Hình thành phương pháp học cho học sinh tiểu học

Lời nói đầu
Trong Giải tích hàm, từ các khái niệm hội tụ, liên tục .... của các hàm số
trong không gian X, dựa vào Tôpô yếu trên X, ngời ta đã xây dựng các khái
niệm tơng ứng: hội tụ yếu, liên tục yếu... Một trong những khái niệm đợc xây
dựng theo cách đó là khái niệm hàm hầu tuần hoàn yếu.
Xuất phát từ định nghĩa và các tính chất của hàm hầu tuần hoàn mà luận
văn của Nguyễn Thị Hoài Quyên đã nghiên cứu, khoá luận này nhằm nghiên
cứu định nghĩa và các tính chất của hàm hầu tuần hoàn yếu, xét xem các tính
chất của hàm hầu tuần hoàn có còn đúng đối với hàm hầu tuần hoàn yếu nữa
không? Từ đó khoá luận nhằm tìm ra mỗi liên hệ giữa hàm hầu tuần hoàn và
hàm hầu tuần hoàn yếu, các tiêu chuẩn của hàm hầu tuần hoàn .
Nội dung khoá luận gồm hai chơng:
Chơng I: Tóm tắt các khái niệm và tính chất của hàm hầu tuần hoàn
đã đợc nghiên cứu trong luận văn của Nguyễn Thị Hoài Quyên.
Chơng II: Gồm ba phần:
Đ1. Khoá luận đa ra định nghĩa và một số tính chất đơn giản của hàm
hầu tuần hoàn yếu
Đ2. Khoá luận chứng minh một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn yếu
liên quan đến giải tích điều hoà của các hàm này.
Đ3. Tìm ra các tiêu chuẩn của hàm hầu tuần hoàn, xét mối liên hệ giữa
hàm hầu tuần hoàn và hàm hầu tuần hoàn yếu.
Đặc biệt khoá luận đã nêu ra ví dụ về hàm hầu tuần hoàn yếu nhng
không phải là hàm hầu tuần hoàn ở mục 2.3.4.
Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán Trờng Đại Học Vinh dới sự
giúp đỡ của các thầy, cô giáo, gia đình và bè bạn. Đặc biệt là sự hớng dẫn
nhiệt tình chu đáo của thầy giáo PGS - TS Tạ Quang Hải. Qua đây tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hớng dẫn và các thầy
cô trong khoa Toán trờng Đại Học Vinh cùng toàn thể bạn bè và gia đình.
Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn.
Vinh, tháng 5/2003
Tác giả

2

Chơng I

Khái niệm về hàm hầu tuần hoàn
Đ1. Định nghĩa và một số tính chất đơn giản
I. Định nghĩa hầu chu kỳ, hầu tuần hoàn theo nghĩa Borơ.

1.1.1. Định nghĩa. Tập số E = {} đợc gọi là trù mật tơng đối trong
- < x < + nếu tồn tại số l > 0 sao cho [a, a + l ] E , a R.
Ví dụ: Tập 0, 1, 2... là tập trù mật tơng đối trong R với l = 1.
Tập 0, 12, 22... không trù mật tơng đối trong R vì sup [(k + 1)2 - k2] =
k

Xét hàm giá trị phức: f(x) = (x) + i (x)
(x) = Re f(x)
(x) = Im f(x)
1.1.2. Định nghĩa. Số T = T(x) đợc gọi là hầu chu kỳ của hàm f với độ
chính xác (hay còn gọi là - hầu chu kỳ) nếu với mỗi x R có bất đẳng thức:
| f(x + T) - f(x)| <
1.1.3. Định nghĩa. Hàm phức liên tục f(x) đợc gọi là hầu tuần hoàn theo
nghĩa Borơ nếu với mỗi > 0 tồn tại một tập trù mật tơng đối các hầu chu kỳ T
của f(x) với độ chính xác , nghĩa là tồn tại l = l() sao cho mỗi đoạn [a, a +l ]
chứa ít nhất một điểm T sao cho: | f(x + T) - f(x) | < với x bất kỳ.
Nhận xét.
Mỗi hàm tuần hoàn liên tục là hầu tuần hoàn. Điều ngợc lại không đúng.
Ví dụ. Hàm f(x) = sinx + sin 2 x là hàm hầu tuần hoàn nhng không
phải là hàm tuần hoàn.

3

Chú ý.
- Hai điểm x và x' = x + T với T là - hầu chu kỳ của hàm f(x), đợc gọi
là các điểm - tơng đẳng nhau.
- Nếu f(x) là hàm hầu tuần hoàn thì với mỗi x (-, +) trên đoạn [a, a +l ]
tìm đợc x' là - tơng đẳng với nó.
Thật vậy, theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn của hàm f(x), trên đoạn
[-x + a, -x + a + l ] luôn tồn tại - hầu chu kỳ T: -x + a T -x + a + l.
Đặt x' = x + T ta có a x a + l

x' [a, a + l]

Vậy trên đoạn [ a, a + l ] có x' là - tơng đẳng với x.
1.1.4. Các tính chất đơn giản.
1. Nếu f(x) là hàm hầu tuần hoàn thì f(x) + (, C ); f(ax + b)
(a,b R) cũng là hàm hầu tuần hoàn.
2. Nếu f(x) là hàm hầu tuần hoàn thì Ref(x), Imf(x), | f(x)|; f(x) cũng là
hàm hầu tuần hoàn.
1.1.5: Định lý. Nếu E là tập giá trị của hàm hầu tuần hoàn f(x) và F(y)
là hàm liên tục đều trên E thì F(f(x)) là hàm hầu tuần hoàn.
II - Các tính chất cơ bản của hàm hầu tuần hoàn:

1.1.6: Định lý. Hàm hầu tuần hoàn bị chặn đều trên R
1.1.7: Định lý. Hàm hầu tuần hoàn liên tục đều trên R.
1.1.8: Hệ quả. Với mỗi > 0, tập - hầu chu kỳ của hàm hầu tuần hoàn
f(x) chứa tập trù mật tơng đối các đoạn thẳng với độ dài = (), nghĩa là tồn tại
L = L() sao cho trên mỗi đoạn [a, a + L] có đoạn con [, + ] mà mỗi điểm

[, + ] là - hầu chu kỳ.
1.1.9. Hệ quả. Với hàm hầu tuần hoàn f(x) và với mọi > 0 tồn tại tập
trù mật tơng đối các - hầu chu kỳ T là các số bội nguyên của =().
1.1.10. Bổ đề. Với hai hàm hầu tuần hoàn và với mọi > 0 bất kỳ, tồn
tại tập trù mật tơng đối các - hầu chu kỳ chung của chúng.


4

III - Các phép toán về hàm hầu tuần hoàn.

1.1.11 Định lý. Tổng của hai hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn.
1.1.12. Hệ quả. Tổng hữu hạn các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn
n

1.1.13. Hệ quả. Nếu fi(x) là hàm hầu tuần hoàn( i = 1.. . n) thì


i =1

i

fi(x) cũng là hàm hầu tuần hoàn (i R)
1.1.14. Định lý. Tích của hai hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn.
1.1.15. Hệ quả. Tích của một số hữu hạn các hàm hầu tuần hoàn là hàm
hầu tuần hoàn.
1.1.16. Hệ quả. Luỹ thừa (nguyên dơng) của hàm hầu tuần hoàn là hàm
hầu tuần hoàn.
1.1.17. Bổ đề. Nếu f(x) là hàm hầu tuần hoàn và inf |f(x) | = h > 0 thì

1
cũng là hàm hầu tuần hoàn.
f ( x)

1.1.18: Định lý. Nếu f(x), g(x) là các hàm hầu tuần hoàn với
f ( x)

inf | g(x)| > 0 thì g ( x) cũng là hàm hầu tuần hoàn.
IV - Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa bôcnerơ.

1.1.19. Định nghĩa. Hàm f(x) C (-, +) đợc gọi là chuẩn tắc nếu họ các
hàm {f(x + h)} - < h < + là compact theo nghĩa hội tụ đều, tức là từ một dãy
{f(x + hn)}, hn (-, +) có thể trích ra dãy con hội tụ đều trên trục thực.
Dễ thấy mỗi hàm chuẩn tắc là bị chặn.
1.1.20. Định nghĩa (theo Bôcnerơ). Hàm liên tục f(x) đợc gọi là hàm
hầu tuần hoàn nếu f(x) là chuẩn tắc.
1.1.21. Định lý (Sự tơng đơng giữa hai định nghĩa) Hàm hầu tuần
hoàn theo nghĩa Bônerơ là tơng đơng.


5

Đ2. Đạo hàm và vi phân của hàm hầu tuần hoàn
I - Sự hội tụ đều dãy các hàm hầu tuần hoàn.

1.2.1 Mệnh đề. Nếu dãy hàm hầu tuần hoàn f1 (x), f2(x), ..., fn(x)... hội tụ đều
về f(x) trên - < x < + thì nlim
fn(x) = f(x) là hàm hầu tuần hoàn
1.2.2. Hệ quả. Mỗi hàm f(x) = nlim
Pn(x) là hàm hầu tuần hoàn, trong đó

Pn(x) có thể xấp xỉ đều bởi đa thức lợng giác:
Pn(x) =

Nn

Ck( n) .ei

(n)
k x

k =1

với n = 1, 2...

Chú ý:
Mệnh đề ngợc lại cũng đúng, nghĩa là mỗi hàm hầu tuần hoàn có thể là
giới hạn đều của một dãy các đa thức lợng giác.
1.2.3. Hệ quả. Tổng của chuỗi hội tụ đều các hàm hầu tuần hoàn là
hàm hầu tuần hoàn.
II - đạo hàm của hàm hầu tuần hoàn.

1.2.4. Mệnh đề. Nếu hàm hầu tuần hoàn f(x) có đạo hàm f(x) liên tục
đều trên R thì f(x) cũng là hàm hầu tuần hoàn.
III - tích phân của hàm hầu tuần hoàn.

1.2.5. Mệnh đề. Nếu hàm f(t) là hàm hầu tuần hoàn thì tích phân
x

F(x) =

f(t) dt là hàm hầu tuần hoàn khi và chỉ khi F(x) bị chặn, nghĩa là

x0

sup | F(x)| < .
x
x

1.2.6. Hệ quả. Nếu f(x) là hàm hầu tuần hoàn và



x0

trong đó a = const, thì (x) là hàm hầu tuần hoàn.

f(t) dt = ax + (x)


6

Đ3: Định lý về giá trị trung bình
1.3.1 Định lý. Với mỗi hàm hầu tuần hoàn f(x) tồn tại giá trị giới hạn
hữu hạn:
M {f(x)} =

1
T T

lim

a +T

f ( x)dx}
a

đợc gọi là giá trị trung bình của f(x).
1.3.2 Định lý. Với mọi hàm hầu tuần hoàn f(x) và với số a (-, +)
ta đều có:
1
T T
lim

a +T

f ( x)dx} = M {f(x + a)} = M {f(x)}
a

1
1.3.3 Hệ quả. Với a = a(T) ta có: Tlim
T

a ( T ) +T

f ( x)dx

= M {f(x)}

a (T )

1.3.4. Hệ quả. Đặt a(T) = -T, ta có :
0

M {f(x)} = Tlim


1
1
f ( x)dx = lim

T


T t
2T

T

f ( x)dx

t

1.3.5. Các tính chất của giá trị trung bình.
1. Nếu f(x) = c = const thì M {c} = c
2. Nếu f(x) 0 thì M {f(x)} 0
3.M { f (x ) } = M { f (x )}
4. M {f(x+a)} = M {f(x)}, M {f(ax + b)} = M {f(x)}, a, b R, a
0
5. M { f(x) + g(x)} = M {f(x)} + M {g(x)}

Đặc biệt M {f(x)} = M {f(x)}
Trong đó f(x), g(x) là hàm hầu tuần hoàn, , C
6. |M {f(x)}| M {|f(x)|} Sup |f(x)|


7

7. Nếu fn(x) (n = 1,2...) là các hàm hầu tuần hoàn và f n(x)
trên (-, +) thì:

f(x)

Lim M {fn(x)} = M {f(x)}
n

1.3.6. Định lý. Nếu hàm hầu tuần hoàn f(x) 0 thì M {f(x)} > 0
Nhận xét:
Từ định lý 2.1.6 và tính chất 2 ta suy ra:
M {f(x)} = 0 f(x) 0
1.3.7. Hệ quả.
Đối với mỗi hàm hầu tuần hoàn f(x) 0 ta có bất đẳng thức: M{|f(x)|2} > 0
Chú ý:
Nếu fn(x) là hàm hầu tuần hoàn (n = 1,2...) và fn(x)

f(x) khi n thì

lim M {f(x)2} = M {|f(x) |2}
n

Nếu f(x) và g(x) là các hàm hầu tuần hoàn thì ta có bất đẳng thức

Côsi - Bunhiacốpxki:
|M {f(x). g(x)}| M {|f(x)|2}. M {|g(x)|2}
1.3.8. Bất đẳng thức Betxen. Giả sử f(x) ( là không gian các
hàm hầu tuần hoàn) và tập hợp {eix} trong đó R. Khi đó f(x) . e ix .
Nh vậy đối với mỗi hàm hầu tuần hoàn f(x) sẽ tồn tại:
a() = (f(x). eix) = M{f(x), eix }
a() đợc gọi là một hàm phổ
Chú ý:
Nếu f(x) là một hàm hầu tuần hoàn thì đối với mỗi bộ hữu hạn, 1,
2...n các số thực khác nhau ta có bất đẳng thức Betxen.
N

a ( n )

n =1

2

M {|f(x)|2}


8

1.3.9 Hệ quả. Bất đẳng thức Betxen vẫn còn đúng đối với tập đếm đợc
các số thực 1, 2...n nghĩa là:



a(n)
n =1

2

M {|f(x)|2}

Đ4. Chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn
1.4.1. Bổ đề. Với mỗi hàm hầu tuần hoàn f(x), hàm phổ của nó
a() = M {f(x). eix }
sẽ khác 0 chỉ trên một tập hữu hạn hoặc đếm đợc các giá trị của
1.4.2. Định nghĩa. Các giá trị để cho a() 0, mà các giá trị đó biểu
diễn đợc dới dạng dãy hữu hạn hoặc đếm đợc thì đợc gọi là số mũ Fourier của
hàm hầu tuần hoàn f(x).
Ta có:

An = M {f(x). eix}

Tập hợp tất cả các số mũ Fourier của hàm hầu tuần hoàn đợc gọi là phổ
của nó.
1.4.3. Định nghĩa. Chuỗi lợng giác f(x) ~

An .e i x hữu hạn hoặc vô
n

n

hạn, đợc gọi là chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn f(x), trong đó {An} là
phổ của hàm hầu tuần hoàn, còn A n = M {f(x). eix} đợc gọi là hệ số của chuỗi
Fourier.
Bậc các số hạng của chuỗi Fourier hàm hầu tuần hoàn nói chung là lấy
một cách tùy ý và chỉ phụ thuộc vào việc sắp xếp các phổ { n } của nó.

Chú ý:
Đối với hàm hầu tuần hoàn f(x) = 0 thì phổ là tập và chuỗi Fourier
trong trờng hợp này không xác định.


9

1.4.4. Định lý. Đối với mỗi hàm hầu tuần hoàn f(x) thì tổng các bình
phơng của môđun các hệ số Fourier của nó lập nên một chuỗi hội tụ và có bất
đẳng thức Betxen:

An
n

2

M {|f(x) |2}


10

1.4.5 Hệ quả. Các hệ số An của chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn
f(x) dần tới 0 khi n nghĩa là:
lim An = lim M {f(x). eix} = 0
n

n

1.4.6. Định lý. Chuỗi lợng giác f(x) =

Cn .e i x
n

n =1

hội tụ đều trên

(-, +) là chuỗi Fourier của hàm f(x)


Cn

1.4.7. Hệ quả. Nếu

n =1

< . thì chuỗi lợng giác



Cn .e i x là
n

n =1

chuỗi

Fourier của tổng.

1.4.8. Hệ quả. Tồn tại một hàm hầu tuần hoàn với phổ đếm đợc tuỳ ý.
1.4.9. Định lý (xấp xỉ). Nếu f(x) là một hàm hầu tuần hoàn thì đối với
mỗi > 0 tồn tại một đa thức lợng giác giới nội:
P (x) =
thoả mãn

n()

Cn ().e i x
n

n =1

Sup f ( x ) P ( x )
x

Trong đó n có thể lấy nh là số mũ Fourier của hàm f(x).


11

chơng II

Khái niệm về hàm hầu tuần hoàn yếu
Đ1: Định nghĩa và các tính chất đơn giản của hàm
hầu tuần hoàn yếu
I. Các định nghĩa.

Giả sử X là không gian Banach, X* là không gian liên hợp với nó, giá trị
của phiếm hàm x* X* lên phần tử x X*, ký hiệu là x*(x) hoặc (x*, x). Khi đó

với các phần tử tuỳ ý x1* , x *2 , .... x *n X* và x1, x 2 , .... x n X và các số phức tuỳ
ý 1, 2 , .... n ; 1, 2 ,... n , từ tính tuyến tính của các hàm x1* , x *2 , .... x *n ta có:
n
n
n n
k x k* , j x j = k j x k* , x j .
j =1
k =1
k =1 j =1

(

2.1.1. Định nghĩa 1. Giả sử { x n }


n =1

)

X . Dãy { x n }
n =1 đợc gọi là hội tụ

yếu (cơ bản yếu) nếu với mọi x* X*, dãy số x*(xn) hội tụ (cơ bản).
Ngoài ra nếu tồn tại phần tử x X sao cho mọi x* X* ta có
lim x*(xn) = x*(x) thì ta nói dãy { x } hội tụ yếu về x, còn x gọi là giới hạn
n
n n =1

yếu của dãy { x n } n=1 .
*

*
Kí hiệu: lim
x.

n xn = x hoặc xn

Nhận xét:
Giới hạn yếu của một dãy là duy nhất.
Chứng minh:
'
*
lim *
Giả sử lim
n xn = x0 và n xn = x 0



( )

x * ( x 0 ) = x * x '0

Theo định lý Hahn - Banach ta có x0 = x '0 .

x* X *


12

2.1.2. Định nghĩa 2. Không gian Banach X trong đó mỗi một dãy hội tụ
yếu đều hội tụ yếu về phần tử x X đợc gọi là không gian hoàn toàn yếu.

Ví dụ.
1. Các không gian Banach phản xạ là hoàn toàn yếu.
Thật vậy, giả sử X là không gian Banach phản xạ X = X**.
X** là không gian Banach.

Giả sử {xn} n=1 là dãy hội tụ yếu trong X {x*(xn)} là dãy hội tụ với
x* X* .

Với mỗi xn X ta đặt tơng ứng Fxn X ** sao cho x * X * .

{

}

Khi đó dãy Fxn (x * ) là dãy hội tụ với mọi x * X * .
*
*
Theo định lý Banach - Steinhauss, tồn tại lim
n Fxn (x ) = Fx (x )

x * X * trong đó Fx X ** . Do X = X** nên x X sao cho Fx(x*) = x*(x)
x* X*
*
lim x * ( x n ) = x * ( x ) , x * X x n

x.
n

Vậy X là không gian hoàn toàn yếu.
Đặc biệt, không gian Hinbe là hoàn toàn yếu (vì không gian Hinbe là

không gian Banach phản xạ).
2. c0 là không gian hoàn toàn yếu.
Chứng minh:
Do

c0* l1
l1* l

Nên c0** l
Giả sử xn là dãy hội tụ yếu trong c0 x*(xn) hội tụ với mọi x*


13

Xét phép nhúng chuẩn tắc H : c0 c0**
x Fx
Trong đó Fx (x*) = x*(x).
H (xn) = Fx n .
Do Fx n (x*) = x*(xn) nên Fx n (x*) hội tụ với mọi x*.
Ta có Im H c0 nên Im H đóng trong c0** (vì c0 đóng trong l )
Fx n (x*) Fx(x*) với x c0
x*(xn) x*(x) với x c0
c0 là không gian hoàn toàn yếu.
2.1.3. Định nghĩa 3. Hàm f: J X đợc gọi là hàm hầu tuần hoàn yếu
nếu với x * X * hàm số x*(f(t)) là hàm hầu tuần hoàn liên tục.
Nhận xét:
Định nghĩa này tơng tự với định nghĩa liên tục yếu hoặc hàm đo đợc yếu (khả
tổng).
II. Các tính chất của hàm hầu tuần hoàn yếu.

2.1.4. f(t) là hàm hầu tuần hoàn thì f(t) là hàm tuần hoàn yếu.
Chứng minh.
Do f(t) là hàm hầu tuần hoàn nên với > 0 , tồn tại tập trù mật tơng
đối các
- hàm chu kỳ T sao cho:

Ta có:

f(t + T) f(t) <

x * (f(t + T)) x * (f(t)) x * f(t + T) f(t) x *


14

x * (f(t)) là hàm hầu tuần hoàn với x * X *
Vậy f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu.
2.1.5. f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu thì R f giới nội và tách đợc (Rf là
miền giá trị của hàm f, R f = { f(t) t J }
Chứng minh.
- Rf giới nội.
x * X * , x * (f(t)) là hàm hầu tuần hoàn, do đó là giới nội. Theo định
f(t) < R giới nội
lý Banach - Steinhauss ta có: Sup
f
tJ
- Rf tách đợc.
Với mỗi t0 J luôn tồn tại dãy các số hữu tỷ r1, r2,...., rn sao cho rk t0 khi k
.

x * f(rk ) = f(t 0 )
Do f(t) liên tục yếu nên klim

Nn

Khi đó tồn tại dãy các tổ hợp tuyến tính: y n = kn x k trong đó
k =1

kn C, x k = f(rk ) sao cho y n f(t 0 ) khi n
Do dãy { x k } là đếm đợc nên dãy {yn} là đếm đợc
trong Rf tồn tại tập đếm đợc và trù mật khắp nơi
Rf tách đợc.

2.1.6. Giả sử dãy các hàm hầu tuần hoàn yếu { f n (t)} hội tụ yếu, đều
theo t J về hàm f(t) khi đó f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu.
Chứng minh.
x * (f n (t)) = x * (f(t)) đều theo t J .
x * X * , ta có klim

Do x * (f n (t)) là các hàm hầu tuần hoàn nên x * (f(t)) là hàm hầu tuần
hoàn f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu.


15
2.1.7. Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn yếu { s n } là dãy các số thực sao
x * f(t + s n ) = g(t) t J
cho klim

Khi đó: i) Sự hội tụ này là đều theo t J

(1)

ii) Nếu f là bao lồi của Rf thì f = g

(2)

f(t) = Sup g(t)
iii) Sup
t J
t J

(3)

Chứng minh.
i) x * X * , x * (f(t)) là hàm hầu tuần hoàn. Do đó nếu x * (f(t + sn )) hội
tụ với mọi t J thì sự hội tụ này là đều theo t. Thật vậy:
Giả sử > 0 bé tuỳ ý. Theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn, sẽ tồn tại


L = L( ) sao cho trên mỗi đoạn [a, a + L] sẽ chứa ít nhất một - hầu chu kỳ
5
5

T. Giả sử = ( ) là số dơng nói trong định nghĩa hàm liên tục đều x * (f(t)) .
5
Trên đoạn [0, L] ta xây dựng lới hữu hạn

t1 , t 2 ,... t

m

sao cho

0 < ti t i < , t1 < , L < t m vì dãy x * (f(ti + sn )) hội tụ tại t i nên với mỗi

i = 1, m với > 0 , N i = N i ( ) sao cho p : q > N ta có:
5
x * (f(t i + s p ) x * (f(t i + s p )) <


5

N i ta có: > 0 , p, q > N thì:
Đặt N = max
i=1, m

x * (f(ti + s p )) x * (f(ti + sq )) <
Giả sử t J và t ' [0, L] là


, i = 1, m
5



- tơng đẳng với t, nghĩa là t ' = t + T( ) .
5
5

16

'
Gọi tk là điểm gần t' nhất của lới t k t < khi p, q > N ta có:

x * ( f (t + s p ) x * ( f (t + s q ) x * ( f (t + s p ) x * ( f (t ' + s p )
+ x * ( f (t ' + s p )) x * ( f (t k + s p )) + x * ( f (t k + s p )) x * ( f (t k + s q ))
+ x * (f(t k + s p )) x * (f(t ' + s q )) + x * (f(t ' + s q )) x * (f(t + s q ))

<


+ + + + =
5 5 5 5 5

{

}

Vì N không phụ thuộc vào t nên dãy x * (f(t + sn )) hội tụ đều trên J, x X
đpcm.

ii) Theo định nghĩa ta có:
p

f = z = j f(t j ) ; t 1 , t 2 ,... t p J ,
j=1


p

j=1

j

= 1,


p j > 0


p

Xét các điểm tuỳ ý của tập g : y = k g(t k )
k =1

y = lim

*

p

k

n k =1

trong đó:

f(t k + sn ) = lim * zn

n

p

zn = k f (t k + sn ) g
k =1

Theo định lý Madua, f là tập đóng, lồi nên cũng là tập đóng, yếu. Do
đó y f , nghĩa là g f ,

(*)

Mặt khác, với mỗi x * X * cố định ta có:
lim x * (f(t + sn ) = x * (g(t)) đều theo t.
Do đó > 0 , tồn tại số tự nhiên n (cũng phụ thuộc vào x * ) sao cho
*
*
n > n ta có: Sup x (f(t + sn )) x (g(t))
tJ


17

*

*

Sup x (f(t)) x (g(t sn ))
tJ

*

*

lim x (g(t sn )) = x (f(t)) đều theo t J

(4).

n

*

lim x (g(t sn )) = f(t)
n

Do vậy, chứng minh tơng tự nh trên ta có: f g

(**)

Từ (*) và (**) ta có f = g
iii) Do g(t) là giới hạn yếu của dãy { f(t + sn )} nên theo định lý Xôbalep
ta có:

g(t) lim f(t + sn ) = lim f(t + sn ) Sup f(t)
n

n

Tơng tự, từ (4) ta có:

tJ

f(t) Sup g(t)
tJ

Sup g(t) = Sup g(t)
tJ

tJ

(đpcm)


18

Đ2. Giải tích điều hoà các hàm hầu tuần hoàn.
Trong phần này chúng ta giả thiết rằng không gian Banach X là hoàn
toàn yếu (chẳng hạn là không gian phản xạ). Chúng ta sẽ chứng minh một vài
tính chất của hàm hầu tuần hoàn yếu.
2.2.1. f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu J tồn tại giá trị trung
bình

{

}

() = M * f(t) e i t = lim *
Hơn nữa, giá trị trung bình

T

1 T
f(t) e i t dt

2 T T

lim *

n

1 T +S
f(t) e i t dt

2 T T + S

(5).
(6).

tồn tại đều theo s J
Chứng minh.
J , ta có hàm f(t) e i t là hàm liên tục yếu, khả tích Riman trên
mỗi khoảng hữu hạn. Hơn nữa x * X * , tồn tại giá trị trung bình
T
1 T *
* 1
i t
lim
x (f(t) e ) dt = lim
f(t) e i t dt

n 2 T
n 2 T
T
T

(7).

Vì x * X * tuỳ ý, X là không gian hoàn toàn yếu nên từ (7) ta có tồn tại
giới hạn yếu:
() = lim *
T

{

1 T
f(t) e i t = M * f(t) e it

2 T T

}

Hơn nữa: x * X * giới hạn.
T+s

1
x * (f(t) e it ) dt = x * ( ( ))
T 2 T
T + s

lim

tồn tại đều theo s. Do đó giới hạn (6) tồn tại đều theo s J


19
2.2.2. f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu () = 0 trừ số lớn nhất của
dãy n nào đó.
Chứng minh.
Theo tính chất 2.1.5, ta có: R f Xo X trong đó X0 là không gian con
tách đợc của không gian X.
Khi đó () X 0
Vì X0 là không gian tách đợc nên tồn tại dãy xác định (đối với X0) các

{ }

*
phiếm hàm x r* X * và ta có: () = Sup (x r , ()
r

(8).

Với mỗi r cố định, x r* (f(t)) là hàm hầu tuần hoàn, do đó với mỗi r cố
định x r* (()) = 0 , trừ dãy { k } nào đó.
kn đpcm.
Từ (8) () = 0 trừ số lớn nhất của dãy { n } = U
k,r
Ta đặt an = () : f(t) ~

an e i t

n

Giả sử = () là cơ sở hữu tỉ đối với dãy { n }
Đối với các hàm hầu tuần hoàn yếu ta có thể mở rộng đa vào tổng
Bôcnephayơrơ:
Nm

Giả sử

Pm (t) = à mk e i t
k =1

0 à mk 1

Gọi là đa thức Bôcnephâyơrơ đối với hàm f(t).
*
Pm (t) = f(t) đều
2.2.3. f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu. Khi đó mlim


trên J.
Chứng minh.
Trớc tiên ta thấy rằng cũng là cơ sở của các số mũ Fourier của hàm
x * (()) x * X * .


20

Thật vậy, từ (7) ta có

{

}

(; x * (f(t)) = M x * (f(t)) e it = x * (())
Biểu thức trên bằng 0 nếu { n }
Mặt khác:

(x , P (t)) = à
Nm



m

k =1

m

k

(x * , ( k )) e i k t

Nghĩa là ( x * , Pm (t )) là đa thức Bôcnephâyơrơ đợc xây dựng theo cơ sở
*
*
và hàm (x * , (f(t)) . Do đó lim (x , Pm (t) = x (f(t)) đều trên J, x * X *
m

lim * Pm (t) = f(t)

2.2.4. f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu, () 0 thì f(t) = 0
Chứng minh.
Nếu ( ) 0 thì Pm (t) 0 m . Do đó (x * , f(t)) 0 x * X f(t) 0 .
2.2.5. Các tiêu chuẩn của Bôcnephâyơrơ.
Giả sử f(t) là hàm liên tục yếu, cần và đủ để f(t) là hàm hầu tuần hoàn
yếu là từ mỗi dãy { sn } có thể trích ra đợc dãy s'n sao cho dãy {f(t + s n' )} là hội tụ

{ }

yếu đều trên J.
Chứng minh.
Điều kiện đủ: Giả sử f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu, khi đó x * (f(t)) là hàm hầu
tuần hoàn. Theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn của Bôcnerơ. Từ một dãy
x * (f(t + sn )) đều có thể trích ra đợc một dãy con hội tụ đều x * (f(t + s'n ))
Từ mỗi dãy { sn } có thể lấy ra dãy con {s' n } sao cho dãy f(t + s'n ) hội tụ
yếu đều trên J.
Điều kiện cần: Khi chứng minh tính chất 2.1.7 ta đã biết rằng x * X * các
số mũ Fourier cuả hàm hầu tuần hoàn x * (f(t) đều chứa trong tập đếm đợc cố
định { n } . Do đó ta chỉ cần trích dãy s'n thoả mãn điều kiện: Với k = 1,2....

{ }

e
tồn tại giới hạn: nlim


'

iS n k

= k . Khi đó ta có điều cần chứng minh.


21


22

Đ3. Các tiêu chuẩn của hàm hầu tuần hoàn.
2.3.1. Định lý 1. Để hàm giới nội f : J X là hàm hầu tuần hoàn, điều
kiện cần và đủ là:
i, Với mỗi x * D , D là tập trù mật khắp nơi trong X* thì hàm vô
hớng (x * , f(t)) là hàm hầu tuần hoàn .
ii, Hàm f(t) là compact theo nghĩa R f là tập compact.
Đặc biệt, để hàm hầu tuần hoàn yếu là hầu tuần hoàn cần và đủ là nó
compact.
Chứng minh.
Điều kiện cần: f(t) là hàm hầu tuần hoàn f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu
x * X * hàm vô hớng (x * , f(t)) là hàm hầu tuần hoàn.
f(t) là hàm hầu tuần hoàn f(t) là hàm chuẩn tắc (định nghĩa hàm hầu

tuần hoàn của Bôcnerơ) từ mỗi dãy { f(t + hn } R f đều có thể trích ra đợc
dãy con hội tụ, R f đóng, bị chặn R f compact.
Điều kiện đủ: Do D trù mật khắp nơi trong X* nên với mọi x * X * , tồn tại
*
*
dãy { x n } D sao cho x n* x * hay x x n 0

Khi đó x * X * ta có:
(x * , f(t)) (x n* , f(t)) x * x n* Sup f(t)

tJ

(x *n , f(t)) (x * , f(t)) đều theo t.
(x * , f(t)) là hàm hầu tuần hoàn
f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu.


23

Ta có Rf là giới nội và tách đợc. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả
sử chính không gian X là tách đợc, do đó nó đẳng cấu với không gian con của
không gian các hàm liên tục trên [0,1] ( vì không gian C[0,1] là khả li), ta gọi
không gian đó là Y.
Giả sử { y 1 , y 2 ,... y n .....} là một cơ sở của không gian Y. Với mọi y Y
ta có:
y = 1 y 1 + ..... + n y n ...
Xét dãy các toán tử tuyến tính hữu hạn chiều:
Em : Y Y
y Em y = 1 y1 + .... + m y m
Khi đó ta có Em y y khi m với y Y

(11).

Hàm f m (t) = Em f(t) (m = 1,2....) nhận đợc các giá trị từ không gian
hữu hạn chiều. Trong không gian hữu hạn chiều, hội tụ mạnh trùng với hội tụ
yếu, do đó tính tuần hoàn của các hàm f m (t) tơng đơng với tính hầu tuần hoàn
yếu.
Ta có:

(y * , f m (t)) = (y, Em f(t)) = (Em* y, f(t)) trong đó E m* là toán tử liên

hợp với E m .
Theo tính chất (11) của dãy các toán tử hữu hạn chiều E m , ta có
f m (t) f(t) khi m . Sự hội tụ này là đều theo t J do có bổ đề sau:
Bổ đề 1. Tính hội tụ mạnh của các toán tử tuyến tính giới nội là đều
trên mỗi tập compact K Y .
Chứng minh.
Giả sử Am : Y Y là dãy các toán tử tuyến tính giới nội thoả mãn
Am y Ay với y Y .


24
Theo định lý Banach - Steinhauss ta có dãy { Am } giới nội đều, nghĩa là
tồn tại l sao cho Am <

l m = 1,2...

- lới hữu hạn của tập compact K, nghĩa
4l

Giả sử { yi } , (i = 1,2,... p) là

là y K , tồn tại y j { yi } , (i = 1,2,... p) sao cho y y j


4l

(12).

Do An y j Ay j nên với , tồn tại N j () sao cho n > N j

An y j Ay j


2

N = max{ N j }

Chọn

j =1, p

An y j Ay j

j = 1,2,... p
ta

có

n > n , j = 1,2,... p


2

thì
(13).

Từ (12) và (13) y k ta có:
Ay An y = (A An )(y y j ) + Ay j An y j (A An )(y y j ) + Ay j An y j
A An y y j + Ay j An y j 2 l

+ =
4l 2

Vì số N đã chọn không phụ thuộc vào y nên sự hội tụ An y Ay là
đều đpcm.
Do các hàm f m (t) là hầu tuần hoàn nên f(t) là hàm hầu tuần hoàn.
Định lý 1 đã đợc chứng minh.
Sử dụng tiêu chuẩn tổng quát của hàm hầu tuần hoàn đã chứng minh ở
ta trên xét một vài tiêu chuẩn khác.
Bổ đề 2. Giả sử f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu và giả sử đối với dãy

{ sn } đã cho ta có:
lim * f(t + sn ) = g(t) đều
n

(14).


25

Khi đó, nếu các chuẩn f(t) và g(t) là các hàm hầu tuần hoàn thì
'
tồn tại dãy { s n'' } { s n' } sao cho lim f(t + sn ) = g(t)
n

đều

(15).

Chứng minh.

{ }

Theo giả thiết f(t) là hàm hầu tuần hoàn nên tồn tại dãy s'n { sn }
lim f(t + s'n ) = (t)

sao cho

n

(16).

là đều (t) là hàm hầu tuần hoàn.
'
f(t + s'n ) = (t)
Từ (14) và (16) ta có: g(t) = lim f(t + sn ) nlim


(17).

*
g(t + sn ) = (t) đều
Mặt khác, từ (14) ta có nlim


(18).

n

{ } { }

Vì g(t) cũng là hàm hầu tuần hoàn nên tồn tại dãy s'n' s'n sao cho
lim g(t + s'n' ) = (t)

(19).

n

là đều và (t) là hàm hầu tuần hoàn.
Từ (18) và (19) ta có:

f(t) (t)

(20).

''
''
Từ (20) suy ra f(t + sn ) (t + sn )

Do đó từ (17 và (19) ta lại có:
(t) = lim f(t + s'n' ) lim (t + s'n' ) = g(t)
n

n

f (t + s'n' ) = g(t)
Từ (16), (17) và (21) ta có nlim

(21).

đều

Bổ đề đợc chứng minh.
*
Xét tập hợp Sf tất cả các dãy s = { sn } thoả mãn f(t + sn )

f s (t) đều.

2.3.2. Định lý 2. Giả sử thoả mãn các diều kiện
a. X hoàn toàn yếu.
*
b. từ x n

x , xn x xn x