gọi là một không gian tôpô nói gọn
là không gian, ký hiệu (X, τ ).
Tập con E của X được gọi là Gδ -tập, nếu E là giao của một số đếm được
các tập mở trong X.
1.2. Định nghĩa. Giả sử B là một họ các tập mở của không gian tôpô
X. B được gọi là cơ sở tôpô của X nếu với mỗi x ∈ X và mọi lân cận U của
x đều tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U .
1.3. Định nghĩa. Họ ϑ các tập con của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là tiền cơ sở của tôpô τ nếu
X = ∪{V : V ∈ ϑ}
và họ tất cả các giao hữu hạn các phần tử của ϑ lập thành cơ sở của tôpô τ .
1.4. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là compact nếu mỗi phủ
4


mở của X đều có phủ con hữu hạn.
Tập con A của không gian tôpô X được gọi là compact nếu không gian
con A của X là một không gian compact, tức A cũng là không gian compact
với tôpô cảm sinh.
1.5. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1 -không gian nếu với

mỗi cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn tại lân cận U của x sao cho y = U .
1.6. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T2 -không gian nếu với
mỗi cặp điểm phân biệt x, y = X đều tồn tại lân cận U của x, lân cận V của
y sao cho U ∩ V = ∅.
1.7. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là chính quy nếu với mỗi
điểm x ∈ X và tập đóng F trong X không chứa x đều tồn tại hai tập mở U
và V sao cho
x ∈ U, F ⊂ V và U ∩ V = ∅.
Một cách tương đương, X chính quy nếu với mỗi lân cận U của x ∈ X
đều tồn tại lân cận đóng V của x sao cho x ∈ V ⊂ U .
1.8. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X được gọi là
một phủ của A ⊆ X nếu
A ⊂ ∪{P : P ∈ P}.
Ta viết ∪ P thay cho ∪{P : P ∈ P}.
Nếu P = {P : P mở trong X} thì P được gọi là phủ mở của x.
Nếu P = {P : P compact trong X} thì P được gọi là phủ compact của X.
5


1.9. Định nghĩa. Giả sử P là một phủ của không gian X.
(1) P được gọi là k-lưới nếu mọi K-compact và U mở trong X sao cho
K ⊂ U đều tồn tại họ con hữu hạn F của P thỏa mãn K ⊂ ∪ F ⊂ U .
(2) P được gọi là một lưới nếu mọi x ∈
/ X và mọi U mở trong X mà x ∈ U
đều tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U .
(3) P được gọi là cs-lưới của không gian tôpô X nếu mỗi dãy {xn } hội tụ
tới x trong X và U là lân cận của điểm x thì tồn tại P ∈ P và m ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U.
(4) P được gọi là cs∗ -lưới của không gian tôpô X nếu với mỗi dãy {xn }
hội tụ tới điểm x trong X và mọi lân cận U của x thì tồn tại P ∈ P sao cho

có một dãy con {xni : i ∈ N } của {xn } mà {x} ∪ {xni : i ∈ N } ⊂ P ⊂ U .
(5) P được gọi là wcs∗ -lưới nếu với mỗi dãy {xn } hội tụ tới x trong X và
mọi lân cận U của x luôn tồn tại P ∈ P sao cho có một dãy con {xni : i ∈ N }
của {xn } mà
{xni : i ∈ N } ⊂ P ⊂ U.
1.10. Định nghĩa. Giả sử P là họ các tập con nào đó của không gian X.
Họ P được gọi là đếm được theo điểm nếu mỗi điểm của X thuộc không quá
đếm được các phần tử của P.
Họ P được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi x ∈ X đều tồn tại một lân
cận U của x mà U chỉ giao với một số hữu hạn các phần tử của P.
Họ P = {Pα : α ∈ Λ} được gọi là có tính chất HCP nếu
∪{Bα : α ∈ Λ } = ∪{Bα : α ∈ Λ },
6


với bất kỳ Λ ⊂ Λ và Bα ⊂ Pα với mọi α ∈ Λ .
Họ P được gọi là có tính chất W HCP nếu {x(P ) ∈ P : P ∈ P} là họ có
tính chất HCP .
∞

Pn , trong đó mỗi Pn

Họ P được gọi là σ-hữu hạn địa phương nếu P =
n=1

là hữu hạn địa phương.
1.11. Định nghĩa. T1 -không gian, chính quy X được gọi là ℵ-không gian
nếu X có một k-lưới σ-hữu hạn địa phương.
1.12. Định nghĩa. T1 -không gian, chính quy X được gọi là ℵ0 -không gian
nếu X có một k-lưới đếm được.

1.13. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là σ-không gian nếu X
có một lưới σ-hữu hạn địa phương.
1.14. Định nghĩa. Tập con Y của không gian X được gọi là rời rạc nếu
mọi tập con của Y đều là tập đóng trong Y .
Không gian X được gọi là ℵ1 -compact nếu mọi tập con rời rạc, đóng của
nó đều đếm được hoặc hữu hạn.
1.15. Định nghĩa. Không gian chính quy X với một cs-lưới σ-hữu hạn
địa phương là một cs-σ-không gian.
1.16. Định nghĩa. Phủ B của không gian tôpô X được gọi là cái mịn
hay cái làm mịn của phủ U nếu mỗi phần tử B được chứa trong phần tử nào
đó của phủ U.

7


1.17. Định nghĩa. Không gian chính quy X được gọi là paracompact nếu
mỗi phủ mở của X đều có cái mịn hữu hạn địa phương mở.
1.18. Định nghĩa. Ánh xạ f : X−→Y từ không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y được gọi là ánh xạ phủ compact nếu với mỗi tập compact C
trong Y đều tồn tại một tập compact K trong X sao cho f (K) = C.
1.19. Định lý ([4]). Nếu X là không gian tôpô thì các điều kiện sau tương
đương
(i) X là một ℵ0 -không gian;
(ii) X là không gian chính quy với một cs-lưới đếm được.
1.20. Định lý ([2]). Nếu X là không gian chính quy, thì các điều kiện
sau đây tương đương.
a) Không gian X là paracompact;
b) Mỗi phủ mở của X có cái mịn hữu hạn địa phương;
c) Mỗi phủ mở của X có cái mịn σ-hữu hạn địa phương.
1.21. Bổ đề. Không gian tôpô X là ℵ0 -không gian khi và chỉ khi X có

cs-lưới đếm được.
1.22. Định nghĩa. Cho không gian X và P là phủ gồm các tập con của
X. Khi đó X được gọi là k-không gian nếu X được xác định bởi phủ gồm
tất cả các tập con compact của X.
1.23. Bổ đề. Nếu không gian tôpô X là k-không gian mà mỗi điểm là
Gδ -tập thì X là không gian dãy.

8


§2. CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN
CỦA KHÔNG GIAN Ccs(X, Y )
Trong mục này, sẽ trình bày một số ký hiệu, khái niệm và tính chất cơ
bản của không gian các ánh xạ liên tục Ccs (X, Y ).
Giả sử X, Y là hai không gian tôpô. Ký hiệu C(X, Y ) là tập tất cả các
ánh xạ liên tục từ X vào Y .
Giả sử {xn } là dãy hội tụ tới x trong X. Ta ký hiệu
Z = {x; x1 , x2 , . . . }.
Khi đó ta gọi Z là một dãy hội tụ trong X và ký hiệu
Zn = {x; xn , xn+1 , . . . }.
Với mỗi dãy hội tụ Z trong X và mỗi tập mở U trong Y , ta ký hiệu
(Z, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (Z) ⊂ U }.
2.1. Mệnh đề. Họ tất cả các tập (Z, U ), trong đó Z là một dãy hội tụ
trong X và U là một tập mở trong Y và là tiền cơ sở của tôpô trong C(X, Y ).
Tôpô nói trong Mệnh đề 2.1 được ký hiệu là τcs , không gian C(X, Y ) với tôpô
τcs được ký hiệu là Ccs (X, Y ).
Ta gọi tôpô τcs là tôpô dãy hội tụ - mở. Sau này nếu không có gì nói thêm
thì tôpô trên Ccs (X, Y ) luôn hiểu là tôpô dãy hội tụ-mở.
Họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng (Z, U ) trong đó Z, U được
xác định như trên lập thành cơ sở của tôpô dãy hội tụ - mở. Một phần tử

9


n

tuỳ ý của cơ sở đó có dạng

(Zi , Ui ), trong đó mỗi Zi là một dãy hội tụ
i=1

trong X, còn mỗi Ui là một tập con mở của Y .
Sau đây, ta chứng minh một số tính chất đơn giản của không gian Ccs (X, Y ).
2.2. Mệnh đề. Nếu Y là T1 -không gian thì Ccs (X, Y ) là T1 -không gian.
Chứng minh. Giả sử f, g ∈ Ccs (X, Y ) sao cho f = g. Khi đó, luôn tồn tại
x ∈ X sao cho f (x) = g(x). Vì Y là T1 -không gian nên tồn tại lân cận mở U
của f (x) sao cho g(x) ∈
/ U.
Đặt Z = {x; x, . . . } thì (Z, U ) là lân cận của f vì (Z, U ) thuộc tiền cơ sở
của tôpô τcs trong Ccs (X, Y ). Do g(x) ∈
/ U nên g ∈
/ (Z, U ). Vậy Ccs (X, Y ) là
T1 -không gian.
2.3. Mệnh đề. Nếu Y là T2 - không gian thì Ccs (X, Y ) là T2 -không gian.
Chứng minh. Giả sử f ∈ Ccs (X, Y ) sao cho f = g. Khi đó, luôn tồn tại
x ∈ X sao cho f (x) = g(x). Vì Y là T2 -không gian nên tồn tại các lân cận
mở U, V lần lượt của f (x) và g(x) sao cho U ∩ V = ∅.
Giả sử Z = {x; x, x, . . . } là dãy hội tụ trong X. Khi đó (Z, U ) là lân cận
của f và (Z, V ) là lân cận của g trong Ccs (X, Y ) thỏa mãn
(Z, U ) ∩ (Z, V ) = ∅.
Thật vậy, với mỗi h ∈ (Z, U ), ta có h(Z) ⊂ U . Khi đó h(Z)

(1)
V (vì

U ∩ V = ∅). Do đó h ∈
/ (Z, V ). Từ đó suy ra Ccs (X, Y ) là T2 -không gian.
2.4. Mệnh đề. Nếu Y là không gian chính quy thì Ccs (X, Y ) là không
gian chính quy.
10


Chứng minh. Với mỗi f ∈ Ccs (X, Y ) và mỗi lân cận W của f tồn tại một
tập W ∈ B trong đó B là cơ sở tôpô của Ccs (X, Y ) sao cho W ⊂ W . Ta cần
chứng minh tồn tại lân cận đóng V của f sao cho V ⊂ W . Không mất tính
tổng quát ta có thể coi W = W . Giả sử
n

W =

(Zi , Ui )
i=1

trong đó Zi là dãy hội tụ trong X, Ui là tập mở trong Y với mọi i = 1, 2, . . . , n.
Vì f ∈ (Zi , Ui ) với mọi i = 1, 2 . . . , n nên f (Zi ) ⊂ Ui , i = 1, 2 . . . , n. Mặt khác,
do f là ánh xạ liên tục từ X vào Y và Zi là dãy hội tụ trong X nên f (Zi )
là dãy hội tụ trong Y , với i = 1, 2, . . . , n. Từ giả thiết Y là không gian chính
quy suy ra tồn tại lân cận đóng Vi của f (Zi ) với i = 1, 2, . . . , n sao cho
f (Zi ) ⊂ Vi ⊂ Ui ,

i = 1, 2, . . . , n.

Do đó
f ∈ (Zi , Vi ) ⊂ (Zi , Ui ) với mọi i = 1, 2, . . . , n
hay
n

f∈

n

(Zi , Vi ) ⊂
i=1

(Zi , Ui ) = W.
i=1

n

Đặt V =

(Zi , Vi ). Khi đó V là lân cận của f .
i=1

Ta còn phải chứng minh V là tập đóng. Muốn chứng minh V đóng, trước
hết ta cần chứng minh rằng với mỗi i = 1, 2, . . . , n đều có
(Zi , Vi ) =

(Zt , Vi )
t∈Zi

trong đó Zi = {x; x1 , x2 , . . . }; Zt = {t; t, t . . . }, t ∈ Zi .
11

(1)


Thật vậy, với mỗi f ∈ (Zi , Vi ) ta có f (Zi ) ⊂ Vi . Do đó
f (t) ∈ f (Zi ) ⊂ Vi với mọi t ∈ Zi
nghĩa là
f ∈ (Zt , Vi ) với mọi t ∈ Zi
hay
f∈

(Zt , Vi ).
t∈Zi

Ngược lại, giả sử g ∈

(Zt , Vi ). Khi đó ta có
t∈Zi

g ∈ (Zt , Vi ) với mọi t ∈ Zi .
Do đó g(t) ∈ Vi với mọi t ∈ Zi hay g(Zi ) ⊂ Vi . Bao hàm thức này chứng
tỏ g ∈ (Zi , Vi ). Vậy, ta có
(Zi , Vi ) =

(Zt , Vi ).
t∈Zi

Bây giờ ta chứng minh rằng với mỗi t ∈ Zi , tập (Zt , Vi ) là đóng trong

không gian Ccs (X, Y ) hay Ccs (X, Y ) \ (Zt , Vi ) là tập mở.
Thật vậy, với bất kỳ ϕ ∈ Ccs (X, Y ) \ (Zt , Vi ) ta có ϕ(t) ∈
/ Vi . Vì Vi đóng
nên Y \ Vi là tập mở. Từ đó (Zt , Y \ Vi ) mở trong Ccs (X, Y ) chứa ϕ. Rõ ràng,
nếu ψ ∈ (Zt , Y \ Vi ) thì ψ(t) ∈ Y \ Vi . Do đó ψ ∈
/ (Zt , Vi ). Từ đó suy ra
(Zt , Y \ Vi ) ⊂ Ccs (X, Y ) \ (Zt , Vi )
và do đó Ccs (X, Y ) \ (Zt , Vi ) mở hay (Zt , Vi ) đóng.

12


Như vậy, từ bao hàm thức (1) suy ra mỗi tập (Zi , Vi ) là đóng trong
Ccs (X, Y ). Do đó, ta có V là tập đóng trong Ccs (X, Y ). Mệnh đề được chứng
minh.
2.5. Định nghĩa. (i) Tôpô compact-mở là tôpô được ký hiệu là τ trên
C(X, Y ) mà nó nhận họ các tập dạng
(K, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (K) ⊂ U }
trong đó K là tập compact trong X còn U là tập mở trong Y ; làm tiền cơ sở
trong τ .
(ii) Tôpô hội tụ theo điểm là tôpô được ký hiệu là τp trên C(X, Y ) mà nó
nhận họ các tập dạng
({x}, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (x) ∈ U }
trong đó x là phần tử trong X còn U là tập mở trong Y ; làm tiền cơ sở trong τp .
Sau này, khi nói tới không gian C(X, Y ), nếu không nói khác thì hiểu tôpô
trên nó là tôpô compact-mở τ .
2.6. Mệnh đề. Với hai không gian tôpô X, Y bất kỳ ta có
τp ⊂ τcs ⊂ τ.
Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chứng minh τp ⊂ τcs . Theo định nghĩa, tập
tiền cơ sở trong τp là tập có dạng

({x}, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (x) ∈ U }, x ∈ X, U mở trong Y.

13


Khi đó, coi {x} là một dãy dừng ta có
({x}, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (x) ∈ U }
là tập tiền cơ sở trong τcs . Do đó τp ⊂ τcs .
Bây giờ ta sẽ chứng minh τcs ⊂ τ . Theo định nghĩa, tập tiền cơ sở trong
τcs là tập có dạng
(Z, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (Z) ⊂ U }
trong đó Z là dãy hội tụ trong X, U là tập mở trong Y .
Giả sử Z = {x; x1 , x2 , . . . }. Khi đó, Z là một tập compact nên
(Z, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (Z) ⊂ U },
cũng là tập tiền cơ sở trong τ . Do đó τcs ⊂ τ .
Từ hai kết luận trên ta suy ra τp ⊂ τcs ⊂ τ .
2.7. Hệ quả. Nếu Y là T1 -không gian (tương ứng, T2 -không gian, chính
quy) thì C(X, Y ) là T1 -không gian (tương ứng, T2 -không gian, chính quy).
Chứng minh. Từ các Mệnh đề 2.2; 2.3; 2.4 và vì τcs ⊂ τ suy ra C(X, Y )
là T1 -không gian (tương ứng, T2 -không gian, chính quy) nếu Y là T1 -không
gian (tương ứng, T2 -không gian, chính quy).
2.8. Định lý. Nếu X là không gian khả li và Y là không gian mà mỗi
điểm của nó đều là Gδ -tập thì mọi điểm của Ccs (X, Y ) cũng là Gδ -tập.
Chứng minh. Giả sử E là tập con đếm được trù mật trong X và f ∈
Ccs (X, Y ). Khi đó, với mọi x ∈ E, vì f (x) là Gδ -tập nên tồn tại các tập mở
14


U1 (f (x)), U2 (f (x)), . . . sao cho
∞

f (x) =

Ui (f (x)).

(1)

i=1

Với mỗi x ∈ E, ta ký hiệu Zx = {x, x, . . . } và
U = Zx , Ui (f (x)) , x ∈ E, j = 1, 2, . . . .
Từ E đếm được suy ra U là họ đếm được. Mỗi phần tử của U là một tập
mở trong Ccs (X, Y ). Ta chứng minh
{f } =

U.
U∈ U

Rõ ràng f ∈

U . Giả sử g ∈ Ccs (X, Y ), g = f . Khi đó từ E = X và từ
U∈ U

tính liên tục của f, g ta suy ra tồn tại x ∈ E sao cho f (x) = g(x). Do đó, từ
(1) suy ra tồn tại j ∈ N sao cho g(x) ∈
/ Uj (f (x)). Từ đó g ∈
/ Zx , Uj (f (x))
tức là g ∈
/

U = {f } và f là Gδ -tập.

U . Vì thế
U∈ U

U∈ U

Vậy Định lý được chứng minh.

15


§3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN Ccs (X, Y )
LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHỦ
Trong mục này, các không gian nói tới được giả thiết là T1 và chính quy.
3.1. Bổ đề ([4]). Giả sử P là họ các tập con của không gian X mà P
khép kín đối với phép giao hữu hạn. Khi đó, nếu mọi dãy hội tụ Z trong
X, Z ⊂ S sao cho với S là phần tử thuộc tiền cơ sở của tôpô trong X đều
tồn tại P ∈ P và n ∈ N để Zn ⊂ P ⊂ S; thì P là cs-lưới trong X.
Chứng minh. Giả sử {xn } ⊂ X, xn hội tụ tới x và U là tập mở trong
X, x ∈ U . Ta có thể giả thiết xn ⊂ U với mọi n. Đặt
Z = {x; x1 , x2 , . . . }.
Ta có Z ⊂ U . Vì x ∈ U nên tồn tại tập mở B thuộc cơ sở của tôpô trong X
sao cho
x ∈ B ⊂ U.
Do B thuộc cơ sở nên tồn tại các tập S1 , S2 , . . . , Sk thuộc tiền cơ sở sao cho
k

B=

Si .
i=1

Từ x ∈ Si , với mọi i = 1, 2, . . . , k ta suy ra tồn tại ni sao cho
Zni = {x; xni , xni+1 , . . . } ⊂ Si ; i = 1, 2, . . . , k.
Theo giả thiết ắt tồn tại Pi ∈ P và mi ∈ N sao cho
Zmi ⊂ Pi ⊂ Si với i = 1, 2, . . . , k.
16


Đặt
k

Pi , n = max{mi : i = 1, 2, . . . , k};

P =
i=1

ta có P ∈ P và
k

Si = B ⊂ U.

Zn ⊂ P ⊂
i=1

Do đó P là cs-lưới trong X.
3.2. Định lý ([4]). Nếu X là ℵ0 -không gian và Y là một cs-σ-không gian
thì C(X, Y ) là cs-σ-không gian.
Chứng minh. Từ Định lý 11.4(b) của [6] suy ra ℵ0 -không gian X là ảnh

của không gian mêtric khả li S qua một ánh xạ phủ compact. Do đó theo Bổ
đề 1 của [5] thì C(S, Y ) đồng phôi với một không gian con của C(S, Y ). Từ
đó mỗi không gian con của cs-σ-không gian cũng là một cs-σ-không gian.
Giả sử P = {Pi } là đếm được các tập mở thuộc cơ sở của S và nó khép
∞

kín đối với phép lấy giao hữu hạn và giả sử R =

Rj là một cs-lưới σ-hữu
j=1

hạn địa phương của Y . Đặt
∞

[Pi , Rj ] = {(Pi , R) : R ∈ Rj } và [P, R] =

[Pi , Rj ].
i,j=1

Rõ ràng [P, R] là hợp của đếm được các tập có dạng [Pi , Rj ]. Vì vậy để
chứng minh [P, R] là hữu hạn địa phương ta sẽ chứng minh [Pi , Rj ] là hữu
hạn địa phương. Thật vậy, lấy f ∈ C(S, Y ) và x ∈ Pi . Khi đó f (x) ∈ Y và có
một lân cận V của f (x) mà V chỉ giao với hữu hạn các tập của Rj . Khi đó
17


(x, V ) là lân cận mở thuộc tiền cơ sở của f mà nó chỉ giao với những phần
tử (Pi , R) của [Pi , Rj ] thỏa mãn R ∩ V = ∅.
Đặt [P, R] là tập hợp tất cả các giao hữu hạn các phần tử của [P, R].
Bây giờ, ta sẽ chứng minh [P, R] là cs-lưới σ-hữu hạn của C(S, Y ).

Thật vậy, giả sử F = {f0 ; f1 , f2 , . . . } là một dãy các ánh xạ liên tục hội tụ
tới f0 trong C(S, Y ), (C, U ) là một tập mở thuộc tiền cơ sở chứa F , với C là
compact, U mở trong Y . Từ F -compact, S là một k-không gian và Y -chính
quy, nên theo Bổ đề 9.2 [6] thì
F −1 (U ) = {x ∈ S | fi (x) ∈ U với fi nào đó thuộc F }
là mở trong S. Rõ ràng F −1 (U ) ⊃ C. Đặt
P = {P ∈ P | P ⊂ F −1 (U )}.
Với mỗi x ∈ C, đặt
P(x) = {P ∈ P | x ∈ P ∩ C},



P (x) = Pi | Pi =


i
j=1



Pj , Pj ∈ P(x)


và
R(x) = {R ∈ R | f0 (x) ∈ R ⊂ U }.
Hiển nhiên, ta có R(x) là đếm được.
18


Tồn tại các số nguyên N, i và j phụ thuộc x thỏa mãn FN ⊂ (Pi , Rj ) ⊂

(x, U ).
Thật vậy, giả sử ngược lại
(Pi , Rj ) ⊂ (x, U ) với mọi N, i, j và x ∈ Pi , Rj ⊂ U.
Khi đó FN

(Pi , Rj ) với mọi N, i, j. Từ đó, tồn tại n ≥ N và xij ∈ Pi thỏa

mãn fn (xij ) ∈
/ Rj . Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra một dãy con hội tụ của F .
Chọn fn(1) sao cho fn(1) (P1 )
fn(2) (P2 )

R1 . Khi đó tồn tại n(2) > n(1) thỏa mãn

R2 . Tương tự chọn fn(3) sao cho n(3) > n(2) và fn(3) (P3 ) ∈
/ R1

và fn(4) sao cho n(4) > n(3) và fn(4) (P4 )

R2 . Chú ý rằng các chỉ số của

Pi được lấy theo thứ tự 1, 2, . . . nhưng các chỉ số của Rj được lấy theo dãy
1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, . . . .
Đặt fi = fn(i) và chọn xi ∈ Pi sao cho fi (xi ) ∈
/ Rj . Khi đó, ta có {fi } là
dãy con của F và do đó nó phải hội tụ tới f0 . Mặt khác, tập P (x) là một cơ
sở đếm được, giảm của x trong S. Do đó {xi } hội tụ tới x.
Từ sự hội tụ trong tôpô mở-compact kéo theo sự hội tụ liên tục của dãy,
{fi (xi )} hội tụ tới f0 (x). Do đó, tất cả trừ hữu hạn phần tử {fi (xi )} ⊂ U .
Từ đó, tồn tại một số N và một Rk ∈ R(x) sao cho fi (xi ) ∈ Rk với mọi

i ≥ N . Nhưng từ sự xây dựng của dãy {fi } và {xi } sẽ tồn tại một số m > N
mà fm (xm ) ∈
/ Rk . Điều này mâu thuẫn. Do đó tồn tại N (x), i(x) và j(x) thỏa

19


mãn
FN (x) ⊂ (Pi(x) , Rj(x) ) ⊂ (x, U )
và ta có {Pi(x) | x ∈ C} phủ C. Từ đó tồn tại hữu hạn phần tử Pi(x) phủ C,
giả sử đó là Pi(x0 ) , . . . , Pi(xr ) phủ C. Đặt
M = max0≤t≤r {N (xt )}.
Khi đó
r

FM ⊂

(Pi(xt ) , Rj(xt ) ) ⊂ (C, U )
t=0

và C(S, Y ) có một cs-lưới σ-hữu hạn địa phương. Từ Y là chính quy suy ra
C(S, Y ) là chính quy và do đó là cs-σ-không gian.
Vậy C(X, Y ) là cs-σ-không gian.
3.3. Hệ quả.([4]) Mọi không gian con của cs-σ-không gian là cs-σ-không
gian.
∞

Chứng minh. Giả sử X là cs-σ-không gian với P =

Pn là cs-lưới, trong

n=1

đó Pn -hữu hạn địa phương.
Giả sử A là không gian con của không gian X. Đặt
PA = {P ∩ A : P ∈ P}.
Ta có
∞

Pn , với Pn = {A ∩ P : P ∈ Pn }.

PA =
n=1

Trước tiên ta chứng minh PA là cs-lưới trong A.
20


Thật vậy, với mọi dãy {xn } ⊂ A mà xn hội tụ tới x thuộc A và U mở
trong A chứa x. Do U mở trong A nên suy ra tồn tại V mở trong X sao cho
U = V ∩ A.
Từ đó, suy ra V chứa x và xn hội tụ tới x trong X. Do P là cs-lưới nên
tồn tại P ∈ P và m ∈ N sao cho
{xn : n ≥ m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V
suy ra
{xn : n ≥ m} ∪ {x} ⊂ P ∩ A ⊂ V ∩ A
hay
{xn : n ≥ m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ U.
Với P ∈ PA .
Vậy tồn tại P ∈ PA và m ∈ N sao cho
{xn : n ≥ m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ U.

Do đó PA là cs-lưới trong A.
Từ Pn hữu hạn địa phương trong X suy ra Pn hữu hạn địa phương trong
A. Vậy PA là cs-lưới σ-hữu hạn địa phương trong A và do đó A là cs-σ-không
gian.
3.4. Bổ đề ([4]). Giả sử X là một không gian trong đó mỗi tập compact
là compact dãy. Khi đó C(X, Y ) và Ccs (X, Y ) có cùng các dãy hội tụ.
21


Chứng minh. Rõ ràng với bất kỳ một dãy hội tụ ở trong tôpô compact-mở
thì cũng hội tụ trong tôpô thô hơn, mà τcs ⊂ τ nên một dãy τ -hội tụ thì
τcs -hội tụ.
Bây giờ ta sẽ chứng minh mọi dãy hội tụ trong Ccs (X, Y ) thì cũng hội tụ
trong C(X, Y ).
Giả sử {fn } là một dãy hội tụ tới f0 trong Ccs (X, Y ). Chúng ta sẽ chỉ ra
rằng mỗi tập mở thuộc tiền cơ sở của tôpô τ trong C(X, Y ) chứa f0 thì chứa
tất cả trừ ra một số các số hạng của {fn }.
Giả sử f0 ∈ (C, U ), với C-compact trong X, U mở trong Y , nhưng có vô
số fi(n) mà fi(n) ∈
/ (C, U ). Khi đó, với mỗi n sẽ tồn tại xn ∈ C sao cho
fi(n) (xn ) ∈
/ U.

(1)

Vì C là tập compact trong X nên theo giả thiết, C là compact dãy. Do đó
{xn } có một dãy con hội tụ Z ⊂ C. Vì thế, ta có f0 ∈ (Z, U ). Do fn −→f0
trong Ccs (X, Y ) nên tồn tại n0 sao cho fn ∈ (Z, U ), với mọi n ≥ n0 . Mặt
khác, từ (1) suy ra có vô số fn mà f(n) (Z)

U . Ta có điều mâu thuẫn. Từ

đó suy ra {fn } hội tụ trong C(X, Y ).
Vậy không gian C(X, Y ) và không gian Ccs (X, Y ) có cùng các dãy hội tụ.
3.5. Mệnh đề. Nếu X là không gian mà mọi tập compact của nó là
compact dãy và P là cs-lưới (tương ứng cs∗ -lưới, wcs∗ -lưới) trong C(X, Y ),
thì P cũng là cs-lưới (tương ứng cs∗ -lưới, wcs∗ -lưới) trong Ccs (X, Y ).
22


Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh P là cs-lưới trong Ccs (X, Y ).
Thật vậy, giả sử {fn } là dãy hội tụ tới f0 trong Ccs (X, Y ) và (Z, U ) là lân
cận mở của f0 , với (Z, U ) thuộc tiền cơ sở của tôpô τcs trong Ccs (X, Y ). Khi
đó theo Bổ đề 3.4 ta có {fn } cũng là dãy hội tụ tới f0 trong C(X, Y ). Vì
τcs ⊂ τ nên (Z, U ) thuộc tiền cơ sở của tôpô τ trong C(X, Y ). Do đó (Z, U )
là lân cận mở của f0 trong C(X, Y ). Từ giả thiết, P là cs-lưới trong C(X, Y )
suy ra tồn tại n ∈ N và p ∈ P sao cho
{f0 } ∪ {fm : m ≥ n} ⊂ P ⊂ (Z, U ).
Vậy P là cs-lưới trong Ccs (X, Y ).
Tiếp theo ta chứng minh P là cs∗ -lưới trong Ccs (X, Y ).
Thật vậy, giả sử {fn } là dãy hội tụ tới f0 trong C(X, Y ) và (Z, U ) là lân
cận mở của f0 , với (Z, U ) thuộc tiền cơ sở của tôpô τcs trong Ccs (X, Y ). Khi
đó, theo Bổ đề 3.4 ta có {fn } cũng là dãy hội tụ tới f0 trong C(X, Y ). Vì
τcs ⊂ τ nên (Z, U ) thuộc tiền cơ sở của tôpô τ trong C(X, Y ). Do đó, (Z, U )
là lân cận của f0 trong C(X, Y ).
Mặt khác, P là cs∗ -lưới trong C(X, Y ) nên tồn tại Pi ∈ P và dãy con
{fni : i ∈ N } của {fn } thỏa mãn
{fni : i ∈ N } ∪ {f0 } ⊂ Pi ⊂ (Z, U ).
Từ đó suy ra P là cs∗ -lưới trong Cc s(X, Y ).
Tương tự ta chứng minh được P là wcs∗ -lưới trong Ccs (X, Y ).

23


3.6. Định lý ([4]). Nếu X là ℵ0 -không gian và Y là một cs-σ-không gian,
thì Ccs (X, Y ) là một cs-σ-không gian.
Chứng minh. Từ Định lý 3.2 thì C(X, Y ) có một cs-lưới σ-hữu hạn địa
∞

Pn , trong đó Pn là hữu hạn địa phương. Như vậy, muốn

phương P =
n=1

chứng minh Ccs (X, Y ) là cs-σ-không gian ta chứng minh P cũng là một
cs-lưới σ-hữu hạn địa phương của Ccs (X, Y ).
Thật vậy, trước tiên ta sẽ chứng minh P là cs-lưới của Ccs (X, Y ).
Vì X là ℵ0 -không gian nên suy ra mọi tập compact trong X là compact
dãy. Do đó, theo Mệnh đề 3.4 ta có P là cs-lưới của Ccs (X, Y ).
Từ chứng minh Định lý 3.2 suy ra tính σ-hữu hạn địa phương của P. Vậy
Ccs (X, Y ) là cs-σ-không gian.
3.7. Bổ đề. ([7], Bổ đề 3.7.4) Nếu P là cs∗ -lưới đếm được của X thì P
là k-lưới.
3.8. Mệnh đề. Giả sử X là cs-σ-không gian và ℵ1 -compact còn Y là
cs-σ-không gian. Khi đó Ccs (X, Y ) là cs-σ-không gian.
Để chứng minh Mệnh đề ta cần Bổ đề sau.
3.9. Bổ đề. Mọi họ các tập con hữu hạn địa phương của một không gian
bất kỳ đều có tính chất HCP .
Chứng minh. Giả sử P là họ các tập con hữu hạn địa phương của không

24

gian tôpô X và P0 là họ con của P. Khi đó P0 có tính chất hữu hạn địa
phương. Với mỗi P ∈ P0 lấy bất kỳ Ap ⊂ P và đặt
A = {Ap : P ∈ P0 }.
Vì P0 hữu hạn địa phương nên A là hữu hạn địa phương. Ta chứng minh
∪A = ∪{A : A ∈ A}.
Giả sử x ∈ ∪A. Vì A hữu hạn địa phương nên tồn tại lân cận mở U của
x sao cho tập
Ax = {A ∈ A : A ∩ U = ∅}
là hữu hạn. Ta có
U ∩ ∪ (A \ Ax ) = ∅.
Vì U mở nên
U ∩ ∪ (A \ Ax ) = ∅.
Mặt khác
x ∈ ∪ A = ∪ (A \ Ax ) ∪ ∪ Ax
nên từ (1) suy ra
x ∈ ∪ Ax = ∪ {A : A ∈ Ax } ⊂ ∪ {A : A ∈ A}.
Do đó
∪ A ⊂ ∪ {A : A ∈ A} ⊂ ∪ A,
25

(1)