Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc

ii

MỤC LỤC

Thông tin kết quả nghiên cứu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

6

1.1. Một số ký hiệu và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ

7

. . . . . . . . . . .

Chương 2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn

9

2.1. Các bổ đề liên quan

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên

. 11

Kết luận và kiến nghị

22

Tài liệu tham khảo

23

Thuyết minh đề tài


1

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Thông tin chung
- Tên đề tài: Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ
thuộc
- Mã số: CS2014-34
- Chủ nhiệm: TS. Nguyễn Văn Huấn
- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sài Gòn

- Thời gian thực hiện: từ 9/2014 đến 9/2015
(theo Hợp đồng số 472/HĐ-ĐHSG-QLKH&SĐH)
2. Mục tiêu
Cung cấp điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối
với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert.
3. Tính mới và sáng tạo
- Phát triển định lý Baum-Katz cho trường hợp dãy véctơ ngẫu nhiên liên
kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều;
- Chỉ ra sự khác nhau giữa kỹ thuật chứng minh được sử dụng trong đề tài
và trong một số công bố đã biết;
- Cung cấp ví dụ và một số nhận xét để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và
những vấn đề liên quan.
4. Kết quả nghiên cứu
Định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
nhận giá trị trong không gian Hilbert cho trường hợp r = 1/α;
5. Sản phẩm
Các kết quả của đề tài được viết thành 01 bài báo khoa học:
Nguyen Van Huan, On the complete convergence for sequences of random
vectors in Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, January 12,
2015).


2

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu
Luật số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu nhiên
hội tụ theo xác suất. Luật mạnh số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số
học của các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn.

Luật yếu số lớn đầu tiên được chứng minh bởi Bernoulli và kết quả này được
công bố năm vào 1713 khi ông đã qua đời. Sau đó, luật số lớn của Bernoulli
được mở rộng bởi Bienaymé, Chebyshev và Markov. Tuy nhiên phải đến năm
1909 thì luật mạnh số lớn mới được một nhà toán học người Pháp là Borel phát
hiện và kết quả này đã được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926. Luật số lớn
đối với dãy biến ngẫu nhiên tiếp tục được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu,
một số dạng luật số lớn đã được đặt tên gắn liền với các nhà khoa học như
Marcinkiewicz, Zygmund, Brunk, Prokhorov, Chung, Feller,...
Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng
dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ
đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến ngẫu
nhiên hữu hạn. Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨os [4, 5]. Kết quả của
Hsu, Robbins và Erd¨os trở thành một định lý cơ sở và nhận được sự quan tâm
của nhiều tác giả. Một kết quả quan trọng mở rộng định lý Hsu-Robbins-Erd¨os
được xuất hiện trong bài báo nổi tiếng của Baum và Katz [3]. Các tác giả đã sử
dụng kỹ thuật đối xứng hóa để thiết lập định lý đánh giá tốc độ hội tụ trong
luật số lớn. Các kết quả trong [3, 4, 5, 7] đã mở ra những hướng nghiên cứu có
tính thời sự liên quan đến sự hội tụ đầy đủ và đánh giá tốc độ hội tụ trong luật
số lớn.
Trong lý thuyết xác suất, tính độc lập của các biến ngẫu nhiên là một tính
chất mạnh và đã được nghiên cứu rộng rãi. Sau đó, nhiều kiểu phụ thuộc khác
của các biến ngẫu nhiên đã được xét đến. Chẳng hạn như: phụ thuộc martingale,


3

phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm, phụ
thuộc dương, liên kết âm, liên kết dương, mixing,...
Khái niệm các biến ngẫu nhiên liên kết âm đã được giới thiệu bởi Alam và
Saxena [1]. Sau đó, Joag-Dev và Proschan [8] đã chứng minh nhiều tính chất

quan trọng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm và chỉ ra một số phân phối xác
suất trong thống kê có tính chất liên kết âm. Ko, Kim và Han [10] đã phát triển
khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang trường
hợp các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd , trường
hợp các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly và
họ đã thu được sự hội tụ hầu chắc chắn cho các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm.
Công cụ chìa khóa để họ nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn là bất đẳng thức
moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm có kỳ vọng không. Bất đẳng
thức moment của Ko, Kim và Han [10] tiếp tục được sử dụng bởi Miao [14] khi
chứng minh bất đẳng thức cực đại Hájek-Rényi và bởi Thanh [18] khi thiết lập
luật mạnh số lớn.
2. Tính cấp thiết của đề tài
Luật số lớn nói riêng và các định lý giới hạn nói chung đã được nhiều nhà
nghiên cứu về xác suất và thống kê trên thế giới quan tâm. Các kết quả thu
được từ những nghiên cứu này có nhiều ứng dụng trong thống kê toán học, kinh
tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Chính vì vậy, việc nghiên
cứu vấn đề này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.
Các công trình liên quan về luật số lớn thường chủ yếu tập trung cho lớp các
biến ngẫu nhiên độc lập. Với cấu trúc phụ thuộc mạnh này, nhiều tác giả đã sử
dụng phương pháp đối xứng hóa để thiết lập luật mạnh số lớn và các định lý
đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn. Tuy nhiên, một số kết quả
công cụ sử dụng cho phương pháp đối xứng hóa không còn đúng khi điều kiện
độc lập được thay thế bởi một số điều kiện yếu hơn. Vì vậy, cùng với việc xuất
hiện thêm các cấu trúc phụ thuộc của các biến ngẫu nhiên thì bài toán nghiên
cứu về luật mạnh số lớn đối với các cấu trúc phụ thuộc này cũng đã được đặt ra.
Chúng tôi thấy rằng đây là một hướng nghiên cứu mở và có thể tiếp tục nghiên
cứu.
Gần đây, các tác giả trong [6] đã giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên

4

liên kết âm theo tọa độ và nghiên cứu định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ
ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert cho
trường hợp r > 1/α. Trong đề tài, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu bài toán này
cho trường hợp r = 1/α.
3. Mục tiêu của đề tài
Cung cấp điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối
với dãy các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert.
4. Đối tượng nghiên cứu
Định lý đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ ngẫu nhiên
liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều cho
trường hợp r = 1/α.
6. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực hiện đề
tài. Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng kỹ thuật chặt cụt đơn điệu.
7. Nội dung và cấu trúc của đề tài
Trong đề tài này, định lý Baum-Katz được thiết lập đối với dãy véctơ ngẫu
nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert cho trường
hợp r = 1/α. Các kết quả nhận được là sự tiếp nối những nội dung đã được đề
cập trong [6].
Về cấu trúc, ngoài các phần Thông tin kết quả nghiên cứu, Mở đầu, Kết luận
và kiến nghị, Tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nội dung chính của đề tài
được trình bày trong hai chương.
Chương 1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị để dùng chung cho cả đề tài.
Nội dung chính bao gồm các ký hiệu thường dùng và khái niệm dãy véctơ ngẫu
nhiên liên kết âm theo tọa độ.
Chương 2 chủ yếu được dành để trình bày điều kiện cần và đủ cho tốc độ

hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa


5

độ. Kỹ thuật được sử dụng để chứng minh các kết quả này là kỹ thuật chặt cụt
đơn điệu. Chúng tôi cũng đề cập một số nhận xét và ví dụ để làm sáng tỏ hơn
cho các kết quả và những vấn đề liên quan. Các kết quả chính của Chương 2 là
các định lý 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.8.
Các kết quả của đề tài dự kiến sẽ được báo cáo tại Hội nghị toàn quốc lần
thứ V “Xác suất - Thống kê: Nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy” (Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, 23-25/5/2015) và đã được viết thành một bài
báo khoa học:
Nguyen Van Huan, On the complete convergence for sequences of random
vectors in Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, January 12,
2015).


6

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày phần kiến thức chuẩn bị để dùng
chung cho cả đề tài. Nội dung chính bao gồm các ký hiệu thường dùng và khái
niệm dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.

1.1. Một số ký hiệu và khái niệm cơ bản
Trong đề tài này, R là tập các số thực, C là hằng số dương và giá trị của nó
có thể khác nhau giữa các lần xuất hiện. Với a ∈ R, log2 (max{2; a}) sẽ được ký

hiệu bởi log+ a. Cho trước số thực âm α và hàm f : R → R, ký hiệu f (n) = o(nα )
được hiểu là f (n)/nα → 0 khi n → ∞. Với A là một tập hợp, |A| là lực lượng của
tập hợp A. Biến ngẫu nhiên được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị thực,
véctơ ngẫu nhiên được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
véctơ thực Rd hay không gian Hilbert thực khả ly. Với X là một phần tử ngẫu
nhiên, kỳ vọng và phương sai của X lần lượt được ký hiệu bởi EX và VarX . Ta
nói X có kỳ vọng không thay cho cách viết EX = 0. H là một không gian Hilbert
thực, khả ly, với phép nhân trong ·, · và chuẩn · . Giả sử {ej , j

1} là một cơ

sở trực chuẩn của H và X là một véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H , X, ej
sẽ được ký hiệu bởi X (j) .
Giả sử {Xn , n

1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Khi

đó, cấu trúc của {Xn , n

1} được thể hiện dưới dạng mảng hai chiều các biến

ngẫu nhiên như sau:
(1)

(2)

X1
(1)
X2

X1
(2)
X2

(1)
Xn

Xn

...
...

...

(2)

...

... X1(d)
... X2(d)
... ...
... Xn(d)
... ...

trong đó Xn(d) là biến ngẫu nhiên với mọi n

...
...
...
...

...

1 và d

1.


7

Như trong [6], giả sử {X, Xn , n

1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên nhận giá

trị trong H . Ta xét bất đẳng thức kẹp sau đây
C1 P(|X

(j)

| > t)

1
n

n

P(|Xk(j) | > t)

C2 P(|X (j) | > t).

(1.1.1)

k=1

Nếu tồn tại hằng số dương C1 (C2 ) thỏa mãn vế trái (tương ứng, vế phải) của
(1.1.1) với mọi j

1, n

1 và t

0 thì ta nói dãy {Xn , n

1} bị chặn dưới

yếu theo tọa độ (tương ứng, bị chặn trên yếu theo tọa độ ) bởi X . Ta nói dãy
{Xn , n

1} bị chặn yếu theo tọa độ bởi X nếu nó vừa bị chặn dưới yếu và bị

chặn trên yếu theo tọa độ bởi X . Rõ ràng, nếu {Xn , n

1} là một dãy véctơ

ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn yếu theo tọa độ bởi X1 và C1 = C2 = 1.

1.2. Dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Khi đó, giá trị E (X − EX)(Y − EY )
(nếu tồn tại) được gọi là hiệp phương sai của X và Y , ký hiệu là Cov(X, Y ). Dễ
thấy nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y ) = 0.
Theo Alam và Saxena [1], họ hữu hạn biến ngẫu nhiên {Yi , 1

i

n} được

gọi là họ biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B rời nhau của
tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương ứng xác định
trên R|A| , R|B| thì
Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B)

0

với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn biến ngẫu nhiên được gọi là họ
biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của họ này đều liên kết
âm.
Ko, Kim và Han [10] đã phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu
nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong
không gian Hilbert thực khả ly. Để làm được điều này, các tác giả đã đưa ra
khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian véctơ
thực Rd . Họ hữu hạn véctơ ngẫu nhiên {Xi , 1

i

n} nhận giá trị trong Rd

được gọi là họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B rời nhau
của tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương ứng xác
định trên Rd|A| , Rd|B| thì
Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B)

0


8

với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian véctơ thực Rd được gọi là họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu
mọi họ con hữu hạn của họ này đều liên kết âm.
Khi đó, Ko, Kim và Han [10] đã giới thiệu khái niệm dãy véctơ ngẫu nhiên
liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly theo cách tiếp cận
như sau.
1.2.1 Định nghĩa. [10] Dãy {Xn , n

1} các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị

trong H được gọi là dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi d
(1)

(2)

(d)

Xn , Xn , ..., Xn

,n

1

1,

là họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị

trong Rd .
Gần đây, trong [6], bằng cách tiếp cận trực tiếp từ trường hợp thực, các tác
giả đã giới thiệu khái niệm dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận
giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Họ cũng đã chỉ ra rằng khái niệm
dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ thực sự tổng quát hơn khái niệm
dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm của Ko, Kim và Han [10]. Hơn nữa, các kết
quả chính của Ko, Kim và Han [10], Miao [14] và Thanh [18] không chỉ đúng
cho dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm mà còn đúng cho lớp rộng hơn - dãy véctơ
ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.
1.2.2 Định nghĩa. ([6], Định nghĩa 1.3) Dãy {Xn , n

1} các véctơ ngẫu nhiên

nhận giá trị trong H được gọi là dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
nếu với mọi j

(j)

1, {Xn , n

1} là dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm.


9

CHƯƠNG 2
TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG LUẬT MẠNH SỐ LỚN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ
ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn
chiều cho trường hợp r = 1/α. Kỹ thuật được sử dụng để chứng minh các kết
quả là kỹ thuật chặt cụt đơn điệu. Chúng tôi cũng trình bày một ví dụ và một
số nhận xét để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả chính.

2.1. Các bổ đề liên quan
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày năm bổ đề. Bổ đề đầu tiên cung cấp
một bất đẳng thức cực đại đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa
độ. Kết quả tương ứng trong trường hợp các biến ngẫu nhiên liên kết âm nhận
giá trị thực thuộc về Shao [16].
2.1.1 Bổ đề. ([6], Bổ đề 1.7) Giả sử {Xn , n

1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên

liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và E Xn
với mọi n

2

<∞

1. Khi đó
k

E

max

1 k n

n

2

Xl

E Xk

2

l=1

2

với mọi n

1.

k=1

Phương pháp chứng minh của hai bổ đề tiếp theo hoàn toàn giống nhau, do
đó phần chứng minh của Bổ đề 2.1.2 sẽ không được đề cập.
2.1.2 Bổ đề. Giả sử α là một số thực dương và X là một véctơ ngẫu nhiên
∞

nhận giá trị trong H thỏa mãn

E|X (j) |1/α < ∞. Khi đó

j=1
∞

∞

j=1 n=1

1
E |X (j) |θ I(|X (j) | > nα ) < ∞ nếu 0
nθα

θ < 1/α;


10
∞

∞

j=1 n=1

1
E |X (j) |θ I(|X (j) |
nθα

nα ) < ∞ nếu θ > 1/α.

2.1.3 Bổ đề. Giả sử α là một số thực dương và X là một véctơ ngẫu nhiên
∞

E(|X (j) |1/α log+ |X (j) |) < ∞. Khi đó

nhận giá trị trong H thỏa mãn
j=1
∞

∞

j=1 n=1
∞ ∞

j=1 n=1

log n
E |X (j) |θ I(|X (j) | > nα ) < ∞ nếu 0
nθα
log n
E |X (j) |θ I(|X (j) |
nθα

θ < 1/α;

nα ) < ∞ nếu θ > 1/α.

(2.1.1)
(2.1.2)

Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh (2.1.1). Nhờ vào đánh giá số học
k

n=1

log n
nθα

C

log k
,
k θα−1

ta có
∞

n=1
∞

=
n=1
∞

log n
E |X (j) |θ I(|X (j) | > nα )
nθα
log n
nθα

∞

E |X (j) |θ I(k α < |X (j) |

k=n

k
(j) θ

α

(j)

E |X | I(k < |X |

=

(k + 1)α )

k=1
∞

C
k=1

α

(k + 1) )
n=1

log k
E |X (j) |θ I(k α < |X (j) |
k θα−1

log n
nθα

(k + 1)α )

C E(|X (j) |1/α log+ |X (j) |).

Vì hằng số C chỉ phụ thuộc vào α và θ nên (2.1.1) đúng.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh (2.1.2) bằng những lập luận tương tự như đối
với (2.1.1). Thật vậy
∞

n=1
∞

log n
E |X (j) |θ I(|X (j) |
nθα

nα )
∞

(j) θ

α

(j)

E |X | I((k − 1) < |X |

=
k=1

α

k )
n=k

log n
nθα


11
∞

C
k=1

log+ k
E |X (j) |θ I((k − 1)α < |X (j) |
k θα−1

kα)

C E(|X (j) |1/α log+ |X (j) |).

Bổ đề được chứng minh.
2.1.4 Bổ đề. Giả sử α là một số thực dương và X là một véctơ ngẫu nhiên
∞

nhận giá trị trong H thỏa mãn

E|X (j) |1/α < ∞. Khi đó

j=1
∞

E |X (j) |1/α I(|X (j) |1/α > n) → 0 khi n → ∞.

(2.1.3)

j=1

Chứng minh. Đặt ξ =

∞
(j) 1/α .
j=1 |X |

Khi đó ta có

∞

E |X (j) |1/α I(|X (j) |1/α > n)

E ξ I(ξ > n) , n

1.

j=1

Vì Eξ < ∞ nên (2.1.3) đúng.
2.1.5 Bổ đề. ([19], Bổ đề A.6) Giả sử θ là một số thực dương và A1 , A2 ..., An
là các biến cố thỏa mãn
n

Var

n

I(Ak )
k=1

θ

P(Ak ).
k=1

Khi đó
n

1−P

2

n

Ak
k=1

n

P(Ak )
k=1

θP

Ak .
k=1

2.2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ
ngẫu nhiên
Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng
dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ
đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến
ngẫu nhiên hữu hạn. Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨os [4, 5]. Kết
quả của Hsu, Robbins và Erd¨os đã trở thành một định lý cơ sở của lý thuyết xác


12

suất với tên gọi là định lý Hsu-Robbins-Erd¨
os. Một kết quả quan trọng mở rộng
định lý Hsu-Robbins-Erd¨os được xuất hiện trong bài báo nổi tiếng của Baum
và Katz [3]. Các tác giả đã sử dụng kỹ thuật đối xứng hóa để thu được định lý
đánh giá tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn như sau.
2.2.1 Định lý. (Định lý Baum-Katz) Giả sử r, α là hai số thực (r > 1; α >
1/2; αr > 1), {X, Xn , n

1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và

có kỳ vọng không. Khi đó ba phát biểu sau đây tương đương.
(a) E|X|r < ∞.
∞

(b)

n

αr−2

n=1
∞

Xk > εnα < ∞ với mọi ε > 0.

P
k=1

αr−2

(c)

n

n
n=1

1
P sup α

k nk

k

Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0.
l=1

Định lý Baum-Katz đã được phát triển cho nhiều lớp biến ngẫu nhiên phụ
thuộc khác nhau. Đối với các biến ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị thực,
một số kết quả quan trọng thuộc về Shao [16], Kuczmaszewska [11] (trường hợp
dãy), Baek, Choi và Niu [2], Sung [17] (trường hợp mảng tam giác), Ko [9],
Kuczmaszewska và Lagodowski [12] (trường hợp mảng nhiều chỉ số).
Gần đây, trong [6], định lý Baum-Katz đã được nghiên cứu cho trường hợp
các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian
Hilbert vô hạn chiều. Dựa vào công cụ chìa khóa là bất đẳng thức moment được
đề cập trong Bổ đề 2.1.1, các tác giả đã thiết lập tốc độ hội tụ trong luật mạnh
số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ như sau.
2.2.2 Định lý. ([6], Định lý 2.1) Giả sử r, α là hai số thực (1
{Xn , n

r < 2; αr > 1),

1} là dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không,

nhận giá trị trong H và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X .
Nếu
∞

E|X (j) |r < ∞

(2.2.1)

j=1

thì
∞

k
αr−2

n
n=1

P

Xl > εnα < ∞ với mọi ε > 0.

max

1 k n

l=1

(2.2.2)


13

2.2.3 Nhận xét. Từ (2.2.2) và Bồ đề 4 của Lai [13] ta có
∞

αr−2

n
n=1

k

1
P sup α
k nk

Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0.
l=1

Khi đó, theo bổ đề Kronecker,
k

1
P sup α
k nk

Xl > ε = o n1−αr

với mọi ε > 0.

l=1

Vì vậy, kết luận (2.2.2) trong Định lý 2.2.2 đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật
mạnh số lớn.
Dễ thấy Định lý 2.2.2 chỉ đề cập đến trường hợp r > 1/α. Đối với trường hợp

r = 1/α, chúng tôi có kết quả sau đây. Chú ý rằng kết quả này không thể được

chứng minh bằng phương pháp như trong [6, Định lý 2.1].
2.2.4 Định lý. Giả sử α là một số thực (1/2 < α < 1), {Xn , n

1} là dãy véctơ

ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và
bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X . Nếu
∞

E|X (j) |1/α < ∞

(2.2.3)

Xl > εnα < ∞ với mọi ε > 0.

(2.2.4)

j=1

thì
∞

n=1

1
P
n

k

max

1 k n

Chứng minh. Với n, k

l=1

1, đặt

(j)

(j)

(j)

(j)
Znk

(j)
Xk

(j)
− Ynk

(j)

(j)

nα ) + nα I(Xk > nα ) − nα I(Xk < −nα );

Ynk = Xk I(|Xk |

∞

=

(j

∞
(j)
Ynk ej ;

1); Ynk =
j=1

Khi đó, với mọi ε > 0,
∞

n=1

1
P
n

k

Xl > εnα

max

1 k n

l=1

(j)

Znk =

Znk ej .
j=1


14
∞

n=1
∞

+
n=1

k

1
P
n

1 k n

1
P
n

1 k n

(Ynl − EYnl ) > εnα /2

max

l=1
k

(Znl − EZnl ) > εnα /2

max

l=1

= I1 + I2 .
1, {Ynk , k

Dễ thấy rằng với mỗi n

1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm

theo tọa độ. Từ bất đẳng thức Markov, các bổ đề 2.1.1 và 2.1.2 , ta có
∞

I1

C
n=1
∞

C

k

1

n

E
2α+1
1

C
j=1 n=1
∞ ∞

=C
j=1 n=1
∞ ∞

+C
j=1 n=1
∞ ∞

l=1

n

n2α+1

n=1
∞ ∞

1 k n

2

(Ynl − EYnl )

max

E Ynk − EYnk

2

k=1

1
n2α+1
1
n2α+1
1
n2α+1

n
(j) 2
E(Ynk
)
k=1
n
(j)

n2α P(|Xk | > nα )
k=1
n

E (Xk(j) )2 I(|Xk(j) |

nα )

k=1

P(|X (j) | > nα )

C
j=1 n=1
∞ ∞

+C
j=1 n=1
∞ ∞

1

E (X (j) )2 I(|X (j) |
n2α

nα )

P(|X (j) | > nα ) < ∞.

+C
j=1 n=1

Do đó ta chỉ cần chỉ ra I2 < ∞. Thật vậy, tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Markov
và Bổ đề 2.1.2, ta có
∞

I2

C
n=1
∞

C
n=1

1
nα+1
1
nα+1

k

E

(Znl − EZnl )

max

1 k n

l=1

n

Znk − EZnk

E
k=1


15
∞

C

n

1
nα+1

n=1
∞ ∞

C
j=1 n=1
∞ ∞

C
j=1 n=1
∞ ∞

C
j=1 n=1

E Znk
k=1
n

1
nα+1
1
nα+1

E|Xk(j) I(|Xk(j) | > nα ) − nα I(Xk(j) > nα ) + nα I(Xk(j) < −nα )|
k=1
n

∞

E|Xk(j) I(|Xk(j) |

∞

α

> n )| + C

n

P(|Xk(j) | > nα )

j=1 n=1
k=1
∞
(j)
α

k=1
∞

1
E|X (j) I(|X (j) | > nα )| + C
α
n

1
n

P(|X | > n ) < ∞.

j=1 n=1

Định lý được chứng minh.
Dưới các giả thiết của Định lý 2.2.4, (2.2.3) kéo theo (2.2.4). Một câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là điều ngược lại có đúng không. Câu trả lời trong trường hợp
này là không, như ví dụ sau sẽ đề cập. Chú ý rằng bài toán tìm điều kiện đủ cho
(2.2.3) đã được giải quyết trong [6, Định lý 2.6].
2.2.5 Ví dụ. Ta xét không gian
x = {xk , k

2

gồm các dãy số thực bình phương khả tổng
∞
2 1/2 .
k=1 xk

1} với chuẩn x =

Giả sử α là một số thực (1/2 <

α < 1), {X, Xn , n

1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên độc lập, cũng phân phối và

nhận giá trị trong

2

thỏa mãn P X (j) = ±j −α = 1/2 với mọi j

1. Vì

2

là một

không gian Rademacher dạng 2 (xem chi tiết Pisier [15]) nên với mọi ε > 0,
∞

1
P
n

n=1
∞

k

Xl > εnα

max

1 k n

l=1
k

1

C
n=1

∞

C
n=1
∞

=C
n=1

n

max

E
2α+1

l=1

n

1

E Xk

n2α+1
1
n2α

1 k n

2

Xl

k=1
∞

j=1

1
j 2α

2

< ∞,

nghĩa là (2.2.4) đúng. Tuy nhiên, trong trường hợp này
∞

∞
(j) 1/α

E|X |
j=1

và do đó (2.2.3) sai.

=
j=1

1
= ∞,
j


16

Trong định lý dưới đây, chúng tôi trình bày một phiên bản tương tự của Định
lý 2.2.4. Kết quả này phát triển Định lý 2 của Baum và Katz [3] cho trường
hợp dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian
Hilbert. Chú ý rằng kỹ thuật được sử dụng trong [3] là kỹ thuật đối xứng hóa,
trong khi chúng tôi sử dụng kỹ thuật chặt cụt đơn điện.
2.2.6 Định lý. Giả sử α là một số thực (1/2 < α

1), {Xn , n

1} là dãy véctơ

ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và
bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X . Nếu
∞

E |X (j) |1/α log+ |X (j) | < ∞

(2.2.5)

j=1

thì
∞

n=1

k

log n
P
n

Chứng minh. Với n, k
(j)

(j)

Xl > εnα < ∞ với mọi ε > 0.

max

1 k n

l=1

1, đặt

(j)

Ynk = Xk I(|Xk |

(j)

(j)

nα )+nα I(Xk > nα ) − nα I(Xk < −nα ) (j
∞
(j)

Ynk =

Ynk ej .
j=1

Khi đó, với mọi ε > 0,
∞

log n
P
n

n=1
∞

n=1
∞

+
n=1

log n
n

∞

k

Xl > εnα

max

1 k n

l=1

n

P(|Xk(j) | > nα )
j=1 k=1

log n
P
n
∞

k

Ynl > εnα

max

1 k n

l=1

∞

log n P(|X (j) | > nα )

C
j=1 n=1
∞

+
n=1

(2.2.6)

log n
P
n

k

(Ynl − EYnl ) > εnα /2

max

1 k n

l=1

1);

17
∞

k

1
log n
P α max
n
n 1 k n

+
n=1

EYnl > ε/2
l=1

(theo Bổ đề 2.1.3).

= C + J1 + J2

Sử dụng bất đẳng thức Markov, hai bổ đề 2.1.1, 2.1.3 và các lập luận sử dụng
trong chứng minh Định lý 2.2.4, ta có
∞

J1

C

n=1
∞

C

k

log n
E
n2α+1
log n
n2α+1

n=1
∞ ∞

C
j=1 n=1
∞ ∞

1 k n

2

(Ynl − EYnl )

max

l=1

n

E Ynk − EYnk

2

k=1
n

log n
n2α+1

(j) 2
E(Ynk
)
k=1

log n P(|X (j) | > nα )

C
j=1 n=1
∞ ∞

+C
j=1 n=1

log n
E (X (j) )2 I(|X (j) |
2α
n

nα ) < ∞.

Để chứng minh J2 < ∞, ta chỉ cần chỉ ra
J2n

k

1
:= α max
n 1 k n

EYnl → 0 khi n → ∞.
l=1

Thật vậy,
J2n

∞

1
max
nα 1 k n

E Xl(j) I(|Xl(j) |
j=1
(j)

+ nα I(Xl
1

max
nα 1 k n
+

1
nα

1
nα

∞

∞

k

l=1
(j)

> nα ) − nα I(Xl

∞

< −nα )

k

E Xl(j) I(|Xl(j) |
j=1
n

nα )

nα )

l=1
(j)

nα P |Xk | > nα
j=1 k=1
n

E
j=1 k=1

∞
(j)
(j)
|Xk |I(|Xk |

α

n P |X (j) | > nα

>n ) +C
j=1


18
∞

∞

C

(j)

nα−1

(j)

n P |X (j) | > nα

α

E |X |I(|X | > n ) + C
j=1

j=1

∞

E |X (j) |1/α I(|X (j) |1/α > n) → 0 khi n → ∞ (by Bổ đề 2.1.4).

C
j=1

Những lập luận trên đảm bảo rằng (2.2.6) đúng.
1), {X, Xn , n

2.2.7 Nhận xét. Giả sử α là một số thực (1/2 < α

1} là

dãy véctơ ngẫu nhiên được đề cập trong Ví dụ 2.2.5. Khi đó, bằng những lập
luận tương tự như đối với Ví dụ 2.2.5, ta có thể chỉ ra rằng (2.2.6) đúng trong
khi (2.2.5) sai. Như vậy, dưới các giả thiết của Định lý 2.2.6, (2.2.6) không kéo
theo (2.2.5).
Định lý dưới đây sẽ cung cấp các điều kiện đủ cho (2.2.5).
2.2.8 Định lý. Giả sử α là một số thực dương, {Xn , n

1} là dãy véctơ ngẫu

nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H , bị chặn
dưới yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X và thỏa mãn
∞

E |X (j) |1/α log+ |X (j) | I(|X (j) |1/α

2) < ∞.

(2.2.7)

j=1

Nếu
∞

∞

j=1 n=1

log n
P
n

k
(j)

max

1 k n

Xl

> εnα < ∞ với mọi ε > 0

l=1

thì (2.2.5) đúng.
Chứng minh. Vì
∞

E |X (j) |1/α log+ |X (j) |
j=1
∞

E |X (j) |1/α log+ |X (j) | I(|X (j) |1/α > 2)

=C+

j=1
∞

∞

(k + 1) log+ (k + 1)α P(k < |X (j) |1/α

C+
j=1 k=2

k + 1)

(2.2.8)


19
∞

∞

k log k P(k < |X (j) |1/α

C +C

k + 1)

j=1 k=2
∞

∞

k

log n P(k < |X (j) |1/α

C +C

k + 1)

n=1

j=1 k=1
∞ ∞

log n P(|X (j) | > nα )

=C +C
j=1 n=1

nên ta chỉ cần chứng minh
∞

∞

log n P(|X (j) | > nα ) < ∞.

(2.2.9)

j=1 n=1
(j)

1, {I(Xk > nα ), k

Nhớ rằng với mọi n, j

(j)

1} và {I(Xk < −nα ), k

1} là hai

dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, do đó theo Bổ đề 2.1.1,
n

n
(j)
I(|Xk |

Var

α

n
(j)
I(Xk

2Var

>n )

k=1

I(Xk < −nα )

> n ) + 2Var

k=1

k=1

n

n

Var I(Xk(j) > nα ) + 4

4

(j)

α

k=1
n

Var I(Xk(j) < −nα )
k=1

P(|Xk(j) | > nα ).

4
k=1

Khi đó, Bổ đề 2.1.5 đảm bảo rằng
n
(j)
1 − P( max |Xk |
1 k n

2

α

>n )

P(|Xk(j) | > nα )

(j)

4 P( max |Xk | > nα ). (2.2.10)
1 k n

k=1

Mặt khác, (2.2.8) kéo theo
∞

∞

j=1 n=1

log n
P
n

(j)

max |Xk | > εnα < ∞ với mọi ε > 0.

1 k n

Vậy nên với mọi ε > 0,
∞

∞

nP
j=1 n=1
∞

(j)

max n |Xk | > ε 2nα

1 k 2

∞ 2n+1 −1

C
j=1 n=1 m=2n

∞ ∞

C
j=1 m=1

log m
P
m

log m
P
m

(j)

max n |Xk | > ε 2nα

1 k 2
(j)

max |Xk | > (ε/2α ) mα < ∞.

1 k m

(2.2.11)


20

Điều này đảm bảo rằng

∞

P max |Xk(j) | > nα → 0 khi n → ∞.
1 k n

j=1

Vì vậy, theo (2.2.10), tồn tại một số nguyên dương n0 , không phụ thuộc vào j
thỏa mãn
n

P(|Xk(j) | > nα )

(j)

C P( max |Xk | > nα ) với mọi n > n0 , j
1 k n

k=1

Từ (2.2.11), (2.2.12) và giả thiết {Xn , n
∞

1.

(2.2.12)

1} bị chặn dưới yếu theo tọa độ, ta có

∞

log n P |X (j) | > nα
j=1 n=1
∞ n0

∞

log n P |X

=

j=1 n=1
∞ n0

C
j=1 n=1
∞
∞

log n
n

j=1 n=n0 +1
∞ ∞

j=1 n=1

α

|>n

∞

log n P |X (j) | > nα

+
j=1 n=n0 +1

+C

C

(j)

n

P |Xk(j) | > nα
k=1

log n
P max |Xk(j) | > nα
n
1 k n

log n
P max |Xk(j) | > nα < ∞,
n
1 k n

nghĩa là (2.2.9) đúng.

2.2.9 Nhận xét. Dễ thấy giả thiết {Xn , n

1} bị chặn trên yếu theo tọa độ

không được sử dụng trong phát biểu của Định lý 2.2.8. Đây là điểm quan trọng
để chỉ ra rằng, chúng ta không thể chứng minh kết quả này bằng phương pháp
chứng minh như đối với Định lý 2.6 trong [6].
2.2.10 Nhận xét. Nếu H hữu hạn chiều thì điều kiện (2.2.7) trong Định lý
2.2.8 trở nên tầm thường. Bây giờ ta sẽ xét vai trò của điều kiện này khi H là
không gian vô hạn chiều. Giả sử α là một số thực (α > 1/2), {X, Xn , n

1} là

dãy véctơ ngẫu nhiên được đề cập trong Ví dụ 2.2.5. Khi đó với mọi ε > 0,
∞

∞

j=1 n=1

log n
P
n

k
(j)

max

1 k n

Xl
l=1

> εnα


21
∞

∞

C
j=1 n=1
∞ ∞

C
j=1 n=1

k

log n
E
n2α+1
log n
n2α+1

(j)

max

1 k n

2

Xl
l=1

n

E|Xk(j) |2 < ∞,
k=1

nghĩa là (2.2.8) đúng. Chúng ta cũng thấy rằng
∞

∞
(j) 1/α

E |X |

+

log |X

(j)

j=1

| I(|X

(j) 1/α

|

2) =
j=1

1
= ∞,
j

do đó kết luận (2.2.5) sai.
Như vậy, trong Định lý 2.2.8, chúng ta không thể bỏ điều kiện (2.2.7) hoặc
thậm chí thay thế nó bởi điều kiện yếu hơn E |X (j) |1/α log+ |X (j) | I(|X (j) |1/α
2) → 0 khi j → ∞.

2.2.11 Nhận xét. Giả sử α, β là các số thực (1/2 < α < β), {X, Xn , n
một dãy véctơ ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị trong
mãn P X (j) = ±j −β = 1/2 với mọi j

1} là
2

thỏa

1. Khi đó các điều kiện (2.2.7) và (2.2.8)

được thỏa mãn. Vì vậy, Định lý 2.2.8 đảm bảo rằng kết luận (2.2.5) đúng.

22

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận
Đề tài tập trung nghiên cứu về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với
dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Đề tài đã thu được các kết quả
sau đây:
- Định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều cho trường hợp r = 1/α;
- Cung cấp ví dụ và một số nhận xét để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và
những vấn đề liên quan.
2. Kiến nghị
Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau đây:
- Luật số lớn đối với dãy và mảng véctơ ngẫu nhiên;
- Tốc độ hội tụ trong luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập
hoặc các biến ngẫu nhiên nhận giá trị mờ;
- Định lý giới hạn trung tâm và luật loga lặp đối với các biến ngẫu nhiên liên
kết âm.


23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] K. Alam and K. M. L. Saxena, Positive dependence in multivariate distributions, Comm. Statist. A-Theory Methods, 10 (1981), 1183–1196.
[2] J. I. Baek, I. B. Choi and S. L. Niu, On the complete convergence of weighted
sums for arrays of negatively associated variables, J. Korean Statist. Soc., 37
(2008), 73–80.

[3] L. E. Baum and M. Katz, Convergence rates in the law of large numbers,
Trans. Amer. Math. Soc., 120 (1965), 108–123.
[4] P. Erd¨os, On a theorem of Hsu and Robbins, Ann. Math. Statistics, 20 (1949),
286–291.
[5] P. Erd¨os, Remark on my paper “On a theorem of Hsu and Robbins”, Ann.
Math. Statistics, 21 (1950), 138.
[6] N. V. Huan, N. V. Quang and N. T. Thuan, Baum-Katz type theorems for
coordinatewise negatively associated random vectors in Hilbert spaces, Acta
Math. Hungar., 144 (2014), 132–149.
[7] P. L. Hsu and H. Robbins, Complete convergence and the law of large numbers, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 33 (1947), 25–31.
[8] K. Joag-Dev and F. Proschan, Negative association of random variables, with
applications, Ann. Statist., 11 (1983), 286–295.
[9] M. H. Ko, On the complete convergence for negatively associated random
fields, Taiwanese J. Math., 15 (2011), 171–179.
[10] M. H. Ko, T. S. Kim and K. H. Han, A note on the almost sure convergence
for dependent random variables in a Hilbert space, J. Theoret. Probab., 22
(2009), 506–513.


24

[11] A. Kuczmaszewska, On complete convergence in Marcinkiewicz-Zygmund
type SLLN for negatively associated random variables, Acta Math. Hungar.,
128 (2010), 116–130.
[12] A. Kuczmaszewska and Z. A. Lagodowski, Convergence rates in the SLLN
for some classes of dependent random fields, J. Math. Anal. Appl., 380
(2011), 571–584.
[13] T. L. Lai, Convergence rates and r-quick versions of the strong law for
stationary mixing sequences, Ann. Probability, 5 (1977), 693–706.
[14] Y. Miao, Hájek-Rényi inequality for dependent random variables in Hilbert

space and applications, Rev. Un. Mat. Argentina, 53 (2012), 101–112.
[15] G. Pisier, Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces. Probability and analysis, Lecture Notes in Math., 1206, Springer (Berlin, 1986).
[16] Q. M. Shao, A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables, J. Theoret. Probab., 13
(2000), 343–356.
[17] S. H. Sung, On complete convergence for weighted sums of arrays of dependent random variables, Abstr. Appl. Anal., 2011, Art. ID 630583, 11 pp.
[18] L. V. Thanh, On the almost sure convergence for dependent random vectors
in Hilbert spaces, Acta Math. Hungar., 139 (2013), 276–285.
[19] L. X. Zhang and J. W. Wen, A strong law of large numbers for B -valued
random fields, Chinese Ann. Math. Ser. A, 22 (2001), 205–216.