Hệ thống bài tập về thống kê lượng tử

1

========================================================================================================

mục lục
Mục lục

A- Phần mở đầu
B- Phần nội dung

I- Hệ thống lý thuyết
1. Phơng pháp các "ô" của Bonzơman để tìm các thống kê lợng tử
2. Phơng pháp Gipxơ để tìm các thống kê lợng tử
II- Hệ thống bài tập
1. Dạng 1: Tính tổng thống kê của hệ
2. Dạng 2: Tính năng lợng tự do, năng lợng trung bình, entropi, nhiệt
dung... của hệ
3. Dạng 3: Tìm các thống kê đối với khí photon
4. Dạng 4: Những bài tập liên quan đến thống kê Fecmi-Dirăc
5. Dạng 5: Những bài toán về sự suy biến
C- Phần kết luận

Tài liệu tham khảo

Trang
1
2
4
4
5
15

31
31
33
36
39
41
44
46

A. Phần mở đầu
I. lý do chọn đề tài.

Vật lý thống kê là ngành vật lý nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phơng
pháp thống kê.
- Vật lý thống kế giúp ta hiểu sâu hơn các môn học liên quan: nhiệt học,
nhiệt động lực học, cơ đại cơng, cơ lý thuyết và cơ học lợng tử...
- Phơng pháp thống kê và các kiến thức của vật lý thống kê là cơ sở quan
trọng giúp ta có điều kiện học lên, nghiên cứu sâu các lý thuyết hiện đại khác.
- Phần "Thống kê lợng tử" là phần khó. Do thời gian có hạn nên các bài tập
về thống kê lợng tử sinh viên chỉ mới đợc giới thiệu qua, vì vậy em đã chọn đề
tài "Hệ thống bài tập về thống kê lợng tử" để có điều kiện tìm hiểu sâu hơn,
hoàn thiện hơn về các kiến thức vật lý thống kê nói riêng và các kiến thức vật
lý liên quan nói chung.
II. mục đích nghiên cứu
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


2

========================================================================================================

- Nghiên cứu hệ thống lý thuyết phần thống kê lợng tử.
- Su tầm, giải và phân loại các bài toán về thống kê lợng tử.
III. cấu trúc luận văn

- Luận văn đợc chia thành 3 phần:
A- Phần mở đầu
B- Phần nội dung
I- Phần lý thuyết: Tìm các thống kê lợng tử bằng 2 phơng pháp
1- Phơng pháp các ô của Bon zơ man
2- Phơng pháp Gipxơ lợng tử
II- Phần bài tập: Gồm có 5 dạng bài tập thông thờng của lợng tử thống kê
1. Dạng 1: Tính tổng thống kê của hệ
2. Dạng 2: Tính năng lợng tự do, năng lợng trung bình, Entropi, nhiệt
dung... của hệ.
3. Dạng 3: Tìm các thông số đối với khí phô tôn
4. Dạng 4: Những bài về thống kê Fecmi-Dirac
5. Dạng 5: Các bài toán về sự suy biến.
C. Phần kết luận.
Đề tài "Hệ thống bài tập về thống kê lợng tử" là một đề tài khó, khá mới
mẻ, có thể nói đây là lần đầu tiên một sinh viên vật lý của khoa nhận đề tài
này. Bởi vậy, khi tiếp nhận đề tài em còn gặp rất nhiều khó khăn. Nhng với sự
cố gắng của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hớng dẫn, em đã

hoàn thành các nội dung chính mà luận văn đặt ra.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý và các thầy giáo
trong khoa và đặc biệt là thầy giáo Đỗ Văn Toán, các bạn bè trong lớp đã nhiệt
tình giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Vinh, ngày 10 tháng 1 năm 2003
Sinh viên: Trịnh Thị Nhung

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


3

========================================================================================================

B. Phần nội dung
I- Hệ thống lý thuyết.

Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ
mà ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi
mô cấu thành hệ dựa vào các tính chất đã biết của các hạt tạo thành hệ, và hai
là vấn đề ngợc lại nghĩa là tìm các đặc tính của các hạt cấu thành hệ dựa vào
các tính chất vĩ mô của hệ.
Tuỳ thuộc vào hệ mô hình vật chất mà ta dùng để diễn tả hiện tợng này

hay hiện tợng khác mà ngời ta thờng tách Vật lý thống kê làm hai phần: Vật lý
thống kê cổ điển và Vật lý thống kê lợng tử. Vật lý thống kê lợng tử là tổng
quát và chặt chẽ hơn vật lý thống kê cổ điển, bởi vì từ vật lý thống kê l ợng tử
ta có thể thu đợc tất cả các luận đề cơ bản của vật lý thống kê cổ điển.
Cơ sở, công cụ toán học của Vật lý thống kê là lý thuyết xác xuất.
Trong phần thống kê cổ điển ta xét hệ các hạt mà chuyển động của chúng tuân
theo các định luật của cơ học cổ điển mà cụ thể ở đây để mô tả chuyển động
của các hạt dùng phơng trình chính tắc Hamitơn. Tuy vậy, nhiều kết quả thu đợc là không phù hợp với thực nghiệm nh khúc xạ cân bằng của vật đen tuyệt
đối cho nên để giải thích nhiều tính chất của các đối tợng vi mô thay thế cho
cơ học cổ điển ta phải dùng cơ học lợng tử, ví dụ nh lỡng tính sóng hạt của các
đối tợng vi mô ( đã đợc khám phá và đợc xác nhận bởi nhiều sự kiện thực
nghiệm), tính gián đoạn của các thông số vật lý đặc trng cho hạt vi mô, các
tính chất Spin...
Nhiệm vụ của vật lý thống kê lợng tử là nghiên cứu các tính chất của
các hệ nhiều hạt mô tả bằng phơng pháp cơ học lợng tử. Ta phải xét một tập
hợp các trạng thái vi mô khác nhau tơng thích với những điều kiện bên ngoài
nhất định (tập hợp thống kê lợng tử). Sau đó dựa vào các trạng thái khả hữu đó
của hệ và bằng phơng pháp thống kê ta có thể xác định đợc xác xuất của trạng
thái, và do đó, xác định đợc trị trung bình của các thông số vi mô khác nhau
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


4

========================================================================================================

của hệ. Nói khác đi, khi khảo sát các hệ lợng tử ta cần phải biết định luật phân
bố xác xuất của các trạng thái riêng lẻ.
Để tìm các định luật phân bố thống kê lợng tử, ngời ta có thể dùng hai
phơng pháp: Phơng pháp Gipxơ và phơng pháp các ô của Bonzơman. Về phơng diện lịch sử phơng pháp các ô của Bonzơman ra đời trớc phơng pháp
Gipxơ. Vì vậy đầu tiên ta hãy xét phơng pháp các ô của Bonzơman, tuy rằng
phơng pháp Gipxơ có nhiều u điểm hơn và đợc coi là phơng pháp cơ bản của
vật lý thống kê hiện tại.
1. Phơng pháp các ô của Bonzơman để tìm các thống kê lợng tử.
1.1. Giới thiệu về phơng pháp các ô của Bonzơman
Nội dung của phơng pháp đó là: Chia không gian pha ra làm các ô tơng ứng với các giá trị khác nhau của năng lợng và xét các sự phân bố khác
nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra đợc số các trạng thái vi mô
khả hữu của hệ tơng thích với những điều kiện bên ngoài nhất định tức là tìm
đợc xác xuất nhiệt động của hệ; sau đó dựa vào nguyên lý Bonzơman:
Entrôpi của trạng thái vĩ mô của hệ là tỷ lệ với loga của xác xuất nhiệt động
S = KlnWt (1.1)
Trong đó: K: là hằng số Bonzơman
Wt : là xác xuất nhiệt động
S : Entrôpi của hệ
Để tìm ra Entrôpi S của hệ và dựa vào điều kiện cực đại của Entrôpi khi có
cân bằng nhiệt động ta tìm đợc phân bố thống kê của hệ.
Bởi vì trong phơng pháp các ô của Bonzơman có đề cập đến các khái niệm về
không gian pha và Entrôpi, cho nên trớc tiên ta hãy nhắc lại các khái niệm đó
trong khuôn khổ của vật lý thống kê lợng tử.
Ta biết rằng Entrôpi đợc xác định qua lôgarit của số các trạng thái vi mô
khả hữu của hệ (lôgarit của xác xuất nhiệt động) theo công thức (1.1)
S = KlnWt (1.1)
Entrôpi định nghĩa nh vậy không những có tất cả các tính chất cần đòi hỏi, mà

còn phù hợp với định lý Necxtơ (định lý thứ ba của nhiệt động lực học). Thực
vậy, khi nhiệt độ hạ thấp dần xuống, hệ sẽ chiếm các mức năng lợng ngày
càng thấp và cuối cùng khi hệ chỉ nằm trong trạng thái lợng tử thấp nhất (về
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


5

========================================================================================================

phơng diện năng lợng) thì Entrôpi của nó trở thành bằng không bởi vì khi đó
W=1 và do đó:
S = KlnWt = Kln1 = 0
Trong Vật lý thống kê lợng tử một trạng thái của hệ trong không gian pha tơng
ứng với không phải là một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu nào đó của
không gian pha. Đối với một hệ gồm N hạt, thể tích cực tiểu nh vậy của không
gian pha là bằng min = h 3 N . Kết quả đo đợc rút ra trực tiếp từ hệ thức bất
định đối với tất cả 3N toạ độ và xung lợng suy rộng
= ( p1q1 )( p 2 q2 )....( p3 N q3 N ) h 3N

Do đó đối với một hệ lợng tử gồm N hạt, một thể tích bất kỳ của không gian
pha sẽ có chứa /h3N trạng thái lợng tử.
Mặt khác, ta biết rằng trong vật lý thống kê lợng tử, do tính không thể

phân biệt đợc của các hạt, các phép hoán vị bất kì của chúng sẽ không đa đến
trạng thái vi mô nào cả. Vì vậy, số các trạng thái lợng tử sẽ N! lần nhỏ đi và
trong thể tích của không gian pha sẽ chỉ có chứa /h3N. N! trạng thái. Hơn
nữa, bởi vì các trạng thái lợng tử có thể phân biệt nhau ở định hớng của Spin
của các hạt ( có tất cả là 2s+1 định hớng khác nhau) thế mà Spin lại không
tham gia gì vào trong không gian pha, cho nên số các trạng thái lợng tử sẽ
(2s+1) lần lớn hơn. Nh vậy một thể tích của không gian pha sẽ chứa tất cả là
( 2s + 1)
h 3N N!

trạng thái lợng tử.

Ngời ta phân biệt hai loại không gian pha: không gian K (có 2f N chiều, với f
là số bậc tự do của hạt) và không gian à (có 2f chiều).
1.2. Thống kê Macxoen-Bonzơman
Xét một hệ N hạt đựng trong thể tích V có năng lợng toàn phần U. Ta
hãy chia không gian pha ra làm m ô pha (m<khác nhau 1, 2, .... m ( điều đó có nghĩa là các hạt của hệ trong khi chuyển
động có thể có năng lợng tơng ứng với một trong các trị số 1, 2,... m).
Giả sử các hạt đợc phân bố tùy theo các ô đó với các số chứa đầy nào
đó n1, n2,.....nm, trong đó ni là số hạt chứa trong ô thứ i có năng lợng i (có
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh

6

========================================================================================================

nghĩa là trong một trạng thái nào đó của hệ, n 1 có năng lợng 1, n2 hạt có năng
lợng 2......)
Các sự phân bố tuỳ ý khác nhau của N hạt theo m ô là tơng ứng với các
trạng thái vi mô khác nhau của hệ (hay xác xuất nhiệt động), tức là số các phơng pháp khác nhau phân bố N hạt theo m ô, đợc xác định bằng biểu thức.
W=

N!
n1!n2 !....nm !

(1.2)

Chứng minh (1.2):
Thực vậy, để tìm số các trạng thái vi mô của hệ ta phải xét số các hoán vị của
N hạt đó, bởi vì mỗi một sự phân bố của N hạt theo m ô là ứng với một trạng
thái vi mô của hệ và mỗi một hoán vị giữa hai hạt nào đó tơng ứng với mọi
thay đổi trạng thái của hai hạt đó tức là tơng ứng với một trạng thái vi mô
khác của hệ. Đối với N hạt ta có thể thực hiện N! phép hoán vị. Tuy nhiên, số
hoán vị có ý nghĩa đối với chúng ta sẽ nhỏ hơn N!, bởi vì trong số các hoán vị
đó ta sẽ gặp các loại hoán vị không cho ta trạng thái vi mô nào mới cả, đó là
n1! hoán vị trong cùng ô thứ nhất, n2! hoán vị trong cùng ô thứ 2.... Vì vậy ta
chỉ tìm số các hoán vị các hạt giữa các ô, muốn vậy ta đem số hoán vị tổng
cộng N! chia cho số hoán vị bên trong các ô tức là n1! n2!...nm!. Do đó ta tìm đợc biểu thức (1.2)
Lấy lôgarit biểu thức (1.2)
m

ln W = ln N! ln( ni!)
i =1

áp dụng công thức Stieclinh ta có :
m

ln W = N ln N ! ni ln ni
i =1

(1.3)

Các số chứa ni còn phải thoả mãn các điều kiện về sự bảo toàn của số hạt tổng
cộng và của năng lợng toàn phần của hệ :
m

N = ni = const (1.4)
i =1
m

U = ni i = const (1.5)
i =1
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh

7

========================================================================================================

Lấy biến phân các phơng trình (1.3),(1.4) và (1.5) theo các số chứa đầy và coi
rằng ni lớn và bỏ qua đơn vị so với lnni ta có :
m

ln W = ( ln ni + 1) ni
i =1

m

m

i =1

i =1

m

ln n1 ni

ni = 0 và i ni = 0

i =1

(*)

Bằng cách nhân hai đẳng thức sau cùng với các thừa số bất định và và
đem cộng cả ba phơng trình lại, ta đợc :
m

ln W = ( ln ni + + i ) ni
i =1

Xác xuất trên sẽ là cực đại nếu có điều kiện :
m

( ln ni + + i ) ni = 0

i =1

Bằng cách coi tất cả các ni là độc lập và giả sử tất cả chúng bằng không, trừ
một cái, thí dụ là nk , ta có :
nk = exp(--k) (1.6)
Đẳng thức (1.6) cho ta số hạt n k có năng lợng k và có thể xem nh hàm phân
bố của số lợng hạt nk theo năng lợng k
Từ điều kiện (1.4) tơng tự với điều kiện chuẩn hoá, ta có thể tìm bằng số
N=
Đại lợng

m

m

i =1

i =1

ni = exp( ) exp( i ) = const (1.7)

m

exp( i ) đợc gọi là tổng trạng thái. ( Bởi vì phép lấy tổng số đ-

i =1

ợc thực hiện theo tất cả các trạng thái năng lợng khác nhau) và ta ký hiệu bằng
chữ Z.
Z
(1.8)
N
Năng lợng của hệ (1.5) bây giờ đợc viết dới dạng :
Do đó = ln

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


8

========================================================================================================

m

m

i =1

i =1

U = ni i = exp( ) i exp{ i }

(1.9)

Để tìm hằng số , tơng tự nh trong trờng hợp vật lý thống kê cổ điển ta hãy so
sánh các đại lợng thống kê và đại lợng nhiệt động. Muốn vậy ta xét trạng thái
cân bằng của hệ, khi đó theo nguyên lý Bonzơman ta sẽ có:
S
= ln Wmax
K
Thay trong (1.3) biểu thức của n i tìm đợc từ điều kiện cực trị của xác xuất, ta
đợc.
LnWmax = NlnN +N +U = N lnZ +U (1.10)
Do đó

dS
= Nd + Ud + dU
K

(1.11)

Bằng cách lấy vi phân (1.7) với N và i không đổi và áp dụng (1.9) ta đợc
d = U d
N

Do đó (1.11) có dạng

dS
= dU
K

So sánh biểu thức đó với biểu thức vi phân nhiệt động của Entrôpi trong trờng
hợp của quá trình cân bằng đẳng áp :
dS =

ta đợc =

dQ dU
=
T
T

1
KT

Tóm lại số hạt có năng lợng i là bằng :

ni


N

= exp( ) exp i = exp i (1.12)
KT Z
KT

Bởi vì, trong số tổng cộng N hạt của hệ có n i hạt có năng lợng i, cho nên từ đó
ta suy ra rằng xác xuất Wi(i) tìm hạt có năng lợng i ( tức là xác xuất để hạt
nằm trên trạng thái với năng lợng (i) sẽ bằng :
Wi ( i ) =

{

ni exp
=
N
Z

i
KT

}

(1.13)

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


9

========================================================================================================

Nh vậy, nếu biết phổ rời rạc các trị số có thể có của năng lợng ta có thể xác
định đợc xác xuất sao cho hạt có giá trị năng lợng bất kỳ.
Công thức (8.13) chính là phân bố Macxoen - Bonzơman lợng tử và còn đợc
gọi là công thức của thống kê Macxoen - Bonzơman.
Trong khi tiến hành lập luận và tính toán nh trên, thực tế ta cha chú ý đến toàn
bộ các đặc tính cơ bản của hệ lợng tử, đặc biệt là cha chú ý đến tính đồng nhất
nh nhau của hạt vi mô cũng nh đến tính đồng nhất của hàm sóng của các hệ lợng tử (đối xứng và phản đối xứng). Do đó thống kê Macxoen-Bonzơman mà
ta vừa tìm đợc chỉ có thể áp dụng đợc cho một số trờng hợp đặc biệt. Nếu chú
ý đến toàn bộ các đặc tính cơ bản của hệ lợng tử ta sẽ tìm đợc 2 loại thống kê
lợng tử nữa.
1.3. Thống kê Bozơ-Anhxtanh.
Xét hệ các hạt Bozơ mà trạng thái đợc diễn tả bằng hàm sóng đối xứng và
không tuân theo nguyên lý Paoli. Bằng cách tách ra 1 miền không gian pha có
zi ô pha ta hãy tìm số các chuyển vị của ni hạt theo các ô đó phù hợp với các
tính chất của hạt Bozơ. Bài toán quy về sự phân bố n i yếu tố không phân biệt
trong các ô, đồng thời trong mỗi ô số hạt là không hạn chế. Công thức tơng
ứng có thể tìm đợc trong phép tính tổ hợp, nếu nh ta xét bài toán: tìm số các
phơng pháp mà nh đó ni đối tợng không phân biệt có thể đặt trong zi ô có đánh
số, chú ý rằng số đối tợng trong mỗi ô là tùy ý. Số các phơng thức đó là:
Wi =

( ni + z i 1)!
ni !( z i 1)!

(1.14)

Chứng minh (1.14)
Ta ký hiệu tất cả các hạt bằng các vòng tròn, còn các vách ngăn giữa các ô ta
biểu diễn bằng các gạch thẳng. Khi đó, một sự phân bố bất kỳ nào đó của các
vòng tròn và các gạch sẽ có dạng nh sau:
.....00|000|00|0000|0|000...
Hiển nhiên là chuỗi đó cần phải bắt đầu từ một ô nào đó, thí dụ là từ ô thứ
nhất số các phép hoán vị giữa các ô còn lại là bằng (z i-1)!. Toàn bộ các yếu tố
sắp xếp với nhau là ni+zi-1. Số hoán vị tổng cộng giữa các yếu tố đó là (n i+zi1)!. Tuy nhiên trong số đó có những hoán vị ở đó các hạt không phân biệt đã
chuyển vị các ô với nhau. Số các hoán vị đó là hoán vị giữa các ô còn lại, tức
là (zi-1)!. Đồng thời số hoán vị của các hạt đối với nhau là n!. Bởi vì các hoán
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


10

========================================================================================================

vị của các hạt và các ô với nhau không tơng ứng với các trạng thái mới cho
nên để tìm các hoán vị tơng ứng với các trạng thái vi mô khác nhau ta cần phải
đem số tổng cộng các hoán vị (ni+zi-1)! chia cho ni! và (zi-1)! Từ đó ta tìm đợc

(1.14)
Wi đặc trng cho số các trạng thái có thể có đối với các n i và zi cho trớc đối với
các nk và zk khác, số lợng các trạng thái có thể có sẽ là khác. Toàn bộ các
trạng thái vi mô có thể có (tức là xác xuất nhiệt động) của hệ sẽ là :
1) !
W = Wi = (nni i!(z+ zi i1)!
i

i

Lấy lôgarit biểu thức trên
ln W = ln[ ( ni + z i 1)!] ln(ni !) ln[ ( z i 1)!]
i

i

i

Dùng công thức stiêclinh đối với các số lớn ni và zi ta tìm đợc :
ln W = ( ni + z i ) ln ( ni + z i ) ni ln ni z i ln ni
i

i

i

(1.15)

Công biến phân (1.15) với các biến phân của (1.4) và(1.5) nhân với các hệ số
bất định và ta đợc :

n + zi
ln W = ln i
ni
i



+ + i ni



(1.16)

Coi rằng khi có cân bằng entrôpi S = KlnW là cực đại ta sẽ tìm đợc điều kiện
khi (lnW)=0. Bởi vì tất cả biến phân, trừ ni, có thể coi là bằng 0 cho nên ta
đợc :
ln

ni + z i
+ + i = 0
ni

(1.17)

Vì vậy khi có cân bằng nhiệt động, số các hạt trong zi ô có năng lợng i sẽ
là : ni =

zi
exp( i ) 1

Từ đó ta có hàm phân bố theo hàng năng lợng hay số hạt trung bình ứng với
một ô sẽ là : ni =

zi
exp( i ) 1

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


11

========================================================================================================

Từ đó ta có hàm phân bố theo năng lợng hay số hạt trung bình ứng với 1 ô sẽ
là : f ( i ) =

ni
1
=
z i exp( i ) 1

(1.18)

(1.18) chính là hàm phân bố năng lợng trong thống kê Bozơ-Anhxtanh và
hằng số đợc xác định nh sau :
Theo nguyên lý Bonzơman và dựa vào (1.4) và (1.5) ta có :
entrôpi S là:

exp( i )
S
= ni ( i ) + z i ln

K i
exp( i ) 1
exp( i )
= N U + z i ln

i
exp( i ) 1

áp dụng hệ thức nhiệt động
1
S

=
U T T

1
S

= k =
T
U

suy ra

từ đó =

1
KT

Hằng số đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá
N = ni
i

=
i

zi
exp( i ) 1

1.4. Thống kê Fecmi-Đirắc
Xét hệ các hạt Fecmion mà trạng thái của nó dợc diễn tả bằng hàm sóng
phản đối xứng và tuân theo nguyên lý Pauli. Nguyên lý này chứng tỏ rằng,
khi trạng thái lợng tử của hạt đợc xác định bằng 1 số lợng tử (n, l, m, s chẳng
hạn), thì trong một ô chỉ có thể có một số hạt hoặc là ô có thể bỏ trống.
Giống nh trờng hợp trên ta hãy xét một miền thứ i có không gian pha có z i ô
và ta sẽ có phân phối ni hạt trong đó, đồng thời là hiển nhiên trong trờng hợp
này ta phải có zi ni, nếu không nguyên lý Pauli sẽ bị vi phạm.
Nh vậy bài toán quy về việc tìm số các phơng pháp mà theo đó ta có thể phân
phối ni đối tợng không phân biệt trong zi ô bằng cách đặt vào mỗi ô một đối tợng hay bỏ trống ô đó. Số các phơng pháp đó là:
Wi =

zi !
ni !( z i ni )!

(1.19)

Ta cần chứng minh (1.19)
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


12

========================================================================================================

Thật vậy, đầu tiên ta hãy tìm số các phơng pháp mà theo đó ni đối tợng khác
nhau mà có thể phân bố theo zi ô đã đánh số, sao cho trong mỗi ô không thể
có hơn một hạt, đồng thời ni zi.
Số phơng pháp đó hiển nhiên là bằng

zi !
ni !( z i ni )!

Thật vậy, đối với đối tợng thứ nhất ta có zi khả năng phân phối, trong khi đối
với đối tợng thứ hai sau khi đã xếp đặt đối tợng thứ nhất ta có (zi - 1) khả

năng, đối với đối tợng thứ 3 ta có (zi - 3) khả năng, .v.v...
Đối với đối tợng cuối cùng chỉ còn lại (zi - ni +1) khả năng
Nh vậy số các phân phối tất cả ni đối tợng là bằng :
zi(zi - 1)(zi - 2)(zi - 3)........(zi-ni+1)
Hay là, nói khác đi
z i ( z i 1)( z i 2) ( z i ni + 1) 1
=
( z i ni )

zi !
( z i ni )!

Nếu bây giờ ta thừa nhận rằng tất cả ni đối tợng là không khác biệt với nhau
thì ta cần phải loại trừ ni! các hoán vị khác nhau của ni đối tợng trong các ô
bởi vì chúng không đem lại một trạng thái vi mô nào cả.Vì vậy ta còn cần phải
chia các số phơng pháp thu đợc ở trên cho ni!. Và nh vậy ta tìm đợc công thức
(1.19). Số toàn phần các phức hợp đối với toàn bộ không gian pha hay xác
xuất nhiệt động (tức là tổng cộng các trạng thái khả hữu của hệ) sẽ bằng:
W = Wi =
i

i

zi !
ni !( z i ni )!

Biến phân của lôga của W là bằng:
ln W = [ ln( z i ni ) + 1]ni ln ni ni
i

i

Công đẳng thức đó với biến phân của (1.4) và (1.5) và cho kết quả bằng không
ta đợc :

z i ni
ni

ln
i



+ + i ni = 0



Bởi vì một biến phân bất kỳ không bằng không, cho nên :
z i ni
ln
ni



+ + i = 0



=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


13

========================================================================================================

Từ đó, khi có cân bằng nhiệt động, số hạt n i đợc phân bố theo zi ô với năng lợng i là bằng:
ni =

zi
exp{ i } + 1

Và một cách tơng ứng hàm phân bố theo năng lợng (hay số hạt trung bình có
năng lợng i ) là bằng:
f ( i ) =

ni
1
=
z i exp( i ) + 1

(1.20)

Trong đó hằng số đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá

1
KT
(1.20) là phân bố Fecmi-Đirắc.

=

2. Phơng pháp Gipxơ để tìm các thống kê lợng tử.
2.1. Phân bố chính tắc lợng tử.
Phơng pháp Gipxơ mà ta xét ở vật lý cổ điển về cơ bản vẫn có thể áp dụng để
nghiên cứu các hệ lợng tử, tuy nhiên do đặc tính của các hạt vi mô và của hệ lợng tử nên khi áp dụng phơng pháp đó ta cần có những thay đổi thích hợp.
Lập luận giống nh trong trờng hợp vật lý thống kê cổ điển ta tìm thấy rằng đối
với hệ đẳng nhiệt xác xuất để hệ nằm ở trạng thái có năng lợng Ek là:
Ek
(2.1)
Wk = exp


Để tìm đợc (2.1) ta lập luận tổng quát nh sau. Ta nhắc lại rằng trạng thái vi mô
của hệ lợng tử đợc diễn tả bằng hàm sóng k giá trị trung bình của một đại lợng vật lý nào đó l ( có toán tử tơng ứng L ) đo đợc ở trạng thái vi mô k

là

bằng:
^

L
k

^
= k+ (q) L k (q)dq

Sự biến thiên trạng thái với thời gian xác định bằng phơng trình Schodinger
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


14

========================================================================================================

i

^
= H
f

Nếu hệ nằm trong trạng thái dừng k với năng lợng đã cho Ek thì ta tìm đợc
k và Ek từ phơng trình :

^
= k Ek
Hk
Tơng tự nh trong trờng hợp cổ điển một trạng thái vi mô nhất định của hệ lợng
tử tơng tự với một tập hợp các trạng thái vi mô k và xác xuất để cho hệ nằm

trong một trạng thái vi mô k nào đó sẽ bằng Wk mà ta phải tìm.
Và cũng giống nh trong trờng hợp cổ điển tập hợp thống kê lợng tử là tập hợp
các hệ tơng tự nh nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau. Vì vậy một
tập hợp thống kê lợng tử đợc mô tả bằng một tập hợp các hàm sóng k và
một tập hợp tơng ứng các xác xuất Wk của các trạng thái diễn tả bằng các k
.
Do đó theo lý thuyết xác xuất trị trung bình của đại lợng S theo tập hợp thống
kê lợng tử ( trung bình pha lợng tử) đợc xác định theo công thức :
__

L = Wk < L > k =
k

k

^
+
Wk k (q) L k (q)dq



Ta có thể viết công thức trên dới dạng tợng tự nh công thức tính trung bình pha
trong vật lý cổ điển. Nếu ta đa vào các phân tử ma trận của các toán tử khi đó
ta có:
__

L

= L (q, q' ) (q' , q)dqdq'
q q'

ở đây L(q,q) là phân tử ma trận của toán tử

^
L

(q' , q) chính là ma trận mật độ và

(q' , q ) = Wk k* (q ' ) k* (q )
k

Ma trận mật độ chính là ma trận của toán tử mật độ ^
đợc định nghĩa nh sau :
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


15

========================================================================================================

^
k (q) = (q' , q)k (q' )dq'
Trong trờng hợp tổng quát ma trận mật độ còn là hàm của thời gian, do đó

toán tử mật độ cũng phụ thuộc vào thời gian, ta có :
(q, q' , t ) = Wk k+ ( q' , t )k (q ' , t )
k

^
với k (t ) đợc xác định từ phơng trình Schodimger i = H
t
Từ (+) ta có :

(+)

i k (q, t ) ^
= H k (q, t )
t
Từ đó ta thấy rằng ma trận mật độ phụ thuộc thời gian (q, q' , t ) thoã mãn phơng trình :
(q, t )
i k
= H (q, q' ) k (q' , t )dq'
t
i

[

]

(q, q ' , t )
*
= H (q, q ' ' )Wk k (q" , t ) k ( q' , t ) Wk k (q, t )k+ (q" , t ) H ( q" , q ' ) dq"
t
k

= [ H (q, q" ) (q" , q ' , t ) ( q, q" , t ) H ( q" , q ' )] dq"

ở đây ta vận dụng tính chất Hecmit của ^
H
H + (q, q' ) = H (q' , q) hay là
(q, q ' , t ) i
=
[ H (q, q" ) (q" , q' , t ) (q, q" , t ) H (q" , q' )] dq"
t


Ta có thể viết lại phơng trình đó dới dạng phơng trình toán tử :
^

^ ^

= H ,
t



(**)

^ ^
trong đó H , là dấu móc Poatxông lợng tử :




Phơng trình (**) là tơng tự lợng tử của phơng trình chuyển động cổ điển của

tập hợp pha :
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


16

========================================================================================================


= [ H , ]
t
Cũng giống nh trong trờng hợp vật lý thống kê cổ điển phơng trình (**) là cơ
sở để nghiên cứu các quá trình không cân bằng trong khuôn khổ của vật lý
thống kê lợng tử.
Cũng giống nh trong vật lý thống kê cổ điển ta thu đợc tập hợp thống kê lợng
^
tử cân bằng từ điều kiện: = 0
t

^ ^
H , = 0

hay là

^ và do đó ma trận mật độ là
Khi đó toán tử mật độ ^ giao hoán với toán tử H
^ có hàm riêng chung. Vì vậy trong trtích phân chuyển động. Hơn nữa ^ và H
ờng hợp cân bằng thống kê ma trận mật độ có thể viết dới dạng :
(q ' , q ) = Wk k* (q ' ) k (q )
k

Trong đó k (q) là hàm riêng của toán tử ^ và đợc xác định từ phơng trình
H
^
H k = Ek k
Bởi vì ma trận mật độ là tích phân chuyển động cho nên Wk phải là hàm của
năng lợng E k . Tơng tự nh trong trờng hợp thống kê cổ điển, đối với hệ nằm
tiếp xúc với hệ điều nhiệt (hệ đẳng nhiệt) ta có thể lựa chọn Wk dới dạng :
Ek
Nghĩa là ta đã tìm đợc (2.1)
Wk = exp


Để kiểm nghiệm lại biểu thức (2.1) có đúng không một cách đơn giản ta chỉ
cần chứng minh rằng: có tính chất của năng lợng tự do, còn có tính chất
của nhiệt độ tuyệt đối. Trớc hết ta nhận xét rằng theo điều kiện chuẩn hoá :

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


17

========================================================================================================



Wk = 1

k =0


E
exp exp k = 1
k = 0
hoặc là, nếu đa vào tổng trạng thái
từ đó

Z=



Ek

exp

k =0

(2.2)

ta đợc = ln Z
Dễ dàng thấy đợc , có các tính chất của năng lợng tự do và nhiệt độ tuyệt
đối. Thật vậy, muốn vậy ta hãy xét các đạo hàm của và theo thông số
ngoài a hiển nhiên là:


Z
= ln Z
= exp

Z

=

Ek



exp
k

1
E k

Ek exp



k

_

E
=


_
hay là E = tức là phơng trình Gipxơ-Hemhonxơ.

Hơn nữa, hiển nhiên rằng

1 Z
=
a
Z a
Ek


=

Ek

exp
exp

a





k
=
k

Ek
Ek
exp

a


Nhng theo cơ học lợng tử, ta có hệ thức
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh

18

========================================================================================================

^

E k
H
=
a
a

^

k

H
= k*
k dq
a

(***)

Thực vậy, giả sử toán tử H^ là hàm của thông số ngoài a. Khi đó bằng cách lấy
vi phân phơng trình Schodinger :
^
H k = E k k theo a ta đợc:

^

^ k Ek
H
k
k + H
=
k + Ek
a
a
a
a

Nhân bên trái với k+ và lấy tích phân theo q ta đợc :
^
E k
k

H
+
+
+
k a k dq = a k dq + k ( Ek H ) a dq

Số hạng thứ hai của vế bên phải của biểu thức đó bằng 0, bởi vì

^

H

là toán tử

tự liên hợp, nghĩa là :

^ k

+
k H

Do đó :

a

dq =

k ^ +

k
H k dq = k E k k+ dq = k+ E k
dq
a
a
a

^
^
Ek

H

H
= k+

k dq =
a
a
a

tức tìm đợc (***)
k

^

Từ đó ta có: = H = A
a

a

Tức là ta cũng lại tìm đợc một biểu thức nhiệt động quen biết.
Sau nữa, phát triển các lập luận tơng tự nh đã tiến hành đối với hệ cổ điển ta sẽ
thấy rằng và có ý nghĩa của năng lợng tự do và nhiệt độ tuyệt đối và
phân bố (2.1) là phân bố chính tắc lợng tử.
Chúng ta chú ý rằng sự phân bố (2.1) đợc viết đối với hệ có các mức hoàn toàn
không suy biến. Còn nếu xảy ra sự suy biến nghĩa là cùng một mức ứng với

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh

19

========================================================================================================

nhiều hàm k khác nhau, hay là nhiều trạng thái vật lý khác nhau, thì hiển
nhiên là ta phải viết Wk dới dạng :
Ek
Wk = exp
gk


(2.2)

trong đó gk là độ suy biến
Tơng tự nh vậy trong trờng hợp cổ điển, nếu hệ lợng tử gồm N hạt không tơng
tác thì từ phân bố chính tắc lợng tử ta suy ra phân bố Macxoen-Bonzơman lơng tử.
Cụ thể là với lập luận hoàn toàn giống nh trong trờng hợp cổ điển ta sẽ tìm đợc: xác xuất để 1 hạt bất kỳ của hệ nằm trên mức năng lợng i là bằng :
Wi =


exp i
KT
Z

Với Z đợc suy ra từ điều kiện chuẩn hoá :

Wi = 1 và có dạng
i

Z=





i =0






exp KTi

(2.2)

Đây là trờng hợp mức năng lợng i không bị suy biến. Trong trờng hợp tổng
quát, nếu gọi g( i ) là độ suy biến của mức i thì xác xuất để 1 hạt bất kỳ của
hệ hạt không tơng tác nằm trên mức năng lợng i sẽ bằng :
Wi = g ( i )

exp{ i }
Z

(2.3)

Đây là công thức của thống kê Macxoen-Bonzơman lơng tử
Ta nhận xét rằng các cặp công thức (2.3) và (2.2); (2.2) và(2.2) tuy giống

nhau về dạng nhng là khác nhau, bởi vì i là năng lợng của 1 hạt của hệ, còn
E k là năng lợng của toàn bộ hệ.

2.2. Thống kê Bozơ-Anhxtanh và Fecmi-Đirắc
ở trên trong khi tìm các phân bố chính tắc lợng tử và phân bố
Macxoen-Bonzơman lợng tử chúng ta cha chú ý đến toàn bộ các đặc tính của
hệ lợng tử, đặc biệt là cha chú ý đến tính đồng nhất nh nhau của các hạt vi mô
cũng nh đến tính đối xứng của hàm sóng. Do đó các thống kê vừa tìm đợc chỉ
có thể áp dụng đợc cho một số trờng hợp đặc biệt. Nếu chú ý đến toàn bộ các
đặc tính đó thì, nh ta đă thấy, ta sẽ tìm đợc hai loại thống kê lợng tử quan
trọng: Thống kê Bozơ-Anhxtanh và thống kê Fecmi-Đirắc Ta hãy tìm hai loại
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


20

========================================================================================================

thống kê đó xuất phát từ công thức (2.2). Nếu hệ gồm các hạt không tơng tác
thì ta có:
Ek =

Nl l

l =0

trong đó l là năng lợng (trị riêng của toán tử Hamintơn) của l hạt riêng lẻ của
hệ; N l là số chứa đầy tức là số hạt có cùng mức năng lợng l (số hạt nằm trên
cùng mức năng lợng l ). ở đây để cho tổng quát ta giả thiết chỉ số l có giá trị
từ 0 đến . Độ suy biến gk trong công thức (2.2) sẽ tìm đợc bằng cách tìm số
các trạng thái khác nhau về phơng diện vật lý ứng với cùng giá trị năng lợng
E k , do chính là số các hoán vị (về phơng diện toạ độ) của các hạt tơng ứng

nh trong trờng hợp thống kê cổ điển, thay thế cho phân bố chính tắc lợng tử ta
phải dùng phân bố chính tắc lớn lợng tử. Tơng tự, phân bố chính tắc lớn hơn lợng tử có dạng :
W (n0 , n1 ) =

trong đó N =



nl ;




1
exp + à N nl l g k
N!

l =0

là thế nhiệt động lớn; à là thế hoá học

l =0

Nh đã giải thích, sở dĩ thừa số

1
xuất hiện trong công thức trên là vì có kể
N!

đến tính đồng nhất của các hạt và tính không khác biệt của các trạng thái mà
ta thu đợc do hoán vị của hạt.
Ký hiệu G (n0 , n1 ) =

gk
(*) và thay thế vào công thức trên ta có :
N!





+
nl ( à l )



l =0

W (n0 , n1 ) = exp
G (n0 , n1 )







(2.4)

Ta có 2 nhận xét về công thức (2.4). Một là, bởi vì vế phải của (2.4) có thể coi
là hàm của nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó nh là xác xuất để cho có n0
hạt nằm trên mức 0 , n1 hạt nằm trên mức l . Nghĩa là xác xuất các số chứa
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


21

========================================================================================================

đầy; do đó nhờ công thức này ta có thể tìm đợc các số hạt trung bình nằm trên
các mức năng lợng.

nk = nk W (n0 , n1 )
n 0 n1

Hai là, sở dĩ đại lợng G(n0,n1) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái vật lý mới khi hoán vị (về toạ độ) các hạt. Đối với hệ các hạt Bozon
và các hạt Fecmion tức là hệ đợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối
xứng thì các phép hoán vị đều không đa đến 1 trạng thái vật lý mới nào của
hệ, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu hoặc đối dấu
nghĩa là diễn tả cùng 1 trạng thái lợng tử. Do đó đối với hệ hạt Bozon và hệ
hạt Fecmion ta có :
G(n0, n1,) = 1
Nhng trong thống kê Macxoen-Bonzơman, khi mà các hạt là khác biệt nhau về
phơng diện hoán vị toạ độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện trạng
thái mới ta có:
G (n0 , n1 ,) =

1
n0 !n1!

(2.5)

Chứng minh (2.5). Thật vậy, khi đó ta tìm đợc gk với lập luận nh sau. Trong
thống kê Macxoen-Bonzơman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của các toạ độ
của các hạt (tức là N!) đều sẽ cho các trạng thái mới, trừ các phép hoán vị của
các toạ độ của các hạt có cùng 1 năng lợng 1 . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phơng diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N! chia cho
số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lợng, tức là chia cho n0! n1!...
gk =

N!

n0 !n1!...

Thay gk vào (*) ta có G (n0 , n1 ) =

1
1
=
n0 !n1!... n0 !n1!...

Để tính trị trung bình của các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên các mức
năng lợng khác nhau) ta dùng thủ thuật toán học sau đây:
Ta gắn các đại lợng à trong công thức (2.4) chỉ số l, nghĩa là ta sẽ coi rằng hệ
ta xét hình nh không phải chỉ có một thể hoá học à mà có cả một tập hợp các
thế hoá học àl bằng nhau và bằng à.

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


22

========================================================================================================

Tiến hành phép thay nh trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa nh sau:

W (n0 ,n1 ) = exp Z = 1


n 0 n1

nl ( à l l )
G (n0 , n1 ,) (2.5)

l = 0


trong đó Z = exp
n 0 n1

nghĩa là = ln Z
(2.6)
Ta xét đạo hàm dựa vào (2.5) và (2.6) :

1 Z
=
à k
Z à k




+
(àl l )

l =0
= nk exp
G (n0 , n1 ,)

n 0 n1






(2.7)

Nếu trong biểu thức (2.7) ta đặt àk=à thì theo (2.2) vế phải của công thức
(2.7) có ý nghĩa là trị trung bình của số chứa đầy nk , nghĩa là ta đợc :
nk =


à k

(2.8)
àk =à

áp dụng các cộng thức (2.5) và (2.6) và (2.8) ta hãy tìm công thức của các
thống kê lợng tử.
2.2.1. Đối với hệ hạt Bozon, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ (từ 0
đến ) và G(n0, n1,) = 1 cho nên theo (2.5) ta có :

à l
exp l
<1


và






1
n ( à l )
àl l
Z = exp l l
=
exp
n
=





n0 n1

l=0 n=0
l=0 1 exp

l =0

{ }





l =0



àl l


à l l



Từ đó = ln 1 exp

Theo (2.8) ta có phân bố của các số chứa đầy trung bình:
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh

23

========================================================================================================

nl =

1
à
exp l
1


(2.9)

(2.9) là công thức của thống kê Bozơ-Anhxtanh.
Thế hoá học à trong phân bố trên đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá :


nl = N

l =0

2.2.2. Đối với hệ hạt Fecmion, theo nguyên lý Pauli n l 1 và G(n0,n1,) =1
Theo (2.5) ta có:
Z =


àl l

nl ( àl l ) 1

exp
n

= exp







n 0 1 n1 1
l =0 n =0
l =0

à l
= 1 + exp l


l =0


Từ đó (2.8) ta tìm đợc :
nl =

1
à
exp l

+1


(2.10)

(2.10) là công thức của thống kê Fecmi-Đirăc trong đó thể hoá học à đợc xác
định từ điều kiện chuẩn hoá:



nl = N .

l =0

2.2.3.Trong thống kê Macxoen-Bonzơman các số chứa đầy có thể có trị số bất kỳ
và G(n0, n1) đợc tính theo công thức (2.5) theo (2.6) ta có :
à l l
nl ( à l l )
n


à l l




Z = exp n !n ! = exp
=
exp

exp

n!
0 1

n0 n1
l =0
l = 0
l = 0 n = 0


xn
n = 0 n!

exp{ x} =

Chú ý rằng
Từ đó


à
= ln Z = exp l l

l =0

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh


24

========================================================================================================

Dựa vào (2.8) ta tìm đợc công thức khác của thống kê Macxoen-Bonzơman
à l
(2.11)
nl = exp l




Tức là số hạt trung bình trên một mức nào đó tỷ lệ với xác xuất tìm 1 hạt trên
mức đó.
Ta nhận xét rằng các công thức (2.11) (2.10) (2.9) trùng với các công thức
(1.13) (1.18) và (1.20) tìm đợc bằng phơng pháp các ô của Bonzơman, nếu đặt
: =

à
KT

2.3. Nh vậy, đối với các hệ lợng tử ta tìm đợc 3 hàm phân bố khác nhau
theo năng lợng.
- Thống kê Macxơen-Bonzơman
à

f M ( ) = exp
g ( )
KT

hay


f M ( ) = exp
g ( )
KT
-Thống kê Bozơ-Anhxtanh

với




Z = exp i g( i )
KT
l =1

g( )
à
exp
1
KT


-Thông kê Fecmi-Đirắc
fB ( ) =

fF ( ) =

g( )
à
exp
+1
KT

ở đây g( ) là trọng số thống kê (hay độ suy biến) của các trạng thái lợng tử
có năng lợng khác nhau. Sự khác nhau trong các phân bố trên là do bản chất
và do các tính chất của các đối tợng vi mô diễn ta bởi 1 trong 3 thống kê đó.
Ta có hình vẽ:

f()

fB

=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

fM

Trịnh
fF

25

========================================================================================================


à
exp
>> 1
KT

Khi

f()

fM= fB=fF



Tuy nhiên
nếu ra ở
khi thoã
à
exp
>> 1 hay
KT



từ các công thức

trên ta thấy rằng:
mãn điều kiện

à >> KT

M
hay exp
>> 1 thì thống kê Bozơ-Anhxtanh và Fecmi-Đirắc chuyển
KT
thành thống kê Macxoen-Bonzơman nghĩa là ta có thể coi thống kê MacxoenBonzơman nh là trờng hợp giới hạn của 2 thống kê đó.
Nhng khi tìm hàm phân bố Macxoen-Bonzơman ta đã giả thiết là các hạt khác
nhau về phơng diện hoán vị toạ độ. Vì vậy trong trờng hợp tổng quát, sự phân
bố theo các mức năng lợng không thể áp dụng cho các hạt thực bởi vì là sự
thực là các hạt không khác biệt (đồng nhất nh nhau). Tuy nhiên có tồn tại một
loạt các hệ lợng tử mà ta gọi là các hệ lợng tử định xứ, trong đó các đối tợng
vi mô lợng tử có thể xem nh là định xứ tại các điểm không gian xác định. Đối
với các hệ nh vậy nguyên lý về tính không thể phân biệt của các hạt vi mô
xem nh không có hiệu lực, nghĩa là trong các hệ định xứ, các đòi hỏi về tính
đói xứng của hàm sóng không làm giảm số các trạng thái vi mô khả hữu.
Thuộc loại hệ đó là các hệ cấu tạo từ các hạt mà vị trí của chúng là cố định.
Thí dụ, hệ các dao động tử điều hoà, mà vị trí không gian của chúng là cố
=================================================================================================
==========

Luận văn tốt nghiệp

Thị Nhung

Trịnh