Không gian o mêtric và sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ tương thích yếu

0

MỤC LỤC

Mục lục

0

1

3

Không gian O-mêtric

1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian o-mêtric và không gian o-mêtric mạnh

5

. . . . . . .

1.3. Không gian o-mêtric đầy đủ và không gian o-mêtric d-compắc dãy 17
2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trong không gian
o-mêtric

22

2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian o-mêtric 22

2.2. Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian o-mêtric
Kết luận
Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


1

LỜI NÓI ĐẦU

Không gian mêtric là một không gian tôpô đặc biệt có nhiều tính chất
và trực quan. Vì thế khi nghiên cứu các không gian tôpô tổng quát, người
ta xét các tính chất tương tự như không gian mêtric. Một trong những
hướng nghiên cứu đó là xây dựng những hàm tương tự như mêtric trên các
không gian tôpô và nghiên cứu các tính chất sinh ra từ các hàm đó. Để xây
dựng các hàm kiểu này, người ta mở rộng khái niệm mêtric bằng cách giảm
bớt các điều kiện trong định nghĩa của nó. Với cách làm như vậy, người
ta thu được các khái niệm giả mêtric, nửa mêtric, o-mêtric...và nghiên cứu
các tính chất của không gian bằng cách dựa vào các khái niệm này. Những
người đạt được những kết quả đáng kể về lĩnh vực đã nêu là: T. L. Hicks,
M. Aamri và D. EI Moutawkil, S. Padaliya và R. P. Pant, K. B. Lee...
Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để nghiên cứu
các tính chất của các không gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, mối liên hệ của
chúng với các không gian tôpô đặc biệt khác. Từ đó, nghiên cứu sự tồn tại
điểm bất động của ánh xạ co và điểm bất động chung của các ánh xạ tương

thích yếu trong không gian o-mêtric.
Với mục đích đó, Luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1. Không gian o-mêtric
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản
của tôpô đại cương có liên quan tới nội dung của luận văn. Trình bày khái
niệm về không gian o-mêtric, không gian o-mêtric mạnh, không gian đối
xứng,... và mối quan hệ giữa chúng với các không gian tôpô đặc biệt khác.
Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm không gian o-mêtric đầy đủ, không


2

gian o-mêtric d-compact dãy và nghiên cứu các tính chất của các không
gian này.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trong không
gian o-mêtric
Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ đặc biệt trong không gian o-mêtric. Đầu tiên, chúng
tôi chứng minh kết quả tương tự như Nguyên lí tồn tại điểm bất động
của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ vẫn đúng cho không gian
o-mêtric đầy đủ. Sau đó chúng tôi thiết lập một số điều kiện để các ánh xạ
tương thích yếu trong không gian o-mêtric có điểm bất động chung.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy. Nhân dịp
này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau
Đại học và các Thầy, Cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập tại trường. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.
TS. Trần Văn Ân, PGS.TS. Tạ Quang Hải, PGS.TS. Tạ Khắc Cư... đã giúp
đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin được

cám ơn Ban giám hiệu Trường cao đẳng nghề Nha Trang đã tạo điều kiện
cho tác giả trong quá trình học tập. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình,bạn
bè và các bạn học viên Cao học khoá 14 - Giải tích đã tạo điều kiện thuận
lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập, nghiên
cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song Luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót, kính mong qúy thầy cô và bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2008
Tác giả


3

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN O-MÊTRIC

1.1

Các khái niệm cơ bản

Mục này dành cho việc giới thiệu các khái niệm cơ bản và các kết quả
đã có cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X được gọi là
tôpô trên X nếu thoả mãn điều kiện
(T1 ) ∅, X ∈ T ;
(T2 ) Nếu Gi ∈ T i ∈ I thì

Gi ∈ T ;
i∈I

(T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ T thì G1 ∩ G2 ∈ T .
Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và kí hiệu
là (X, T ) hay đơn giản X.
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở.
1.1.2 Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, A ⊂ X. Tập U ⊂ X được gọi
là lân cận của A, nếu có tập mở V trong X sao cho A ⊂ V ⊂ U .
Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cận của điểm
x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A.
1.1.3 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1 -không gian nếu hai
điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận tương ứng Ux , Uy của x
và y sao cho y ∈
/ Ux và x ∈
/ Uy .


4

1.1.4 Định nghĩa. Dãy {xn } trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ
tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn ∈ U với mọi n ≥ no .
Khi đó ta viết xn → x.
1.1.5 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T2 -không gian hay
không gian Hausdorff nếu với hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận
tương ứng Ux , Uy của x và y sao cho Ux ∩ Uy = ∅.
Nếu X là không gian Hausdorff thì một dãy trong X mà hội tụ thì hội
tụ tới một điểm duy nhất.
1.1.6 Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y .
Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mỗi lân cận V của f (x),tồn

tại lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên
X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.7 Định lý. Giả sử X và Y là các không gian tôpô, f : X → Y . Khi đó
các điều kiện sau tương đương:
(1) f liên tục;
(2) Nếu E là tập mở trong Y thì f −1 (E) mở trong X;
(3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f −1 (E) đóng trong X.
1.1.8 Định nghĩa. Giả sử V ⊂ X, V được gọi là lân cận dãy của x ∈ X
nếu với mỗi dãy {xn } hội tụ về x thì tồn tại no ∈ N sao cho
{xn : n ≥ no } ⊂ V.
1.1.9 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian Frechet nếu
mỗi tập con A của X và x ∈ A thì tồn tại dãy {xn } trong A sao cho dãy
{xn } hội tụ tới x.
1.1.10 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian Frechet
mạnh nếu mỗi dãy giảm các tập con {An } của X và x ∈ An với mọi n ∈ N∗
đều tồn tại dãy {xn } trong X sao cho xn ∈ An với mọi n và {xn } hội tụ
tới x.


5

1.1.11 Định nghĩa. Giả sử P là họ các tập con của không gian X. P được
gọi là lưới tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x đều tồn tại P ∈ P sao
cho x ∈ P ⊂ U .
1.1.12 Định nghĩa. Cho P =

{Px : x ∈ X} là phủ của X, P được gọi

là một cơ sở yếu của X nếu
(i) Px là lưới tại x với mỗi x ∈ X;

(ii) Với mọi P1 , P2 ∈ Px , tồn tại P3 ∈ Px sao cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 ;
(iii) Tập con A của X là mở trong X nếu mỗi x ∈ A tồn tại P ∈ Px sao
cho P ⊂ A.
Không gian X được gọi là không gian gf-đếm được nếu X có một cơ sở
yếu P =

{Px : x ∈ X} sao cho mỗi Px là tập đếm được.

1.1.13 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm f : X → (−∞, +∞)
được gọi là nửa liên tục trên nếu
lim f (x) ≤ f (xo ) với mọi xo ∈ X.

x→xo

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu hàm (−f ) nửa liên tục trên,
trong đó
(−f )(x) = −f (x) với mọi x ∈ X.
Nói cách khác, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu
limx→xo f (x) ≥ f (xo ) với mọi xo ∈ X.

1.2

Không gian o-mêtric và không gian o-mêtric mạnh

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về không gian omêtric, không gian o-mêtric mạnh,. . . và mối quan hệ giữa chúng với các
không gian tôpô đặc biệt khác.
1.2.1 Định nghĩa ([6]). Giả sử X là một không gian tôpô. Hàm d : X ×
X → R được gọi là một o-mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:

6

(1) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X;
(2) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(3) Tập con U ⊂ X là mở khi và chỉ khi d(x, X\U ) > 0 với mọi x ∈ U
trong đó
d(x, X\U ) = inf{d(x, y) : y ∈ X\U }.
Hàm d được gọi là một o-mêtric mạnh nếu d là o-mêtric và với mỗi
x ∈ X, với mỗi r > 0 hình cầu
B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}
là một lân cận của x.
Hàm d được gọi là một symmetric nếu d là o-mêtric và d(x, y) = d(y, x)
với mọi x, y ∈ X.
Hàm d được gọi là một nửa mêtric nếu d là symmetric và với M ⊂ X
thì x ∈ M khi và chỉ khi
d(x, M ) = inf{d(x, y) : y ∈ M } = 0.
Không gian tôpô X cùng với một o-mêtric (tương ứng o-mêtric mạnh,
symmetric, nửa mêtric) d trên nó được gọi là không gian o-mêtric (tương
ứng o-mêtric mạnh, đối xứng, nửa mêtric) và ký hiệu là (X, d) hoặc X nếu
không cần chỉ ra d.
Giả sử d là một o-mêtric trên X. Đặt
τd = {U ⊂ X : ∀x ∈ U , ∃B(x, ε) ⊂ U }.
1.2.2 Mệnh đề ([6]). 1) Tập con U là mở khi và chỉ khi U ∈ τd . Nói cách
khác τd trùng với tôpô của X.
2) Nếu {xn } ⊂ X và x ∈ X sao cho d(x, xn ) → 0 thì xn → x.
Chứng minh. 1) Giả sử U là tập mở trong X và x ∈ U . Khi đó, theo định
nghĩa của o-mêtric ắt tồn tại r > 0 sao cho d(x, X\U ) = r. Từ đó suy ra
B(x, 2r ) ⊂ U .

7

Thật vậy, với mỗi y ∈ B(x, x2 ) ta có d(x, y) < 2r . Do đó y ∈
/ X\U , tức là
y ∈ U . Như vậy U ∈ Td .
Ngược lại, giả sử U ∈ τd và x ∈ U . Khi đó tồn tại ε > 0 sao cho
B(x, ε) ⊂ U . Với y ∈ X\U ta có x ∈
/ U . Do dó d(x, y) ≥ ε. Từ đó suy ra
d(x, X\U ) ≥ ε > 0.
Theo định nghĩa của o-mêtric thì U là tập mở trong X.
2) Giả sử {xn } ⊂ X, x ∈ X sao cho d(x, xn ) → 0. Với bất kỳ lân cận U
của x ắt tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ U . Vì d(x, xn ) → 0 nên tồn tại số
tự nhiên no sao cho d(x, xn ) < r với mọi n ≥ no . Do đó xn ∈ B(x, r) ⊂ U
với mọi n ≥ no . Vậy xn → x.
1.2.3 Nhận xét. 1) Từ Định nghĩa 1.2.1 suy ra rằng:
• o-mêtric mạnh ⇒ o-mêtric;
• Nửa mêtric ⇒ symmetric ⇒ o-mêtric.
2) Nếu X là không gian o-mêtric thì X là T1 -không gian. Thật vậy
lấy x ∈ X và đặt U = X\{x}. Với mỗi y ∈ U , ta có y = x. Do đó
d(x, y) = r > 0 và d(y, X\U ) = d(y, x) = r. Từ đó suy ra U là tập mở, tức
{x} là tập đóng. Vì thế X là T1 -không gian.
1.2.4 Mệnh đề ([6]). Không gian tôpô X là nửa mêtric khi và chỉ khi nó
là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng.
Chứng minh. Giả sử X là không gian nửa mêtric và d là nửa mêtric trên
X. Khi đó, với mỗi x ∈ X và n ∈ N thì B(x, n1 ) là một lân cận của điểm
x ∈ X.
Thật vậy, đặt E = X\B(x, n1 ). Ta có d(x, E) ≥

1
n

> 0. Do đó x ∈
/ E,

tức là x ∈ X\E. Vì thế X\E là lân cận mở của x. Với mỗi y ∈ X\E ta có
y∈
/ E. Do đó y ∈
/ E, tức là y ∈ B(x, n1 ). Từ đó ta có X\E ⊂ B(x, n1 ). Như
vậy, B(x, n1 ) là lân cận của điểm x ∈ X.
Bây giờ, với mỗi số dương r, ắt tồn tại n ∈ N sao cho

1
n

< r. Do đó

B(x, n1 ) ⊂ B(x, r). Như vậy B(x, r) là lân cận của x. Từ đó suy ra X là
không gian o-mêtric mạnh và đối xứng.


8

Ngược lại, giả sử X là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng, tức là
trên X có một symmetric d sao cho với mỗi x ∈ X và r > 0, tập B(x, r)
là một lân cận của x. Ta chứng tỏ X là không gian nửa mêtric. Giả sử
M ⊂ X và x ∈ M . Lúc đó, với mỗi r > 0, B(x, r) ∩ M = ∅, tức là tồn tại
y ∈ B(x, r) ∩ M . Từ đó ta có
0 ≤ d(x, M ) ≤ d(x, y) < r.
Cho r → 0 ta kết luận được d(x, M ) = 0. Ngược lại, giả sử x ∈ X sao cho
d(x, M ) = 0. Nếu x ∈

/ M thì x ∈ X\M và do đó tồn tại r > 0 sao cho
B(x, r) ⊂ X\M . Từ đó ta có
d(x, M ) ≥ d(x, M ) ≥ r > 0.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ x ∈ M . Vậy X là không gian nửa mêtric.

1.2.5 Định nghĩa. Giả sử {xn } là một dãy trong không gian o-mêtric
(X, d). Ta nói dãy {xn } là d-hội tụ tới x ∈ X nếu lim d(x, xn ) = 0. Khi
n→∞

d

đó, ta kí hiệu xn → x.
Theo Mệnh đề 1.2.2 thì từ {xn } là d-hội tụ tới x suy ra {xn } hội tụ tới
x (theo tôpô trong X). Một câu hỏi đặt ra ở đây là với điều kiện nào thì
điều ngược lại của Mệnh đề 1.2.2 cũng đúng?
1.2.6 Bổ đề ([6]). Nếu X là không gian o-mêtric Hausdorff thì B(x, r) là
lân cận dãy của x với mọi x ∈ X và mọi r > 0.
Chứng minh. Giả sử B(x, r) không là lân cận dãy của X. Khi đó tồn tại
dãy {xn } trong X\B(x, r) sao cho {xn } hội tụ tới x. Không mất tính tổng
quát có thể giả thiết các xn đôi một khác nhau. Đặt E = {x1 , x2 , . . .}. Vì
X là không gian Hausdorff nên E ∪ {x} là tập con đóng trong X. Do đó
X\(E ∪ {x}) là tập mở.
Giả sử y ∈ X\E. Nếu y = x thì B(y, r) = B(x, r) ⊂ X\E.


9

Nếu y = x thì y ∈ X\(E ∪ {x}). Vì X\(E ∪ {x}) là tập mở nên tồn tại
ε > 0 sao cho
B(y, ε) ⊂ X\(E ∪ {x}) ⊂ X\E.

Từ Mệnh đề 1.2.2 suy ra X\E là tập mở hay E là tập đóng. Điều này
mâu thuẫn với {xn } ⊂ E, {xn } hội tụ tới x nhưng x ∈
/ E. Vậy B(x, r) là
lân cận của x.
1.2.7 Mệnh đề ([6]). Nếu (X, d) là không gian o-mêtric Hausdorff thì
d

xn → x khi và chỉ khi xn → x.
Chứng minh. Giả sử xn → x. Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên
với mỗi ε > 0, B(x, ε) là lân cận dãy của x. Do đó tồn tại no ∈ N sao cho
xn ∈ B(x, ε) với mọi n ≥ no , tức là
0 ≤ d(x, xn ) < ε với mọi n ≥ no .
Từ đó suy ra d(x, xn ) → 0.
1.2.8 Mệnh đề ([6]). Giả sử X là không gian o-mêtric mạnh và {xn } là
dãy trong X. Khi đó {xn } hội tụ tới x khi và chỉ khi d(x, xn ) → 0.
Chứng minh. Giả sử xn → x và ε > 0. Khi đó tồn tại no ∈ N sao cho
xn ∈ B(x, ε) với mọi n ≥ no . Từ đó
0 ≤ d(x, xn ) < ε với mọi n ≥ no .
Vì ε bất kỳ nên d(x, xn ) → 0.
Nhờ Mệnh đề 1.2.2 ta dễ dàng suy ra điều ngược lại.
1.2.9 Mệnh đề ([6]). Không gian tôpô X là o-mêtric mạnh khi và chỉ khi
trên X có một o-mêtric sao cho mỗi hình cầu là một tập mở.
Chứng minh. Giả sử X là không gian o-mêtric mạnh với d là o-mêtric mạnh
trên nó. Khi đó với mỗi x ∈ X và r > 0, hình cầu
B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}


10

là lân cận của x. Do đó intB(x, r) = ∅. Ta xác định hàm d : X × X → R

với
d (x, y) =

0
1
1
inf{n∈N:y ∈intB(x,
/
)}
n

nếu x = y
nếu x = y

Ta sẽ chứng minh d là o-mêtric sao cho mỗi hình cầu
B (x, r) = {y ∈ X : d (x, y) < r}
là một tập mở.
Rõ ràng d (x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d (x, y) = 0 khi và chỉ khi
x = y.
Giả sử U là tập mở trong X. Khi đó với mỗi x ∈ U thì x ∈
/ X\U = X\U .
Do đó d(x, X\U ) = r > 0. Chọn n ∈ N sao cho

1
n

< r. Ta có

1
1

B(x, ) ⊂ B(x, ⊂ U.
n
r
Từ đó suy ra, với mỗi y ∈ X\U đều có y ∈
/ intB(x, n1 ). Theo cách xác định
hàm d ta có d (x, y) ≥ n1 . Do đó
1
> 0.
n
Giả sử U ⊂ X sao cho d (x, X\U ) > 0 với mọi x ∈ U . Với mỗi x ∈ U ,
d (x, X\U ) = inf{d (x, y) : y ∈ X\U } ≥

chọn n ∈ N sao cho

1
n

≤ d (x, X\U ). Khi đó với mỗi y ∈ X\U ta có

1
.
n
Do đó y ∈
/ intB(x, n1 ). Từ đó suy ra intB(x, n1 ) ⊂ U . Điều này chứng tỏ U
d (x, y) ≥ d (x, X\U ) ≥

là tập mở trong X. Như vậy d là một o-mêtric trên X.
Bây giờ, giả sử x ∈ X và r > 0. Ta chứng minh B (x, r) là tập mở trong
X. Để thực hiện điều này, đầu tiên ta chứng tỏ
1

1
B (x, ) = intB(x, ), với n = 1, 2, ...
n
n
Thật vậy, với mỗi y ∈ B (x, n1 ) ta có d (x, y) < n1 . Từ đó suy ra y ∈
intB(x, n1 ), bởi vì nếu y ∈
/ intB(x, n1 ) thì d (x, y) ≥ n1 . Do đó
1
1
B (x, ) ⊂ intB(x, ).
n
n


11

Giả sử y ∈ intB(x, n1 ). khi đó d (x, y) ≤

1
n+1

< n1 . Do đó y ∈ B (x, n1 ) và

ta có
1
1
intB(x, ) ⊂ B (x, ).
n
n
Tiếp theo, giả sử r > 0 sao cho tồn tại n ∈ N thoả mãn

1
1
n+1
n
Khi đó
1
1
B (x, r) = B (x, ) = intB(x, ).
n
n
Do đó B (x, r) là tập mở.
Cuối cùng, giả sử r > 1. Khi đó
B (x, r) = {y ∈ X : d (x, y) < r}
= {y ∈ X : d(x, y) ≤ 1}
= X.
Vậy B (x, r) là tập mở trong X với mọi x ∈ X và r > 0.
Ngược lại, nếu trên X có một o-mêtric sao cho mỗi hình cầu là một tập
mở thì hiển nhiên X là không gian o-mêtric mạnh.
1.2.10 Bổ đề. Giả sử X là một không gian o-mêtric, A ⊂ X. Khi đó A
đóng khi và chỉ khi
{x ∈ X : d(x, A) = 0} ⊂ A.
Chứng minh. Giả sử A đóng thì X\A mở. Khi đó, mọi x ∈ X\A đều có
d(x, A) > 0. Do đó
{x ∈ X : d(x, A) = 0} ⊂ A.
Ngược lại, giả sử
{x ∈ X : d(x, A) = 0} ⊂ A.
Khi đó, với mọi x ∈ X\A đều có d(x, A) > 0. Do đó X\A là tập mở trong
X. Vậy A đóng trong X.

12

1.2.11 Mệnh đề. Giả sử (X, d) là không gian o-mêtric. Với mỗi x ∈ X ta
xác định hàm
d(x, .) : X → R
y → d(x, y)
Khi đó
(1) Nếu d(x, .) là nửa liên tục dưới thì với mỗi tập
B[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}
là đóng trong X;
(2) Nếu d(x, .) nửa liên tục trên thì với mỗi r > 0 tập
B(x, r) ⊂ {y ∈ X : d(x, y) < r}
là mở trong X.
Chứng minh. 1) Giả sử z ∈ X sao cho d(z, B[x, r]) = 0. Khi đó, từ tính
chất của inf suy ra tồn tại dãy {yn } trong B[x, r] sao cho lim d(z, yn ) = 0.
n→∞

Theo Mệnh đề 1.2.2 ta có yn → z. Vì d(x, .) là hàm nửa liên tục dưới nên
lim d(x, yn ) ≥ d(x, z).

n→∞

Mặt khác, do yn ∈ B[x, r] với mọi n nên d(x, yn ) ≤ r với mọi n và do
đó ta có d(x, z) ≤ r, tức là z ∈ B[x, r]. Như vậy
{z ∈ X : d(z, B[x, r]) = 0} ⊂ B[x, r].
Theo Bổ đề 1.2.10 thì B[x, r] là tập đóng trong X.
2) Giả sử d(x, .) nhưng tồn tại r > 0 mà B(x, r) không mở trong X. Khi
đó, từ Mệnh đề 1.2.2 (1) suy ra tồn tại điểm y ∈ B(x, r) sao cho
1

B(y, ) ∩ (X\B(x, r)) = ∅; n = 1, 2, . . .
n
Do đó, tồn tại dãy {yn } thoả mãn
1
yn ∈ B(y, ) ∩ (X\B(y, yn )); n = 1, 2, . . .
n


13

Từ đó ta có lim d(y, yn ) = 0. Theo Mệnh đề 1.2.2(2) thì yn → y. Vì d(x, .)
n→∞

nửa liên tục trên nên
lim d(x, yn ) ≤ d(x, y) < r.

n→∞

(1)

Mặt khác, vì {yn } ⊂ X\B(x, r) nên d(x, yn ) ≥ r với mọi n nên
lim d(x, yn ) ≥ r.

n→∞

Bất đẳng thức này mâu thuẫn với (1). Do đó B(x, r) là mở trong X.
1.2.12 Hệ quả. Nếu (X, d) là không gian o-mêtric sao cho với mọi x ∈ X,
hàm d(x, .) nửa liên tục trên thì X là không gian o-mêtric mạnh.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.2.11 và Định nghĩa không gian o-mêtric mạnh
ta có ngay điều phải chứng minh.

1.2.13 Mệnh đề. Nếu X là không gian o-mêtric mạnh thì X là không gian
Frechet.
Chứng minh. Giả sử A ⊂ X và x ∈ A. Vì X là không gian o-mêtric mạnh
nên B(x, n1 ) là lân cận của x với mọi n = 1, 2, . . . Vì thế
1
B(x, ) ∩ A = ∅ với mọi n = 1, 2, . . .
n
Từ đó, tồn tại dãy {xn } sao cho
1
xn ∈ B(x, ) ∩ A; n = 1, 2, . . .
n
Do đó d(xn , x) → 0. Theo Mệnh đề 1.2.2, xn → x. Vậy X là không gian
Frechet.
1.2.14 Định nghĩa ([6]). Giả sử X là một không gian tôpô, P(X) là họ
tất cả các tập con của X, N = {1, 2, . . .} và ánh xạ g : N × X → P(X).
Ánh xạ g được gọi là ánh xạ phủ mở yếu đếm được và viết tắt là cwc-ánh
xạ nếu
(i) x ∈ g(n, x) với mọi x ∈ X, với mọi n ∈ N;


14

(ii) g(n + 1, x) ⊂ g(n, x) với mọi x ∈ X và với mọi n ∈ N;
(iii) Tập con U của X là mở nếu với mỗi x ∈ U tồn tại n ∈ N sao cho
g(n, x) ⊂ U .
Ta xét các điều kiện sau đây đối với ánh xạ g.
(a) Nếu xn ∈ g(n, x) với mọi n thì xn → x;
(b) Nếu x ∈ g(n, xn ) với mọi n thì xn → x;
(c) Mỗi g(n, xn ) là một tập mở.
1.2.15 Mệnh đề ([6]). Giả sử g : N × X → P(X) là cwc-ánh xạ. Khi đó

1) Nếu g thoả mãn điều kiện (a) thì tập con U của X là mở khi và chỉ
khi với mỗi x ∈ U tồn tại n ∈ N sao cho g(n, x) ⊂ U .
2) Ánh xạ g thoả mãn điều kiện (a) khi và chỉ khi họ
{g(n, x) : n ∈ N}
là lưới tại x với mỗi x ∈ X.
1.2.16 Nhận xét ([6]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó
1) X là không gian gf-đếm được khi và chỉ khi X có một cwc-ánh xạ
thoả mãn (a);
2) X là không gian đếm được thứ nhất khi và chỉ khi X là T1 -không gian
có cwc-ánh xạ thoả mãn (a) và (c);
3) X là không gian đối xứng khi và chỉ khi X là T1 -không gian có cwc-ánh
xạ thoả mãn (a) và (b);
4) X là không gian nửa mêtric khi và chỉ khi X là T1 -không gian có
cwc-ánh xạ thoả mãn (a), (b) và (c).
1.2.17 Mệnh đề ([6]). Không gian tôpô X là o-mêtric khi và chỉ khi X là
T1 không gian, gf-đếm được.
Chứng minh. Giả sử d là o-mêtric trên X. Với mỗi x ∈ X ta đặt
1
Px = {B(x, ) : n = 1, 2, . . .}
n


15

và
P=

Px .
x∈X

Với U là lân cận của x, vì d là o-mêtric nên
d(x, X\U ) = r > 0.
Từ đó với n ∈ N sao cho

1
n

< r ta có
1
B(x, ) ⊂ U.
n

Do đó Px là lưới tại x.
1
) ∈ Px lấy k ∈ N sao cho k > n và k > m ta có
Với B(x, n1 ) và B(x, m

1
1
1
B(x, ) ⊂ B(x, ) ∩ B(x, ).
k
n
m
Giả sử G ⊂ X sao cho với mỗi x ∈ G đều tồn tại B(x, n1 ) sao cho
B(x, n1 ) ⊂ G. Khi đó với mỗi y ∈ X\G ta có
d(x, y) ≥

1
.

n

Do đó
1
> 0.
n
Từ đó, G là tập mở trong X. Như vậy P là cơ sở yếu trong X. Mặt
d(x, X\G) ≥

khác, vì mỗi Px là tập đếm được nên X là không gian gf-đếm được. Theo
Nhận xét 1.2.3, X là T1 -không gian.
Ngược lại, giả sử X là T1 không gian, gf-đếm được. Khi đó, theo Nhận
xét 1.2.16, X có cwc-ánh xạ g thoả mãn điều kiện (a). Ta xác định hàm
d : X × X → R với
d (x, y) =

0
1
inf{n∈N:y ∈g(n,x)}
/

nếu x = y
nếu x = y

Rõ ràng d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
Với U ⊂ X, theo Mệnh đề 1.2.15, U là tập mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ U
tồn tại n ∈ N sao cho g(n, x) ⊂ U . Từ đó suy ra với mỗi y ∈ X\U ta có


16

d(x, y) ≥ n1 . Do đó d(x, X\U ) ≥

1
n

> 0. Ngược lại, nếu với mỗi x ∈ U đề

có d(x, X\U ) = r > 0 thì với n ∈ N mà

1
n

< r ta có g(n, x) ⊂ U . Do đó U

là tập mở trong X. Vậy d là một o-mêtric trên X.
1.2.18 Định lý ([6]). Không gian tôpô X là o-mêtric mạnh khi và chỉ khi
X là không gian đếm được thứ nhất và T1 -không gian.
Chứng minh. Giả sử d là o-mêtric mạnh trên không gian tôpô X. Khi đó,
theo Mệnh đề 1.2.2, X là T1 -không gian. Với mỗi x ∈ X và r > 0 hình cầu
B(x, r) là lân cận của x. Đặt
1
Ux = {B(x, ) : n = 1, 2, . . .}.
n
Giả sử U là lân cận bất kì của x. Khi đó, từ định nghĩa o-mêtric suy ra
d(x, X\U ) = δ > 0. Do đó, với mỗi y ∈ X\U ta có d(x, y) ≥ δ. Từ đó suy
ra B(x, δ) ⊂ U . Chọn n ∈ N sao cho

1
n

< δ ta có

1
B(x, ) ⊂ B(x, δ) ⊂ U.
n
Do dó Ux là cơ sở lân cận tại x. Hiển nhiên Ux là đếm được. Vậy X là
không gian đếm được thứ nhất.
Ngược lại, giả sử X là không gian đếm được thứ nhất và T1 -không gian.
Khi đó, theo Nhận xét 1.2.16, X có cwc-ánh xạ g thỏa mãn các điều kiện
(a) và (c). Ta xác định ánh xạ d : X × X → R với
d (x, y) =

0
1
inf{n∈N:y ∈g(n,x)}
/

nếu x = y
nếu x = y

Trong chứng minh Mệnh đề 1.2.17, ta đã chứng tỏ d là một o-mêtric trên
X. Từ g(n + 1, x) ⊂ g(n, x) với mỗi n ∈ N suy ra
1
B(x, ) = g(n, x).
n
Vì g thỏa mãn (c) nên B(x, n1 ) là tập mở. Điều này chứng tỏ mỗi hình cầu
B(x, r) là một lân cận của x. Vậy X là không gian o-mêtric mạnh.

17

1.3

Không gian o-mêtric đầy đủ và không gian omêtric d-compắc dãy

Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất của không gian
o-mêtric đầy đủ và không gian o-mêtric d-compắc dãy.
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian o-mêtric và {xn } là một
dãy trong X. Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồn tại
no ∈ N sao cho với mọi n ≥ no và với mọi m ∈ N ta có d(xn , xn+m ) < ε.
Không gian X được gọi là đầy đủ nếu {xn } là một dãy Cauchy trong X
thì tồn tại x ∈ X sao cho {xn } hội tụ tới x.
1.3.2 Mệnh đề. Với không gian o-mêtric (X, d) các điều kiện sau là tương
đương.
a) Mọi dãy d-hội tụ là dãy Cauchy.
d

d

b) Nếu {xn }, {yn } là các dãy trong X và x ∈ X sao cho xn → x, yn → x
thì lim d(xn , yn ) = 0.
n→∞

Chứng minh. Giả sử điều kiện (a) được thoả mãn và {xn }, {yn } là hai dãy
d

d

trong X sao cho xn → x, yn → x ∈ X. Với mỗi n = 1, 2, . . . Đặt

z2n−1 = xn , z2n = yn .
Khi đó, từ d(x, xn ) → 0 và d(x, yn ) → 0 suy ra lim d(x, zn ) → 0, tức là
n→∞

d

zn → x. Theo điều kiện (a), {zn } là dãy Cauchy. Do đó, với mọi ε > 0 tồn
tại no ∈ N sao cho
d(zn , zn+m ) < ε với mọi n ≥ no , m ∈ N.
Từ đó suy ra
d(xn , yn ) = d(z2n−1 , z2n ) < ε với mọi n ≥ no .
Do đó lim d(xn , yn ) = 0.
n→∞

Ngược lại, giả sử điều kiện (b) được thoả mãn và {xn } là dãy d-hội tụ
tới x ∈ X. Ta cần chứng minh {xn } là dãy Cauchy. Giả sử {xn } không là


18

dãy Cauchy. Khi đó tồn tại ε > 0 sao cho với mỗi n ∈ N tồn tại mn > n và
kn ∈ N thoả mãn
d(xmn , xmn +kn ) > ε.
Không mất tính tổng quát có thể giả thiết mn + kn < mn+1 với mọi n. Khi
đó {xmn } và {xmn +kn } là dãy con của dãy {xn }. Từ d(x, xn ) → 0 suy ra
lim d(x, xmn ) = lim d(x, xmn +kn ) = 0.

n→∞

n→∞

Theo điều kiện (b) ta có
lim d(xmn , xmn +kn ) = 0.

n→∞

Điều này mâu thuẫn. Do đó {xn } là dãy Cauchy.
1.3.3 Định lý. Giả sử (X, d) là không gian o-mêtric đầy đủ. Khi đó, nếu
{An } là dãy giảm các tập con đóng, khác rỗng của X sao cho
lim d(An ) = 0

n→∞

thì các An có duy nhất một điểm chung trong đó
d(An ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.
Chứng minh. Với mỗi n = 1, 2, ... lấy xn ∈ An . Vì d(An ) → 0 nên với mọi
ε > 0 ắt tồn tại no ∈ N sao cho d(An ) < ε với mọi n ≥ no . Do đó với mọi
n ≥ no , m ∈ N, từ xn , xn+m ∈ An o suy ra d(xn , xn+m ) < ε. Như vậy {xn }
là dãy Cauchy trong không gian đầy đủ. Vì thế xn → x ∈ X.
Với mỗi n = 1, 2, ... dãy {xn+k }k nằm trong An với mọi k, từ tính đóng
∞

của An suy ra xn+k → x ∈ An . Do đó x ∈

∞

An . Giả sử tồn tại y ∈
n=1

An .

n=1

Khi đó x và y thuộc An với mọi n. Do đó d(x, y) = 0, tức là x = y. Vậy
∞

An = {x}.
n=1


19

Ta đã biết rằng tập con K của không gian tôpô X được gọi là compắc
dãy nếu mọi dãy trong K có dãy con hội tụ tới điểm thuộc K. Bây giờ, ta
nghiên cứu khái niệm và tính chất của tập d-compắc dãy trong không gian
o-mêtric.
1.3.4 Định nghĩa. Giả sử K là tập con của không gian o-mêtric d-compắc
dãy (X, d). K được gọi là d-compắc dãy nếu mọi dãy {xn } trong K đều
tồn tại dãy con {xnm } và x ∈ K sao cho
d(x, xnm ) → 0.
1.3.5 Mệnh đề. a) Nếu K là d-compắc dãy trong không gian o-mêtric
d-compắc dãy (X, d) thì K là compắc dãy.
b) Nếu (X, d) là không gian o-mêtric d-compắc dãy Hausdorff thì
i) Các khái niệm d-compắc dãy và compắc dãy là tương đương;
ii) Mỗi tập con compắc dãy trong X đều là tập đóng.
c) Nếu không gian o-mêtric (X, d) là d-compắc dãy thì mọi tập con đóng
của X đều d-compắc dãy.
Chứng minh. a) Giả sử K là d-compắc dãy trong không gian o-mêtric X
và {xn } là một dãy trong K. Khi đó, theo Định nghĩa 1.3.4, tồn tại dãy con
{xnm } của {xn } và x ∈ K sao cho d(x, xnm ) → 0. Theo Mệnh đề 1.2.2(2)
thì xnm → x. Do đó K là tập compắc dãy.

b) Giả sử X là không gian o-mêtric Hausdorff. Để chứng minh (i) ta
chỉ cần chứng tỏ mọi tập compắc dãy trong X là d-compắc dãy. Giả sử
K ⊂ X là tập compắc dãy và {xn } là dãy trong K. Khi đó tồn tại dãy
con {xnm } của dãy {xn } sao cho xnm → x ∈ K. Theo Mệnh đề 1.2.2(2) thì
d(xnm , x) → 0. Do đó K là d-compắc dãy.
ii) Giả sử K là tập d-compắc dãy trong X. Vì X là gf-đếm được theo
Mệnh đề 1.2.17 nên X là không gian dãy. Do đó, để chứng minh K đóng
ta chỉ cần chứng tỏ mọi dãy trong K mà hội tụ thì hội tụ tới điểm thuộc
K. Giả sử {xn } là dãy trong K, xn → x ∈ X. Vì K là d-compắc dãy nên


20

theo (a) K là compắc dãy. Do đó tồn tại dãy con {xnm } của {x} và x ∈ K
sao cho xnm → x . Mặt khác, X là không gian Hausdorff nên x ≡ x ∈ K.
Vậy K là tập con đóng trong X.
c) Giả sử E ⊂ K ⊂ X với K là tập compắc dãy và E là tập con đóng
trong K. Lấy bất kỳ dãy {xn } trong E. Khi đó {xn } ⊂ K, mà K là compắc
dãy nên tồn tại dãy con {xnm } của {xn } và x ∈ K sao cho d(xnm , x) → 0.
Theo Mệnh đề 1.2.2(2), xnm → x. Vì E đóng trong K nên x ∈ E. Do đó E
là d-compắc dãy.
1.3.6 Định lý. Giả sử (X, d) là không gian o-mêtric và d-compắc dãy sao
cho với mỗi x ∈ X hàm d(x, .) nửa liên tục dưới. Khi đó, với mỗi tập
con E đóng, khác rỗng của X và mỗi a ∈ X đều tồn tại b ∈ E sao cho
d(a, b) = d(a, E), trong đó
d(a, E) = inf{d(a, x) : x ∈ E}.
Chứng minh. Đặt α = d(a, E). Hiển nhiên α ∈ [0, ∞]. Nếu α = 0 thì do E
đóng nên theo Bổ đề 1.2.10, a ∈ E. Khi đó lấy b = a ta có điều phải chứng
minh.
Bây giờ giả sử α > 0. Khi đó, từ tính chất của inf suy ra tồn tại dãy

{xn } trong E sao cho d(a, xn ) → α. Vì X là d-compắc dãy và E đóng trong
X nên E cũng là d-compắc dãy. Do đó tồn tại dãy con {xnk } của dãy {xn }
và b ∈ E sao cho d(b, xnk ) → 0. Theo Mệnh đề 1.2.2, xnk → b. Từ tính nửa
liên tục dưới của d(a, .) ta có
limnk →∞ d(a, xnk ) ≥ d(a, b).
Mặt khác, do d(a, xn ) → α nên limnk →∞ d(a, xnk ) = α. Do đó d(a, b) ≤ α.
Vậy d(a, b) = α.
1.3.7 Mệnh đề. Nếu {En } là dãy giảm các tập con d-compắc dãy trong
∞

En = ∅.

không gian o-mêtric Hausdorff X thì
n=1


21

Chứng minh. Với mỗi n = 1, 2, . . ., lấy xn ∈ En . Khi đó {xn } là dãy trong
tập d-compắc dãy E1 . Do đó tồn tại dãy con {xnk } của {xn } và x ∈ E1 sao
cho d(x, xnk ) → 0. Vì thế xnk → x. Theo Mệnh đề 1.3.5 các En là các tập
đóng. Mặt khác với mỗi n = 1, 2, . . ., dãy {xnk } nằm trong En một lúc nào
∞

đó nên x ∈ En . Do đó x ∈

En .
n=1

1.3.8 Hệ quả. Nếu (X, d) là không gian o-mêtric và d-compắc dãy thì mỗi

dãy giảm các tập con đóng của X có giao khác rỗng.
Chứng minh. Giả sử {En } là dãy giảm các tập con đóng trong X. Khi đó,
vì X là d-compắc dãy nên En là d-compắc dãy. Tiếp tục chứng minh tương
∞

En = ∅.

tự Mệnh đề 1.3.7 ta có
n=1


22

CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
TRONG KHÔNG GIAN O-MÊTRIC

2.1

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong
không gian o-mêtric

Trong mục này, chúng tôi sẽ thiết lập điều kiện để tồn tại điểm bất động
của ánh xạ co trong không gian o-mêtric mà nó tương tự như Nguyên lí
điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử X là không gian o-mêtric và f : X → X. Ánh
xạ f được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0, 1) sao cho
d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Rõ ràng rằng nếu f liên tục thì không thể kết luận được f là ánh xạ co
(ánh xạ đồng nhất trên X là liên tục nhưng không là ánh xạ co). Câu hỏi

đặt ra là ánh xạ co có liên tục không? Để trả lời câu hỏi này đầu tiên ta
cần bổ đề sau.
2.1.2 Bổ đề. Giả sử X, Y là hai không gian o-mêtric và f : X → Y . Khi
đó f liên tục khi và chỉ khi với mỗi dãy {xn } trong X mà xn → x ∈ X thì
f (xn ) → f (x).
Chứng minh. Giả sử f liên tục và {xn } là dãy trong X hội tụ tới x ∈ X.
Khi đó, với mỗi lân cận mở V của f (x) thì f −1 (V ) là lân cận mở của x. vì
xn → x nên tồn tại no ∈ N sao cho xn ∈ f −1 (V ) với mọi n ≥ no . Do đó,
f (xn ) ∈ V với mọi n ≥ no . Vậy f (xn ) → f (x).


23

Ngược lại, giả sử với mọi dãy {xn } trong X mà xn → x ∈ X thì
f (xn ) → f (x) nhưng f không liên tục. Khi dó, theo Định lí 1.1.7 ắt tồn
tại tập F đóng trong Y sao cho E = f −1 (F ) không đóng trong X, tức là
tập X\E không mở trong X. Từ đó suy ra tồn tại điểm x ∈ X\E, x ∈ E.
Theo Mệnh đề 1.2.13, X là không gian Frechet. Do đó tồn tại dãy {xn }
trong E sao cho xn → x. Theo giả thiết ta có f (xn ) → f (x). Mặt khác
{f (xn )} ⊂ f (E) = F và F là tập đóng nên f (x) ∈ F , tức là x ∈ f −1 (F ) =
E. Ta có một điều mâu thuẫn. Vậy f liên tục.
2.1.3 Mệnh đề. Nếu X là không gian o-mêtric mạnh thì mọi ánh xạ co
f : X → X đều liên tục.
Chứng minh. Giả sử {xn } là dãy trong X và xn → x ∈ X. Vì f là ánh xạ
co nên tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Do đó ta có
0 ≤ d(f (x), f (xn )) ≤ αd(x, xn )

(1)

Mặt khác, vì xn → x và X là không gian o-mêtric mạnh nên theo Mệnh đề
1.2.8 d(x, xn ) → 0 và do đó vế phải của (1) dần tới 0. Từ đó d(f (x), f (xn )) →
0. Theo Mệnh đề 1.2.2 ta có f (xn ) → f (x). Theo Bổ đề 2.1.2 f là ánh xạ
liên tục.
2.1.4 Định nghĩa. Giả sử X là không gian o-mêtric. Ta nói X bị chặn
nếu
d(X) = sup{d(x, y) : x, y ∈ X} < ∞.
2.1.5 Định nghĩa. Giả sử f : X → X. Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất
động của f nếu f (a) = a.
Ta đã biết rằng mỗi ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ có điểm
bất động duy nhất. Định lý sau đây cho thấy điều này cũng đúng cho không
gian o-mêtric đầy đủ.


24

2.1.6 Định lý. Nếu (X, d) là không gian o-mêtric Hausdorff đầy đủ sao
cho
d(f (X)) = sup{d(x, y) : x, y ∈ f (X)} < ∞
thì mỗi ánh xạ co f : X → X có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Giả sử f : X → X là ánh xạ co, nghĩa là tồn tại α ∈ [0, 1)
sao cho
d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), với mọi x, y ∈ X.
Lấy x1 ∈ X và đặt x2 = f (x1 ). Nếu d(x1 , x2 ) = 0 thì x1 = x2 = f (x1 ), do
đó x1 là điểm bất động của f . Giả sử d(x1 , x2 ) > 0. Ta xây dựng dãy {xn }
như sau
xn+1 = f (xn ), với n = 1, 2, . . .
Khi đó, nếu tồn tại no mà xno +1 = f (xno ) = xno thì xno là điểm bất động
của f . Do đó ta chỉ cần xét trường hợp xn = xn+1 , với mọi n ∈ N. Với mọi

n và p ∈ N ta có
d(xn , xn+p ) = d(f (xn−1 , xn+p−1 )
≤ αd(xn−1 , xn+p−1 ).
Suy ra
d(xn , xn+p ) ≤ αn−1 d(x1 , xp+1 ) ≤ αn−1 C,
trong đó
C = d(f (X)) = sup{d(x, y) : x, y ∈ f (X)} < ∞.
Từ α ∈ [0, 1), C hữu hạn và bất đẳng thức trên suy ra {xn } là dãy cơ
bản trong X. Do X đầy đủ nên tồn tại x ∈ X sao cho xn → x.
Bây giờ ta chứng minh x là điểm bất động của f . Với mọi n ta có
0 ≤ d(f (x), f (xn )) ≤ αd(x, xn ).
d

Do xn → x nên theo Mệnh đề 1.2.7, ta có xn → x. Do đó d(f (x), f (xn )) → 0
d

khi n → ∞. Tức là f (xn ) → f (x). Vì thế, f (xn ) → f (x). Do đó
xn = f (xn−1 ) → f (x).