Cấu trúc ngôn ngữ hữu tỉ và ứng dụng

bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học vinh
----------------***----------------

trần Văn thẩm

cấu trúc Ngôn ngữ hữu tỉ và ứng dụng
chuyên ngành: đại số - lý thuyết số
mã số: 60 46 05

luận văn thạc sỹ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học

pgs.ts lê quốc hán

vinh 2007
1


Mục lục

Trang
Mở đầu
Chơng 1. Đại cơng về ngôn ngữ hình thức
1.1. Nửa nhóm tự do và hệ thức xác định
1.2. Ôtômát đoán nhận ngôn ngữ
1.3. Vị nhóm cú pháp và văn phạm

3
6

6
11
15

Chơng 2. Ngôn ngữ hữu tỉ
2.1. Nhóm tự do. Sự mô tả Dick
2.2. Tập hữu tỉ
2.3. Ngôn ngữ hữu tỉ
2.4. Quan hệ hữu tỉ
Kết luận
Tài liệu tham khảo

19
19
24
28
34
39
40

Bảng danh sách ký hiệu
X,

: Bảng chữ cái

JX

: Nửa nhóm tự do sinh bởi X

X * , J1X

: Vị nhóm tự do sinh bởi X
2


*

: Vị nhóm tự do sinh bởi

L

: Ngôn ngữ

RL

: Tơng đẳng Đuybrây

PL

: Tơng đẳng Kroazô

à( L)

: Vị nhóm cú pháp của ngôn ngữ L

(A,X)

: Ôtômát trạng thái

( L )

: Ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ L

G = ( V,X,P, ) : Văn phạm
L( G)

: Ngôn ngữ sinh bởi văn phạm G

w( G)

: Bài toán từ của G

T(A)

: Vị nhóm chuyển trạng thái

3


Mở đầu
Ngôn ngữ chính quy là lớp ngôn ngữ có nhiều ứng dụng nhất trong lý
thuyết ngôn ngữ hình thức. Có nhiều hớng mở rộng lớp ngôn ngữ đó. Trong
luận văn này, chúng tôi mở rộng chúng bằng cách xây dựng khái niệm tập
hợp hữu tỉ trên vị nhóm tuỳ ý (không nhất thiết là vị nhóm tự do). Sau đó
nghiên cứu các tập hợp hữu tỉ trên vị nhóm tự do, đó chính là các ngôn ngữ
hữu tỉ và trên tích trực tiếp của các vị nhóm tự do, đó chính là các quan hệ
hữu tỉ và bớc đầu thu đợc một số kết quả liên quan đến các khái niệm đó.
Chơng 1. Đại cơng về ngôn ngữ hình thức. Trong chơng này, chúng tôi
hệ thống hoá các khái niệm và tính chất cơ bản của: Nửa nhóm tự do, vị
nhóm tự do, ngôn ngữ hình thức, vị nhóm cú pháp, ôtômát đoán nhận ngôn

ngữ và văn phạm sinh ra ngôn ngữ. Kiến thức chơng này là kiến thức cơ sở
để trình bày chơng sau.
Chơng 2. Ngôn ngữ hữu tỉ. Chơng này gồm 4 tiết cũng là nội dung chính
của luận văn.
2.1. Nhóm tự do. Sự mô tả Dick. Trong tiết này chúng tôi nhắc lại định
nghĩa nhóm tự do và một số đặc trng tự do, khái niệm tập hợp các hệ thức
xác định của một nhóm, sự mô tả nhóm bằng thuật ngữ hệ thức hay sự mô tả
Dick của một nhóm.
2.2. Tập hợp hữu tỉ. Trong tiết này chúng tôi xây dựng khái niệm tập hữu tỉ
(Định nghĩa 2.2.1), nêu lên một số đặc trng cơ bản của tập hợp hữu tỉ (Định
lý 2.2.2), điều kiện cần và đủ để một tập con của một vị nhóm là tập hữu tỉ
thông qua thuật ngữ ôtômát (Định lý 2.2.6).
2.3. Ngôn ngữ hữu tỉ. Trong tiết này chúng tôi xây dựng khái niệm ngôn
ngữ hữu tỉ nh là trờng hợp riêng của tập hợp hữu tỉ trên các vị nhóm tự do.
Để thuận lợi cho việc nghiên cứu các tính chất của lớp ngôn ngữ này và ứng
dụng của nó trong việc khảo sát tính chất của các nhóm, các bảng chữ cái
4


1
ở đây đợc giả thiết có nghịch đảo hình thức = { a,a ,...} và gắn với khái

niệm hàm chọn các phần tử sinh : * G (G là một nhóm) thoả mãn tính
chất ( a 1 ) = ( a ) . Nhờ vậy, bài toán từ của một nhóm hữu hạn sinh
1

G đợc mô tả một cách tờng minh (Định lý 2.3.8). Từ kết quả đó chúng tôi
thu đợc một số kết quả quen thuộc trong lý thuyết nhóm liên quan đến nhóm
hữu hạn sinh (Định lý 2.3.9, Định lý 2.3.10). Điều đáng lu ý là các kết quả
này đợc chứng minh chủ yếu bằng lý thuyết ngôn ngữ hình thức và gọn hơn

các chứng minh đã đợc trình bày trong lý thuyết nhóm cổ điển.
2.4. Quan hệ hữu tỉ. Trong tiết này chúng tôi xây dựng khái niệm quan hệ
hữu tỉ đó là một tập con của tích trực tiếp của hai vị nhóm tự do (Định nghĩa
2.4.1) và nêu lên một số đặc trng của chúng (Định lý 2.4.3, Hệ quả 2.4.4, Hệ
quả 2.4.5). Đây chỉ là những kết quả bớc đầu và việc nghiên cứu các quan hệ
hữu tỉ cùng với những ứng dụng của nó sẽ là một đề tài nghiên cứu công phu
và sâu sắc hơn.
Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS
Lê Quốc Hán. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo GS.TS Nguyễn
Quốc Thi, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai T,
TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo trong
tổ Đại số đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng nh trong
việc hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trờng
Đại Học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng
ban liên quan đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và
nghiên cứu tại trờng.

5


Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Sở GD-ĐT Nghệ An, Ban giám
hiệu trờng THPT Bắc Yên Thành, các thầy cô giáo trong tổ toán đã tạo điều
kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã rất cố gắng song chắc chắn trong luận văn vẫn còn những thiếu
sót, rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn học viên.
Vinh, tháng 12/2007
Tác giả.

6


Chơng I
đại cơng về ngôn ngữ hình thức
1.1. Nửa nhóm tự do và hệ thức xác định
Vì mỗi ngôn ngữ trên X là một tập con của vị nhóm tự do sinh bởi tập X,
nên muốn khảo sát các ngôn ngữ hình thức trớc hết ta cần tìm hiểu về nửa
nhóm tự do. Tiết này chúng tôi trình bày khái niệm nửa nhóm tự do và các
tính chất đặc trng của nó.
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp tùy ý và J x gồm tất cả các dãy
hữu hạn các phần tử của X . Tích hai phần tử

( x1,x 2 ,...,x m ) , ( y1,y 2 ,...,y n )

của J x là một phần tử của J x đợc xác định:

( x1,x2 ,...,x m ) ( y1,y 2 ,...,y n ) = ( x1,x 2 ,...,x n ,y1,y 2 ,...,y n )
Khi đó J x cùng với phép toán xây dựng ở trên trở thành một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm tự do trên tập X.
Các phần tử của J x đợc gọi là các từ, nếu từ = ( x1 ,x 2 ,...,x m ) thì m đợc
gọi là độ dài của từ ký hiệu là , từ có độ dài bằng 0 đợc gọi là từ rỗng
ký hiệu là .
Nếu ta đồng nhất phần tử x X với dãy ( x ) J x độ dài 1, thì theo định
nghĩa tích trong J x ta đợc

( x1,x2 ,...,x m ) = ( x1 ) ( x 2 ) .... ( x m ) = x1x 2 ...x m .
Vậy X là tập sinh của J x , hơn nữa nó là tập sinh duy nhất không chứa
phần tử nào thừa.

7

Ta ký hiệu J1x hay X * là vị nhóm tạo bởi J X đợc thêm vào từ rỗng nh
là phần tử đơn vị.
Bây giờ ta đặt một hệ thức xác định lên các phần tử thuộc X. Chẳng hạn
x1x 2 = x 3x 24 , x13 = x 4 x1x 2 . Giả sử hệ thức đó là u = v với thuộc tập chỉ số
I, trong đó đối với mỗi I thì u và v là các phần tử thuộc J x .
Giả sử 0 = { ( u , v ) I} và là tơng đẳng trên J x sinh bởi quan hệ
0 , còn là đồng cấu tự nhiên từ J x lên J x và ( u ) = ( v ) với I .
Ta gọi J x là nửa nhóm sinh bởi tập X và cho bởi các hệ thức xác định
u = v , I . (Thực ra nó sinh ra bởi tập (X)).
1.1.2. Mệnh đề. Giả sử J x là nửa nhóm tự do trên tập X, S là một nửa nhóm
tùy ý và 0 là một ánh xạ bất kỳ từ X vào S. Khi đó 0 có thể mở rộng một
cách duy nhất tới đồng cấu từ J x vào S.
Chứng minh. Nếu là một đồng cấu bất kỳ từ nửa nhóm J x vào S trùng
với 0 trên X, thì đối với các phần tử tùy ý x1 ,x 2 ,...,x n X ta có
( x1x 2 ...x n ) = 0 ( x1 ) 0 ( x 2 ) ...0 ( x n ) .
Do đó tồn tại không quá 1 đồng cấu nh thế. Nhng đẳng thức cuối cùng
có thể lấy làm định nghĩa cho ánh xạ từ J x vào S mà rõ ràng là một đồng
cấu và trùng với 0 trên X.
1.1.3. Định lý. Giả sử J x là nửa nhóm tự do trên tập X, 0 là một quan hệ
bất kỳ trên J x và là tơng đẳng trên J x sinh bởi 0 . Giả sử là đồng
cấu tự nhiên từ J x lên J x . Nếu S là nửa nhóm bất kỳ và là một đồng

8


cấu từ J x vào S sao cho (u) = (v) đối với mỗi ( u,v ) 0 , thì tồn tại một
đồng cấu từ J x vào S sao cho o = .
Chứng minh. Trớc hết ta chứng tỏ rằng nếu w và w ' là các phần tử thuộc J x

mà w w ' thì (w) = (w ') . Thật vậy, vì là tơng đẳng sinh bởi 0 nên
ww ' khi và chỉ khi ta có thể đi từ w tới w ' bằng một dãy hữu hạn 0 -bắc
cầu. Do đó chỉ cần chứng tỏ rằng (w) = (w ') nếu ta có thể đi từ w tới w '
bằng một dãy 0 -bắc cầu. Nhng điều cuối cùng đó có nghĩa là w = w1uw 2 và
w ' = w1vw 2 , trong đó w1 ,w 2 J x và (u,v)0 . Trong mỗi trờng hợp, theo
giả thiết ta có (u) = (v) và do đó
(w) = (w1 )(u)(w 2 ) = (w1 )(v)(w 2 ) = (w 1vw 2 ) = (w ' ) .
Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ từ J x vào S bằng cách đặt

(

)

( w ) = ( w ) , với mỗi w J x . ở trên ta đã chứng tỏ đợc rằng

* (w) = * (w ' ) (w,w ' J x ) , tức là ww ' kéo theo (w) = (w ' ) . Từ đó suy
ra tính đơn trị của . Còn miền xác định của là toàn bộ tập J x suy ra từ
chỗ mỗi phần tử thuộc tập J x có dạng * (w) với w nào đó thuộc J x .
Vì đẳng thức o * = bây giờ là hiễn nhiên, nên ta cần phải chứng minh
là đồng cấu. Giả sử w,w ' J x , khi đó

(

( ) ) = ( ( ww ) ) = ( ww ) = ( w ) ( w ) = ( ( w ) ) ( ( w ) )

* ( w ) * w '

*

'

'

'

*

*

'

Do đó là đồng cấu.
1.1.4. Định lý. Nửa nhóm S là một nửa nhóm tự do trên tập X khi và chỉ khi
mỗi phần tử thuộc S có thể biểu diễn duy nhất dới dạng tích các phần tử
thuộc X.
9


Chứng minh. Nếu S = J x thì theo định nghĩa của nửa nhóm tự do, mỗi phần
tử thuộc S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tích của các phần
tử thuộc X. Đảo lại, giả thiết rằng mỗi phần tử thuộc S biểu diễn một
cách duy nhất dới dạng tích các phần tử thuộc tập con X của nó. Khi
đó, theo mệnh đề 1.1.2 ánh xạ đồng nhất từ tập X vào S có thể mở rộng
tới đồng cấu từ nửa nhóm J x lên S. Mặt khác là ánh xạ 1-1 và do
đó là đẳng cấu. Thực chất các cách phát biểu chính xác của điều
kiện nói rằng mỗi phần tử thuộc S biểu diễn một cách duy nhất dới
dạng tích của các phần tử thuộc X. Định lý đợc chứng minh.
1.1.5. Định lý. Nửa nhóm S là nửa nhóm tự do khi và chỉ khi các điều kiện
sau đợc thỏa mãn:
a) S thỏa mãn luật giản ớc trái và phải

b) S không chứa đơn vị hai phía
c) Nếu ax=by đối với a,b, x, y S thì a=b hoặc một trong các phần tử a, b

là ớc bên trái của phần tử kia.
d) Mỗi phần tử thuộc S chỉ có hữu hạn ớc bên trái.
Chứng minh. Theo định lý 1.1.4 ta suy ra ngay điều kiện cần của định lý
Giả thiết rằng các điều kiện của định lý 1.1.5 đợc thỏa mãn. Kí hiệu X là
tập S \ S 2 , tức là tập tất cả các phần tử thuộc S không có ớc nào. Ta chứng
minh S là nửa nhóm tự do trên X.
Trớc hết X và sinh ra S. Thật vậy, giả sử a là phần tử tùy ý thuộc S.
Nếu a không có ớc thì a X . Nếu a có ớc thì a=bc trong đó b,c X hoặc
a = xyz,... . Hoặc quá trình đó sẽ kết thúc và ta thu đợc biểu diễn của a dới
dạng tích các phần tử thuộc X hoặc với mọi số tự nhiên n lớn tùy ý tồn tại
các phần tử a1 ,a 2 ,...,a n S sao cho a = a1a 2 ...a n . Nếu

a = a1a 2 ...a n thì
10


a1 , a1a 2 , ..., a1a 2 ...a n 1 là các ớc bên trái của a. Chúng đều khác nhau cả vì
nếu x=xy trong S thì xy = xy 2 và nếu giản ớc bên trái theo điều kiện (a) ta đợc y = y 2 . Nhng một lũy đẳng tùy ý trong một nửa nhóm thỏa mãn luật giản
ớc phải là đơn vị của nửa nhóm đó. Theo điều kiện (b) trong S không có lũy
đẳng. Vậy a1 , a1a 2 , ..., a1a 2 ...a n 1 là các ớc bên trái khác nhau của a. Nhng n
có thể chọn khác nhau tùy ý, trái với điều kiện (d). Vậy X sinh ra S.
'
Giả thiết rằng x1x 2 ...x r = x1' x 2 ' ...xs ' trong đó x i , x j X . Giả sử

x 2 ...x r = x, x 2' ...x s' = x ' . Thế thì x1x = x1' x ' . Do đó theo điều kiện (c) ta có
x1 = x1' hoặc một trong các phần tử x1 , x1' có ớc. Khả năng cuối cùng không
xảy ra theo định nghĩa của X. Nh vậy x1 = x1' và theo điều kiện (a) thì x = x '

. Tơng tự ta thu đợc x 2 = x 2 ' và tiếp tục quá trình đó từng bớc một cuối cùng
đi tới r=s và x i = x i ' ,i = 1,r . Nh vậy mỗi phần tử thuộc S biểu diễn đợc một
cách duy nhất dới dạng tích các phần tử thuộc X, do đó theo định lý 1.1.4 thì
S là một nửa nhóm tự do trên X.
1.1.6. Hệ quả. Nửa nhóm con T của một nửa nhóm tự do là nửa nhóm tự do
khi và chi khi từ đẳng thức ax = by (a,b, x, y T) suy ra hoặc a=b hoặc một
trong các phần tử a, b là ớc bên trái của phần tử kia trong T.
Hệ quả này đợc suy trực tiếp từ định lý 1.1.5. Cả định lý 1.1.5 và hệ quả
1.1.6 đều không đối xứng. Kết quả sau đây của Suytxenbecje cho ta một đặc
trng đối xứng của các nửa nhóm con của nửa nhóm tự do.

11


1.1.7. Mệnh đề. Nửa nhóm con T của một nửa nhóm tự do S là một nửa
nhóm tự do khi và chỉ khi với mọi phần tử w S , từ điều kiện
Tw T và wT T suy ra w T .
Chứng minh. Giả thiết rằng T là một nửa nhóm tự do và giả sử aw,wb T
đối với các phần tử

a,b T

và

w S

nào đó. Thế thì

a(wb) = (aw)b T , do đó theo hệ quả 1.1.6 hoặc a=aw, hoặc a=(aw)u,
hoặc av=aw, trong đó u, v T . Vì các đẳng thức đó xảy ra trong nửa

nhóm tự do S nên theo định lý 1.1.5 ta có av=aw tức là v=w. Nh vậy
w T và ta đã chứng minh điều kiện cần của hệ quả.
Đảo lại, giả thiết rằng với mọi w S từ các điều kiện Tw T và
wT T suy ra w T . Giả sử ax=by đối với các phần tử a,b,x,y T
nào đó vì a,b,x,y S nên hoặc a=b, hoặc a=bu, hoặc b=av, trong đó u, v S
. Giả sử a=bu, thế thì ax=bux=by và nếu giản ớc bên trái ta đợc ux = y T ,
do đó ux uT T và bu Tu T . Từ đó theo giả thiết ta có u T . Tơng
tự nếu b=av thì v T . Theo hệ quả 1.1.6, T là một nửa nhóm tự do.

1. 2. ôtômát đoán nhận ngôn ngữ
Giả sử X là một bảng chữ cái, X * là vị nhóm tự do sinh bởi X. Khi đó mỗi
tập con L của X* đợc gọi là một ngôn ngữ trên X. Một ngôn ngữ trên X có
thể đợc cho bởi một trong các yếu tố sau:
1) Ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ.
2) Vị nhóm cú pháp của ngôn ngữ.
3) Văn phạm sinh ra ngôn ngữ.
Trong tiết này, chúng ta sẽ xây dựng ôtômát đoán nhận ngôn ngữ cho trớc.
Ôtômát trạng thái.
12


1.2.1. Định nghĩa. Ôtômát trạng thái là cặp (A,X) trong đó A = {a 1, a2,}
là tập các trạng thái và X là tập hữu hạn X = {x 1, x2, , xn} trên đó xác định
một ánh xạ
:AìX A

(a,x) a
và ta thờng kí hiệu là (a,x) = a hay đơn giản hơn là ax = a.
Giả sử X * là vị nhóm tự do sinh bởi X, khi đó ta có thể thiết lập ánh xạ
*

: A ì X * A xác định nh sau: ( a, ) = a và nếu u X , u = xy trong đó

x,y X * thì ( a,u ) = ( ( a,x ) ,y ) .
Để đơn giản, khi không sợ nhầm lẫn ta có thể dùng ký hiệu thay cho .
1.2.2. Định nghĩa
a) Ôtômát trạng thái A=(A,X) đợc gọi là ôtômát xyclic nếu tồn tại trạng

thái a 0 A sao cho với mọi a A , tồn tại u X * để a 0 u = a .
b) Ôtômát

trạng

thái

A=(A,X)

đợc

gọi

là

liên

thông

nếu

a,a ' A, u X * sao cho au = a ' hoặc v X * để a ' v = a (nghĩa là với
hai trạng thái bất kỳ bao giờ cũng có một con đờng đi từ trạng thái này

sang trạng thái kia).
c) Ôtômát trạng thái A=(A,X) đợc gọi là liên thông mạnh nếu

a,a ' A, u, v X * sao cho au = a ' , a ' v = a .
d) Ôtômát trạng thái A=(A,X) đợc gọi là ôtômát xyclic địa phơng nếu với

mọi tập con hữu hạn { a1 ,a 2 ,...,a m } của A, tồn tại trạng thái a A và các

(

)

từ u1 ,u 2 ,...,u m X * sao cho au i = a i i = 1,m .

13


1.2.3. Mệnh đề. Nếu A=(A,X) là ôtômát liên thông thì A=(A,X) là ôtômát
xyclic địa phơng.
1.2.4. Định nghĩa. Nửa nhóm A đợc gọi là nửa nhóm xyclic địa phơng nếu
a,b A suy ra tồn tại số tự nhiên n hoặc số tự nhiên m để b = a n hoặc
a = bm .
Giả sử u X * khi đó u xác định một ánh xạ
u : A A
a a au
u đợc gọi là hàm trạng thái sinh bởi từ u.
Hai từ khác nhau có thể sinh ra cùng một hàm trạng thái, từ đơn vị sinh ra

{

}

*
ánh xạ đồng nhất của A. Tập hợp các ánh xạ u u X là vị nhóm con

của vị nhóm các ánh xạ từ A vào A, ký hiệu là T(A).
1.2.5. Mệnh đề. Với mỗi nhóm xyclic địa phơng S tùy ý bao giờ cũng tồn tại
1
ôtômát xyclic địa phơng A=(A,X) sao cho T ( A ) S .

Ôtômát đoán nhận ngôn ngữ cho trớc
1.2.6. Định nghĩa. Ôtômát trạng thái A=(A,X) đợc gọi là ôtômát đoán nhận
ngôn ngữ L, nếu chỉ ra đợc:
a) Trạng thái ban đầu a0
b) Tập con A của A đợc gọi là tập trạng thái kết thúc hay tập trạng thái
cuối cùng sao cho
L = {u X* (a0, u) A}
trong đó là hàm chuyển trạng thái của A.

14


1.2.7. Định nghĩa. Giả sử L là ngôn ngữ trên X và R L là tơng đẳng Đuybrây
sinh bởi L

{

(u, v) R L ux L vx L, x X *

}

Ký hiệu A := X * R L , u là lớp tơng đẳng R L chứa từ u, a 0 := và

{

}

A' = u u L .
Hàm chuyển trạng thái : A A đợc xác định nh sau
Giả sử a = u A, v X * . Khi đó (a, v) = b trong đó b = uv .
Thế thì bộ năm (L) := (A,X,a 0 , ,A ' ) đợc gọi là ôtômát tối tiểu đoán nhận
ngôn ngữ L.
1.2.8. Định nghĩa. Giả sử A=(A,X) và B=(B,X) là hai ôtômát trạng thái.
Khi đó ánh xạ : A B đợc gọi là đồng cấu ôtômát nếu
( a,u ) = ( a ) u, a A và u X * .
1.2.9. Mệnh đề. Ôtômát (L) := (A, X ,a0 , , A' ) là ôtômát đoán nhận ngôn
ngữ L và là ảnh đồng cấu của mọi ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L.
Chứng minh. Theo định nghĩa và theo cách xây dựng (L) , ta thấy
(L) := (A,X,a 0 , ,A ' ) là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L. Giả sử

B

= (B,X,b 0 , ,B ' ) cũng là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L và b B ' , u, v X *
thỏa mãn điều kiện b 0 u = b, b 0 v = b thì (u, v)R L .
Thật vậy, vì b0 (uw) = bw = b0 (vw) nên
uw L vw L, w X * ( u, v ) R L hay u = v .
Vậy ta có thể lập ánh xạ
: B X* R L
15

ba u
trong đó b 0 u = b .
Vì (au) = (a)u nên là đồng cấu ôtômát. Rõ ràng là toàn ánh nên
(L) là ảnh đồng cấu của B.
1.2.10. ý nghĩa. là toàn cấu nên B A do đó A có số trạng thái ít nhất
so với tập trạng thái của các ôtômát cùng đoán nhận ngôn ngữ L.

1.3. Vị nhóm cú pháp và văn phạm
Vị nhóm cú pháp của một ngôn ngữ cho trớc
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử L là ngôn ngữ trên X và PL là tơng đẳng Kroazô
sinh bởi L
(u, v) PL (xuy L xvy L, x, y X*)
Khi đó vị nhóm thơng X * PL đợc gọi là vị nhóm cú pháp của ngôn ngữ L
và đợc kí hiệu là à ( L ) .
Giả sử u X*. Khi đó lớp tơng đẳng PL chứa u đợc kí hiệu là [u].
1.3.2. Mệnh đề. Tơng đẳng PL có các tính chất sau đây:
a) PL bão hòa theo nghĩa: L làm trọn vẹn một số lớp tơng đẳng theo quan
hệ PL.
b) PL là tơng đẳng lớn nhất bảo hòa L.
c) Đồng cấu chính tắc

L : X * X * PL
u a [ u]

có tính chất phổ dụng theo nghĩa: Nếu có toàn cấu : X * M thỏa
16


mãn điều kiện 1 o (L) = L , thì tồn tại đồng cấu : M X * PL sao

cho

L = o nghĩa là biểu đồ sau giao hoán.

Chứng minh.
a) Giả sử ( u, v ) PL và u L . Khi đó u = u L và ( u, v ) PL nên
v = v L . Vậy L làm trọn vẹn một số lớp tơng đẳng PL, do đó
L1 o L (L) = L .
b) Giả sử cũng là tơng đẳng bảo hòa L. Khi đó xét tơng ứng.
: X * X*
x a x
Thế thì (u,v) (u) = (v) do đó x,y X * ta có
(xuy) = (x)(u)(v) = (xvy) (xuy,xvy)
mà



bảo

hòa

L

nên

xuy L xvy L, x,y X * .

Do

đó

(u, v) PL PL à(L) là ảnh đồng cấu của X * với toàn cấu
: X * X * PL
x a [ x ]

c) Ta có := ker PL . Ta lập ánh xạ
: M X * PL
s a PL -lớp chứa 1 (s) .
Khi đó là đồng cấu lên thỏa mãn điều kiện L = o .
Mệnh đề 3.1.2 đợc chứng minh.

17


1.3.3. Mệnh đề. Giả sử (L) := (A, X ,a0 , , A' ) là ôtômát tối tiểu đoán nhận
ngôn ngữ L và T(A) là vị nhóm chuyển trạng thái của A. Thế thì
T(A) à (L) .
Chứng minh. Xét tơng ứng
f : X * PL T(A)

[ u]

a u

Khi đó

[ u1 ] = [ u 2 ] (u1,u 2 ) PL (xu1y L xu 2y L, x,y X *

(1)

Giả sử a A, a = x , thế thì u1 (a) = u2 (a) . Thậy vậy
u1 (a) = u2 (a) (a,u1 ) = (a,u 2 ) xu1 = xu 2 (xu1,xu 2 ) PL
(xu1y L xu 2 y L, x,y X * ) đúng theo (1).
Vậy u1 (a) = u2 (a), a A u1 = u2 , do đó f là ánh xạ. Lý luận theo
chiều ngợc lại ta có f là đơn ánh. Hiễn nhiên f là toàn ánh nên f là song ánh.
Bây giờ ta chứng minh f là đồng cấu.
Giả sử [ u ] a u , [ v ] a v ta chứng minh [ u ][ v ] = uv . Thật vậy, ta có
v o u (a) = v [ u (a)] = v (xu, v) = xuv = uv (x) = uv (a), a = x A .
Do đó v o u = uv , nên [ u ][ v ] uv . Vậy f là đồng cấu và do đó f là
đẳng cấu.
Suy ra T(A) à(L) . Mệnh đề đã đợc chứng minh.
1.3.4. Mệnh đề. Ngôn ngữ L trên X có vị nhóm cú pháp à (L) đẳng cấu với
một vị nhóm S khi và chỉ khi tồn tại một toàn cấu : X * S và một tập
H S sao cho L = 1 (H) với PL là tơng đẳng đồng nhất của S.

18


Văn phạm sinh ra ngôn ngữ.
1.3.5. Định nghĩa.
a) Một văn phạm là một danh sách G = ( V, X, P, ) thoả mãn các điều
kiện sau:
i) V là tập khác rỗng, gọi là bảng chữ cái.
ii) X V là tập các từ, còn N = V \ X là tập các kí hiệu văn phạm hay
kí hiệu bổ trợ.
iii) P là tập các qui tắc thay thế, là tập hữu hạn các cặp (u, v) trong đó
u (V \ X)* \ { }, v V*. Kí hiệu là u v.
vi) là một kí hiệu bổ trợ, gọi là kí hiệu ban đầu.
b) Giả sử G = (V, X, P, ) là một văn phạm và y, z V*. Ta nói rằng y
trực tiếp sinh ra z và kí hiệu là y z, nếu u, v, u1, u2 sao cho (u, v) P và

y = u1uu2, z = u1vu2 (chỗ nào có u thì thay bởi v). Nh vậy, mỗi hệ thống văn
phạm là một họ hệ thống qui tắc thay thế.
*
Ta nói rằng y sinh ra z và kí hiệu y z, nếu z1, z2, , zk V* sao cho

y = z 1 z2 zk = z .
c) Ngôn ngữ L đợc gọi là ngôn ngữ sinh bởi văn phạm G nếu
*
L = L(G) = {w X* w}

1.3.6. Định nghĩa. Ngôn ngữ L đợc gọi là ngôn ngữ phi ngữ cảnh nếu nó đợc sinh ra bởi văn phạm G = (V,X, P, ) gồm và chỉ gồm các quy tắc thay
thế dạng ( u, v ) P trong đó u V \ X, v V* .
1.3.7. Định nghĩa. Văn phạm G = (V,X, P, ) đợc gọi là văn phạm tuyến
tính phải, nếu P gồm và chỉ gồm các quy tắc dạng sau
q u, q u trong đó q, V \ X, u X

19


Từ các định nghĩa trên ta suy ra một văn phạm tuyến tính phải là văn
phạm phi ngữ cảnh.

20


Chơng II
Ngôn ngữ hữu tỷ
2.1. nhóm tự do . sự mô tả dick
Các phần tử của một tập sinh M của mọi nhóm G cho trớc có thể liên
hệ với nhau bằng các hệ thức trong G, chẳng hạn xx 1 = e,x 1x = e x M ,

trong đó e là đơn vị của G. Những hệ thức đó xảy ra trong mọi nhóm tùy ý
nên đợc gọi là hệ thức tầm thờng. Tuy nhiên, tồn tại những nhóm thừa nhận
các hệ thức khác không tầm thờng trong một tập sinh nào đó của nó.
Mục đích của tiết này là đa ra cách dựng các nhóm nh vậy và chứng tỏ
rằng chúng là nhóm tự do trong phạm trù các nhóm.
2.1.1. Định nghĩa và ký hiệu.
Giả sử I là một tập hợp các chỉ số nào đó. Nhóm G đợc sinh bởi các phần






tử x i , i I , các phần tử của G đợc biểu diễn dới dạng x i1i1 x i2i2 ...x imim trong đó
i j = 1, j = 1,m .
Các phần tử của G còn đợc gọi là các từ, m đợc gọi là độ dài của từ






w = x i1i1 x i2i2 ...x imim ký hiệu là w , từ có độ dài bằng 0 đợc gọi là từ rỗng ký
hiệu là .
Phép nhân trong G là sự viết liên tiếp từ này tiếp từ kia. Ta gạch bỏ các từ
con dạng x i x
i với = 1 khi chúng xuất hiện trong từ.
Từ đợc gọi là rút gọn đợc nếu nó chứa các từ con dạng x i x i với = 1 .
Chẳng hạn, từ x 2 x1x1x12 x3 là không rút gọn đợc, còn từ x1x 2 x 21x 3 rút gọn đợc.
21

Hai từ u và v đợc gọi là tơng đơng (ký hiệu u : v ), nếu v có thể nhận đợc
từ u qua một số hữu hạn lần đặt vào hoặc rút gọn các từ dạng x i x
với
i
= 1 . Rõ ràng : là quan hệ tơng đơng. Ký hiệu lớp tơng đơng chứa từ u là

[ u] .
2.1.2. Định lý. Giả sử X ={x i / i I}. Trên tập hợp F(X) các từ tơng đơng
trong bảng chữ cái X, xác định phép nhân bằng cách đặt [ u] [ v] = [ uv ] . Định
nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên các đại diện của lớp
đó. Tập hợp F(X) là một nhóm đối với phép nhân xác định nh trên.
Chứng minh. Trớc hết ta nhận xét rằng mọi lớp các từ tơng đơng chứa từ
không rút gọn đợc là duy nhất. Thật vậy, giả sử (u) là ký hiệu của từ
không rút gọn đợc, nhận đợc từ u sau khi gạch bỏ các từ con x i x i . Hàm
có các tính chất sau:
+ (u) : u

(1)

+ (u) u, nếu u không rút gọn đợc

(2)

+ (uv) = ( u ( v ) )

(3)

(u)

+ ( x i x
i u)

với = 1

(4)

(uv) với = 1
+ (u x i x
i v)

(5)

+ (uv) ( (u) (v))

(6)

Các tính chất (1), (2), (3) suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Tính chất (4) đợc
suy ra từ (3). Tính chất (5) đợc suy ra từ (3) và (4). Tính chất (6) đợc suy ra
từ các tính chất (3), (4), (5) bằng cách quy nạp theo độ dài của từ u.
Bây giờ giả sử u : v, trong đó u và v là các từ không rút gọn đợc. Từ định
nghĩa suy ra tồn tại dãy từ u1 u,u 2 ,...,u m v , trong đó mỗi từ nhận đợc từ

22


một từ khác trong dãy bằng cách gắn vào hay gạch bỏ các từ con dạng
x i x i với = 1 . Do tính chất không rút gọn đợc của u và v, ta có u v.
Tích [ u ] [ v ] không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên các đại diện u và
v đợc suy ra từ lập luận trên và tính chất (6). Phép nhân có tính kết hợp đợc

suy ra từ định nghĩa. Lớp chứa từ rỗng là đơn vị và nghịch đảo của [ u ] là
u 1 . Định lý 2.1.2 đợc chứng minh.

2.1.3. Định nghĩa. Nhóm F(X) xây dựng trong định lý 2.1.2 đợc gọi là
nhóm tự do với tập sinh X, còn lực lợng của X đợc gọi là hạng của F(X).
2.1.4. Ký hiệu.
a) Nếu X có n phần tử, X = { x1 ,x 2 ,...,x n } thì ta sẽ dùng ký hiệu Fn (X) thay
cho F(X) .
Nếu X = { x1 ,x 2 ,...,x n ,...} có lực lợng đếm đợc thì ta sẽ dùng ký hiệu
F (X) thay cho F(X).
b) Từ đây về sau, đối với cách viết phần tử của nhóm tự do ta sẽ dùng đại
diện của lớp đó, nghĩa là ta sẽ viết u = v thay cho [u] = [v], uv thay cho
[u][v].
Theo lập luận trong chứng minh Định lý 2.1.2, ta cũng có thể nói về cách
viết của các từ không rút gọn đợc thuộc các lớp đó, nếu hiểu ngầm cách viết
không rút gọn đợc (u) của mọi đại diện u của nó.
2.1.5. Hệ quả. Mọi nhóm tự do hạng lớn hoặc bằng 2 đều không phải là
nhóm Aben.
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ cách xây dựng nhóm tự do.
23


2.1.6. Định lý. Giả sử nhóm G sinh bởi tập M = { gi /i I } . Chọn bảng chữ
cái X = { xi /i I } . Khi đó ánh xạ
f :X M
xi a gi
mở rộng đợc một cách duy nhất tới đồng cấu : F(X ) G .

Chứng minh. Rõ ràng ảnh của lớp x i1i1 x i2i2 ...x imim phải là g i1i1 g i2i2 ...g imim .

Tính đúng đắn của ánh xạ f và tính đồng cấu của ánh xạ đợc suy ra từ
định nghĩa nhóm tự do F(X). Định lý đợc chứng minh.
2.1.7. Hệ quả. Mọi nhóm G đều đẳng cấu với nhóm thơng của một nhóm tự
do nào đó.
Chứng minh. Vì G = <M> và F(X) = <X> nên là toàn cấu Im() = G .
Theo định lý cơ bản đồng cấu nhóm, có F(X) ker() Im() hay
G F(X) H trong đó H = ker() .
2.1.8. Định lý. Giả sử m là số nguyên, m 2. Nhóm con sinh bởi
1 m
1 0
t12 (m) =
t
(m)
=
,
ữ 21
m 1ữ
0 1


trong SL ( 2,Â

)

là tự do, nghĩa là đợc mô tả bằng tập rỗng các hệ thức.

Chứng minh. Ký hiệu a := t 12 ( m ) ,b := t 21 ( m ) . Giả sử w là tích xen kẽ lũy
thừa khác không của các phần tử a,b trong nhóm SL ( 2, ) . Ta cần chứng
minh nếu w bắt đầu với lũy thừa b, thì có thể thay w bởi phần tử w a := a 1wa
và xét phần tử vừa nhận đợc, nếu w a e thì w e . Bởi vậy ta có thể giả

24


thiết từ w có dạng w = a 1 b 2 ...cr trong đó c=a hoặc c=b; i 0 . Giả sử
Z i là dòng trên của ma trận a 1 b 2 ...c r .
Nếu Z 2k 1 = (x 2 k 1 ,x 2k ) thì
Z 2k = Z 2 k 1b 2 k = (x 2 k +1 ,x 2 k ) và Z 2k +1 = Z 2 k a 2 k +1 = (x 2 k +1 ,x 2 k +2 )
trong đó
x 2 k +1 = x 2 k 1 + m 2 k x 2 k , x 2 k +2 = m 2 k +1x 2 k +1 + x 2 k
Từ hai công thức cuối cùng ta nhận đợc
x i +2 = x i + m i+1x i+1 với i = 1, 2, ..., r-1
Chúng ta cần phải chứng minh rằng khi i tăng từ 1 đến r+1 thì x i cũng
tăng. Đối với i = 1, 2 điều đó có thể thử trực tiếp. Với i tiếp theo ta chứng
minh bằng quy nạp
x i+2 m i+1 x i +1 x i 2 x i +1 x i x i +1 + 1
Định lý đợc chứng minh.
2.1.9. Sự mô tả Dick. Hệ thức xác định.
Các phần tử của hạt nhân của đồng cấu : F(X) G xác định bởi định lý
2.1.6 đợc gọi là hệ thức của nhóm G trong bảng chữ cái X.
Nếu tập hợp H ' các hệ thức thỏa mãn điều kiện: ớc chuẩn tối tiểu của G
chứa H ' trùng với H ' , thì H ' đợc gọi là tập hợp các hệ thức xác định của
nhóm G trong bảng chữ cái X. Vì G F(X) H ' nên việc cho bảng chữ cái
X và tập hợp các từ trong H ' đã đủ xác định nhóm G. Ta gọi cặp

(X H )
'

là

sự mô tả nhóm G bằng thuật ngữ hệ thức, hay ngắn gọn hơn sự mô tả Dick
của nhóm G (Dick là tác giả của phép dựng nổi tiếng này) và ký hiệu

(

)

G X H' .
25