3 đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán và đáp án tham khao

SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010

Đề chính thức

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009

Câu 1: (2,0 điểm)
1
=7
x2
1
1
Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + 3 và B = x5 + 5
x
x
 1
1
+ 2− = 2

y
 x
2. Giải hệ phương trình:

 1 + 2− 1 = 2
 y

x


1. Cho số x ( x ∈ R; x > 0 ) thoả mãn điều kiện: x2 +

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1 , x 2 thoả
mãn điều kiện: 0 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Q=

2a 2 − 3ab + b 2
2a 2 − ab + ac

Câu 3: (2,0 điểm)
1
(x + y + z)
2
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố.

1. Giải phương trình:

x−2 +

y + 2009 +

z − 2010 =

Câu 4: (3,0 điểm))
1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Một đường thẳng
quaA, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các

đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK ⊥ BN .
2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2 .Vẽ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng 45 0
có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh
rằng: 2 2 − 2 ≤ DE < 1 .
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd ,trong đó ad − bc = 1 .
Chứng minh rằng: P ≥ 3 .
Hết
......................................................

1


SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010

Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
(Đáp án này gồm 04 trang)

2


Câu
1

ý

1

2

Nội dung

Điểm

1
x

1
= 3 (do x > 0)
x
1
1
1
1
1
⇒ 21 = (x + )(x2 + 2 ) = (x3 + 3 ) + (x + ) ⇒ A = x3 + 3 =18
x
x
x
x
x
1
1
1
1
⇒ 7.18 = (x2 + 2 )(x3 + 3 ) = (x5 + 5 ) + (x + )

x
x
x
x
1
⇒ B = x5+ 5 = 7.18 - 3 = 123
x
1
1
1
1
+ 2− =
+ 2−
Từ hệ suy ra
(2)
y
x
x
y

Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = 9 ⇒ x +

Nếu

1
1
>
thì
x
y

2−

0.25
0.25
0.25
0.25
0.5

1
1
> 2 − nên (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y
y
x

0.5

thế vào hệ ta giải được x=1, y=1
2

Theo Viét, ta có: x1 + x 2 = −

0.25

c
b
, x1.x 2 = .
a
a
2

b b
2 − 3. +  ÷
2
2
2a − 3ab + b
a  a  ( Vì a ≠ 0)
Khi đó Q =
=
2
b c
2a − ab + ac
2− +
a a

2 + 3(x1 + x 2 ) + (x1 + x 2 ) 2
=
2 + (x1 + x 2 ) + x1x 2
2
2
Vì 0 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 2 nên x1 ≤ x1x 2 và x 2 ≤ 4

0.25
0.25

⇒ x12 + x 2 2 ≤ x1x 2 + 4 ⇒ ( x1 + x 2 ) ≤ 3x1x 2 + 4
2 + 3(x1 + x 2 ) + 3x1x 2 + 4
=3
Do đó Q ≤
2 + (x1 + x 2 ) + x1x 2

0.25

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = 2 hoặc x1 = 0, x 2 = 2

0.25

2

0.25

 b
 − a = 4

 c = 4
 c = −b = 4a
  a

⇔  b = −2a Vậy maxQ=3
Tức là 

 − b = 2

c = 0

  a
 c
 = 0
  a
3

0.25

0.25

1 ĐK: x ≥ A
2, y ≥I - 2009, zB≥ 2010

0.25

Phương trình đã
O với:
K
B cho tương đương
x − 2 +2 My + 2009
x+y+z=2 E
D

⇔(

x
x −x 2

0.25

+2 z − 2010

- 1)2 + (M y + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = 0

A

D
1
=
0
x−2

y

EC C
x=3

0.25

3

N

0.25


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI
ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1(2,5 điểm): Cho M =

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề

x x −1 x x +1
−
x− x
x+ x

1- Tìm điều kiện để M có nghĩa.
2- Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
3- Cho N=

1
6
1 
3
 6x + + x + 3 ÷. Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
18 
x
x 

y = x2

 z = xy
Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình: 
1 = 1 + 2
 x y z

với x, y, z > 0

Bài 3(1,5 điểm):
Tính giá trị của biểu thức A = x 3 − 6x với x = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2

Bài 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính
AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Các tiếp tuyến với đường
tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N.
1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng
hàng.
2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC.
3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm.
Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất cả các bộ ba số (x; y; z) với x, y, z ∈ Z để:
P = (x − zy) 2 + 6(x − zy) + x 2 + 16y 2 − 8xy + 2x − 8y +10 đạt giá trị nhỏ nhất.
---------- Hết ------------

4


Họ và tên thí sinh:..................................................................Phòng
thi:..............SBD:.......................
Họ và tên, chữ ký giám thị 1

Họ và tên, chữ ký giám thị 2

...................................................................

...................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2009-2010

MÔN TOÁN
ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung

Bài 1(2,5 điểm): Cho M =

Điểm

x x −1 x x +1
−
x− x
x+ x

1- Tìm điều kiện để M có nghĩa.
2- Rút gọn M (với điều kiện M M có nghĩa)
3- Cho N=

1
6
1 
3
 6x + + x + 3 ÷. Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
18 
x
x 

1-(0,5 đ)
x ≥0

Để M có nghĩa, ta có:  x − x ≠ 0


x + x ≠ 0
x≥0

x > 0
⇔  x ( x − 1) ≠ 0 ⇔ 
x ≠1

x
(
x
+
1)
≠
0


0,25

2-(1,0 đ)
Với x > 0, ≠ 1 ta có:

0,25

(x x − 1)(x + x ) − (x x + 1)(x − x )
x2 − x
x2 x + x2 − x − x − x2 x + x2 − x + x
=
x2 − x
2x 2 − 2x

= 2
x −x
2(x 2 − x)
=
= 2. Vậy M = 2
x2 − x

M=

3-(1,0 đ)

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

5


Với x > 0, ≠ 1 ta có: 2 =

1
1
1 
3
 6(x + ) + x + 3 ÷
18 
x

x 

(1)

1
= y > 2 (vì x > 0, ≠ 1 )
x
1
1
1
1
1
3
3
2 1
3
3
3
Ta có y = x + 3 + 3x . + 3x. 2 = x + 3 + 3(x + ) ⇒ x + 3 = y − 3y
x
x
x
x
x
x
3
3
Do đó, từ (1) ta có: 36 = 6y + y − 3y ⇔ y + 3y − 36 = 0
⇔ 0 = (y3 − 33 ) + (3y − 9) = (y − 3)(y 2 + 3y + 9) + 3(y − 3) = (y − 3)(y 2 + 3y + 12)

Đặt x +

2

3
39
⇔ y = 3 > 2 (vì y 2 + 3y + 12 =  x + ÷ +
>0)
2
4

1
Với y = 3 , ta có x + = 3 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ( ∆ = 9- 4= 5 > 0)
x
3
+
5
3− 5
3+ 5
3− 5
⇔ x1 =
, x2 =
(tmđk). Vậy với x1 =
, x2 =
thì M = N
2
2
2
2
y = x2


 z = xy
Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình: 
với x, y, z > 0
1
1
2
 = +
 x y z
Thế (1) vào (2) ta có z = x 3 (4)
1 1
2
x2 x + 2
= 2 + 3 hay 3 = 3 , vì x > 0
Thế (1) và (4) vào (3) ta có
x x
x
x
x
2
Ta có x = x + 2
⇔ x 2 − x − 2 = 0 (a-b+c = 1 +1- 2 = 0)
⇔ x1 = 2 > 0 , x 2 = −1 < 0 (loại)
Do x = 2 ⇒ y = 4 > 0, z = 8 > 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y; z) = (2; 4;8)

Bài 3(1,5 điểm):
Tính giá trị của biểu thức A = x 3 − 6x với x = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2
Đặt a = 3 20 + 14 2 , b = 3 20 − 14 2 , ta có x = a + b
Có x 3 = a3 + b3 + 3a2b +3ab2 , vì a3 + b3 = 20 +14 2 +20 -14 2 = 40, nên

x 3 = 40 + 3ab(a+b) = 40 + 3ab x
Ta lại có ab = 3 20 + 14 2 .3 20 − 14 2 = 3 (20 + 14 2 )(20 − 14 2 ) = 3 20 2 − 2.14 2
= 3 8=2
Vậy A = x 3 - 6x = 40 + 6x – 6x = 40

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường
kính AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Các tiếp
tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N.
1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng
hàng.

2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC.
6


3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm.
1-(1 đ) Có:
A
∠DAE =1v(gt)
1
(O))
2
1
∠AEH =1v(góc nội tiếp chắn (O))
2
⇒ ∠DAE = ∠ADH = ∠AEH
∠ADH =1v(góc nội tiếp chắn

0,25

E
D

0,25

⇒ tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
B
M
Vì ∠DAE =1v(gt) ⇒ DE là đường kính của (O)
⇒ D,O,E thẳng hàng.

N

H

C

0,25
0,25

2-(1,0 đ)
Vì AH ⊥ BC tại H ⇒ BC là tiếp tuyến của (O)
Ta có MD = MH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ M)
OD = OH =

1
AH (vì ADHE là hình chữ nhật)
2

⇒ OM là đường trung trực của DH
⇒ OM ⊥ DH
0,25
⇒
∠
ADH
⊥
Vì
=1v (theo (2))
AB DH tại D
⇒ OM//AB
0,25

1
Vì OA= OH = AH (vì ADHE là hình chữ nhật)
2
⇒
Từ (8) và (9)
OM là đường trung bình của ∆ AHB ⇒ MB=MH ⇒ M là trung

điểm của HB.
Chứng minh tương tự ta có NH = NC ⇒ N là trung điểm của HC.
3-(1,0 đ)
MD ⊥ DE tại D (MD là tiếp tuyến của (O) tại D)
NE ⊥ DE tại E (NE là tiếp tuyến của (O) tại E)
⇒ MD//NE ⇒ DENM là hình thang vuông, đường cao DE
Gọi diện tích hình thang DENM là SDENM. Ta có: SDENM =

1
(MD+NE).DE
2

Vì MD = MH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ M)
NE = NH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ N)
⇒ MD+NE= MN =

0,25
0,25
0,25
0,25

1
BC (vì MH=MB, NH=NC)

2

Lại có DE = AH (vì ADHE là hình chữ nhật)
1 1
1
1
Do đó: SDENM = . BC.AH = AB.AC = .10.7 = 17,5 (cm2)

0,25

Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất cả các bộ ba số (x; y; z) với x, y, z ∈ Z để:
P = (x − zy) 2 + 6(x − zy) + x 2 + 16y 2 − 8xy + 2x − 8y + 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
P = [( x − zy )2 + 6 ( x − zy ) + 9 ] + [ (x2 – 8 xy + 16 y2) + 2 ( x − 4y ) + 1 ]
= [( x − zy ) + 3 ]2 + [( x − 4y )2 + 2 ( x − 4y ) + 1 ]

0,25

2 2

4

4

7


= ( x − zy + 3 )2 +( x − 4y + 1 )2 ≥ 0
 x − zy + 3 = 0 (1')
 x − 4y + 1 = 0 (2 ')
Lấy (1’) – (2’) , ta có −zy + 4y + 2 = 0 ⇔ (z − 4)y = 2

2
⇔ y=
(z ≠ 4)
(1)
z−4
Vì y ∈ Z nên z − 4 = ±1; ± 2 , đồng thời theo (1) và (2’) ta có:
z − 4 = −1 ⇔ z = 3 ⇒ y = −2 ⇒ x = −9 ; z − 4 = 1 ⇔ z = 5 ⇒ y = 2 ⇒ x = 7
z − 4 = −2 ⇔ z = 2 ⇒ > y = −1 ⇒ x = −5 ; z − 4 = 2 ⇔ z = 6 ⇒ y = 1 ⇒ x = 3
Vậy với ( x; y; z ) = [ ( − 9;−2;3) , ( 7;2;5) , ( − 5;−1;2 ) , ( 3;1;6) ] thì P đạt giá trị nhỏ nhất

P nhỏ nhất khi: 

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

(bằng 0)

Chú ý:
- Thí sinh làm cách khác đúng, hợp lý vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm của bài thi là tổng số điểm của từng bài, điểm của từng bài là tổng số điểm
của từng phần (điểm bài thi, điểm từng bài, điểm từng phần của bài không làm tròn số).

8


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2008-2009
Môn TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao
đề )
Bài 1 ( 1 điểm ):
a) Thực hiện phép tính:

3 10 + 20 − 3 6 − 12

.

5− 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x − x − 2008 .

Bài 2 ( 1,5 điểm ):
mx − y = 2
3x + my = 5

Cho hệ phương trình: 

a) Giải hệ phương trình khi m = 2 .
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ
m2
thức x + y = 1 − 2
.
m +3

Bài 3 (1,5 điểm ):

1
2

a) Cho hàm số y = − x 2 , có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là − 2 và 1.
b) Giải phương trình: 3x 2 + 3x − 2 x 2 + x = 1 .
Bài 4 ( 2 điểm ):
Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường
thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
MO MO
+
= 1.
CD AB
1
1
2
+
=
.
b) Chứng minh:
AB CD MN
c) Biết S AOB = m 2 ; S COD = n 2 . Tính S ABCD theo m và n (với

a) Chứng minh:

S AOB , S COD ,

SABCD lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác

ABCD).

9


Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O;
C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M
là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.
b) OM ⊥ BC.
c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 6 ( 1 điểm ):
x2 y2
+
≥ x+y.
y
x
b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 + 4 n là hợp số.

a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2008-2009
Môn TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao
đề
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
I. Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải
đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm
thi.
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II. Đáp án:
Bài
Nội dung
Điểm
0,25
( 5 − 3 )(3 2 + 2)
a) Biến đổi được:
5− 3
0,25
=3 2+2
b) Điều kiện x ≥ 2008

1
1
1
x − x − 2008 = ( x − 2008 − 2. . x − 2008 + ) + 2008 −
2
4
4
1 2 8031 8031

= ( x − 2008 − ) +
≥
0,25
2
4
4
1
8033
Dấu “ = “ xảy ra khi x − 2008 = ⇔ x =
(thỏa mãn). Vậy giá trị
2
4
8031
8033
khi x =
nhỏ nhất cần tìm là
.
0,25
4
4
 2 x − y = 2
a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình 
0,25
3x + 2 y = 5

10


0,25


2 2 +5
2 x − 2 y = 2 2
x =
⇔
⇔
5
3x + 2 y = 5
y = 2x − 2


2 2 +5
x =

5
⇔
y = 5 2 − 6
2

5
(1,5đ)
2m + 5
5m − 6
;y= 2
b) Giải tìm được: x = 2
m +3
m +3

Thay

vào

hệ

x + y = 1−

thức

0,25

0,25
2

m
;
m2 + 3

ta

được 0,25

2m + 5 5m − 6
m2
+
= 1− 2
m2 + 3 m2 + 3
m +3
4
Giải tìm được m =
7

0,25

1
2

a) Tìm được M(- 2; - 2); N (1 : − )

0,25

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và
N nên
3
(1,5đ)

− 2a + b = −2


1
a + b = − 2

0,25
1
2

Tìm được a = ; b = −1 . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 0,25
y=

1
x −1

2

b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3( x 2 + x ) − 2 x 2 + x − 1 = 0
Đặt t = x 2 + x ( điều kiện t ≥ 0 ), ta có phương trình 3t 2 − 2 t − 1 = 0
1
Giải tìm được t = 1 hoặc t = − (loại)
3

Với t = 1, ta có
hoặc x =

x 2 + x = 1 ⇔ x 2 + x − 1 = 0 . Giải ra được x =

−1+ 5
2

0,25
0,25

−1− 5
.
2

0,25
Hình vẽ

0,25

11

A

B

M

N

O

D

C

MO AM MO MD
=
;
=
CD AD AB AD
MO MO AM + MD AD
+
=
=
= 1 (1)
Suy ra
CD AB
AD
AD
NO NO

+
= 1 (2)
b) Tương tự câu a) ta có
CD AB
MO + NO MO + NO
MN MN
+
= 2 hay
+
=2
(1) và (2) suy ra
CD
AB
CD AB
1
1
2
+
=
Suy ra
CD AB MN
S AOB OB S AOD OA OB OA
S
S
=
;
=
;
=
⇒ AOB = AOD

S AOD S COD
c) S AOD OD S COD OC OD OC

a) Chứng minh được

⇒ S 2AOD = m 2 .n 2 ⇒ S AOD = m.n
2
2
2
Tương tự S BOC = m.n . Vậy S ABCD = m + n + 2mn = (m + n )

Hình vẽ

(phục vụ câu a)

0,25
0,50

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

A

D

I

O
M
B

5
(3đ)

C

a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau
- sđ góc AMB bằng sđ cung AB
Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau
O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp
b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1)
- M nằm trên đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra OM ⊥ BC
c) Từ giả thiết suy ra d ⊥ OM
Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AOMB, suy ra góc OMI bằng 90 0 , do đó OI là đường kính của đường
tròn này

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

12


Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn 0,25
ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định.
0,25
Vậy d luôn đi qua điểm I cố định.
x2 y2
+
≥x+y
a) Với x và y đều dương, ta có
y
x
⇔ x 3 + y 3 ≥ xy( x + y) ⇔ ( x + y)( x − y) 2 ≥ 0

(1)

(2)
0,25
(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi
0,25
x > 0, y > 0

b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k
là số tự nhiên lớn hơn 0.
- Với n = 2k, ta có n 4 + 4 n = ( 2k ) 4 + 4 2 k lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do
0,25
đó n 4 + 4 n là hợp số.

-Với n = 2k+1, tacó
n 4 + 4 n = n 4 + 4 2 k .4 = n 4 + (2.4 k ) 2 = (n 2 + 2.4 k ) 2 − (2.n.2 k ) 2

= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 +
0,25
22k ]. Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số

13